Forma Canonica Di Controllo
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7/23/2019 Forma Canonica Di Controllo http://slidepdf.com/reader/full/forma-canonica-di-controllo 1/1 Capitolo 4. RAGGIUNGIBILIT ` A E CONTROLLABILIT ` A 4.1 Forma canonica di controllo • Si faccia riferimento al seguente sistema S = (A, b, C, d) lineare, inva- riante e ad un solo ingresso: (1) ˙ x(t) = Ax(t) + b u(t) y(t) = Cx(t) + d u(t) • Propriet` a. Il sistema S = (A, b, C, d) ` e raggiungibile se e solo se ` e algebricamente equivalente ad un sistema S c = (A c , b c , C c , d c ) in forma canonica di controllo (o di raggiungibilit`a), cio` e un sistema dove le matrici A c e b c hanno la struttura: A c = 0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 . . . . . . . . . −α 0 −α 1 . . . −α n−1 b c = 0 0 . . . 1 e dove i parametri α 0 , . . . , α n−1 , sono i coefficienti del polinomio caratte- ristico monico della matrice A: ∆ A (λ) = λ n + λ n−1 α n−1 + . . . + α 0 • La trasformazione x = Tx c che porta il sistema (1) nella forma canonica di controllo ` e caratterizzata dalla seguente matrice T = R + (R + c ) −1 dove R + ` e la matrice di raggiungibilit`a del sistema (1) e dove (R + c ) −1 ` e una matrice che ha la seguente struttura: (R + c ) −1 = α 1 α 2 α 3 . . . α n−1 1 α 2 α 3 . . . . . . 1 0 α 3 . . . . . . . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . α n − 1 1 . . . . . . 0 0 1 0 . . . . . . 0 0 Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi A.A. 2005/2006
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7/23/2019 Forma Canonica Di Controllo
http://slidepdf.com/reader/full/forma-canonica-di-controllo 1/1
Capitolo 4. RAGGIUNGIBILIT A E CONTROLLABILIT A 4.1
Forma canonica di controllo
• Si faccia riferimento al seguente sistema S = (A, b, C, d) lineare, inva-
riante e ad un solo ingresso:
(1)
x(t) = Ax(t) + b u(t)
y(t) = Cx(t) + d u(t)
• Proprieta. Il sistema S = (A, b, C, d) e raggiungibile se e solo se e
algebricamente equivalente ad un sistema S c = (Ac, bc, Cc, dc) in forma
canonica di controllo (o di raggiungibilita), cioe un sistema dove le matrici
Ac e bc hanno la struttura:
Ac =
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0...
... ...
−α0 −α1 . . . −αn−1
bc =
0
0...
1
e dove i parametri α0, . . . , αn−1, sono i coefficienti del polinomio caratte-
ristico monico
della matrice A:
∆A(λ) = λn + λn−1αn−1 + . . . + α0
• La trasformazione x = T xc che porta il sistema (1) nella forma canonica
di controllo e caratterizzata dalla seguente matrice
T = R+(R+
c )−1
dove R+ e la matrice di raggiungibilita del sistema (1) e dove (R+c )−1 e
una matrice che ha la seguente struttura:
(R+c )−1 =
α1 α2 α3 . . . αn−1 1
α2 α3 . . . . . . 1 0
α3 . . . . . . . . . 0 0... ... ... ... ... ...
αn−1 1 . . . . . . 0 0
1 0 . . . . . . 0 0
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