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Forze apparenti e vasi comunicanti

Proposta di esperimento a Mirabilandia sulla giostra Carousel

Classi seconde del Liceo scientifico "G. B. Benedetti", Venezia

Insegnanti di riferimento: Giorgio Ravagnan, Angelo Vianello

Premessa ispiratrice: il caso di un carrello in moto rettilineo uniformemente accelerato Avevamo già visto, in precedenza, su una raccolta di materiali dell'A.I.F.1 la proposta, che qui riportiamo analizzata e commentata, di misurare accelerazioni, nel caso di sistemi in moto rettilineo uniformemente accelerato, tramite la rilevazione di dislivelli di liquido in vasi comunicanti opportunamente disposti. I vasi comunicanti rappresentati in fig. 1 sono posti su di un carrello mobile. Il tubo di comunicazione è disposto secondo la direzione di movimento.

fig. 1

Il carrello è in moto rettilineo uniformemente accelerato verso destra con accelerazione a (a > 0). La forza apparente F = m · (-a), di modulo F = m · a, spinge il liquido, contenuto nel tubo orizzontale di comunicazione di lunghezza L, verso sinistra e crea un dislivello h = h1 −−−− h2 (dove h1 e h2 sono le diverse altezze del liquido a partire dalla base dei vasi) tra le superfici superiori del liquido nei due vasi verticali comunicanti di uguale sezione S. La pressione P conseguente può essere individuata tramite la Legge di Stevino:

P = d · g · h.

La forza, che agisce nel tubo orizzontale, risulta essere F = m · a = d · VL · a = d · SL · L · a , dove SL è la sezione del tubo (non necessariamente SL = S) di comunicazione orizzontale tra i due vasi verticali. La pressione P può essere allora determinata anche direttamente nel tubo orizzontale:

P = aLdS

aLSd

S

F

L

L

L

⋅⋅=⋅⋅⋅

=

1 Colin Siddons, Experiments in Phisics, trad. it. di Paolo Violino per i Quaderni dell’AIF in: suppl. Quaderno 15 (aprile-maggio 2004), cap.6: Accelerazione, accelerazione lineare, p. 37-38.

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Tale pressione P si trasmette poi inalterata, per il Principio di Pascal, nel vaso verticale creando il dislivello e viene quindi a coincidere con il valore precedentemente calcolato. Quindi si ha che

d · g · h = d · L · a

α==→=g

aarctg

L

harctg

g

a

L

h

Cioè la pendenza dell'angolo α è data dal rapporto tra le due accelerazioni g

a.

La giostra del Carousel: il caso di un moto circolare uniforme

I vasi comunicanti sono posti sulla piattaforma girevole della giostra. Il tubo di comunicazione è disposto secondo la direzione del raggio.

La relazione g

a

L

h= , determinata nel caso precedente, rimane valida anche in questo caso e si

ottiene che

gL

ha ⋅=

dove a corrisponde all'accelerazione centrifuga media ca lungo la lunghezza L del tubo di comunicazione disposto lungo il raggio. Poiché l'accelerazione centrifuga ac è in modulo uguale all'accelerazione centripeta e direttamente

proporzionale al raggio r della piattaforma girevole (ac = ω2 · r) l'accelerazione media ca è data

dalla media aritmetica delle accelerazioni ac1 e ac2 relative rispettivamente all'inizio e fine del tubo orizzontale (considerato orientato dall'interno verso l'esterno della piattaforma).

2

4

2221

2

221221 rr

T

rraaa cc

c

+⋅=

+⋅=

+=

πω

La misurazione sperimentale di r1, r2 e T permette allora di calcolare, utilizzando la teoria del moto

circolare uniforme, il valore di ca e di confrontarlo con quello di a determinato tramite l'analisi della pressione e la misurazione sperimentale di h e L. Volendo il confronto potrebbe essere pensato finalizzato ad una determinazione sperimentale dell'accelerazione di gravità g senza l'osservazione di alcun moto di caduta. Osservazione 1 La determinazione del dislivello h (o equivalentemente dell'angolo α) nel caso del moto rettilineo può risultare problematica, data la difficile realizzazione di un'accelerazione costante per un tempo sufficiente per ottenere la non immediata stabilizzazione di livello del liquido nei vasi comunicanti. È per questo che abbiamo pensato di trasporre l'idea all'analisi di un moto circolare uniforme come quello che si può ritrovare in una tradizionale giostra come quella del Carousel. Nel caso della giostra infatti la regolarità del moto circolare uniforme permette una determinazione di

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livello (o di pressione) meno incerta, poiché la stabilizzazione è facilmente consentita durante la rotazione a regime della piattaforma. Osservazione 2 Si pongono invece delle necessità di particolare attenzione (misure indirette) per la determinazione dei raggi relativi a inizio e fine del tubo orizzontale, per la non raggiungibilità diretta del centro di rotazione della piattaforma. Osservazione 3

A livello teorico l'indicazione, che l'accelerazione centrifuga media sia calcolata tramite una media aritmetica, può essere proposta agli studenti di biennio, anziché in termini di proprietà delle proporzionalità dirette, proponendo in termini grafici la ricerca della forza (o accelerazione) costante che porta ad avere, passando dal raggio interno r1 a quello esterno r2, un lavoro identico (area del rettangolo RABFE) a quello che si avrebbe con la forza reale e variabile F = m · ω

2 · r (area

del trapezio TABCD).

fig. 2

la relazione ( ) ( )ABCDSABFES TR = si traduce in

( ) ( )2

12112 ⋅⋅⋅+⋅=⋅⋅=−⋅⋅ LamamLamrram

che porta ad ottenere

221 aa

a+

=⋅ .

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Realizzazione dell'esperimento

Prima della visita di studio con gli studenti delle nostre classi seconde a Mirabilandia, in cui abbiamo provato a realizzare l'esperimento sulla giostra Carousel, con alcuni studenti abbiamo ricercato a Venezia la presenza di una piccola giostra per bambini in un parco giochi.

Su questa giostra ci riproponevamo di verificare la fattibilità dell'esperimento e la stabilità o meno dei livelli del liquido, anche se, dato che la piattaforma veniva mantenuta in movimento a mano, il movimento non era molto regolare e risultava poco affidabile la determinazione del periodo. Inoltre le dimensioni ridotte della piattaforma rendevano difficoltoso posizionare i vasi comunicanti e rilevare i livelli del liquido.

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A Mirabilandia invece abbiamo operato nel seguente modo:

Determinazione dell'accelerazione centripeta secondo teoria cinematica: Abbiamo utilizzato come tubo di comunicazione un tubo flessibile di gomma, tenuto teso lungo la direzione radiale della giostra, di lunghezza L = 2000 mm. Come vasi abbiamo utilizzato due grosse siringhe tenute verticali da due basi pesanti con morsetti.

La giostra Carousel risulta composta di 14 settori circolari identici individuabili facilmente per la presenza sul bordo esterno di 14 pali verticali che collegano la piattaforma di base al tetto della giostra. Abbiamo misurato l'arco tra un palo e il palo contiguo sul bordo della giostra interno al primo scalino di accesso alla giostra: Larco = 2.24 m e inoltre abbiamo misurato la distanza d tra il bordo e il centro del palo: d = 11 cm.

Lcirconferenza = 14 · Larco = 14 · 2.24 m = 31.36 m.

rbordo = mmLcirconf 99.4

2

36.31

2==

ππ.

Abbiamo quindi posizionato il vaso esterno (r = r2 = rbordo − d = 4.88 m) al centro del palo e il vaso interno alla posizione r1 = r2 −−−− L = 4.88 m −−−− 2 m = 2.88 m. Abbiamo misurato il periodo T con un cronometro operando più misurazioni, a giostra stabilizzata a regime dopo almeno un giro completo dalla messa in moto. Si è ottenuto un tempo Tmedio = 33.0 s.

Con questi dati è stato possibile misurare l'accelerazione centripeta per 2

21 rrr

+= :

141.02

88.288.4

33

4

2

422

221

2

2

≅+

⋅=+

⋅=mm

s

rr

Tac

ππ.

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Determinazione dell'accelerazione centrifuga con utilizzo dei vasi comunicanti: Si è lasciato passare almeno un giro completo dalla messa in moto della giostra prima di iniziare a rilevare i dislivelli creati in ciascun vaso e si è poi continuato ad osservarli per controllare la stabilità di livello che a posteriori è risultata buona. Su ciascun vaso verticale (esterno e interno) il dislivello registrato, rispetto al valore di livello precedente alla messa in moto, è stato di 8 tacche della graduazione (distanza t tra una tacca e l'altra: t = 1.85 mm). Pertanto il dislivello h tra i livelli dei due vasi comunicanti è dato da:

( ) ( ) mmmmmmttaccheh 306.2985.18888 ≅=⋅+=⋅+= che consente di determinare

147.08.92000

302 =⋅=⋅=

s

m

mm

mmg

L

ha .

Confrontando tale valore con quello di ac si ottiene un errore in percentuale pari a:

%26.4100141.0

141.0147.0100

2

22

% ≅⋅

−

=⋅−

=

s

ms

m

s

m

a

aae

c

c .

Se consideriamo che la sensibilità (pari a 1 tacca) della misura comporta un errore (di sensibilità) relativo di 1/16 e pertanto del 6 %, possiamo considerare la misura compatibile con la sensibilità del sistema. Infine, per verificare la possibilità di rendere più maneggevole la strumentazione, abbiamo accorciato il tubo di gomma che collega i due cilindri verticali e ripetuto l'esperimento nelle nuove condizioni.

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In questa seconda conformazione risulta L = 780 mm.

Determinazione dell'accelerazione centripeta secondo teoria cinematica: Il vaso esterno è stato sempre posizionato al centro del palo (r = r2 = rbordo − d = 4.88 m) e il vaso interno di conseguenza risultava trovarsi alla posizione

r1 = r2 −−−− L = 4.88 m −−−− 0.78 m = 4.10 m.

Il periodo era sempre dato dal valore Tmedio = 33.0 s.

In questo caso l'accelerazione centripeta per 2

21 rrr

+= risulta:

222

221

2

2

/163.02

10.488.4

33

4

2

4sm

mm

s

rr

Tac ≅

+⋅=

+⋅=

ππ

Determinazione dell'accelerazione centrifuga con utilizzo dei vasi comunicanti:

Su ciascun vaso verticale (esterno e interno) il dislivello registrato, rispetto al valore di livello precedente alla messa in moto, è stato di 4 tacche della graduazione (questa volta però, con diversi vasi, di diversa graduazione, la distanza t tra una tacca e l'altra era data da: t = 1.77 mm). Pertanto il dislivello h tra i livelli dei due vasi comunicanti risulta:

( ) ( ) mmmmmmttaccheh 1416.1477.14444 ≅=⋅+=⋅+= che porta al valore di accelerazione

22

/176.08.9780

14sm

s

m

mm

mmg

L

ha =⋅=⋅= .

Confrontando tale valore con quello di ac si ottiene, questa volta, un errore in percentuale pari a:

%98.7100163.0

163.0176.0100

2

22

% ≅⋅

−

=⋅−

=

s

ms

m

s

m

a

aae

c

c .

La sensibilità (pari a 1 tacca) della misura comporta, in quest'ultima misurazione, un errore (di sensibilità) relativo di 1/8 cioè del 13 %. È ben vero che, anche in questo caso, l'errore di misura e%, pur maggiore rispetto al caso precedente, risulta ancora minore del valore del nuovo errore di sensibilità e quindi è ancora compatibile. Ma un errore di sensibilità del 13 %, è decisamente troppo alto per poterlo accettare.

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Essendo i valori di accelerazione da misurare molto piccoli, riteniamo perciò essenziale disporre di una piattaforma girevole che, oltre ad essere caratterizzata da una velocità angolare il più possibile costante, sia anche di raggio sufficientemente grande da minimizzare l’errore relativo sulla misura del dislivello h. La giostra Carousel di Mirabilandia abbiamo verificato avere le giuste caratteristiche per realizzare questo tipo di esperienza.