Costruzioni geometriche: perche gli origamibattono la riga ed il compasso.

Francesco Veneziano

5 agosto 2008

I problemi classici della geometria euclidea

Quadratura del cerchio

Costruire un quadrato avente la stessa area di un cerchio assegnato.

Trisezione dell’angolo

Costruire un angolo avente ampiezza pari ad un terzo di quella diun angolo assegnato.

Duplicazione del cubo

Costruire un cubo avente volume doppio di quello di un cuboassegnato.

Costruzione dei poligoni regolari

Costruire tutti i poligoni regolari.

I problemi classici della geometria euclidea

Quadratura del cerchio

Costruire un quadrato avente la stessa area di un cerchio assegnato.

Trisezione dell’angolo

Costruire un angolo avente ampiezza pari ad un terzo di quella diun angolo assegnato.

Duplicazione del cubo

Costruire un cubo avente volume doppio di quello di un cuboassegnato.

Costruzione dei poligoni regolari

Costruire tutti i poligoni regolari.

I problemi classici della geometria euclidea

Quadratura del cerchio

Costruire un quadrato avente la stessa area di un cerchio assegnato.

Trisezione dell’angolo

Costruire un angolo avente ampiezza pari ad un terzo di quella diun angolo assegnato.

Duplicazione del cubo

Costruire un cubo avente volume doppio di quello di un cuboassegnato.

Costruzione dei poligoni regolari

Costruire tutti i poligoni regolari.

I problemi classici della geometria euclidea

Quadratura del cerchio

Costruire un quadrato avente la stessa area di un cerchio assegnato.

Trisezione dell’angolo

Costruire un angolo avente ampiezza pari ad un terzo di quella diun angolo assegnato.

Duplicazione del cubo

Costruire un cubo avente volume doppio di quello di un cuboassegnato.

Costruzione dei poligoni regolari

Costruire tutti i poligoni regolari.

Le regole del gioco

Il primo matematico a considerare valide solo le costruzioni conriga e compasso fu Oenopide (500-450 a.C.).

• Dati due punti possiamo tracciare la retta che li congiunge.

• Dati due punti possiamo tracciare la circonferenza che hacentro in uno di essi e passa per il secondo.

• Date due rette possiamo trovare la loro intersezione.

• Data una retta e una circonferenza possiamo trovare le lorointersezioni

• Date due circonferenze possiamo trovare le loro intersezioni.

La riga di Euclide non e graduata.Il compasso di Euclide non conserva le distanze tra un utilizzo ed ilsuccessivo.

Le regole del gioco

Il primo matematico a considerare valide solo le costruzioni conriga e compasso fu Oenopide (500-450 a.C.).

• Dati due punti possiamo tracciare la retta che li congiunge.

• Dati due punti possiamo tracciare la circonferenza che hacentro in uno di essi e passa per il secondo.

• Date due rette possiamo trovare la loro intersezione.

• Data una retta e una circonferenza possiamo trovare le lorointersezioni

• Date due circonferenze possiamo trovare le loro intersezioni.

La riga di Euclide non e graduata.Il compasso di Euclide non conserva le distanze tra un utilizzo ed ilsuccessivo.

Le regole del gioco

Il primo matematico a considerare valide solo le costruzioni conriga e compasso fu Oenopide (500-450 a.C.).

• Dati due punti possiamo tracciare la retta che li congiunge.

• Dati due punti possiamo tracciare la circonferenza che hacentro in uno di essi e passa per il secondo.

• Date due rette possiamo trovare la loro intersezione.

• Data una retta e una circonferenza possiamo trovare le lorointersezioni

• Date due circonferenze possiamo trovare le loro intersezioni.

La riga di Euclide non e graduata.Il compasso di Euclide non conserva le distanze tra un utilizzo ed ilsuccessivo.

Diversi punti di vista

Per i greci la geometria era la “vera” matematica, e l’aritmetica erainterpretata in senso geometrico.

Noi vogliamo impiegare l’algebra per investigare la geometria.

Diversi punti di vista

Per i greci la geometria era la “vera” matematica, e l’aritmetica erainterpretata in senso geometrico.

Noi vogliamo impiegare l’algebra per investigare la geometria.

Punti costruibili e numeri costruibili

Un punto e costruibile se e ottenibile a partire da un segmentounitario con un numero finito di passi euclidei.

Un numero reale e costruibile se e ascissa di un punto costruibile.

C = {x ∈ R | il punto (x , 0) e costruibile}

Il punto (a, b) e costruibile ⇔ a, b ∈ C

Punti costruibili e numeri costruibili

Un punto e costruibile se e ottenibile a partire da un segmentounitario con un numero finito di passi euclidei.

Un numero reale e costruibile se e ascissa di un punto costruibile.

C = {x ∈ R | il punto (x , 0) e costruibile}

Il punto (a, b) e costruibile ⇔ a, b ∈ C

Punti costruibili e numeri costruibili

Un punto e costruibile se e ottenibile a partire da un segmentounitario con un numero finito di passi euclidei.

Un numero reale e costruibile se e ascissa di un punto costruibile.

C = {x ∈ R | il punto (x , 0) e costruibile}

Il punto (a, b) e costruibile ⇔ a, b ∈ C

Punti costruibili e numeri costruibili

Un punto e costruibile se e ottenibile a partire da un segmentounitario con un numero finito di passi euclidei.

Un numero reale e costruibile se e ascissa di un punto costruibile.

C = {x ∈ R | il punto (x , 0) e costruibile}

Il punto (a, b) e costruibile ⇔ a, b ∈ C

Le proprieta algebriche dei punti costruibili

• 0 ∈ C

• x ∈ C ⇒ −x ∈ C

• x , y ∈ C ⇒ x + y ∈ C

• 1 ∈ C

• x ∈ C , x 6= 0⇒ 1x ∈ C

• x , y ∈ C ⇒ xy ∈ C

• x ∈ C ⇒√

x ∈ C

Le proprieta algebriche dei punti costruibili

• 0 ∈ C

• x ∈ C ⇒ −x ∈ C

• x , y ∈ C ⇒ x + y ∈ C

• 1 ∈ C

• x ∈ C , x 6= 0⇒ 1x ∈ C

• x , y ∈ C ⇒ xy ∈ C

• x ∈ C ⇒√

x ∈ C

Le proprieta algebriche dei punti costruibili

• 0 ∈ C

• x ∈ C ⇒ −x ∈ C

• x , y ∈ C ⇒ x + y ∈ C

• 1 ∈ C

• x ∈ C , x 6= 0⇒ 1x ∈ C

• x , y ∈ C ⇒ xy ∈ C

• x ∈ C ⇒√

x ∈ C

Moltiplicazione

Inverso

Radice quadrata

Non c’e altro

Retta per i punti (x1, y1) e (x2, y2)

(x − x1)(y2 − y1) = (y − y1)(x2 − x1)

Circonferenza con centro in (x1, y1) e raggio r

(x − x1)2 + (y − y1)2 = r2

Intersezione delle rette A1x + B1y + C1 = 0 e A2x + B2y + C2 = 0(C2B1 − C1B2

A1B2 − A2B1,A2C1 − A1C2

A1B2 − A2B1

)

Non c’e altro

Retta per i punti (x1, y1) e (x2, y2)

(x − x1)(y2 − y1) = (y − y1)(x2 − x1)

Circonferenza con centro in (x1, y1) e raggio r

(x − x1)2 + (y − y1)2 = r2

Intersezione delle rette A1x + B1y + C1 = 0 e A2x + B2y + C2 = 0(C2B1 − C1B2

A1B2 − A2B1,A2C1 − A1C2

A1B2 − A2B1

)

Non c’e altro

Retta per i punti (x1, y1) e (x2, y2)

(x − x1)(y2 − y1) = (y − y1)(x2 − x1)

Circonferenza con centro in (x1, y1) e raggio r

(x − x1)2 + (y − y1)2 = r2

Intersezione delle rette A1x + B1y + C1 = 0 e A2x + B2y + C2 = 0(C2B1 − C1B2

A1B2 − A2B1,A2C1 − A1C2

A1B2 − A2B1

)

Non c’e altro

Intersezioni della retta Ax + By + C = 0 e della circonferenza(x − x1)2 + (y − y1)2 = r2(

B2x1 − ABy1 − AC ± B√

∆

A2 + B2,A2y1 − ABx1 − BC ∓ A

√∆

A2 + B2

)∆ = r2(A2 + B2)− (Ax1 + By1 + C )2

Non c’e altro

Intersezioni delle circonferenze (x − x1)2 + (y − y1)2 = r21 e

(x − x2)2 + (y − y2)2 = r22(

−(x1 − x2)(r21 − r2

2 − x21 + x2

2 ) + (x1 + x2)(y1 − y2)2 ± (y1 − y2)√

∆

2(x1 − x2)2 + 2(y1 − y2)2,

−(y1 − y2)(r21 − r2

2 − y21 + y2

2 ) + (y1 + y2)(x1 − x2)2 ∓ (x1 − x2)√

∆

2(x1 − x2)2 + 2(y1 − y2)2

)∆ = −[(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 − (r1 − r2)2][(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 − (r1 + r2)2]

x ∈ C ⇔ x si puo scrivere usando i numeri razionali, le quattrooperazioni e la radice quadrata

Non c’e altro

Intersezioni delle circonferenze (x − x1)2 + (y − y1)2 = r21 e

(x − x2)2 + (y − y2)2 = r22(

−(x1 − x2)(r21 − r2

2 − x21 + x2

2 ) + (x1 + x2)(y1 − y2)2 ± (y1 − y2)√

∆

2(x1 − x2)2 + 2(y1 − y2)2,

−(y1 − y2)(r21 − r2

2 − y21 + y2

2 ) + (y1 + y2)(x1 − x2)2 ∓ (x1 − x2)√

∆

2(x1 − x2)2 + 2(y1 − y2)2

)∆ = −[(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 − (r1 − r2)2][(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 − (r1 + r2)2]

x ∈ C ⇔ x si puo scrivere usando i numeri razionali, le quattrooperazioni e la radice quadrata

Una condizione necessaria

Diciamo che un numero e algebrico se e soluzione di un polinomioa coefficienti razionali.

x ∈ C ⇒ x e un numero algebrico

x =

√√2 +√

3

x2 =√

2 +√

3

x4 = 2 + 2√

6 + 3

(x4 − 5)2 = 24

x8 − 10x4 + 1 = 0

Una condizione necessaria

Diciamo che un numero e algebrico se e soluzione di un polinomioa coefficienti razionali.

x ∈ C ⇒ x e un numero algebrico

x =

√√2 +√

3

x2 =√

2 +√

3

x4 = 2 + 2√

6 + 3

(x4 − 5)2 = 24

x8 − 10x4 + 1 = 0

Una condizione necessaria

Diciamo che un numero e algebrico se e soluzione di un polinomioa coefficienti razionali.

x ∈ C ⇒ x e un numero algebrico

x =

√√2 +√

3

x2 =√

2 +√

3

x4 = 2 + 2√

6 + 3

(x4 − 5)2 = 24

x8 − 10x4 + 1 = 0

La quadratura del cerchio e impossibile

Il problema della quadratura del cerchio e risolvibile ⇔√π ∈ C

π e trascendente (Lindemann, 1882)

La quadratura del cerchio e impossibile

Il problema della quadratura del cerchio e risolvibile ⇔√π ∈ C

π e trascendente (Lindemann, 1882)

Il grado di un campo

Q(√

2) = {a + b√

2 | a, b ∈ Q}Q(√

2,√

3) = {a + b√

2 + c√

3 + d√

6 | a, b, c , d ∈ Q} ={a + b

√3 | a, b ∈ Q(

√2)}

Se F ⊇ K sono campi, il grado di F su K ([F : K ]) e “il minimonumero di paramentri” in K necessari per descrivere un elemento

di F (la dimensione di F come spazio vettoriale su K )

Se F ⊇ K ⊇ E allora [F : K ] · [K : E ] = [F : E ]

Il grado di un numero algebrico

Il grado di un numero algebrico α e il grado del polinomio di gradominimo di cui α e radice.

Se α e un numero algebrico di grado d ,Q(α) = {a0 + a1α + a2α

2 + · · ·+ ad−1αd−1 | a0, . . . , ad−1 ∈ Q} e

un campo, e [Q(α) : Q] = d

Un’altra condizione necessaria

x ∈ C ⇒ il grado del polinomio minimo di x e una potenza di 2.

La duplicazione del cubo e impossibile

Il problema della duplicazione del cubo e risolvibile ⇔ 3√

2 ∈ C

Il polinomio minimo di 3√

2 e x3 − 2

Il grado di 3√

2 e 3

La duplicazione del cubo e impossibile

Il problema della duplicazione del cubo e risolvibile ⇔ 3√

2 ∈ C

Il polinomio minimo di 3√

2 e x3 − 2

Il grado di 3√

2 e 3

La duplicazione del cubo e impossibile

Il problema della duplicazione del cubo e risolvibile ⇔ 3√

2 ∈ C

Il polinomio minimo di 3√

2 e x3 − 2

Il grado di 3√

2 e 3

Un nuovo poligono regolare

Il poligono regolare con n lati e costruibile ⇔ l’angolo 2πn e

costruibile

Un angolo θ e costruibile ⇔ cos θ e costruibile

cos 2π3 = −1

2

cos 2π5 =

√5−14

cos 2π17 = − 1

16 +√

1716 + 1

16

√34− 2

√17 +

18

√17 + 3

√17−

√34− 2

√17− 2

√34 + 2

√17 (Gauss, 1796)

Qual e il grado di cos 2πn ?

Un nuovo poligono regolare

Il poligono regolare con n lati e costruibile ⇔ l’angolo 2πn e

costruibileUn angolo θ e costruibile ⇔ cos θ e costruibile

cos 2π3 = −1

2

cos 2π5 =

√5−14

cos 2π17 = − 1

16 +√

1716 + 1

16

√34− 2

√17 +

18

√17 + 3

√17−

√34− 2

√17− 2

√34 + 2

√17 (Gauss, 1796)

Qual e il grado di cos 2πn ?

Un nuovo poligono regolare

Il poligono regolare con n lati e costruibile ⇔ l’angolo 2πn e

costruibileUn angolo θ e costruibile ⇔ cos θ e costruibile

cos 2π3 = −1

2

cos 2π5 =

√5−14

cos 2π17 = − 1

16 +√

1716 + 1

16

√34− 2

√17 +

18

√17 + 3

√17−

√34− 2

√17− 2

√34 + 2

√17 (Gauss, 1796)

Qual e il grado di cos 2πn ?

Un nuovo poligono regolare

Il poligono regolare con n lati e costruibile ⇔ l’angolo 2πn e

costruibileUn angolo θ e costruibile ⇔ cos θ e costruibile

cos 2π3 = −1

2

cos 2π5 =

√5−14

cos 2π17 = − 1

16 +√

1716 + 1

16

√34− 2

√17 +

18

√17 + 3

√17−

√34− 2

√17− 2

√34 + 2

√17 (Gauss, 1796)

Qual e il grado di cos 2πn ?

Un nuovo poligono regolare

Il poligono regolare con n lati e costruibile ⇔ l’angolo 2πn e

costruibileUn angolo θ e costruibile ⇔ cos θ e costruibile

cos 2π3 = −1

2

cos 2π5 =

√5−14

cos 2π17 = − 1

16 +√

1716 + 1

16

√34− 2

√17 +

18

√17 + 3

√17−

√34− 2

√17− 2

√34 + 2

√17 (Gauss, 1796)

Qual e il grado di cos 2πn ?

I primi di Fermat

cos 2πn ha grado ϕ(n) = |{1 ≤ k ≤ n | k ed n sono coprimi}|

L’n-agono regolare e costruibile ⇔ n = 2kp1, . . . , pr dovep1, . . . , pr sono numeri primi distinti della forma p = 2j + 1

2j + 1 e primo ⇒ j = 2h

Gli unici numeri primi di questa forma noti sono 3, 5, 17, 257,65537

I primi di Fermat

cos 2πn ha grado ϕ(n) = |{1 ≤ k ≤ n | k ed n sono coprimi}|

L’n-agono regolare e costruibile ⇔ n = 2kp1, . . . , pr dovep1, . . . , pr sono numeri primi distinti della forma p = 2j + 1

2j + 1 e primo ⇒ j = 2h

Gli unici numeri primi di questa forma noti sono 3, 5, 17, 257,65537

I primi di Fermat

cos 2πn ha grado ϕ(n) = |{1 ≤ k ≤ n | k ed n sono coprimi}|

L’n-agono regolare e costruibile ⇔ n = 2kp1, . . . , pr dovep1, . . . , pr sono numeri primi distinti della forma p = 2j + 1

2j + 1 e primo ⇒ j = 2h

Gli unici numeri primi di questa forma noti sono 3, 5, 17, 257,65537

La trisezione dell’angolo

cos(3θ) = 4 cos3 θ − 3 cos θ

L’angolo α e trisecabile ⇔ e possibile esprimere le soluzionidell’equazione cosα = 4x3 − 3x usando solo il numero cosα, inumeri razionali, le quattro operazioni e la radice quadrata.

Alcuni angoli si possono trisecare, ma l’angolo “generico” no.

La trisezione dell’angolo

cos(3θ) = 4 cos3 θ − 3 cos θ

L’angolo α e trisecabile ⇔ e possibile esprimere le soluzionidell’equazione cosα = 4x3 − 3x usando solo il numero cosα, inumeri razionali, le quattro operazioni e la radice quadrata.

Alcuni angoli si possono trisecare, ma l’angolo “generico” no.

La trisezione dell’angolo

cos(3θ) = 4 cos3 θ − 3 cos θ

L’angolo α e trisecabile ⇔ e possibile esprimere le soluzionidell’equazione cosα = 4x3 − 3x usando solo il numero cosα, inumeri razionali, le quattro operazioni e la radice quadrata.

Alcuni angoli si possono trisecare, ma l’angolo “generico” no.

Senza mani!

Teorema di Poncelet-Steiner

Ogni costruzione eseguibile con riga e compasso si puo eseguire conla sola riga, purche sia dato anche un cerchio col suo centro.

Data una circonferenza non e possibile trovare il suo centro con lasola riga.

Teorema di Mohr–Mascheroni

Ogni costruzione eseguibile con riga e compasso si puo eseguire colsolo compasso.

Senza mani!

Teorema di Poncelet-Steiner

Ogni costruzione eseguibile con riga e compasso si puo eseguire conla sola riga, purche sia dato anche un cerchio col suo centro.

Data una circonferenza non e possibile trovare il suo centro con lasola riga.

Teorema di Mohr–Mascheroni

Ogni costruzione eseguibile con riga e compasso si puo eseguire colsolo compasso.

Trisezione col metodo di Archimede

Si usa una riga graduata

Gli assiomi degli origami

1. Dati due punti p1 e p2 esiste un’unica piega che passa perentrambi.

2. Dati due punti p1 e p2 esiste un’unica piega che porta p1 in p2

Gli assiomi degli origami

3 Date due linee l1 e l2 esiste una piega che porta l1 in l2

4 Dato un punto p1 e una linea l1 esiste un’unica piegaperpendicolare a l1 passante per p1

Gli assiomi degli origami5 Dati due punti p1 e p2 e una linea l1 esiste una piega che

porta p1 su l1 e passa per p2

7 Dato un punto p1 e due linee l1 e l2 esiste una piega che portap1 su l1 ed e perpendicolare a l2

Gli assiomi degli origami

6 Dati due punti p1 e p2 e due linee l1 e l2 esiste una piega cheporta p1 su l1 e p2 su l2

Questo assioma non e eseguibile con riga e compasso.

E equivalente a trovare la retta tangente simultaneamente a dueparabole.

E equivalente alla soluzione delle equazioni di terzo grado.

Trisezione con gli origami

Trisezione con gli origami

Trisezione con gli origami

Tutti i triangoli sono isosceli

Tutti i triangoli sono isosceli