Funz di trasferimento - webalice.it Elettrici Automatici/Funz_di... · Considerata l’ampia...

La funzione di trasferimento Sistemi elettrici automatici 1

LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTOPuò essere espressa sia nel dominio della “s” che nel dominio della “jω”

Definizione nel dominio della “s”

1. è riferita ai soli sistemi con un ingresso ed un’uscita

2. ha per oggetto i soli sistemi lineari, invarianti e a parametri concentrati

3. è riferita ai sistemi in condizioni iniziali nulle (ossia che si trovano inizialmente in stato di quiete)


− Detta X(s) la L-trasformata dell’ingresso x(t)− Detta Y(s) la L-trasformata dell’uscita y(t)− Si definisce H(s)(F.d.T.) come H(s)=Y(s)/X(s)

x(t) y(t) h(t)

X(s) Y(s)

)s(X

)s(Y)s(H ====

Dominio del tempo Trasformata

(Laplace)

Dominio della s


ALCUNE OSSERVAZIONI SULLA F.D.T. NEL DOMINIO DELLE “s”

1. Prenderemo in considerazione solo f.d.t. costituite da funzioni razionali fratte

2. La f.d.t. è dipendente solo da parametri del sistema ed è quindi tipica per ciascun sistema

3. In caso di sollecitazione con impulso unitario, avendo questo L-trasformata pari a 1, si può affermare che l’uscita si identifica con la f.d.t. stessa

4. Per la determinazione delle f.d.t. si farà uso delle “impedenze generalizzate” come già visto nello studio dei transitori


LA FUNZIONE DI RISPOSTA ARMONICA

è la f.d.t. definita nel dominio della “Jω”

1. Ha ancora per oggetto i soli sistemi lineari, invarianti e a parametri concentrati

2. Serve per descrivere il comportamento del sistema a regime in presenza di segnali sinusoidali in ingresso

3. L’importanza di questo studio è dovuta al fatto che conoscendo il comportamento del sistema ad una sollecitazione sinusoidale ciò permette di estendere i risultati a sollecitazioni con segnali qualsiasi (mediante scomposizione col teorema di Fourier)


Si definisce funzione di trasferimento nel dominio della jω di un sistema lineare, invariante e con condizioni iniziali nulle il rapporto tra la trasformata di Fourier dell’uscita Y(jω ) e la trasformata di Fourierdell’ingresso X(jω ):

H(jω)= Y(jω ) / X(jω )

x(t) y(t) h(t)

X(jωωωω) Y(jωωωω)

)j(X

)j(Y)j(H

ωωωω

ωωωω====ωωωω

Dominio del tempo Trasformata

(Fourier)

Dominio della jωωωω


ALCUNE OSSERVAZIONI SULLA F.D.T. NEL DOMINIO DELLE “Jω”

1. Grazie ad alcuni teoremi che non verranno esaminati è possibile passare dalla H(s) alla H(Jω) o viceversa semplicemente sostituendo s con jω

2. È una grandezza che si può ricavare facilmente per via sperimentale in laboratorio con opportune prove

3. Si definisce ordine della funzione di trasferimento il grado del polinomio (in s od in jω) che compare a denominatore della H(s) o della H(jω)

4. Si definiscono zeri della funzione di trasferimento le radici del polinomio a numeratore della H(s) o H(jω) , si definiscono poli della funzione di trasferimento le radici del polinomio a denominatore della H(s) o H(jω)

5. Anche qui per la determinazione delle f.d.t. si farà uso delle “impedenze generalizzate” come già visto nello studio dei transitori


Attraverso la funzione di risposta armonica H(jω) è possibile determinare la risposta a regime del sistema quando in ingresso vi è il segnale sinusoidale per pulsazioni che variano da zero ad infinito.Preso come ingresso un segnale sinusoidale del tipo

La risposta a regime di un sistema stabile è data da:

dove è chiamato guadagno del sistema e rappresenta il modulo della risposta armonica.

Mentre è chiamato sfasamento e rappresenta lo sfasamento fra uscita e ingresso introdotto dal sistema.

RAPPRESENTAZIONE DELLA RISPOSTA ARMONICA SECONDO BODE E NYQUIST

)t(senA)t(x ⋅⋅⋅⋅ωωωω⋅⋅⋅⋅====

))(t(sen)(GA)t(y ωωωωΦΦΦΦ++++⋅⋅⋅⋅ωωωω⋅⋅⋅⋅ωωωω⋅⋅⋅⋅====

)j(Harg)( ωω =Φ

)()( ωω jHG =


Diagrammi di Bode• Servono a rappresentare la risposta in frequenza di un sistema stabile. Si

tratta di due diagrammi distinti:1. il diagramma dei guadagni 2. il diagramma degli sfasamenti

• Il diagramma di Bode dei guadagni

(detto anche diagramma delle ampiezze o dei moduli) è un diagramma cartesiano in cui sono rappresentati in ascissa le pulsazioni ed in ordinata i guadagni. Considerata l’ampia variazione delle grandezze da riportare, per una piùcomoda rappresentazione si è soliti impiegare sia per le ascisse che per le ordinate la scala logaritmica realizzando così un diagramma a doppia scala logaritmica. Tuttavia è pure utilizzata la rappresentazione del guadagno in decibel ed in questo caso la sola ascissa è in scala logaritmica realizzandosi così un diagramma semilogaritmico. Il guadagno espresso in decibel è legato al guadagno espresso in valore assoluto dalla relazione:

))(G(log20)(G 10db ωωωω⋅⋅⋅⋅====ωωωω


• Il diagramma di Bode degli sfasamenti:

(detto anche diagramma delle fasi o degli argomenti) riporta gli sfasamenti tra uscita ed ingresso in funzione della pulsazione. La scala delle ascisse (pulsazioni) è logaritmica mentre quella delle ordinate (sfasamenti) èlineare, si tratta quindi di un diagramma semilogaritmico.

Avremo:1. sfasamenti positivi quando l’uscita è in anticipo sull’entrata,2. sfasamenti negativi in caso contrario.

L’espressione analitica sarà:

• Spesso si tracciano i diagrammi di Bode asintotici che sono costituiti non da curve che identificano il guadagno o la fase per ogni singolo valore di pulsazione bensì da spezzate i cui vertici individuano le pulsazioni d’angolonelle quali si ha un cambiamento della pendenza dei diagrammi.

• Si osserva inoltre che ha senso parlare di funzione di risposta armonica solo per sistemi stabili in quanto se il sistema non fosse stabile non si potrebbe individuare alcuna risposta a regime.

))j(Harg()( ωωωω====ωωωωΦΦΦΦ


• Esempio: tracciare la rappresentazione della funzione di risposta armonica mediante i diagrammi di Bode per l’assegnata funzione di trasferimento:

• diagramma di Bode dei guadagni:

ωωωω====ωωωωΦΦΦΦ

ωωωω⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒

++++ωωωω⋅⋅⋅⋅++++ωωωω====ωωωω⇒⇒⇒⇒

++++⋅⋅⋅⋅++++====

))j(Harg()(

)j(Hlog20G

)2j()1j(

1)j(H

)2s()1s(

1)s(H 10db


• diagramma di Bode degli sfasamenti:


Diagramma di Nyquist• Se rappresentiamo la funzione di risposta armonica

H(jω) sul piano complesso avremo che per ogni valore di ω la funzione stessa sarà rappresentata da un vettore uscente dall’origine ed il cui estremo si troverà in un punto che avrà come ascissa e ordinata rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della H(jω).

• Va inoltre detto che:1. il modulo di questo vettore rappresenterà il

guadagno2. mentre l’angolo formato col semiasse positivo reale

rappresenterà lo sfasamento introdotti dalla funzione di risposta armonica.


• Facendo variare ω da zero ad infinito il vettore descriverà col suo estremo un luogo di punti che viene chiamato appunto diagramma di Nyquist.Tale diagramma viene completato facendo percorrere al vettore rappresentante la funzione di risposta armonica anche il campo ipotetico di frequenze negative.

• Il diagramma di Nyquist rappresenta pertanto in forma polare il guadagno della funzione e lo sfasamento, la pulsazione vi appare come variabile implicita e viene indicata in corrispondenza di alcuni punti della curva. Sul diagramma si mettono spesso in evidenza il punto corrispondente a guadagno unitario e sfasamento -180°(detto comunemente punto a guadagno -1) e la circonferenza corrispondente al guadagno unitario. Questi elementi verranno utilizzati per la valutazione della stabilità dei sistemi in retroazione.


• Esempio: tracciare la rappresentazione della funzione di risposta armonica mediante il diagramma di Nyquist per l’assegnata funzione di trasferimento.


ωωωω⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒

++++ωωωω⋅⋅⋅⋅++++ωωωω====ωωωω⇒⇒⇒⇒

++++⋅⋅⋅⋅++++====

))j(Harg()(

)j(Hlog20G

)2j()1j(

1)j(H

)2s()1s(

1)s(H 10db

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

asse reale

asse

imm

agin

ario

ωωωω=0ωωωω=∞∞∞∞

ωωωω=1

ωωωω=2,5


Criterio di esecuzione dei diagrammi di Bode

Per eseguire i diagrammi di Bode la funzione di trasferimento deve essere espressa nella forma di Bode con la quale sono evidenziati gli zeri, i poli ed il guadagno statico (detto anche costante di Bode o fattore di trasferimento), ovvero il valore della funzione in corrispondenza di s = 0.

Per prima cosa si scompongono in fattori il numeratore ed il denominatore:

dove ovviamente zi e pi sono i generici zeri e poli della f.d.t.

)ps(...)ps()ps(a

)zs(...)zs()zs(b

asa...sasa

bsb...sbsb)s(H

n21n

m21m

011n

1nn

n

011m

1mm

m

−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====

++++⋅⋅⋅⋅++++++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅

++++⋅⋅⋅⋅++++++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

−−−−−−−−

−−−−−−−−


Raccogliendo poi a fattore comune al numeratore gli zeri ed al denominatore i poli (entrambi cambiati di segno):

Il fattore costante:

Che può essere sia positivo che negativo, prende il nome di guadagno statico (o costante di Bode o fattore di trasferimento) ed è facile verificare che è il valore della H(s) quando s = 0.

)p

s1(...)

p

s1()

p

s1(

)z

s1(...)

z

s1()

z

s1(

)p(...)p()p(a

)z(...)z()z(b)s(H

n21

m21

n21n

m21m

−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−

⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====

)p(...)p()p(a

)z(...)z()z(bK

n21n

m21m

−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====


Si definisce forma canonica della funzione di trasferimento (in “s”) quella che evidenzia il guadagno statico e le costanti di tempo:

Quindi è necessario fare riferimento alla funzione di risposta armonica (in “Jω”) espressa nella forma canonica:

)ds1(...)ds1()ds1(

)ns1(...)ns1()ns1(K)s(H

n21

m21

ττττ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ττττ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ττττ⋅⋅⋅⋅++++

ττττ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ττττ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ττττ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

)p

j1(...)

p

j1()

p

j1(

)z

j1(...)

z

j1()

z

j1(

K)j(H

n21

m21

ωωωω−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

ωωωω−−−−⋅⋅⋅⋅

ωωωω−−−−

ωωωω−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

ωωωω−−−−⋅⋅⋅⋅


⋅⋅⋅⋅====ωωωω


Il guadagno della funzione di trasferimento secondo Bode sarà:

n10

210

110

m10

210

11010

1010db

p

j1log20...

p

j1log20

p

j1log20

z

j1log20...

z

j1log20

z

j1log20Klog20

)j(Hlog20))(G(log20)(G

ωωωω−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−

ωωωω−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−

ωωωω−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−

−−−−ωωωω

−−−−⋅⋅⋅⋅++++++++ωωωω

−−−−⋅⋅⋅⋅++++ωωωω

−−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

====ωωωω⋅⋅⋅⋅====ωωωω⋅⋅⋅⋅====ωωωω

Mentre l’argomento della funzione di trasferimento secondo Bode sarà:

ωωωω−−−−−−−−−−−−

ωωωω−−−−−−−−

ωωωω−−−−−−−−

−−−−

ωωωω−−−−++++++++

ωωωω−−−−++++

ωωωω−−−−++++

====ωωωω====ωωωωΦΦΦΦ

n21

m21

patg...

patg

patg

zatg...

zatg

zatg

K

0atg))j(Harg()(


Si conclude che per l’esecuzione del diagramma del guadagno e del diagramma degli sfasamenti si può sempre procedere con la somma dei diagrammi di funzioni elementari che possono essere solo dei tipi fondamentali qui di seguito elencati.a)Costante pura, In tal caso sia il diagramma dei guadagni che quello degli argomenti hanno andamento rettilineo orizzontale pari a:

I cui andamenti saranno i seguenti:

0K180)(0K0)(

Klog20)(G 10db

<<<<°°°°±±±±====ωωωωΦΦΦΦ>>>>°°°°====ωωωωΦΦΦΦ

⋅⋅⋅⋅====ωωωω

se , se

10 102 103 104 1

0

20

40

60

-20

-40

-60

ωωωω

Gdb(ω)ω)ω)ω)

)

|K|>1

|K|=1

|K|<1

10 102 103 104 1

0

90°

180°

ωωωω

ΦΦΦΦ(ωωωω)

|K|<0

|K|>0

-180°

-90°

|K|<0

K)j(H ====ωωωω


b) Derivatore puro,

Nel caso di un derivatore puro il diagramma dei guadagni è una retta a pendenza +1, ovvero a pendenza positiva pari a 20 [db/decade] che taglia l’asse delle pulsazioni per ω =1.

ωωωω====ωωωω j)j(H

°°°°++++====


ωωωω⋅⋅⋅⋅====ωωωω

900

atg)(

log20)(G 10db

10 102 103 104 1

0

20

40

60

-20

-40

-60

ωωωω

Gdb(ω)ω)ω)ω)

)

10 102 103 104 1

0

90°

180°

ωωωω

ΦΦΦΦ(ωωωω)

-180°

-90°

+1

E I cui andamenti saranno i seguenti:


Altra rappresentazione dei diagrammi di Bode del guadagno (in blù) e della fase (in rosso) della funzione derivatrice pura H(jω)= jω

Diagramma del

guadagno

Diagramma degli

sfasamenti

Punto a

guadagno 0

(ω=1)


c) Integratore puro,ωωωω

====ωωωωj

1)j(H

°°°°−−−−====


====ωωωωΦΦΦΦ

ωωωω⋅⋅⋅⋅====ωωωω

900

atg1

0atg)(

1log20)(G 10db

10 102 103 104 1

0

20

40

60

-20

-40

-60

ωωωω

Gdb(ω)ω)ω)ω)

)

10 102 103 104 1

0

90°

180°

ωωωω

ΦΦΦΦ(ωωωω)

-180°

-90°

-1

E I cui andamenti saranno i seguenti:

Il diagramma dei guadagni è una retta a pendenza –1 (pendenza negativa di 20 [db/decade]) che taglia l’asse delle pulsazioni per ω=1.


Altra rappresentazione dei diagrammi di Bode del guadagno (in blù) e della fase (in rosso) della funzione integratrice pura H(jω)= 1/jω

Diagramma del

guadagno

Diagramma degli

sfasamenti

Punto a

guadagno 0

(ω=1)


d) Derivatore misto (una costante di tempo in anticipo)Studiamo per primo il diagramma dei guadagni e facciamo riferimento alla sua esecuzione approssimata asintotica.

Per pulsazione generica è:

Sul diagramma di Bode dei guadagni, il primo è una retta orizzontale coincidente con l’asse delle pulsazioni, il secondo è una retta di pendenza +1che interseca l’asse delle pulsazioni al valore .

Tale pulsazione è detta pulsazione d’angolo o pulsazione di spezzamento.Il valore in decibel del guadagno per la pulsazione d’angolo vale:

z

j1)j(H

ωωωω−−−−====ωωωω

2

2

1010dbz

1log20z

j1log20)(G

ωωωω++++⋅⋅⋅⋅====

ωωωω−−−−⋅⋅⋅⋅====ωωωω

A cui corrispondono i due asintoti seguenti:

0)(Gdb ====ωωωω per ω=0

zlog20log20)(G 1010db ⋅⋅⋅⋅−−−−ωωωω⋅⋅⋅⋅====ωωωω per ω=∞

zA ====ωωωω

[db] 32log20)(G 10Adb ≅≅≅≅⋅⋅⋅⋅====ωωωω


Studiamo ora il diagramma asintotico degli argomenti procedendo in maniera analoga.

Per la pulsazione generica si ha:

Inoltre in corrispondenza della pulsazione d’angolo si verifica che è:

si nota che nell’intervallo di pulsazioni comprese tra 0,1·|z| e 10·|z| il diagramma può essere approssimato da un segmento ad esso tangente nel punto di flesso ωA=|z|

ωωωω−−−−====ωωωωΦΦΦΦ

zatg)(

A cui corrispondono i due seguenti asintoti orizzontali:

°°°°====ωωωωΦΦΦΦ 0)(

0z90)(0z90)( >>>>°°°°−−−−====ωωωωΦΦΦΦ<<<<°°°°++++====ωωωωΦΦΦΦ se oppure se

,

per ω=0

per ω=∞

0z45)(0z45z

zatg)( AA >>>>°°°°−−−−====ωωωωΦΦΦΦ<<<<°°°°++++====

−−−−====ωωωωΦΦΦΦ se oppure se


Quindi gli andamenti dei diagrammi di Bode saranno:

10 102

103

104

1

0

20

40

60

-20

-40

-60

ωωωω

Gdb(ω )ω )ω )ω )

10 102

103

104

1

0

90°

180°

ωωωω

ΦΦΦΦ (ωωωω )

-180°

-90°

+1

ωωωω A ωωωω A 10·ωωωω A 0,1·ωωωω A

z = -1000 z = -1000


e) Integratore misto (una costante di tempo in ritardo),

p

j1

1)j(H


====ωωωω

Studiamo per primo il diagramma dei guadagni e facciamo riferimento alla sua esecuzione approssimata asintotica.

Per pulsazione generica è:

Sul diagramma di Bode dei guadagni, il primo è una retta orizzontale coincidente con l’asse delle pulsazioni, il secondo è una retta di pendenza -1che interseca l’asse delle pulsazioni al valore .

Tale pulsazione è detta pulsazione d’angolo o pulsazione di spezzamento.

+

⋅=

−

⋅=

2

21010

1

1log20

1

1log20)(

pp

jG db

ωωω

A cui corrispondono i due asintoti seguenti:

0)(Gdb ====ωωωω per ω=0

per ω=∞plog20log20)(G 1010db ⋅⋅⋅⋅++++ωωωω⋅⋅⋅⋅−−−−====ωωωω

pA ====ωωωω


Il valore in decibel del guadagno per la pulsazione d’angolo vale:

Studiamo ora il diagramma asintotico degli argomenti procedendo in maniera analoga.Per la pulsazione generica si ha:

si nota che nell’intervallo di pulsazioni comprese tra 0,1·|p| e 10·|p| il diagramma può essere approssimato da un segmento ad esso tangente nel punto di flesso ωA=|p|

[db] 32

1log20)(G 10Adb −−−−≅≅≅≅

⋅⋅⋅⋅====ωωωω

ωωωω−−−−−−−−====ωωωωΦΦΦΦ

patg)(

A cui corrispondono i due seguenti asintoti orizzontali:

°°°°====ωωωωΦΦΦΦ 0)( per ω=0

°°°°−−−−====ωωωωΦΦΦΦ 90)( per ω=∞

Inoltre in corrispondenza della pulsazione d’angolo si verifica che è:

°°°°−−−−====

−−−−−−−−====ωωωωΦΦΦΦ 45

p

patg)( A


Quindi gli andamenti dei diagrammi di Bode saranno:

10 102

103

104

1

0

20

40

60

-20

-40

-60

ωωωω

Gdb(ω )ω )ω )ω )

10 102

103

104

1

0

90°

180°

ωωωω


-180°

-90°

-1

ωωωω A ωωωω A 10·ωωωω A 0,1·ωωωω A

p = -1000 p = -1000


f) Sistemi con più zeri reali:….si passa da diagrammi con pendenza +1 a pendenze di grado superiore (+2,+3, etc…) mano a mano che si incontrano gli zeri successivi….g) Sistemi con più poli reali:

….si passa da diagrammi con pendenza -1 a pendenze di grado superiore (-2,-3, etc…) mano a mano che si incontrano i poli successivi….

Rimangono inoltre da studiare i casi di:

h) sistemi con poli complessi e coniugati…i) sistemi con zeri complessi e coniugati…


Esempio di tracciamento dei diagrammi di Bodeper una funzione di trasferimento assegnata:

• Sia data per esempio:

• Per prima cosa scrivo la f.d.t. nella forma canonica evidenziando il guadagno statico. Allo scopo calcolo gli zeri ed i poli della f.d.t. che risultano essere:

• Si osserva che il sistema è stabile essendo tutti i poli a parte reale negativa, quindi è lecito cercarne la funzione di risposta armonica. Calcolo il guadagno statico:

200000s202200s2202s2

300s30)s(H

23++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅

++++⋅⋅⋅⋅====

, , , 1000p100p1p10z 3211 −−−−====−−−−====−−−−====−−−−====

0015,0100010012

1030

)p()p()p(a

)z(bK

321n

1m ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅====

−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−⋅⋅⋅⋅====


Esprimo poi la f.d.t. nella forma canonica:

−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−−−−−

−−−−−−−−

⋅⋅⋅⋅====

1000

s1

100

s1

1

s1

10

s1

0015,0)s(H

Cui corrisponde, la funzione di risposta armonica:

−−−−

ωωωω−−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−

ωωωω−−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−


−−−−


⋅⋅⋅⋅====

1000

j1

100

j1

1

j1

10

j1

0015,0)s(H


Si individuano poi i seguenti tipi fondamentali di funzioni elencati per valore di pulsazione d’angolo crescente:

−−−−


⇒⇒⇒⇒

−−−−


⇒⇒⇒⇒

−−−−

ωωωω−−−−⇒⇒⇒⇒

−−−−


⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒

1000

j1

1e

100

j1

1d

10

j1c

1

j1

1b0015,0a , , , ,

1 10 102 103 10-1

0

20

40

60

-20

-40

-56,5

ωωωω

Gdb(ω)ω)ω)ω)

) K=0,0015

1 10 102 103 10-1

0

90°

180°

ωωωω

ΦΦΦΦ(ωωωω)

-180°

-90°

K=0,0015

Per ciascuno dei tipi fondamentali ho i corrispondenti diagrammi di Bode:


1 10 102 103 10-1

0

20

40

60

-20

-40

-60

ωωωω

Gdb(ω)ω)ω)ω)

)

1 10 102 103 10-1

0

90°

180°

ωωωω

ΦΦΦΦ(ωωωω)

-180°

-90°

-1

ωωωωA ωωωωA

p1 = -1 p1 = -1

1 10 102 103 10 -1

0

20

40

60

-20

-40

-60

ωωωω

G db(ω )ω )ω )ω )

)

1 10 102 103 10 -1

0

90°

180°

ωωωω


-180°

-90°

+1

ωωωω A ωωωω A

z1 = -10 z1 = -10


1 10 102 103 10-1

0

20

40

60

-20

-40

-60

ωωωω

Gdb(ω)ω)ω)ω)

)

1 10 102 103 10-1

0

90°

180°

ωωωω

ΦΦΦΦ(ωωωω)

-180°

-90°

-1

ωωωωA ωωωωA

p2 = -100 p2 = -100

1 10 102 103 10-1

0

20

40

60

-20

-40

-60

ωωωω

Gdb(ω)ω)ω)ω)

)

1 10 102 103 10-1

0

90°

180°

ωωωω

ΦΦΦΦ(ωωωω)

-180°

-90° -1

ωωωωA ωωωωA

p3 = -1000 p3 = -1000


Componendo i singoli contributi si ottiene il diagramma asintotico complessivo dei guadagni:

-1

-1

-2


Per quanto riguarda il diagramma reale complessivo degli sfasamenti si ha:


Per quanto riguarda il diagramma reale complessivo dei guadagni si ha:


Criterio di esecuzione dei diagrammi di Nyquist

Abbiamo visto come la risposta in frequenza di un sistema sia rappresentabile sotto forma grafica, oltre che con i diagrammi di Bode, anche con il diagramma di Nyquist altrimenti detto diagramma polare……..


2)(s1)(s

5)(sG(s)

+⋅+

+=

Si supponga di voler tracciare il digramma dei moduli e delle fasi della funzione seguente:

Funz di trasferimento - webalice.it Elettrici Automatici/Funz_di... · Considerata l’ampia...

Documents

Transcript of Funz di trasferimento - webalice.it Elettrici Automatici/Funz_di... · Considerata l’ampia...