FUNZIONI DI DUE VARIABILI: graÖci 3D e curve di livello

Una funzione di due variabili Ë una funzione in cui per ottenere un valorenumerico bisogna speciÖcare il valore di 2 variabili x e y, non pi˘ di una solaz = f(x; y). Esempio

f(x; y) = x2 ! 2xy

-2

x

-6-4

-20

6

4

20

y0

2

4

0

6

-2z20-4

-6

40

Una tripla di numeri (x; y; f(x; y)) si puÚ associare a un punto nello spazio a3 dimensioni:

Scegliamo un insieme di punti appartenenti al dominio della funzione nel pianoxy, e da ognuno innalziamo la freccia che sale al punto (x; y; f(x; y)), avremo

Tutti i punti di coordinate (x; y; f(x; y)) si distribuiscono formando una su-perÖcie nello spazio

Non tutte le caratteristiche del graÖco di funzioni di una variabile potrannoessere trasferite ai graÖci di funzioni di due variabili; per esempio non avr‡alcun senso parlare di crescenza o decrescenza, mentre illustreremo i concettidi di massimo e minimo (relativo o assoluto) (monti e valli).

Gli insiemi di livello sono ottenuti intersecando il graÖco della funzione conpiani orizzontali. Vengono anche chiamate curve di livello, individuate dallaquota del piano intersecante. Le curve di livello si possono proiettare sul pianoorizzontale, eventualmente sovrapponendole a un graÖco di densit‡: colori viavia pi˘ chiari per indicare le cime e via via pi˘ scuri per indicare le valli.

.

ESEMPI.

1. La funzione lineare

f(x; y) = 3x! y + 2

ha come linee di livello le rette di equazione 3x ! y + 2 = k; ovvero y =3x+ 2! k tutte parallele al variare di k.

zy x

x

y

2. La funzione (paraboloide iperbolico)

f(x; y) = xy

ha come linee di livello iperboli equilatere di equazione xy = k:

y xz

x

y

3. La funzione

f(x; y) = x2 + y2

il cui graÖco Ë una semisuperÖcie conica ha come linee di livello le circonferenzedi equazione x2 + y2 = k

y x

z

x

y

Domini

Anche per le funzioni a due varibili Ë necessario individuare líinsieme di esistenzadella funzione f(x; y): Questa volta líinsieme di esistenza di una funzione a duevariabili sar‡ un sottoinsieme di R2:

Esempi.

1. f(x; y) =q4! x2 ! y2

2. f(x; y) = ln(x! y)

3. f(x; y) =1

sin(x! y)

Piani tangenti

Molto utili per studiare le propriet‡ delle funzioni di due variabili sono le lineeintersezione della superÖce-graÖco della funzione con piani verticali paralleli aipiani coordinati, cioË del tipo x = k e y = k: Queste linee si ottengonorisolvendo uno dei seguenti due sistemi:

(z = f(x; y)y = k

=) z = f(x; k)

(z = f(x; y)x = k

=) z = f(k; y)

Nel primo caso si ottiene una funzione della variabile indipendente x, il cuigraÖco si potr‡ rappresentare in un piano Oxz, nel secondo caso si ottiene unafunzione della variabile indipendente y, il cui graÖco si potr‡ rappresentare inun piano Oyz.

Esempio. Si consideri la funzione f(x; y) = x3 ! 4xy2

Líintersezione con il piano x = 1=2 conduce alla funzione (della sola variabiley) z = 1

8! 2y2 il cui graÖco Ë una parabola nel piano Oyz: Líintersezione con

il piano y = 1=2 conduce alla funzione (della sola variabile x) z = x3 ! x, ilcui graÖco sar‡ nel piano Oxz:

Le due funzioni ottenute per intersezione sono funzioni di una sola variabilee possono essere derivate: queste derivate saranno utili non solo per le curveintersezione, ma anche per la funzione di due variabili nel suo complesso.

Derivate parziali

DeÖnizione 1 Data una funzione z = f(x; y) e un punto (x0; y0) interno alsuo dominio, possiamo considerare la funzione, della variabile x, z = f(x; y0) =g(x), ottenuta Össando y al valore y0 e lasciando variare x, ovvero la funzioneche si ottiene intersecando la superÖcie z = f(x; y) con il piano verticaley = y0: Possiamo ora considerare

limx!x0

f(x; y0)! f(x0; y0)x! x0

ovvero il limite del rapporto incrementale della funzione z = g(x). Se questoesiste ed Ë Önito, esso si chiama derivata parziale prima rispetto a x dellafunzione x, nel punto (x0; y0) e si indica

f 0x (x0; y0) :

In maniera analoga possiamo considerare la funzione, della variabile y, z =f(x0; y) = h(y); ottenuta Össando x al valore x0 e lasciando variare y, ovverola funzione che si ottiene intersecando la superÖcie z = f(x; y) con il pianoverticale x = x0: Possiamo ora considerare

limy!y0

f(x0; y)! f(x0; y0)y ! y0

ovvero il limite del rapporto incrementale della funzione z = h(y). Se questoesiste ed Ë Önito, esso si chiama derivata parziale prima rispetto a y dellafunzione f , nel punto (x0; y0) e si indica con

f 0y (x0; y0) :

In pratica il calcolo delle due derivate parziali in un punto generico (x; y) internoal dominio si fa pensando la funzione f(x; y) come funzione di una sola delledue variabili e trattando líaltra come un parametro costante.

DeÖnizione 2 Siano f : A % R2 ! R e (x; y) 2 A: Il vettore

rf(x; y) =hf 0x(x; y) f 0y(x; y)

i

si dice gradiente di f in (x; y) :

Avendo ottenuto da una funzione due derivate parziali prime, da ciascuna ot-terrÚ altre due derivate parziali, per un totale di quattro derivate parziali secondedella funzione originaria:

ñ f 00xx sar‡ la derivata prima rispetto a x della f0x;

ñ f 00yy sar‡ la derivata prima rispetto a y della f0y;

ñ f 00xy sar‡ la derivata prima rispetto a y della f0x;

ñ f 00yx sar‡ la derivata prima rispetto a x della f0y.

Le prime due si chiamano derivate parziali seconde pure, le ultime due si chia-mano derivate parziali seconde miste.

Osservazione. Le derivate f 00xy = 4+6y = f00yx:Vale infatti il seguente notevole

teorema.

Teorema 3 (Teorema di Schwartz). Se le derivate seconde miste sono con-tinue, allora esse sono uguali.

La derivata prima per funzioni di una variabile permette il calcolo della pen-denza della retta tangente al graÖco della funzione e quindi la determinazionedellíequazione di questa tangente. Per le funzioni di due variabili, le derivateparziali,servono a determinare le equazioni delle rette tangenti alle curve in-tersezione tra la superÖcie e il piano verticale parallelo al piano Oxz oppureOyz. Esse perÚ servono anche a determinare líequazione del piano tangentealla superÖcie graÖco della funzione di due variabili.

Data una funzione di due variabili z = f(x; y) e un punto (x0; y0) del suodominio, dove la funzione ammette derivate parziali prime continue, líequazionedel piano tangente alla superÖcie graÖco della funzione nel punto (x0; y0; z0),con z0 = f(x0; y0) sar‡:

z = f(x0; y0) + f0x(x0; y0)(x0 ! x) + f

0y(x0; y0)(y0 ! y)

Esempio. La funzione f(x; y) = x2 + 4xy + 3xy2: Le derivate prime sonof 0x(x; y) = 2x+4y+3y

2 e f 0y(x; y) = 4x+6x: Prendiamo il punto (1;!1) :Avremo f(1;!1) = 0; f 0x(1;!1) = 1; f 0y(1;!1) = !2: Líequazione delpiano tangente sar‡:

z = 0 + (x! 1)! 2(y + 1)! z = x! 2y ! 3

y xz

Ottimizzazione libera

Siamo interessati al problema della ricerca dei massimi e minimi nei punti internial dominio della funzione o nei punti del bordo del dominio. Per questo problemabasta lo studio delle derivate prime e seconde della funzione.

Se si tiene conto dellíequazione di un piano tangente orizzontale, di equazionez = k; in corrispondenza di un punto di massimo o minimo interno al dominioentrambe le derivate parziali saranno nulle, esattamente caso di una variabiledove si aveva líannullamento della derivata prima. Purtroppo (ancora comenel caso di funzioni di una variabile) líannullarsi delle derivate non garantiscelíesistenza di un massimo o un minimo.

Teorema 4 (Condizione necessaria per i massimi e minimi in due variabili). Seuna funzione f(x; y) dotata di derivate parziali ha, in corrispondenza a un punto

(x0; y0) interno al dominio, un massimo o un minimo, allora necessariamenteil gradiente rf(x0; y0) = 0.

Un punto (interno al dominio) in cui le derivate parziali siano contemporanea-mente nulle (senza che necessariamente sia un punto di minimo o di massimo) sichiama un punto stazionario per f(x; y): Per stabilire se un punto stazionario Ëdi massimo o di minimo cíË un teorema che stabilisce una condizione su¢cienteperchÈ un punto stazionario sia di massimo o di minimo.

Teorema 5 Sia data una funzione f(x; y) dotata almeno di derivate seconde.Se (x0; y0) Ë un punto stazionario per f (interno al dominio), si calcolano, in(x0; y0), le quattro derivate seconde e si costruisce una matrice, detta matricehessiana,

H =

"f 00xx(x0; y0) f 00xy(x0; y0)f 00yx(x0; y0) f 00yy(x0; y0)

#

Successivamente si calcola il determinante della matrice hessiana dato da

f 00xx(x0; y0)f00yy(x0; y0)!f

00xy(x0; y0)f

00yx(x0; y0) = f

00xx(x0; y0)f

00yy(x0; y0)!

hf 00xy(x0; y0)

i2:

Se:

- det [H] > 0; allora si guarda il primo termine della matrice hessiana f 00xx(x0; y0) :

( se f 00xx(x0; y0) > 0 allora (x0; y0) Ë un punto di minimo (relativo),

( se f 00xx(x0; y0) < 0 allora (x0; y0) Ë un punto di massimo (relativo),

- det [H] < 0; allora il punto (x0; y0) Ë un punto di sella

- det [H] = 0; allora nulla si puÚ concludere.

Osservazione. Si deÖnisce punto di sella un punto in cui il piano tangente Ëorizzontale e in cui vale la seguente propriet‡: se passiamo per il punto in certedirezioni il punto si presenta come un massimo, mentre in certe direzioni sipresenta come un minimo.

Esempio. f(x; y) = x2 ! y2

zyx

Esempio.

Data la funzione

f(x; y) = 2 ln(x2 + y2 + 2)! xy

determinare il dominio, i punti stazionari e classiÖcarli.

- Dominio. x2 + y2 + 2 > 0! R2:

- Gradiente.8>>><

>>>:

f 0x =4x

x2 + y2 + 2! y = 0

f 0y =4y

x2 + y2 + 2! x = 0

!

8>>><

>>>:

1

x2 + y2 + 2=y

4x1

x2 + y2 + 2=x

4y

Risolvendo il sistema si ottiengono tre punti stazionari (0; 0) ; (1; 1) e(!1;!1) :

- Hessiane. Si calcolano le tre matrici hessiane nei tre punti. Intanto líhessianosar‡

2

66664

4!x2 + y2 + 2(x2 + y2 + 2)2

!4x(x2 + y2 + 2)2

2y ! 1

!4x(x2 + y2 + 2)2

2y ! 1 4x2 ! y2 + 2(x2 + y2 + 2)2

3

77775

Quindi

detH(0; 0) =

111112 !1!1 2

11111 = 3 > 0; f00xx(0; 0) = 2 > 0! minimo locale

detH(1; 1) =

111111=2 !3=2!3=2 1=2

11111 = !2 < 0! punto di sella

detH(!1;!1) =111111=2 !3=2!3=2 1=2

11111 = !2 < 0! punto di sella