Fondamenti e Didattica della Fondamenti e Didattica della matematicamatematica

Corso abilitanti 2007-2008

Scienze della Formazione – Genova, La Spezia, Alassio

Approccio alla geometria

Bettina Pedemonte

ITD-CNR Genova

géo: la terre

metrikos: misura

La geometria

La geometria è quella parte della scienza matematica che si occupa delle forme nel piano e nello spazio e delle loro mutue relazioni.

http://it.wikipedia.org/wiki/Geometria

In generale,

Le attività della geometria richieste dai contenuti ministeriali non mirano a delle conoscenze formali (definizioni), ma a conoscenze funzionali,

Utili per risolvere problemi nello spazio ordinario, in quello del foglio di carta e sullo schermo di un computer

La geometria: contenuti ministeriali

Gli apprendimenti si svolgono in modo continuoin modo continuo dalla scuola primaria alla scuola secondaria. Un preciso vocabolario si deve progressivamenteprogressivamente costruire.

Il principio è quello di partire dal reale (e quindi da oggetti materiali) e lentamente passare all’astrazione. Si da precedenza alla geometria dello spazio.

Nella scuola primaria non si parla di dimostrazione, ma di un inizio di apprendimento al ragionamento, in particolare nelle attività di riproduzione delle figure.

La geometria: i programmi

Nella scuola secondaria si riprende la geometria del piano e dello spazio introdotta nella scuola primaria.

In particolare si richiede di saper produrre semplici deduzioni usando le proprietà geometriche delle figure per poter risolvere problemi.

La geometria: i programmi

L’obiettivo principale è di permettere agli allievi di passare progressivamente :

Da una geometria dove gli oggetti e le proprietà sono controllate dalla percezione

A una geometria dove gli oggetti sono controllati dall’esplicitazione di proprietà e dall’uso di strumenti

Due geometrie: empirica e teorica

spazio geometria

Collocazione

Localizzazione

Orientazione

Relazioni e proprietà

Solidi

Figure piane

La geometria

spazio geometria

Collocazione

Localizzazione

Orientazione

Relazioni e proprietà

solidi

figure piane

La geometria

Spazio esterno

Spazio della geometria

geometrica

Concettualizzazione: spaziale e geometrica

Due tipi di concettualizzazione:

Spaziale

Come si caratterizzano queste due diverse concettualizzazioni?

dall’oggetto al concetto

dal disegno alla figura

da io vedo a io so

Due geometrie: empirica e teorica

dall’oggetto al concetto

dal disegno alla figura

da io vedo a io so

Due geometrie: empirica e teorica

Come risolvere questo paradosso percettivo?

Cosa vedo?

dall’oggetto al concetto

dal disegno alla figura

da io vedo a io so

Due geometrie: empirica e teorica

Dal disegno alla figura

La figura geometrica si costituisce nel mettere insieme un referente teorico con tutti i possibili disegni; è allora definita come l’insieme delle coppie formate da due termini, il primo è il referente teorico, il secondo, uno dei disegni che lo rappresenta. Il secondo termine è preso nell’universo di tutti i disegni possibili del referente.

Laborde, 1994

La figura geometrica è l’oggetto geometrico descritto dal testo che la definisce, un’idea, una creazione dello spirito, mentre il disegno ne è una rappresentazioneParzysz (1988)

Occorre sottolineare la complessità dei rapporti tra disegno e oggetto geometrico:

da una parte, il disegno geometrico non è necessariamente interpretato dal suo lettore come rinviante ad un oggetto geometrico

Dall’altra le interpretazioni di uno stesso disegno sono molteplici per due ragioni: la natura del disegno e le interpretazioni che dipendono dal lettore e dalle sue conoscenze.

Dal disegno alla figura

Dal disegno alla figura

Un disegno rinvia agli oggetti teorici della geometria nella misura in cui colui che lo legge decide di farlo, l’interpretazione è naturalmente dipendente dalla teoria con la quale il lettore sceglie di leggere il disegno così come dalle conoscenze di questo lettore.

Un matematico riconoscerà probabilmente un cerchio nel primo disegno ed esiterà tra cerchio ed ellisse nel secondo.

Dal disegno alla figura

Un disegno anche se geometrico può essere interpretato in diversi modi ed in particolare la percezione interviene nella costruzione di una interpretazione se il lettore non dispone di forti conoscenze teorico geometriche che gli consentono di superare le lettura percettiva.

Dal disegno alla figuraGli aspetti percettivi del disegno possono impedire o al contrario favorire le lettura geometrica degli studenti, attirando l’attenzione su elementi del disegno non pertinenti alla lettura.

È un rombo o è un quadrato?

Entrambe le figure rappresentano il teorema di Talete?

Nota. Teorema di Talete: un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali determina su di esse, classi di segmenti direttamente proporzionali

dall’oggetto al concetto

dal disegno alla figura

da io vedo a io so

Due geometrie: empirica e teorica

Dall’oggetto al concettoFishbein introduce la nozione di concetto figurale per descrivere la costruzione mentale manipolata da un ragionamento geometrico come « immagine interamente controllata dalla sua definizione »

« Gli oggetti di investigazione e manipolazione nel ragionamento geometrico sono quelle entità mentali, chiamate concetti figurali, che riflettono proprietà spaziali (ombra, posizione, grandezza) e nello stesso tempo, possiedono qualità concettuali – come astrazione, generalità, perfezione »

Il processo di costruzione di tale entità è lontano dall’essere un prodotto spontaneo dell’insegnamento della geometria. E’ stato mostrato che gli aspetti figurali possono negli studenti superare quelli concettuali (Mariotti, 1991)

Il fatto di concludere che PN=MO= raggio= costante supporta l’idea che la figura considerata è dall’inizio, non un’immagine ordinaria, ma è già una struttura logicamente controllata. La fusione tra concetto e figura tende a essere perfetta in questo caso.

O

D

M N

P

C

A B

Dato un cerchio di centro O si disegnino due diametri perpendicolari AB e CD. Scegliamo un punto M sul cerchio e tracciamo le perpendicolari MP e MN sui due diametri.

Qual’è la lunghezza di PN?

Dall’oggetto al concetto

dall’oggetto al concetto

dal disegno alla figura

da io vedo a io so

Due geometrie: empirica e teorica

LINGUAGGIO della GEOMETRIA

Di seguito sono riportate alcune parole. Quali di esse indicano concetti che riguardano esclusivamente lo spazio – ambiente (o “spazio fisico”), in quanto dipendono da fenomeni fisici e/o dal rapporto del nostro corpo con lo spazio-ambiente? Quali possono invece riguardare concetti geometrici?

Verticale

Parallelo

Perpendicolare

Destra

Il linguaggio della geometria

Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: fenomeni fisici nello spazio come la forza di gravità o situazioni di rapporto del nostro corpo con lo spazio

Verticale

Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: “binari paralleli”, …

Situazioni di riferimento Geometria: due rette perpendicolari ad una stessa retta sono parallele tra loro

Parallelo

Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: bastoni, strade, …

Situazioni di riferimento Geometria: rette e segmenti perpendicolari…

Perpendicolare

Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: dipende dal rapporto che creo con il mio corpo ( la mia destra diventa la tua sinistra, se io sono di fronte a te).

Destra

Il linguaggio della geometria

Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: fenomeni fisici nello spazio come la forza di gravità o situazioni di rapporto del nostro corpo con lo spazio

Verticale

Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: “binari paralleli”, …

Situazioni di riferimento Geometria: due rette perpendicolari ad una stessa retta sono parallele tra loro

Parallelo

Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: bastoni, strade, …

Situazioni di riferimento Geometria: rette e segmenti perpendicolari…

Perpendicolare

Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: dipende dal rapporto che creo con il mio corpo ( la mia destra diventa la tua sinistra, se io sono di fronte a te).

Destra

Concetti non geometrici

Il linguaggio della geometria

Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: fenomeni fisici nello spazio come la forza di gravità o situazioni di rapporto del nostro corpo con lo spazio

Verticale

Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: “binari paralleli”, …

Situazioni di riferimento Geometria: due rette perpendicolari ad una stessa retta sono parallele tra loro

Parallelo

Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: bastoni, strade, …

Situazioni di riferimento Geometria: rette e segmenti perpendicolari…

Perpendicolare

Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: dipende dal rapporto che creo con il mio corpo ( la mia destra diventa la tua sinistra, se io sono di fronte a te).

Destra

Concetti geometrici utilizzati anche per modellizzare situazioni concrete

Il linguaggio della geometria

Esaminare le seguenti affermazioni, cercando di precisare quali concetti della geometria intervengono, e se si tratta di affermazioni della geometria, oppure di affermazioni non appartenenti alla geometria in cui si utilizzano concetti della geometria come modelli di situazioni dello spazio-ambiente.

Un triangolo è rettangolo se e solo se due delle sue tre altezze coincidono con due dei suoi lati.

Sia AB un segmento, π un piano orizzontale contenente il punto B. AB è verticale se e solo è perpendicolare a tutte le rette di π passanti per B.

Geometria (Teorema)

Non geometria ("verticale" ed "orizzontale" riguardano la realtà fisica)

Il linguaggio della geometria

Per rappresentare il piano cartesiano si disegnano una retta orizzontale (che si chiama “asse delle ascisse”) e una retta verticale (che si chiama “asse delle ordinate”).

Nel trapezio rettangolo ABCD la base inferiore AB è il doppio della base superiore CD.

Geometria (Teorema)

La circonferenza divide il piano che la contiene in due parti – la parte interna e la parte esterna alla circonferenza stessa. La parte interna si caratterizza per il fatto che ogni retta passante per un suo punto incontra la circonferenza.

Non geometria (se spostiamo il foglio ciò che era verticale diviene orizzontale…)

Non geometria (“superiore" ed “inferiore" riguardano lo spazio fisico)

Il linguaggio della geometria

Il linguaggio della geometriaLa specificità del vocabolario in matematica, e in particolare in geometria, è spesso “rifiutata”. Nell’approccio a compiti di costruzione o di argomentazione, la precisione dei termini impiegati, degli argomenti proposti, la loro strutturazione (cronologica e la concatenazione discorsiva) appaiono spesso arbitrari agli studenti.

D’altra parte il linguaggio è indissociabile dall’azione (si verbalizzano così azioni poco famigliari).

La difficoltà a verbalizzare certe azioni presuppone quindi una mancanza di appropriazione del concetto geometrico.

Il linguaggio aiuta a capire se è avvenuta la transizione da empirico a teorico

2. Un linguaggio di tipo teorico si basa sulla deduzione e che trova il suo obiettivo finale nella dimostrazione

1. Un linguaggio di tipo empirico si basa sull’intuizione e sulla sperimentazione

Linguaggio empirico e teorico

Nel linguaggio empirico

Nel linguaggio teorico

Questo è un quadrato…

E un quadrato non è un rettangolo !

Le proprietà di questa figura (4 angoli retti, 4 lati congruenti) definiscono un quadrato…

E un quadrato è anche un rettangolo !!

Linguaggio empirico e teorico

Nel linguaggio empirico

Nel linguaggio teorico

I problemi spaziali vengono risolti mediante validazione empirica.

I problemi di geometria vengono risolti mediante una prova matematica.

Linguaggio empirico e teorico

La didattica come strumento per favorire gli studenti nella transizione:

Realtà spaziale Modello geometrico

Approccio didattico alla geometria

La didattica come strumento per aiutare gli insegnanti nel favorire questa transizione nelle attività di classe

PerchéPerché insegnare la geometria : insegnare la geometria :

1. Insegnare agli studenti a pensare geometricamente

2. Insegnare agli studenti a vedere nello spazio

3. Insegnare agli studenti a ragionare

ComeCome insegnare la geometria : insegnare la geometria :

1. Costruire situazioni di ricerca

2. Costruire situazioni di comunicazione

3. Utilizzare strumenti

4. Legare la geometria ad altre discipline

Approccio didattico alla geometria

Spazio reale – strumenti percettivi: la vista, il tatto...

Spazio geometrico – strumenti di validazione: la teoria

Mondo spazio-geometrico

Strumenti che aiutano la percezione

Approccio didattico alla geometriaUtilizzare strumenti

Approccio didattico alla geometriaUtilizzare strumenti

Quali strumenti?

Strumenti tecnologici

Cabri II+

Cabri 3D

…

Giochi didattici

Tangram

Attrimath

Polydron

…

Cabri II +Permette di : Costruire figure geometriche nel piano, dalle più

semplici alle più elaborate, partendo dagli oggetti fondamentali della geometria: punti, rette, segmenti, cerchi, piani, trasformazioni…

Esplorare proprietà di una figura agendo sui suoi elementi variabili.

Osservare gli effetti di deformazione dinamica. Costruire congetture sulle proprietà geometriche e

verificare le relazioni tra oggetti della figura.

Approccio didattico alla geometriaUtilizzare strumenti: strumenti tecnologici