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Congettura generale sulle possibili infinite

funzioni zeta , compresa quella di Riemann

Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero Abstract In this paper we show our possible generalizations of zeta functions to other numeric series, but with critical line = in all the possible cases. Riassunto In questo lavoro proponiamo una nostra congettura, che chiameremo provvisoriamente zeta generalizzata, fino alla sua completa dimostrazione e trasformazione nellomonimo teorema. La generalizzazione consiste nella sostituzione dei numeri primi della zeta di Riemann, con altre serie numeriche

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simili. Esporremo i motivi per cui in tutte le generalizzazioni la retta critica sempre , poich, ipotizziamo, sarebbe la struttura della formula della funzione zeta a dare sempre gli zeri sulla retta critica, indipendentemente dalla serie numerica a denominatore. Per esempio, sostituendo le potenze complesse dei numeri primi 1/ p^s con i le potenze complesse 1/3n^s, avremmo sempre gli zeri coniugati sulla retta critica . Introduzione Nel nostro precedente lavoro (Rif. 1, I tre problemi del Millennio con in comune i numeri primi), abbiamo accennato a questa nostra congettura nella prima parte, dedicata allipotesi di Riemann. Qui vogliamo approfondirla ancora meglio, gettando possibilmente le basi per una sua successiva dimostrazione, ottenendone un teorema parzialmente o totalmente utile ad una successiva o immediata dimostrazione della RH come caso particolarissimo ( basato sui numeri primi) Possibilmente, con laiuto di matematici in grado di calcolare

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gli zeri di ogni variante, da tali zeri che prevediamo sulla retta critica, potremmo trarne delle conclusioni utili circa la RH , con la funzione zeta pi famosa della matematica. Testo La nostra congettura si basa sullosservazione, accennata in Rif. 1, che la media aritmetica degli gli zeri coniugati di ogni funzione zeta generalizzata ad altre serie di numeri al denominatore sia sempre , per la struttura stessa della formula della funzione zeta, indipendentemente dalla serie di numeri considerata. Facciamo un piccolo esempio generico su uno zero di zeta: + bi; facciamo la media aritmetica in questo modo + bi + - bi = 1 = somma dei due zeri coniugati 1/2 = = media aritmetica di due zeri coniugati uguale per tutti gli zeri coniugati, che pertanto sono tutti sulla retta critica (dove la funzione zeta si annulla).

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Da qui, in breve, la nostra congettura: qualsiasi funzione zeta con formula simile alla funzione zeta di Riemann e con qualsiasi serie numerica a denominatore, si annulla nella media aritmetica tra due zeri coniugati della funzione, e quindi tutti gli zeri della medesima giacciono sulla retta critica. Conseguenza: se si modifica la formula mettendo a numeratore 2 invece di 1, la media aritmetica tra due suoi zeri coniugati, troveremmo che la media aritmetica sarebbe ora 1, e la striscia critica sarebbe tra compresa tra 0 e 2 (con media 1), questo si potrebbe dimostrare modificando la formula della funzione zeta mettendo 2 al posto degli 1 a numeratore, e calcolandone i nuovi zeri , e vedere cosa succede circa la retta critica, confermando o confutando la nostra congettura. Anche questa prova di calcolo sperimentale si pu fare sia con la serie dei numeri primi sia con altre serie , per es. la serie da noi proposta delle potenze complesse dei multipli di 3 a denominatore, e cio 3n^s con s numero complesso, ora invece

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con 2/3n^s, con il possibile risultato che ora la retta critica con tutti gli zeri di tale funzione sarebbe 1. La media ora sarebbe, se la nostra congettura fosse esatta, in questo modo 1 + bi come generico zero di zeta cos modificata 1 + bi + 1 - bi = 2 = somma dei due zeri coniugati 2 /2 = 1 = media aritmetica di due zeri coniugati Poich finora si fatto molto poco in tal senso, cio provando con altre serie numeriche ( numeri fortunati e numeri di Fibonacci vedi Rif. 2, 3, e 5), occorrono altri futuri lavori che chiederemo ad alcuni matematici in grado di prepararli, e che infine vedremo nella seconda parte , in caso di buoni risultati.

In questa seconda parte ricordiamo e definiamo meglio la nostra congettura e consideriamo nuovi calcoli a sostegno .

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CONGETTURA: La parte reale si ha solo quando p e z numero complesso di p^z a denominatore (1/ p^z e 1 - 1/ p^z sono uguali , come nel caso della funzione zeta di Riemann. Se invece sono diversi, la parte reale diversa. Facciamo qualche esempio con z numeri interi, non numero complessi (non cambierebbe nulla, poich i numeri naturali sono di forma z + 0i =z +0 = z Se poniamo p = 5 p =7, ed esponente z = intero 2, e cio numeri primi diversi , 5 e 7 ma uguale esponente 2, abbiamo:

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1/p^2 = 1/ 5^2 = 1/25 = 0,004 1/p^2 = 1/7^2 = 1/49 = 0,020 1 0,020 = 0,98 Media aritmetica (0,004 + 0,98)/2 = 0,984/2 = 0,492 < 0, 5 diverso ma non molto da parte reale 0,5 poich i numeri primi 5 e 7 sono vicini. Quindi, considerando due numeri primi p e p e non soltanto p, la parte reale si discosta da 0,5 della normale funzione zeta, dove p unico Se invece consideriamo un solo p e due esponenti diversi, abbiamo: p = 5 z = 2 e z = 3 1/p^2 = 1/ 5^2 = 1/25 = 0,004 1/5^3 = 1/125 = 0,008 1 - 0,008 = 0,992

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Media = (0,004 + 0,992)/2 = 0,996/2 = 0,498 < 0,5 idem come sopra dellesempio precedente. Lo stesso accade se sia p e p diversi (5 e 7), sia potenze z e z diverse (2 e 3) 1/p^2 = 1/ 5^2 = 1/25 = 0,004 1/p^3 = 1/7^3 = 1/343 = 0,0029 Medie tra i due nuovi valori 0,004 e 0,0029 (0,004 + 0,0029)/2 = 0,0069/2 = 0,00345 < 0,5 Conclusione La nostra conclusione provvisoria, da controllare con ulteriori esempi , la seguente : la parte reale degli zeri di una funzione zeta 0,5 se e solo se si considerano un solo numero primo (o non primo) p ed un solo esponente z sia per 1/p^z sia per 1 -1/p^z. In caso contrario ( p e p diversi, z e z

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diversi e z diversi) la parte reale diversa da 0,5, in misura che dipende dalla differenza p p e z z Proviamo ora con un numero p non primo per es. 6, ed esponente 3 1/6^3 = 1/216 = 0, 004629 1- 1/6^3 = 1 - 0, 004629 = 0,995371 Media (0, 004629 + 0,995371)/2 = = 0,5 La nostra congettura confermata: la parte reale se e solo se p (primo o no) unico e lesponente anchesso unico (reale o complesso) nei termini della funzione zeta 1/p^z e 1 -1/p^z. Tale funzione si annulla in corrispondenza di = 0,5 parte reale, indipendentemente se p sia primo (come nella funzione zeta di Riemann) o no (in possibili funzioni zeta in cui p non sia primo, per esempio multipli di 3, ecc. ).

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La cosa pi importante quindi non nei numeri primi, (uno dei casi possibili di serie numeriche che riguardano la funzione) ma lunicit di p e di z, interi posit ivi o complessi che fossero. Sarebbe come nella congettura di Goldbach, dove due coppie di numeri primi hanno la stessa somma N pari se e solo se q = N p , in modo tale che q + p = N, e la media (p + q)/2 = s semisomma = N/2. Se nellelenco delle coppie di Goldbach per un numero pari N, si aggiungono due numeri primi p e q vicini ma diversi da p e q che non rispettano la regola q = N p, allora la media diversa dalla semisomma s=N/2, ma darebbero una semisomma (p+ q)/2 = s diversa da s. La differenza con la funzione zeta che qui N =1 e i due numeri minori a somma 1, e quindi la media di tali due

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numeri , perch , con p e z unici, la regola chiave generale q = N p rispettata, ed unica sia per numeri pari maggior di 4 per la congettura di Goldbach, sia per numeri minori di 1, come nella funzione zeta. Solo tale regola permette una media (parte reale1/2 per la funzione zeta, e semisomma s = N/2 per la congettura di Goldbach). Questa ora stata dimostrata, e quindi potrebbe dare in questo modo il suo valido aiuto alla funzione zeta e quindi allipotesi di Riemann tramite la relazione 1/2 ed N/2 . Invitiamo i matematici in grado di fare questi calcoli a provarci, e in caso positivo anche di informarci, per poterli riportare in un nostro eventuale futuro lavoro sulla nostra congettura qui esposta, e utile per compiere passi avanti verso una possibile dimostrazione dellipotesi di Riemann anche per questa via.

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Nota 1 Dal lavoro: A Proof of the Riemann Hypothesis I Louis de Branges Dec 2014 Faremo vedere come alcune formule di tale lavoro, possono essere connesse con i modi inerenti le vibrazioni delle stringhe bosoniche, quindi con il numero 24. Anche in tale caso possiamo, quindi, rilevare la connessione tra una fondamentale formula della teoria di stringa bosonica e la funzione zeta di Riemann, quindi con il mondo degli zeri della funzione zeta e dei numeri primi.

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Come vediamo a pag.88 abbiamo la seguente equazione: ( ) ( ) -+-+ = xxxxxx dgdf

22.1,24 (1)

che possiamo riscrivere, in base alla seguente funzione modulare di Ramanujan:

( )

++

+

=

-

-

42710

421110

log

142

coshcos

log4

24

2

4

0

2

2

wtitwe

dxex

txw

anti

w

wt

wx

f

pp

p

p

, (2)

anche come segue:

( )

++

+

-

-

42710

421110

log

142

coshcos

log4 2

4

0

2

2

wtitwe

dxex

txw

anti

w

wt

wx

f

pp

p

p

( ) ( ) -+-+ = xxxxxx dgdf22

.1, (3)

A pag. 90 compare la seguente identit: ( ) ( ) ( ) ---+ -= xxxxx g dfnpdf

2222 1,24 , (4) che per la (2), pu anche scriversi come segue:

( )

++

+

-

-

42710

421110

log

142

coshcos

log4 2

4

0

2

2

wtitwe

dxex

txw

anti

w

wt

wx

f

pp

p

p

( ) ( ) ( ) ---+ -= xxxxx g dfnpdf2222 1, , (5)

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A pag. 92, infine, abbiamo la seguente disuguaglianza: ( ) ( ) ( ) - xxxx g dfndf

2222 124 , (6) che, sempre per la (2) pu anche scriversi come segue:

( )

2

2

4

0

)

42710

421110

log

142

coshcos

log4

(

2

2

++

+

-

-wt

itwe

dxex

txw

anti

w

wt

wx

f

pp

p

p

( ) ( ) - xxxx g dfndf222 1 . (7)

Da questo notiamo come le suddette equazioni, inerenti la zeta di Riemann possono essere connesse con il 24, numero fondamentale nelle teorie di stringa bosonica. Riferimenti (tutti sul nostro sito, salvo diversa indicazione) 1) - I TRE PROBLEMI DEL MILLENNIO CON IN COMUNE I NUMERI PRIMI - (Ipotesi di Riemann, Congettura di Birch e Swinnerton Dyer, P = NP , limitatamente alla sola fattorizzazione veloce) Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco Roggero 2) La zeta s(fortunata)

domenica 13 novembre 2011

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Zeta (s)fortunata

(link mathbuildingblock.blogspot.com/2011/11/zeta-sfortunata.html

I numeri fortunati (Lucky Numbers) in Teoria dei nu meri sono quei numeri naturali che discendono dal setaccio di Ulam. Diversi studi hanno evidenziato molte somiglianze di essi con i numeri primi: lesistenza di un teorema analogo al teorema dei numeri primi, la densit, la RH, la GRH, Goldbach etc. A tal proposito si provato a definire una nuova zeta, la zeta fortunata e a studiarla. Un articolo a tal proposito al link: http://www.scribd.com/doc/72528163/Zeta-s-fortunata Pubblicato da Block Notes Matematico a 02:37 Reazioni:

Al quale rimandiamo, sebbene non siano emersi risultati eventualmente utili per la nostra congettura, ma che potrebbero emergere con altre serie numeriche al posto della serie dei numeri primi. 3) I numeri fortunati e le analogie con i numeri primi (numeri gemelli fortunati, congettura di Goldbach, numeri di Lie, probabile funzione zeta) Francesco Di Noto , Michele Nardelli 4) Connessioni tra i numeri fortunati con i triangoli numerici di numeri naturali, i numeri dispari e numeri pari, e con il triangolo di Tartaglia ed i numeri

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triangolari Francesco Di Noto, Michele Nardelli

5) La zeta di Fibonacci - Scribd

it.scribd.com/doc/46394380/La-zeta-di-Fibonacci 06/gen/2011 - Questo articolo esamina la zeta di Fibonacci by rosario_turco in Types

sabato 23 gennaio 2010

La zeta di Fibonacci

La zeta di Fibonacci Fra le serie di grosso interesse non c solo la zeta di Riemann. In realt possibile studiare qualsiasi serie inverso di determinati valori numerici generabili con una formula. Se i valori generabili sono i numeri di Fibonacci, allora traslando il tutto nel piano complesso, possiamo lavorare con la zeta di Fibonacci, definita come: F(s) = suminf(k=1, 1.0/(fibonacci(k)^s)) Tale serie di interesse sia per indagare nuovi metodi, sia per la sua somiglianza alla zeta di Riemann. Essa oggi studiata soprattutto nel mondo orientale; ed difficile trovare su INTERNET materiale e informazioni su tale argomento, se non su libri da acquistare o su articoli tecnici riservati e a pagamento. Un articolo libero per farvi rendere conto della problematica al link: http://www.gruppoeratostene.com/articoli/ZFRT.pdf

6) Sulle possibili relazioni matematiche tra Funzione zeta di Riemann, Numeri Primi, Serie di Fibonacci, Partizioni e Teoria di Stringa Michele Nardelli, Francesco Di Noto e Annarita Tulumello

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