PROBABILITÀ

Corsi Abilitanti Speciali Classe 59A III semestre

Materialisti greci

Gli eventi naturali sono legati al caso

Sviluppo delle banche e dei grandi commerci per mare

Problemi legati all’assicurazione del carico

Un po’ di storia

GLI ASTRAGALI

Un po’ di storia

“Quando si parte il gioco della zara colui che perde

se ne va dolente ripetendo le volte, e tristo

impara.”

" Divina Commedia, Purgatorio, Canto VI ".

Un po’ di storia

•G. Cardano (1501-1576) :

“Liber de Ludo aleae” ( pubblicato postumo nel 1663)

Afferma che bisogna fare scommesse per compensarsi del tempo perduto e dà dei consigli su come barare.

•La nascita del Calcolo delle Probabilità si fa risalire comunemente al fitto carteggio tra Pascal (1623-1662) e Fermat (1601-1665),

Un po’ di storia

A Londra, fin dal 1562, registrazione settimanale delle morti

Un po’ di storia

Graunt ( 1620-1674) calcola la probabilità di morte in funzione dell’età

Nascono le assicurazioni sulla vita

Problemi legati alle eredità

•C. Huygens (1629-1695) :

• “De Ratiociniis in Ludo Aleae” ( Sui ragionamenti nel gioco dei dadi) (1657)

Ispirato alla corrispondenza tra Pascal e Fermat

•Famiglia Bernoulli :

Jakob Bernoulli (1654-1705) – “Ars conjectandi” ( Arte del congetturare ) ( pubblicato postumo nel 1713) – primo trattato importante sulla teoria della probabilità

Daniel Bernoulli (1700-1782) – applicazione della probabilità al commercio, alla medicina e all’astronomia. Introduzione del calcolo infinitesimale nel C.d. P.

Un po’ di storia

•A.de Moivre(1667-1754) :

"Doctrine de chances” (1718) – questioni sul gioco dei dadi, sull’estrazione di palline di diverso colore da urne, sul problema del punteggio in giochi con diverse probabilità di vittoria, su rendite vitalizie. Si trova già in quella che verrà chiamata la definizione classica di probabilità, attribuita a Pierre Simon de Laplace.

•P.S. de Laplace (1749-1827) :

“Théorie analytique des probabilités” (1812) , nella sua seconda edizione preceduto dal saggio introduttivo “Essai Philosophique des probabilités”.

Raccoglie i risultati raggiunti sulla probabilità. La teoria delle probabilità è soltanto senso comune espresso in numeri.

Un po’ di storia

Un po’ di storia

"La teoria della probabilità non è in fondo che buon senso ridotto a calcolo; essa permette di valutare con esattezza ciò che le menti illuminate sentono per una specie di istinto senza rendersene conto... E' notevole come tale scienza, che è cominciata con gli studi dei giochi d'azzardo, si sia elevata ai più importanti oggetti delle conoscenze umane".

•A.N. Kolmogorov (1903- 1987) :

« Grundbegriffe » (1933)

Fondamento assiomatico della teoria della probabilità

•B. de Finetti (1906-1985) :

Probabilità soggettiva.

Un po’ di storia

PERCHÉ INSEGNARE IL C.d.P ?

Perché:

•È necessario in molti ambiti del sapere (fisica, statistica, economia, sociologia)

•Si svilupppa a partire da problemi di interesse concreto

•Sollecita la capacità di affrontare problemi scegliendo, utilizzando e adattando gli strumenti più idonei

CONCETTO DI PROBABILITÀ

Valutazioni

La probabilità è la misura del grado di fiducia che un evento

si verifichi Per passare dal concetto ad una teoria della probabilità è necessario:

quantificare in un numero il livello di probabilità delle diverse affermazioni a cui si è interessati, ovvero definire delle regole per la valutazione della probabilità;

stabilire una serie di regole che questi numeri devono soddisfare, ovvero costruire uno schema formale a base della teoria.

La probabilità di un evento casuale è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili, supposti tutti gli eventi elementari equiprobabili.

DEFINIZIONE CLASSICA

Valutazioni

La troviamo nella sua versione definitiva con Laplace, ma domina, in gestazione, tutti gli studi del C.d.P. del XVIII secolo.

È una concezione “ a priori”

DE MOIVRE:

“ Se p è il numero dei casi con i quali un certo evento può accadere e q è il numero dei casi con il quale può non accadere, tanto il verificarsi quanto il non verificarsi dell’evento hanno il loro grado di probabilità.

Perciò, se tutti i casi con i quali l’evento può accadere o non accadere sono ugualmente facili, la probabilità del verificarsi sta alla probabilità del non verificarsi come p sta a q ”

Dato un evento E, ho p casi favorevoli e q contrari ( cioè favorevoli all’evento contrario ¬E Se i p + q casi sono equipossibili , allora:

q

p

Ep

Ep

)(

)(

Ancora oggi, nel linguaggio degli scommettitori, troviamo un concetto di probabilità che utilizza questo rapporto.

Big Joe e Godzilla sono quotati 7 a 3.

Cosa significa?

Significa che Big Joe ha 7 possibilità di vincere contro 3 di perdere

Se si vuole calcolare la probabilità di Big Joe di vincere, perché non indicarla con 7/3 ?

Nell’opera "Doctrine de chances”di De Moivre si parla esplicitamente di probabilità di un evento ( E) come

qp

pEp

)(

“La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all’evento ed il numero dei casi possibili, qualora nulla ci possa indurre a pensare che un caso debba verificarsi più facilmente degli altri, cosa questa che, per noi, li rende ugualmente possibili.

La corretta valutazione di questi diversi casi è uno dei punti più delicati dell’analisi del caso” ( Laplace)

NON È UNA “BUONA” DEFINIZIONE

DIFFICOLTÀ NELLA SCELTA DEL MODELLO DESCRITTIVO DEL PROBLEMA.

LIMITI DI APPLICABILITÀ

DEFINIZIONE CLASSICA

“...Siamo costretti a definire il probabile dal probabile. Come possiamo sapere se due casi sono ugualmente probabili? Sarà per convenzione? Se inseriamo all'inizio di ogni problema una convenzione esplicita, bene! Allora non dobbiamo far altro che applicare le regole dell'aritmetica e dell'algebra e completare il calcolo, quando il nostro risultato non può essere chiamato in questione. Ma se vogliamo fare la minima applicazione di questo risultato dobbiamo provare che la nostra convenzione è legittima e ci troveremo in presenza della difficoltà di fondo che pensavamo di aver evitato”. (H. Poincaré)

In un’urna ho 15 palline, di cui 4 bianche(B) , 6 nere (N) e 5 rosse (R)

La probabilità di estrarre una pallina bianca è

p(B) = 4/15La probabilità di estrarre una pallina NON bianca è p(B) = 11/15 = (15 – 4)/15 = 1 – 4/15 = 1 – p(B)La probabilità di estrarre una pallina bianca o rossa è:

P(BR) = (4+5)/15 = (4/15)+(5/15)=p(B)+p(R)

se B e R sono eventi INCOMPATIBILI cioè

BR=

ALCUNE SEMPLICI REGOLE- Se E è uno spazio di eventi elementari e A e B sono due eventi di tale spazio:

P(E) = 1

P(A) = 1- p(A)

P(AB) = p(A) + p(B) se A e B sono incompatibili

altrimenti

P(AB) = p(A) + p(B) – p(AB) QUESTE RELAZIONI SONO VALIDE QUALUNQUE SIA LA DEFINIZIONE DI PROBABILITÀ CONSIDERATA

NELLA DIDATTICA:

•Applicazione allo studio dei numeri razionali ( equivalenza tra frazioni, confronto tra numeri razionali)

•Rappresentazioni mediante insiemi e operazioni tra insiemi

•Connettivi logici “e”, “o”, “non”

PROBLEMA 1

I 25 alunni di una classe devono risolvere 3 problemi A, B, C. Uno solo risolve tutti e tre i problemi; 4 solo A e C; 4 solo B e C; 5 solo A; 2 solo B; 4 solo C. Tutti almeno 1.

Quanti alunni risolvono solo A e B?

Qual è la probabilità, scegliendo un alunno, che abbia risolto uno solo dei tre problemi?

Qual è la probabilità, scegliendo un alunno, che abbia risolto più di un problema?

PROBLEMA 1

Qual è la probabilità, scegliendo un alunno, che abbia risolto il problema A e il problema B?

Qual è la probabilità, scegliendo un alunno, che abbia risolto il problema A o il problema B?

Qual è la probabilità, scegliendo un alunno, che abbia risolto almeno due problemi?

5 2

4 1 4

4

A B

C

5

n.alunni = 25

Problema 2

Lancio per due volte una moneta.

Qual è la probalilità che escano due Teste?

Qual è la probabilità che esca una sola T?

Qual è la probabilità che esca almeno una T?

{TT; TC; CT; CC}

T

T T

C

C C

1/2 1/2

1/2 1/2 1/2 1/2Spazio eventi elementari

Grafo ad albero

P1 =1/4

P2= 1/2

P3= 3/4

UN PROBLEMA DI STRATEGIA

Una principessa di un Paese orientale deve scegliere fra tre pretendenti e vorrebbe sposare il più bello.

I pretendenti le vengono proposti uno per volta e la principessa deve subito decidere se scegliere o rifiutare chi le viene presentato.

Se rifiuta si passa al successivo e non sono consentiti ripensamenti.

Quale strategia di scelta le è più conveniente adottare?

UN PROBLEMA DI STRATEGIA

Strategia 1:

La principessa sceglie a caso

La probabilità di scegliere il più bello è 1/3

OPPURE …….

UN PROBLEMA DI STRATEGIA

Strategia 2:

La principessa scarta il primo pretendente; se il secondo è più bello lo sceglie, altrimenti sceglie il terzoCasi elementari

A B C B C A A: bello

A C B C B A B: piacente

B A C C A B C: bruttino

P = 1/2

Se le lampadine fossero state “pescate” una dopo l’altra sarebbe cambiato qualcosa?

1/10 9/10

D non D4/49

D Dnon D non D

45/49 5/49 44/49

GRAFO AD ALBERO

P(DD)= 2/245