FORMULE DI MATEMATICA FINANZIARIA

Interesse semplice

trCI **0=

trIC*0 =

tCIr*0

=

rCIt*0

=

Montante semplice r = saggio o tasso di interesse C0 = Capitale iniziale t = tempo

( )trCCn *1*0 +=

trCnC

*11

0 +=

Sconto semplice razionale trtrCnScr *1

**+

=

Sconto semplice commerciale o bancario trCnScb **=

Interesse composto ( )1*0 −= nqCI Montante composto rq += 1

n = numero di anni

nqCCn *0=

nqCnC 1*0 = Sconto composto n

n

c qqCnS 1* −

=

Valori costanti Formula generale

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±

+=2

1** nrrnrRCn

+ se valori anticipati - se valori posticipati

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±+

=

21*

1*nrrnr

CnR

Valori mensili

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±

+×=2

112*12 rmCn

Ant. =6,5 Post. 5,5

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±+

=

2112*12

1*r

Cnm

Valori bimestrali

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±

+=2

16*6* rbCn

Ant. = 3,5 Post. = 2,5

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±+

=

216*6

1*r

Cnb

Valori trimestrali

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±

+=2

14*4* rtCn

Ant. = 2,5 Post. = 1,5

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±+

=

214*4

1*r

Cnt

Valori quadrimestrali

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±

+=2

13*3* rqCn

Ant. = 2 Post. = 1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±+

=

213*3

1*r

Cnq

Valori semestrali

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±

+=2

12*2* rsCn

Ant. = 1,5 Post. = 0,5

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±+

=

212*2

1*r

Cns

Annualità costanti posticipate limitate

Acc. finale rqaA

n

n1* −

=

1*

−= nn q

rAa Acc. iniziale

n

n

qrqaA

*1*0

−=

1**0 −

= n

n

qqrAa

Annualità costanti posticipate illimitate Acc. Iniziale = Formula capitalizzazione r

aA =0 ; r

BfV =0

rAa *0= Annualità costanti anticipate limitate

Acc. finale rqqaA

n

n1** −

=

1*1*

−= nn q

rq

Aa Acc. iniziale

n

n

qrqqaA

*1**0

−=

1**1*0 −

= n

n

qqr

qAa

Annualità costanti anticipate illimitate Acc. Iniziale = Formula capitalizzazione

qraA *0 = ; q

rBfV *0 =

qrAa 1**0=

Quota di reintegrazione 1

*−

= nn qrAa

1*1*

−= nn q

rq

Aa Quota di ammortamento

1**0 −

= n

n

qqrAa

1**1*0 −

= n

n

qqr

qAa

Valori frazionari della Quota di reintegrazione

1* * −

= nrnn qnrr

Aa

1*1* * −

= nrnn qnrr

qAa

Valori frazionari della Quota di reintegrazione

1

** *

*

0 −= nrn

nrn

q

qnrr

Aa

1

**1* *

*

0 −= nrn

nrn

q

qnrr

qAa

Periodicità costanti posticipate limitate

Acc. finale 11*

−−

= n

tn

tn qqpA

11*−−

= tn

n

tn qqAp

Acc. iniziale 11*1*0 −

−= n

tn

tn qq

qpA

11**0 −

−= tn

ntn

qqqAp

Periodicità costanti posticipate illimitate Acc. iniziale

11*0 −

= nqpA

( )1*0 −= nqAp Formula di capitalizzazione redditi

10 −= nq

BfV

Periodicità costanti anticipate limitate

Acc. finale 11**

−−

= n

tnn

tn qqqpA

11*1*−−

= tn

n

ntn qq

qAp

Acc. iniziale 11*1**0 −

−= n

tn

tnn

qq

qqpA

11**1*0 −

−= tn

ntn

n qqq

qAp

Periodicità costanti anticipate illimitate Acc. iniziale

11**0 −

= ntn

qqpA

( ) tnn

qqAp 1*1*0 −=

Formula di capitalizzazione redditi tn

n qqBfV *

10 −=

Redditi transitori e permanenti Formule matematiche Formule estimative

np

n

n

t qrBf

qrqBfV 1**1*0 ×

−=

Bft ≤ valore ordinario Bfp percepito alla fine del 1° anno (valore ordinario)

( ) n

n

tpp

qrqBfBf

rBf

V*

1*0−

−−=

Bft ≥ Bfp

( ) n

n

tpp

qrqBfBf

rBf

V*

1*0−

−+=

Bft = valore ordinario Bfp percepito tra n anni ≥ al Bft

ntpt

qrBfBf

rBfV 1*0 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

Bft ≥ Bfp

ntpt

qrBfBf

rBfV 1*0 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

Valore potenziale Qualora il Bf post investimento fosse percepibile alla fine del 1° anno

0Kr

BfV p −=

Formule matematiche Formule estimative Caso in cui i Bf durante la miglioria fossero diversi

32

1*1*...........1*1*1*qr

Bfq

Bfq

Bfq

Bfq

BfV np

nnp⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++=

( ) 0*1 K

qrqBfBf

rBf

V n

n

app

p −−

−−=

Con 2 saggi differenti

0*1*

*1* K

qrqBf

qrqBf

rBf

V n

n

an

n

pp

p −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

−−=

Caso in cui i Bf percepiti durante la miglioria fossero delle annualità costanti

01*1* Kqr

Bfqr

qBfV np

p −+×−

=

01* Kqr

BfBfr

BfV napt

p −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

Giudizi di convenienza In termini di reddito Bfn – Bfa ≥ K0 *r

In termini di Valore o Capitale Vn – V0 ≥ K0

In termini di saggio di fruttuosità

n

ap

KBfBf

r−

=1 r1 ≥ r0

Valori intermedi

Con redditi annui r

BfV =0 Con redditi periodici 10 −

= nqBfV

Valori policiclici o poliannuali Valori annuali Metodo dei Redditi passati o del costo

∑ ∑−+=m m

mm SpqVV

0 00 Pr* ( ) (∑ −++=

m

m SpmrVV0

0 Pr*1* )

Metodo dei redditi futuri

( ) mn

n

mm q

VSpV −∑ +−=1*Pr 0

( )

( )mr

VSpV m

m −+

+−=∑

12*1

Pr 0

1

Metodo dei cicli fittizi

( )

1

PrPr

−

−=∑+

n

mn

mm q

V ( )

r

SpV

m

mm

∑+

−=

1

Pr

Calcolo del valore del soprassuolo 0VVV mss −= Riparti (semplice con un solo parametro – composto con due o più parametri) Riparto diretto semplice Riparto inverso semplice Riparto misto semplice

×++ cba

s

×++

cba

s111

×++

nc

mb

la

s

Riparto diretto composto Riparto inverso composto Riparto misto composto

×++ cnbmal

s

×++

cnbmal

s111

×++

ptcn

vsbm

ural

s

S

X

a1

S S

a = X

b = Y

c = Z

X a

Y b

Z c

S

X al

Y bm

Z cn

al= X

bm = Y

c n= Z

X

la

Y

mb

Z Y Z

nc

Xla=

Znc=

Ymb

=

S

X

ural

Y

vsbm

Z

ptcn

Xural

=

Zptcn

=

Yvsbm

=

b1

c1

Xa

=1 Xa

=1

Yb

=1

Zc=

1

Yb

=1

Zc=

1

S

X

al1

Y

bm1

Z

cn1

Xal

=1

Ybm

=1

Zcn

=1

Rappresentazione grafica Interesse semplice e composto Valori costanti

Annualità costanti posticipate limitate Annualità costanti

Periodicità cost. post. limitate Periodicità cost. post.

Periodicità costanti ant. limitate Periodicità costanti ant.

Valori intermedi periodici

Valori intermedi annuali

Redditi transitori e permanenti

Valore potenziale

Diretto semplice Diretto composto

Inverso semplice Inverso composto

Misto semplice Misto composto

Saggio d’interesse: è l’interesse prodotto dall’unità di moneta, nell’unità di tempo. Interesse: prezzo d’uso di un capitale, cioè il compenso che spetta a chi presta un certo capitale per un determinato tempo, ad un determinato saggio d’interesse. Interesse semplice: quando il frutto del capitale, maturato in un certo periodo di tempo, non si tramuta a sua volta in capitale per diventare anch’esso fruttifero. Interesse composto: quando il frutto del capitale, maturato in un certo periodo di tempo, si somma al capitale originario, per maturare a sua volta interessi; in altri termini l’interesse composto fa maturare l’interesse degli interessi. Sconto: si definisce tale il compenso spettante a chi ha anticipato un pagamento prima della scadenza. L’interesse viene sommato al capitale; lo sconto invece viene sottratto dal capitale. INTERESSE DISCONTINUO ANNUO: quando gli interessi maturano 1 volta l’anno è il più comunemente usato. Annualità: s’intendono valori che si ripetono una volta solo l’anno. Capitalizzare: significa accumulare al momento di stima una serie infinita di redditi a patto che siano sempre illimitati. Periodicità: s’intendono valori che si ripetono ogni n anni.