FONDAMENTI DI SEGNALI E TRASMISSIONE - Università degli ... · Se la natura degli utenti finali è...

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FONDAMENTI DI SEGNALI E TRASMISSIONE Dispense redatte dal Prof. Francesco Valdoni, riviste e sistemate editorialmente dal Prof. Michele Luglio

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FONDAMENTI DI SEGNALI E TRASMISSIONE

Dispense redatte dal Prof. Francesco Valdoni, riviste e sistemate editorialmente dal Prof. Michele Luglio

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INDICE

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1 INTRODUZIONE

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1.1 SISTEMI E SERVIZI DI TELECOMUNICAZIONI

La comunicazione è il processo mediante il quale la informazione fluisce tra due o più soggetti; essi sono persone, apparati fisici o enti logici capaci di emettere o ricevere: nel primo caso si ha una sorgente di informazione, mentre nel secondo un destinatario di informazione. Ovviamente, un medesimo soggetto può svolgere anche simultaneamente entrambe le funzioni, in emissione e ricezione, apparendo nella duplice veste di sorgente e destinatario; comunque, le due funzioni possono essere, e verranno, considerate separatamente. Se la natura degli utenti finali è la medesima ed la sorgente non è di tipo elettrico la comunicazione a distanza inizia generalmente con una operazione di trasduzione, cioè con la trasformazione della variabile di uscita della sorgente di informazione in una grandezza elettromagnetica funzione del tempo, denominata segnale e indicata con x(t); la comunicazione ha poi termine con un’altra operazione di trasduzione, complementare a quella iniziale, tramite la quale il segnale ricevuto viene convertito nella opportuna variabile accettata dal destinatario. La trasduzione può avvenire solo ad una terminazione. Nel seguito le trasduzioni non verranno prese in esame: tali operazioni risiedono infatti all’interno di complesse entità fisiche, denominate terminali, capaci di emettere o ricevere informazioni in forma elettromagnetica, ossia segnali, ai quali unicamente sarà rivolta la attenzione. Un terminale emittente, ossia una sorgente di segnale che veicola la informazione, verrà semplicemente indicato come sorgente; un terminale ricevente, ossia un destinatario di segnale, verrà semplicemente indicato come destinatario. Quando il flusso di informazione tra una molteplicità di terminali si attua in forma di propagazione a distanza di un segnale in ambiente elettromagnetico, si ha telecomunicazione. L’insieme dei terminali, dei circuiti e degli ambienti elettromagnetici in cui si propagano i segnali contenenti le informazioni costituisce un infrastruttura di telecomunicazione. Nel caso più elementare esso si riduce ad un collegamento unidirezionale tra sorgente e destinatario; allorché gli utenti diventano tanti e le possibili interconnessioni necessarie per la piena connettività crescono numericamente come il fattoriale, nasce la rete di telecomunicazioni, ovvero una infrastruttura per la maggior parte condivisa (rami e nodi) ed in parte ad uso esclusivo del singolo utente (cavo o tratta radio “ultimo metro” e apparecchio terminale); quindi, più generalmente, si hanno numerosissimi terminali allacciati a una struttura di grande complessità, articolata in nodi, anelli e rami e denominata rete di telecomunicazioni (vedi Figura 1.1), che consente la effettuazione simultanea di una pluralità di comunicazioni con collegamenti variabili nel tempo.

terminazione di rete nodo di retecollegamento di accesso collegamento di trasporto

Figura 1.1: Schema di massima di rete di telecomunicazioni.

Spesso le reti hanno la capacità di operare con modalità bidirezionale, ossia per ogni comunicazione rendono disponibile una coppia di collegamenti, in cui i segnali si propagano in versi opposti; ovviamente, i terminali allacciati sono allora in grado di operare simultaneamente sia come sorgenti che come destinatari. Le modalità di svolgimento di un processo di comunicazione, con procedure normalizzate a livello internazionale, costituiscono un servizio di telecomunicazione; di esso fruiscono i terminali, perciò denominati anche utenti del servizio. L’espletamento di un servizio di telecomunicazione

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10 richiede la attuazione di una molteplicità di funzioni, alcune orientate al trattamento della informazione per la sua utilizzazione, altre invece orientate al suo trasporto a distanza, ossia al trasferimento della informazione. Se ci si limita a queste ultime, si ha un servizio portante; esso è comunque necessario, assieme alle funzioni dell’altro tipo, per fornire una completa capacità di comunicazione, ossia per un teleservizio. I servizi portanti sono dunque offerti dalle reti di telecomunicazioni per il trasferimento di informazioni tra le terminazioni di rete, che sono i punti di interfaccia della rete verso i terminali. La rete espleta fondamentalmente funzioni di commutazione e funzioni di trasmissione: le prime, residenti nei nodi dello schema in Figura 1.1, consentono l’inoltro opportuno della informazione per attuare il collegamento desiderato, mentre le seconde permettono la propagazione del segnale che veicola la informazione, tra terminazioni di rete e nodi oppure tra nodi, rispettivamente con collegamenti di accesso e con collegamenti di trasporto. Ulteriori importanti funzioni di segnalazione e di gestione completano le modalità operative di una rete di telecomunicazioni: esse consentono l’espletamento in tempo reale e ottimizzato dei molteplici servizi richiesti. Nel seguito l’attenzione verrà concentrata unicamente sulla trasmissione, tralasciando del tutto le altre problematiche delle reti e considerando per i terminali solo gli aspetti rilevanti nei riguardi della trasmissione medesima. Verrà inoltre considerato un solo senso di trasferimento della informazione, ritenendo che la operazione nel senso opposto possa svolgersi in maniera analoga. 1.1.1 Definizione di segnali in senso stretto

In senso stretto si può assumere che un segnale sia una grandezza fisica, funzione reale della variabile indipendente reale tempo, utilizzabile come veicolo della informazione che fluisce da una sorgente a un destinatario. Perché tale grandezza fisica possa effettivamente portare informazioni occorre che i parametri caratteristici siano ignoti al destinatario.

1.2 Trasmissione ideale di un segnale

Dal punto di vista del comportamento esterno, una generica infrastruttura per la trasmissione della informazione da una sorgente a un destinatario, ossia un generico sistema di trasmissione impiegato per attuare il collegamento, è sempre rappresentabile tramite un unico blocco che, eccitato in entrata dal segnale x(t), che in modo opportuno veicola la informazione, fornisce in uscita un segnale di risposta y(t). Si assume che la trasmissione avvenga in maniera ideale se si verifica la condizione:

[1.2.1] y(t) = g x(t – t0),

con g e t0 costanti reali, ossia se il segnale di uscita costituisce una replica di quello di entrata, a meno del fattore moltiplicativo (amplificazione/attenuazione) g e del ritardo t0>0. Tali grandezze hanno carattere irrilevante: esse sono infatti determinate, anche se non note a priori in ricezione, e quindi non possono essere portatrici della informazione, obbligatoriamente sempre associata a grandezze aleatorie. La relazione [1.2.1] è una condizione sufficiente, ma non necessaria affinché si compia il trasferimento pienamente corretto della informazione: le particolari modalità con cui questa ultima è veicolata dal segnale x(t) possono infatti consentire altre alterazioni della risposta y(t) che risultano prive di conseguenze ai fini della fruizione della informazione ricevuta. Il menzionato legame tra segnali uscente ed entrante riassume in modo globale il trattamento di trasmissione a distanza che garantisce la prestazione perfetta del collegamento. Ai fini della comprensione degli elementi essenziali è in effetti conveniente che il sistema sia rappresentato con maggiore dettaglio, considerando più blocchi funzionali, connessi in cascata; una parte di essi, a volte ridotta a un solo blocco come mostrato in Figura 1.2, ha nel complesso una dimensione fisica uguale alla distanza da coprire; l’altra parte può essere invece assunta a dimensione nulla. I blocchi della prima categoria rappresentano idealmente il mezzo trasmissivo, fondamentale responsabile della propagazione a distanza del segnale; quelli della seconda sono gli equivalenti concettuali

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11 degli apparati di trasmissione, di norma comprendenti circuiti elettronici o optoelettronici attivi e suddivisibili in apparati emittenti (dal lato entrante) e apparati riceventi (dal lato uscente).

mezzo trasmissivo

P PE

sistema di trasmissione

apparatiemittenti

apparatiriceventi

sorgente destinatario

R o

x(t) y(t)

Figura 1.2: Schema essenziale di un sistema di trasmissione che attua un collegamento.

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2 SEGNALI NEL DOMINIO DEL TEMPO

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2.1 GENERALITÀ SUI SEGNALI

2.1.1 Notazione complessa

Con riferimento a un segnale localizzato in una generica sezione di un sistema di trasmissione, si assume in seguito per esso la notazione del tipo:

x t( ) , ! t " T , x " X , dove la funzione reale x(t), di cui è mostrato un esempio in Figura 2.1, è valida sul dominio temporale T, che spesso è esteso a tutto l’asse dei tempi, e il codominio X del segnale, costituito da tutti i valori assunti da x(t), ha natura elettrica.

0 t

xx(t)

Figura 2.1: Esempio di segnale reale.

In senso lato un segnale può essere una qualsiasi grandezza rappresentativa di un segnale fisico, ma funzione in generale complessa della variabile indipendente temporale, per cui si ha la notazione in parte reale e parte immaginaria:

[2.1.1] x t( )=xR t( )+jxI t( ) , ! t " T ,

xR " XR ,

xI " XI ,

dove

j = -1 , XR+jX I è il codominio complesso del segnale e si è posto:

[2.1.2] xR t( ) =! x t( ){ }= 12 x t( )+x" t( )#$ %& ,

[2.1.3] xI t( ) =! x t( ){ }= 1j2 x t( )-x" t( )#$ %& ,

avendo indicato con

x"(t) la funzione complessa coniugata di x(t). Con la notazione complessa in modulo e argomento si ha inoltre:

[2.1.4] x t( )= x t( ) e jarg x t( )!" #$ ,

dove

[2.1.5] x t( ) = xR2 t( )+xI2 t( ) = x t( )x! t( ) ,

[2.1.6] arg x t( )!" #$=artgxI t( )xR t( )!

"%

#

$&+

'2 1-

xR t( )xR t( )

!

"%%

#

$&&

.

Si osservi che poiché la funzione arcotangente fornisce un valore compreso nell’intervallo (-!/2,

!/2), il secondo termine del secondo membro della precedente espressione è necessario per ricavare il valore dell’ argomento nell’intero angolo giro. Per un segnale reale si ha la nota relazione:

[2.1.7] x t( )=x! t( ) , " t # T , per x I (t) " 0,

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16 mentre per un segnale puramente immaginario risulta:

[2.1.8] x t( )=-x! t( ) , " t # T , per x R

(t) " 0.

2.1.2 Operazioni elementari e segnali fedeli

Le operazioni elementari eseguibili su un generico segnale x(t) sono la moltiplicazione per una costante e la traslazione nel tempo, illustrate nell’esempio in Figura 2.2. Come già menzionato in precedenza, una volta individuato in un sistema di trasmissione un segnale fisico reale x0(t), si assume che sia equivalente dal punto di vista del trasferimento della informazione ogni altra grandezza:

[2.1.9] y(t) = g x(t – t0),

che risulti difforme da x0(t) solo per la presenza di un fattore di scala costante g, reale positivo o negativo, e/o per una traslazione temporale, in ritardo (t0>0) oppure in anticipo (t0<0). Le operazioni elementari di moltiplicazione per una costante reale e di traslazione nel tempo sono dunque prive di effetto sostanziale a riguardo della comunicazione e le grandezze reali della famiglia definita tramite la [2.1.9] si denominano segnali fedeli in senso stretto.

0 t

x (t)

t

o

o

o ox g x (t - t )

>0 Figura 2.2: Segnale reale x0(t) e sua replica fedele g x0(t - t0).

Qualora si faccia riferimento a un segnale complesso, si assume che la famiglia dei segnali fedeli in senso lato sia più ampiamente definita tramite l’espressione:

[2.1.10] y(t) = g e-j# x(t - t0),

con # costante reale arbitraria, considerando elementare la più estesa operazione di moltiplicazione per una costante complessa. Passando ad altre operazioni semplici, si osserva che quella di coniugio è priva di ogni effetto se viene applicata a un segnale reale; diversamente produce il segnale x*(t)=xR(t)-jxI(t), diverso da x(t) e di norma non fedele. Anche la operazione di ribaltamento dell’asse dei tempi, per cui da x(t) si ottiene x(-t

), conduce in generale a un segnale diverso e non fedele (vedi Figura 2.3a); possono

tuttavia verificarsi delle eccezioni, come ad esempio nel caso di segnale reale con andamento di tipo simmetrico (vedi Figura 2.3b).

0 t

x(t)x(-t)

a)

x

0 t

x(t)x(-t)

b)

x

Figura 2.3 Segnale reale x(t) e segnale x(- t

) ottenuto per ribaltamento temporale.

Sui segnali sono inoltre applicabili le operazioni elementari di somma, sottrazione e moltiplicazione, che si effettuano punto per punto, nonché derivazione a integrazione. Infine, viene definita l’operazione di convoluzione tra due segnali nel seguente modo:

[2.1.11] x(t)$y(t) = x v( )y t-v( )dv!

il cui significato e la cui applicazione verranno illustrati nel seguito.

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17 2.2 Classificazione di segnali

2.2.1 Segnali a tempo continuo e a tempo discreto

L’attributo di segnale continuo o discreto si riferisce alla caratteristica del dominio o del codominio della funzione che lo rappresenta. Fino a questo punto sono stati considerati segnali definiti in ogni punto di un dominio temporale T, o addirittura dell’intero asse temporale: si tratta della classe denominata dei segnali a tempo continuo. Sono tuttavia contemplati anche segnali con esistenza solo in corrispondenza di istanti discreti della variabile tempo, appartenenti alla classe dei segnali a tempo discreto. Questi ultimi, pure avendo natura astratta, sono rilevanti nello studio dei sistemi di telecomunicazione, particolarmente in vista del loro sempre maggiore sviluppo con le cosiddette tecniche numeriche. L’approfondita caratterizzazione delle due classi di segnali introdotte sarà in seguito eseguita separatamente. Per completezza e generalità si usano le seguenti definizioni: • Se il dominio è un insieme continuo (limitato o illimitato) allora il segnale è tempo continuo • Se il dominio è un insieme discreto (limitato o illimitato) allora il segnale è tempo discreto • Se il codominio è un insieme continuo (limitato) allora il segnale è continuo • Se il codominio è un insieme discreto (limitato) allora il segnale è discreto o quantizzato. Il caso di dominio discreto corrisponde ad un segnale che si manifesta solo in alcuni istanti significativi e tra i due istanti non è definito (non è nullo). 2.2.2 Segnali determinati e segnali aleatori

2.2.2.1 Segnali determinati Spesso si fa riferimento a segnali determinati o certi, appartenenti alla classe deterministica, caratterizzati da andamenti che si presuppongono noti sull’intero dominio temporale T; pertanto nel caso reale essi sono almeno in parte rappresentabili graficamente nel piano {x, t} con un unico tracciato o forma d’onda (vedi Figura 2.1, Figura 2.2, Figura 2.3), oppure nel caso complesso con una coppia di forme d’onda nei piani {x

R(t), t} e {x I(t), t} (o nei piani {|x(t)|, t} e {arg[x], t}).

A volte i segnali determinati sono soggetti a rappresentazioni matematiche semplici, come lo è ad esempio quella estesa all’intero asse temporale del generico segnale armonico reale, o semplicemente armonica reale:

[2.2.1] x(t) = A cos(%0t + &0),

dove %0 = 2! f0 è la pulsazione, f0 è la frequenza, T0=1/ f0 è il periodo, A è l’ampiezza e &0 è la fase della particolare armonica. I segnali determinati non trovano riscontro nell’esercizio dei sistemi di trasmissione in quanto, essendo noti per definizione, risulterebbe poco utile il loro trasferimento ma vengono utilizzati con efficacia nelle fasi di analisi e progetto di questi ultimi. Grazie alla completa prevedibilità degli andamenti attesi in condizioni ideali, alcuni tipi di segnali certi con forme d’onda facilmente misurabili sono impiegati anche nelle fasi di collaudo e di verifica delle prestazioni di apparati o di sistemi, riscontrando in ricezione gli scostamenti rispetto agli andamenti attesi.

2.2.2.2 Segnali aleatori Nell’esercizio di un sistema di trasmissione si hanno segnali aleatori, appartenenti alla classe stocastica, con andamenti temporali mai completamente noti nella loro individualità; infatti i segnali ricevuti risultano una combinazione del segnale utile con segnali della stessa natura (disturbi) prodotti o dall’ambiente (canale di trasmissione) o dai circuiti in cui transita il segnale; a riguardo dei segnali utili si osserva infatti che l’informazione risiede nel verificarsi di eventi casuali, ossia incerti a priori per chi riceve (altrimenti non avrebbe senso la trasmissione), mentre per quanto concerne i disturbi per come sono generati sono ignoti ed è ovvio che essi non

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18 avrebbero più carattere veramente nocivo se fossero noti e, di conseguenza, eliminabili. Si possono comunque precisare alcune grandezze che caratterizzano l’insieme di tutti i segnali potenzialmente e casualmente generabili da una medesima sorgente e che, quindi, appartengono a uno stesso processo aleatorio di generazione; individualmente tali segnali sono denominati realizzazioni del processo. Diviene possibile una descrizione ancora più sintetica nella condizione di processo stazionario, ossia qualora permangano invariate nel tempo le cause fondamentali che generano l’informazione o il disturbo e i meccanismi che poi formano i relativi segnali. Se ad esempio si fissano le idee sulla particolare sorgente costituita da un parlatore al microfono, non si può conoscere la forma d’onda in uscita sull’intero asse dei tempi, ma è possibile individuare delle caratteristiche comuni a tutti i segnali audio che la sorgente considerata ha la potenzialità di emettere, particolarmente se non mutano le condizioni né della fonte dell’informazione sonora, né del microfono, né dell’ambiente. I processi aleatori possono essere divisi in processi con evento isolato, processi continui e in processi discreti. Nel primo caso l’aleatorietà non è associata ai valori dell’andamento temporale del segnale, ma ad uno o più parametri che possono assumere casualmente valori diversi nelle varie realizzazioni, di tipo a tempo continuo, costituenti l’insieme di quelle generabili dal processo considerato. Una volta che la sorgente abbia stabilito con un evento isolato dei valori particolari dei parametri aleatori, la forma d’onda risulta completamente nota in tutto il suo sviluppo, ossia il segnale emesso diviene certo; la sua trasmissione può essere tuttavia utile, in quanto consente la conoscenza a distanza della informazione dell’evento isolato, residente nei valori particolari, o determinazioni, fissati dalla sorgente per i parametri aleatori. Analiticamente un processo con evento isolato può essere espresso con una funzione esplicita del tempo, che contiene i parametri sotto forma di variabili aleatorie, spesso indicate con la sigla v.a.. Un esempio semplice è offerto da un impulso rettangolare, in cui i parametri sono l’ampiezza A, la durata T e il tempo di presentazione t0; una volta che si conoscano le determinazioni di tali v.a. è nota tutta la realizzazione, come mostrato in Figura 2.4.

Figura 2.4: Esempio di realizzazione di un processo aleatorio con evento isolato.

In un processo continuo la casualità si manifesta in forma dinamica per effetto di una serie di eventi aleatori distribuiti nel tempo, in modo che la conoscenza della forma d’onda anche a partire da tempi assai lontani non comporta mai la prevedibilità dell’andamento futuro. L’esempio più tipico è offerto dal rumore gaussiano, dovuto alla emissione in istanti casuali di un numero elevatissimo di forme d’onda di assai breve durata e di piccolissima ampiezza, che sommandosi danno luogo a realizzazioni in cui, al limite, la conoscenza dell’intero tracciato passato non ha alcuna influenza nemmeno sul valore all’istante presente. In generale non sono possibili rappresentazioni del processo mediante funzioni esplicite del tempo, mentre si può ricorrere a descrizioni di tipo probabilistico, che consentono di individuare delle grandezze sintetiche caratteristiche dell’insieme delle realizzazioni, tramite una gerarchia di funzioni di probabilità. In un processo discreto la casualità si manifesta ancora in forma dinamica, ma con natura essenzialmente logica: il processo è infatti costituito da una successione di eventi aleatori distribuiti in istanti discreti dell’asse temporale. Nel caso più semplice può essere matematicamente rappresentato tramite una serie di v.a. uniche, così che le realizzazioni, tipici segnali a tempo discreto, risultano costituite dalla corrispondente serie delle determinazioni, ossia dei particolari valori che la sorgente abbia stabilito per tutti i singoli eventi casuali. Come esempio si può considerare il caso elementare di una sorgente di messaggio numerico, che a intervallo

A

T t0 t

x

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19 regolare emette casualmente una delle due possibili cifre binarie, 0 e 1; si ha allora una realizzazione del tipo:

....0110100010101110100101100.... La descrizione probabilistica del processo avviene caratterizzando la successione delle menzionate v.a.. Si può concepire un processo continuo a partire da una successione temporale di eventi casuali distribuiti in istanti discreti, ossia da un processo discreto, facendo però corrispondere ad ogni evento l’emissione di segnali a tempo continuo tipici di processi con evento isolato; allora il processo può essere espresso analiticamente tramite una serie temporale di funzioni esplicite del tempo, contenenti uno o più parametri sotto forma di v.a.. Un esempio semplice è quello in cui le funzioni esplicite sono impulsi rettangolari, di durata T invariata e tempi di presentazione equispaziati, con ampiezze corrispondenti a una successione di v.a.; in Figura 2.5 è mostrata una realizzazione del processo considerato. La descrizione probabilistica del processo passa per quella del corrispondente processo discreto.

Figura 2.5: Esempio di realizzazione di un processo continuo espresso tramite una serie temporale

di processi con eventi isolati.

2.3 SEGNALI A TEMPO CONTINUO

2.3.1 Segnali continui

Un segnale a tempo continuo ha come dominio temporale un insieme continuo, che a meno di menzione contraria verrà nel seguito inteso come l’intero asse temporale. Un tale segnale x(t) è regolare nel generico istante t0 se esiste, finito o infinito, il limite per t che tende a t0 di x(t) ; il segnale è poi continuo in t0 se si verifica:

[2.3.1] limt!t0x t( )=x t0( ) .

Qualora la precedente espressione sia soddisfatta in ogni punto del dominio temporale, si ha un segnale continuo. Di tale tipo è ad esempio l’armonica reale (vedi [2.2.1]). A causa della natura non ideale dei dispositivi e componenti impiegati nei reali sistemi di trasmissione, i segnali ivi riscontrabili in pratica, siano essi segnali certi di prova o realizzazioni di processi aleatori, sono tutti di tipo continuo. A volte si hanno tuttavia delle forme d’onda in cui compaiono tratti estremamente ripidi, che assimilano con buona approssimazione l’andamento di segnali non continui, ai quali sia stato fatto riferimento nelle fasi teoriche di analisi e di progetto dei sistemi. 2.3.2 Segnali con discontinuità

2.3.2.1 Discontinuità nei segnali a tempo continuo

Un segnale a tempo continuo x(t) che non converga in t0 ha in tale istante una discontinuità di prima specie se il suo andamento è regolare sia a sinistra che a destra di t0, ossia si ha:

[2.3.2] limt!t0

-x t( )=x t0-( ) , lim

t!t0+x t( )=x t0+( ) ,

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20 ma si verifica la disuguaglianza dei due limiti, con valore non nullo della discontinuità

[2.3.3] d0 =x t0+( )-x t0-( ) ! 0 .

Nell’istante t0 si definisce per il segnale non continuo il suo emivalore:

[2.3.4] xem t0( ) = 12 x t0+( )+x t0-( )!

"#$ = x t0

-( )+ 12 d0 = x t0+( )- 12 d0 .

Un segnale non continuo, che come menzionato si riscontra solo in sede teorica risultando di notevole utilità, presenta spesso più di una discontinuità di prima specie. Estendendo le considerazioni precedenti alla derivata di un segnale continuo, è possibile o meno evidenziare una o più discontinuità di seconda specie; se anche la derivata ha un andamento continuo, possono poi presentarsi discontinuità di terza specie osservando la derivata seconda del segnale. 2.3.2.2 Esempi di segnali con discontinuità

Il primo esempio di segnale non continuo è offerto dal gradino unitario, con forma d’onda mostrata in Figura 2.6a e indicato con la notazione:

[2.3.5] u t( ) =0 , ! t<0

12 , t = 0

1 , ! t>0

"

#$$

%$$

.

Il segnale u(t) ha l’emivalore ! nella discontinuità nell’origine; esso gode inoltre sull’intero asse dei tempi della proprietà:

[2.3.6]

u(t) +u(-t) =1.

Un secondo esempio, con emivalore nullo nel punto di discontinuità nell’origine, è quello del segnale segno della variabile t, mostrato in Figura 2.6.b e indicato con la notazione:

[2.3.7] sgn t( ) =-1 , ! t<0 0 , in t = 0 1 , ! t>0

"

#$

%$

;

Tra tale segnale e il gradino unitario sussiste la relazione: [2.3.8] sgn(t) = u(t) - u(-t).

a) gradino unitario

u(t)

t

1

0

-1

x

b) segno di t

t

1

0

-1

sgn(t) x

Figura 2.6: Esempi di segnali determinati con discontinuità di prima specie.

Un ulteriore significativo esempio di segnale non continuo, con emivalori ! nei punti di discontinuità in |t|=T/2, è offerto dal segnale denominato impulso rettangolare unitario di durata T (vedi Figura 2.7), per cui si usa la notazione:

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21

[2.3.9] rect tT!

"#

$

%&=

1 , ' t < T / 2

1/ 2 , in t =T/2

0 , ' t > T / 2

(

)**

+**

,

e sussiste la relazione con il gradino unitario:

[2.3.10] rect tT!

"#

$

%&= u t +

T2

!

"#

$

%&' u t '

T2

!

"#

$

%& .

t

1

0 T 2

T 2

- __ __

x

Figura 2.7: Impulso rettangolare unitario, con due discontinuità di prima specie.

Si noti che, al contrario dei due segnali precedentemente definiti, la funzione rect(t/T) è contraddistinta dalla presenza di un parametro: la durata T dell’impulso. Nel caso in cui il valore di T sia noto, il segnale considerato è del tipo determinato, come lo sono il gradino unitario e il segnale segno; se invece si assume che T stia a indicare una v.a., la funzione rect(t/T) diviene l’espressione esplicita di un processo aleatorio con evento isolato. Ogni segnale con punti di discontinuità di prima specie negli istanti tk può essere generalmente scomposto nella somma:

[2.3.11]

x(t) = xC(t) + xG(t),

dove xC(t) è un segnale continuo e xG(t) è un segnale a gradini, costante a tratti (vedi esempio in Figura 2.8):

[2.3.12] xG t( )= dku t-tk( )k=1

N

! , dk=x tk+( )-x tk-( ) .

t 0

x

t k

Figura 2.8: Forma d’onda di un segnale a gradini.

Rammentando le relazioni che consentono di esprimere il segnale segno e l’impulso rettangolare unitario in funzione del gradino unitario u(t), si nota che esse sono casi particolari del generico segnale a gradini espresso tramite la [2.3.12].

2.3.3 Durata dei segnali

2.3.3.1 Segnali a tempo continuo e durata finita Si ha un segnale a tempo continuo e durata finita se l’andamento risulta strettamente limitato nel tempo, ossia se è identicamente nullo all’esterno di un intervallo (tm, tM), di estensione o durata limitata D = tM-tm:

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22

[2.3.13] x t( )= x ! X , " t ! tm,tM( ) x # 0 , " t $ tm,tM( )

%&'

('.

Nel caso di durata breve si usa la denominazione di segnale impulsivo o semplicemente impulso. Se risulta tm'0, si può assegnare alla grandezza l’attributo di segnale causale a durata finita. Un primo esempio è lo impulso rettangolare di durata T e di ampiezza finita A (vedi Figura 2.9a):

[2.3.14] x(t) = A rect

tT"

# $

%

& ' ,

che generalizza l’impulso rettangolare unitario, con l’aggiunta di un secondo parametro. Altri esempi sono l’ impulso triangolare di durata T e valore massimo A (vedi Figura 2.9b):

[2.3.15] x(t) = A tri

tT"

# $

%

& ' , con tri

tT"

# $

%

& ' =

1- tT/2

"

# $

%

& ' rect

tT"

# $

%

& ' ,

e lo impulso a coseno rialzato di durata T e valore massimo A (vedi Figura 2.9c):

[2.3.16] x(t) = A

12 1+cos

2"tT

# $ %

& ' (

rect

tT"

# $

%

& ' .

a)t0 T

2 T 2

- __ __

xA

b)t0 T

2 T 2

- __ __

xA

c)t0 T

2 T 2

- __ __

xA

Figura 2.9: Forme d’onda di segnali a durata limitata.

Osservando le forme d’onda dei tre esempi di segnali a tempo continuo e durata finita riportate in Figura 2.9, si nota la presenza nel primo di due discontinuità di prima specie e nel secondo di tre discontinuità di seconda specie, ossia della derivata; il terzo impulso è invece continuo, con derivata continua. 2.3.3.2 Segnali a tempo continuo e durata illimitata

I segnali a tempo continuo e durata illimitata, ossia non strettamente limitati nel tempo, sono ripartibili in tre categorie. Si ha un segnale bilatero se esso è diverso da zero su tutto l’asse dei tempi, ad eccezione di punti o intervalli limitati. Un esempio rilevante di segnale bilatero è il segnale sinc, definito tramite l’espressione:

[2.3.17] sinc

tT"

# $

%

& ' =

sin "t/T( )"t/T .

Si noti che il segnale considerato, di tipo continuo, vale 1 nell’origine e assume valore 0 per ogni |t| multiplo del parametro T, come mostrato in Figura 2.10. L’inviluppo della funzione considerata, ossia il luogo dei massimi relativi del valore assoluto |sinc(t/T)|, decresce seguendo una legge di proporzionalità inversa dalla distanza dall’origine |t|. Pertanto occorre allontanarsi dall’origine per un elevato numero di intervalli T se si desidera che il segnale sinc abbia valori trascurabili rispetto all’unità; ad esempio il valore assoluto è sempre inferiore a 0,01 se |t| è maggiore di 32 T.

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23

sinc(t/T)

t/T

Figura 2.10: Forma d’onda del segnale sinc

tT"

# $

%

& ' .

Un secondo esempio di segnale bilatero, ancora di tipo continuo, è offerto dal segnale gaussiano unitario:

[2.3.18] gauss(t/T) =

e-12tT"

# $

%

& ' 2

,

con valore massimo unitario nell’origine e andamento tanto più rapidamente decrescente all’aumentare della distanza |t| dall’origine, quanto più è piccolo il valore del parametro T. Basta allontanarsi dall’origine per un piccolo numero di intervalli T affinché il segnale gaussiano abbia valori trascurabili rispetto all’unità; ad esempio il valore assoluto è sempre inferiore a 0,01 se |t| è maggiore di 3,1 T. Si ha un segnale monolatero destro se esso ha valore sempre nullo per ogni t minore di un istante iniziale tm, ossia:

[2.3.19] xMD t( )=x ! 0 , " t<tm x # X , " t>tm

$%&

'&.

Nel caso tm=0 il segnale considerato si specifica come monolatero destro nell’origine; qualora risulti tm'0 si assume spesso la denominazione di segnale causale a durata illimitata. In Figura 2.11 sono mostrati a titolo di esempio due forme d’onda del tipo monolatero destro, quella con discontinuità di prima specie del segnale unitario a decadimento esponenziale:

[2.3.20] ue (t/T) =

e-tT u(t),

dove il parametro T>0 è denominato la costante di tempo, e quella continua, ma con discontinuità di seconda specie, del segnale a rampa:

[2.3.21] ramp(t/T) = 1T u !( )-"

t# d! = t

T u(t).

0

1

1

xramp(t/T)

t / T

u (t/T)e

Figura 2.11: Forme d’onda di segnali monolateri destri dall’origine.

Considerato un istante finale tM, si ha un segnale monolatero sinistro se esso ha valore sempre nullo per ogni t maggiore del menzionato istante, ossia si ha:

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24

[2.3.22] xMS t( )=x ! X , " t< tM x # 0 , " t> tM

$%&

'&.

Rammentando la relazione [2.3.6], nel caso di segnale bilatero si può porre:

[2.3.23] x(t) = x(t)[u(t) + u(-t)] = xMD(t) + xMS(t),

ottenendo come mostrato in Figura 2.12 la bipartizione del segnale in una coppia di segnali monolateri dall’origine, uno destro e uno sinistro:

[2.3.24] xMD(t) = x(t) u(t), xMS(t) = x(t) u(-t).

Figura 2.12: Segnale bilatero (a) e sua bipartizione in segnali monolateri (b).

Ovviamente la bipartizione può essere attuata a partire da un generico istante t0, servendosi della relazione u(t-t0)+u(-t+t0)=1, ottenuta dalla [2.3.6] con il cambio di variabile da t a t-t0. 2.3.3.3 Segnali periodici a tempo continuo

Una notevole sottoclasse delle forme d’onda bilatere è quella dei segnali periodici a tempo continuo, costituita dal rispetto della proprietà di ripetizione:

[2.3.25] x(t-kT0) = x(t), ! t " T! k " Z

#$%

,

dove con Z è indicato l’insieme dei numeri interi e l’intervallo To di ripetizione dell’andamento della forma d’onda è denominato periodo del segnale. Gli esempi più classici di segnale periodico sono offerti dai segnali armonici: quello reale già citato (vedi [2.2.1]) e la armonica complessa:

[2.3.26] A e j !ot+"o( ) = Acos(%0t+&0) + jAsin(%0t+&0).

Un segnale periodico si può ottenere anche dalla replica infinite volte di una funzione alementare. Dato un segnale g(t) e definita la funzione di replica a intervallo T0 (la assenza degli estremi in ( sta a indicare che la sommatoria si intende estesa da -) a )):

[2.3.27] repT0{g(t)} = (k g(t - kT0),

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25 è immediato constatare che si genera un segnale periodico x(t) = repT0{g(t)}, di periodo T0 (vedi Figura 2.13). Si noti che solo nel caso in cui g(t) sia limitato in un intervallo di durata D0*T0, l’andamento del segnale periodico coincide con quello della funzione generatrice, g(t), nell’intervallo in cui questa ultima è diversa da zero (vedi Figura 2.13b).

Figura 2.13: Forme d’onda periodiche ottenute tramite la ripetizione di una funzione generatrice

con durata maggiore (a) e minore (b) del periodo.

2.3.4 Scomposizione di segnali a tempo continuo

Un generico segnale reale a tempo continuo può essere additivamente scomposto in una componente pari e in una componente dispari:

[2.3.28] x(t) = xP(t) + xD(t),

che sono rispettivamente caratterizzate dalle proprietà

[2.3.29] xP(t) = xP(-t), xD(t) = - xD(-t),

evidenziate nelle forme d’onda mostrate in Figura 2.14.

Figura 2.14: Componente pari (a) e componente dispari (b) di un segnale reale.

Poiché in base alle proprietà immediatamente sopra esplicitate si ottiene: [2.3.30] x(-t) = xP(-t) + xD(-t) = xP(t) - xD(t),

valgono le relazioni:

[2.3.31] xP t( )=12 x t( )+x -t( )!" #$ , xD t( )=

12 x t( )-x -t( )!" #$ .

Nel caso in cui sia identicamente nulla la componente dispari o la componente pari, si ha rispettivamente la denominazione di segnale pari (xD(t)"0) o di segnale dispari (xP(t)"0). Sono

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26 esempi di segnale pari l’impulso rettangolare Arect(t/T) e il segnale sinc(t/T); è invece ad esempio dispari il segnale sgn(t). Anche un segnale reale causale può essere scomposto in parte pari e dispari; si ha ad esempio per il gradino unitario (vedi Figura 2.15a):

[2.3.32] u t( )= 12 1+sgn t( )!" #$ .

Nel caso di un impulso rettangolare unitario traslato in ritardo di un tempo t0>T/2 si ha poi (vedi Figura 2.15b):

[2.3.33]

rect t - t 0T" # $

% & ' =

12 rect

t - t0T

" # $

% & ' + rect t + t0T

" # $

% & '

(

) * +

, - +

12 rect

t - t 0T

" # $

% & ' - rect t +t0T

" # $

% & '

(

) * +

, -

a)

1

1

0

0

0

1/2

t

t

t

x

x

x

u(t)

u (t)

u (t)

P

D

b)

1

1

0

0

0

1/2

t

t

t

x

x

x

to

Figura 2.15: Scomposizione in pare pari e parte dispari di un gradino unitario (a)

e di un impulso rettangolare unitario (b).

Nel caso di un generico segnale complesso a tempo continuo la scomposizione si generalizza in una componente complessa hermitiana e in una componente complessa antihermitiana:

[2.3.34] x(t) = xH(t) + xAH(t),

che sono rispettivamente caratterizzate dalle proprietà:

[2.3.35] xH(t) = xH! -t( ) , xAH(t) = - xAH

! -t( ) .

Si noti che la componente hermitiana ha parte reale pari e coefficiente della parte immaginaria dispari, mentre la componente antihermitiana ha parte reale dispari e coefficiente della parte immaginaria pari. Poiché in base alle proprietà sopra esplicitate si ottiene:

[2.3.36] x! -t( ) = xH! -t( ) + xAH

! -t( ) = xH(t) - xAH(t),

valgono le relazioni:

[2.3.37] xH t( )=12 x t( )+x

! -t( )"# $% , xAH t( )=12 x t( )-x

! -t( )"# $% .

Qualora sia identicamente nulla la componente antihermitiana o quella hermitiana, sia ha rispettivamente le denominazione di segnale hermitiano, caratterizzato dalla:

[2.3.38] x(t) = x*(-t),

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27 o di segnale antihermitiano, caratterizzato dalla:

[2.3.39] x(t) = - x*(-t).

In base alla [2.3.38] risulta che la contemporanea applicazione delle semplici operazioni di coniugio e di ribaltamento temporale non produce alcun effetto su un segnale hermitiano.

2.3.5 Impulso ideale di Dirac

2.3.5.1 Proprietà dell’impulso ideale

Nell’analisi dei segnali e dei sistemi di telecomunicazione, non di rado si ricorre all’impiego di un segnale particolare: si tratta della funzione generalizzata di Dirac, o impulso ideale di Dirac, comunemente indicato con la notazione +(t). L’impulso ideale viene solitamente introdotto attraverso la sua proprietà di campionamento, espressa dalla:

[2.3.40] f t( )! t-t0( )dta

b

" =

f t0( ) , a<t0 <b 12 f t0( ) , t0 =a, b 0 , t0 <a , t0 >b

#

$%

&%

,

dove la generica funzione f(t) è supposta continua in t=t0. Si ha poi, intendendo l’integrale esteso da -) a +) :

[2.3.41] f t( )! t-t0( )dt=f t0( )" .

Poiché la relazione precedente implica, ponendo in particolare f(t)"1, che +(t) sia ovunque nulla tranne che nell’origine e che il suo integrale sia unitario, ossia che si abbia per la sua area:

[2.3.42] ! t( )dt=1" ,

è evidente che l’impulso ideale non è una funzione in senso ordinario. Come mostrato nel paragrafo 2.3.5.2, l’impulso ideale +(t) può essere considerato al limite come la derivata del gradino unitario u(t).

2.3.5.2 L’impulso ideale come limite di funzioni ordinarie Come già notato l’impulso ideale non è una funzione ordinaria: per una trattazione rigorosa sarebbe necessario introdurre il concetto di distribuzione, ovvero di entità che fa corrispondere un valore e una funzione. Non volendo uscire in questo testo dal novero delle funzioni ordinarie, occorre però che la grandezza +(t) che compare a fattore nell’integrale [2.3.41] sia opportunamente interpretata, come limite di funzioni ordinarie. In proposito si consideri il gradino unitario u(t), ottenuto come limite di funzione continua, ponendo:

[2.3.43] u t( )= limT0!0

sinc "( )d"-#

t/T0

$ ,

dove T0>0 e il limite va effettuato a valle della integrazione. Indicata con +(t) la derivata rispetto a t del secondo membro della [2.3.43] :

[2.3.44] limT0!0

1T0sinc t

T0

"

#$

%

&'= +(t),

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28 si ottiene una delle possibili interpretazioni dell’impulso ideale come limite di funzione ordinaria, che porta a ritenere che la +(t) possa considerarsi la derivata della funzione u(t)-c, dove c è costante. Tale relazione, che una volta determinata la costante di integrazione porta all’integrale definito

[2.3.45] ! "( )d"-#

t

$ = u(t),

è in effetti rigorosa nel campo delle distribuzioni. Dalla [2.3.44] risulta che l’impulso ideale è di tipo pari, essendo tale il segnale sinc(t/T). Pertanto, considerando una sua generica traslazione temporale t0 si ottiene la relazione:

[2.3.46] +(t-t0) = +(t0-t).

2.3.6 Energia e potenza dei segnali a tempo continuo

Si denomina spazio funzionale, indicato con LP, la totalità dei segnali a tempo continuo x(t) per cui esiste ed è finita la norma p-esima, definita dalla (la assenza degli estremi indica che l’integrale è esteso da -) a +)):

[2.3.47] x t( ) p = x t( )pdt!"#$%&'1/p

,

dove p è un numero reale positivo. Pertanto L1 è lo spazio funzionale dei segnali assolutamente integrabili e L2 è lo spazio funzionale dei segnali quadraticamente integrabili. Se i segnali x(t) sono definiti solo in un dominio finito T, lo spazio funzionale da essi formato è indicato con la notazione LP(T). Avendo assunto che |x(t)|2 fornisca la potenza istantanea di x(t), in generale complesso, si ha la seguente definizione della energia del segnale:

[2.3.48] Exx = x t( ) 22

= x t( )2dt! .

Una prima rilevante categoria di segnali è quella per cui Exx, reale per definizione, assume valore finito: tali segnali, che formano lo spazio funzionale L2, sono denominati a energia finita o semplicemente segnali di energia. Essi possono essere a durata finita, come negli esempi degli impulsi rettangolare, triangolare e a coseno rialzato, ma anche illimitati nel tempo, come ad esempio accade per i segnali sinc e gaussiano. Nel caso di segnale illimitato nel tempo può essere considerata la sua approssimazione con un segnale praticamente limitato nel tempo, individuando un intervallo, denominato durata pratica del segnale, all’esterno del quale x(t) si approssima con lo zero in modo che l’integrale di |x(t)|2 esteso alla sola durata pratica del segnale fornisca un valore praticamente coincidente con la effettiva energia Exx. Qualora un segnale x(t) sia illimitato nel tempo e non abbia energia finita, si passa a considerare un’altra grandezza, adottando la seguente definizione della potenza media temporale, o semplicemente potenza del segnale:

[2.3.49] Wxx = limT!"

1T xT t( )

2dt# ,

dove si è introdotto il segnale troncato:

[2.3.50] xT (t) = x(t) rect tT!

"#

$

%& .

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29 Ammesso che sia finito il valore Wxx, reale per definizione, il tipo di segnale considerato è denominato a potenza finita o semplicemente segnale di potenza. Per esso si definisce anche la grandezza:

[2.3.51] xeff = Wxx ,

denominata valore efficace del segnale. Nel caso dei segnali periodici, sottoclasse tipica dei segnali di potenza, indicata con Exx(T0) l’energia di x(t) calcolata solo all’interno di un qualsiasi intervallo di durata pari al periodo T0 e indipendente dal particolare intervallo scelto, la potenza del segnale può essere espressa tramite la:

[2.3.52]Wxx =Exx T0( )T0

= 1T0

x t( )2dt

-T0 /2

T0 /2

! .

Nel caso di segnale periodico generato per ripetizione di una funzione generatrice g(t) (vedi [2.3.27]), si noti che Exx(T0) coincide con la energia Egg della funzione generatrice, se quest’ultima ha durata non maggiore di T0, altrimenti è in generale diversa. L’integrale del segnale esteso a tutto l’asse temporale,

[2.3.53] area[x(t)] = x t( )dt! ,

è denominato area del segnale. Tale grandezza, in generale complessa, è sempre finita nei segnali di energia. Solo per i segnali di potenza può risultare diverso da zero il valore medio temporale, o semplicemente valore medio del segnale, definito dalla:

[2.3.54] x = limT!"

1T xT t( )dt# .

Un segnale con valore medio diverso da zero può essere scomposto in due addendi: uno di valore costante, pari al valore medio temporale x , e l’altro a valore medio nullo:

[2.3.55] xa (t) = x(t) - x .

Nel caso di segnale reale, i due addendi considerati, x e xa(t), si denominano rispettivamente componente continua e componente alternata. Spesso si considerano segnali di potenza reali, con codominio X finito, denominati segnali simmetrici: essi sono privi di componente continua e hanno valori massimo e minimo opposti; denominato valore di picco il comune valore assoluto, ossia xp=xM=|xm|, si definisce il fattore di picco:

[2.3.56] Fp =xpxeff

= xpWxx

.

Come noto il fattore di picco di una armonica reale ha valore 2 ; per ogni altro segnale simmetrico il fattore di picco ha valore maggiore. Si noti che i segnali di potenza sono di tipo ideale, poiché nella realtà non esistono segnali che non abbiano valori nulli nelle parti più estreme dell’asse dei tempi. Nella pratica si considerano però spesso come segnali di potenza quelle forme d’onda di energia che hanno durata molto maggiore dell’intervallo temporale (a volte addirittura ridotto all’ordine dei secondi) entro il quale interessa osservare il segnale e per le quali la potenza media temporale valutata solo nell’intervallo di osservazione praticamente non varia al variare dell’estensione di quest’ultimo; il segnale di

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30 potenza è poi in effetti quello che si ottiene estrapolando all’esterno del tempo di osservazione l’andamento al suo interno.

2.4 SEGNALI A TEMPO DISCRETO

2.4.1 Caso generale e sequenze

Dal tipico andamento di un segnale a gradini è facile dedurre che esso risulta completamente caratterizzato quando siano noti gli istanti tk di discontinuità e l’insieme, corrispondentemente ordinato, dei livelli. In base a tale osservazione appare motivata l’introduzione del segnale a tempo discreto, entità astratta ma assai valida sul piano logico-matematico, che è definito solo su un insieme discreto numerabile {tn} di istanti temporali; questi possono essere in numero finito o infinito, distribuiti nel tempo in modo generico oppure con equispaziatura tra elementi adiacenti, come mostrato in Figura 2.16.

Figura 2.16: Insieme discreto di definizione di un segnale a tempo discreto, con distribuzione

generica (a) e con equispaziatura nel tempo (b).

Il caso più frequente e interessante è quello di istanti discreti equispaziati, con generico intervallo costante T, per i quali si può stabilire la seguente assai semplice corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri interi:

[2.4.1] tn= nT.

Il segnale a tempo discreto è allora denominato sequenza e viene indicato con la notazione x(n), dove il generico k-esimo elemento, o campione della sequenza, assume il valore, che può essere sia reale che complesso:

[2.4.2] xk = x(kT).

Alle sequenze sono applicabili le operazioni elementari di moltiplicazione per una costante e di traslazione temporale, così come quelle di coniugio e di ribaltamento temporale, con esecuzione da compiersi campione per campione. Valgono parimenti i concetti di sequenze reali o complesse e di sequenze tra loro fedeli, immediatamente deducibili dalle definizioni fornite per i segnali a tempo continuo. Se tutti i campioni xk hanno valori noti, si ottiene una sequenza determinata o certa. Si può invece considerare che gli elementi siano variabili aleatorie, indicate con la notazione Xk: allora la successione di tali v.a. diviene la rappresentazione di un processo aleatorio discreto, come già accennato nel paragrafo 2.2.2.2. Il primo elementare esempio di sequenza determinata è il campione unitario, mostrato in Figura 2.17a ed espresso con la notazione:

[2.4.3] +(n) = 1 , n = 00 , ! n " 0

#$%

&%,

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31 che corrisponde nel dominio del tempo discreto all’impulso di Dirac +(t), introdotto come segnale elementare a tempo continuo, ma che non va assolutamente confuso con esso in quanto la definizione, le proprietà analitiche ed il quadro matematico di riferimento sono estremamente differenti. Un secondo esempio è la sequenza a gradino unitario, mostrata in Figura 2.17b, per cui si usa porre:

[2.4.4] u(n) = 0 , ! n < 01 , ! n > 0

"#$

%$.

Si noti che il valore nell’origine, per n=0, è unitario, a differenza dell’analogo segnale a tempo continuo in cui si ha l’emivalore !. Vale di conseguenza la proprietà:

[2.4.5] u(n) + u(-n-1) = 1.

Tra le due particolari sequenze introdotte si ha poi la relazione:

[2.4.6] +(n) = u(n) - u(n-1).

Figura 2.17: Campione unitario (a) e sequenza a gradino unitario (b).

2.4.2 Lunghezza delle sequenze

Servendosi della serie dei campioni unitari traslati si ottiene la seguente rappresentazione di una generica sequenza a lunghezza illimitata, denominata sequenza bilatera, con campioni che possono essere non nulli per qualsiasi valore di k :

[2.4.7] x(n) = ,k xk+(n-k),

dove la sommatoria si intende estesa da -) a +). Nel caso in cui i campioni siano nulli per ogni k minore di un numero intero km e maggiore di un altro intero kM>km, si ha una sequenza a lunghezza limitata, spesso denominata stringa di campioni; nella sua rappresentazione del tipo [2.4.7] i menzionati valori km e kM compaiono come estremi della sommatoria. Nell’ambito delle sequenze bilatere si possono avere le sequenze periodiche, caratterizzate dal continuo ripetersi di una medesima stringa di campioni, a cui corrisponde la proprietà:

[2.4.8] x(n-hN0) = x(n),

con h intero e con passo ripetizione N0, che deve essere un numero intero finito maggiore di uno. L’intervallo temporale T0=N0T è il periodo della sequenza.

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32 In modo analogo ai segnali a tempo continuo, a partire da numero intero km si definisce una sequenza monolatera destra qualora i suoi campioni siano tutti nulli per k<km, per cui si pone:

[2.4.9] x MD (n) = xkk=km

!

" +(n - k);

con km'0 si ha poi una sequenza causale. Considerato un numero intero kM si ha invece una sequenza monolatera sinistra se i suoi campioni sono tutti nulli per k>kM, per cui si pone:

[2.4.10] x MS (n) = xkk=-!

kM

" +(n - k).

Servendosi della proprietà [2.3.23] è sempre possibile suddividere una sequenza bilatera in una coppia di sequenze monolatere, una destra e una sinistra; ciò equivale a spezzare la sommatoria nella [2.4.7]. Si possono infine applicare alle sequenze le considerazioni svolte sulla scomposizione dei segnali a tempo continuo: si hanno così nel caso reale sequenze pari (xk=x-k) e sequenze dispari (xk=-x-k) e nel caso complesso sequenze hermitiane (xk=x-k

! ) e sequenze antihermitiane (xk=-x-k! ) .

2.4.3 Energia e potenza delle sequenze

Una sequenza x(n), in quanto diversa da zero solo in un insieme numerabile di istanti, non possiede né energia né potenza, secondo la definizione adottata per i segnali a tempo continuo. È tuttavia possibile definire in modo convenzionale le menzionate grandezze anche per le sequenze, facendo riferimento al segnale a gradini corrispondente, ottenuto da quello a tempo discreto mediante l’operazione di tenuta dei campioni, illustrata in Figura 2.18.

Figura 2.18: Segnale a gradini ottenuto da una sequenza con l’operazione di tenuta dei campioni.

Con il procedimento menzionato si ottengono così le grandezze convenzionali:

[2.4.11] Exx = T , k |ck|2,

[2.4.12] Wxx = limN!"

12N+1 ck

2

k=-N

N

# ,

denominate energia della sequenza e potenza della sequenza, che sono finite e diverse da zero rispettivamente nel caso di sequenza di energia o di sequenza di potenza. Nel secondo caso si definisce il valore medio della sequenza:

[2.4.13] x= limN!"

12N+1 ck

k=-N

N

# .

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33 La potenza di una sequenza periodica, come nell’analogo tipo di segnali a tempo continuo, può essere espressa in base all’energia Exx(T0) della sequenza troncata in un generico intervallo che corrisponde al periodo T0=N0T, ottenendo:

[2.4.14] Wxx =Exx T0( )T0

= 1N0ck

2

k=1

N0

! .

2.5 AFFINITÀ TRA SEGNALI

Nell’esercizio delle telecomunicazioni è importante poter valutare quantitativamente le affinità tra segnali, quando uno dei due viene traslato rispetto all’altro. Tale valutazione viene effettuata utilizzando delle funzioni di correlazione definite opportunamente, che dipendono da una variabile temporale - che rappresenta l’entità della traslazione di uno dei due segnali rispetto all’altro.

2.5.1 Affinità tra segnali di energia

Un primo caso importante riguarda i segnali di energia che, come già esposto, rappresentano praticamente la totalità dei segnali utilizzati nelle telecomunicazioni. La misura dell’affinità tra segnali di energia rappresenta un fattore importante in diverse applicazioni che vanno dal radar alle comunicazioni mobili.

2.5.1.1 Funzione di intercorrelazione di segnali di energia Nello spazio funzionale L2 si considerino due generici segnali di energia, x(t) e y(t), aventi rispettivamente energie Exx e Evv; si definisce la funzione di intercorrelazione temporale, o correlazione mutua temporale, dei due segnali mediante la seguente espressione:

[2.5.1] Cxy(-) = x t + !( )y* t( )dt" .

Si usa anche la notazione equivalente:

[2.5.2] Cxy(-) " (x(t+-), y(t)).

La funzione introdotta cambia con l’inversione dell’ordine dei segnali, ma si ha la proprietà:

[2.5.3]Cyx (! ) = Cxy! (-! ) .

I valori assunti nell’origine (per -=0) dalle due funzioni di intercorrelazione si denominano energie mutue; grazie alla relazione precedente si ottiene:

[2.5.4] Exy ! Cxy(0) = x t( )y* t( )dt! = y t( )x* t( )dt!"# $%*=Cyx

! 0( ) ! Eyx! ,

ossia le energie mutue sono l’una la complessa coniugata dell’altra. Per la funzione di intercorrelazione sussiste la seguente proprietà:

[2.5.5] |Cxy(-)|2 * Exx Eyy ;

Il lettore interessato alla dimostrazione della [2.5.3] e della [2.5.5] è inviato al paragrafo 2.5.1.2. Con riferimento alla corrispondente funzione adimensionale normalizzata, denominata funzione di indice di intercorrelazione:

[2.5.6] !xy "( ) =Cxy "( )ExxEyy

,

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34 risulta di conseguenza:

[2.5.7] .xy(-)"1.

In particolare per -=0 e rammentando le [2.5.4] si ottengono dalla [2.5.5] le seguenti relazioni sulle energie:

[2.5.8] |Exy|2 = |Eyx|2 * Exx Eyy, Exy Eyx * Exx Eyy.

La funzione di intercorrelazione è in grado di evidenziare l’affinità in senso lato tra due segnali di energia, intendendo che tale tipo di affinità sia misurata dal massimo del valore assoluto della funzione di indice di intercorrelazione. Due segnali non hanno allora alcuna affinità in senso lato e si denominano incorrelati, qualora sia identicamente nulla la loro funzione di intercorrelazione:

[2.5.9] Cxy (-) " 0, ossia .xy(-) " 0 ;

essi hanno invece la massima affinità in senso lato se si verifica:

[2.5.10] |.xy(-)|max = 1.

È molto interessante rimarcare che tale ultimo evento accade se e solo se si ha una coppia di segnali fedeli, per i quali vale la relazione y(t)=g e- j! x(t-t0); il massimo di valore unitario di |.xy(-)| si ottiene poi proprio in corrispondenza del particolare valore -=-t0. Il lettore interessato troverà la dimostrazione nel paragrafo 2.5.1.2. I segnali fedeli sono dunque quelli, e solo quelli, tra i quali si può verificare la massima intercorrelazione, ossia la massima affinità in senso lato. 2.5.1.2 Dimostrazione delle proprietà della funzione di intercorrelazione

Scambiando tra loro x e y nella definizione della funzione di intercorrelazione, coniugando e poi applicando il cambio di variabile t’=t+- si ottiene:

[2.5.11]Cyx(-)= y t + !( )x* t( )dt" = x t( )y! t+"( )dt#$% &'!= x t'-!( )y" t'( )dt'#$% &

'"= Cxy -!( )"# $%

&;

che dimostra la proprietà [2.5.3]. Considerata una coppia di generiche funzioni complesse a(t) e b(t), appartenenti allo spazio funzionale L2, sussiste la disuguaglianza di Schwartz:

[2.5.12] a t( )b t( )dt!2" a t( )

2dt b t( )

2dt!! ,

dove il segno di uguaglianza vale se e solo se è soddisfatta la relazione:

[2.5.13] b(t) = Ka*(t),

con K = g e j! costante complessa arbitraria. Applicando alla funzione di intercorrelazione la disuguaglianza di Schwartz, ossia ponendo a(t) " x(t+-) e b(t) " y*(t), si ottiene:

[2.5.14]|Cxy(-)|2= x t+!( )y" t( )dt#2$ x t+!( )

2dt y t( )

2dt## = x t( )

2dt! y t( )

2dt! =ExxEyy,

ossia risulta dimostrata la proprietà [2.5.5]. In base alla [2.5.13] il valore massimo ExxEyy di |Cxy(-)| si ottiene se e solo se si verifica:

[2.5.15] y*(t) = g e j! x*(t+-),

a cui per -=-t0 corrisponde la già nota definizione di segnale fedele. Si ricava allora:

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35 [2.5.16] |Cxy(-)|max = |Cxy(-t0)| = x t-t0( )gej!x" t-t0( )dt# = |g| Exx.

Tenuto conto della [2.5.14], che unitamente alla precedente fornisce:

[2.5.17] |g| = EyyExx

,

si dimostra pertanto che se e solo se i due segnali sono tra loro fedeli con un ritardo t0, il modulo della funzione di intercorrelazione può essere unitario, assumendo tale valore in -=-t0.

2.5.1.3 Funzione di autocorrelazione di un segnale di energia Correlando un segnale di energia con se stesso si ottiene la funzione di autocorrelazione temporale:

[2.5.18] Cxx(-) = x t + !( )x* t( )dt" .

Come caso particolare della [2.5.3] vale la proprietà:

[2.5.19] Cxx !( ) = Cxx" -!( ) ;

la funzione di autocorrelazione è dunque hermitiana, con valore reale nell’origine che coincide con l’energia del segnale:

[2.5.20] Cxx(0) = Exx.

Tale valore è quello massimo che può assumere il modulo della funzione di autocorrelazione, poiché come caso particolare della [2.5.5] sussiste la disuguaglianza:

[2.5.21] |Cxx(-)| * Exx.

Nel caso frequente di segnale reale la funzione di autocorrelazione diviene reale e pari, ossia si ha Cxx !( ) = Cxx" !( )= Cxx(--). La funzione di autocorrelazione evidenzia per ogni - la diminuzione dell’affinità in senso stretto che si verifica tra un segnale e la sua stessa forma d’onda traslata nel tempo, rispetto alla piena correlazione che si ha per -=0. Essa è anche un indice di quanta memoria un segnale abbia di sé stesso, ossia di quanto globalmente i valori al tempo (t+-) risentano di quelli al tempo t. Nel caso di segnale a durata finita D, si perde totalmente l’affinità in senso stretto, ossia la memoria del segnale, per ogni traslazione, in anticipo o in ritardo, che sia maggiore di D; in tale caso infatti la funzione di autocorrelazione è anch’essa limitata in durata, ma nell’intervallo temporale doppio 2D, dato che per |-|>D i due segnali x(t) e x(t+-) risultano non nulli in intervalli temporalmente separati, dando luogo all’azzeramento della funzione integranda nella funzione di autocorrelazione. Un esempio tipico è offerto dall’impulso rettangolare A rect(t/T), con funzione di autocorrelazione che risulta essere un impulso triangolare nella variabile indipendente -, con valore massimo A2 e durata 2T (vedi Figura 2.19).

Figura 2.19: Impulso rettangolare (a) e sua funzione di autocorrelazione (b).

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36 2.5.1.4 Prodotto scalare di segnali di energia

Il valore nella origine (per -=0) della funzione di intercorrelazione tra due segnali, ossia la grandezza costante, in generale complessa, definita dalla:

[2.5.22] (x,y)= x t( )y* t( )dt! ,

è denominata prodotto scalare dei due segnali. Per quanto visto in precedenza, i prodotti scalari coincidono con le energie mutue, ossia si ha: (x,y)=Cxy(0)=Exy e (y,x)=Cyx(0)=Eyx=Exy

! . I due prodotti scalari hanno dunque lo stesso modulo; sono poi uguali nel caso di segnali reali. Dalla proprietà [2.5.5] si può scrivere:

[2.5.23] |(x,y)|* ExxEyy ,

dove il segno di uguaglianza vale se e solo se si verifica y(t)=g e- j! x(t), ossia i due segnali sono tra loro fedeli senza ritardo; con riferimento all’indice di intercorrelazione:

[2.5.24] .xy =x,y( )ExxEyy

,

risulta che esso ha modulo minore di uno, tranne nel caso già evidenziato di segnali legati dalla semplice relazione di proporzionalità complessa. L’indice di intercorrelazione fornisce una misura dell’affinità in senso stretto tra due segnali di energia, ossia senza prendere in considerazione alcuna traslazione temporale. Due forme si denominano segnali paralleli quando risulti .xy=1, ossia si abbia y(t)=|g| x(t), e segnali antipodali nel caso particolare .xy=-1, con g=-1 e #=0, ossia y(t)=-x(t). Al diminuire di |.xy| corrisponde una decrescente affinità in senso stretto tra i segnali, fino al caso .xy=0, ossia di prodotto scalare nullo (x,y)=0, in cui le due forme si denominano segnali ortogonali. Le precedenti denominazioni a carattere geometrico prendono origine dalle considerazioni svolte nel paragrafo 2.5.1.5, a cui si rimanda il lettore desideroso di approfondimenti. La condizione di ortogonalità tra segnali di energia, ossia l’annullarsi del loro prodotto scalare (x,y)=0, assume spesso una notevole rilevanza: è opportuno pertanto soffermarsi su tale situazione. In primo luogo si osserva che due segnali possono essere ortogonali senza che ciò implichi la non esistenza di affinità in senso lato, ossia che i segnali siano incorrelati (vedi [2.5.9]); infatti per -/0 la funzione di intercorrelazione di una coppia di segnali ortogonali può essere diversa da zero o addirittura assumere il valore massimo in modulo. Ciò accade ad esempio per un qualsiasi segnale a durata limitata D e per una forma d’onda ad esso fedele con traslazione |t0| maggiore di 2D, che assicura la separazione nel dominio del tempo dei due segnali e di conseguenza l’annullarsi del loro prodotto scalare, pure contemplando che si abbia la piena affinità in senso lato. Si tenga poi presente che la separazione nel tempo di una coppia di segnali è condizione sufficiente, ma non necessaria per la loro ortogonalità; possono infatti essere ortogonali anche segnali non strettamente limitati nel tempo. 2.5.1.5 Analogie geometriche formali del prodotto scalare

Tenuto conto che l’energia è il quadrato della norma seconda (vedi [2.3.47]), per il segnale somma x(t)+y(t) si ha l’espressione:

[2.5.25] x t( )+y t( ) 22=(x+y,x+y) = (x,x) + (y,y)+20{(x,y)} = Exx+Eyy+2 ExxEyy cos1 =

x t( ) 22

+ y t( ) 22

+2 x t( ) 2 y t( ) 2 cos1,

dove si è posto

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37

[2.5.26] cos1 = ! x,y( ){ }ExxEyy

= 0{.xy} * 1.

Nel caso di segnali paralleli si ha .xy=1 e quindi cos1 = 1; si ricava allora la relazione particolare:

[2.5.27] x t( )+y t( ) 22= x t( ) 2 + y t( ) 2!"

#$2,

formalmente identica a quella che si avrebbe considerando in luogo dei segnali paralleli x(t) e y(t) una coppia di vettori paralleli nello spazio. Nel caso di segnali ortogonali si verifica (x,y)=0 e, a maggiore ragione, risultano allora 0{ x,y( ) }=0 e cos1 = 0; si ricava allora l’espressione:

[2.5.28] x t( )+y t( ) 22= x t( ) 2

2+ y t( ) 2

2,

formalmente identica a quella che si avrebbe considerando in luogo dei segnali ortogonali x(t) e y(t) una coppia di vettori ortogonali nello spazio. 2.5.1.6 Famiglie di segnali ortogonali

Un insieme {xk(t)} di segnali di energia costituisce una famiglia di segnali ortogonali se si verifica:

[2.5.29] (xk, xh ) = Exkxh = 0, ! h / k ;

se poi si ha:

[2.5.30] (xk, xh ) = Exkxh = 0 , ! h " k 1 , h = k ,

#$%

&%

si ottiene il sottocaso di una famiglia di segnali ortonormali. Ci si sofferma a titolo di esempio su due importanti famiglie di segnali ortogonali e su alcune loro proprietà, rinviando al seguito le dimostrazioni. Una prima famiglia di segnali ortogonali è l’insieme discreto e numerabile {xk(t)} formato dalle armoniche complesse unitarie troncate nel generico intervallo T,

[2.5.31] xk(t) = ejk!t rect t

T!

"#

$

%& ,

dove k è intero e si è posto 2=2!/T, per le quali si ha:

[2.5.32] (xk, xh) = e jk!te-jh!trect tT"

#$

%

&'dt( = e j k-h( )!t dt

-T/2

T/2" = 0 , ! h " k

T , h = k .

#$%

&%

Le energie dei segnali considerati hanno dunque tutte il comune valore: [2.5.33] Exkxh= T.

Si ha inoltre:

[2.5.34] area[xk(t)] = e jk!t dt"T /2

T/2

# = 0 , ! k " 0 T , k = 0 ,

#$%

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38 ossia l’unica funzione della famiglia con area non nulla è quella per k=0, che diviene l’impulso rettangolare unitario. Si osserva infine che ogni membro complesso della famiglia, con k/0,

e jk!t rect tT!

"#

$

%& = [cosk2t + j sink2t] rect t

T!

"#

$

%& ,

è in effetti composto da una coppia di addendi che sono a loro volta ortogonali tra loro, come il lettore può facilmente dimostrare.

Una seconda famiglia di segnali ortogonali è quella costituita dall’impulso sinc tT!

"#

$

%& e dalle sue

forme traslate nel tempo di una quantità multipla del parametro finito T,

[2.5.35] xk(t) = sinc tT -k!"#

$%& ,

per cui si ha (il lettore potrà successivamente verificare servendosi della [3.3.54]:

[2.5.36] (xk, xh) = sinc tT -k!"#

$%&sinc t

T -h!"#

$%&dt' = 0 , ! h " k

T , h = k .#$%

Le energie dei segnali reali considerati hanno dunque tutte lo stesso valore:

[2.5.37] Exkxh = sinc2 tT!

"#

$

%&dt' = T.

Si ha inoltre:

[2.5.38] area[xk(t)] = sinc tT!

"#

$

%&dt' = T,

ossia tutte le funzioni hanno area dello stesso valore. Si ha infine la particolare proprietà:

[2.5.39] ( k sinc tT -k!"#

$%&= 1.

2.5.2 Affinità tra segnali di potenza

2.5.2.1 Correlazioni nei segnali di potenza Nel caso di due generici segnali di potenza x(t) e y(t), aventi rispettivamente potenze Wxx e Wyy, si definiscono la funzione di intercorrelazione temporale dei due segnali:

[2.5.40] Rxy (-) ! limT!"

1T x t+#( )y* t( )dt-T/2

T/2$ ,

e, come caso particolare y(t)"x(t), la funzione di autocorrelazione temporale del segnale di potenza:

[2.5.41] Rxx !( ) = limT"#

1T x t+!( )x$ t( )dt

-T/2

T/2% .

Con l’accortezza di sostituire le funzioni del tipo C(-) con le analoghe del tipo R(-) e le energie con le potenze, sono applicabili ai segnali di potenza tutte le considerazioni svolte sull’affinità e valgono le proprietà esposte nei paragrafi 2.5.1.1 e 2.5.1.3 sui segnali di energia. Poiché nei segnali di potenza si ha la possibile esistenza di valori medi temporali x e y non nulli, si definiscono ulteriormente la funzione di covarianza temporale dei due segnali:

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39

[2.5.42] Kxy(-) ! limT!"

1T x t+#( )-x$% &' y t( )-y$% &'

(dt

-T/2

T/2) ,

e, come caso particolare, la funzione di autocovarianza temporale del segnale di potenza:

[2.5.43] Kxx(-) ! limT!"

1T x t+#( )-x$% &' x t( )-x$% &'

(dt

)T/2

T/2* .

Le funzioni sopra introdotte, applicate alle sole componenti xa(t) e ya(t) a valore medio nullo dei segnali, coincidono con le precedenti nel caso x = y =0; in generale si hanno le semplici relazioni:

[2.5.44] Rxy(-) = Kxy(-) + xy* ,

[2.5.45] Rxx(-) = Kxx(-) + Wc,

dove si è indicato con Wc=xx! la potenza associata alla sola componente x del segnale. Dato che

Kxx(0) è uguale alla potenza della sola componente xa(t), si evince che la potenza del generico segnale è pari alla somma delle potenze delle due componenti considerate separatamente. Nel caso particolare di segnali entrambi periodici con il medesimo periodo T0, le funzioni di intercorrelazione e autocorrelazione sono anch’esse periodiche nella variabile indipendente -, con periodo T0, e assumono le forme:

[2.5.46] Rxy !( ) = 1Tox t+!( )y" t( )dt

-T0 /2

T0 /2# =Rxy !-kT0( ) ,

[2.5.47] Rxx !( )= 1T0x t+!( )x" t( )dt

-T0 /2

T0 /2# =Rxx !-kT0( ) .

Si lascia al lettore il compito di dimostrare che per l’armonica complessa unitaria e jk!ot , di periodo T0=2!/20, e per le sue componenti delle parti reale e immaginaria, cos20t e sin20t, si hanno le funzioni di autocorrelazione mostrate nella Tabella 2.1.

Tabella 2.1: Funzione di autocorrelazione di segnali armonici

x(t) e j!0t cos!0t sin!0t

Rxx(-) e j!0" 12 cos!0" 1

2 cos!0!

2.5.2.2 Famiglie di segnali incoerenti e incorrelati

Due segnali di potenza sono incoerenti se la loro funzione di intercorrelazione è identicamente nulla, ossia si ha:

[2.5.48] Rxy(-) " 0 ;

essi si denominano incorrelati qualora si verifichi la condizione meno severa:

[2.5.49] Kxy(-) " 0,

che non prende in considerazione l’esistenza dei valori medi temporali. Un insieme di segnali di potenza costituisce una famiglia di segnali incoerenti se, indicati con x(t) e y(t) due diversi generici membri, si verifica la [2.5.48]; l’insieme forma invece una famiglia di segnali incorrelati se si verifica la [2.5.49].

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40 Un esempio di famiglia di segnali incoerenti è offerto dall’insieme continuo {e j!t } delle armoniche complesse unitarie. Considerati due generici membri e j!xt e e j!yt , con %x=2!fx/%y=2!fy, si ha infatti applicando la [2.5.40]:

[2.5.50] Rxy(-) = e j!x" limT!"

1T ej #x -#y( )t dt

-T/2

T/2$ = e j!x" lim

T!"sinc[(fx-fy)T],

che per fx/fy comporta valore nullo per ogni - grazie alla proprietà della funzione sinc di tendere a zero al tendere all’infinito, positivo o negativo, del suo argomento. Si lascia al lettore il compito di dimostrare che gli insiemi continui {cos%t} e {sin%t} formano ancora entrambi, ma separatamente, due famiglie di segnali incoerenti.

2.5.3 Affinità tra segnali di energia e di potenza

La definizione matematica di prodotto scalare tra due segnali di energia può essere estesa a tutti i casi nei quali l’operazione di integrazione conduce a un valore finito, anche se uno dei due segnali è di potenza. Il risultato della operazione:

[2.5.51] (x,y) = x t( )y* t( )dt! ,

formalmente identica al prodotto scalare ma applicata diversamente, consente allora la valutazione dell’affinità in senso stretto, o correlazione, esistente tra i due segnali. Ammesso che dalla correlazione risulti un valore (x,y)=Exy finito e posto che y(t) sia un segnale di energia, si può definire il segnale, anch’esso di energia:

[2.5.52] xy(t) = ExyEyy

y(t) ;

allora il segnale di potenza x(t) può essere scomposto in due addendi:

[2.5.53] x(t) = xy(t) + x0(t),

il primo proporzionale per definizione a y(t) tramite il fattore Exy che misura la correlazione, ossia l’affinità in senso stretto tra i due segnali, e il secondo ortogonale al primo. Infatti si ha:

[2.5.54] Exy = (xy+x0,y) = (xy,y) (xy,y) + (x0,y) = ExyEyy

Eyy + (x0,y),

per cui deve essere (x0,y)=0. La componente ortogonale x0(t) è un segnale di potenza dato che lo è x(t). 2.5.4 Affinità tra sequenze

Per una data coppia di sequenze, x(n) e y(n), si definiscono le sequenze della variabile indipendente intera 3:

[2.5.55] Cxy(3) " x4y = T ,k x(k+3) y*(k),

[2.5.56] Rxy(3) = limN!"

12N+1 x k+#( )y* k( )

k=-N

N

$ ,

denominate sequenze di intercorrelazione temporale, rispettivamente di energia o di potenza, tra le due sequenze. Nel caso di potenza si definisce inoltre la sequenza di covarianza temporale:

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41

[2.5.57] Kxy(3) = limN!"

12N+1 x k+#( )-x$% &' y k( )-y$% &'

(

k=-N

N

) = Rxy(3) - xy!

Nel caso della identità x(n)"y(n), le tre precedenti espressioni forniscono rispettivamente le sequenze di autocorrelazione, Cxx(3) o Rxx(3), e la sequenza di autocovarianza temporale, Kxx(3), della sequenza data. Le sequenze di intercorrelazione, autocorrelazione, covarianza e autocovarianza sopra definite hanno significati analoghi a quelli delle corrispondenti funzioni relative ai segnali a tempo continuo: sono quindi in grado di valutare l’affinità in senso lato tra sequenze. Nel caso di sequenze di energia sono applicabili le relazioni analoghe a quelle ottenute nei paragrafi 2.5.1.1 e 2.5.1.3 sui segnali di energia a tempo continuo, con la sostituzione delle funzioni del tipo C(-) con le sequenze del tipo C(3). Similmente accade per le sequenze di potenza, considerando le sequenze del tipo R(3) e K(3) in luogo delle funzioni del tipo R(-) e K(-). In particolare, risultano le seguenti proprietà per le sequenze di potenza reali: 5 le sequenze di intercorrelazione e di covarianza sono reali e pari e si ha:

[2.5.58] Ryx(3) = Ryx(-3) = Rxy(3) = Rxy(-3),

[2.5.59] Kyx(3) = Kyx(-3) = Kxy (3) = Kxy(-3);

5 le potenze mutue sono reali e uguali:

[2.5.60] Wyx = Wxy = Rxy(0) = Kxy(0) + xy ;

5 sussiste la limitazione:

[2.5.61] Rxy2 (! ) * Wxx Wyy;

5 le sequenze di autocorrelazione e di autocovarianza sono reali e pari:

[2.5.62] Rxx(3) = Rxx(-3),

[2.5.63] Kxx(3) = Kxx(-3);

5 la potenza è data dalla:

[2.5.64] Wxx = Rxx (0) = Kxx (0) + x2 ;

5 sussiste la limitazione, con il massimo in 3=0:

[2.5.65] Rxx2 !( ) * Wxx

2 .

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42

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3 RAPPRESENTAZIONI DI SEGNALI

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45

3.1 RAPPRESENTAZIONE DI SEGNALI IN SERIE TEMPORALI

3.1.1 Serie di Fourier di segnali periodici

Un generico segnale di potenza periodico x(t), di periodo T0, ammette di essere rappresentato a partire da un insieme discreto e numerabile di infinite armoniche complesse di ampiezza unitaria:

[3.1.1] e jk!0t = cos k20t + j sin k20t,

con k intero e 20=2!/T0. Tramite una combinazione lineare a coefficienti complessi costanti di tali funzioni, si ha infatti la rappresentazione (al solito l’assenza degli estremi nella sommatoria indica che essa si intende estesa da -) a +)):

[3.1.2] x(t) = Ckejk!0t

k" ,

denominata sviluppo in serie di Fourier, con i coefficienti di Fourier Ck. Si noti che tale sviluppo consente di scomporre il segnale periodico in infiniti addendi che ne costituiscono le componenti armoniche, alle frequenze fk=k/T0 e con ampiezze |Ck| e fasi arg{Ck}. Le particolari funzioni di energia a durata limitata:

[3.1.3] 6k(t) = e jk!0t rect(t/T0),

ottenute dalle armoniche complesse unitarie per troncamento nell’intervallo (-T0/2, T0/2), formano un insieme ortogonale, con il comune valore dell’energia E6k6h=T0 (vedi paragrafo 2.5.1.6); i valori dei coefficienti di Fourier Ck possono allora essere ricavati per ogni k per mezzo della correlazione tra il segnale x(t) e ciascuna delle 6k(t), operazione che evidenzia l’affinità tra il segnale periodico e la k-esima funzione dell’insieme ortogonale. Si ha infatti, invertendo l’ordine tra integrale e sommatoria:

[3.1.4] (x,6k) = Chh! e jh"0te-jk"0trect tT0

#

$%

&

'(dt) = Ch !h,!k( )h" = T0Ck,

da cui si ottiene Ck=(x, 6k)/T0 e quindi le desiderate espressioni dei coefficienti di Fourier:

[3.1.5] Ck = 1T0x t( )e-jk!0t dt

-T0 /2

T0 /2

" ,

dove la correlazione può essere estesa al solo intervallo (-T0/2, T0/2), eliminando dall’integrando la funzione rect(t/T0), dato che le funzioni 6k(t) sono tutte nulle all’esterno dell’intervallo medesimo. Inserendo la rappresentazione in serie [3.1.2] nella espressione generale della potenza dei segnali periodici (vedi [2.3.52]), si ottiene:

[3.1.6] Wxx = 1ToCkCh

!

h"k" e j k-h( )!0t dt-T0 /2

T0 /2

" .

Le funzioni armoniche integrande per h/k hanno periodi che sono sottomultipli di T0 e quindi gli integrali sono tutti nulli, ad eccezione di quello per h=k, che vale T0; si ricava quindi la seguente proprietà dei coefficienti di Fourier:

[3.1.7] Ck2

k! = Wxx.

3.1.2 Rappresentazione in serie di funzioni ortogonali

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46 3.1.2.1 Segnali di energia rappresentati tramite una base

In analogia al caso appena considerato dei segnali periodici, fissata una certa classe di segnali sulla base del dominio di definizione e di altre proprietà, sono possibili anche per i segnali di energia rappresentazioni in serie temporali tramite l’uso di opportune funzioni ausiliarie, appartenenti anch’esse a un insieme di determinate caratteristiche. Casi di particolare interesse, considerati nell’immediato seguito, si hanno quando le funzioni utilizzate appartengono a un insieme discreto, come nel caso dello sviluppo in serie di Fourier per segnali periodici. Lo spazio funzionale dei segnali di energia, indicato con L2(T) dove il dominio di definizione T può anche estendersi all’intero asse dei tempi, oltre che lineare e normale risulta uno spazio metrico una volta definita la distanza tra due segnali generici x(t) e y(t) ad esso appartenenti:

[3.1.8] d(x, y) = x t( )-y t( ) 2 = x t( )-y t( )2

T! dt"#$

%&'1/2

.

Si supponga di disporre di un insieme discreto di funzioni {6k(t)}, con pedice k=1, 2,.., N, appartenenti a L2(T) e per cui valga la relazione di ortonormalità:

[3.1.9] !k,!h( )= !k t( )!h" t( )dt# = 0 , $ h % k

1 , h = k &'(

.

Considerato un segnale x(t), appartenente ad L2(T) e definito per ogni valore di t nel dominio T, a partire dall’insieme {6k(t)} si può costruire una sua rappresentazione in serie temporale, in generale imperfetta, tramite la combinazione lineare delle funzioni ortonormali 6k(t):

[3.1.10] !x t( ) = !kk=1

N

" #k t( ) ,

dove i coefficienti 7k, determinabili sulla base del criterio di minimizzare l’errore quadratico medio di approssimazione ossia di rendere minimo il quadrato della distanza d( x, !x ), risultano dai prodotti scalari (il lettore interessato alla dimostrazione è inviato al paragrafo 3.1.2.2):

[3.1.11] !k = x,"k( )= x t( )"k# t( )dt

T$ .

Si noti che per calcolare i coefficienti 7k il segnale x(t) deve essere conosciuto sull’intero dominio T, ossia la rappresentazione riguarda i segnali determinati. L’insieme {6k(t)} è ritenuto soddisfacente per rappresentare una certa classe di segnali x(t) se la accuratezza della rappresentazione migliora indefinitamente all’aumentare del numero N delle funzioni utilizzate; l’insieme ortonormale {6k(t)} costituisce allora una base per la classe dei segnali considerati. Si usa pertanto scrivere per N che tende all’infinito:

[3.1.12] x(t) = ( kXk6k(t), con Xk= 7k= (x,!k ) ,

dove il passaggio dalla notazione 7k a quella Xk indica il verificarsi della situazione soddisfacente e il segno di uguaglianza nella rappresentazione va inteso nel senso della approssimazione lineare in media(1); si ha poi la proprietà:

[3.1.13] (k|Xk|2 = Exx.

Si pone in evidenza che per particolari classi di segnali può accadere che si ottenga la situazione soddisfacente con un numero finito N di funzioni ortonormali; in tale caso l’insieme {6k(t)}

(1) Si può asserire che i punti dove la rappresentazione non converge al valore del segnale sono contenuti in un insieme di misura nulla rispetto a T.

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47 costituisce un sistema completo, il numero finito N è denominato dimensione della base e la rappresentazione assume la forma:

[3.1.14] x(t) = Xkk=1

N

! "k t( ) , con Xk = 7k = (x, 6k),

Si ha poi in luogo della [3.1.13]:

[3.1.15] Xk2

k=1

N

! = Exx.

Le rappresentazioni in serie temporali considerate possono essere applicate anche impiegando un insieme di funzioni solamente ortogonale, ossia con energie E6k6h/1. In tale caso però le espressioni dei coefficienti si modificano nelle:

[3.1.16] Xk = 7k = 1E!k!k

x,!k( ) = 1E!k!k

x t( )!k" t( )dt

T# ,

e si hanno le proprietà:

[3.1.17] ( k Xk2 E6k6k = Exx, Xk

2

k=1

N

! E6k6k = Exx.

Come già accennato, i coefficienti Xk possono essere ricavati solo se è noto l’andamento del segnale x(t) sull’intero dominio T, ossia le rappresentazioni in serie temporali tramite un insieme di funzioni ortogonali riguardano i segnali determinati. È tuttavia possibile considerare le [3.1.12] e [3.1.14] come rappresentazioni esplicite di un processo aleatorio continuo, assumendo che Xk siano delle variabili aleatorie.

3.1.2.2 Ottimizzazione della rappresentazione con funzioni ortogonali

La scelta dei coefficienti 7k che ottimizza la rappresentazione !x(t) è quella che rende minimo il quadrato della sua distanza dal segnale x(t), espresso dalla:

[3.1.18] d2(x, !x ) = x t( )-!x t( )2dt

T! = (x- !x , x- !x ) = (x,x) - (x, !x ) - (x, !x )* + ( !x , !x ).

Servendosi della [3.1.10] e tenuto conto della ortogonalità dell’insieme {6k(t)} si ottiene:

[3.1.19] d2(x, !x ) = (x,x) - !k" x,#k( )

k=1

N

$ - !k x,"k( )*k=1

N

# + !kh=1

N

" !h#

k=1

N

" $k,$h( ) =

=Exx - 2 ! "k x,#k( )${ }k=1

N

% + !k2

k=1

N

" E6k 6k =

= Exx - 2 ! "k{ }! x,#k( ){ }k=1

N

$ - 2 ! "k{ }! x,#k( ){ }k=1

N

$ + ! "k{ }#$ %&2

k=1

N

' E6k6k + !g t( )E6k6k.

Il valore dmin2 del quadrato della distanza si ricava uguagliando a zero le derivate parziali della

[3.1.19] rispetto a 0{7k} e 8{7k}; si perviene allora al sistema:

[3.1.20] ! x,"k( ){ }k=1

N

# - ! "k{ }k=1

N

# E6k6k = 0,

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48

[3.1.21] ! x,"k( ){ }k=1

N

# - ! "k{ }k=1

N

# E6k6k = 0,

che fornisce la soluzione ottima espressa nella [3.1.16]. Con la soluzione trovata e sempre in virtù dell’ortogonalità dell’insieme {6k(t)}, si ottiene per ogni k:

[3.1.22] (x- !x , 6k) = (x, 6k) - ( !x , 6k) = 7kE6k6k - !h ("h,h=1

N

# "k ) = 0,

ossia il segnale di errore x(t)- !x(t) della rappresentazione imperfetta risulta ortogonale a ogni funzione 6k(t) e, di conseguenza, è ortogonale anche a !x(t) . Ciò comporta la relazione:

[3.1.23] dmin2 = x 2 - !x 2 =Exx- !k

2

k=1

N

! E6k6k.

La rappresentazione in serie temporale di funzioni ortogonali è dunque soddisfacente per una data classe di segnali se

limN!"

dmin=0 ,

ossia se si verifica l’uguaglianza di Parceval:

[3.1.24] !k2

k=1

"

# E6k6k = Exx.

3.1.3 Serie di Fourier di segnali a durata limitata

Nello spazio funzionale L2 si consideri l’insieme ortogonale delle armoniche complesse troncate nell’intervallo (-T/2, T/2):

[3.1.25] 6k(t) = e jk!t rect tT!

"#

$

%& ,

dove k è intero, 2=2!/T e tutte le 6k(t) hanno la medesima energia E6k6k=T; si noti che per essere T generico tali funzioni ampliano quelle usate nel caso dei segnali periodici. Con riferimento a un qualsiasi segnale di energia g(t) a durata D limitata, si ottiene allora la rappresentazione in serie temporale del tipo [3.1.10], in generale imperfetta:

[3.1.26] !g t( ) = !kk=1

N

" e jk!t rect tT!

"#

$

%& ,

dove i coefficienti 7k sono dati dalle:

[3.1.27] 7k = 1E!k!k

x,!k( ) = 1T g t( )e-jk!t dt-T/2

T/2

" ,

avendo eliminato dall’integrando la funzione rettangolare stanti i valori stabiliti come estremi di integrazione. A patto di estendere all’infinito la serie, ossia per N9), la rappresentazione considerata si rivela soddisfacente per la classe dei segnali di energia che sono nulli all’esterno di un intervallo (tm, tM ) tutto contenuto entro (-T/2, T/2), condizione che implica necessariamente che la durata D= tM - tm non sia maggiore di T; in Figura 3.1 è mostrato un esempio di segnale della classe menzionata.

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49 Infatti, considerata una tale forma d’onda g(t) come quella da cui si genera la funzione periodica x(t)=repT[g(t)], è allora lecito porre:

[3.1.28] g(t) = x(t) rect tT!

"#

$

%& ;

servendosi della rappresentazione di x(t) in serie di Fourier (vedi [3.1.2]), si ha poi:

[3.1.29] g(t) = Ckejk!t

k" rect tT!

"#

$

%& ,

che confrontata con la [3.1.26] mostra che la rappresentazione, denominata serie di Fourier a durata limitata, è soddisfacente per la classe dei segnali considerata, con durata D*T, purché si usino i coefficienti di Fourier Ck=7k, ossia si ponga:

[3.1.30] Ck = 1T g(t)e-jk!t dt-T/2

T/2

" .

Figura 3.1: Segnale di energia a durata limitata e contenuta nell’intervallo (-T/2, T/2).

Rammentando le [3.1.17], vale inoltre la proprietà:

[3.1.31] T (k Ck2 = Egg,

dove è al solito indicata con Egg l’energia del segnale g(t). Si noti che per un assegnato segnale di energia della classe considerata lo sviluppo in serie di Fourier non è unico: al variare della durata T delle armoniche complesse unitarie troncate, purché sempre scelta nel rispetto della condizione che l’intervallo (-T/2, T/2) contenga quello (tm, tM ), sono infatti diversi i coefficienti Ck e quindi le componenti armoniche troncate che, sommandosi, ricostruiscono la forma d’onda del segnale g(t). Inoltre si osserva che ovunque sia collocato l’intervallo finito (tm, tM ) all’esterno del quale il segnale g(t) è nullo, e indipendentemente dalla sua durata finita D, è sempre possibile ottenere una rappresentazione soddisfacente in serie di Fourier facendo in modo che le funzioni ortogonali siano non nulle in un intervallo di estensione T che comprenda interamente quello (tm, tM ); ad esempio si può assumere nelle [3.1.25] la funzione di troncamento rect[(t-t0)/D] con l’opportuna traslazione temporale t0, al centro dell’intervallo (tm, tM ), come mostrato in Figura 3.2.

Figura 3.2: Segnale di energia a durata limitata esattamente contenuta nell’intervallo (t0-T/2,

t0+T/2).

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50 Si segnala infine che la rappresentazione imperfetta con un numero N finito di addendi, applicabile anche nel caso di segnali solo praticamente limitati nel tempo, può tornare utile per motivi di calcolo numerico, sempre che si possa ottenere una sufficiente approssimazione.

3.1.4 Rappresentazione per interpolazione di campioni

Nello spazio funzionale L2 si consideri l’insieme ortogonale delle funzioni reali, con durata illimitata e parametro Tc generico:

[3.1.32] 6k(t) = sinc tTc-k!

"#

$%& ,

aventi tutte il medesimo valore dell’energia E6k6k=Tc. Con riferimento a un qualsiasi segnale di energia reale a durata illimitata, ossia appartenente al medesimo spazio L2, si ottiene la rappresentazione in serie temporale del tipo [3.1.10], in generale imperfetta:

[3.1.33] !x(t) = !kk=1

N

! sinc tTc-k!

"#

$%& ,

dove i coefficienti 7k risultano reali e dati dalle:

[3.1.34] 7k= 1E!k!k

(x,!k )= 1Tcx t( )sinc t

Tc-k!

"#

$%&' dt .

Grazie alla particolare proprietà delle funzioni ortogonali considerate, per cui nell’istante kTc la k-esima funzione assume valore unitario e tutte le altre con h/k hanno valore nullo, si osserva che la [3.1.33] per t=tk=kTc fornisce 7k= !x (kTc): i coefficienti sono pertanto i valori istantanei della rappresentazione !x(t) negli istanti equispaziati tk. Nell’intento di individuare le condizioni per cui la rappresentazione considerata diviene soddisfacente, si evidenzia preliminarmente che occorre di norma assumere un numero N infinito di funzioni ortogonali, stante la durata illimitata dei segnali da rappresentare. Con N infinito, si ottiene poi che facendo tendere Tc a zero la rappresentazione è soddisfacente. Rammentando la [2.3.44], dalla [3.1.34] si ottiene infatti:

[3.1.35] 7k = limTc!0

1Tc

x t( )sinc tTc-k!

"#

$%&' dt = x t( )! t-kTc( )" dt = x(kTc),

e poiché grazie alle proprietà delle funzioni considerate si ha anche 7k= !x (kTc), risulta che la rappresentazione !x(t) ha in istanti estremamente tra loro ravvicinati gli stessi valori del segnale x(t), così da consentire di porre, almeno per Tc90:

[3.1.36] x(t) = (k cksinc tTc-k!

"#

$%& ,

dove i coefficienti reali sono i valori del segnale x(t), o campioni del segnale:

[3.1.37] ck=x(kTc),

negli istanti di campionamento equispaziati tk=kTc. Come dimostrato in seguito, la rappresentazione sopra considerata, dovuta a Nyquist, è soddisfacente con Tc non infinitesimo per una classe assai ampia di segnali di energia reali a durata illimitata, purché si scelga Tc minore di un determinabile valore limite superiore TN, denominato intervallo di Nyquist. La rappresentazione in serie temporale [3.1.16] ricostruisce

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51 dunque il segnale per interpolazione dei campioni ck a intervallo di campionamento Tc<TN, tramite infinite funzioni ottenute dall’impulso sinc per traslazione temporale kTc (vedi Figura 3.3).

Figura 3.3: Rappresentazione di un segnale per interpolazione dei suoi campioni.

Rammentando le [3.1.17], vale inoltre la proprietà:

[3.1.38] Tc (k ck2 = Exx,

dove è al solito indicata con Exx l’energia del segnale x(t). Come nel caso della serie di Fourier di segnali a durata limitata, la rappresentazione per interpolazione di campioni non è unica: al variare dell’intervallo di campionamento Tc che determina la scelta delle funzioni ortogonali, nel rispetto della condizione Tc<TN risultano infatti diversi i campioni ck, oltre che le funzioni interpolanti 6k(t). La rappresentazione può essere inoltre applicata anche a una opportuna classe di segnali di potenza, per cui sia determinabile un valore non nullo dell’intervallo di Nyquist; in tale caso l’accuratezza soddisfacente può dimostrarsi effettuando la interpolazione in serie per valore di N finito e, quindi, passando al limite per N9). Come esempio immediato, la [3.1.33] è soddisfacente nel caso elementare x(t)=c costante reale; per N9), infatti, tenuto conto delle proprietà delle funzioni ortogonali considerate (vedi paragrafo 2.5.1.6), che hanno tutte area di valore Tc e una volta sommate danno il valore 1 per ogni t, dalle [3.1.34] i coefficienti 7k risultano tutti uguali alla costante c e quindi dalla [3.1.33] si ottiene !x(t)=c=x(t). Per motivi di calcolo numerico può tornare infine utile l’impiego della rappresentazione imperfetta ottenuta con i campioni effettivi ck, in numero N finito, dell’andamento troncato nel tempo del segnale x(t); in tale caso l’approssimazione del segnale !x(t) ottenuto per interpolazione non è adeguata solo nei suoi tratti estremi.

3.2 Rappresentazione nello spazio dei segnali

Si torni a considerare la rappresentazione !x(t) , con i coefficienti 7k=(x,6k). Da tale ultima espressione, grazie alla ortonormalità della famiglia {6k(t)} risulta che alle N funzioni 6k(t)

corrispondono le ennuple di valori (1,0,..,0), (0,1,..,0),.., (0,0,..,1),

alle quali si possono associare N versori, 66k, tutti tra loro ortogonali, che definiscono uno spazio euclideo ad altrettante dimensioni, denominato spazio dei segnali. Ammesso che le N funzioni

6k(t) siano reali, la relazione 7k=(x,6k) stabilisce una corrispondenza tra un segnale reale x(t) e una ennupla di valori reali, (71, 72 , ......, 7N), a cui si può associare un vettore !xx , che risulta la proiezione del segnale nello spazio a N dimensioni appena sopra definito. Ogni coefficiente 7k è dunque la k-esima componente del vettore !xx secondo 66k, ossia si ha:

[3.2.1] 7k = !xx :66k,

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52 che ancora più giustifica la denominazione di prodotto scalare della operazione 7k=(x,6k) nel dominio del tempo. Come già evidenziato in precedenza, in generale occorre un numero infinito di funzioni ortonormali per rappresentare in modo soddisfacente qualsiasi segnale nel suo intervallo di definizione; tuttavia la desiderata accuratezza può essere raggiunta, per particolari categorie di segnali, anche per N finito. In tale caso diviene biunivoca la corrispondenza tra un segnale x(t), per cui vale nel dominio del tempo la rappresentazione:

[3.2.2] x(t) = xk!k t( )k=1

N

! , xk = (x,6k),

e la sua rappresentazione vettoriale nella base euclidea {66k}, come illustrato in Figura 3.4, indicata con la notazione:

[3.2.3] x = xk!!kk=1

N

" , xk = x:66k.

Si ricava anche il seguente legame tra il modulo | x | del vettore e la energia del segnale:

[3.2.4] |x|2= x.x = xk2

k=1

N

! = Exx.

Figura 3.4: Rappresentazione di un segnale nello spazio dei segnali

L’utilità della rappresentazione introdotta risiede nel fatto che non compare la variabile temporale. Si consideri una coppia di segnali, x(t) e y(t), che siano entrambi rappresentabili tramite una base

{6k(t)} a N dimensioni con le ennuple xk e yk (k = 1, 2,.., N); si ottiene per il prodotto scalare dei due corrispondenti vettori, x e y, nello spazio dei segnali:

[3.2.5] x.y = xkykk=1

N

! .

Introducendo nella definizione di prodotto scalare nel dominio del tempo i segnali rappresentati come combinazioni lineari delle funzioni di base 6k(t), si perviene al medesimo risultato, ossia si ha:

[3.2.6] x.y = (x,y).

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53 Infatti per la ortonormalità delle funzioni reali di base si ottiene:

[3.2.7] x,y( )= x t( )y* t( )dt! = xk"k t( )k=1

N

# yh"h t( )h=1

N

# dt! = xkyh !k t( )!h t( )dt"h=1

N

#k=1

N

# = xkykk=1

N

! .

Si noti che per (x,y)=0 i due vettori rappresentativi x e y sono effettivamente ortogonali nello spazio dei segnali.

3.2.1 Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt

Vale la pena di richiamare un importante caso di categoria di segnali rappresentabili in modo soddisfacente tramite una base ortonormale, ossia in uno spazio a dimensione finita: si tratta del generico insieme discreto, {xi(t)}, costituito da un numero finito M di segnali, per cui il metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt garantisce la piena validità della rappresentazione facendo ricorso a precisabili funzioni ortonormali in numero finito N * M. Il metodo consiste nell’effettuare delle operazioni su ogni xi(t) per ricavare una funzione di base 6i(t) ortonormale a tutte le funzioni precedentemente determinate. Nel primo passo si pone:

[3.2.8] 61(t) = x1 t( )x1 t( )

.

Nel secondo passo si determina il segnale ortogonale a x1(t) :

[3.2.9] w2(t) = x2(t) – (x2, y1) 61(t),

ricavando quindi la seconda funzione di base:

[3.2.10] !2 t( )=w2 t( )w2 t( )

.

Al k-esimo passo si ha il segnale ortogonale a tutti i precedenti:

[3.2.11] wk(t) = xk(t) - xk,!i( )!i t( )i=1

k-1

" ,

e la corrispondente funzione di base:

[3.2.12] !k t( )=wk t( )wk t( )

.

Le 6(t) sono combinazioni lineari dei segnali xi(t); se questi sono linearmente indipendenti esistono tutte le 6(t); altrimenti solo N * M di esse risultano non identicamente nulle.

3.3 RAPPRESENTAZIONE IN FREQUENZA DI SEGNALI TEMPO CONTINUI

3.3.1 Trasformazioni lineari di segnali tempo continui

Siano x(v) una funzione complessa, con codominio X, di una variabile indipendente reale v e w(z) una funzione complessa, con codominio W, di una variabile indipendente z, in generale complessa e diversa da v. In via del tutto generale una trasformazione, indicata con la notazione

[3.3.1] w(z) = T{x(v), z},

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54 è definita come una legge di corrispondenza stabilita da un ente matematico, denominato operatore, tra le funzioni di entrata x(v) e quelle di uscita w(z). La x(v) è denominata operando, la w(z) è denominata trasformata. Nel seguito si limita l’attenzione alle trasformazioni lineari, per le quali l’operatore soddisfa la condizione di additività, in modo che vale la nota proprietà della sovrapposizione degli effetti:

[3.3.2] T{[c1x1(v) + c2x2(v)], z} = c1T{x1(v), z} + c2T{x2(v), z}.

In presenza di linearità e supponendo continui i domini delle variabili indipendenti, la trasformazione può assumere l’espressione:

[3.3.3] T{x(v), z} = x v( )hn z,v( )dv! = x v( ),hn! z,v( )( ) ,

dove la funzione hn(z, v), in genere complessa, viene denominata nucleo della trasformazione lineare. Assumendo che l’operando sia un segnale x(t) tempo continuo (v=t) e che la variabile z non sia una variabile temporale, si ha specificatamente una trasformazione lineare di segnale tempo continuo e la trasformata, usualmente indicata con la lettera maiuscola:

[3.3.4] X(z) " T{x(t), z} = x t( )hn z,t( )dt! ,

assume il significato di rappresentazione del segnale x(t) nel dominio continuo di z, diverso da quello temporale. Un esempio tipico di trasformazione lineare di segnale tempo continuo è quello offerto dalla sua rappresentazione nel dominio della frequenza con la trasformata di Fourier, in cui la variabile z=f=%/2! è reale e il nucleo della trasformazione si particolarizza nella funzione:

[3.3.5] hn(f, t) = e-j!t .

Un secondo esempio è quello della trasformazione di Laplace, che permette la rappresentazione dei segnali nel dominio della variabile complessa s=7+j%.

3.3.2 Trasformata di Fourier e sue proprietà

3.3.2.1 Trasformata di Fourier Tanto nel caso di segnali periodici, quanto in quello dei segnali a durata finita è stato messa in evidenza una rappresentazione di tipo armonico, in cui appunto il segnale risulta come somma di una serie discreta di componenti armoniche complesse, infinitamente estese nel tempo oppure troncate. Anche nel caso di segnali bilateri di energia, a durata illimitata, può essere effettuata un’analisi armonica, purché si faccia riferimento all’insieme continuo di funzioni tra loro incoerenti, formato dalle armoniche complesse di modulo unitario alle frequenze generiche f=%

/2! e con fasi nulle:

[3.3.6] e j!t = cos%t + j sin%t,

e purché in luogo dei coefficienti complessi discreti si consideri la funzione complessa:

[3.3.7] X(f) = x t( )e-j!t dt" = x t( ),e j!t( ) ,

appartenente allo spazio funzionale L2 nel dominio della frequenza, denominata trasformata di Fourier del segnale x(t). La trasformazione considerata nella [3.3.7] è reversibile, ossia si ha la antitrasformata di Fourier:

[3.3.8] x(t) = X f( )e j!t df" = X f( ),e-j!t( ) ,

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55 che appare come una rappresentazione soddisfacente con riferimento all’insieme continuo delle funzioni [3.3.6]. Si osservi che nella [3.3.8] il segnale appare infatti composto da infinite componenti armoniche complesse X(f) e j!t df. Si usano spesso le notazioni:

X(f) " F x t( ){ } , x(t) " F-1 X f( ){ } . La corrispondenza biunivoca tra il segnale nello spazio funzionale L2 nel dominio del tempo e la sua trasformata di Fourier nello spazio L2 nel dominio della frequenza è poi indicata nel seguito con la notazione:

x(t) ; X(f). Si noti che per ottenere la trasformata di Fourier il segnale x(t) deve essere conosciuto sull’intero dominio del tempo, ossia la rappresentazione considerata riguarda i segnali determinati; essa è tuttavia formalmente applicabile anche a segnali di energia casuali quando l’aleatorietà riguardi esclusivamente dei parametri. La funzione complessa X(f), di norma espressa in modulo, |X(f)|, e in argomento, arg{X(f)}, è rappresentabile graficamente con la coppia dei tracciati |X(f)| e arg{X(f)}, rispettivamente nei piani |F|, f e arg{F}, f, denominati spettro di ampiezza e spettro di fase del segnale (vedi esempio in Figura 3.5). La trasformata di Fourier viene pertanto anche indicata come lo spettro del segnale.

Figura 3.5: Spettro di ampiezza (a) e spettro di fase (b) di un segnale.

Oltre che per i segnali di energia appartenenti allo spazio funzionale L2 nel dominio del tempo, ossia quadraticamente integrabili, l’integrale che conduce alla funzione X(f) converge nel caso dei segnali appartenenti a L1, cioè assolutamente integrabili. Inoltre la trasformata di Fourier può esistere per segnali di altro tipo, come si constaterà in seguito. 3.3.2.2 Proprietà generali della trasformata di Fourier

Gli operatori che conducono alla trasformata e alla antitrasformata di Fourier godono anzitutto della proprietà di linearità, ossia a una combinazione lineare a coefficienti costanti di più segnali corrisponde la combinazione lineare, con i medesimi coefficienti, dei rispettivi spettri dei segnali, e viceversa; è allora lecito porre:

[3.3.9] c1x1(t) + c2x2(t) +... ; c1X1(f) + c2X2(f)+...

In particolare, per un segnale complesso vale la corrispondenza biunivoca:

[3.3.10] xR(t)+jxI(t) ; F xR t( ){ } + jF xI t( ){ } .

La coppia di operatori manifesta inoltre la proprietà di dualità; posto che sia F x(t){ }=X(f), scambiando nelle funzioni la variabile tempo con la variabile frequenza si ottiene infatti:

[3.3.11] F{X(t)}= x(-f).

Nella Tabella 3.1 sono riportate altre notevoli proprietà generali della trasformata di Fourier. Il lettore è invitato a titolo di esercizio a seguire le dimostrazioni riportate nel paragrafo 3.3.3.

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56 Tabella 3.1: Alcune notevoli proprietà della trasformata di Fourier

PROPRIETÀ SEGNALE TRASFORMATA Scalatura x(at) 1

| a |Xfa!

"#$

%&

Inversione di segno x(-t) X(-f ) Traslazione nel tempo x(t+t0) X(f) e j2!ft0 Traslazione in frequenza x(t) e j2!f0t X(f-f0) Coniugazione nel tempo x*(t ) X*(-f) Coniugazione in frequenza x*(-t ) X*(f) Derivazione nel tempo dn

dtnx( t ) (j2!f)n X(f)

Derivazione in frequenza (-j2!t)n x(t)

dnd f n X(f)

Integrazione nel tempo

x(t)dt"

X(f)j2" f

3.3.2.3 Proprietà di convoluzione della trasformata di Fourier Due ulteriori importanti proprietà della trasformata di Fourier fanno riferimento alla operazione denominata integrale di convoluzione tra due segnali tempo continui, in generale complessi, indicata con la notazione x(t)$y(t) e definita mediante la espressione:

[3.3.12] x(t)$y(t) =

x(v) y(t - v)dv" ,

dove v è una variabile temporale. L’operatore introdotto, che come si constaterà in seguito ha una notevole rilevanza, è applicabile tanto a una coppia di segnali di energia, quanto a un segnale di energia e uno di potenza; nel primo caso si ottiene un segnale di energia, mentre nel secondo si ha un segnale di potenza. L’operazione di convoluzione gode delle proprietà associativa, distributiva e commutativa, tipiche dell’usuale operazione di prodotto; in particolare è indifferente all’ordine dei due segnali, per cui si ha:

[3.3.13]

x(v) y(t - v)dv" =

y(v) x(t - v)dv" .

Applicando l’operatore della trasformata di Fourier all’integrale di convoluzione tra una coppia di segnali di energia e servendosi della proprietà di traslazione nel tempo, si ottiene:

[3.3.14]

(x(t)" y(t),e j# t ) =

x(v)y(t - v)e-j" tdvdt## =

x(v) y(t - v)e-j" t dt#[ ]dv# =

x(v)Y (f)e-j" vdv# = X(f) Y(f),

dimostrando l’importante proprietà di convoluzione nel tempo:

[3.3.15] F{x(t)!y(t)} = X(f) Y(f).

Con procedimento analogo e applicando l’operatore della antitrasformata di Fourier all’integrale di convoluzione tra le trasformate X(f) e Y(f) di due segnali di energia, si dimostra la proprietà di convoluzione in frequenza:

[3.3.16] F{x(t)y(t)} = X(f)$Y(f).

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57 3.3.2.4 Trasformata di Fourier di segnale reale

Nel caso frequente di segnale reale, con x(t)=xR(t) e xI(t)=0, che ammetta la trasformata di Fourier si ottiene:

[3.3.17] X(f) = xR t( )cos!t dt -j xR t( )" sin!t dt" = XR(f) + jXI(f),

e cambiando f con -f :

[3.3.18] X(-f) = xR t( )cos!t dt +j xR t( )" sin!t dt" = XR(f) - jXI(f).

La trasformata X(f) di un segnale reale risulta dunque una funzione hermitiana, ossia si ha la proprietà particolare:

[3.3.19] x( t ) = x*( t ) ; X(f) = X*(-f);

lo spettro di ampiezza è dunque una funzione pari, |X(f)|=|X(-f)|, mentre quello di fase è una funzione dispari, arg{X(f)}=-arg{X(-f)}. Dalla osservazione degli andamenti degli spettri mostrati a titolo di esempio in Figura 3.5, si può dedurre che il segnale a cui tali spettri si riferiscono è reale. Se poi il segnale oltre che reale è una funzione pari, anche la sua trasformata gode della medesima particolarità, ossia si ha la proprietà, ancora più particolare:

[3.3.20] x( t ) = x*( t ) = x(-t ) ; X(f) = X*(f) = X(-f).

3.3.3 Dimostrazioni di alcune proprietà della trasformata di Fourier

Proprietà di scalatura

[3.3.21] F{x(at)}= x at( )e! j"t dt# ;

con il cambio di variabile t’=at si ricava:

[3.3.22] F{x(at)}= 1asgn(a) x t '( )e

! j"at 'dt '# =

1aX fa$

%&'

() ;

Proprietà di inversione di segno Applicando la scalatura con a=-1 si ha direttamente:

[3.3.23] F{x(-t)}=X(-f)

Proprietà di traslazione nel tempo Si ha:

[3.3.24] F{x(t+t0)}= x t + t0( )e! j"t dt#

con il cambio di variabile t’=t+t0 si ricava:

[3.3.25] F{x(t+t0)}= x t '( )e! j" t '!t0( ) dt '# = e j"t0X f( )

Proprietà di traslazione in frequenza Si ricava immediatamente:

[3.3.26] F x t( )e j!0t{ }= x t( )e j!0te" j!t dt# = x t( )e" j !"!0( )t dt# = X f " f0( )

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58 Proprietà di coniugazione nel tempo Si ricava immediatamente:

[3.3.27] F x* t( ){ }= x* t( )e! j"t dt# = x t( )e j"t dt#$% &'*= X* !f( )

Proprietà di coniugazione in frequenza Si ha:

[3.3.28] X*(f)= x t( )e! j"t dt#$% &'*= x* t( )e j"t dt#

con il cambio di variabile t’=-t si ricava:

[3.3.29] X*(f)= x* !t '( )e! j"t ' dt '# = F{x*(-t)}

Proprietà di derivazione nel tempo Si ha:

[3.3.30]Fdnx t( )dtn

!"#

$#

%&#

'#=

dnx t( )dtn

e( j)t dt* ;

integrando per parti si ha:

[3.3.31] Fdnx t( )dtn

!"#

$#

%&#

'#=dn(1x t( )dtn(1

e( j)t*

+,

-

./(0

0

+ j)dn(1x t( )dtn(1

e( j)t dt1

dove il primo termine è nullo poiché x(t) è un segnale di energia; iterando si ottiene:

[3.3.32] Fdnx t( )dtn

!"#

$#

%&#

'#= j(( )n x t( )e) j(t dt* = j(( )n X(f)

Proprietà di derivazione in frequenza Si ricava immediatamente:

[3.3.33] dnX f( )df n

=dn

df nx t( )e! j"t dt#$% &

'= x t( ) dne! j"t

df ndt =# ! j"( )n X f( )

Proprietà di integrazione nel tempo Si ha:

[3.3.34] F x u( )du!"

t

#$%&

'()= x u( )du

!"

t

# e! j*t dt =# x u( )du 1-j*

d!"

t

# e! j*t( ) =#

integrando per parti si ottiene:

[3.3.35] F x u( )du!"

t

#$%&

'()= !

e! j*t

j*x u( )du

!"

t

#+

,-

.

/0!"

"

+1j*

x t( )e! j*t dt# =1j*X f( )

nell’ipotesi area [x(t)]=0, altrimenti si ha l’addendo {area[x(t)+(t)}/2.

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59 3.3.4 Esempi rilevanti di trasformate di Fourier

3.3.4.1 Trasformata dell’impulso rettangolare unitario e del segnale sinc

L’impulso rettangolare unitario rect(t/T), con andamento temporale mostrato in Figura 3.6a, è un esempio tipico di segnale appartenente alla spazio L2 e a durata limitata. Applicando ad esso l’operatore della trasformata di Fourier si ottiene:

[3.3.36] (rect(t/T), e j!t ) = rect tT!

"#

$

%&e-j't dt( = e-j!t dt

-T/2

T/2

" = e- j!T/2-ej!T/2-j! ,

determinando la seguente espressione della trasformata di Fourier:

[3.3.37] F{rect(t/T)} = T sinc(fT).

Essendo il segnale reale e pari, tale è anche la trasformata di Fourier, con il solo spettro di ampiezza mostrato in Figura 3.6b.

Figura 3.6: Impulso rettangolare unitario nel tempo (a) e suo spettro (b).

Il segnale sinc(t/T), con la forma d’onda mostrata in Figura 3.7a, è un classico esempio di segnale ancora appartenente alla spazio L2, ma a durata illimitata. A partire dalla [3.3.22], applicando le proprietà di dualità e scalatura della trasformata di Fourier si ottiene direttamente la seguente espressione:

[3.3.38] F{sinc(t/T)} = T rect(fT),

ancora di tipo reale e pari, con il solo spettro di ampiezza tracciato in Figura 3.7b.

Figura 3.7: Segnale sinc(t/T) nel tempo (a) e suo spettro (b).

I due segnali considerati si scambiano dunque tra loro passando dalla rappresentazione nel dominio del tempo a quella nel dominio della frequenza. In particolare il primo è limitato nel tempo e illimitato in frequenza, mentre il secondo è illimitato nel tempo e limitato in frequenza.

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60 3.3.4.2 Trasformata di segnali particolari

Come già accennato, la trasformata di Fourier può convergere anche nel caso di segnali particolari, che non sono né quadraticamente, né assolutamente integrabili, ovverosia che non appartengano né allo spazio funzionale L2, né a quello L1. Nel caso dell’impulso ideale, rammentando la sua proprietà di campionamento si ha ad esempio:

[3.3.39] (+(t), e j!t ) = ! t( )e-j"t dt# = e-j!tt=0

= 1,

ossia la trasformata di Fourier dell’impulso ideale è costante in frequenza e unitaria:

[3.3.40] F{+(t)} = 1.

Considerando l’antitrasformata di Fourier applicata all’impulso ideale nel dominio della frequenza, +(f), si ricava analogamente:

[3.3.41] F-1 ! f( ){ } = ! f( )e j"t df# = e j!tf=0

= 1,

per cui si può evidenziare la trasformata di Fourier del segnale costante nel tempo e unitario:

[3.3.42] F{1} = +(f).

Allo scopo di determinare la trasformata di Fourier di altri segnali particolari è opportuno fare riferimento al segnale unitario a decadimento esponenziale, e-t/T u(t) con T>0, che appartiene allo spazio L2; come il lettore può ricavare a titolo di esercizio, il segnale considerato ha la trasformata:

[3.3.43] F e-t /Tu t( ){ }= T1+ j!T = T

1+ j2!fT .

In base a tale ultima espressione e ponendo:

[3.3.44] sgn(t) = limT!"

e-t /Tu t( )-et /Tu -t( ){ } ,

si ottiene la trasformata di Fourier di quest’ultimo:

[3.3.45] F{sgn(t)}= limT!"

T1+j#T -

T1-j#T{ } = lim

T!"

-j2#T21+#2T2{ } = 1j!f .

Rammentando l’espressione u(t)=[1+sgn(t)]/2 e la [3.3.27], si determina poi immediatamente la trasformata di Fourier del gradino unitario:

[3.3.46] F{u(t)} = 12 +(f) + 1j2!f .

Pur essendo un segnale di potenza, anche una generica armonica complessa A e j(!ot+! ) , a frequenza f0=20/2!=1/T0 e con ampiezza A e fase &, ammette la trasformata di Fourier. Poiché si ottiene:

[3.3.47] (A e j !0t+"( ) , e j!t ) = Aej! e j "0 -#( )t dt$ ,

calcolando l’integrale con gli estremi -T/2 e T/2 e poi passando al limite per T9) (il lettore interessato faccia anche riferimento alla [2.3.43]) risulta infatti:

[3.3.48] F Aej !ot+"( ){ } = A e j!+(f-f0).

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61 Nel caso di una generica armonica reale, tenuto conto che si può porre:

[3.3.49] A cos(20t + &) = 12 A e j(!ot+")+e-j(!ot+")#$ %& ,

si ottiene la trasformata di Fourier:

[3.3.50] F{A cos(20t + &)} = 12 A e j!+(f-fo) + 12 A e-j! +(f+f0),

che come atteso, per essere reale il segnale, è una funzione hermitiana nella frequenza. Lo spettro, nullo per ogni f tranne che in corrispondenza dei valori discreti ±fo, si denomina discreto o spettro a righe, dato che viene convenzionalmente disegnato, come mostrato in Figura 3.8, con righe di altezza uguale al modulo oppure all’argomento dell’area di ciascuna componente discreta.

Figura 3.8: Raffigurazione convenzionale dello spettro discreto di ampiezza (a) e di fase (b) di un

segnale armonico reale.

3.3.5 Affinità tra segnali di energia rappresentati in frequenza

Nel paragrafo 2.5.1 sono state svolte interessanti considerazioni sull’affinità tra due generici segnali di energia x(t) e y(t), a partire dalla funzione di intercorrelazione Cxy(-) desumibile dai loro andamenti in funzione del tempo. Si desidera in questa sede approfondire l’argomento, supponendo di conoscere le rappresentazioni in frequenza dei segnali, ossia le trasformate di Fourier X(f) e Y(f). Se si effettua il cambio di variabile da t a -v nell’integrale che definisce la funzione di intercorrelazione tra una coppia di segnali di energia, questa assume la forma del particolare prodotto di convoluzione (vedi [3.3.12]):

[3.3.51] Cxy(-) = (x(t+-), y(t)) = x(-)$y*(--),

stabilendo così una interessante relazione tra le due funzioni. In base alla proprietà di convoluzione nel tempo (vedi [3.3.15]) della trasformata di Fourier risulta allora:

[3.3.52] F {Cxy(-)} = X(f) Y*(f).

Si ottiene di conseguenza la seguente espressione della funzione di intercorrelazione in funzione degli spettri dei segnali:

[3.3.53] Cxy(-) = F-1 X f( )Y! f( ){ } = X f( )Y* f( )e j!" df# ;

ponendo in particolare -=0, il prodotto scalare assume poi le forme:

[3.3.54] (x,y) = x t( )y* t( )dt! = X f( )Y* f( )df! ,

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62 che mostrano come tale grandezza abbia nel dominio della frequenza una forma duale rispetto a quella della sua definizione nel dominio del tempo. L’ultimo membro della [3.3.53] permette di individuare una interessante condizione sufficiente perché i due segnali siano privi di ogni affinità, ossia risultino incorrelati: se infatti gli spettri dei due segnali sono diversi da zero in intervalli di frequenza separati si ha X(f)Y*(f)"0, ossia l’integrando è nullo per ogni frequenza, in modo che la funzione di intercorrelazione risulta identicamente nulla per ogni -, ossia si verifica Cxy(-)"0. Con analogo ragionamento sulla [3.3.54], la menzionata separazione in frequenza di una coppia di segnali è anche condizione sufficiente, ma non necessaria per la loro ortogonalità, così come è stato già osservato per la separazione nel tempo, che comporta x(t)y*(t)"0. Si rammenta che la massima affinità in senso lato si verifica se e solo se i segnali sono tra loro fedeli, ossia sussiste la relazione y(t)=g e- j! x(t-to); passando alle rappresentazioni in frequenza si ottiene allora la corrispondente espressione:

[3.3.55] Y(f) = gX(f) e- j !to +"( ) ,

per cui la generica famiglia di segnali di energia fedeli è caratterizzata in frequenza da spettri di ampiezza proporzionali e da differenze degli spettri di fase con andamenti lineari (proporzionali nel caso di segnali reali con g>0). 3.3.6 Spettri di energia

3.3.6.1 Densità spettrale di energia di un segnale

Se nella espressione [3.3.53] si pone y(t)"x(t), si ottiene la funzione di autocorrelazione in funzione dello spettro X(f) del segnale di energia:

[3.3.56] Cxx(-) = F-1 X f( )X! f( ){ } = X f( )2e j!" df# .

Rammentando che il valore nell’origine Cxx(0), per -=0, fornisce l’energia Exx del segnale, si ricavano allora le seguente espressioni:

[3.3.57] Exx = x t( )2dt! = X f( )

2df! ;

esse mostrano come nel dominio della frequenza la energia abbia forma duale rispetto a quella della sua definizione nel dominio del tempo (teorema di Parseval) e inoltre suggeriscono la denominazione di densità spettrale di energia, o spettro di energia, per il quadrato dello spettro di ampiezza:

[3.3.58] Exx(f) = X(f) X*(f) = |X(f)|2,

funzione, sempre reale, che rivela con il suo andamento come l’energia si distribuisca sull’asse delle frequenze. Trasformando ambo i membri della [3.3.56] si perviene alla seguente relazione nel dominio della frequenza, denominata di Wiener-Khintchine:

[3.3.59] Exx(f) = F{Cxx(-)} = Cxx !( )e- j"! d!# ,

da cui risulta in modo diretto che lo spettro di energia è la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione. Nel caso particolare, ma frequente, di segnale reale la funzione di autocorrelazione è reale e pari; di conseguenza anche lo spettro di energia assume le medesime caratteristiche, ossia si ha Exx(f)=Exx(-f).

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63 Nelle rappresentazioni grafiche la funzione Exx(f) è preferita rispetto allo spettro di ampiezza |X(f)|, e spesso non viene tracciata direttamente, ma tramite la sua espressione in decibel:

E[dB] = 10 log Exx (f)ExxM

,

prendendo come riferimento il suo valore massimo, indicato con ExxM. Per tale via risulta infatti possibile evidenziare valori molto piccoli rispetto a quello massimo, come mostrato nell’esempio in Figura 3.9 che si riferisce allo spettro di energia dell’impulso rettangolare, Exx(f)=T2

sinc2(fT).

Figura 3.9: Rappresentazione in decibel dello spettro di energia dell’impulso rettangolare.

3.3.6.2 Densità spettrale di energia della somma di due segnali

Si consideri il segnale z(t)=x(t)+y(t), somma di due segnali di energia. Mentre grazie alla proprietà di linearità della trasformata di Fourier lo spettro di z(t) è la somma di quelli dei suoi addendi, ossia si ha Z(f)=X(f)+Y(f), ciò non vale in generale per lo spettro di energia (o di ampiezza); infatti si ha:

[3.3.60] Ezz(f) = [X(f) + Y(f)] [X*(f) + Y*(f)] = Exx(f) + Eyy(f) + 20{Exy(f)},

dove si è posto per le densità spettrali mutue di energia, o spettri mutui di energia, tra i due segnali:

[3.3.61] Exy(f) = X(f) Y*(f), Eyx(f) = Y(f) X*(f) = Exy! f( ) ,

funzioni complesse. Si noti che trasformando ambo i membri della [3.3.53] si perviene alla seguente relazione nel dominio della frequenza:

[3.3.62] Exy(f) = F{Cxy(-)} = Cxy !( )e- j"! d!# .

In generale non sono sommabili nemmeno le energie dei due segnali, dato che procedendo alla integrazione sull’intero asse delle frequenze risulta:

[3.3.63] Ezz = Ezz f( )! df = Exx + Eyy+ 2 ! Exy f( )"# $%& df .

Se i segnali sono privi di ogni affinità, ossia sono incorrelati, come accade nel caso della separazione in frequenza, le densità spettrali mutue sono identicamente nulle: di conseguenza i segnali risultano sia sommabili in spettro di energia, che sommabili in energia. La incorrelazione è condizione necessaria e sufficiente affinché due segnali siano sommabili in spettro di energia, mentre è condizione sufficiente, ma non necessaria affinché essi siano sommabili in energia. Infatti, tale situazione si verifica anche se risulta:

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64 [3.3.64] ! Exy f( )"# $%& df = 0,

con densità spettrale mutua di energia non identicamente nulla. Tenuto conto della [3.3.62], l’integrale a primo membro nella [3.3.64] corrisponde al valore nell’origine (per -=0) della funzione di intercorrelazione, ossia al prodotto scalare; si può pertanto affermare che due segnali ortogonali, per cui si ha Cxy(0)=0, sono sempre sommabili in energia. 3.3.7 Spettri di potenza

3.3.7.1 Densità spettrale di potenza di un segnale Con riferimento a un segnale di potenza, considerando il corrispondente segnale di energia troncato xT(t) e la sua trasformata di Fourier, si definisce la densità spettrale di potenza o anche spettro di potenza del segnale:

[3.3.65] Wxx(f) = limT!"

1T XT f( )XT

# f( ) = limT!"

1T |XT(f)|2,

funzione sempre reale che indica come la potenza si distribuisca sull’asse della frequenza. Considerando la funzione di autocorrelazione temporale Rxx(-), nell’ipotesi che sia possibile invertire l’ordine tra l’integrale e il limite, si ha la relazione di Wiener-Khintchine:

[3.3.66] Wxx(f) = F{Rxx(-)}= Rxx !( )e- j"! d!# ,

da cui risulta in modo diretto che lo spettro di potenza è la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione. Passando al dominio del tempo, per -=0 si ricava inoltre:

[3.3.67] Wxx = Rxx(0) = Wxx f( )df! .

Nel caso particolare, ma frequente, di segnale reale la funzione di autocorrelazione temporale è reale e pari; di conseguenza anche lo spettro di potenza del segnale assume le medesime caratteristiche, ossia si ha Wxx(f)=Wxx(-f).

3.3.7.2 Densità spettrale di potenza della somma di due segnali Con considerazioni analoghe al caso dei segnali di energia, per il segnale z(t)=x(t)+y(t), somma di due segnali di potenza, si perviene alla espressione:

[3.3.68] Wzz(f) = Wxx(f) + Wyy(f) + 20{Wxy(f)},

dove si è posto per le densità spettrali mutue di potenza, o spettri mutui di potenza, tra i due segnali:

[3.3.69] Wxy(f) = limT!"

1T XT f( )YT# f( ) , Wyx(f) = lim

T!"

1T YT f( )XT

# f( ) = Wxy! f( ) ,

funzioni complesse per cui valgono le seguenti relazioni nel dominio della frequenza:

[3.3.70] Wxy(f) = F{Rxy(-)}, Wyx(f) = F{Ryx(-)}.

In generale non sono sommabili nemmeno le potenze dei due segnali, dato che procedendo alla integrazione sull’intero asse delle frequenze risulta:

[3.3.71] Wzz = Wzz f( )! df = Wxx + Wyy + 2 ! Wxy f( )"# $%& df .

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65 Se i segnali sono incoerenti, come accade nel caso della separazione in frequenza che applicato alle [3.3.69] comporta Wxy(f) " Wyx(f)"0, i segnali risultano sia sommabili in spettro di potenza, che sommabili in potenza. La incoerenza è condizione necessaria e sufficiente affinché due segnali siano sommabili in spettro di potenza, mentre è condizione sufficiente, ma non necessaria affinché essi siano sommabili in potenza: infatti tale situazione si verifica anche se risulta:

[3.3.72] ! Wxy f( )"# $%& df = 0,

con densità spettrale mutua di potenza non identicamente nulla. Tenuto conto della [3.3.70], l’integrale a primo membro nella [3.3.72] corrisponde al valore nell’origine (per -=0) della funzione di intercorrelazione; si può pertanto affermare che due segnali per cui risulti Rxy(0)=0 sono sempre sommabili in potenza.

3.3.8 Estensione spettrale dei segnali reali

3.3.8.1 Considerazioni sulla estensione degli spettri di energia Con riferimento a un segnale di energia, dalle proprietà della trasformata di Fourier risulta che se la durata è finita, ossia il segnale è strettamente limitato in tempo, il suo spettro di energia E(f) è illimitato in frequenza (vedi ad esempio Figura 3.6). In modo duale, se lo spettro risulta diverso da zero solo entro un intervallo di frequenza finito, ossia si ha un segnale strettamente limitato in frequenza, l’andamento nel tempo si estende illimitatamente (vedi ad esempio Figura 3.7). Si ha poi il caso in cui sono illimitate entrambe le rappresentazioni, nel dominio del tempo e in quello della frequenza (vedi ad esempio il segnale unitario a decadimento esponenziale). Limitando nell’immediato seguito le considerazioni ai soli segnali reali, si osserva che un generico segnale di energia reale è completamente caratterizzato anche su un solo semiasse delle frequenze, dato che lo spettro di energia, oltre che reale, è una funzione pari. Facendo allora riferimento alle sole frequenze non negative, nel caso di stretta limitazione in frequenza di E(f), ossia di segnale strettamente limitato in frequenza, è allora chiaramente determinabile il valore massimo, fM, oltre il quale lo spettro di energia è nullo; potrebbe inoltre esistere un valore minimo, fm, al di sotto del quale lo spettro di energia è nullo, come mostrato nell’esempio in Figura 3.10a; diversamente, si assume che sia abbia fm=0, come nel caso in Figura 3.10b.

Figura 3.10: Spettri di energia di segnali reali strettamente limitati in frequenza.

Sempre con riferimento al solo semiasse destro delle frequenze, nel caso di spettro di energia teoricamente illimitato è comunque possibile (vedi ad esempio Figura 3.11a e Figura 3.11b) trascurare le componenti spettrali al di sopra di un opportuno valore positivo di frequenza, che si assume come massimo, fM, e talvolta (vedi ad esempio Figura 3.11b) anche quelle al di sotto di un altro valore positivo, assunto come minimo, fm; si adotta allora la denominazione di segnale praticamente limitato in frequenza.

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Figura 3.11: Spettri di energia di segnali reali praticamente limitati in frequenza.

Per un segnale solo praticamente limitato in frequenza il valore massimo fM non è precisamente definito, come accade anche per quello minimo fm se è diverso da zero; di norma è opportuno che i menzionati valori siano scelti in modo che l’integrale di 2E(f) esteso tra tali estremi fornisca un valore praticamente coincidente con quello della energia E del segnale, ossia si abbia:

[3.3.73] 2 E f( )dffm

fM

! = Em,M < E,

con differenza relativa molto inferiore a uno (ad esempio inferiore a 0,01). La ipotesi di simultanea stretta limitazione di un segnale di energia nel tempo e nella frequenza è a rigore esclusa. Tuttavia nel caso di segnali fisici non si può che ammettere una durata limitata, cui corrisponde una estensione teoricamente infinita degli spettri; d’altra parte, per la impossibilità di ottenere da circuiti fisici una risposta apprezzabilmente diversa da zero per frequenze comunque grandi, è sempre possibile la individuazione pratica di una frequenza massima limitata. Con soddisfacente approssimazione è dunque sempre possibile considerare un segnale praticamente limitato in tempo e in frequenza, che abbia tanto l’andamento temporale, quanto lo spettro compresi in intervalli finiti. 3.3.8.2 Larghezza di banda dei segnali reali

Come discusso in precedenza è possibile, con rigore oppure in modo pratico, individuare un intervallo (fm, fM) all’esterno del quale la densità spettrale di energia di un generico segnale di energia reale è per lo meno trascurabile. Nel caso di segnali di potenza reali, teoricamente sempre illimitati nel tempo, si può procedere analogamente alla individuazione dell’intervallo in frequenza fuori dal quale la densità spettrale di potenza W(f) è nulla o può essere trascurata; in tale caso gli estremi dell’intervallo vengono scelti in modo che risulti:

[3.3.74] 2 W f( )dffm

fM

! = Wm,M < W,

ancora con differenza relativa rispetto alla potenza W molto inferiore a uno (ad esempio inferiore a 0,01). Per qualsiasi segnale reale, si può allora definire la larghezza di banda monolatera, o semplicemente la banda, mediante la:

[3.3.75] B = fM – fm,

e si ha la denominazione di segnale limitato in banda. Introdotta la frequenza centrale della banda:

[3.3.76] fa = 12 fM+fm( ) ,

si considera spesso anche la banda relativa del segnale reale:

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67

[3.3.77] Bfa = 2 fM-fmfM+fm

.

Sempre con riferimento al generico segnale reale, nel seguito si adotteranno le definizioni che seguono. Un segnale in banda base è quello in cui gli estremi della banda monolatera, teorica o pratica, rispettano la condizione:

[3.3.78] 0 * fm << fM ;

si può allora confondere la banda con la frequenza massima, ponendo B<fM, e la frequenza di centro banda con la metà della sua larghezza. Di norma in tali casi (vedi esempi in Figura 3.10 e Figura 3.11a) non interessa fare riferimento alla banda relativa, che comunque è attorno al valore 2. Un segnale a banda relativa contenuta è caratterizzato da una banda relativa, teorica o pratica, che rispetta la condizione:

[3.3.79] Bfa<23 , ossia fM<2fm ;

si deduce anche immediatamente che la banda risulta minore della frequenza minima, ossia si ha B<fm (vedi esempio in Figura 3.11a). Nell’ambito di tale seconda categoria, si possono poi distinguere segnali a banda relativa stretta, per cui risulta anche B<<fa, e ancora segnali a banda relativa molto stretta, con B minore di fa per più di un ordine di grandezza. Alla prima categoria di segnali, con fM>>fm, appartengono di norma quelli direttamente forniti dalle sorgenti di informazione o che sono il frutto di trattamenti compiuti su una molteplicità di segnali di sorgente allo scopo di ottenere delle forme d’onda evolute, capaci di veicolare su una medesima via fisica tutta la informazione posseduta dall’insieme dei segnali trattati. Fanno parte della seconda categoria, con fM<2fm, i segnali che in seguito a particolari elaborazioni effettuate a partire dalla loro forma in banda base hanno assunto una nuova rappresentazione, assai spesso con B<<fa, più consona alle caratteristiche dei mezzi di trasmissione per grande distanza. 3.3.9 Spettri discreti di segnali periodici

3.3.9.1 Spettro di segnale di potenza rappresentato in serie di Fourier Nel paragrafo 3.3.4.2 è stato evidenziato che una generica armonica, seppure sia un segnale di potenza, ammette la trasformata di Fourier. Grazie alla proprietà di linearità ciò si verifica dunque per un generico segnale di potenza che sia rappresentabile tramite lo sviluppo in serie di Fourier. Si consideri un segnale periodico x(t) di periodo T0, rappresentato tramite lo sviluppo in serie di Fourier (vedi [3.1.2]) dove al solito si è posto 20=2!f0=2!/T0; rammentando che si ha F{ e j!ot }=+(f - f0), la trasformata di Fourier risulta:

[3.3.80] X f( )= !kCkejk"ote- j#t dt=!kCn F ejk"ot{ }$ = ,k Ck+(f - kf0),

che mostra come la rappresentazione nel dominio della frequenza di un generico segnale periodico sia di tipo discreto, in corrispondenza dei valori kf0 delle componenti armoniche, con spettro composto da righe tutte tra loro spaziate a intervallo f0=1/T0 e con valori, in generale complessi, forniti dai coefficienti di Fourier. Come mostrato nel paragrafo 3.3.9.2, lo spettro di potenza può essere ottenuto come trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione temporale. Per tale via si ottiene lo spettro discreto di potenza:

[3.3.81] Wxx(f) = Ck2

k! +(f - kf0),

di cui è mostrato un esempio in Figura 3.12.

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Figura 3.12: Raffigurazione convenzionale dello spettro discreto di potenza di un segnale

periodico.

Integrando la densità spettrale di potenza Wxx(f) espressa dalla [3.3.66], è immediato ritrovare che la potenza del segnale periodico può essere calcolata sommando tutti i quadrati dei moduli dei suoi coefficienti dei Fourier (vedi [3.1.7]). 3.3.9.2 Calcolo dello spettro discreto di potenza

Utilizzando l’espressione [2.5.47] della funzione di autocorrelazione, in cui si introduce la rappresentazione in serie di Fourier del segnale periodico, si ricava:

[3.3.82] Rxx(-) = 1T0CkCh

!

h"k" e jk!o! e j k-h( )!ot dt-T0 /2

T0 /2

" ,

ed ancora, essendo gli integrali tutti nulli tranne per h=k:

[3.3.83] Rxx(-) = Ck2

k! e jk!0! .

Tramite la relazione di Wiener-Khintchine Wxx(f)=F{Rxx(-)} e ancora applicando la F{ e j!0t }=+(f–f0), si dimostra allora che lo spettro discreto di potenza del segnale periodico ha la forma [3.3.66].

3.3.9.3 Espressioni particolari dei coefficienti di Fourier

Spesso il segnale periodico è espresso nella forma di replica x(t)=repT0{g(t)}, senza limitazioni sulla durata della funzione generatrice di energia g(t). Allora si ottengono i coefficienti di Fourier (vedi [3.1.5]):

[3.3.84] Ck=1T0

g t-nT0( )n!-T0 /2

T0 /2

" e-jk#0tdt ;

scambiando l’ordine tra integrale e sommatoria, con il cambio di variabile v=t-nT0 e tenuto conto che si ha e-jk20nT0=1, si ricava poi:

[3.3.85] Ck = 1T0 (n g v( )e-jk!0v dv

-nT0 -T0 /2

-nT0 +T0 /2

" = 1T0g v( )! e-jk"0vdv = 1T0

G(kf0),

che permette di calcolare i coefficienti di Fourier in base alla conoscenza della trasformata di Fourier G(f) della funzione generatrice g(t). Utilizzando le precedenti espressioni dei coefficienti di Fourier si ottiene in definitiva la rappresentazione in serie temporale, denominata somma di Poisson:

[3.3.86] x(t) = repT0[g(t)] = 1T0(k G(kf0) ejk20t,

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69 e la conseguente rappresentazione spettrale discreta del segnale periodico:

[3.3.87] X(f) = F{repT0[g(t)]} = 1T0(k G(kf0) +(f - kf0).

Ancora, non avendo espresso alcuna ipotesi limitativa sulla durata della funzione generatrice, quest’ultima può essere particolarizzata nel segnale troncato in un periodo xT0(t)=x(t)rect(t/T0); indicata con XT0(f) la corrispondente trasformata di Fourier, risultano allora i coefficienti:

[3.3.88] Ck = 1T0 XT0(kf0).

3.3.9.4 Spettro del segnale replica dell’impulso ideale Si consideri il particolare segnale periodico definito come replica a intervallo T0 dell’impulso ideale nel tempo:

[3.3.89] repT0[+(t)] = (h +(t - hT0).

In base alla rappresentazione nel tempo con la somma di Poisson (vedi [3.3.86]) e rammentando che la particolare funzione generatrice, ossia l’impulso ideale, ha trasformata con valore costante unitario, si ricava l’espressione:

[3.3.90] repT0[+(t)] = 1T0(k e

jk20t,

dalla quale si deduce che tutti i coefficienti di Fourier del particolare segnale periodico considerato sono uguali all’inverso del periodo. Confrontando le due precedenti espressioni si ottiene inoltre la relazione:

[3.3.91] T0(h +(t - hT0) = (k ejk20t = 1+2 cos k!0t

k=1

"

# .

Ponendo Ck=1/T0 nella espressione [3.3.80] dello spettro del generico segnale periodico, risulta:

[3.3.92] F{repT0[+(t)]} = 1T0,k +(f - kf0) = 1T0

repf0[+(f)],

ossia si dimostra che lo spettro discreto della replica a intervallo T0 dell’impulso ideale nel tempo è, a meno del fattore 1/T0, la replica a intervallo f0 dell’impulso ideale in frequenza. Lo spettro considerato viene a volte denominato pettine di righe spettrali e la replica corrispondente pettine di righe temporali. Poiché F{+(t)}=1, grazie alle proprietà di linearità e di traslazione nel tempo della trasformata di Fourier si ottiene:

[3.3.93] F{repT0[+(t)]} = (h e-jh2!fT0 ;

confrontando tale espressione con la precedente si ottiene la relazione:

[3.3.94] 1T0( k +(f - kf0) = (h e-jh2! fT0 = 1+2 cosh!T0

h=1

"

# ,

che nel dominio della frequenza ha la forma analoga a quella della relazione [3.3.76] nel dominio del tempo.

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70 3.4 TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO

3.4.1 Campionamento nel dominio della frequenza

Come noto (vedi [3.1.29]), un segnale di energia g(t) a durata finita nell’intervallo (-D/2, D/2) è rappresentabile nel dominio del tempo tramite lo sviluppo in serie di Fourier a durata limitata entro un intervallo (-T/2, T/2), purché sia stato scelto T'D, con i coefficienti di Fourier Ck dati dalla [3.1.30]. Indicata con G(f) la trasformata di Fourier del segnale g(t) considerato, come dimostrato nel paragrafo 3.4.2 si ricava:

[3.4.1] G(f) = (kG(k/T) sinc[(fT-k)],

dove i campioni G(k/T) alle frequenze di campionamento equispaziate fk=k/T sono semplicemente legati ai coefficienti della serie di Fourier tramite la:

[3.4.2] G(k/T) = T Ck.

La rappresentazione [3.4.1], nota come teorema del campionamento nel dominio della frequenza, ricostruisce perfettamente lo spettro per interpolazione dei suoi campioni alle frequenze multiple di 1/T, purché sia soddisfatta la condizione rispetto alla durata D del segnale:

[3.4.3] T'D.

Le rappresentazioni ottenute per campioni dello spettro sono da tenersi presenti anche per segnali che siano solo praticamente limitati nel tempo, per i quali (ad esempio per motivi di calcolo numerico) si assume la esistenza di una durata pratica finita. 3.4.2 Dimostrazione del campionamento nel dominio della frequenza

Tenute presenti la trasformata di Fourier del segnale considerato g(t):

[3.4.4] G(f) = g t( )e-j!t dt" = g t( )e-j!t dt-T/2

T/2

" ,

e l’espressione dei coefficienti di Fourier Ck, qui riportata per comodità:

[3.4.5] Ck = 1T g t( )e-jk!t dt-T/2

T/2

" ,

si osserva che ponendo nell’ultimo membro della [3.4.4] %k=k2=2!k/T si ottiene la elementare relazione [3.4.2] tra i coefficienti Ck e i campioni G(k/T) dello spettro alle frequenze discrete multiple di 1/T. Allora la rappresentazione nel tempo in serie di Fourier assume l’aspetto:

[3.4.6] g(t) = 1T (k G(k/T) ejk2t rect tT!

"#

$

%& .

Applicando la trasformazione di Fourier ad ambo i membri della espressione precedente e rammentando la proprietà di convoluzione in frequenza, si ottiene:

[3.4.7] G(f) = 1T (k G(k/T) F{ejk2t}$F{ rect(t/T) } = 1T (k G(k/T) +(f - k/T) $ Tsinc(fT) =

= G kT!

"#

$

%& '( v-k/T( )sinc f-v( )T)* +,dvk- ;

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71 in virtù della proprietà fondamentale dell’impulso ideale, si ricava infine la rappresentazione per interpolazione di campioni [3.4.1]. 3.4.3 Campionamento nel dominio del tempo

La rappresentazione per interpolazione di campioni nel dominio del tempo, duale rispetto a quella [3.4.1] nel dominio della frequenza, è già stata introdotta nel paragrafo 3.1.4 come un caso particolare di serie temporale con funzioni ortogonali. È stato tuttavia anticipato, ma non dimostrato, che la rappresentazione può essere rigorosamente soddisfacente solo per una opportuna classe di segnali reali di energia a durata illimitata. In questa sede si intende dimostrare tale enunciato, che costituisce il teorema del campionamento nel dominio del tempo. Effettuando la trasformata di Fourier su entrambi i membri della rappresentazione per interpolazione dei campioni (vedi [3.1.36]), si ottiene:

[3.4.8] X( f ) = (k ckF sinc tTc-k!

"#

$%&

'()

*+,

= Tc (k x(kTc) e-jk2!fTc rect(fTc),

in cui, considerando la variabile t in luogo della frequenza f e il parametro T al posto di fc=1/Tc si riconosce una rappresentazione in serie di Fourier del tipo [3.1.29]. In base a quanto dimostrato in precedenza essa è dunque valida purché fc sia maggiore o uguale alla estensione dell’intervallo all’esterno del quale deve essere nulla la funzione X(f); supposto che il segnale considerato abbia spettro strettamente limitato con frequenza massima fM, ossia entro l’intervallo di estensione 2fM, si ottiene allora la seguente condizione affinché sia soddisfacente la [3.1.33] e quindi la rappresentazione per interpolazione dei campioni nel tempo:

[3.4.9] fc>2fM,

ossia

[3.4.10] Tc<TN = 12fM,

dove TN è il già menzionato intervallo di Nyquist. Riassumendo, la rappresentazione per interpolazione di campioni nel dominio del tempo è rigorosamente soddisfacente per la classe dei segnali reali di energia a durata illimitata, ma con spettro strettamente limitato in frequenza, a patto che l’intervallo di campionamento rispetti la condizione [3.4.10]. La rappresentazione per campioni risulta anche valida per segnali reali di potenza, sempre che essi siano strettamente limitati in banda e sia soddisfatta la condizione [3.4.10] sull’intervallo di campionamento. Infine, nel caso di segnali solo praticamente limitati in banda l’approssimazione della rappresentazione è tanto migliore, quanto più sono trascurabili le componenti spettrali escluse dalla banda pratica.

3.5 RAPPRESENTAZIONI COMPLESSE DI SEGNALI TEMPO CONTINUI

3.5.1 Segnali complessi rappresentativi

3.5.1.1 Segnale analitico Si consideri un segnale di energia reale x(t), con la condizione che esso abbia trasformata di Fourier X(f) nulla nell’origine, ossia che valga la X(0)=0. Dato che X(f) è una funzione hermitiana, la rappresentazione in frequenza è ridondante, nel senso che è sufficiente la conoscenza anche di una sola delle due porzioni di spettro che si estendono rispettivamente sul

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72 solo semiasse negativo o positivo delle frequenze, rispettivamente indicate con X-(f) e X+(f) (vedi Figura 3.13a).

Figura 3.13: Esempio di spettro di ampiezza di un segnale reale (a) e corrispondente spettro

diverso da zero, e doppio, sul solo semiasse positivo delle frequenze (b).

La menzionata ridondanza nel dominio della frequenza può essere eliminata facendo riferimento allo spettro, anch’esso completamente rappresentativo, definito dalla:

[3.5.1] Ax(f) = X(f) [1+ sgn(f)] = 2X+(f),

diverso da zero sul solo asse positivo e ivi pari al doppio dello spettro di x(t) (vedi Figura 3.13b); poiché Ax(f) non è hermitiana, il segnale ax(t)=F-1{Ax(f)}, ottenibile come antitrasformata di Fourier e denominato segnale analitico, risulta però complesso. Procedendo dalla [3.5.1], con la proprietà di convoluzione nel tempo si ottiene la seguente espressione del segnale analitico:

[3.5.2] ax(t) = F -1{X(f) [1+ sgn(f)]} = x(t) + x(t) $ F

-1{sgn(f)},

che può essere posta nella forma (il lettore interessato ad approfondire è inviato al paragrafo 3.5.1.5):

[3.5.3] ax(t) = x(t) + j x t( ) ,

dove x(t) è un segnale reale in corrispondenza biunivoca con x(t), denominato sua trasformata di Hilbert. Il segnale analitico è dunque certamente rappresentativo di quello reale x(t), che infatti si desume da ax(t) con la semplice relazione:

[3.5.4] x(t) = 0{ax(t)}.

È opportuno notare che mentre il segnale reale x(t) è ridondato nella sua rappresentazione in frequenza, per definizione il corrispondente segnale complesso ax(t) non ha più tale caratteristica, ma è invece ridondato nel tempo, essendo rappresentativa anche la sua sola parte immaginaria. Seppure introdotto in base alla sua trasformata di Fourier, il segnale analitico risulta in corrispondenza biunivoca con x(t) tramite relazioni nel dominio del tempo che sussistono anche se

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73 non sono applicabili gli operatori di Fourier. Ciò permette di servirsi della rappresentazione complessa con ax(t) anche nel caso di segnale di potenza, purché esso oltre che reale sia a valore medio nullo, ossia valga la x =0.

3.5.1.2 Inviluppo complesso

Si consideri un segnale di energia reale x(t) a banda monolatera limitata, con estremi fm e fM, e la sua rappresentazione tramite lo spettro Ax(f)=2X+(f) del segnale analitico (vedi [3.5.1]), che risulta per definizione diverso da zero nel solo intervallo (fm, fM) e deve essere nullo nell’origine nel caso di fm=0. Assunto come riferimento una frequenza nota fc arbitraria, purché appartenente al menzionato intervallo (fm*fc*fM), si consideri poi lo spettro traslato Ax(f+fc), che in tal modo comprende l’origine dell’asse delle frequenze, come mostrato nell’esempio in Figura 3.14.

Figura 3.14: Esempio di spettro di ampiezza dell’inviluppo complesso.

Risulta ancora completamente rappresentativa di x(t) la grandezza complessa nel dominio del tempo definita tramite la antitrasformata di Fourier:

[3.5.5] !x(t) = ax(t) e- j!ct = F -1{Ax(f+fc)},

che assume la denominazione di inviluppo complesso rappresentativo o semplicemente inviluppo complesso del segnale reale x(t). Rammentando che si ha x(t)=0{ax(t)}, dalla definizione dell’inviluppo complesso si può ricavare la importante relazione:

[3.5.6] x(t)=! !x t( )e j"ct{ } ,

che permette di ricostruire in modo semplice il segnale reale x(t) a partire dal suo corrispondente inviluppo complesso !x (t), una volta nota la frequenza arbitraria di riferimento fc. L’andamento dello spettro X(f) del segnale è ottenibile da quello dell’inviluppo complesso, Ix(f)=Ax(f+fc), con le operazioni di traslazione in frequenza della quantità fc, ribaltamento e coniugio, evidenziate nella:

[3.5.7] X(f) = 12 [ Ix (f-fc ) + Ix! -f-fc( ) ].

La precedente ricostruzione dello spettro è schematicamente illustrata in Figura 3.15, dove si può notare come si ricavano i due addendi, riferendosi per semplicità solo ai moduli. In effetti Ix f-fc( )

si ottiene con una semplice traslazione in frequenza, mentre Ix! -f-fc( ) richiede in aggiunta un

ribaltamento rispetto alla origine e un coniugio.

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74

Figura 3.15: Esempio di spettro di ampiezza dell’inviluppo complesso (a) e di ricostruzione dello

spettro di ampiezza del segnale reale (b).

Si noti che mentre lo spettro X(f) è hermitiano, tale proprietà non è invece in generale soddisfatta per Ix(f), a meno che non sia possibile scegliere un valore della frequenza fc per cui sia soddisfatta la particolare condizione:

[3.5.8] X+(fc+f) = X+! (fc-f),

nella quale il semispettro X+(f) risulta simmetrico in ampiezza e antimetrico in fase rispetto alla frequenza fc. Risultando allora hermitiano lo spettro Ix(f), l’inviluppo complesso diviene reale. Seppure introdotto in base alla trasformata di Fourier del segnale analitico, l’inviluppo complesso risulta in corrispondenza biunivoca con il segnale analitico ax(t), e quindi con il segnale x(t), tramite relazioni nel dominio del tempo che sussistono anche se non sono applicabili gli operatori di Fourier. Ciò permette di servirsi della rappresentazione complessa tramite ==x(t) anche nel caso di segnale di potenza, purché esso oltre che reale sia a valore medio nullo. 3.5.1.3 Caratteristiche dell’inviluppo complesso

Si osserva innanzi tutto che la rappresentazione tramite l’inviluppo complesso consente di estendere ai segnali la notazione complessa di Steinmetz, tipica della elettrotecnica, per la quale si rammenta che si ha:

[3.5.9] a(t)=! AAe j!ct{ } ,

dove il fasore complesso A=A e j! , con modulo A e argomento 7 costanti reali, è rappresentativo solo della funzione del tipo a(t)=A

cos(%ct+7), armonica pura alla frequenza fc=%c/2!, di ampiezza

A e fase 7. Esplicitando un generico inviluppo complesso !(t) in modulo, |!(t) | = =(t), e argomento, arg{!(t)}=7(t):

[3.5.10] ! t( ) = =(t) e j! t( ) ,

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75 nel piano complesso 0,8 il segnale considerato può essere infatti raffigurato tramite un vettore (vedi Figura 3.16): esso tuttavia non è più costante, come apparirebbe il fasore A, ma variabile nel tempo.

Figura 3.16: Raffigurazione dell’inviluppo complesso nel piano complesso.

Sono ovviamente dipendenti dal tempo anche le coordinate del vettore che raffigura nel piano 0,8 l’inviluppo complesso, ossia la sua parte reale, 0{! t( ) }=ac(t), e il coefficiente 8{! t( ) } = as(t) della sua parte immaginaria, per cui si ha la notazione:

[3.5.11] !(t) = ac(t) + jas(t),

L’energia dell’inviluppo complesso è uguale a quella del segnale analitico, poiché hanno spettri che differiscono solo per la traslazione della quantità fc che non ha influenza nella espressione della energia nel dominio della frequenza (vedi [3.3.42]). Tenuto conto di ciò e utilizzando la [3.5.1] si ottiene:

[3.5.12] E= = = 1+sgn f( )!" #$2X f( )X% f( )df& = 4 Exx f( )df

0

!

" ,

ossia l’energia dell’inviluppo complesso ha valore doppio di quella del segnale di cui è rappresentativo:

[3.5.13] E= = = !2 t( )dt" = 2Exx;

tale risultato è in linea con la natura ridondata nel tempo, e non più nella frequenza, dell’inviluppo complesso, analoga a quella del segnale analitico a cui è strettamente legato per definizione. Inoltre, l’energia risulta dalla somma delle energie delle sue componenti reale ac(t) e immaginaria ac(t); infatti a partire dalla [3.5.11] si ottiene:

[3.5.14] E= = = ac2 t( )dt! + as

2 t( )dt! = Eacac + Easas.

Alle due precedenti espressioni ne corrispondono altre analoghe per il caso di segnali reali di potenza a valore medio nullo, ottenibili per semplice sostituzione delle energie con le potenze. 3.5.1.4 Segnali analitici sinistro e destro

Una volta indicate con x-(t)=F-1{X-(f)} e x+(t)=F -1{X+(f)} le rispettive antitrasformate delle due

porzioni dello spettro di x(t) che si estendono rispettivamente sul solo semiasse negativo o positivo delle frequenze, essendo X(f)=X-(f)+X+(f) grazie alla linearità dell’operatore di Fourier si ha:

[3.5.15] x(t) = x-(t) + x+(t),

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76 ossia anche nel dominio del tempo il segnale appare scomponibile in due segnali complessi, denominati segnale analitico sinistro e segnale analitico destro. Stante la relazione X-(f)= X+

! -f( ) che deriva dalla hermitianità della trasformata X(f), applicando ad essa la proprietà di coniugazione nel tempo si ottiene:

[3.5.16] x-(t) = x+! t( ) ,

ossia i due segnali sono l’uno il coniugato dell’altro. Rammentando che si è posto Ax(f)=2X+(f), si ha ax(t)=2x+(t) e quindi in base alla [3.5.3] si ottengono le relazioni:

[3.5.17] x+(t) = 12 [x(t) + j x t( ) ], x-(t) = 12 [x(t) - j x t( ) ] ;

i segnali analitici sinistro e destro sono dunque entrambi rappresentativi del segnale reale x(t). Si hanno poi le relazioni di inversione:

[3.5.18] x(t) = 20{x-(t)} = 20{x+(t)},

che consentono di determinare in modo assai semplice il segnale reale x(t) una volta noto uno qualsiasi dei due segnali complessi considerati. Dato che per definizione gli spettri di x-(t) e x+(t) sono separati sull’asse delle frequenze, le densità spettrali mutue di energia sono identicamente nulle; quindi i due segnali sono tra loro incorrelati e, a maggiore ragione, ortogonali.

3.5.1.5 Trasformata di Hilbert

Nel paragrafo 3.5.1.1 è stata introdotto il segnale reale x t( ) , per cui si è posto (vedi [3.5.2] e [3.5.3]):

[3.5.19] x(t) $ F-1{sgn(f)} = j x t( ) .

Applicando la proprietà di dualità alla espressione [3.3.30] risulta:

[3.5.20] F -1{sgn(f)} = j

!t ;

si ottiene allora:

[3.5.21] x(t) $ F -1{sgn(f)} = jx(t) $

1!t .

Dal confronto con la relazione [3.5.19] si evince la definizione della trasformata di Hilbert di x(t):

[3.5.22] x t( ) = x(t) $ 1!t = 1

!x "( )t-" d"# ,

che è un segnale reale completamente rappresentativo di x(t), di energia o di potenza se quest’ultimo è rispettivamente dell’uno o dell’altro tipo. Dalla [3.5.20] si ha direttamente:

[3.5.23] F j!t{ } = sgn(f) ;

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77 ammesso che x(t) sia un segnale di energia, applicando alla [3.5.22] l’operatore di Fourier e servendosi della proprietà di convoluzione nel tempo, si ricava lo spettro della trasformata di Hilbert x t( ) :

[3.5.24] X f( ) = - jsgn(f) X(f),

e si ha la relazione inversa,

[3.5.25] X(f) = jsgn(f) X f( ) .

Da quest’ultima passando al dominio del tempo si ottiene:

[3.5.26] x(t) = x t( ) $ -1!t ;

la trasformata inversa di Hilbert risulta allora espressa tramite la relazione:

[3.5.27] x(t) = x t( ) $ -1!t = - 1

!x "( )t-" d"# ,

che è valida qualunque sia la natura, di energia o di potenza, del segnale. Dalla [3.5.24] si ricava immediatamente l’uguaglianza | X f( ) | = |X(f)|, per cui il segnale e la sua trasformata di Hilbert hanno lo stesso spettro di energia e, quindi, la stessa funzione di autocorrelazione:

[3.5.28] Exx f( ) = Exx(f), Cxx(-) = Cxx !( ) .

Tenendo presente anche la [3.5.25], si determinano le seguenti relazioni a riguardo degli spettri mutui di energia e delle funzioni di intercorrelazione:

[3.5.29] Exx f( ) = -Exx f( ) = jsgn(f) Exx(f), Cxx !( ) = -Cxx !( ) .

Posto -=0 nell’ultima relazione e tenuto conto che le funzioni di intercorrelazione sono reali, i segnali x(t) e x(t) risultano ortogonali; dato che entrambi gli spettri mutui di energia sono puramente immaginari, ossia si ha 0{Exx f( ) }=0, i due segnali considerati sono poi anche sommabili in spettro di energia (vedi [3.3.45]), oltre che in energia. Si rammenta che la trasformata di Hilbert, come il segnale analitico, è applicabile anche ai segnali reali di potenza, purché essi siano a valore medio nullo. In tale caso valgono le relazioni analoghe alle [3.5.28] e [3.5.29], ottenute sostituendo le funzioni del tipo E(f) e C(! ) con le corrispondenti del tipo W(f) e R(-); in particolare le densità spettrali mutue di potenza, Wxx f( ) =Wxx

! f( ) , sono puramente immaginarie, ossia si ha 0{Wxx f( ) }=0, per cui il segnale x(t) e la sua trasformata di Hilbert x t( ) risultano sommabili in spettro di potenza (vedi [3.3.53]), oltre che in potenza.

3.5.1.6 Approfondimenti sull’inviluppo complesso In base alla definizione dell’inviluppo complesso e rammentando la [3.5.3], si ottiene:

[3.5.30] !(t) = [x(t) + j x t( ) ] e- j!ct ,

e separando le parti reale e immaginaria:

[3.5.31] ac(t) = x(t) cos(%ct) + x t( ) sin(%ct),

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78 [3.5.32] as(t) = x t( )cos(%ct) - x(t) sin(%ct).

Nel caso di segnale di energia, applicando l’operatore di Fourier alla [3.5.31] e servendosi della [3.5.24] si ricava lo spettro di ac(t):

[3.5.33] Ac(f)=X(f) $ F{cos(%ct)} – j [sgn(f)X(f)] $ F{sin(%ct)} ;

essendo F{cos(%ct)}= [+(f - fc) + +(f + fc)]/2 e F{sin(%ct)}= - j [+(f - fc) - +(f + fc)]/2 si ha poi:

[3.5.34] Ac(f) = 12 X f( ) 1-sgn f( )!" #${ } $+(f - fc) + 12 X f( ) 1+sgn f( )!" #${ } $+(f + fc) =

= X-(f) $ +(f - fc) + X+(f) $ +(f + fc), e per la proprietà fondamentale dell’impulso ideale risulta:

[3.5.35] Ac(f) = X-(f-fc) + X+(f+fc).

Procedendo in modo analogo a partire dalla [3.5.32] si ottiene: [3.5.36] As(f) = j [X-(f - fc) – X+(f + fc)].

È immediato verificare che risulta, come deve: [3.5.37] ! (f) = Ac(f) + jAs(f) = 2X+(f + fc) = A(f + fc).

Una volta riformulata in base alla hermitianità di X(f) la particolare condizione [3.5.8], che diviene:

[3.5.38] X+(fc + f ) = X-(f - fc),

si constata immediatamente che dalla [3.4.36] si ha As(f)"0 e dalla [3.5.35] allora risulta:

[3.5.39] Ac(f) = 2X+(f + fc) = ! (f) ,

dimostrando la menzionata condizione affinché I(f) sia hermitiana, ossia l’inviluppo complesso !(t) sia reale.

3.5.2 Rappresentazioni reali tramite l’inviluppo complesso

3.5.2.1 Segnali in banda traslata Pur costituendo una rappresentazione di validità generale, l’inviluppo complesso è tipicamente impiegato nel caso di segnali reali limitati in banda, sia di energia che di potenza, ottenuti a partire da segnali in banda base tramite opportune trasformazioni che, basandosi sull’impiego effettivo di una oscillazione armonica a frequenza fc, danno luogo a segnali elaborati con contenuti spettrali non nulli solo in una banda attorno a tale frequenza. Nel seguito un segnale reale elaborato del tipo menzionato, spesso distinto con la notazione s(t) e per cui si usa comunemente la rappresentazione tramite l’inviluppo complesso (vedi [3.5.6]):

[3.5.40] s(t)=! !(t)e j"ct{ } ,

viene denominato segnale in banda traslata. Spesso il valore elevato scelto per fc nelle trasformazioni accennate conduce a valori molto piccoli della banda relativa a valle dell’operazione e allora si ha un segnale in banda traslata stretta; possono tuttavia esistere anche segnali in banda traslata ottenuti con valori di fc tali per cui, anche dopo la trasformazione, l’estremo inferiore della banda risulta nettamente minore di quello

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79 superiore, come accade per il segnale su cui è stato effettuato il trattamento: non si può quindi escludere che un segnale in banda traslata sia del tipo in banda base. 3.5.2.2 Caratteristiche generali dei segnali in banda traslata

Si consideri un segnale reale s(t), del tipo in banda traslata, rappresentato tramite il suo inviluppo complesso !(t) , che in base alla collocazione del suo spettro di ampiezza può essere considerato un segnale del tipo in banda base. Scomposto quest’ultimo in parte reale, ac(t), e parte immaginaria, as(t), si ottiene dalla [3.5.40] la seguente particolare rappresentazione del segnale:

[3.5.41] s(t) = ac(t) cos(%ct) – as(t) sin(%ct).

Si noti che le due funzioni reali in banda base ac(t) e as(t) forniscono la valutazione della entità variabile nel tempo delle due armoniche reali in quadratura alla frequenza fc=%c/2!; pertanto esse sono rispettivamente denominate ampiezza istantanea in fase e ampiezza istantanea in quadratura. Servendosi della espressione dell’inviluppo complesso in modulo, =(t), e argomento, 7(t), ancora dalla [3.5.40] si ricava una nuova forma del segnale in banda traslata, con espressione:

[3.5.42] s(t) = =(t) cos[%ct + &(t)],

dove la funzione reale &(t), definita anche oltre l’intervallo (0, 2! ) e introdotta per generalità della rappresentazione, corrisponde all’argomento 7(t) a meno di un multiplo intero di angolo giro, ossia si ha:

[3.5.43] &(t) = 7(t) + 2!n.

Dalla [3.5.42] si nota che il modulo =(t) dell’inviluppo complesso è una funzione che passa per tutti i massimi relativi di s(t), negli istanti tn nei quali si verifica %ctn+&(tn)=2!n; perciò =(t) si denomina inviluppo istantaneo o, brevemente, inviluppo del segnale in banda traslata; in Figura 3.17 è riportato un caso a titolo di esempio. Ancora dalla osservazione della [3.5.42], appare bene giustificata la denominazione di fase istantanea del segnale in banda traslata, che viene attribuita alla funzione &(t) strettamente legata all’argomento dell’inviluppo complesso. Anche le due grandezze reali =(t) e &(t) possono essere considerati segnali del tipo in banda base.

Figura 3.17: Esempio di inviluppo (a tratteggio) di un segnale in banda traslata.

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80 Sia la coppia di grandezze ac(t) e as(t) che compaiono nella forma [3.5.41], che quella delle grandezze =(t) e &(t) che compaiono nella forma [3.5.42] sono entrambe separatamente in grado di caratterizzare un segnale in banda traslata. Tra di esse sussistono le relazioni:

[3.5.44] ac(t) = =(t) cos[&(t)],

[3.5.45] as(t) = =(t) sin[&(t)],

e quelle corrispondenti di inversione:

[3.5.46] =(t) = ac2 t( )+as2 t( )!" #$ ,

[3.5.47] &(t) = artgas t( )ac t( )!

"#

$

%& + !2 1-sgn ac t( )

"# $%{ } + 2!n ;

l’ultima espressione, in cui si è assunta per la funzione polidroma arctg(x) la prima determinazione nello intervallo (- !/2; !/2), fornisce il valore dell’argomento 7(t) dell’inviluppo complesso a meno di un multiplo intero di angolo giro. Come si avrà ampiamente occasione di constatare in seguito, in sede dei fondamenti della modulazione, dando per nota la frequenza fc il contenuto informativo è tutto riconducibile alla coppia dei segnali ac(t) e as(t), così come alla corrispondente coppia formata da =(t) e &(t). Si può comunque verificare, in particolare, che una sola delle grandezze di una coppia sia responsabile del trasferimento della informazione, come ad esempio nel caso di ampiezza istantanea unica, per cui a meno di una inessenziale fase costante si può porre:

[3.5.48] sa(t) = ac(t) cos(%ct),

oppure nel caso di variabilità del solo inviluppo, tipicamente con fase costante nulla,

[3.5.49] s=(t) = =(t) cos(%ct),

o ancora di variabilità del solo argomento, tipicamente con inviluppo costante,

[3.5.50] s7(t) = Accos[%ct + &(t)].

3.5.2.3 Caratteristiche particolari dei segnali a fase continua

Osservando l’espressione [3.5.47] della fase istantanea &(t), si nota che nell’istante in cui ac(t) si annulla con inversione del segno la discontinuità di valore ! prodotta dal secondo addendo a secondo membro compensa quella introdotta dal primo addendo, sempre che nello stesso istante as(t) sia diversa da zero; la funzione &(t) risulta invece discontinua in ogni particolare istante in cui avvenga la inversione di segno simultanea di entrambe le ampiezze istantanee, oppure di una sola di esse nel caso che l’altra sia identicamente nulla, istante in cui necessariamente si annulla anche l’inviluppo =(t) (vedi [3.5.46]). Altre manifestazioni di discontinuità nella fase istantanea si possono ovviamente verificare in corrispondenza di discontinuità in ac(t) e as(t). In conclusione si può avere un segnale a fase continua, caratterizzato da assenza di discontinuità nella funzione &(t), se le ampiezze istantanee sono continue e l’inviluppo non è mai nullo (oppure si azzera, ma senza inversione di segno delle ampiezze). Si osserva che la frequenza fc di una oscillazione armonica può essere definita come la derivata rispetto al tempo dell’argomento della funzione circolare, rapportata all’angolo giro. Nel caso di un segnale in banda traslata a fase continua, oltre che alla funzione fase istantanea &(t), si può fare riferimento alla frequenza istantanea del segnale, definita per estensione del caso armonico tramite la:

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[3.5.51] f(t) = 12! d !ct+" t( )#$ %&

dt = fc + 12!d! t( )dt .

Introdotta anche la deviazione istantanea di frequenza del segnale:

[3.5.52] >f(t) = f(t) - fc,

si ottiene la relazione:

[3.5.53] >f(t) = 12!d! t( )dt .

Essa mostra in generale la esistenza di un preciso legame a carattere lineare tra la deviazione istantanea di frequenza e la fase istantanea del segnale a fase continua, in modo che ogni trattamento che riguardi quest’ultima interessa anche la prima grandezza, e viceversa. Con riferimento a >%(t)=2!>f(t) invece che a &(t), si può anche ottenere la seguente espressione del segnale a fase continua:

[3.5.54] s(t) = =(t) cos !ct+ !!( t )dt-"

t#$

%&'() .

Si noti che così come è possibile osservare il valore della frequenza di una oscillazione armonica tramite l’inverso del periodo, individuato dagli istanti consecutivi in cui l’andamento temporale crescente attraversa l’asse delle ascisse, parimenti tramite gli inversi degli intervalli tra due attraversamenti consecutivi crescenti dell’asse dei tempi di un segnale a fase continua, si possono conoscere i valori mediati negli intervalli della frequenza istantanea, come mostrato nell’esempio a inviluppo costante in Figura 3.18.

Figura 3.18: Esempio di segnale in banda traslata a inviluppo costante.

3.5.3 Rappresentazione tramite i campioni dell’inviluppo complesso

Nel caso di generico segnale reale strettamente limitato in banda, con frequenza massima fM e minima fm/0, a prescindere che esso sia stato trasformato in segnale in banda traslata o che non abbia subito tale tipo di elaborazione, è comunque valida la rappresentazione del tipo [3.5.41]:

[3.5.55] x(t) = ac(t) cos(%at) – as(t) sin(%at),

in cui viene scelta come riferimento per l’inviluppo complesso =(t) =ac(t)+jas(t) la frequenza centrale fa=(fM+fm)/2 della banda monolatera.

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82 Le ampiezze istantanee in fase e in quadratura, ac(t) e as(t), risultano allora segnali reali del tipo in banda base con frequenza massima faM =fM - fa=B/2 e frequenza minima fam=0. Sono pertanto a loro volta rappresentabili per interpolazione dei loro campioni, nelle forme:

[3.5.56] ai(t) = (kcik sinc tTac-k!

"#

$%& , i = c, s,

dove k è intero, i valori dei campioni sono dati dalle cik=ai(kTac) e l’intervallo di campionamento rispetta la condizione:

[3.5.57] Tac<12 faM

= 1B .

Assumendo comunque il massimo intervallo di campionamento consentito, la rappresentazione applicata direttamente al segnale x(t) ne consente la ricostruzione a partire dalla sequenza dei campioni a intervallo TN=1/2fM<1/2B, mentre quella applicata sulla parte reale e sul coefficiente della parte immaginaria dell’inviluppo complesso richiede due sequenze di campioni invece di una, ma con intervallo TaN=1/2faM=1/B almeno doppio, con risparmio del numero totale di campioni necessari per unità di tempo. Tale risparmio è in pratica nullo se il segnale x(t) è del tipo in banda base, per cui si può assumere B<fM, mentre diviene molto significativo nel caso di banda relativa stretta, con B<<fa. Come già accennato, si può presumere che ogni segnale fisico sia in pratica simultaneamente limitato sia in durata T, che in banda B; da ciò deriva che esso è sempre rappresentabile con buona approssimazione tramite un insieme finito di campioni reali. Il numero minimo N di tali elementi rappresenta il numero dei gradi di libertà del segnale considerato; poiché in generale occorrono due sequenze di campioni relativi all’inviluppo complesso, esso corrisponde al doppio del numero intero che approssima il rapporto T/TaN. In definitiva risulta:

[3.5.58] N < 2BT,

indipendentemente dalla collocazione della banda del segnale sull’asse delle frequenze. Quanto sopra evidenziato è assai rilevante per la valutazione della quantità di informazione che può essere trasferita con un segnale.

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4 ELEMENTI SUI SEGNALI DI SORGENTE

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4.1 SEGNALI ANALOGICI O NUMERICI

Allo scopo di esaminare dal punto di vista informativo le caratteristiche dei segnali emessi da terminali che operano come sorgenti, è opportuno soffermarsi brevemente sui flussi di informazione che sotto forma di grandezze non elettromagnetiche possono accedere ai trasduttori contenuti all’interno di tali sorgenti. A seconda della natura della informazione è anzitutto possibile la suddivisione in due fondamentali categorie: • flussi di informazione continui, in cui si ha una grandezza non elettromagnetica che varia nel

tempo assumendo valori in un codominio continuo; • flussi di informazione discreti, o flussi di dati, in cui si ha una successione temporale in istanti

discreti di simboli numerabili, come nel caso esemplare di caratteri a stampa. In ragione dell’essenza del flusso di informazione generato, la forma d’onda emessa in corrispondenza dalla sorgente si distingue allora in: • segnale analogico, con andamento temporale analogo a quello del flusso informativo, ossia

con valore istantaneo proporzionale alla grandezza variabile con continuità; • segnale numerico o digitale, con andamento temporale di vario tipo, ma emesso in modo da

essere comunque veicolo perfetto del flusso di dati. In un segnale analogico di sorgente in generale ogni valore istantaneo è associato alla informazione, in modo che il trasferimento ideale di quest’ultima non può che avvenire consegnando al terminale destinatario la forma d’onda inalterata o una sua versione fedele (totalmente correlata), con la eccezione della possibilità teorica di un andamento diverso, ma con gli stessi campioni significativi, raramente perseguita sul piano pratico. Come si avrà occasione di verificare in seguito, nel caso numerico si può invece ottenere il trasferimento ideale del flusso di dati anche facendo pervenire al destinatario un segnale profondamente diverso da quello emesso dalla sorgente. La presente sezione si limita alla raccolta di alcuni elementi sui segnali analogici di sorgenti sonore e di immagini, allo sviluppo di concetti basilari sui flussi di dati e sui corrispondenti segnali numerici, nonché ad alcune considerazioni riguardanti la conversione di segnali analogici in forma numerica.

4.2 ELEMENTI SUI SEGNALI ANALOGICI DI SORGENTE

4.2.1 Segnali sonori

È denominato segnale sonoro quello generato da un trasduttore acusto-elettrico, tipicamente un microfono, capace di emettere la grandezza elettrica con dipendenza dal tempo analoga a quella di un flusso di informazione variabile con continuità e giungente in forma di onda acustica alla sorgente considerata; un tale segnale ha come utilizzatore finale un trasduttore elettro-acustico, l’altoparlante oppure l’auricolare nel caso sia sufficiente un livello acustico molto basso. I segnali sonori, del tipo analogico, sono modellizzabili come forme d’onda di potenza, a valore medio nullo e con andamento continuo a carattere simmetrico, ossia con valori massimo e minimo uguali in modulo. Nelle telecomunicazioni i segnali sonori non sono tanto caratterizzati in ragione delle particolari forme d’onda o potenze, assai mutevoli per le diverse voci (uomini e donne), le varie lingue o le differenti possibili fonti musicali, quanto per la estensione che viene assegnata al loro spettro; è noto infatti che le componenti spettrali udibili si estendono da una decina di Hz a circa 15.000 Hz, ma spesso non appare necessaria la trasmissione dell’informazione sonora nell’intera banda udibile. Come discusso in un successivo capitolo, la riduzione entro alcune bande di trasmissione standardizzate, tipiche di un ridotto numero di diverse applicazioni, si ottiene tramite una elaborazione lineare con taglio di banda, sia superiore che inferiore, ossia con opportuno filtro passa-banda.

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86 Il segnale sonoro a cui è assegnata la banda più stretta è il segnale telefonico. La densità spettrale di potenza vocale W(f), relativa alla potenza totale W, ha una distribuzione del tipo mostrato in Figura 4.1, ma ai fini del riconoscimento della persona che parla, ossia allo scopo di garantire almeno la qualità commerciale in una conversazione tramite telefono, è sufficiente trasmettere le sole componenti spettrali situate all’interno della banda telefonica netta, con estensione monolatera da 300 Hz a 3.400 Hz, mentre la sola intelligibilità è ottenibile anche abbassando la frequenza massima a 2.000 Hz. Spesso si fa riferimento alla banda telefonica lorda, con estensione dallo zero fino a 4 kHz, con l’intento di definire l’intervallo entro il quale non devono cadere componenti spettrali di eventuali altri segnali indesiderati.

Figura 4.1: Spettro di potenza di segnale vocale.

Maggiore è l’estensione spettrale del segnale audio, caratterizzato da una qualità gradevole dell’ascolto, a cui si assegna una banda crescente in ragione della qualità desiderata. Nella versione audio normale, tipica della radiodiffusione sonora classica, la banda si estende da 50 Hz a 4.500 Hz; in quella audio musicale, tipica della radiodiffusione di qualità, lo spettro è più ampio con estremo inferiore attorno a 30 Hz e superiore attorno a 12 kHz; infine, la banda più estesa è quella del segnale ad alta fedeltà, con estremi all’esterno dell’intervallo da 20 Hz a 15 kHz. 4.2.2 Segnali di immagine

4.2.2.1 Segnale di immagine per scansione Molti segnali di immagine, modellizzabili come segnali di potenza, derivano dalla interpretazione analogica di una sequenza temporale di immagini ottiche fisse, operata all’interno del terminale di sorgente da trasduttori con il metodo della scansione per righe. Come schematizzato in Figura 4.2, un trasduttore ottico-elettrico esplora una alla volta ciascuna immagine piana per righe successive, sufficientemente distanziate tra loro, muovendosi lungo ciascuna di esse a velocità v costante.

Figura 4.2: Immagine fissa sottoposta a scansione per righe.

Una prima grandezza caratteristica della operazione è il tempo di immagine, indicato con Tim, somma del tempo di esplorazione di tutta l’immagine e del tempo morto necessario al fine di predisporre il sensore alla scansione di una nuova immagine; la grandezza inversa fim=1/Tim è la

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87 frequenza di immagine. Una seconda grandezza è il tempo di riga, indicato con H, in cui viene esaminata una riga (tempo effettivo di riga) e si predispone il sensore alla scansione della riga successiva (tempo morto di riga); la grandezza inversa fri=1/H è la frequenza di riga. Il rapporto tra i due tempi, o l’inverso di quello tra le due frequenze considerate:

[4.2.1] N ! TimH = frifim,

denominato numero di righe, è dunque maggiore del numero di righe effettive Ne in cui è scomposta l’immagine, in ragione del tempo morto prima dell’inizio di una nuova scansione, così che si può porre:

[4.2.2] Ne ! ?im N,

con ?im poco minore di uno. Similmente si pone per il tempo effettivo di riga:

[4.2.3] He ! ?ri H = !rifri,

ancora con ?ri poco minore di uno. Supponendo per semplicità che il sensore emetta con continuità un segnale analogico di valore istantaneo x(t) proporzionale a una sola grandezza ottica, ad esempio la luminosità dell’areola osservata al momento, a seguito della scansione per righe si ottiene ad esempio un andamento del tipo mostrato in Figura 4.3, in cui al nero (luminosità nulla) e al bianco (luminosità massima) corrispondono il valore minimo (xm=xN=0) e massimo (xM=xB=AM) del segnale, mentre tramite degli impulsi di cancellazione si impongono valori nulli in corrispondenza dei tempi morti di riga.

Figura 4.3: Esempio di un tratto di segnale ottenuto per scansione per righe.

Si può notare che nel segnale di immagine considerato, oltre alla componente di informazione dovuta alla variazione di luminosità dell’areola istantaneamente esplorata, sono anche presenti una componente continua, legata alla luminosità media della sequenza di immagini, e due serie di componenti armoniche, con i periodi fondamentali Tim e H, ossia con frequenze multiple di quelle di immagine e di riga. La estensione spettrale è solo teoricamente illimitata: è infatti possibile determinare un estremo superiore di banda finito fM, sia ammettendo una risoluzione finita nella scansione, sia assimilando le discontinuità dovute alla cancellazione con tratti di segnale a ripidità forte, ma finita; il lettore interessato ad approfondire è inviato al paragrafo 4.2.2.2.

4.2.2.2 Larghezza di banda di segnale di immagine per scansione Si osservi che la distanza d tra due righe scandite adiacenti fornirebbe la distanza di campionamento in verticale dell’immagine se la riga fosse priva di spessore; in effetti poiché il sensore opera con areola piccola, ma finita, si può ritenere che la risoluzione verticale dell’immagine sia peggiore, assumendo per la distanza di campionamento la grandezza:

[4.2.4] dc = 2d= 2 hNe

,

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88 dove si rammenta che h è l’altezza dell’immagine. Imponendo la stessa risoluzione anche in orizzontale, si ricava che il tempo necessario al sensore per coprire la distanza di campionamento dc, ossia l’ intervallo di campionamento del segnale, vale:

[4.2.5] Tc=dcv =

dcb He ,

dove v è la velocità di esplorazione di una riga, di lunghezza b pari alla base dell’immagine. La frequenza massima della banda occupata dalla sola componente della informazione si ottiene dunque dalla espressione:

[4.2.6] fM =12Tc

= 12 2

bhNe

He = 12 2

bh!im!riNfri= 1

2 2bh!im!riN2fim ,

in cui la presenza di N2 è legata alla bidimensionalità dell’immagine. Tenuto conto della [4.2.1], dalla precedente espressione si ricava che grossolanamente risulta fM@N fri ; se allora il numero di righe N è molto elevato, nella banda limitata da fM possono essere contenute moltissime armoniche della frequenza di riga, in modo da potere senz’altro ritenere che gli impulsi di cancellazione risultano assai ripidi. In definitiva la [4.2.6] fornisce dunque la frequenza massima della banda del segnale considerato. 4.2.2.3 Segnale video in bianco e nero

Grazie alla persistenza delle immagini sulla retina dell’occhio umano è possibile sottoporre a quest’ultimo una sequenza di diverse immagini fisse senza che sia percepita la discontinuità nell’evoluzione della visione: è però necessario che sia fim > 15 Hz se si vuole ottenere la sensazione di continuità del movimento e che si abbiano almeno 45 illuminazioni al secondo per evitare il fastidio dello sfarfallio (variazione periodica di luminosità). Nel caso della televisione si applica il metodo della scansione per righe interallacciate dell’immagine, che viene pertanto suddivisa in due quadri, uno per le righe dispari, esplorato per primo, e l’altro per le righe pari, esplorato successivamente. Nello standard analogico europeo si adotta la frequenza di immagine fim=25 Hz, che consente una buona sensazione di moto continuo, a cui corrisponde una frequenza di quadro doppia, sufficiente ad abolire lo sfarfallio. Nel vecchio standard analogico europeo con b

/h=4/3, il numero di righe N è pari a 625, così da

ottenere i valori: fri = 15.625 Hz, H = 64 µs ;

il numero effettivo di righe Ne è stabilito pari a 585, mentre il tempo effettivo di riga He è 82% di H, in modo che risulti:

?im = 0,935, ?ri = 0,82. Con tali dati si ottiene una notevole estensione spettrale, con frequenza massima attorno a 5 MHz (il lettore interessato può servirsi della [4.2.6]). Nel caso di segnale in bianco e nero, il valore istantaneo del segnale x(t) uscente dal trasduttore, denominato segnale di visione, è proporzionale alla luminosità dell’areola simultaneamente esplorata, tranne che nei tempi morti necessari per i ritorni orizzontali e verticali, durante i quali si hanno gli impulsi di cancellazione. Allo scopo di garantire il sincronismo al trasduttore in ricezione che restituisce l’immagine nei tempi morti orizzontali, di durata 0,18 H=11,52 µs, vengono inseriti degli impulsi di sincronismo di riga (vedi Figura 4.4), quasi rettangolari di durata 0,09 H con un livello corrispondente al nero (xN=0) e l’altro livello di valore minore (xm=Am<0, con Am/AM=-3

/7), mentre nei tempi morti verticali tra un quadro e il successivo, di durata

0,064 /2fim=1,28 ms, vengono aggiunti altri segnali di sincronismo di quadro, composti da più

impulsi quasi rettangolari con i menzionati due livelli, 0 e Am<0. Il segnale così completato costituisce il segnale video in bianco e nero.

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Figura 4.4: Impulsi di sincronismo inseriti nelle cancellazioni.

Nel caso del colore la scansione è dello stesso tipo, ma con un sensore multiplo basato sulla tricromia. Si hanno in effetti tre segnali simultanei differenti, che assieme al segnale di sincronismo vengono manipolati in modo complesso per ottenere un segnale video a colori di tipo compatibile, ossia usufruibile anche da un apparato solo predisposto per il segnale in bianco e nero. Il segnale a colori è in effetti composto di un segnale di luminanza, che reca l’informazione di luminosità e ha le stesse caratteristiche temporali e spettrali del segnale in bianco e nero, e da una coppia di segnali di crominanza che vengono elaborati e addizionati al precedente con una opportuna tecnica, che ne permette la separazione e la restituzione individuale, pure condividendone la banda, che resta dunque di estensione invariata. I segnali video oltre ad una componente continua hanno delle componenti spettrali che si estendono fino alla frequenza zero, senza le quali si perderebbe l’informazione lentamente variabile relativa alla luminosità media della scena; nella pratica è tuttavia possibile trasmettere i segnali video abolendo la parte più bassa del loro spettro, purché al di sotto di fIM=25 Hz, così da ottenere fm>0: è infatti possibile ripristinare i livelli assoluti del segnale originario in base alla misura dell’altezza degli impulsi di sincronismo del segnale trasmesso con limitazione inferiore di banda, dato che l’altezza considerata è una grandezza determinata.

4.3 ELEMENTI SUI SEGNALI NUMERICI DI SORGENTE

4.3.1 Flussi sincroni di dati e sequenze numeriche

Si consideri una sorgente di informazione che generi un flusso sincrono di dati D(n) costituito dalla successione regolare, a intervallo temporale costante T, di simboli Dk che appartengano a un insieme discreto numerabile e finito {Dq}, con q=1, 2,.., M. Tale insieme dei simboli, denominato alfabeto M-nario per essere M'2 la sua cardinalità, può essere qualsiasi, come ad esempio l’alfabeto delle lettere latine, l’insieme dei caratteri di una tastiera o, nel frequente caso M=2, l’alfabeto binario composto dalle cifre binarie, o bit, corrispondenti ai numeri 0 e 1. Una volta stabilita una corrispondenza biunivoca tra i simboli dell’alfabeto della sorgente e un pari numero di diversi valori di segnale, indicata con la notazione

[4.3.1] {Dq} ; {xq}, q=1, 2,.., M,

al flusso di informazione D(n) può essere associata una sequenza reale x(n) in cui il generico campione xk assuma uno dei valori dell’insieme {xq}, ovviamente anch’esso discreto numerabile e finito; in tale modo si ottiene una sequenza a valori discreti, o sequenza numerica, che può essere pensata come veicolo dei simboli del corrispondente flusso sincrono di dati, con la sua stessa temporizzazione. Poiché si ha un nuovo simbolo ad ogni intervallo di tempo costante T, tale grandezza, caratteristica comune del flusso di dati e della sequenza numerica, viene denominata tempo di simbolo; la grandezza inversa,

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[4.3.2] R = 1T ,

che fornisce il numero di simboli per unità di tempo del flusso di informazione, così come il numero di campioni reali discreti per unità di tempo dalla corrispondente sequenza numerica, si denomina allora ritmo di simbolo. Nel caso di alfabeto binario, l’intervallo precisabile con Tb è denominato in particolare tempo di bit e la grandezza inversa,

[4.3.3] Rb = 1Tb,

che fornisce il numero di bit per unità di tempo del flusso di informazione, così come il numero di campioni reali binari per unità di tempo dalla corrispondente sequenza numerica, è allora il ritmo di bit. L’unità di misura di quest’ultimo è il bit al secondo per cui si usa la notazione bit/s; spesso si impiegano i suoi multipli, ossia kbit/s (103), Mbit/s (106) e Gbit/s (109).

4.3.2 Segnali multilivello di sorgente

Le sequenze numeriche x(n) essendo segnali a tempo discreto sono assai utili sul piano logico, ma restano grandezze astratte. Da esse è però immediato dedurre una tipologia delle forme d’onde a cui realmente possono tendere i segnali numerici a tempo continuo emessi da terminali in cui la sorgente di informazione genera un flusso sincrono di dati: ipotizzando l’impiego di semplici circuiti elettronici a scatto istantaneo e tenuta per un tempo T, si hanno tipicamente in uscita dai terminali dei segnali sincroni a gradini del tipo:

[4.3.4] x(t) = (k xk rect tT -k!"#

$%& ,

nei quali ogni campione discreto xk della sequenza si manifesta concretamente tramite un livello di segnale avente pari valore, che si conserva costante per tutto un tempo di simbolo T. La forma sincrona del tipo [4.3.4] viene spesso denominata in generale segnale multilivello; con riferimento alla cardinalità M, si hanno poi i casi particolari di segnale binario (M=2), segnale ternario (M=3), segnale quaternario (M=4) e così via. Stante lo stretto legame tra un segnale multilivello e la corrispondente sequenza numerica il ritmo di simbolo R, o il ritmo binario Rb, e il tempo di simbolo T, o il tempo di bit Tb, sono grandezze caratteristiche anche del segnale multilivello, o del segnale binario. A titolo di esempio, in Figura 4.5a è mostrato un tratto di segnale quaternario, mentre in Figura 4.5b è riportata la corrispondente stringa del flusso di simboli; è immediato verificare che la corrispondenza biunivoca [4.3.1] si particolarizza nelle associazioni: D1;x1=-3, D2;x2=-1, D3;x3=1, D4;x4=3.

Figura 4.5: Esempio di un tratto di un segnale multilivello.

I segnali multilivello in quanto ottenibili combinando linearmente impulsi rettangolari unitari traslati nel tempo (vedi [4.3.3]) hanno estensione spettrale teoricamente illimitata, ossia sono

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91 ideali. Per effetto della limitazione pratica della banda, i segnali numerici concretamente emessi dalle sorgenti che operano in ba se a flussi sincroni di dati hanno andamenti che si discostano lievemente da quelli ideali, con transizioni ripide in luogo delle discontinuità e valori quasi costanti per ogni tempo di simbolo (vedi Figura 4.6); la banda effettiva risulta limitata ma comunque molto estesa, con estremo superiore fM di gran lunga maggiore dell’inverso di T.

Figura 4.6: Esempio di un tratto di un segnale numerico di sorgente.

I segnali multilivello, o meglio i segnali numerici che li assimilano bene, hanno forme che bene si adattano al loro trattamento nell’ambito di un singolo apparato, essendo poco critico il riconoscimento dei livelli tramite campionamento effettuato in presenza di errori negli istanti di lettura; sono invece difficili da gestire nella loro trasmissione a distanza, poiché in molti casi imporrebbero requisiti di banda troppo severi in ragione dell’impiego economico dei mezzi trasmissivi. Come trattato in un successivo capitolo, è possibile ottenere forme diverse di segnali numerici, con estensione spettrale ridotta, senza che si abbia degradazione dei flussi di dati associati. Nella pratica della trasmissione il segnale da trasferire è assai spesso di tipo binario, dato che nei terminali di sorgente è frequente l’impiego di particolari trattamenti, che esulano dallo scopo del testo e sono denominati metodi di codifica di sorgente, che tra l’altro convertono gli alfabeti M-nari in quello binario. 4.3.3 Segnali binari di sorgente

Spesso si usa una corrispondenza biunivoca tra i simboli sq dell’alfabeto, con cardinalità esprimibile tramite la

MS=2S

e le altrettante parole binarie di S cifre binarie o bit (0 e 1); ad esempio

s1;00, s2;01, s3;10, s4;11. Essendo S intero, il numero Ms vale 2 o 4, 8, 16, 32, 64, ecc. Al flusso di dati s(n), con tempo di simbolo Ts, risulta così associato un flusso binario b(n) con tempo di bit Tb ! TS/S, con Tb"TS La grandezza inversa Rb!RS si denomina ritmo binario e si misura in bit/s. Ponendo ad esempio x1;0, x2;1, al flusso s(n) risulta associata una sequenza binaria x(n) con TS=kTb; passando alla forma a tempo continuo si ha poi il segnale binario di sorgente. Il tempo di bit Tb e il ritmo binario Rb sono grandezze caratteristiche anche del segnale binario. Ovviamente un segnale binario è il caso particolare di un segnale multilivello per la cardinalità di alfabeto M=2. Nell’esempio in Figura 4.7 si è assunto:

s1 ; 000 s2 ; 001 s3 ; 010 s4 ; 011 s5 ; 100 s6 ; 101 s7 ; 110 s8 ; 111

bit 0 ; x1=0 bit 1 ; x2=A

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Figura 4.7: Segnale binario di sorgente

4.3.4 Segnali numerici sincroni e asincroni

I segnali multilivello espressi tramite la serie temporale [4.3.4] hanno tutti la proprietà di conservare sempre inalterato l’intervallo temporale tra addendi adiacenti: a ciascuno di essi spetta pertanto l’attributo sincrono, aggettivo che di norma viene sottinteso stante la rarità dei casi in cui viene a mancare la menzionata proprietà. Tuttavia, quando si verifica i segnali numerici vengono detti asincroni. In tale secondo tipo di segnali non è possibile fare riferimento a un unico intervallo temporale, dato che si ha la più generale rappresentazione:

[4.3.5] xa(t) = (k xk rect t-tkTk!"#

$%& ,

dove gli istanti tk si succedono senza essere più vincolati dalla regolarità. In luogo del ritmo di simbolo, si considera allora la velocità di segnalazione:

[4.3.6] RV = 1TV,

essendo TV il minimo valore degli intervalli tk-tk-1. L’unità di misura di RV è il baud, che esprime il numero massimo di simboli veicolabili dal segnale asincrono nella unità di tempo. Un esempio di segnale asincrono binario è quello mostrato in Figura 4.8a, corrispondente allo storico messaggio S O S (tre punti, tre linee, tre punti) nell’alfabeto di Morse. Un caso attuale, ancora binario, è invece quello esemplificato in Figura 4.8b, relativo alla emissione di caratteri di tastiera che avviene come successione asincrona, con tempi di inizio casuali, di brevi segnali di energia associati a stringhe di pochi bit (il bit iniziale, o start, e quello finale, o stop, sono sempre invariati, mentre la parola costituita dagli 8 bit intermedi di ciascuna stringa è tipica del carattere).

Figura 4.8: Esempi di tratti di segnali asincroni binari.

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5 SEGNALI NEI BIPOLI E QUADRIPOLI LINEARI

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5.1 TRASFORMAZIONI LINEARI FRA SEGNALI TEMPO CONTINUI

Con riferimento a quanto già introdotto nel paragrafo 3.3.1, si richiama la seguente espressione di una generica trasformazione lineare:

[5.1.1] T{x(v), z} = x v( )hn z, v( )dv! = x v( ), hn! z, v( )( ) ,

che agendo su un operando x(v), funzione complessa di una variabile indipendente continua e reale v, conduce alla trasformata, funzione complessa di una variabile indipendente continua z. Assumendo che l’operando sia un segnale x(v) tempo continuo (v=t) e che la trasformata sia una funzione ancora della variabile indipendente reale t, si ottiene specificatamente una trasformazione lineare fra segnali tempo continui:

[5.1.2] y(t) " T{x(v), t} = x v( )hn t,v( )dv! = x v( ), hn! t, v( )( ) ,

dove per non generare confusione la variabile temporale in entrata è rimasta indicata con la notazione v. Tale tipo di trasformazione è tipicamente quella che un segnale in entrata, o eccitazione, subisce nella interazione con un sistema lineare, che ne fornisce una versione trasformata in uscita, denominata risposta. Un sistema lineare eccitato con l’impulso ideale all’istante v0 fornisce la risposta:

[5.1.3] ! v-v0( )hn t,v( )dv" = hn(t, v0);

il nucleo della trasformazione calcolato nel valore v0 è allora interpretabile come la risposta all’impulso ideale applicato in tale istante. In particolare, assunta in entrata l’eccitazione +(v) con v0=0, si denomina risposta impulsiva il corrispondente segnale in uscita (vedi Figura 5.1), indicato con:

[5.1.4] h(t) = hn(t, 0).

Figura 5.1: Risposta impulsiva h(t) e risposta all’impulso ideale applicato al tempo v0.

Una trasformazione fra segnali può godere anche della proprietà della tempo invarianza o invarianza alla traslazione che si verifica qualora ad un segnale di ingresso corrisponde, indipendentemente dall’istante di applicazione del segnale di ingresso stesso, sempre la stessa risposta, a meno di una traslazione della stessa entità di quella del segnale di ingresso. Nel caso di trasformazione lineare tempo invariante (LTI) ovvero lineare invariante alla traslazione (LIT) i parametri caratterizzanti l’operatore sono fissi nel tempo e si ha la proprietà della sostanziale immutabilità temporale dell’effetto, ossia a una eccitazione traslata di un tempo generico t0 corrisponde sempre la stessa risposta a meno della traslazione della stessa quantità.

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96 Allora la risposta hn(t, v) all’impulso ideale al generico tempo v deve coincidere con la risposta impulsiva a meno della traslazione della quantità v, in modo che risulti la particolare espressione del nucleo (vedi Figura 5.1, con v=v0):

[5.1.5] hn(t, v) = h(t-v).

Una trasformazione LTI fra segnali può essere dunque espressa nella forma:

[5.1.6] y(t) = x v( )h t-v( )dv! = x v( ), h! t-v( )( ) ,

ossia la risposta è il risultato della operazione di convoluzione (vedi [2.1.11]) tra il segnale di eccitazione x(t) e la risposta impulsiva h(t):

[5.1.7] y(t) = h(t)$x(t).

Di norma, considerata una risposta impulsiva con durata D non nulla e almeno praticamente finita, la trasformazione [5.1.6] mostra che il valore istantaneo y(t) della risposta al tempo t risulta dalla interpolazione di tutti i valori istantanei del segnale in entrata x(v) in corrispondenza dell’intervallo temporale, di estensione D, in cui è diversa da zero la funzione h(t-v) (vedi Figura 5.2); perciò si assume che una trasformazione LTI sia in generale del tipo con memoria.

Figura 5.2: Valore istantaneo y(t) della risposta calcolato tramite la interpolazione continua dei

valori della eccitazione x(v) con i valori della funzione h(t-v).

Un caso particolare molto significativo è quello di trasformazione LTI priva di memoria, caratterizzata da una risposta impulsiva di durata infinitesima g+(t-t0), con g e to costanti, ossia con nucleo h(t-v)=g+(t-v-t0); si verifica immediatamente che le risposte sono segnali fedeli:

[5.1.8] y(t) = x v( )g! t-v-t0( )dv" = gx(t-t0),

in cui per ricostruire ciascun valore istantaneo in uscita è sufficiente un solo corrispondente valore istantaneo in entrata. Si rammenti infine che nella generica trasformazione lineare tempo variante la risposta hn(t, v) all’impulso ideale al generico tempo v non gode più della proprietà di rimanere invariata a meno della traslazione della quantità v. 5.1.1 Considerazioni sulla natura elettrica dei segnali

5.1.1.1 Tensione diretta e tensione riflessa

Si consideri il trasferimento elementare della informazione in una generica sezione di un sistema di trasmissione in cui la connessione tra le due parti sia realizzata con una coppia di fili metallici. Come schematizzato in Figura 5.3, le parti del sistema a monte e a valle della connessione possono essere rappresentate rispettivamente da un bipolo generatore G e da un bipolo utilizzatore U, mentre nella sezione si può evidenziare la coppia di grandezze reali costituita dalla tensione v(t) tra i due fili di connessione e la corrente i(t) entrante in uno di essi e uscente dall’altro. Si noti che

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97 sia la tensione che la corrente concorrono al trasferimento della informazione, in modo che in generale è doveroso considerare in ogni sezione di un sistema di trasmissione una coppia di grandezze reali funzioni del tempo.

Figura 5.3: Rappresentazione di una connessione bifilare in generale (a) e nel caso di adattamento

ideale (b). L’informazione risulta correttamente trasferita da una parte all’altra del sistema di trasmissione se è rispettata nella connessione la condizione di adattamento ideale, secondo la quale il generatore è una sorgente di f.e.m. eg(t) con resistenza interna costante, reale e positiva R e l’utilizzatore è rappresentabile con una resistenza di pari valore (vedi Figura 5.3b). Infatti, in tale situazione si ha v(t)=Ri(t)=eg(t)/2, per cui v(t) e i(t) non solo risultano proporzionali, e quindi fedeli tra loro, ma sono anche fedeli a eg(t); si ottiene inoltre il massimo trasferimento di potenza, ossia la potenza istantanea w(t)=v(t) i(t) è tutta assorbita dall’utilizzatore. Nella condizione di adattamento ideale, ai fini della informazione si può dunque fare riferimento a una sola delle due grandezze nella sezione considerata. Si consideri il caso, schematizzato in Figura 5.4, in cui il generatore sia ideale e invece non lo sia l’utilizzatore, per cui si ammetta comunque la rappresentazione tramite un bipolo passivo LTI

(Lineare Tempo Invariante), caratterizzato con la impedenza Z(f)/R. La connessione non avviene più in modo ideale: venendo a cadere la relazione di proporzionalità tra v(t) e i(t), non si può assumere infatti né che le grandezze siano segnali tra loro fedeli, né che siano fedeli alla f.e.m. eg(t).

Figura 5.4: Connessione bifilare con generatore ideale e utilizzatore LTI.

Con riferimento alla Figura 5.4, si nota che la f.e.m. eg(t) si ripartisce nella caduta di tensione Ri(t) sulla resistenza interna del generatore ideale e nella tensione v(t) ai capi del bipolo utilizzatore, ossia si ha eg(t)=Ri(t)+v(t); risulta allora che qualsiasi combinazione lineare di v(t) e i(t) nella forma k[v(t)+Ri(t)], con k costante reale, è fedele rispetto alla f.e.m eg(t), indipendentemente dalla impedenza Z(f) dell’utilizzatore. In base a tale considerazione si è indotti a definire nella sezione di connessione la coppia di grandezze reali:

[5.1.9] vd(t) = 12 [v(t) + R i(t)], vr(t) = 12 [v(t) - R i(t)],

in cui la prima risulta comunque fedele alla f.e.m. eg(t), rivelandosi come la grandezza significativa per il trasferimento della informazione, mentre la seconda addirittura si annulla nella condizione di connessione ideale (Z(f)=R), mostrando di essere associata allo scostamento da tale situazione. Le [5.1.9] per inversione forniscono le relazioni:

[5.1.10] v(t) = vd(t) + vr(t), i(t) = id(t) + ir(t),

dove si è posto

[5.1.11] id(t) = 1R vd(t), ir(t) = - 1R vr(t).

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98 Servendosi delle precedenti relazioni, la potenza istantanea ceduta al bipolo utilizzatore passivo LTI assume l’espressione:

[5.1.12] w(t) = [vd(t) + vr(t)][id(t) + ir(t)] = vd(t) id(t) + vd(t) ir(t) + vr(t) id(t) + vr(t) ir(t) =

= 1R [vd2 t( ) - vd(t) vr(t) + vr(t) vd(t) - vr

2 t( ) ] = wd(t) + wr(t),

avendo posto:

[5.1.13] wd(t) = 1R vd2 t( ) , wr(t) = - 1R vr

2 t( ) .

Si nota che la potenza istantanea wd(t) è sempre positiva, ossia la grandezza significativa vd(t) fornisce in modo immediato tramite la prima delle [5.1.13] la potenza che in ogni istante la sorgente invia all’utilizzatore, mentre la potenza istantanea wr(t) è sempre negativa, così che vr(t) è responsabile della estrazione dall’utilizzatore della potenza che le compete in base alla seconda delle [5.1.13]. Da ciò derivano le denominazioni di tensione diretta e tensione riflessa, rispettivamente per le grandezze vd(t) e vr(t) in cui è stata scomposta la tensione v(t) nella sezione.

5.1.1.2 Segnale diretto e segnale riflesso Le grandezze v(t) e i(t), e parimenti la coppia vd(t) e vr(t), perdono significato nel caso in cui la connessione sia materialmente realizzata con una struttura in cui non sia ammessa la propagazione del campo elettromagnetico con modo TEM (TEM=Trasverso Elettrico e Magnetico), ossia con vettori elettrico e magnetico ortogonali tra loro e giacenti entrambi sul piano della sezione, come invece avviene di norma se la struttura è costituita da due conduttori tra loro isolati. La menzionata perdita di significato si verifica, ad esempio, se nella sezione di connessione si ha la configurazione tipica di una fibra ottica o di una guida d’onda metallica. Con riferimento del tutto generale alla coppia degli effettivi modi elettromagnetici che nella sezione sono responsabili l’uno della propagazione diretta, con onda progressiva dal generatore all’utilizzatore, e l’altro della propagazione riflessa, con onda regressiva nel verso opposto, sono in ogni caso definibili con pieno senso fisico le rispettive potenze istantanee: quella diretta wd(t), sempre positiva, e quella riflessa wr(t), sempre negativa. Allo scopo della più ampia generalità è dunque opportuno servirsi della coppia di grandezze reali definite mediante le:

[5.1.14] xd(t) = wd t( ) , xr(t) = -wr t( ) ,

aventi come unità di misura la radice quadrata del Watt, che sono denominate rispettivamente segnale diretto e segnale riflesso nella sezione considerata. Nel caso della connessione ideale che si verifica in assenza di potenza istantanea riflessa dall’utilizzatore, ossia con wr(t)"0 e w(t)"wd(t), si ottiene:

[5.1.15] xd(t) = w t( ) , xr(t) = 0,

dove xd(t) è il segnale significativo per il trasferimento della informazione e xr(t), indicativo dello scostamento dalla connessione ideale, è nullo. Qualora abbiano significato fisico le tensioni diretta e riflessa, tramite le [5.1.13] si hanno le semplici relazioni:

[5.1.16] xd(t) =±1Rvd t( ) , xr(t) =

±1Rvr t( ) ,

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99 in cui la indeterminazione del segno è inessenziale, alla luce delle considerazioni sui segnali fedeli. Tramite le definizioni [5.1.9] si ottengono poi anche le seguenti espressioni dei segnali in funzione di v(t), i(t):

[5.1.17] xd(t) =12

1Rv t( )+ Ri t( )

!

"#$

%&, xr(t) =

12

1Rv t( )- Ri t( )

!

"#$

%&,

che mostrano come i segnali diretti e riflessi siano ancora una combinazione lineare a coefficienti costanti della tensione e della corrente nella sezione di connessione. La scelta della coppia dei segnali diretto e riflesso, con la natura specificata nelle definizioni immediatamente precedenti, gode dei seguenti vantaggi: • i segnali diretto e riflesso sono grandezze omogenee, di validità generale; • il segnale diretto xd(t), unico presente nella connessione ideale con wr(t)"0, assume il ruolo di

segnale utile nella sezione; • il segnale riflesso xr(t), identicamente nullo nella connessione ideale, evidenzia lo scostamento

dal caso ideale, si rivela come segnale indesiderato nella sezione; • la potenza elettrica istantanea trasferita nella sezione ha in generale la semplice espressione

w(t)= xd2 (t) - xr

2 (t) , che in condizione ideale si riduce alla:

[5.1.18] w(t) = xd2 t( ) , per xr(t) " 0.

Si ha inoltre la più semplice e più generale rappresentazione grafica unifilare mostrata in Figura 5.5a, con indicazione della via su cui avviene la connessione tra generatore e utilizzatore, nei quali è sempre possibile individuare una porta di entrata o di uscita, mentre non ha sempre significato fisico la identificazione di una coppia di poli a cui si attestano conduttori. In tale rappresentazione l’idealità della connessione, che assai spesso si ritiene sia soddisfatta, può essere sinteticamente indicata omettendo il segnale riflesso e abolendo il pedice nella notazione del segnale diretto (vedi Figura 5.5b).

Figura 5.5: Rappresentazione di una connessione con schema unifilare, nel caso generico (a) e in

condizione di connessione ideale (b).

Nel seguito si farà pertanto riferimento prevalente a segnali con natura elettrica corrispondente alla radice quadrata della potenza istantanea da essi veicolata e, a meno che non sia esplicitamente formulato il contrario, si riterrà soddisfatta la condizione di connessione ideale. Quanto sopra sarà inoltre esteso ai segnali complessi.

5.2 TRASFORMAZIONI LTI NEI BIPOLI

5.2.1 Risposta riflessa nei domini del tempo e della frequenza

Nello sviluppo di alcune considerazioni basilari sulle trasformazioni LTI fra segnali è opportuno iniziare da quella più elementare, che si compie in un sottosistema elettrico con una unica sezione di accesso, o porta, rappresentato come mostrato in Figura 5.6, dove si è fatto ricorso allo schema con via di accesso su cui si ha la coppia di segnali diretto e riflesso. Nel seguito un sottosistema a una porta, in base alla sua rappresentabilità con un bipolo equivalente, verrà spesso denominato bipolo anche qualora non abbia significato fisico l’individuazione di una coppia di poli di accesso. I segnali possono essere entrambi di energia o di potenza; si usano le notazioni x(t) per quello

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100 diretto, con veste di segnale entrante di eccitazione, e y(t) per quello riflesso, con veste di segnale uscente, o risposta.

Figura 5.6: Schema di un bipolo, con segnale diretto di eccitazione x(t) e segnale riflesso di

risposta y(t).

Assunto che il sottosistema considerato riguardi il lato utilizzatore a valle di una generica sezione di un sistema di trasmissione, si formula l’ipotesi che il bipolo rappresentativo abbia natura passiva, lineare e caratterizzata con parametri fissi nel tempo; la risposta riflessa y(t) risulta quindi associata alla eccitazione x(t) tramite una trasformazione fra segnali di tipo lineare tempo invariante (LTI). È noto (vedi paragrafo 5.1.1) che nel caso in cui il bipolo LTI sia connesso a un generatore con resistenza interna equivalente reale e costante R, nella condizione ideale di impedenza del bipolo utilizzatore uguale a R, si ha y(t)"0 per qualsiasi x(t), ossia non si ha alcuna risposta riflessa; altrimenti si ha un segnale trasformato con espressione:

[5.2.1] y(t) = x v( )h! t-v( )dv" = hA(t)$x(t),

dove sotto il segno di integrale la variabile temporale in entrata è stata indicata con v. Il segnale riflesso è dunque ottenibile tramite la operazione di convoluzione tra il segnale diretto x(t) e la risposta impulsiva riflessa hA(t); quest’ultima funzione, che caratterizza il bipolo LT I nel dominio del tempo in riferimento alla resistenza R, è definita come il segnale riflesso corrispondente alla eccitazione con l’impulso ideale all’istante v=0 [y(t)"hA(t) per x(v)"+(v)], generato da una sorgente con resistenza interna R. La trasformazione [5.2.1], di norma del tipo con memoria, è una operazione applicabile tanto nel caso di segnale di eccitazione di energia, quanto in quello di potenza, con risposta rispettivamente dell’uno o dell’altro tipo. Un bipolo passivo LT I si denomina fisicamente realizzabile se la sua risposta impulsiva riflessa è reale, appartiene allo spazio funzionale L1 ed è inoltre causale, ossia risulta hA(t)=0 ! t<0; si denomina invece idealmente realizzabile se viene meno la sola causalità delle risposta. Nel caso di bipolo LT I realizzabile, sia idealmente che fisicamente, esiste la trasformata di Fourier della risposta impulsiva riflessa:

[5.2.2] A(f) = F{hA(t)},

anch’essa funzione caratteristica del bipolo considerato in riferimento alla resistenza R, ma nel dominio della frequenza. Supposto che esista la trasformata di Fourier X(f) del segnale di eccitazione x(t) di un bipolo passivo LTI, applicando alla espressione [5.2.1] della trasformazione la proprietà di convoluzione nel tempo si ottiene la corrispondente relazione nel dominio della frequenza:

[5.2.3] Y(f) = F{hA(t)}X(f) = A(f)X(f).

Tenuto conto che l’eccitazione x(t) è il segnale diretto e che la risposta y(t) è il segnale riflesso, la funzione A(f) viene allora denominata coefficiente di riflessione del bipolo. Ammesso che hA(t) sia reale, il coefficiente di riflessione gode della proprietà:

[5.2.4] A(f) = !" -f( ) ,

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101 ossia A(f) è una funzione hermitiana, con modulo pari e argomento dispari; è dunque esauriente la sua conoscenza sul solo semiasse positivo della frequenza. In condizione di adattamento ideale nella sezione di connessione la risposta riflessa y(t) è identicamente nulla per qualsiasi eccitazione x(t): ne segue che il bipolo deve avere risposta impulsiva riflessa hA(t)"0, ossia coefficiente di riflessione A(f)"0 nell’intero dominio della frequenza. La hA(t)"0 è condizione sufficiente, ma non necessaria, al fine di ottenere y(t)"0; infatti nel caso di segnali entranti di tipo limitato in frequenza, con banda monolatera estesa da fm a fM, essendo nulle le componenti spettrali all’esterno della banda la risposta riflessa è identicamente nulla, purché risulti soddisfatta la condizione assai meno severa:

[5.2.5] A(f) = 0, ! f " fm; fM( ) .

Si noti che in tale condizione di adattamento perfetto nella sezione di connessione la risposta impulsiva riflessa del bipolo è di norma non identicamente nulla. 5.2.2 Relazione tra coefficiente di riflessione e impedenza

Qualora abbiano significato fisico le grandezze tensione e corrente ai capi del bipolo passivo rappresentativo del sistema utilizzatore, può tornare utile la conoscenza del legame intercorrente tra il coefficiente di riflessione A(f) e la impedenza Z(f), anch’essa funzione caratteristica del bipolo nel dominio della frequenza. Rammentando le relazioni esistenti tra i segnali diretto xd(t) e riflesso xr(t) e la coppia tensione v(t) e corrente i(t) ai capi del bipolo (vedi [5.1.16]), con le notazioni x(t)"xd(t) e y(t)"xr(t) si ha:

[5.2.6] x(t) = 12

1Rv t( )+ Ri t( )

!

"#$

%&, y(t) = 1

21Rv t( )- Ri t( )

!

"#$

%&,

Nella ipotesi di eccitazione armonica alla frequenza f e applicando il metodo simbolico, dalle [5.2.3] e [5.2.6] si ricavano le corrispondenti relazioni tra fasori:

[5.2.7] Y = A X,

[5.2.8] X = 12

1RVV+ RII

!

"#$

%&, Y= 1

21RVV- RII

!

"#$

%&.

Valendo per il bipolo il noto vincolo V = Z I, dalle precedenti espressioni si ottiene:

[5.2.9] Y = 12

1RZ II- RII

!

"#$

%& = A X = A

12

1RZ II+ RII

!

"#$

%&;

grazie alla linearità, risulta quindi per ogni frequenza la seguente relazione tra il coefficiente di riflessione e la impedenza del bipolo utilizzatore:

[5.2.10] A(f) = Z(f)-RZ(f)+R .

Dato che il bipolo è stato assunto passivo, la parte reale di Z(f) è positiva; di conseguenza il coefficiente di riflessione risulta limitato in modulo:

[5.2.11] |A(f)| * 1,

con valore unitario raggiunto solo per 0{Z(f)} =0.

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102 5.2.3 Approfondimenti sul coefficiente di riflessione

Con riferimento al caso di segnali di energia, rammentando la relazione intercorrente tra la funzione di intercorrelazione e la convoluzione (vedi [3.3.51]) si ha:

[5.2.12] Cyx(-) = y(-)$x*(--) = x(-)$hA(-)$x*(--) = hA(-)$Cxx(-);

si ottiene poi una espressione analoga nel caso di segnali di potenza. A meno che non si abbia l’adattamento ideale o perfetto, la risposta riflessa y(t) risulta dunque affine al segnale diretto entrante, dipendendo da questo e dal coefficiente di riflessione del bipolo. Passando al dominio della frequenza, dalla [5.2.12] e dalla espressione analoga derivano le relazioni:

[5.2.13] Eyx(f) = A(f) Exx(f), Wyx(f) = A(f) Wxx(f),

dove con E(f) o W(f) sono rispettivamente indicate le densità spettrali di energia o di potenza dei segnali considerati. Dalla relazione [5.2.3] si ricavano poi le:

[5.2.14] Eyy(f) = |A(f)|2 Exx(f), Wyy(f) = |A(f)|2 Wxx(f) ;

si ha dunque l’energia o la potenza riflessa:

[5.2.15] Eyy = ! f( )2Exx f( )df" , Wyy = ! f( )

2Wxx f( )df" ,

che si rammenta essere quella nel verso dall’utilizzatore al generatore. Nel caso della realizzabilità fisica, la causalità implica che h0(t) sia monolatera destra, consentendo di porre h0(t)=h0(t)sgn(t); per trasformazione di Fourier, essendo F{sgn(t)} = -j/!f, si ottiene allora:

[5.2.16] A(f) = A(f)$ -j!f w .

Dalle uguaglianze delle parti reale e immaginaria risulta pertanto:

[5.2.17] AR(f) = H{AI(f)}= !I f( ) , AI(f) = -H{AR(f)}= - !R f( ) ,

ossia la parte reale AR(f) di A(f) e il coefficiente della sua parte immaginaria AI(f) sono tra loro legate dalla trasformazione di Hilbert nel dominio della frequenza.

5.3 TRASFORMAZIONI LTI NEI QUADRIPOLI

5.3.1 Risposte nei domini del tempo e della frequenza

Sono senza dubbio di maggiore importanza le trasformazioni fra segnali che si compiono in un sottosistema elettrico con due sezioni di accesso, o porte, schematizzato come mostrato in Figura 5.7, dove si è fatto ricorso alle coppie di segnali diretti e riflessi sulle vie di accesso alle porte; si è usata la notazione xi(t) per il segnale di eccitazione entrante alla porta i=1,2 e quella yi(t) per il corrispondente segnale di risposta uscente. Come noto un sottosistema a due porte, in base alla sua rappresentabilità con un quadripolo equivalente, è spesso denominato quadripolo anche qualora non abbia significato fisico l’individuazione di una vera coppia di poli di accesso.

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Figura 5.7: Schema di un quadripolo, con coppia di segnali entranti, o di eccitazione xi(t), e coppia

di segnali uscenti, o di risposta yi(t).

Nel caso più generale le due trasformazioni che portano alle risposte y1(t) e y2(t) hanno espressioni complicate e dipendenti tanto da entrambe le eccitazioni x1(t) e x2(t), quanto dalla variabile temporale indipendente. Ammessa l’ipotesi limitativa, ma assai frequentemente verificata in pratica, che il quadripolo abbia natura lineare e caratterizzata con parametri fissi nel tempo (tempo invarianza), i vincoli imposti dalla particolare costituzione del sistema fra i segnali alle due porte si traducono nella coppia di trasformazioni LTI, di norma del tipo con memoria:

[5.3.1] yi(t) = xi v( )hii t-v( )dv! + xj v( )hij t-v( )dv! , i=1, 2 e j=2, 1,

che esprimono i segnali uscenti, o risposte, in funzione dei due segnali entranti di eccitazione. Si noti che negli integrali di convoluzione la variabile indipendente temporale in entrata è stata indicata con v al fine di distinguerla da quella in uscita t. Le quattro funzioni hij(t), che caratterizzano nel dominio del tempo un generico quadripolo LTI in riferimento a una resistenza R, si denominano risposte impulsive riflesse (per i=j) e risposte impulsive trasmesse (per i/j), dato che coincidono con i segnali uscenti ottenibili in corrispondenza di una sola eccitazione con l’impulso ideale all’istante v=0 emesso da un generatore di impedenza interna R reale e costante; infatti si ha y1(t)"h11(t) e y2(t)"h21(t) assumendo le eccitazioni x1(v)"+(v) e x2(v)"0, e y1(t)"h12(t) e y2(t)"h22(t) ponendo x1(v)"0 e x2(v)"+(v). Un quadripolo LTI, per cui si hanno le due trasformazioni [5.3.1] riportate nell’immediato seguito con le notazioni equivalenti:

[5.3.2] y1(t) = h11(t)$x1(t) + h12(t)$x2(t), y2(t) = h21(t)$x1(t) + h22(t)$x2(t),

è fisicamente realizzabile se tutte le quattro risposte impulsive che lo caratterizzano nel dominio del tempo appartengono allo spazio funzionale L1, sono reali e inoltre causali, ossia risulta hij(t)=0 Bt<0; è invece idealmente realizzabile se viene meno la sola causalità delle risposte. Per un quadripolo LT I realizzabile, sia idealmente che fisicamente, esistono dunque le trasformate di Fourier:

[5.3.3] Hij(f) = F{hij(t)},

anch’esse funzioni caratteristiche del quadripolo considerato in riferimento alla resistenza R, ma nel dominio della frequenza. Ammesso che hij(t) siano reali vale la proprietà:

[5.3.4] Hij(f) = Hij! -f( ) ,

ossia le funzioni Hij(f) sono hermitiane, con modulo pari e argomento dispari. Rammentando la definizione, per ogni frequenza armonica, dei parametri di diffusione Sij di un quadripolo LTI (il lettore può comunque fare riferimento al paragrafo 5.3.2), risulta che le riflettenze, ossia i parametri S11(f) e S22(f), si identificano con le trasformate di Fourier H11(f) e H22(f) delle risposte impulsive riflesse h11(t) e h22(t), mentre le trasmettenze, ossia i parametri

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104 S12(f) e S21(f), si identificano con le trasformate di Fourier H12(f) e H21(f) delle risposte impulsive trasmesse h12(t) e h21(t). Una volta espressa una trasmettenza di un quadripolo LTI tramite il rispettivo modulo gij(f) = |Hij(f)| e l’opposto dell’argomento #ij(f) =-arg{Hij(f)}, in modo che per i/j risulti:

[5.3.5] Hij(f) = gij(f) e-j!ij f( ) ,

si definiscono le seguenti grandezze reali:

[5.3.6] Gij(f) = gij2 f( ) = |Hij(f)|2,

[5.3.7] t0ij(f) = 12!d"ij f( )df = - 12!

ddf arg Hij f( ){ }"#

$% ,

rispettivamente denominate guadagno di inserzione e ritardo di gruppo di inserzione dalla porta j alla porta i. In un quadripolo realizzabile la funzione Gij(f) è ovunque limitata; se è anche fisicamente realizzabile la funzione t0ij(f) è ovunque non negativa; dato che #ij(0)=0, la funzione #ij(f) è allora positiva (o negativa) per ogni valore positivo (o negativo) della frequenza. Supposto che esistano le trasformate di Fourier Xi(f) dei segnali di eccitazione xi(t) di un quadripolo LTI, applicando la proprietà di convoluzione nel tempo si ottengono dalle [5.3.2] le corrispondenti relazioni nel dominio della frequenza:

[5.3.8] Y1(f) = H11(f) X1(f) + H12(f) X2(f), Y2(f) = H21(f) X1(f) + H22(f) X2(f).

5.3.2 Parametri di diffusione nei Quadripoli LTI

Il comportamento di un quadripolo LTI può essere descritto, per ogni frequenza f=%/2!, considerando le semplici eccitazioni armoniche alle sue porte 1 e 2 :

[5.3.9] x1(t) = Acos(%t+71), x2(t) = A2cos(%t+72),

che producono i segnali uscenti, anch’essi armonici:

[5.3.10] y1(t) = B1cos(%t+C1), y2(t) = B2cos(%t+C2).

Tramite la notazione di Steinmetz si usa di solito indicare i precedenti segnali armonici con fasori, denominati intensità d’onda quando riferiti ai segnali, entranti a frequenza f :

[5.3.11] a1 = A1 e j!1 , a2 = A2 e j!2 ,

e uscenti a frequenza f :

[5.3.12] b1 = B1 e j!1 , b2 = B2 e j!2 .

Grazie alla ipotesi LTI, assunta una stessa resistenza di riferimento R alle due porte, i vincoli imposti sulle intensità d’onda assumono le forme assai semplici:

[5.3.13] b1 = S11a1+S12a2, b2 = S21a1+S22a2,

dove le grandezze adimensionali Sij, caratteristiche del quadripolo, sono denominate parametri di diffusione. I parametri con coppia di pedici identici e quelli con pedici diversi si denominano rispettivamente le riflettenze e le trasmettenze del quadripolo. Passando a considerare le funzioni Sij(f) definite per ogni frequenza e tenendo conto della proprietà di linearità della trasformata di Fourier, dal confronto delle relazioni precedenti con le [5.3.8] risulta che le funzioni di diffusione coincidono con le rispettive trasformate di Fourier delle risposte impulsive del quadripolo LTI. La condizione di realizzabilità, fisica o ideale, del quadripolo si traduce nella forma:

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105 [5.3.14] Sij(f) = Sij

! -f( ) ;

ossia i parametri di diffusione devono essere funzioni hermitiane. Essi hanno poi tutti modulo limitato sull’intero asse delle frequenze; il valore limite superiore vale 1 nel caso dei quadripoli passivi. Procedendo come per il bipolo, nel caso di realizzabilità fisica si dimostra che la parte reale di ogni funzione Sij(f) e il coefficiente della sua parte immaginaria sono tra loro legate dalla trasformazione di Hilbert nel dominio della frequenza:

[5.3.15] SijR(f) = H{SijI(f)}= SijI f( ) , SijI(f) = -H{SijR(f)}= - SijR f( ) .

La reciprocità del quadripolo comporta la uguaglianza delle due trasmettenze:

[5.3.16] S12(f) = S21(f),

mentre la simmetria elettrica implica che valgano le: [5.3.17] S12(f) = S21(f), S11(f) = S22(f),

ossia aggiunge la uguaglianza delle riflettenze a quella delle trasmettenze. Un quadripolo per cui si annullino le riflettenze:

[5.3.18] S11(f) = S22(f) = 0,

è denominato quadripolo adattato; se esso gode della reciprocità, è allora anche simmetrico. Per un quadripolo passivo privo di perdite valgono le relazioni:

[5.3.19] |S11(f)|2 + |S21(f)|2 = |S22(f)|2 + |S12(f)|2 = 1,

[5.3.20] S11(f) S12! (f) + S21(f) S22

! (f) = 0.

Si definisce anche, sempre per ogni frequenza, il determinante:

[5.3.21] >(f) = S11(f) S22(f) – S12(f) S21(f).

Si ha |>(f)| = 1 nel caso reciproco, passivo e privo di perdite; risulta poi >(f) = -1 se il quadripolo si riduce alla semplice connessione diretta tra le due porte, in cui le riflettenze sono nulle e le trasmettenze sono unitarie.

5.3.3 Trasferimento in condizione di adattamento

5.3.3.1 Trasferimento in un quadripolo

Tralasciando l’analisi del caso generale, si assuma che la porta 2 di un quadripolo LTI sia connessa a un bipolo lineare passivo con adattamento perfetto, ossia avente un coefficiente di riflessione A(f) nullo nella banda di segnale; poiché allora risulta identicamente nullo il segnale riflesso dal bipolo, che è anche il segnale di eccitazione del quadripolo alla porta 2, la coppia di trasformazioni che descrive il comportamento di quest’ultimo si semplifica nelle:

[5.3.22] y1(t) = h11(t)$x1(t), per A(f)=0 ! f " fm; fM( ) ,

[5.3.23] y2(t) = h21(t)$x1(t), per A(f)=0 ! f " fm; fM( ) .

Disinteressandosi della risposta riflessa alla porta 1 (tale segnale è poi assai spesso identicamente nullo per essere uguale a zero la riflettenza H11(f) nella banda di segnale), l’attenzione si concentra sulla sola trasformazione (vedi schema in Figura 5.8):

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106 [5.3.24] y(t) = h(t)$x(t),

dove si è posto y(t)=y2(t) per l’unica risposta rilevante, ossia quella in uscita alla porta 2, x(t)=x1(t) per l’unico segnale di eccitazione, in entrata alla porta 1, e infine si è fatto uso della notazione:

[5.3.25] h(t)=h21(t), per A(f)=0 ! f " fm; fM( ) ,

per l’unica caratteristica significativa nel dominio del tempo del sistema considerato, ossia la risposta impulsiva di trasferimento. Si noti che la [5.3.24] è ancora la sola trasformazione di interesse anche nel caso in cui non si abbia un bipolo utilizzatore con adattamento perfetto, purché si verifichi H22(f)=0 in banda.

Figura 5.8: Schema di quadripolo LTI con adattamento perfetto in uscita.

Si suole denominare funzione di trasferimento o risposta in frequenza del quadripolo con adattamento perfetto in uscita, o dal lato utilizzatore o da quello del quadripolo, la trasformata di Fourier della risposta impulsiva di trasferimento:

[5.3.26] H(f)=F{h(t)} = H21(f),

ossia la trasmettenza dalla porta di entrata a quella di uscita, anch’essa unica funzione caratteristica significativa del sistema nelle condizioni considerate, ma nel dominio della frequenza. Con riferimento al modulo e all’opposto dell’argomento della funzione di trasferimento, per cui si ha H(f)=g(f) e-j! f( ) , le grandezze reali:

[5.3.27] G(f)=g2(f) = |H(f)|2,

[5.3.28] t0(f)= 12!d" f( )df = - 12!

ddf arg H f( ){ }"# $% ,

vengono nel seguito semplicemente denominate guadagno e ritardo di gruppo del quadripolo; si considera anche l’inverso del guadagno, ossia la attenuazione di trasferimento del quadripolo:

[5.3.29] A(f)= g-2(f) = |H(f)| -2.

Se esiste la trasformata di Fourier X(f) del segnale x(t), per la proprietà di convoluzione nel dominio del tempo si ottiene dalla [5.3.24] la corrispondente relazione nel dominio della frequenza

[5.3.30] Y(f) = H(f) X(f).

5.3.3.2 Trasferimento nei quadripoli in cascata Si consideri la cascata di due quadripoli LTI Q1 e Q2, con le notazioni mostrate in Figura 5.9.

Figura 5.9: Quadripolo equivalente alla cascata di due quadripoli.

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107 Le identità y2(t)"x3(t) e x2(t)"y3(t) sui quattro segnali alle porte interne mostrate in Figura 5.9, che risultano imposte nel momento in cui si attua la connessione dei due quadripoli, riducono in generale il comportamento globale del sistema in cascata a due sole trasformazioni, caratteristiche dell’unico quadripolo Qeq equivalente alla cascata di Q1 e Q2 che ha come porte accessibili solo quelle esterne di questi ultimi. Nella ipotesi che Q2 sia terminato su un bipolo con adattamento perfetto e che entrambi i quadripoli siano adattati, ossia abbiano riflettenze nulle in banda, sono identicamente nulli tutti i segnali riflessi, ossia valgono le identità:

[5.3.31] x4(t) " 0, x2(t) " y3(t) " 0, y1(t) " 0.

Una volta indicata con hi(t) la risposta impulsiva di trasferimento del quadripolo Qi e avendo posto x(t)=x1(t) e y(t)=y4(t), si ottiene:

[5.3.32] y2(t) = h1(t)$x(t), y(t) = h2(t)$x3(t) ;

in base all’identità y2(t)"x3(t) risulta allora:

[5.3.33] y(t) = h2(t)$x3(t) = h2(t)$[h1(t)$x(t)] = heq(t)$x(t),

dove si è posto per la risposta impulsiva di trasferimento del quadripolo equivalente:

[5.3.34] heq(t)=h2(t)$h1(t).

Mediante la trasformazione di Fourier applicata ad ambo i membri della precedente espressione, per la proprietà di convoluzione nel dominio del tempo si ha la seguente semplice relazione tra la funzione di trasferimento del quadripolo equivalente alla cascata e quelle dei quadripoli componenti:

[5.3.35] Heq(f) = H1(f) H2(f).

È importante notare che scambiando le posizioni dei due quadripoli LTI in cascata il comportamento complessivo non cambia. Prendendo in considerazione la cascata di m quadripoli LTI, sempre in condizione di adattamento perfetto in tutte le sezioni di connessione, la [5.3.35] si generalizza nella espressione:

[5.3.36] Heq(f) = Hi f( )i=1

m

! ,

da cui risulta che la intera cascata equivale a un quadripolo con adattamento perfetto, che ha per funzione di trasferimento il semplice prodotto di quelle dei quadripoli componenti.

5.3.3.3 Trasferimento in banda traslata in un quadripolo Nel caso di impiego di un quadripolo LTI, idealmente o fisicamente realizzabile, con segnali in banda traslata, di norma rappresentati tramite gli inviluppi complessi riferiti a una frequenza fc=%c/2! entro la banda, ammesso l’adattamento perfetto nella sezione di connessione in uscita si preferisce spesso la caratterizzazione tramite la grandezza, denominata funzione di trasferimento equivalente in banda base:

[5.3.37] H(f)=H+(f+fc).

Come illustrato nell’esempio in Figura 5.10, la funzione H(f) è ottenuta per semplice traslazione di fc verso la origine di H+(f), ossia della sola porzione sul semiasse positivo delle frequenze della funzione di trasferimento H(f)=H21(f).

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108

Figura 5.10: Funzione di trasferimento equivalente in banda base di un quadripolo LTI con

adattamento perfetto in uscita impiegato con segnale in banda traslata. Si noti che in generale la funzione H(f) non è hermitiana, ossia risulta:

[5.3.38] H(f)/H*(-f);

di conseguenza è di norma complessa la risposta impulsiva equivalente in banda base:

[5.3.39] h(t)=F-1{H(f)} = hc(t) + jhs(t).

Nella pratica è però frequente il caso di quadripoli per cui, almeno approssimativamente, vale la proprietà H(f)=H*(-f) ; allora h(t) risulta reale, ossia si ha h(t)"hc(t) e hs(t)"0. Inviando al paragrafo 5.3.3.4 il lettore interessato alla dimostrazione, la risposta impulsiva equivalente in banda base consente di ricavare l’inviluppo complesso !y(t) della risposta da quello !x(t) di eccitazione mediante la semplice trasformazione:

[5.3.40] !y(t) = h(t)$!x(t).

Ammessa l’esistenza della trasformata di Fourier Ix(f) di !x(t), si ottiene al solito la corrispondente semplice relazione nel dominio della frequenza:

[5.3.41] Iy(f)=H(f) Ix(f)

5.3.3.4 Approfondimenti sul trasferimento in banda traslata La funzione di trasferimento equivalente in banda base può essere scomposta nelle sue componenti hermitiana e non hermitiana, H(f) = HH(f)+HAH(f), per cui:

[5.3.42] HH(f) = 12 H f( )+H! -f( )"#

$% , HAH(f) = 12 H f( )-H! -f( )"

#$% .

Per antitrasformazione allora si ottiene:

[5.3.43] F -1{HH(f)} = 12 h t( )+h

! t( )"#

$% = hc(t),

[5.3.44] F -1{HAH(f)} = 12 h t( )-h

! t( )"#

$% = jhs(t),

da cui risultano anche le seguenti espressioni della parte reale e del coefficiente della parte immaginaria della risposta impulsiva equivalente in banda base:

[5.3.45] hc(t) = 12 F-1 H f( )+H! -f( ){ } , hs(t) = 1j2 F

-1 H f( )-H! -f( ){ } .

Considerando i segnali analitici alle due porte (vedi [3.5.5]):

[5.3.46] ax(t) = !x(t) e j!ct , ay(t) = !y(t) e j!ct ,

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109 in luogo della trasformazione fra i segnali reali y(t)=h(t)$x(t), si ha la trasformazione, che investe unicamente il semiasse positivo delle frequenze:

[5.3.47] ay(t) = h+(t)$ax(t),

dove

[5.3.48] h+(t) = F -1{H+(f)} = h(t) e j!ct ;

si ottiene allora:

[5.3.49] !y(t) e j!ct = !x v( )h+ t-v( )e j!cv dv" ,

ossia

[5.3.50] !y(t) = !x v( )h+ t-v( )e-j!c t-v( ) dv" ,

che tenendo conto della [5.3.48] conduce alla trasformazione [5.3.40] fra gli inviluppi complessi.

5.4 QUADRIPOLO IDEALE E QUADRIPOLI PERFETTI

5.4.1 Quadripolo ideale

Si rammenti che il trasferimento ideale si ottiene quando viene verificata la condizione di segnale fedele [1.2.1]. Alla luce di quanto esposto nei paragrafi precedenti, considerando il transito di un segnale in un sistema di telecomunicazioni assimilato al transito in un sistema LTI, si può verificare che tale condizione si realizza solo se:

[5.4.1] h0(t) = g +(t-t0)=F-1{g e-j2! ft0 },

Infatti:

[5.4.2] y(t) = g x(t-t0)= h0(t)$x(t) = g+(t-t0)$x(t) = F-1{g e-j2! ft0 }$x(t).

Questa espressione caratteristica di h0(t) comporta che il quadripolo abbia riflettenze alle due porte e trasmettenza dalla porta 2 alla porta 1 tutte identicamente nulle (ossia con H110(f)"0, H120(f)"0 e H220(f)"0) e che abbia inoltre dalla porta 1 alla porta 2 la trasmettenza, e quindi la funzione di trasferimento, nella forma:

[5.4.3] H210(f) = H0(f) = g e-j2! ft0 ,

al solito con g e t0 costanti reali. In tal modo per qualsiasi segnale di eccitazione x(t) e generico comportamento del bipolo utilizzatore il quadripolo fornirebbe in base alla convoluzione [5.3.24] la risposta fedele. Il blocco considerato, soddisfacente ai fini della trasmissione per qualsiasi condizione alle porte e anche per segnali a banda infinita, non può rappresentare nessun sistema realmente costruito ed è pertanto denominato quadripolo ideale. L’inconveniente della impossibilità di potere approssimare il suo comportamento ideale con effettivi sistemi fisici si ridimensiona però drasticamente se si fa riferimento, come usuale nella pratica della trasmissione, a segnali con spettro monolatero limitato, o almeno praticamente limitato, entro i due estremi finiti, fm e fM della banda monolatera. Nei paragrafi seguenti sono appunto considerati i quadripoli capaci di fornire risposte almeno in pratica fedeli a segnali di eccitazione prima del tipo in banda base e poi del tipo in banda traslata.

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110 5.4.2 Quadripoli perfetti

5.4.2.1 Quadripolo perfetto in banda base

Nella ipotesi di linearità e tempo invarianza del sistema a due porte effettivo e del bipolo passivo utilizzatore, se il segnale di eccitazione x(t) è in banda base, con estremi della banda monolatera che soddisfano la fM>>fm, le componenti spettrali dei segnali alle due porte sono nulle per ogni |f| all’esterno dell’intervallo (fm, fM); gli andamenti delle riflettenze e delle trasmettenze del quadripolo rappresentativo alle frequenze non interessate dalla eccitazione non possono avere pertanto alcuna influenza sul comportamento. Le relazioni:

[5.4.4] H11(f) = H22(f) = H12(f) = 0, H21(f) = g e-j2! ft0 , ! f " fm;fM( ) ,

corrispondenti a quelle che definiscono il quadripolo ideale, ma nella sola banda interessata, sono allora sufficienti per ottenere la trasmissione ideale dalla porta 1 alla porta 2, con assenza di segnali riflessi e la desiderata risposta fedele y(t)=g x(t-t0). Riassumendo, un sistema a due porte impiegato per la trasmissione di segnali in banda base è in grado di consentire la trasmissione ideale, dalla sua porta di entrata 1 a quella di uscita 2, quando sia rappresentabile da un quadripolo LTI che abbia nella banda utile (fm, fM): 1) riflettenze H11(f) e H22(f) e trasmettenza H12(f) nulle, 2) funzione di trasferimento H(f)=H21(f) con

• modulo costante, • argomento proporzionale alla frequenza (a meno dell’addendo -! in caso g<0).

La condizione sulle riflettenze si denomina condizione di adattamento perfetto del quadripolo. Le condizioni sulla funzione di trasferimento, ossia:

[5.4.5] |H(f)| = |g|, arg{H(f)} = -2!ft0 + !2 sgn g( )-1"# $%, ! f " fm;fM( ) ,

sono denominate condizioni di non distorsione in banda base del quadripolo, dato che qualora esse non siano rispettate accade che il segnale in banda base trasferito non sia fedele, ossia si manifesti la distorsione lineare tempo invariante della risposta. Qualora tutte le condizioni sopra elencate siano soddisfatte si ha un quadripolo perfetto in banda base. Si noti che gli andamenti perfetti delle funzioni Hij(f) richiesti solo entro la banda utile limitata possono essere bene approssimati in pratica da quelli dei parametri caratteristici del quadripolo rappresentativo di un sistema effettivo operante in banda base, anche se con difficoltà crescenti al crescere di fM nel caso fm=0 oppure, diversamente, del rapporto fM/fm. Talvolta, in condizione di completo adattamento nelle sezioni di connessione, interessa il trasferimento bidirezionale ossia si desidera che le coppie dei segnali diretti e riflessi risultino separatamente fedeli, ma in completo disaccoppiamento in quanto veicoli di due distinte informazioni che viaggiano in versi opposti; è allora immediato aggiungere la ulteriore condizione di simmetria elettrica, pervenendo così a un quadripolo simmetrico perfetto in banda base. Le proprietà [5.4.5] si traducono nella costanza in banda delle funzioni di guadagno e di ritardo di gruppo (vedi [5.3.27] e [5.3.28]):

[5.4.6] G(f) = g2, t0(f) = t0, ! f " fm;fM( ) ,

In definitiva, dal punto di vista della trasmissione un quadripolo perfetto in banda base è caratterizzato in banda utile da due sole grandezze, entrambe reali e positive: il guadagno G=g2 e il ritardo di gruppo t0. 5.4.2.2 Quadripolo perfetto in banda traslata

Nel caso di un quadripolo LTI che rappresenti un sistema a due porte impiegato per la trasmissione di un segnale in banda traslata, con estremi fm e fM della banda monolatera, le considerazioni

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111 riguardanti le riflessioni nelle sezioni di connessione restano invariate: quindi ai fini della trasmissione ideale si perviene alle stesse condizioni relative all’adattamento perfetto del quadripolo entro la banda utile. Nei riguardi del trasferimento da una porta all’altra del quadripolo, è invece opportuno fare riferimento alla meno severa condizione di fedeltà:

[5.4.7] !y(t) = g e-j! !x(t-t0),

dove # è un’arbitraria costante reale, espressa sugli inviluppi complessi !x(t) e !y(t) piuttosto che sui corrispondenti segnali reali x(t) e y(t); scelta nella definizione degli inviluppi complessi una comune frequenza di riferimento fc in entrata e in uscita, la menzionata condizione è in generale soddisfatta se il comportamento del quadripolo e riconducibile alla trasformazione LTI priva di memoria, con risposta impulsiva equivalente in banda base h(t)=g e- j! +(t-t0), cui corrisponde nel dominio della frequenza la funzione di trasferimento ideale equivalente in banda base:

[5.4.8] H0(f) = g e- j! e-j2! ft0 .

Stante la limitazione in banda della eccitazione e la linearità, è però al solito sufficiente che la funzione di trasferimento del quadripolo equivalente in banda base soddisfi la meno severa condizione:

[5.4.9] H(f) = g e-j 2!ft0+"( ) , ! f " fm -fc;fM -fc( ) ;

traslando tale funzione alla frequenza fc, si perviene infine alla:

[5.4.10] H+(f) = H(f-fc) = g e-j 2!ft0+"#2!fct0( ) = g e-j 2!fto+"c( ) , ! f " fm;fM( ) ,

dove H+(f) coincide per f'0 con la trasmettenza H21(f) del quadripolo in banda traslata e Dc = #-2!fct0 ha valore arbitrario, essendo tale quello di #. Riassumendo, un sistema a due porte impiegato per la trasmissione di segnali in banda traslata può consentire la trasmissione ideale dalla porta 1 alla 2, senza alterazioni della frequenza di riferimento nelle rappresentazioni con gli inviluppi complessi, quando sia rappresentabile da un quadripolo LTI che abbia nella banda utile (fm ; fM) : 1) riflettenze H11(f) e H22(f) e trasmettenza H12(f) nulle, 2) funzione di trasferimento H(f)=H21(f) con

• modulo costante, • argomento proporzionale alla frequenza a meno di un addendo arbitrario (quindi lineare).

La condizione sulle riflettenze è ancora la condizione di adattamento perfetto del quadripolo. Le condizioni sulla funzione di trasferimento, ossia:

[5.4.11] |H(f)| = |g|, arg{H(f)} = -2!(f-fc)t0 - #, ! f " fm;fM( ) ,

sono denominate condizioni di non distorsione in banda traslata del quadripolo, dato che qualora esse non siano rispettate accade che il segnale in banda traslata trasferito non sia fedele, ossia si manifesti la distorsione lineare tempo invariante della risposta. Qualora tutte le condizioni sopra elencate siano soddisfatte si ha un quadripolo perfetto in banda traslata. Si noti che gli andamenti perfetti delle funzioni Hij(f) richiesti solo entro la banda utile limitata possono essere bene approssimati in pratica da quelli dei parametri caratteristici del quadripolo rappresentativo di un sistema effettivo; rispetto al caso in banda base, la presenza nella seconda delle [5.4.11] di # arbitrario comporta minori difficoltà nell’approssimazione di arg{H(f)}

e, inoltre, tutte le difficoltà sono molto ridotte nel caso, molto frequente, di segnali a banda relativa molto stretta per cui B<<fa. Talvolta, in condizione di completo adattamento nelle sezioni di connessione, interessa il trasferimento bidirezionale ossia si desidera che le coppie degli inviluppi complessi diretti e

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112 riflessi risultino separatamente fedeli, ma in completo disaccoppiamento in quanto veicoli di due distinte informazioni che viaggiano in versi opposti; è allora immediato aggiungere la ulteriore condizione di simmetria elettrica, ottenendo un quadripolo LTI simmetrico perfetto in banda traslata. Le condizioni di non distorsione per un quadripolo LTI in banda traslata si traducono ancora nella costanza in banda del guadagno e del ritardo di gruppo. 5.4.2.3 Quadripoli non lineari perfetti in banda relativa stretta

Ancora in relazione alla trasmissione di segnali in banda traslata, ma solo se a banda relativa stretta, si consideri il caso particolare di un sottosistema, denominato convertitore di frequenza, che si comporti come di seguito descritto. Le riflettenze a entrambe le porte del quadripolo rappresentativo siano nulle nella banda di segnale; il trasferimento da una porta all’altra risulti esprimibile tramite una relazione lineare tempo invariante tra gli inviluppi complessi degli effettivi segnali reali y(t) e x(t) in uscita e in entrata, del tipo:

[5.4.12] !y(t) = !x(t) $hC(t) ;

infine questi ultimi siano definiti con riferimento a due diversi valori di frequenza, indicati con fce e fcu (vedi Figura 5.11). Un convertitore, dunque, ha un comportamento non lineare nei riguardi dei segnali reali alle porte, ma è invece lineare, oltre che tempo invariante, se si considerano i corrispondenti inviluppi complessi.

Figura 5.11: Convertitore di frequenza impiegato con segnali in banda relativa stretta, con

frequenze di riferimento diverse in entrata e in uscita.

Si osserva che, in virtù della linearità della [5.4.12], i due segnali reali in entrata e in uscita di un convertitore di frequenza hanno la medesima larghezza di banda B, come mostrato nell’esempio in Figura 5.12 relativo a segnali di energia.

Figura 5.12: Esempio di spettri di ampiezza a banda relativa stretta in entrata e in uscita di un

convertitore di frequenza.

Ammessa l’inessenziale ipotesi che le frequenze di riferimento siano scelte al centro dei rispettivi spettri, un convertitore di frequenza, seppure certamente di natura non lineare poiché si ha la presenza in uscita di componenti spettrali non presenti in entrata, può consentire la trasmissione ideale in banda relativa stretta a patto che gli spettri dei segnali in entrata e in uscita risultino separati, ossia che sia soddisfatta la condizione |fce-fcu|>B, e che la funzione di trasferimento equivalente in banda base del quadripolo rappresentativo, ottenuta per trasformazione di Fourier dalla hC(t), soddisfi la condizione analoga alla [5.4.9]:

[5.4.13] H C(f) = gC e-j 2!fto+"( ) , ! f " -B/2;B/2( ) .

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113 Nel caso in cui fcu > fce si ha un convertitore perfetto in salita (UC=Up Converter), se invece fcu < fce si ha un convertitore perfetto in discesa (DC=Down Converter). Per tale categoria di quadripoli perfetti non è contemplato il comportamento elettrico simmetrico. Al solito, riassumendo, un sistema a due porte operante su segnali in banda relativa stretta con mutamento sensibile della frequenza di riferimento dell’inviluppo complesso in uscita rispetto a quella in entrata può consentire la trasmissione ideale unidirezionale, qualora esista un suo quadripolo rappresentativo non lineare tempo invariante con una funzione di trasferimento equivalente in banda base HC(f) e se, nelle bande utili separate sull’asse delle frequenze, risultino: 1) riflettenze H11(f) e H22(f) nulle, 2) funzione di trasferimento equivalente in banda base HC(f) con

• modulo costante, • argomento proporzionale alla frequenza a meno di un addendo arbitrario.

Tramite l’applicazione alla funzione HC(f) delle note espressioni [5.3.27] e [5.3.28], sono definibili il guadagno del convertitore, GC(f), e il suo ritardo di gruppo, t0C(f); allora le condizioni di non distorsione per un siffatto quadripolo si traducono nella costanza in banda sia del suo guadagno, GC=gC

2 , che del suo ritardo di gruppo, t0C.

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6 FONDAMENTI DI TRASMISSIONE

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6.1 TRASMISSIONE IDEALE

6.1.1 Condizioni per il trasporto ideale della informazione

Il trasferimento elettrico della informazione in un collegamento da una sorgente a un destinatario separati da una distanza rilevante può essere elementarmente schematizzato come mostrato in Figura 6.1, dove tra il generatore G e l’utilizzatore U è inserito un generico quadripolo, che rappresenta, nella forma più sintetica, un sistema di trasmissione dei segnali elettrici. Quali grandezze elettriche agli estremi del sistema di trasmissione si assumono le coppie dei segnali di eccitazione, x1(t) e x2(t), e di risposta, y1(t) e y2(t). I segnali possono essere sia del tipo di potenza, che di energia, ma sono comunque reali.

Figura 6.1: Schema sintetico di un collegamento.

Riprendendo le considerazioni svolte e supponendo che la trasmissione avvenga in un solo verso, la situazione è ottimale se:

• nelle sezioni di connessione si ha l’adattamento ideale, ossia i segnali riflessi sono identicamente nulli:

[6.1.1] y1(t) " 0,

[6.1.2] x2(t) " 0.

• i due segnali diretti risultano tra loro fedeli (con massima affinità in senso lato, vedi [2.1.10] e [2.5.10]), ossia si verifica:

[6.1.3] y(t) = g x(t – t0),

dove per semplicità si è posto x(t) = x1(t) e y(t) = y2(t). Si rammenta che nella [6.1.3] g è un fattore arbitrario, reale e costante, e t0 è una traslazione temporale arbitraria, reale costante e positiva; la prima alterazione può essere considerata ininfluente, anche perché facilmente compensabile se si prescinde dai disturbi; la seconda, purché di valore contenuto entro opportuni limiti dipendenti dal tipo di informazione trasmessa, non può che essere ammessa se si tiene conto dell’inevitabile ritardo che i segnali subiscono nella trasmissione, legato alla distanza percorsa non trascurabile in relazione alla velocità di propagazione finita, anche se grandissima. Posto che x(t) sia un segnale che veicola correttamente l’informazione, appare chiaro che le tre relazioni [6.1.1], [6.1.2] e [6.1.3] costituiscono un insieme di condizioni sufficienti per il trasporto ottimale della informazione dal generatore all’utilizzatore. Infatti le prime due garantiscono il massimo impiego delle potenze istantanee messe a disposizione dal generatore e dal sistema di trasmissione nelle rispettive sezioni di connessione, mentre la terza implica che il segnale diretto uscente giunga all’utilizzatore nella forma desiderata. Disinteressandosi della possibile esistenza del segnale riflesso y1(t), le sole [6.1.2] e [6.1.3] rappresentano le condizioni sufficienti per il trasferimento ideale; concentrandosi invece unicamente sulle prestazioni che sono di esclusiva responsabilità del solo sistema di trasmissione, anche in presenza di riflessione da parte del bipolo utilizzatore, le sole [6.1.1] e [6.1.3] rappresentano le condizioni sufficienti per la trasmissione ideale.

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118 Si noti che la relazione di fedeltà [6.1.3] permane con segnale di eccitazione moltiplicato per una costante qualsiasi e genericamente traslato nel tempo, ossia presuppone che il sistema di trasmissione sia lineare e tempo invariante (LT I). Inoltre, se il generatore è spento, ossia risulta x(t) " 0, in base ai criteri esposti tutti i segnali alle porte del quadripolo devono risultare identicamente nulli; si evince allora che le condizioni per il trasferimento o la trasmissione ideale implicano che il sistema di trasmissione sia anche privo di qualsiasi forma d’onda disturbante che possa avere una origine indipendente dal segnale. In questo paragrafo l’attenzione è stata concentrata sui segnali agli estremi di un collegamento, fino a determinare le proprietà che essi devono avere affinché sia garantita la prestazione ottimale nel trasporto dell’informazione. Nel seguito si ricavano le implicazioni che le condizioni individuate comportano sulle caratteristiche dei principali sottosistemi che con la loro cascata costituiscono un sistema di trasmissione.

6.1.2 Sistemi di trasmissione perfetti

6.1.2.1 Sistema di trasmissione perfetto in banda base

In un sistema di trasmissione in cui il segnale di linea che si propaga nel mezzo trasmissivo sia del tipo in banda base, gli apparati emittenti e riceventi si possono distinguere nei blocchi funzionali lineari, di tipo attivo o passivo, che insieme al mezzo trasmissivo costituiscono un canale di trasmissione in banda base complessivamente lineare, e in una coppia di blocchi funzionali che eseguono elaborazioni non lineari; si può dunque fare riferimento allo schema di Figura 6.2, in cui è dato per scontato l’adattamento ideale in tutte le sezioni di connessione.

Figura 6.2: Sistema con canale di trasmissione in banda base.

Le elaborazioni svolte dai blocchi funzionali esterni, ossia dal terminale emittente (TE) e dal terminale ricevente (TR) sono rispettivamente denominate modulazione in banda base e demodulazione in banda base. I terminali in banda base, che trasformano il segnale x(t) trasferendone l’informazione sul diverso segnale b(t) e viceversa, sono spesso assai complessi nel caso numerico e il loro inserimento è motivabile solo alla luce dei miglioramenti conseguibili sulle prestazioni globali del sistema, tenendo conto dei difetti del canale in banda base effettivamente impiegato. La modulazione viene infatti effettuata al fine di ottenere che il segnale in linea b(t) abbia caratteristiche temporali e spettrali che meglio si adeguano al comportamento reale offerto dal canale scelto: ad esempio per conferire a b(t) la qualifica di segnale opportunamente limitato in banda, qualora x(t) sia del tipo illimitato, oppure per ottenere forme d’onda con ridondanza della informazione veicolata, più resistenti ai disturbi del canale. L’insieme dei terminali emittenti e riceventi si indica come modem in banda base; con tale denominazione si può intendere sia i due sottosistemi che operano in una trasmissione unidirezionale, sia l’insieme dallo stesso lato del terminale emittente e di quello ricevente di un sistema di comunicazione bidirezionale. Considerata la [6.1.3], il comportamento del canale in banda base è ottimale se vale la relazione:

[6.1.4] br(t) = gC b( t – tC ),

dove il fattore gC e il ritardo tC sono caratteristiche di un canale ideale in banda base, il quale deve essere lineare e tempo invariante. Come dimostrato nell’immediato seguito, il trasporto complessivo della informazione avviene poi in modo ideale se i terminali che compongono il modem hanno la caratteristica di essere complementari, nel senso che il secondo dei due blocchi della coppia compie in teoria su un segnale fedele a quello elaborato dal primo proprio il

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119 trattamento che ne ripristina la forma iniziale, a meno di un fattore e di un ritardo costanti. Tale proprietà è illustrata in Figura 6.3, per un generico elaboratore di segnale E* e il suo complementareE! . Una elaborazione, per quanto profondo sia il mutamento del segnale, si ritiene pertanto reversibile se esiste la elaborazione complementare.

Figura 6.3: Proprietà di una coppia di elaboratori di segnale complementari.

Il segnale xr(t) uscente dall’intero sistema in Figura 6.2 risulta fedele a quello x(t) della sua eccitazione, se il canale in banda base è caratterizzato dalla relazione br(t) = gCb(t-tC) e i terminali sono complementari; infatti grazie a quest’ultima proprietà si ottiene xr(t) = gC gM x( t - tC - tM ), dove gM e tM sono il fattore e il ritardo caratteristici del modem. In definitiva il trasporto ottimale della informazione è consentito in un sistema di trasmissione ideale in banda base composto dalla connessione in cascata, con adattamento ideale in ogni sezione, di:

• un canale di trasmissione in banda base, con comportamento LTI, la cui risposta sia fedele alla eccitazione;

• una coppia di terminali generici in banda base, con comportamento non lineare, purché siano complementari.

6.1.2.2 Sistema di trasmissione perfetto in banda traslata

Nel caso in cui il segnale di linea che si propaga nel mezzo trasmissivo sia del tipo in banda traslata, gli apparati emittenti e riceventi hanno di norma maggiore complessità. Come mostrato in Figura 6.4, in cui è dato per scontato l’adattamento ideale in tutte le sezioni di connessione, oltre a un canale di trasmissione in banda traslata, comprendente il mezzo trasmissivo e alcuni blocchi funzionali degli apparati, nel sistema sono considerate almeno due coppie di blocchi funzionali con elaborazioni non lineari.

Figura 6.4: Sistema con canale di trasmissione in banda traslata.

Una volta che il segnale reale in linea s(t) sia rappresentato tramite l’inviluppo complesso con un riferimento armonico fc, espresso nelle sue parti reali e immaginaria =(t) = ac(t) + j as(t), si nota che esso in generale comprende due segnali reali in banda base capaci di trasportare informazione, ossia il canale in banda traslata offre due vie concettuali di trasmissione sulla stessa via fisica. Le elaborazioni svolte dai blocchi funzionali più interni, ossia dal modulatore armonico (MO) e dal demodulatore armonico (DEM), che sono rispettivamente denominate modulazione armonica e demodulazione armonica, sono appunto motivate non solo dalla necessità delle trasformazioni fra segnali con diversa collocazione dei relativi spettri, attorno al riferimento armonico nel canale e attorno all’origine dell’asse delle frequenze nei lati esterni, ma anche dalla opportunità di provvedere a che siano in generale presenti due segnali in banda base, bc(t) e bs(t), in emissione e i loro corrispondenti, brc(t) e brs(t), in ricezione. Le elaborazioni svolte dai blocchi funzionali esterni, ossia dalla sezione in banda base emittente (SBE) e dalla sezione in banda base ricevente (SBR) degli apparati terminali, aggiungono a funzionalità analoghe a quelle di un sistema con canale in banda base quella di distribuire su due vie fisiche, o di riunire da esse, l’informazione da trasportare.

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120 L’insieme dei quattro blocchi che costituiscono i terminali emittenti e riceventi si indica come modem in banda traslata; al solito con tale denominazione si può intendere sia i due sottosistemi che operano in una trasmissione unidirezionale, sia l’insieme dallo stesso lato del terminale emittente e di quello ricevente di un sistema di comunicazione bidirezionale. Nel caso di segnali in banda traslata, ricorrendo alla rappresentazione dei segnali diretti s(t) e sr(t) tramite i rispettivi inviluppi complessi e imponendo solo a questi ultimi di essere fedeli si ottiene in luogo della [6.1.3] la condizione meno restrittiva (vedi [2.1.10]):

[6.1.5] !r(t) = gC e-j! !(t-tC) ,

dove il fattore gC e il ritardo tC sono caratteristiche di un canale ideale in banda traslata e # è un’arbitraria costante reale. Il comportamento del canale considerato è allora ottimale se vale tale relazione. Come nel caso precedente, il trasporto complessivo della informazione avviene poi in modo ideale se sono complementari sia la coppia delle sezioni in banda base, sia quella del modulatore e demodulatore armonici, dove per questi ultimi si considerano gli inviluppi complessi in luogo dei segnali reali in linea. In definitiva il trasporto ottimale della informazione è consentito in un sistema di trasmissione ideale in banda traslata composto dalla connessione in cascata, con adattamento ideale in ogni sezione, di:

• un canale di trasmissione in banda traslata in cui l’inviluppo complesso della risposta sia fedele a quello della eccitazione;

• un modulatore e un demodulatore armonici adiacenti al canale, con comportamento non lineare, purché siano complementari e considerino il corretto riferimento in frequenza;

• una coppia di terminali generici in banda base agli estremi del sistema, con comportamento non lineare, purché siano complementari.

Nelle considerazioni finora svolte non è stata inclusa la possibilità che qualche sottosistema della cascata costituente il canale con segnale di linea in banda traslata abbia una natura non lineare. Nel caso di segnali in banda relativa stretta, con banda B molto minore della frequenza di riferimento, può però accadere che la configurazione del canale di trasmissione preveda l’inserimento in cascata anche di uno o più convertitori di frequenza. Come già menzionato, la trasmissione ideale nei riguardi degli inviluppi complessi è allora consentita se i sottosistemi non lineari che attuano la conversione di frequenza sono perfetti entro l’intervallo di larghezza B, che risulta però centrato su una frequenza fce in entrata e su una diversa frequenza fcu in uscita. Nel caso di inserimento di una unica conversione, il canale globale, seppure perfetto nel rispetto della [6.1.5], ha comportamento non lineare rispetto ai corrispondenti segnali reali s(t) e sr(t), che hanno infatti spettri collocati attorno alle due diverse frequenze fce e fcu. Se poi nel canale sono inseriti due convertitori di frequenza perfetti nella medesima banda B, ma complementari, ossia capaci di fornire con la coppia in cascata la trasmissione ideale del segnale fisico reale dato che nel secondo la frequenza di riferimento in uscita è proprio quella fce in entrata del canale, il canale mostra agli estremi un comportamento globale di tipo LT I. 6.1.3 Mezzi trasmissivi perfetti

Nel caso più semplice il sistema di trasmissione si riduce al solo mezzo trasmissivo, di norma rappresentabile con un quadripolo LT I passivo e simmetrico, pertanto caratterizzato da identiche riflettenze e dalle trasmettenze H12(f,r) = H21(f,r), queste ultime dipendenti dalla distanza r coperta. In tale evenienza si ha la trasmissione ideale se le riflettenze sono nulle nella banda utile del segnale e se la funzione di trasferimento, che allora si identifica con le trasmettenze, assume in banda la particolare espressione:

[6.1.6] H0(f,r) = g(r)e-j2!ft0 r( ) , ! f " fm;fM( ) ,

dove:

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121 • il fattore g(r) dipende solo da r, è positivo e soddisfa la g(r) << 1, così da potere in pratica

trascurare il segnale riflesso y1(t) nella porta di entrata rispetto a quello di eccitazione x(t); • il ritardo t0(r) dipende anch’esso solo da r.

Infatti le condizioni considerate definiscono un mezzo trasmissivo perfetto, dato che oltre a y1(t) < 0 si ha il segnale in uscita y(t) = g(r) x[t - t0(r)], fedele a quello in entrata x(t), anche se considerevolmente affievolito. Dato che nel generico mezzo perfetto, sia esso portante fisico o radio, il ritardo risulta proporzionale a r, si può porre:

[6.1.7] t0(r) =rv ,

dove nell’inverso della costante di proporzionalità si riconosce la velocità v con cui il segnale si propaga lungo il mezzo stesso. Tale velocità di propagazione, costante non solo al mutare di r, ma anche al variare di f in banda utile, ha valore che dipende dalla particolare struttura: le tratte radio hanno tutte v = c, mentre nei portanti fisici il valore è minore di c, in relazione al tipo di materiale dielettrico. Il modulo della funzione di trasferimento, o meglio la attenuazione A0(r) = 1/g2(r) del mezzo trasmissivo perfetto, risulta invece esprimibile con due diverse leggi:

[6.1.8] A0(r) = e 2 7 r, per portanti fisici,

[6.1.9] A0(r) = A(r0)rr0!"#

$%&2

, per portanti radio,

dove la grandezza 7 > 0, indipendente da r e da f in banda utile, è denominata la costante di attenuazione della particolare struttura fisica, mentre A(r0) è la attenuazione che si avrebbe per la medesima particolare coppia orientata di antenne con un prefissato valore di riferimento r0 della distanza (ad esempio r0 = 1 km). Per i mezzi portanti fisici l’esistenza della legge esponenziale dell’attenuazione può essere dedotta notando che comunque si pensi di suddividere in due spezzoni, lunghi r1 e r2, una struttura uniforme di lunghezza r = r1+ r2, la attenuazione totale rimane invariata; poiché questa ultima è data dal prodotto delle attenuazioni dei due spezzoni in cascata, si ha che A0(r1+ r2) deve coincidere con il prodotto A0(r1)A0(r2), condizione che può essere soddisfatta solo con legge esponenziale. Per una tratta radio la tipica dipendenza dal quadrato della distanza della attenuazione discende dalla assunzione che la propagazione del segnale avvenga nello spazio libero privo di perdite e, quindi, che si mantenga costante l’integrale del flusso della potenza irradiata su qualsiasi superficie sferica di raggio r, con centro nella origine delle onde e.m. sferiche irradiate. I valori assunti dall’attenuazione dei mezzi trasmissivi sono di solito molto maggiori dell’unità. Nella pratica si usa spesso la valutazione in unità logaritmiche, servendosi dei neper [Np] o, più comunemente, dei decibel [dB]:

A[Np] = 12 ln(A), A[dB] = 10 log(A),

dove ln e log indicano rispettivamente il logaritmo naturale e quello in base 10. In particolare, nel caso di portanti fisici perfetti in base alla [6.1.8] risulta:

[6.1.10] A0[Np] = 7 r, A0[dB] = 7[dB/m] r,

dove si riconosce che la costante di attenuazione 7 si misura in Np/m e si è posto: 7[dB/m] = 20 log(e) 7 < 8,686 7.

Si segnala infine che con i mezzi trasmissivi effettivi è possibile avvicinare l’obiettivo dell’adattamento perfetto alle due porte, mentre è spesso difficile ottenere nella banda utile delle

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122 funzioni di trasferimento H( f,r) che approssimino bene il comportamento perfetto evidenziato nella [6.1.6], soprattutto se la larghezza di banda relativa è notevole. 6.1.4 Canali lineari perfetti

Nella sua versione più semplice, un sistema di trasmissione ideale è costituito dal solo mezzo trasmissivo (blocco centrale in Figura 1.2). Un sistema di trasmissione non elementare è costituito, oltre che dal fondamentale mezzo trasmissivo, da altri sottosistemi. Nel capitolo iniziale è stato evidenziato (vedi Figura 1.2) che la struttura tipica di un sistema di trasmissione è costituita da un mezzo trasmissivo, con il compito del trasporto a distanza, e da apparati di trasmissione inseriti a monte e a valle, che svolgono altre funzioni fondamentali ripartite di norma in una pluralità di blocchi in cascata. Di norma il mezzo trasmissivo è di tipo lineare, per avvicinare l’obiettivo del comportamento perfetto, ma spesso godono di tale proprietà anche i blocchi funzionali degli apparati emittenti e riceventi direttamente connessi al mezzo portante, così da costituire insieme a quest’ultimo un canale di trasmissione complessivamente lineare. Nel caso in cui tutti i blocchi componenti il canale siano singolarmente rappresentabili da quadripoli di tipo LT I perfetti in una stessa banda, il comportamento globale si può ricondurre a quello di un canale di trasmissione perfetto, o semplicemente canale perfetto, anch’esso LT I perfetto nella medesima banda; esso ha una funzione di trasferimento uguale al prodotto di tutte quelle degli m quadripoli rappresentativi che compongono la cascata (vedi [5.3.36]): indicato con Gi il guadagno e con t0i il ritardo di gruppo dello i-esimo quadripolo, si hanno allora il guadagno e il ritardo di gruppo del canale, entrambi costanti in banda:

[6.1.11] G = Gii=1

m

! , t0 = t0ii=1

m

! .

Osservando che in un canale perfetto sono sempre specificati gli estremi fm e fM della banda entro la quale esso opera, si possono distinguere canali perfetti in banda base, al solito con fM >> fm, e canali perfetti in banda relativa stretta, o molto stretta. Sul piano puramente concettuale tale situazione è accettabile per qualsiasi distanza finita r da coprire, poiché in teoria, per quanto grande sia il valore dell’attenuazione del mezzo ideale, il segnale ricevuto conserva il carattere fedele richiesto dalla [1.2.1], comunque sia piccolo il valore del fattore g; è tuttavia ragionevole, anche ignorando la presenza in ricezione di segnali indesiderati, porsi l’obiettivo del ripristino del livello di potenza del segnale ricevuto y(t). Nella sua configurazione più semplice, un canale perfetto comprende almeno un blocco attivo in aggiunta al mezzo trasmissivo: si tratta di un amplificatore perfetto con guadagno GA = gA

2 , rappresentabile con un quadripolo LT I con la elementare funzione di trasferimento HA( f ) = gA costante in banda utile. L’amplificatore è inserito per recuperare il notevole affievolimento del segnale uscente dal mezzo trasmissivo con attenuazione A(r) >> 1 (nella realtà l’affievolimento totale è dovuto ad una pluralità di elementi di cui il mezzo trasmissivo è quello che fornisce il contributo maggiore; gli altri contributi riguardano guide d’onda, elementi passivi, divisori di segnali, dispositivi vari); ponendo i due sottosistemi in cascata, si ha infatti in banda utile il guadagno complessivo del quadripolo equivalente al canale:

[6.1.12] Geq =GA

A r( ), ! f " fm;fM( ) ,

che con GA = A(r) consente di ottenere un segnale fedele trasferito a valle della cascata che ha la stessa potenza di quello di eccitazione, lasciando come unico effetto della trasmissione ideale nel canale considerato, a guadagno complessivo unitario, la presenza del ritardo t0(r) introdotto dal mezzo trasmissivo. Quanto sopra vale indipendentemente dalla collocazione dell’amplificatore, all’inizio o alla fine del canale.

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123 La presenza dell’attenuazione A0(r)>>1 può quibdi essere facilmente compensata con un amplificatore, capace di fornire in uscita un segnale z(t) replica di quello in entrata y(t) a meno di un fattore gA>>1, ossia dotato di un guadagno:

[6.1.13] GA = WzzWyy

= gA2 ;

tenendo conto anche che A0(r)=Wxx/Wyy, si ottiene infatti complessivamente:

[6.1.14] Wzz = GA Wyy = GA

A0 r( )Wxx,

che nel caso della scelta GA=A0(r) fornirebbe Wzz=Wxx, come mostrato nello schema in Figura 6.5a. Il risultato della compensazione dell’attenuazione è lo stesso se l’amplificatore precede il mezzo trasmissivo, come mostrato in Figura 6.5b.

Figura 6.5: Canali di trasmissione costituiti da un amplificatore e un mezzo trasmissivo, con

andamenti lungo il canale della potenza W del segnale.

In assenza di difetti nell’amplificatore e nel mezzo trasmissivo, l’ordine dei due blocchi, entrambi lineari, che costituiscono un canale di trasmissione, è indifferente; a parità della potenza Wxx di segnale, assunta uguale all’inizio e alla fine del canale considerato, si nota tuttavia che anteponendo l’amplificatore (vedi Figura 6.5b) si ha alla sua uscita una più forte potenza GAWxx, difficile da ottenere mantenendo la linearità del blocco attivo, che indurrebbe a scegliere l’altra soluzione (vedi Figura 6.5a), la quale però appare intuitivamente rischiosa per il valore Wxx/GA molto piccolo della potenza uscente dal mezzo trasmissivo, se si pensa alla possibile esistenza di un disturbo all’uscita del mezzo trasmissivo avente potenza indipendente da quella del segnale. Nella realtà, tenendo conto di entrambe le imperfezioni menzionate, ossia la potenziale carenza di linearità nell’amplificatore e la presenza di disturbo nel mezzo trasmissivo, è comunque attendibile che la configurazione preferita di un canale contempli il recupero dell’attenuazione del mezzo trasmissivo in parte all’inizio, con un blocco attivo denominato amplificatore di potenza, e per la restante parte alla fine, con un altro denominato amplificatore di ricezione. Procedendo per complessità crescente, si può pensare di aggiungere negli apparati emittenti e riceventi altri blocchi funzionali non lineari, che spesso danno luogo a coppie di trasformazioni reversibili del segnale in transito che sono profonde, ma reversibili dato che un blocco nell’apparato ricevente opera in modo complementare rispetto al blocco corrispondente nell’apparato emittente, in modo da non alterare la informazione complessivamente trasmessa. La configurazione degli apparati è in via logica subordinata alla scelta del mezzo portante: essa risulta infatti definibile in base alla ottimizzazione tecnico-economica complessiva del sistema di trasmissione, una volta noto il tipo di portante (fisico o radio) e le sue prestazioni reali.

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124 Nel caso in cui si debbano coprire distanze molto grandi, può convenire il recupero graduale della attenuazione prodotta dal mezzo trasmissivo, suddividendolo in più tratte e inserendo degli apparati ripetitori attivi lungo il suo tracciato. Si ottiene allora in effetti la suddivisione del collegamento in più sistemi di trasmissione in cascata. Come già segnalato nel capitolo introduttivo, è molto frequente il recupero dell’attenuazione del mezzo trasmissivo in parte all’inizio, con un amplificatore di potenza perfetto con guadagno GE, e in parte alla fine, con un amplificatore di ricezione perfetto con guadagno GR, ottenendo il guadagno complessivo del canale:

[6.1.15] Geq =GEGR

A r( ),! f " fm;fM( ) .

In tale caso, schematizzato in Figura 6.6, si ottiene un canale perfetto a guadagno unitario assumendo GE GR = A(r).

Figura 6.6: Configurazione di un canale perfetto a guadagno complessivo unitario, costituito da

sottosistemi tutti perfetti.

6.2 ELABORAZIONE LINEARE DI SEGNALI TEMPO CONTINUO

6.2.1 Elaborazione lineare senza taglio di banda

6.2.1.1 Effetti della trasformazione LT I con memoria

La più semplice elaborazione effettuabile su un generico segnale reale x(t) è la sua trasformazione LT I con memoria tramite il transito in un quadripolo Q fisicamente realizzabile, con funzione di trasferimento H( f ); l’operazione si svolge con azione diretta e continua nel tempo sulla grandezza fisica istantanea della eccitazione: si adotta quindi anche la denominazione di elaborazione lineare di segnale tempo continuo. Indicata al solito con h(t) = F-1{H( f )} la relativa risposta impulsiva reale e causale, per effetto della trasformazione si ottiene in uscita, come noto, il segnale reale fornito dalla convoluzione:

[6.2.1] y(t) = h(t) $ x(t).

La [6.2.1], a cui corrisponde una espressione simile applicabile nel caso di segnali s(t) in banda traslata, prescinde dalla natura numerica o analogica della informazione veicolata dal segnale. Con riferimento al caso di segnali di energia, rammentando la relazione tra la funzione di intercorrelazione e la convoluzione (vedi [3.3.51]) si ha:

[6.2.2] Cyx(-) = y(-)$x*(- -) = h(-)$x(-)$x*(- -) = h(-)$Cxx(-) ;

si ottiene poi una espressione analoga con le funzioni Ryx(-) e Rxx(-) valida nel caso di segnali di potenza. La risposta y(t) risulta dunque affine al segnale di eccitazione x(t), ma per essere la trasformazione del tipo con memoria la funzione in uscita è un segnale distorto, con forma d’onda non fedele a quella in entrata, mentre lo sarebbe invece se la trasformazione fosse priva di memoria (vedi [5.1.8]). La elaborazione considerata produce quindi una distorsione lineare tempo invariante e il sistema che la effettua è un quadripolo LT I distorcente. D’altra parte noi desideriamo che il comportamento del sistema di trasmissione nella sua completezza sia tale da garantire che il segnale di uscita sia fedele a quello di ingresso, ma i

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125 singoli blocchi sono progettati e realizzati per svolgere determinate funzioni. Inoltre, teniamo sempre presente che la funzione di trasferimento senza memoria è solo ideale e quindi non realizzabile. Con procedimento simile, nel caso di segnali di energia si ha:

[6.2.3] Cyy(-) = h(-)$h*(- -)$Cxx(-),

e si può ricavare una espressione analoga con le funzioni Ryy(-) e Rxx(-) nel caso di segnali di potenza. Applicando la trasformazione di Fourier e rammentando le relazioni di Wiener-Khintchine (vedi [3.3.59] e [3.3.66]) si ottengono gli effetti della elaborazione lineare nel dominio della frequenza:

[6.2.4] Eyy( f ) = |H( f )|2 Exx( f ), Wyy( f ) = |H( f )|2 Wxx( f ),

dove con E( f ) o W( f ) sono rispettivamente indicate le densità spettrali di energia o di potenza dei segnali considerati. Tramite integrazione risultano le seguenti espressioni della energia o della potenza:

[6.2.5] Eyy= H f( )2Exx f( )df! , Wyy= H (f) 2 Wxx(f)df! .

In alcuni casi l’elaborazione viene appunto applicata, prendendo lo spunto dalle [6.2.4], per sagomare opportunamente lo spettro del segnale in uscita, ossia per distribuire in modo diverso la sua energia o potenza entro la medesima banda; ciò spesso viene attuato anche senza alterare l’energia o la potenza complessiva. Nel caso in cui si abbia una elaborazione senza taglio di banda, la funzione di trasferimento H( f ) del quadripolo LT I impiegato deve essere non nulla nell’intera banda di segnale. Diversamente si può avere lo scopo di eliminare parte dello spettro di un segnale, utilizzando un quadripolo LT I che alle frequenze considerate abbia funzione di trasferimento nulla, o quasi nulla in modulo: la elaborazione lineare è allora del tipo con taglio di banda. Un modo per osservare l’effetto nel dominio del tempo prodotto da una generica elaborazione lineare consiste nel porre tanto il segnale di eccitazione x(t) quanto la risposta y(t) nelle forme campionate:

[6.2.6] x(t) = ( k xksinc tTN-k!

"#

$%& , y(t) = ( k yk sinc t

TN-k!

"#

$%& ,

dove xk e yk sono i campioni completamente rappresentativi dei segnali: [6.2.7] xk = x(kTN), yk = y(kTN),

essendo TN = 1 / 2 fM l’intervallo di Nyquist. Dal punto di vista del trasferimento della informazione, una elaborazione lineare che agisce in modo continuo sulla grandezza fisica istantanea del segnale, può essere dunque posta in corrispondenza a una trasformazione che opera a tempo discreto tra una sequenza entrante x(n) e una uscente y(n), aventi per elementi i rispettivi campioni dei segnali x(t) e y(t), con intervallo temporale TN invariato in entrata e in uscita. Come dimostrato nel paragrafo 6.2.1.2, a cui si rinvia il lettore interessato ad approfondire, la trasformazione effettuata con un quadripolo LT I distorcente fisicamente realizzabile fa assumere alla corrispondente elaborazione a tempo discreto sui campioni dei segnali la forma lineare particolare:

[6.2.8] yk = hnxk -nn=0

!

" = h0 xk + h1 xk-1 +...+ hm xk-m +...,

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126 in cui hn sono gli elementi di una sequenza monolatera destra caratteristica del quadripolo, denominata risposta impulsiva discreta equivalente. Dalla [6.2.8] si evince che una trasformazione LT I con memoria opera la convoluzione tra la sua sequenza monolatera caratteristica h(n) e quella x(n) del segnale in entrata. Ogni campione yk della sequenza y(n) del segnale distorto in uscita è dato da una combinazione lineare a coefficienti reali costanti di un numero in teoria infinito di campioni xk del segnale entrante, a partire da quello corrispondente allo stesso istante e procedendo a ritroso per tutti quelli passati. Nella pratica si può assumere che la risposta impulsiva equivalente sia una sequenza monolatera h(n) di lunghezza finita.

6.2.1.2 Risposta impulsiva discreta equivalente Si consideri un quadripolo LT I con funzione di trasferimento H( f ), eccitato da un segnale x(t) limitato superiormente in banda con estremo finito fM, che pertanto ammette l’intervallo di campionamento massimo:

[6.2.9] TN = 12 fM

.

Ai fini della risposta della trasformazione, il quadripolo può essere sostituito con uno equivalente, con funzione di trasferimento resa periodica in frequenza con periodo 2 fM = 1/ TN:

[6.2.10] Heq(f) = rep2fM{H(f) e j2! ft0 rect(f TN)} e-j2! ft0 ,

dato che questo differisce dal primo solo alle frequenze in cui è nulla l’eccitazione. Il modulo di Heq( f ) é continuo, dato che |H( f )| è una funzione pari; per ottenere anche la continuità dell’argomento di Heq( f ) é opportuno che il ritardo t0 sia scelto in modo da soddisfare la arg{H( fM)}= - 2!f t0. La [6.2.10] può essere espressa in serie di Fourier, ottenendo:

[6.2.11] Heq( f ) = hnn=0

!

" e- j2!nfTN ,

dove sono indicati con hn i coefficienti di Fourier

[6.2.12] hn = 12 fM

Heq f( )e j2!nfTN df-fM

fM" = TN H f( )e j2!nfTN df-fM

fM" ,

nulli per n < 0 dato che Heq( f ) conserva la realizzabilità fisica. Antitrasformando la [6.2.11] si ottiene la funzione a tempo discreto:

[6.2.13] heq(t) = hnn=0

!

" +(t – nTN),

denominata risposta impulsiva discreta equivalente, a cui corrisponde una sequenza monolatera destra h(n) con intervallo temporale TN. Servendosi di tale funzione nella convoluzione y(t) = h(t) $ x(t), dove l’eccitazione è espressa nella forma campionata [6.2.6], si ottiene la risposta anch’essa in forma campionata:

[6.2.14] y(t) = heq(t) $ ( k xk sinc tTN-k!

"#

$%& = k hnxk

n=0

!

"" +(t - nTN) $ sinc tTN-k!

"#

$%& =

k hnxkn=0

!

"" sinc tTN-k+n!

"#

$%& = ( kyk sinc t

TN-k!

"#

$%& ,

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127 dove nell’ultimo passaggio è stato effettuato il cambio di variabile discreta da k - n a k e gli elementi yk relativi al segnale trasformato risultano dati dalla:

[6.2.15] yk= xk-nhnn=0

!

" .

6.2.1.3 Equalizzazione di canale È importante notare che una generica elaborazione lineare senza taglio di banda, per la quale si è assunto che il quadripolo distorcente Q non sopprima alcuna componente spettrale del segnale, gode della proprietà di essere reversibile, nel senso che esiste la possibilità di ottenere dal segnale elaborato y(t) un segnale fedele a quello di eccitazione x(t). Infatti, essendo |H( f )| > 0 per ogni | f | entro gli estremi fm e fM della banda di segnali, è allora fisicamente realizzabile il quadripolo LT I adattato che ha la funzione di trasferimento:

[6.2.16] H ( f ) = gH(f) e

-j2!f t , ! f " fm;fM( ) ,

inversa della H( f ) a meno di un fattore complesso con modulo costante g e con argomento proporzionale alla frequenza tramite il ritardo t , così che dalla cascata dei due quadripoli complementari Q e Q si ottiene:

[6.2.17] Heq( f ) = H( f ) H ( f ) = ge-j2!f t , ! f " fm;fM( ) ,

che garantisce la trasmissione ideale nel complesso. Il quadripolo distorcente Q , che è capace di compensare la distorsione lineare senza taglio di banda introdotta da quello Q, si denomina equalizzatore tempo invariante. La tecnica della equalizzazione trova largo impiego nei canali di trasmissione effettivi, che a causa del già menzionato comportamento non perfetto del mezzo trasmissivo, con attenuazione e ritardo di gruppo non costanti con la frequenza in banda utile, causerebbero altrimenti distorsione del segnale alla loro uscita. La configurazione più comune del canale LT I è dunque quella mostrata in Figura 6.7.

Figura 6.7: Configurazione di un canale lineare a guadagno complessivo unitario, in cui il

comportamento perfetto è acquisito tramite equalizzazione

6.2.2 Esempi di elaborazione lineare senza taglio di banda

La elaborazione lineare senza taglio di banda è assai varia, potendo scegliere una qualsiasi funzione di trasferimento H( f ), nel rispetto della reversibilità della operazione. Nel seguito verranno presi in esame alcuni tipi, significativi per la trasformazione che li caratterizza. Due esempi assai diffusi sono le trasformazioni LT I rispettivamente attuate tramite le operazioni di derivazione e integrazione nel dominio del tempo:

[6.2.18] y(t) =dx t( )dt

, y(t) = x u( )du-!

t" .

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128 Si noti che a meno di una costante tali elaborazione sono tra loro complementari, ossia l’una consente le reversibilità dell’altra. Applicando alle [6.2.18] la trasformazione di Fourier, si determinano le seguenti funzioni di trasferimento del derivatore ideale e dello integratore ideale:

[6.2.19] HDi ( f ) = j2!f, HIi ( f ) = 1j2!f .

I relativi quadripoli non sono tuttavia nemmeno idealmente realizzabili, come appare dalle precedenti funzioni caratteristiche che hanno ciascuna un polo, rispettivamente per f 9 ) e per f = 0. A partire da segnali limitati in banda con fm non nullo, le trasformazioni [6.2.18] sono ottenibili con reversibilità con quadripoli LT I con memoria fisicamente realizzabili, che abbiano funzioni di trasferimento del tipo:

[6.2.20] HD ( f ) =HDi ( f ) g e-j2! ft0 , ! f " fm;fM( ) ,

[6.2.21] HI ( f ) =HIi ( f ) g e-j2! ft0 , ! f " fm;fM( ) ,

dove g e t0 sono costanti reali positive. Si può verificare che nella banda di segnale il modulo delle funzioni di trasferimento è limitato e non nullo e il ritardo di gruppo risulta uguale a t0. Questi quadripoli complementari, denominati rispettivamente derivatore perfetto e integratore perfetto, alterano profondamente la distribuzione della energia o della potenza del segnale entro la stessa banda; in base alle [6.2.4] si ha infatti per un derivatore:

[6.2.22] Eyy( f ) = (2!f)2 g2

Exx( f ), Wyy( f ) = (2!f)2 g2

Wxx( f ),

e per un integratore:

[6.2.23] Eyy( f ) = (2!f)-2 g2

Exx( f ), Wyy( f ) = (2!f)-2 g2

Wxx( f ),

con la conseguente esaltazione delle componenti spettrali rispettivamente alle alte oppure alle basse frequenze. In Figura 6.8 sono mostrati gli effetti sulle densità spettrali in uscita nel caso di segnale di eccitazione con spettro uniforme in banda.

Figura 6.8: Densità spettrale in entrata (a) e densità spettrale in uscita rispettivamente da un

derivatore (b) e da un integratore (c).

Altri esempi di elaborazione analogica lineare senza taglio di banda e reversibile sono quelli offerti dalla coppia di quadripoli LT I con memoria fisicamente realizzabili, ancora tra loro complementari, con le rispettive funzioni di trasferimento, aventi moduli costanti e unitari in una banda da fm a fM:

[6.2.24] HH ( f ) = - j sgn( f ) e-j2! ft0 = e-j 2!fto+ !

2sgn(f)

!

"#$

%& , ! f " (fm;fM ) ,

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129

[6.2.25] H H( f ) = j sgn( f ) e-j2! ft0 = e-j 2!fto - !

2sgn(f)

!

"#$

%& , ! f " (fm;fM ) ;

le trasformazioni sono tuttavia applicabili a patto che i segnali di eccitazione siano privi di componenti spettrali in prossimità della origine, ossia si abbia ancora fm > 0. Si può verificare che nella banda considerata il ritardo di gruppo risulta uguale alla costante positiva t0. I due quadripoli considerati, che non alterano la distribuzione spettrale dell’energia o della potenza, hanno l’effetto fondamentale di introdurre un addendo a gradino nell’argomento delle funzioni di trasferimento, con conseguente sfasamento aggiuntivo di ±!/2 di ciascuna componente spettrale uscente; essi vengono pertanto denominati sfasatori di ±± "" / 2. Il lettore interessato ad ulteriori approfondimenti può constatare che i quadripoli sfasatori considerati attuano la trasformazione e la antitrasformazione di Hilbert (vedi [3.5.22] e [3.5.27]), a meno del ritardo t0. Si noti che nell’intervallo (fm ; fM) le funzioni HD ( f ) e H H ( f ), così come la coppia HI ( f ) e HH ( f ), hanno argomenti con lo stesso tipo di andamento, di cui in Figura 6.9 sono mostrati gli esempi.

Figura 6.9: Andamenti dell’argomento delle funzioni di trasferimento HD ( f ) e H H ( f ) (a) e delle

funzioni di trasferimento HI ( f ) e HH ( f ) (b).

I quadripoli costruibili con cui si ottengono con buona approssimazione, ma non esattamente, gli andamenti nella banda di segnale delle funzioni di trasferimento dei quattro tipi di elaboratori lineari considerati hanno caratteristiche prive di discontinuità, sia in modulo che in argomento, sull’intero asse delle frequenze. Per una assegnata tolleranza sui piccoli scostamenti in banda tra le funzioni di trasferimento effettive e quelle teoriche, la complessità circuitale cresce con il valore del parametro:

[6.2.26] QH = Bfm= fM-fmfm

,

che quanto più è grande tanto più rende difficile e costosa la costruzione; l’approssimazione è pertanto facile nel caso di trasformazioni da effettuare su segnali in banda relativa stretta (B < fm), e ancora di più se molto stretta.

6.2.3 Elementi sui filtri

Nell’intento di separare un segnale utile x(t) con banda limitata entro l’estremo superiore fM da eventuali altri segnali addizionali, che invece abbiano componenti spettrali non nulle solo all’esterno del menzionato intervallo, si individua immediatamente la funzione di trasferimento (vedi Figura 6.10):

[6.2.27] Hti( f ) = rect(f/2ft) e-j2!ft0 ,

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130 con frequenza di taglio ft = fM, caratteristica del quadripolo LT I denominato filtro passa-basso rettangolare. Il sistema, infatti, consente il trasferimento trasparente, a meno di un ritardo t0 costante, di ogni componente spettrale che cada nella banda passante, tra 0 e ft entro cui si ha |Hti( f )| = 1, e non permette alcun trasferimento nella banda oscura, tra ft e infinito entro cui si ha invece Hti( f ) = 0.

Figura 6.10: Modulo della funzione di trasferimento del filtro passa-basso rettangolare, a linea

continua, e del filtro passa-basso perfetto, a tratteggio.

Dato che la funzione di trasferimento [6.2.27] è strettamente limitata in banda, la risposta impulsiva è illimitata nel tempo: con t0 finito viene allora a mancare la causalità, ossia il filtro passa-basso rettangolare è solo idealmente realizzabile. Almeno nella banda del segnale utile la prestazione considerata è tuttavia garantita da un quadripolo LT I fisicamente realizzabile, denominato filtro passa-basso perfetto, per il quale il modulo della funzione di trasferimento è ancora unitario fino alla frequenza di taglio, ossia si ha:

[6.2.28] Ht( f ) =Hti( f ), ! f < ft ,

ed è prossima a zero per | f | > ft, tranne che nel piccolo intervallo di transizione >ft, adiacente alla banda passante, entro il quale si passa dal valore uno a valori quasi nulli, come mostrato nell’andamento a tratteggio in Figura 6.10. Nel passare a quadripoli effettivamente costruibili con cui si ottiene con buona approssimazione la prestazione considerata, si motiva la collocazione dei filtri tra i sistemi che compiono elaborazioni lineari con memoria, senza taglio di banda sul segnale utile. Nella pratica infatti non è possibile ottenere una ripida transizione tra banda passante e banda oscura senza produrre piccoli, ma inevitabili effetti di distorsione nel segnale in uscita. Una categoria di filtri pratici, denominata a massima piattezza o di Butterworth, ha ad esempio il seguente andamento della attenuazione:

[6.2.29] AB( f ) = 1 + k2( f / ft) 2n,

con k2 < 1 e n intero positivo, che per qualsiasi valore di n fornisce alla frequenza di taglio

AB( ft) = 1+ k2 ; anche se si fissa un valore piccolo di k2 e un valore elevato di n, l’attenuazione non è rigorosamente costante nella banda del segnale utile, che di conseguenza risulta distorto in uscita, anche se in modo marginale. Adottando, come accade per la categoria dei filtri di Tchebysheff, un andamento AT( f ) dell’attenuazione con piccole oscillazioni in banda passante, tutte di ampiezza 1+ k2 che è ancora il valore alla frequenza di taglio, è possibile ottenere a parità dell’ordine del polinomio in frequenza che esprime la funzione AT( f ) una sua più ripida crescita nell’intervallo di transizione, ma con accentuazione dell’effetto distorcente, a pari valore di k2. Esistono poi altri tipi di filtri con andamenti ancora più complessi. Una volta stabilita la tolleranza dello scostamento rispetto al comportamento del filtro ideale, si perviene spesso al tracciamento di una maschera (vedi Figura 6.11) che almeno fissa il valore

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131 massimo A = 1+ k2 ammesso per l’attenuazione variabile in banda utile (poco maggiore di uno), l’estensione dell’intervallo di transizione >ft e il valore minimo ammesso per l’attenuazione in banda oscura (assai maggiore di uno). Si può allora individuare il valore minimo da assegnare all’ordine 2n del polinomio AB( f ) per soddisfare i requisiti, ossia affinché l’andamento dell’attenuazione del filtro sia all’interno della maschera. Lo stesso procedimento può essere applicato anche alle altre categorie di filtri.

Figura 6.11: Attenuazione di un filtro passa-basso a massima piattezza, con andamento contenuto

in una maschera assegnata.

A parità di tolleranze, la complessità circuitale del filtro, che aumenta con n, è in generale tanto maggiore quanto più grande è il valore del parametro:

[6.2.30] Qt = ft!ft

.

In aggiunta al tipo di filtro passa-basso, si considerano altri quadripoli che compiono elaborazioni lineari senza taglio di banda, ancora con caratteristiche decisamente selettive in frequenza. In ragione dei loro comportamenti, mostrati in Figura 6.12 tramite gli andamenti della attenuazione A[dB] = 10 log A espressa in decibel, i quattro principali tipi si denominano filtro passa-basso (a), filtro passa-alto (b), filtro passa-banda (c) e filtro elimina-banda (d).

Figura 6.12: Andamento della attenuazione in decibel nei tipi principali di filtri - passa-basso (a),

passa-alto (b), passa-banda (c) ed elimina-banda (d). Nella parte inferiore della Figura 6.12 è anche riportata l’usuale simbologia nelle rappresentazioni con schemi a blocchi. Le funzioni di attenuazione dei tipi di filtri di nuova introduzione possono essere ricavati dalla espressione dell’attenuazione A( f ) del tipo passa-basso tramite semplici sostituzioni della variabile indipendente:

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132 • con ( ft / f ) al posto di ( f / ft) si ottiene l’attenuazione del tipo passa-alto, con frequenza di

taglio ft; • con ( f - fa) / ft al posto di ( f / ft) si ottiene l’attenuazione del tipo passa-banda, con larghezza

di banda passante Bt = 2 ft centrata sulla frequenza fa; • con ft / ( f - fa) al posto di ( f / ft) si ottiene l’attenuazione del tipo elimina-banda, con

larghezza di banda oscura Bt = 2 ft centrata sulla frequenza fa.

6.2.4 Elaborazione lineare con taglio di banda

6.2.4.1 Modalità nella elaborazione con taglio di banda

Alcuni segnali, e in particolare quelli numerici con la forma a gradini, possono essere non di rado trasmessi a distanza con maggiore convenienza dopo avere subito una elaborazione che limiti la occupazione di banda del segnale alla sua uscita a un opportuno valore finito fyM, a patto che l’eliminazione di una parte, anche considerevole, dello spettro produca un effetto di distorsione del tutto non influente o almeno accettabile, nei riguardi della informazione trasmessa. Si adotta allora la elaborazione lineare con taglio di banda, effettuabile mediante un quadripolo LT I fisicamente realizzabile, con funzione di trasferimento praticamente nulla a partire dal considerato valore fyM. In alcuni casi, tipicamente in quello di segnale a gradini, lo spettro del segnale in entrata è solo praticamente limitato in frequenza con estremo fM, mentre la banda disponibile per la trasmissione ha estensione fyM molto minore di fM; stante il notevole effetto di distorsione prodotto dal taglio di banda, è allora necessario intervenire ponendo molta attenzione alla salvaguardia della informazione trasmessa. Come esposto nella sezione successiva, nel caso numerico esistono fortunatamente delle elaborazioni lineari con forte taglio di banda, ma di tipo reversibile, che cioè ammettono la possibilità di restituire un segnale fedele a quello originario. La più semplice modalità di riduzione della banda è quella in cui si impiega un filtro passa-basso, ma con frequenza di taglio ft = fyM che sia inferiore, anche se non eccessivamente, alla frequenza massima fM del segnale di eccitazione x(t) su cui si intende operare. La distorsione prodotta sulla forma del segnale, contenuta entro limiti tollerabili ai fini della trasmissione della informazione, non è in generale compensabile con alcuna operazione a valle, ossia nel tipo di elaborazione considerato non è garantita la reversibilità.

6.2.4.2 Effetti del taglio di banda Si consideri la funzione di trasferimento Hti ( f ) (vedi [6.2.27]) di un filtro passa-basso rettangolare, con frequenza di taglio ft e con tempo di ritardo t0. Supposto che si abbia in entrata il segnale x(t) " +(t), si ottiene in uscita la risposta impulsiva:

[6.2.31] hti (t) = F-1{Hti ( f )} = 2 ft sinc[2 ft( t – t0)],

con andamento temporale molto diverso da quello della eccitazione per effetto della distorsione lineare per taglio di banda. Poiché Hti( f ) è hermitiana, ossia il filtro passa-basso rettangolare è almeno idealmente realizzabile, la risposta è reale; come mostrato in Figura 6.13a, si ha in uscita un impulso con un massimo in corrispondenza del tempo di ritardo t0 e con elongazioni di notevole durata, così che il segnale in uscita si manifesta addirittura in anticipo rispetto all’istante t = 0, di applicazione dell’impulso ideale in entrata. Il quadripolo non è dunque causale, ossia non è fisicamente realizzabile. L’effetto della soppressione delle componenti spettrali oltre la frequenza di taglio ft si manifesta anche nella ripidità finita dell’impulso in uscita: riferendosi al tempo che intercorre tra l’istante in cui la risposta raggiunge il massimo e quello immediatamente precedente in cui il segnale è nullo, si ottiene il valore >t = 1 / 2 ft, inversamente proporzionale alla frequenza di taglio.

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Figura 6.13: Risposta impulsiva del filtro passa-basso rettangolare con ritardo to (a) e del filtro

fisicamente realizzabile che lo approssima (b).

Un filtro passa-basso fisicamente realizzabile con funzione di trasferimento che approssimi bene quella rettangolare ha una risposta impulsiva simile a quella di Figura 6.13a. Come mostrato in Figura 6.13b, si ha ancora un impulso con un tempo di salita circa pari a >t=1/2ft e un massimo in corrispondenza a un istante t0 (con t0 >> >t), che può essere assunto come tempo di ritardo del filtro; si manifestano però delle apprezzabili differenze, che riguardano una lieve asimmetria dell’impulso rispetto al suo punto di massimo e, soprattutto, le elongazioni, che si mostrano più brevi: quella in anticipo è nulla per t * 0, mentre quella in ritardo è trascurabile per t > 2t0. In definitiva la risposta impulsiva di un filtro passa-basso effettivo può considerarsi praticamente limitata in durata nell’intervallo (0; 2 t0). Si noti che quanto meglio la funzione di trasferimento del filtro effettivo approssima quella ideale (con sempre più elevato valore del parametro [6.2.30]), ovverosia quanto più la sua risposta impulsiva è simile a hti(t), tanto maggiore deve risultare il tempo di ritardo t0 e, quindi, la durata pratica della risposta impulsiva stessa. Infatti, il filtro passa basso ideale con funzione di trasferimento rettangolare implica una risposta impulsiva di durata infinita. Pertanto, per poter effettuare completamente la convoluzione occorre che trascorra un tempo infinito. L’effetto nel dominio del tempo provocato dal transito di un generico segnale in banda base x(t) nel filtro passa-basso rettangolare può essere calcolato, volta per volta, tramite la convoluzione hti(t) $ x(t). Passando a un filtro passa-basso effettivo, il segnale distorto in uscita si ottiene con la medesima operazione, ma utilizzando la effettiva risposta impulsiva ht(t), del tipo mostrato in Figura 6.13b. In generale si possono comunque formulare le seguenti considerazioni. Nel caso di segnale di energia strettamente limitato in un intervallo di durata D, e quindi teoricamente illimitato in banda, la distorsione per taglio di banda è sicuramente presente e si evidenzia qualitativamente sotto due aspetti: • lo smussamento della forma d’onda temporale in uscita, tanto maggiore quanto minore è la

frequenza di taglio ft, principalmente evidente nei tratti di maggiore ripidità del segnale in entrata;

• la elongazione nel tempo con una durata pratica che si può assumere pari a D + 2 t0, come si può dedurre dalla y(t) = ht(t) $ x(t) tenendo conto che la risposta impulsiva ha praticamente durata 2 t0 (si rammenti che la convoluzione tra due segnali a durata finita ha una durata pari alla somma delle due durate).

Nel caso di segnali strettamente limitati in banda, con frequenza massima fM, il primo degli aspetti di cui sopra si manifesta ovviamente solo se ft < fM; il secondo perde significato, poiché pure assumendo che la durata D sia praticamente finita il suo valore è di norma tale da potere trascurare l’incremento 2 t0. Se poi la porzione di spettro eliminata non è molto notevole, come nell’esempio mostrato in Figura 6.14, l’effetto di distorsione con smorzamento della forma d’onda è debole, così da potere essere accettato nella pratica della trasmissione, come accade nel caso del segnale telefonico analogico che viene superiormente limitato in spettro a 3,4 kHz.

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Figura 6.14: Densità spettrale di potenza di un segnale sottoposto a taglio di banda.

6.3 ELABORAZIONE DI SEGNALI A GRADINI

6.3.1 Reversibilità della elaborazione su segnali a gradini

6.3.1.1 Reversibilità nel dominio del tempo Un segnale di potenza nella forma a gradini di durata nota T:

[6.3.1] a(t) = (kakrect tT -k!"#

$%& ,

in quanto composto da una serie di funzioni rettangolari nel dominio del tempo ha uno spettro infinitamente esteso, che può essere solo praticamente limitato in frequenza, con estremo finito fM molto maggiore di 1 / T, ossia tanto più elevato quanto più è piccola la durata T di ogni addendo della serie. I segnali del tipo considerato possono essere non di rado trasmessi con maggiore convenienza dopo avere subito una elaborazione che limiti, in senso stretto o praticamente, la occupazione di banda del segnale b(t) uscente a un opportuno valore finito fbM minore di fM, a patto che l’eliminazione di una parte, anche cospicua, dello spettro del segnale a gradini produca un effetto di distorsione accettabile, o addirittura del tutto non influente, nei riguardi della informazione trasmessa. Il tema riguarda essenzialmente il caso numerico, dato che i segnali a gradini analogici sono impiegati in pratica di rado e solo nell’ambito di trattamenti all’interno di apparati. Dalla [6.3.1] si osserva che nei segnali a gradini la sola conoscenza di tutta la sequenza dei campioni ak = a(kT) consente idealmente la ricostruzione fedele del segnale. Una elaborazione che a partire da a(t) produca un segnale nell’analoga, ma diversa forma in serie temporale:

[6.3.2] b(t) = ( kak 6(t - kT),

con gli stessi coefficienti ak e con la sostituzione delle funzioni rect(t/T-k) mediante altre funzioni reali di energia 6k(t) = 6(t - kT), può ancora consentire la ricostruzione fedele del segnale di eccitazione a patto che dall’andamento di b(t) si possano in qualche modo riconoscere tutti i valori ak: sarebbe allora idealmente garantita la reversibilità della elaborazione. Si sottolinea che per reversibilità non si intende il recupero delle componenti frequenziali tagliate ma il recupero dell’informazione. Seguendo la stessa via delle rappresentazioni dei segnali di energia tramite una base (vedi [3.1.14]), con la estensione del prodotto scalare alla correlazione tra il segnale di potenza a(t) e la h-esima funzione di energia 6h(t) si ottiene, scambiando l’ordine tra integrale e sommatoria:

[6.3.3] (b,6h) = b t( )! t-hT( )dt" =(k ak ! t-kT( )! t-hT( )dt" .

Se allora l’insieme {6k(t)} è ortogonale, ossia si verifica:

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135 [6.3.4] ! t-kT( )! t-hT( )dt= ! t+"T( )! t( )dt## =0 , per "=h-k $ 0 ,

ciascuna correlazione (b,6h) fornisce isolatamente il valore ah, anche se a meno di un coefficiente noto E66 che corrisponde alla energia della funzione 6(t), dalla quale traggono origine per traslazione kT tutte quelle dell’insieme {6k(t)}. La reversibilità di una elaborazione che conduce alla forma [6.3.2] è dunque idealmente garantita dal rispetto della condizione [6.3.4]; rammentando la definizione della funzione di autocorrelazione di 6(t), alla condizione di ortogonalità corrisponde la proprietà:

[6.3.5] C66(3T) = 0, per 3 / 0.

Si noti che nelle condizioni menzionate la [6.3.2] estende la rappresentazione tramite una base a un segnale di potenza, sempre che esso sia però significativo solo nei riguardi della sequenza dei valori ak da esso veicolata. Si usa pertanto considerare l’insieme {6k(t)} come una base e denominare forma di base la funzione 6(t). Inviando al paragrafo 6.3.1.2 il lettore interessato alla corrispondente condizione di reversibilità nel dominio della frequenza, da questa si accerta che non esistono forme di base con estremo superiore di banda f6M che sia minore di 1/2 T. Poiché i segnali elaborati b(t) sono composti da una combinazione lineare a coefficienti costanti di funzioni ottenute da quella di base 6(t) per traslazione temporale, ossia hanno una banda che non può superare f6M, ne consegue l’importante limitazione:

[6.3.6] fbM = f6M ' f0 = 12T .

La forma di base a banda minima ha la espressione:

[6.3.7] 60(t) = sinc( t / T) ;

infatti tale funzione ha trasformata E0( f ) = T rect(fT), ossia frequenza massima f0, ed è già nota (vedi paragrafo 2.5.1.6) la ortogonalità delle forme traslate ottenute a partire dalla sinc(t/T). Inserendo la 60(t) nella [6.3.2], si ottiene la nota rappresentazione per interpolazione dei campioni ak, sicuramente soddisfacente. Come discusso in seguito, per difficoltà costruttive la forma 60(t) è però da escludere nelle applicazioni pratiche. Il prospettato tipo di elaborazione reversibile è molto rilevante nell’odierna pratica della trasmissione, in cui i segnali da trasferire sono sempre più del tipo a gradini, con informazione numerica: fatta esclusione dei canali che utilizzano fibre ottiche monomodo, che offrono comportamenti praticamente perfetti in bande estremamente ampie, quelli che impiegano coppie metalliche risultano superiormente limitati in banda dall’effetto dell’attenuazione crescente con la frequenza, mentre la quasi totalità dei canali effettivi basati su tratte radio può consentire la trasmissione solo in assegnate e ben delimitate larghezze di banda, spesso di estensione anche modesta. 6.3.1.2 Reversibilità nel dominio della frequenza

Si consideri una generica forma di base 6(t) e la sua funzione di autocorrelazione C66(-), che grazie alla relazione di Wiener-Khinchine (vedi [3.3.59]) può essere espressa dalla:

[6.3.8] C66(-) = E!!(f)ej2"f# df$ ,

dove E66( f ) e la densità spettrale di energia di 6(t).

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136 Posto fT = 1/T e indicata con:

[6.3.9] W(f) = repfT[E66(f)] = ( n E66(f- nfT) = ( n E66( f - n / T),

la densità spettrale di potenza ottenuta per ripetizione a intervallo fT dello spettro di energia E66(f), si osserva che W(f) è periodica in frequenza, di periodo fT, ed è pertanto rappresentabile in serie di Fourier:

[6.3.10] W( f ) = (3 C3 ej2!"f /fT ,

con i coefficienti:

[6.3.11] C3 =1fT

E!!(f)e- j2"#f /fT df$ .

Rammentando la fT = 1/T e la [6.3.8] si ottiene:

[6.3.12] C3 = T E!! f( )ej2"f -#T( ) df$ = T C66(-3T) ;

si ricava allora dalla [6.3.10]:

[6.3.13] W( f ) = T (3 C66(-3T) e j2! f"T .

In conclusione, se la funzione C66(-) ha nel dominio del tempo la proprietà [6.3.5], dalla [6.3.13] risulta immediatamente W(f) = T C66(0) = T E66, ossia in base alla [6.3.9] vale la corrispondente proprietà nel dominio della frequenza:

[6.3.14] (nE66(f - n/T) = TE66,

denominata proprietà della simmetria vestigiale. Viceversa, se vale quest’ultima, cioè se W(f) = TE66, essendo C66(-) una funzione reale pari si ha dalla [6.3.13]:

[6.3.15] T E66 = T E66 + 2T C!!("T)cos(2#f"T)"=1

$

% ,

che comporta la [6.3.5] in quanto per essere vera devono essere nullo il secondo termine del secondo membro ovvero tutti i termini di C66 per 3#0. Si noti in primo luogo che la proprietà della simmetria vestigiale, valendo per ogni f, deve essere soddisfatta anche alla particolare frequenza f0 = 1

/

2

T e ciò implica che lo spettro di energia

E66(f) di una forma di base necessariamente si estende almeno fino a f0. Si dimostra allora che non esistono forme di base con estremo superiore di banda minore di 1

/

2

T; per il valore di f6M non

esiste invece alcuna condizione generale di limitazione superiore, in modo che una forma di base può essere illimitata in frequenza. Nel caso in cui E66(f) sia limitato in f0, la proprietà della simmetria vestigiale interessa per ogni frequenza solo un addendo; considerando n = 0 si ricava allora che lo spettro di energia è costante nell’intervallo (-f0; f0) e vale T2: la forma di base a banda minima è dunque la funzione 60(t) = sinc(t/T).

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137 Nella ipotesi che lo spettro di energia E66(f) sia limitato entro 1

/

T, la proprietà [6.3.14] interessa

per ogni frequenza solo coppie di spettri traslati adiacenti; per il valore f = f0 + >f con >f limitato tra 0 e f0, la [6.3.14] assume infatti la forma:

[6.3.16] E66(f0+>f) + E66(f0 + >f - 2f0) = E66(f0 + >f ) + E66(>f - f0) = T E66;

dato che per >f = f0 risulta E66(0) = T E66 e tenuto conto che E66(f) è pari si ottiene:

[6.3.17] E66(f0 + > f) + E66(f0 - > f) = E66(0), 0 * >f * f0,

che esprime la proprietà della simmetria vestigiale nel caso particolare considerato. 6.3.1.3 Segnali soddisfacenti il criterio di Nyquist

Dal segnale elaborato b0(t) ottenibile, solo teoricamente, a partire dalla forma di base a banda minima 60(t) = sinc( t / T) è possibile rintracciare i valori ak anche per mezzo della semplice osservazione dei valori istantanei in hT; infatti risulta:

[6.3.18] b0(hT) = (k ak sinc[(hT - kT)/T] = (k ak sinc(h - k) = ah,

grazie alla particolare proprietà:

[6.3.19] sinc(3) = 0, per 3 = h - k / 0.

La proprietà [6.3.19] non è esclusiva della forma sinc(t/T): basta ad esempio considerare la funzione x(t) sinc(t/T), con x(t) segnale di energia, per constatare che essa ha almeno gli stessi zeri negli istanti 3T per 3 / 0. Individuata una generica funzione di energia q(t), che sia diversa da zero nell’origine e goda della proprietà:

[6.3.20] q(3T) = 0, per 3 / 0,

un segnale che abbia l’espressione:

[6.3.21] pN(t) = ( k ak q(t-kT),

consente ancora di rintracciare i valori ak tramite la semplice osservazione dei valori istantanei, poiché si ha, almeno negli istanti hT, pN(hT) = ah

q(0), come è immediato da verificare. La proprietà [6.3.20] è usualmente indicata come criterio di Nyquist in memoria di colui che per primo la evidenziò. Un segnale del tipo pN(t), costituito da una combinazione lineare a coefficienti costanti di funzioni traslate di kT ottenute a partire da una funzione che soddisfa il criterio di Nyquist, è denominato segnale soddisfacente il criterio di Nyquist. Poiché gli ak sono in corrispondenza con i simboli di una sequenza numerica e risultano individualmente distinguibili nell’andamento del segnale, si usa anche affermare che questo è privo di interferenza intersimbolo (ISI = Inter Symbol Interference), o privo di ISI. Si noti che nei segnali del tipo introdotto mediante la [6.3.21] non è stato espresso però alcun vincolo sulla ortogonalità delle funzioni traslate, ossia tale proprietà non è in generale soddisfatta. Ciò non esclude l’esistenza di segnali del tipo b(t), ossia espressi in serie di funzioni traslate ortogonali, in cui nel contempo la forma di base rispetta il criterio di Nyquist. La reversibilità ideale della elaborazione che produce un segnale di tale categoria può pertanto basarsi anche sulla più semplice osservabilità diretta dei suoi valori istantanei.

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138 6.3.2 Elaborazioni lineari su segnali a gradini

6.3.2.1 Realizzabilità dei formatori lineari

Allo scopo di ridurre i requisiti in termini di banda del canale da impiegare per la trasmissione di un segnale a gradini a(t), si può ricorrere alla elaborazione lineare con taglio di banda, effettuabile mediante un quadripolo LT I con memoria fisicamente realizzabile. Stante il notevole effetto di distorsione prodotto dal taglio di banda, in particolare con frequenza di taglio nettamente minore dell’estremo superiore della banda solo praticamente limitata dello spettro del segnale a gradini, non è opportuno limitarsi all’impiego di un filtro passa-basso, ma conviene ricercare quali debbano essere gli andamenti della funzione di trasferimento del quadripolo che riducano efficacemente la banda in uscita, avvicinando il limite inferiore teorico f0 = 1

/

2

T, ma nella

salvaguardia della reversibilità della elaborazione. Tenuto conto di quanto esposto, se si riuscisse a individuare una funzione 6(t) soddisfacente la [6.3.4] e con trasformata di Fourier E( f ) = F{6(t)} strettamente limitata con frequenza massima f6M, si determinerebbe una elaborazione con taglio di banda che idealmente ammetterebbe la operazione complementare. Per tale via si passerebbe, senza tema di perdita di informazione, dal segnale a gradini a(t) solo praticamente limitato in frequenza, a un segnale elaborato b(t) con contenuti spettrali non nulli esclusivamente nella banda finita (0; f6M), essendo fbM = f6M. Ammesso, con riserva di immediata successiva verifica, che sia realizzabile una elaborazione lineare con taglio di banda a carattere reversibile, essa si compie eccitando con a(t) un quadripolo LT I con memoria (vedi Figura 6.15), avente una funzione di trasferimento HF ( f ) nulla oltre la frequenza di taglio f6M. Grazie alla linearità, che stabilisce sempre lo stesso legame di convoluzione tra ciascuna coppia di addendi corrispondenti delle serie in entrata e in uscita, la risposta risulta nella forma [6.3.2] a meno di un ritardo t0, qualora sia soddisfatta la relazione:

[6.3.22] 6( t – t0) = F-1{HF ( f )}$ rect(t/T);

applicando la trasformazione di Fourier si ricava allora:

[6.3.23] HF ( f ) = 1T

!(f)sinc(fT)

e-j2!ft0 .

Si può verificare che per la presenza di E( f ) a numeratore la funzione di trasferimento HF( f ) è nulla per | f | > f6M; inoltre, notata l’esistenza nel denominatore di zeri alle frequenze n / T, con n intero diverso da zero, si accerta che il modulo |HF ( f )| rimane limitato a patto che la frequenza massima f6M della forma di base sia minore della frequenza in cui si cade il primo zero, ossia minore di 1 / T.

Figura 6.15: Schema funzionale di formatore lineare.

In definitiva, sciogliendo la riserva, sono possibili elaborazioni lineari reversibili con taglio di banda dei segnali a gradini, e un quadripolo LT I che le effettui, denominato formatore lineare, è idealmente realizzabile, purché si scelga una forma di base con estremo superiore della banda vincolata dai limiti (vedi anche [6.3.6]):

[6.3.24] 12T < fbM = f6M < 1T

.

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139 I formatori lineari sono dunque notevolmente efficienti nel compito di ottenere, nel rispetto della reversibilità, segnali con banda ridotta. Una funzione 6(t) che oltre a rispettare la condizione di ortogonalità delle forme traslate (vedi [6.3.4]) soddisfa la [6.3.24] è una forma di base a banda normale. Constatata la realizzabilità dei formatori lineari, è opportuno evidenziare una importante caratteristica dei segnali da essi forniti. Rammentando l’effetto di una trasformazione lineare con memoria (vedi [6.2.8]), in generale i valori istantanei di un generico segnale b(t) elaborato linearmente non sono più esclusivamente dipendenti da uno solo dei valori ak, come invece accade in ogni istante in a(t) e almeno in un istante per ogni intervallo di durata T nei segnali soddisfacenti il criterio di Nyquist, ma risultano per ogni t una combinazione lineare di molti di essi. Si usa pertanto affermare che un segnale b(t) uscente da un formatore lineare è di norma affetto da interferenza intersimbolo, oppure che è un segnale con ISI. Tale fenomeno è la contropartita della possibilità di ottenere una molto efficace riduzione della banda del segnale elaborato.

6.3.2.2 Formatori lineari della famiglia a coseno rialzato Nella ricerca di opportune forme di base a banda normale torna utile la condizione di ortogonalità [6.3.4], una volta che essa sia espressa nel dominio della frequenza, nel caso considerato con f6M limitato entro 1

/

T. Inviando il lettore interessato alla dimostrazione al paragrafo 6.3.1.2, si accerta

che la densità spettrale di energia E66(f) di una forma di base a banda normale è soggetta alla condizione di simmetria vestigiale, espressa dalla:

[6.3.25] E66(f0 + > f) + E66(f0 - > f) = E66(0), 0 * > f * f0.

La simmetria vestigiale impone che il residuo di spettro, per ogni scostamento >f oltre il valore f0, compensi quanto manca allo spettro, per ogni scostamento > f entro f0, per raggiungere il valore nell’origine. Nella pratica si adotta come forma di base a banda normale una delle funzioni dell’insieme {67 (t)}, denominato famiglia a coseno rialzato, che appunto gode della proprietà della simmetria vestigiale; infatti, fissato un valore compreso tra 0 e 1 del parametro 7, denominato fattore di roll-off, gli spettri di energia normalizzati E77(f)/T2 assumono valore unitario per |f| < 1 - 7, sono nulli per |f| > 1 + 7 e tra tali due estremi hanno l’andamento tipico della funzione coseno nel primo mezzo periodo, rialzata di una unità, come mostrato nell’esempio in Figura 6.16a. Si rammenti che l’andamento a coseno rialzato è quello della densità spettrale di energia e non quello della funzione del tempo 67(t).

Figura 6.16: Spettri di energia di forme di base della famiglia a coseno rialzato (a) e guadagno dei

relativi formatori (b).

L’estremo superiore dello spettro di una forma di base della famiglia a coseno rialzato assume la seguente espressione in dipendenza dal fattore di roll-off 7 :

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140

[6.3.26] f 7 = f67M = 1+!2T = (1 + 7 ) f0.

Si noti che alla famiglia considerata appartiene anche, per il valore 7 = 0, la funzione sinc(t/T), che è stata appunto indicata con 60(t); essa ha infatti la densità spettrale di energia E00 ( f ) = T2

rect(fT) (vedi linea sottile in Figura 6.16a) e assume il minimo valore ammissibile della banda f7 = f0. Il guadagno del formatore lineare relativo a una forma 67(t) della famiglia a coseno rialzato assume la espressione:

[6.3.27] GF7(f) = 1T2

E!! f( )sinc2 fT( )

;

il suo andamento è esemplificato in Figura 6.16b per i due valori 7 = 0, caso della forma 60(t), e 7 = 0,3 del fattore di roll-off. Inserendo lo spettro di energia rettangolare della 60(t) nel denominatore della [6.3.27], si determina il guadagno GF0( f ) = |HF0 ( f )|2 del formatore lineare corrispondente (vedi linea sottile in Figura 6.16b), che mostra una forte discontinuità in corrispondenza della frequenza di taglio f0. La notevole complessità che si dovrebbe di conseguenza affrontare, per costruire un sottosistema effettivo avente comportamento che approssimi adeguatamente quello del quadripolo formatore corrispondente alla forma a banda minima, sconsiglia decisamente la scelta di 60(t) nelle applicazioni. Le prestazioni dei formatori lineari della famiglia a coseno rialzato, fatta esclusione per il caso 7 = 0 già esaminato, sono approssimabili con sottosistemi effettivi; già per valori di 7 che si discostino poco da zero, si hanno transizioni blande di GF7 ( f ) attorno alla frequenza di taglio f7, che non creano difficoltà nella costruzione. Si osserva infine che non è comunque fisicamente possibile ottenere un guadagno esattamente nullo nella banda oscura; altrimenti la risposta impulsiva del formatore sarebbe illimitata in tempo e per quanto sia grande, ma finito, il valore del ritardo t0 ammesso verrebbe meno la causalità.

6.3.2.3 Filtri adattati

Da un segnale b(t) ottenuto a partire da una generica forma di base 6(t) che rispetti la condizione di ortogonalità delle sue forme traslate (vedi [6.3.4]), è possibile estrarre con temporizzazione kT i campioni ak dell’originario segnale a gradini a(t) con un sistema fisico che, almeno con buona approssimazione, sia capace di effettuare le previste correlazioni (b,6k) (vedi [6.3.3]). Il sistema risulta tuttavia di notevole complessità realizzativa. Si rammenti che la funzione di autocorrelazione C66(-) di una forma di base soddisfa in generale il criterio di Nyquist (vedi [6.3.5]); sarebbe allora possibile rintracciare i valori ak di un segnale elaborato linearmente b(t), con la osservazione dei valori istantanei del segnale privo di ISI :

[6.3.28] bN(t) = ( k ak C66(t - kT),

ottenibile a valle di una elaborazione su b(t) che fosse capace di sostituire ciascuna delle sue forme traslate 6( t - kT) con la corrispondente funzione C66( t - kT). Si ha infatti, grazie alla menzionata proprietà:

[6.3.29] bN(hT) = ( k ak C66( hT - kT) = ( k ak C66(3T) = ah E66,

dove E66 = C66(0) è l’energia nota della forma di base 6(t).

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141 Procedendo come nel caso dei formatori lineari, si ricava che la desiderata elaborazione che conduce al segnale soddisfacente il criterio di Nyquist è lineare, ossia effettuabile con il transito in un quadripolo LTI (vedi Figura 6.17); la funzione di trasferimento H6( f ) di quest’ultimo, ottenibile dalla convoluzione:

[6.3.30] C6( t – t0) = F-1{HE( f )}$ 6(t),

ha l’espressione:

[6.3.31] HE( f ) = E!! (f)!(f)

e-j2!ft0 = !"(f) e-j2!ft0 ,

essendo F{C6(t)} = E66( f ) = E( f ) !"(f) . Si verifica immediatamente che la funzione di

trasferimento HE( f ) è nulla per | f | > f6M e che il quadripolo LT I individuato, denominato per la sua funzione caratteristica filtro adattato alla forma di base, o semplicemente filtro adattato, è idealmente realizzabile.

Figura 6.17: Schema funzionale di filtro adattato.

Il guadagno del filtro adattato nel caso di una forma 67 (t), della famiglia a coseno rialzato, ha la semplice espressione:

[6.3.32] GE7 ( f ) = E 77 ( f ) ;

il suo andamento è perciò del tipo di quello esemplificato in Figura 6.16a per i due valori 7 = 0, caso della forma 60(t), e 7 = 0,3 del fattore di roll-off. Per valori di 7 che si discostino poco da zero, si hanno attorno alla frequenza di taglio f7 transizioni ancora più blande di quelle nel corrispondente formatore lineare, che creano modeste difficoltà nella costruzione del filtro adattato. Si osserva ancora che non è comunque fisicamente possibile ottenere un guadagno GE( f ) esattamente nullo nella banda oscura; altrimenti la risposta impulsiva del filtro adattato sarebbe illimitata in tempo e per quanto sia grande, ma finito, il ritardo t0 ammesso verrebbe meno la causalità. 6.3.3 Elaborazione non lineare su segnali a gradini

La elaborazione a partire da un segnale a gradini a(t) per fornirne una diversa rappresentazione (vedi [6.3.2]), in serie di funzioni di energia ottenute per traslazioni kT da una forma di base, diviene concettualmente assai semplice se quest’ultima è almeno praticamente limitata nel tempo con durata inferiore a T. Infatti in tale caso, che si evidenzia usando per la forma di base la diversa notazione F(t) e particolarizzando il segnale elaborato nella forma:

[6.3.33] bF(t) =( k ak F( t - kT),

la condizione di ortogonalità che garantisce la reversibilità (vedi [6.3.4]) è soddisfatta in modo immediato, per separazione nel tempo di tutte le F( t - kT), non imponendo alcun vincolo sull’andamento di F(t). Grazie alla durata limitata entro T, la forma F(t) sicuramente gode, ancora senza vincoli sull’andamento, della proprietà indicata come criterio di Nyquist (vedi [6.3.20]), per cui tutte le

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142 forme d’onda del tipo bF(t) sono segnali soddisfacenti il criterio di Nyquist, ossia sono privi di ISI. La elaborazione considerata produce quindi segnali espressi in serie di funzioni traslate ortogonali, in cui nel contempo la forma di base rispetta il criterio di Nyquist: la reversibilità ideale può pertanto basarsi anche sulla più semplice osservabilità diretta dei valori istantanei. In contropartita della favorevole caratteristica sopra evidenziata, in ogni segnale elaborato bF(t) permane l’inconveniente della estensione in teoria infinita della banda, ma dal punto di vista pratico si può assumere un limite superiore finito fFM, che a parità di T risulta tanto minore quante più sono assenti le discontinuità nella forma F(t) e nelle sue successive derivate. Con riferimento a esempi già mostrati, si ottiene allora una banda pratica che si riduce passando dalla forma rettangolare (vedi Figura 2.9a) all’impulso triangolare privo di discontinuità (vedi Figura 2.9b) e ancora all’impulso a coseno rialzato (vedi Figura 2.9c), che è continuo assieme alla sua derivata. In altro modo si può affermare che l’effetto di distorsione prodotto sul segnale elaborato [6.3.33] dalla soppressione delle componenti spettrali oltre la frequenza:

[6.3.34] fFTM = 2T = 4f0,

che sarebbe sensibile nel caso di segnale a gradini rettangolare, diviene tollerabile per segnali elaborati con l’impulso triangolare e trascurabile con quello a coseno rialzato. Paragonando l’estremo pratico di banda fFTM al limite inferiore teorico f0, la riduzione di banda conseguibile, anche se con piccola distorsione, è comunque apprezzabile. I segnali elaborati ottenuti con le forme di base a durata limitata prive di discontinuità agli estremi dell’intervallo T, hanno andamenti nel tempo che assumono valore zero almeno in ogni istante di separazione tra gli addendi della serie [6.3.33], che esprime i segnali stessi. Essi vengono pertanto denominati segnali con ritorno a zero, o semplicemente segnali RZ (RZ = Return to Zero); in Figura 6.18 è riportato un esempio di segnale numerico di tale tipo. In un segnale a gradini a(t) gli azzeramenti si hanno invece solo in occasione delle transizioni tra livelli di segno opposto: esso è perciò anche indicato come segnale NRZ (NRZ = No Return to Zero).

Figura 6.18: Esempio di un segnale numerico del tipo RZ.

Un segnale elaborato con forme di base F(t), a durata almeno praticamente limitata entro l’intervallo T, può essere ottenuto moltiplicando il segnale a gradini a(t) per il segnale periodico repT[F(t)], ottenuto da un generatore di treno di impulsi e denominato portante impulsiva; si ricava infatti:

[6.3.35] a(t) repT [F(t)] = ( k( h ak rect[(t - kT) / T] F(t - hT)] = ( k ak F(t - kT)],

dato che la limitazione in durata entro T assicura che i prodotti delle funzioni rettangolari per quelle di base siano nulli per traslazioni temporali diverse e coincidano con la forma di base stessa, quando abbiano subito la medesima traslazione temporale (h = k). Un sottosistema, di tipo non

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143 lineare, che elabori segnali RZ è dunque funzionalmente rappresentabile tramite lo schema del formatore RZ mostrato in Figura 6.19.

Figura 6.19: Schema funzionale di formatore RZ.

Il requisito di banda dei segnali RZ espresso dalla [6.3.34], a parità di T più severo di circa tre volte di quello che si avrebbe impiegando un formatore lineare (vedi [6.3.26]), in molti casi è accettabile, particolarmente quando il mezzo trasmissivo sia una coppia metallica; infatti il formatore a prodotto ha costo paragonabile a quello del formatore lineare e, inoltre, l’assenza di ISI consente di rintracciare i valori significativi ak dalla semplice osservazione dei valori istantanei del segnali elaborati RZ, senza la necessità di premettere filtri adattati.

6.3.4 Restituzione della forma a gradini

6.3.4.1 Formatore a gradini Allo scopo di facilitare la trasmissione del generico segnale a gradini a(t), sono state introdotte delle elaborazioni, tanto con formatori lineari e filtri adattati, che con formatori RZ non lineari, confidando sulla loro reversibilità ideale garantita dalla possibilità di riconoscere comunque nei segnali elaborati tutti i valori ak significativi di a(t). È stato inoltre evidenziato che questi ultimi possono essere ottenuti tramite la semplice osservazione dei valori istantanei a intervallo T dei segnali, a patto che questi siano stati formati o rielaborati nel rispetto del criterio di Nyquist (vedi [6.3.20]), ossia che siano privi di ISI. La elaborazione complementare a quelle sopra menzionate è dunque la operazione che agendo su segnali soddisfacenti il criterio di Nyquist fornisce in uscita, a meno di un fattore reale g e di un ritardo positivo t0, la forma originaria a gradini. La restituzione della forma a gradini a(t) a partire da un segnale privo di ISI é effettuabile tramite un quadripolo denominato formatore a gradini, nel seguito indicato negli schemi con un blocco avente per sigla G. Tale quadripolo compie ciclicamente sul segnale entrante il campionamento, ossia osserva i suoi valori istantanei, siano essi bN(hT) o bF(hT), negli istanti di lettura th = hT, provvedendo poi nel segnale in uscita y(t) alla tenuta di tali campioni per una durata pari allo stesso T, come mostrato in Figura 6.20 ed espresso dalla:

[6.3.36] y(t) = ( h bx(hT) rect t-t0T -h!"#

$%& , per x = N, F.

Il lettore interessato a ulteriori elementi tecnici sul campionamento è inviato al paragrafo 6.3.4.2.

Figura 6.20: Segnale entrante e segnale uscente da un formatore a gradini.

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144 È rilevante notare che ai fini della corretta restituzione il formatore a gradini deve essere sincronizzato con il segnale entrante, nel senso che non solo il campionamento deve avvenire con intervallo Tc coincidente con il tempo di simbolo T del segnale, ovvero si ha la condizione Tc = T, ma anche gli istanti di lettura devono collocarsi in ciascun intervallo nel momento più opportuno, in cui il segnale goda dell’assenza di ISI. Oltre ai circuiti che effettuano il campionamento con tenuta, l’elaboratore considerato deve perciò comprendere un oscillatore armonico alla frequenza 1 / Tc, nominalmente uguale al ritmo di simbolo 1/T, che genera un sincrosegnale (segnale di orologio o “clock”) con funzioni di controllo nei riguardi dei dispositivi a scatto del campionatore, e un circuito ausiliario che sincronizza l’oscillatore dopo avere estratto i necessari elementi dalla temporizzazione del segnale entrante. 6.3.4.2 Elementi sui campionatori

La operazione ideale di campionamento isolato all’istante di lettura to di un segnale x(t) tempo continuo consiste nell’eseguire il prodotto di quest’ultimo per la funzione +(t - t0), generando l’impulso x(t)+(t - t0). Per mezzo di un successivo trattamento di integrazione, si ottiene il campionamento isolato con tenuta illimitata, che produce in uscita il segnale a gradino:

[6.3.37] x(v)!(v-t0 )dv-"

t# = x0 u(t - t0),

in cui è posto in evidenza il valore del campione isolato, x0 = x(t0), del segnale. Con lo schema in Figura 6.21, in cui la prima delle due operazioni è assimilata tramite un interruttore che si supponga chiuda il circuito solo all’istante t0 per una durata brevissima >t, si approssima il campionamento isolato con tenuta.

Figura 6.21: Schema di campionatore isolato con tenuta illimitata.

Con l’inserimento sulla uscita dell’integratore di un secondo interruttore che si chiuda verso massa solo all’istante t0+ T, come mostrato in Figura 6.22, si ottiene il campionamento isolato con tenuta di durata T, che approssima in uscita la forma rettangolare:

[6.3.38] x0 [u(t - t0) - u(t - T - t0)] = c0 rect t-toT - 12

!"#

$%& .

Figura 6.22: Schema di campionatore isolato con tenuta per una durata T.

Infine, azionando gli interruttori in Figura 6.22 in modo ripetitivo a intervallo T, si ottiene il campionamento ciclico con tenuta per una durata T.

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145 6.3.5 Elaborazione complessiva con taglio di banda

In relazione alla trasmissione ideale del segnale a(t), ma con taglio di banda che consente di minimizzare i requisiti banda del canale, la restituzione a gradini viene effettuata a valle di un filtro adattato, che fornisce un segnale bN(t) privo di ISI. Indicato con t0 il ritardo del formatore a gradini, grazie alla [6.3.29] si ottiene all’uscita del formatore a gradini il desiderato segnale:

[6.3.39] y(t) = (hbN(hT) rect t-t0T -h!"#

$%& = ( h ah E77 rect t-t0T -h!

"#

$%& = E77 a(t-t0),

dove il fattore E7 corrisponde alla energia nota della forma di base 67 (t), della famiglia a coseno rialzato, impiegata nelle precedenti elaborazioni. A meno degli inessenziali ritardi, si ha la configurazione della elaborazione complessiva con taglio di banda di segnali a gradini mostrata in Figura 6.23; da essa si nota come l’insieme del filtro adattato e del formatore a gradini costituisca un sottosistema che, inserito immediatamente in cascata al formatore lineare, opera la elaborazione inversa, dando un segnale in uscita in forma fedele a quello in entrata della cascata. Ampliando un concetto già introdotto (vedi [6.2.17]), i due blocchi funzionali in Figura 6.23a e in Figura 6.23b sono dunque una coppia di quadripoli complementari.

Figura 6.23: Formatore lineare (a) e quadripolo complementare (b), costituito dal filtro adattato

corrispondente e dal formatore a gradini.

In un segnale bN(t) a banda limitata, entro la frequenza massima f7= (1 + 7) / 2 T della sua forma di base della famiglia a coseno rialzato, l’assenza della interferenza intersimbolo è in teoria assicurata solo in un istante in ciascun intervallo di durata T e in pratica nelle strette vicinanze. Se il segnale viene osservato sullo schermo di un oscilloscopio con tempo di persistenza della traccia molto maggiore di T e in cui l’asse orizzontale dei tempi sia sincronizzato con gli istanti di lettura (al centro dello schermo), si ottiene nel caso di due soli possibili valori di ak una immagine del tipo mostrato in Figura 6.24a; la forma si presenta in modo da motivare la usuale denominazione di diagramma a occhio. Si noti che i valori dei livelli a1 e a2 non sono punti di massimo o di minimo del segnale.

Figura 6.24: Diagrammi a occhio per modulazione binaria: caso ideale (a) e con interferenza

intersimbolica (b).

La Figura 6.24a evidenzia come la sincronizzazione del formatore a gradini sia critica, anche nel caso teorico in cui si ha la massima “apertura dell’occhio”, uguale alla distanza tra i livelli. Eventuali scostamenti del formatore lineare e del filtro adattato dalle prestazioni teoriche, oppure imperfezioni nella trasmissione tra tali sottosistemi, provocano distorsione con conseguente

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146 comparsa di interferenza intersimbolica, che come mostrato in Figura 6.24b viene evidenziata da una riduzione della apertura dell’occhio, tanto più marcata, quanto più sono forti i menzionati fenomeni.

6.3.6 Elaborazione complessiva con riduzione della banda pratica

Nella trasmissione ideale del segnale a(t) senza taglio di banda, ma con un segnale RZ in forma tale da sopportare bene la soppressione delle componenti spettrali alle più alte frequenze che possa essere causata da un canale, la restituzione a gradini viene effettuata subito a valle di quest’ultimo, che fornisce un segnale bF(t) con distorsione trascurabile, praticamente ancora privo di ISI. Indicato con t0 il ritardo del formatore a gradini, poiché dalla [6.3.33] risultano i valori istantanei bF(hT) = ah F(0) si ottiene all’uscita del formatore a gradini il desiderato segnale:

[6.3.40] y(t) = ( h bF(hT)rect t-t0T -h!"#

$%& = (hahF(0)rect t-t0T -h!

"#

$%& = F(0) a(t-t0),

dove il fattore F(0) corrisponde al valore per t = 0 della forma di base F(t), a durata almeno praticamente uguale a T. A meno degli inessenziali ritardi, si ha la configurazione della elaborazione complessiva con riduzione della banda pratica di segnali a gradini mostrata in Figura 6.25; da essa si nota come il formatore a gradini costituisca un sottosistema che, se inserito immediatamente in cascata al formatore RZ, opera la elaborazione inversa, dando un segnale in uscita in forma fedele a quello in entrata della cascata. I due blocchi funzionali in Figura 6.25a e in Figura 6.25b costituiscono dunque una coppia di quadripoli complementari.

Figura 6.25: Formatore RZ (a) e quadripolo complementare (b), costituito dal formatore a gradini.

In un segnale bF(t) ottenuto con una forma di base di durata T l’assenza della interferenza intersimbolo è in teoria sempre assicurata; ma è ovvio che si ha la convenienza a collocare gli istanti di lettura in corrispondenza del valore massimo assunto da F(t), che si suppone sia FM = F (0). Dato che il valore della forma di base varia attorno al suo massimo, la sincronizzazione del formatore a gradini è ancora critica; mentre non lo sarebbe se il formatore a gradini fosse applicato su un segnale anch’esso a gradini, come spesso avviene per effettuare operazioni di lettura e scrittura nell’ambito degli apparati della tecnologia della informazione.

6.4 Multiplazione

Applicando in modo più ampio il concetto delle trasformazioni complementari, che a una operazione reversibile di segnale ne fa seguire un’altra capace di restituire la forma di partenza (eventualmente a meno di un fattore e di un ritardo), si apre la strada a una ulteriore serie di trattamenti dei segnali. Nella trasmissione i segnali subiscono infatti frequentemente, oltre a quelle già menzionate nel paragrafo 6.1.4 e comunque compiute su un segnale singolo, delle altre operazioni che coinvolgono un insieme di più segnali, in genere dello stesso tipo. Si tratta dal lato emittente della operazione di multiplazione, mediante la quale le informazioni veicolate da N segnali indipendenti xi(t), entranti su altrettante vie fisiche e denominati segnali tributari, vengono trasferite in modo reversibile in un solo segnale evoluto x(t) su una unica via fisica, denominato segnale multiplato; nel lato ricevente si trova la operazione complementare, di demultiplazione, che ripristina la

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147 individualità dei segnali. La Figura 6.26, tralasciando le inessenziali costanti g e t0, mostra un sistema di trasmissione a cui è aggiunta una coppia complementare di apparati multiplatore (Mux) e demultiplatore (Demux).

Figura 6.26: Schema di un sistema di trasmissione di segnale multiplato.

L’intento degli ulteriori trattamenti introdotti è quello di trasformare i segnali in forme più evolute, particolarmente a riguardo della quantità di informazione trasportata, che consentano il migliore impiego tecnico-economico del mezzo trasmissivo; le operazioni compiute sono dunque subordinate alle effettive prestazioni offerte dai sistemi di trasmissione. La introduzione della multiplazione dà luogo a un maggiore costo di apparato per segnale trasmesso (il contributo addizionale diretto dei mo-demultiplatori è in genere maggiore del decremento che risulta sostituendo N apparati dimensionati per i tributari con l’unico dimensionato per il segnale multiplato); d’altra parte conduce a un notevole risparmio del costo del mezzo trasmissivo per segnale trasmesso e per unità di lunghezza. Di conseguenza, tanto maggiori sono le lunghezze dei collegamenti, tanto più sofisticati sono i trattamenti di multiplazione che possono essere convenientemente introdotti; si desume inoltre che l’impiego economico della multiplazione risulta subordinato al superamento di opportune distanze minime. Nella pratica si ricorre sempre alla multiplazione nei collegamenti di trasporto. Tipicamente la multiplazione consiste nella condivisione di un unico sistema di trasmissione (mezzo trasmissivo e apparati) individuando come risorsa da condividere la frequenza, il tempo o il codice. Si parla dunque di multiplazione a divisione di frequenza (FDM), multiplazione a divisione di tempo (TDM) o multiplazione a divisione di codice (CDM). Invece, quando sussista la esigenza di stabilire N collegamenti su un medesimo tracciato, in alternativa alla multiplazione che consentirebbe la condivisione di un unico sistema di trasmissione, devono essere disponibili N distinti mezzi portanti. In tale caso si ha la semplice multiplazione a divisione di spazio, usata in pratica solo nei collegamenti di accesso di assai breve lunghezza.

6.5 CENNI SULLA CONVERSIONE ANALOGICO NUMERICA

La sempre maggiore diffusione di sistemi di trasmissione operanti in tecnica numerica comporta che i segnali analogici di sorgente vengano sempre più frequentemente trasformati in segnali numerici. La trasformazione consiste di tre passi principali. Il campionamento nel tempo di un segnale analogico x(t) strettamente limitato in banda può essere considerato come il primo passo verso la sua conversione analogico numerica. A partire dalla sequenza x(n) dei campioni xk = x(kTca), ricavati con intervallo di campionamento Tca non superiore all’intervallo di Nyquist, si può infatti ottenere il segnale a gradini:

[6.5.1] xca(t) = ( k xk rect tTca-k!

"#

$%& ,

simile formalmente a un segnale multilivello, ma con la sostanziale differenza della presenza dei campioni analogici xk, che assumono valori in un codominio continuo e finito (xm ; xM), in luogo dei livelli discreti. È quindi necessario procedere al trattamento di quantizzazione dei campioni, che conferendo ad essi la natura discreta costituisce il cuore della conversione in numerico. La quantizzazione è un trattamento sulla sequenza x(n) dei campioni che prevede la suddivisione del codominio (xm ; xM) in M parti, denominate intervalli di quantizzazione, e la identificazione di

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148 tutti i valori che appartengono al q-esimo intervallo con uno solo di tali valori xq, denominato q-esimo livello di quantizzazione. Al termine, in luogo della sequenza dei campioni analogici, si ha dunque una sequenza di valori discreti, a cui si fa corrispondere il segnale multilivello:

[6.5.2] xq(t) = (k xqk rect tTca-k!

"#

$%& ,

dove i livelli quantizzati xqk < xk appartengono a un insieme discreto numerabile e finito {xq} di cardinalità M, interpretabile come alfabeto M-nario di simboli. La quantizzazione può essere uniforme (xqk - xq(k-1) = costante) oppure non uniforme nel caso in cui il segnale analogico presenti delle dinamiche di variazione maggiori nell’intorno di alcuni valori del codominio. Si noti che mentre la operazione di campionamento è reversibile, tale non è la quantizzazione: non è infatti più possibile riottenere con esattezza i valori dei campioni xk, noti che siano quelli dei livelli quantizzati xqk. Le differenze xqk - xk danno origine a un segnale additivo indesiderato, denominato rumore di quantizzazione, concettualmente inevitabile: pertanto la conversione analogico-numerica non può essere ritenuta un trattamento ideale. È tuttavia intuitivo comprendere che la degradazione implicata dalla quantizzazione può essere contenuta entro limiti piccoli a piacere, scegliendo un valore sufficientemente elevato di M. Una volta adottata per la cardinalità l’opportuno valore che sia esprimibile nella forma:

[6.5.3] M = 2S,

con esponente S intero, un ultimo passo per ottenere la conversione del segnale analogico in segnale numerico binario può essere compiuto con le stesse modalità della elaborazione complementare della codifica semplice di simbolo (vedi paragrafo 6.3.4.1). Dal tempo di simbolo Tx = Tca del segnale multilivello xq(t) si passa allora al tempo di bit Ta = Tca / S del corrispondente segnale binario a(t) all’uscita della intera operazione di conversione analogico-binario. Ad esempio, stabilita l’associazione mostrata in Tabella 6.1 tra i livelli quantizzati xq e le stringhe binarie y1

y2 y3, per q = 1,2,.., M = 8, e facendo poi corrispondere al bit 0 il livello a1 = 0 e al bit 1 il

livello a2 = A, si ottiene il tratto di segnale binario mostrato in Figura 6.27c, mentre in Figura 6.27a

e in Figura 6.27b sono riportati i corrispondenti elementi della sequenza dei livelli quantizzati e del flusso binario.

Tabella 6.1: Associazione stabilita tra livelli quantizzati e stringhe binarie, per M = 8.

q 1 2 3 4 5 6 7 8 y1

y2 y3 000 001 010 011 100 101 110 111

Figura 6.27: Esempio di un tratto di un segnale binario (c) e i corrispondenti elementi della

sequenza dei livelli quantizzati (a) e del flusso binario (b).

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149 La conversione analogico-numerica trova sempre più vasta applicazione, soprattutto sui segnali di sorgenti sonore, ma anche su quelli di sorgenti di immagine. In particolare nel caso del segnale telefonico si procede al campionamento con intervallo Tca = 125 µs (fca = 8 kHz), alla quantizzazione dei campioni con intervalli non uniformi nel codominio (xm ; xM) e adottando la cardinalità M = 256 (S = 8), per concludere con la trasformazione in segnale binario, indicato come segnale telefonico PCM (PCM = Pulse Code Modulation). Il suo tempo di bit risulta Tb = 15,625 µs, ossia il corrispondente ritmo binario vale Rb = 64 kbit/s.

6.6 CENNI DI CODIFICA DI CANALE

6.6.1 Codifica con ridondanza su flussi binari

6.6.1.1 Introduzione ai metodi di codifica con ridondanza

Alle estremità di un sistema di trasmissione numerico si effettuano spesso delle operazioni che interessano le sequenze entrante e uscente, supposte binarie, lasciando inalterata la forma fisica, del tipo a gradini con due livelli, dei segnali che le trasportano. Un tale tipo di elaborazione di natura sostanzialmente logica, denominato codifica, consiste nel trattamento preliminare con circuiti microelettronici numerici della sequenza x(n) di cifre binarie associata al segnale fisico entrante x(t) allo scopo di generare una diversa sequenza y(n), ancora binaria, che poi viene trasmessa. Affinché possa esistere la elaborazione complementare di decodifica, che all’altro estremo del sistema di trasmissione restituisce la sequenza originaria, il numero di cifre binarie per unità di tempo veicolate dal segnale y(t) associato a y(n) deve essere necessariamente uguale o maggiore di quello in entrata. Nel caso che qui si intende prendere in considerazione, della codifica con ridondanza, la sequenza elaborata è modificata principalmente perché essa veicola più bit di quelli strettamente necessari, con conseguente ridondanza della informazione. La codifica con ridondanza può essere inserita in un sistema di trasmissione numerica allo scopo generale di consentire il miglioramento delle prestazioni ottenibili nel caso di canale di trasmissione imperfetto. In tali reali condizioni è infatti possibile che alcuni elementi della sequenza trasferita siano errati; il decodificatore situato alla fine del sistema può essere allora capace di riconoscere tali eventualità e anche di porvi rimedio, facendo in modo di abbassare l’effettivo ritmo di errore binario (BER = Bit Error Rate), ossia il valore del rapporto tra il numero di bit errati e quello di tutti i bit contenuti in una stringa di lunghezza molto grande, ma finita, della sequenza decodificata. Tale grandezza misurabile corrisponde “a posteriori” alla probabilità di errore binario, che permette di valutare “a priori” il comportamento di un sistema imperfetto di trasmissione numerica. La codifica con ridondanza si prefigge dunque l’obiettivo generale della rivelazione di errore e anche della correzione di errore. La funzionalità si basa sul fatto che la introduzione di elementi ridondanti conferisce alla sequenza binaria elaborata y(n) delle particolari proprietà, riconoscibili a valle della trasmissione: l’eventuale mancato riscontro delle caratteristiche attese consente la rivelazione di errore. Il riconoscimento della presenza di un bit errato in una stringa di lunghezza finita, senza che ne sia nota la esatta posizione, può dare seguito a due linee di condotta: la mera indicazione che la stringa contiene errori oppure la richiesta di ritrasmissione della stringa stessa, che una volta soddisfatta con successo conduce alla eliminazione dell’inconveniente. Considerando non tanto le esigenze di trasmissione nell’ambito delle singole applicazioni, quanto il trasporto a distanza di notevoli flussi di informazione, interessano maggiormente i tipi di codifica con obiettivo di correzione di errore: la eliminazione di questi è immediata, con il semplice cambio delle cifre binarie errate con le loro complementari, se è possibile conoscere la esatta posizione degli errori rivelati. Una soluzione che opera nella modalità considerata è denominata codifica con correzione di errore in avanti (FEC = Forward Error Correction). La introduzione di cifre binarie ridondanti nel flusso elaborato comporta la variazione della temporizzazione in uscita rispetto a quella in entrata, ossia si ha Tv < Tx, essendo Tv il tempo di bit

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150 in uscita e Tx quello in entrata del codificatore. L’entità della ridondanza introdotta viene usualmente misurata tramite la frequenza di codifica, definita dalla:

[6.6.1] Rc = kn

< 1,

dove n è il numero di cifre binarie del flusso uscente corrispondente a un numero k di quelle a monte della elaborazione. Essendo per continuità temporale nTv=kTx, la ridondanza provoca un aumento del ritmo binario del segnale y(t) che veicola la sequenza codificata rispetto al valore in entrata Rx = 1 / Tx; si ricava infatti:

[6.6.2] Ry =1Ty= nkTx

=nkRx=

Rx

Rc

> Rx.

Tale incremento, o meglio il decremento del ritmo binario entrante a parità del valore Rv accettato dal sistema di trasmissione, è la contropartita del miglioramento della prestazione in termini di

BER conseguito. Nel seguito vengono sommariamente introdotti due metodi fondamentali: la codifica a blocchi e la codifica convoluzionale. I due metodi non sono in alternativa; oltre che isolatamente, possono infatti anche essere usate entrambe in concatenazione, ossia una più esterna e l’altra più interna. 6.6.1.2 Cenni sulla codifica lineare a blocchi

Nel caso della codifica lineare a blocchi, sulla base dei k elementi della sequenza binaria x(n), estratti dal flusso entrante ad ogni intervallo di durata costante k Tx, il codificatore compone in un registro a k stadi una stringa x1 x2...xk di altrettanti bit, denominata blocco. La parte sostanziale della operazione consiste nella elaborazione, tramite combinazioni lineari, di ogni blocco entrante in una stringa uscente y1 y2...yn, denominata parola di codice, costituita da un numero n di bit maggiore di k (vedi fig. 6.25); la codifica a blocchi considerata viene pertanto indicata tramite la coppia di valori (n,k).

Figura 6.28: Blocco in entrata e corrispondente parola di codice in uscita.

Una codifica a blocchi viene compiuta sulla base di una prestabilita regola di associazione biunivoca tra ogni diverso possibile blocco in entrata e ciascuna parola di codice in uscita, che si traduce in pratica in una precisata struttura della rete logica, frapposta tra i due registri in Figura 6.28, che attua le desiderate combinazioni lineari. La modalità operativa, invariante da un blocco all’altro, produce un risultato sempre indipendente dai valori delle cifre binarie che non sono comprese nel blocco presente; la elaborazione è pertanto qualificata come codifica priva di memoria. Si noti che la sequenza elaborata risulta strutturata in stringhe di lunghezza n. I diversi blocchi possibili sono in numero uguale a 2k e altrettante sono ovviamente le diverse parole di codice, associate biunivocamente ai precedenti dalla particolare regola di codifica scelta; poichè le diverse 2n configurazioni di una stringa di n bit sono molto più numerose dei blocchi possibili, vi è margine per ottimizzare la regola. Sfruttando opportunamente la presenza degli n - k

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151 bit ridondanti si può fare in modo di massimizzare i casi in cui la introduzione a valle della trasmissione imperfetta di un errore isolato (o più di uno) conduce a una stringa ricevuta che è una delle 2n

– 2k configurazioni che non appartengono al codice: la stringa errata, che non trova riscontro nella regola di associazione, viene rivelata nel decodificatore e, se la ridondanza è sufficiente, può essere anche individuata la posizione del bit errato (o più di uno) entro la stringa, con conseguente correzione in avanti. In contropartita del miglioramento di prestazione che si ottiene a riguardo del BER, la codifica lineare a blocchi dà luogo a due inconvenienti. Il primo, e maggiore, è dovuto alla più veloce temporizzazione della sequenza codificata in uscita (Tv < Tx), già evidenziato nella [6.6.2]. Il secondo e minore inconveniente consiste in un ritardo nel trasferimento della informazione, certamente non inferiore a 2 k Tx : anche supponendo di trascurare i tempi di elaborazione per generare ciascuna parola di codice (in emissione) o ciascun blocco (in ricezione) e per la costruzione del segnale di uscita che ne veicola gli elementi in serie temporale, occorre infatti obbligatoriamente attendere che dal segnale in entrata siano stati estratti e posti in registro tutti i bit componenti il blocco (in emissione) o la parola binaria di codice (in ricezione). Nell’ambito della codifiche lineari a blocchi, ci si limita a fornire delle indicazioni sul tipo denominato codifica sistematica, che a parità di prestazioni comporta la minima complessità. Le prime k cifre binarie delle parole di codice corrispondono ordinatamente a quelle dei blocchi corrispondenti ( yi = xi, per i = 1, 2,.., k ) e le rimanenti n - k, denominate cifre di controllo di parità, sono ottenute dalle precedenti tramite combinazioni lineari, in aritmetica modulo-2, definite in modo opportuno; nel caso di un solo bit ridondante si ha ad esempio il criterio che risulti comunque pari, o anche dispari, il numero complessivo delle cifre 1 nelle parole di codice. Anche assumendo n - k = 1, risulta evidente che ogni errore introdotto dalla trasmissione imperfetta che sia unico entro una parola di codice può essere rivelato, ma non corretto, con modesta complessità e a spesa di un incremento del ritmo binario di un fattore (k +1)/ k (vedi [6.6.2]). Per ottenere la capacità di correzione di errore occorre un numero non piccolo di cifre di controllo di parità, che comporta valori elevati di k, e quindi apprezzabili ritardi, se non si vuole abbassare troppo la frequenza di codifica, ossia se non si desidera produrre un eccessivo aumento del ritmo binario Rv, a valle della codifica. Si noti comunque che la complessità della rete logica non dipende tanto da k, quanto dalla differenza n - k. La codifica a blocchi sistematica di tipo (2,1), con la regola che sia dispari il numero delle cifre 1, costituisce il caso elementare, denominato codifica di Manchester; essa ha la complessità minima, ma in contropartita provoca addirittura il raddoppio del ritmo binario del segnale codificato. Le parole di codice corrispondenti ai due possibili blocchi, degenerati nelle singole cifre x1 = 0 e x2 = 1, sono costituite dalle coppie di bit alternati 01 e 10, entrambe con probabilità ! se sono associate ciascuna a una delle due cifre in entrata supposte equiprobabili; le rimanenti due configurazioni sono le coppie di bit identici 00 e 11, aventi comunque probabilità nulla. Ogni errore, che non sia accompagnato da un altro errore adiacente, origina la ricezione di una delle configurazioni a probabilità nulla ed è pertanto rivelabile; non può tuttavia essere corretto, essendo impossibile riconoscere quale bit della coppia sia quello errato. La codifica di Manchester ha in effetti capacità molto modeste nei riguardi di soddisfare l’obiettivo del miglioramento delle prestazioni, così che nella pratica trova piuttosto applicazione per le particolari proprietà che essa conferisce al segnale nel canale in seguito alla successiva operazione di modulazione. Un esempio più significativo di codifica sistematica a blocchi è offerto dalla codifica di Hamming (7,4), ancora di tipo sistematico ( yi = xi, per i = 1, 2, 3, 4 ), per cui vale la regola stabilita dalle n - k relazioni lineari di controllo di parità:

[6.6.3] y5 = x1 H x2 H x3, y6 = x2 H x3 H x4, y7 = x1 H x2 H x4,

dove si è indicata con il simbolo H la somma modulo-2. La ridondanza è forte: sono utilizzate solo

24 = 16 parole di codice tra le 27

= 128 configurazioni possibili, con una frequenza di codifica (vedi [6.6.1]) lievemente superiore a quella della codifica di Manchester. Le parole di codice sono scelte

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152 in modo che differiscano tra loro almeno in tre diverse posizioni; tale proprietà consente la rivelazione sia di uno che di due errori introdottisi nella stringa ricevuta, nonché la correzione dell’errore singolo, esistendo una sola parola di codice che differisce in una sola posizione dalla stringa errata ricevuta. 6.6.1.3 Cenni sulla codifica convoluzionale

Mirando alla capacità di correzione degli errori in avanti, si ottengono di norma migliori risultati a pari complessità circuitale con un secondo metodo di codifica binaria con ridondanza, che viene denominato codifica convoluzionale dato che nella elaborazione è contemplata la operazione ripetitiva di convoluzione della sequenza entrante con opportune sequenze note di lunghezza finita. Come mostrato nello schema in Figura 6.29a, gli elementi xk, estratti da un segnale binario entrante con il ritmo Rx = 1 / Tx, vanno a riempire un registro a scorrimento a L stadi, dove L è la lunghezza di vincolo del codice. Ad ogni intervallo Tx, a partire dagli L bit temporaneamente registrati, tramite opportune combinazioni lineari vengono formate in parallelo n cifre binarie, di cui n -1 ridondanti; tali elementi, per mezzo di un circuito logico di trasformazione parallelo-serie (P/S), vanno infine a formare un’unica sequenza y(n). Il segnale trasformato uscente che veicola la sequenza codificata risulta avere il ritmo binario incrementato di un fattore n :

[6.6.4] Rv = n Rx > Rx.

Più in generale, come mostrato in Figura 6.29b, si possono avere k < n registri a scorrimento, sempre di lunghezza L, che tramite un circuito di trasformazione serie-parallelo (S/P) vengono riempiti ad ogni intervallo k Tx e dalle cui cifre vengono sempre formate quelle, in numero n > k > 1, poi serializzate in uscita. Si ha allora il ritmo binario del segnale binario codificato:

[6.6.5] Ry = nk

Rx > Rx,

che, anche se molto meno incrementato, mostra comunque la presenza di ridondanza, in ragione della frequenza di codifica Rc = k / n.

Figura 6.29: Schemi a blocchi di codificatori convoluzionali.

La codifica convoluzionale è del tipo con memoria, dato che agisce basandosi non solo sul bit presente, ma anche sui k L -1 precedenti. Si può osservare che la codifica lineare a blocchi è un caso particolare di codifica convoluzionale per L = 1 ; in tale caso non c’è più memoria e infatti ogni blocco viene elaborato per suo conto.

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153 La codifica convoluzionale, caratterizzata tramite la coppia di valori (L, k / n), permette di acquisire con minore complessità (di norma n vale poche unità) gli stessi miglioramenti delle prestazioni già considerati nella codifica a blocchi, tramite la rivelazione e la correzione di errori, sempre in contropartita dell’aumento del ritmo binario. Anche i ritardi introdotti, ancora di poco superiori a 2 k Tx, sono minori di quelli nella codifica a blocchi a parità delle prestazioni ottenibili.

6.6.2 Codifica con mutamento della cardinalità

6.6.2.1 Cenni sulla codifica di simbolo Le elaborazioni di sequenze numeriche precedentemente considerate hanno solo riguardato operazioni in cui l’alfabeto dei simboli in entrata e in uscita, in particolare del tipo binario, resta invariato. Sono peraltro possibili trattamenti di codifica con alterazione della cardinalità dei simboli: senza perdita di generalità una elaborazione di tale tipo, ossia una generica codifica di simbolo, può essere scomposta in una opportuna codifica binaria esterna a una codifica di simbolo senza ridondanza, o codifica semplice di simbolo, che sia unicamente responsabile del mutamento di alfabeto. Deve ovviamente esistere la elaborazione complementare di decodifica di simbolo, anch’essa ovviamente scomponibile nelle due operazioni corrispondenti. Un codificatore semplice di simbolo muta una sequenza binaria entrante y(n), con tempo di bit Ty, in una sequenza uscente z(n), con tempo di simbolo Tz, nella quale il generico elemento zk assume uno dei valori dell’insieme dei simboli {zq}, con q = 1, 2,.., ML, che costituisce l’alfabeto desiderato. Rivolgendo l’attenzione alla sola funzionale logica, si ha lo schema del codificatore mostrato in Figura 6.30.

Figura 6.30: Schema logico funzionale di un codificatore semplice di simbolo.

Come illustrato in Figura 6.30, scelto un numero intero L, ad ogni intervallo di durata: [6.6.6] T = Ty L,

si forma una stringa y1 y2...yL di L cifre binarie in un registro con altrettanti stadi, alimentato dalla sequenza entrante; tramite un circuito logico lineare, che opera a intervallo T in base a tutti gli L elementi del registro, si determina poi il valore del corrispondente simbolo z della sequenza uscente, che ha dunque tempo di simbolo T. Il simbolo appartiene a un alfabeto di cardinalità:

[6.6.7] ML = 2L,

in quanto gli elementi distinti sono tanti quante le diverse configurazioni possibili della stringa nel registro, in generale in numero di 2L. In definitiva, risulta stabilita una regola reversibile di codifica di simbolo, con associazione biunivoca tra gli ML simboli e le altrettante diverse stringhe di cifre binarie,

[6.6.8] zq ; y1 y2...yL, q = 1, 2,.., ML.

Dato che il codificatore semplice opera sempre con la medesima modalità al ritmo del tempo di simbolo T, senza influenza alcuna dei valori delle cifre binarie della sequenza entrante che non siano quelle che determinano la stringa contenuta nell’intervallo di durata T, la elaborazione considerata è priva di memoria.

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154 La codifica semplice di simbolo viene introdotta per i vantaggi che possono derivare dal rallentamento della temporizzazione a valle: a parità del tempo di bit Tv in entrata, si ottiene infatti in uscita un segnale a gradini che ha transizioni a intervallo T = Tv L, con riduzione della banda pratica di un fattore L. In contropartita si ha l’introduzione di un piccolo ritardo complessivo, considerando anche il decodificatore, poco maggiore di 2T. Si osservi che per essere L intero la cardinalità ML dell’alfabeto ottenuto con il codificatore semplice considerato può assumere solo i valori 4, 8, 16, 32 e così via; è per tale motivo che si è usata la particolare notazione ML con pedice L. Tale limitazione è superabile in un generico codificatore di simbolo, ottenuto facendo precedere il codificatore semplice da un opportuno codificatore binario che introduca ridondanza in ognuna delle stringhe di lunghezza L in cui risulta strutturata la sequenza alla sua uscita. Se ad esempio la sequenza binaria x(n) viene mutata in una sequenza binaria y(n) strutturata in stringhe di due bit aventi la proprietà che sia sempre esclusa la coppia 11, a valle del codificatore semplice con L = 2, ossia ML = 4, si ottiene che il simbolo quaternario che la regola [6.6.8] associa alla parola 11 ha probabilità nulla, in modo che la cardinalità effettiva M ' 2 dell’alfabeto della sequenza z(n) si riduce al valore M = 3.

6.6.2.2 Esempi di regole di codifica di simbolo Così come è usuale adoperare per l’alfabeto binario i simboli 0 e 1, nel caso di alfabeti con cardinalità ML = 2L è frequente assumere che l’insieme {zq} dei simboli consista nella serie degli ML numeri interi dispari, tra loro distanziati di due unità, disposti simmetricamente rispetto allo zero (vedi Figura 6.31); si ha allora l’espressione algebrica dei simboli:

[6.6.9] zq = 2q - ML - 1, q = 1, 2,.., ML,

per la quale l’insieme {zq} risulta ordinato con valori crescenti di zq al crescere di q.

Figura 6.31: Esempi di simboli numerici di un alfabeto quaternario (a) e ottonario (b).

Molto spesso la regola [6.6.8] di codifica di simboli viene scelta in modo che a stringhe y1 y2...yL differenti per un solo bit corrispondano sempre elementi adiacenti dell’insieme dei simboli [6.6.9]; la regola si denomina allora codifica di Gray. Un primo esempio di codifica semplice di simbolo è quello offerto dalla codifica di Gray con ML = 4, che associa i simboli zq alle stringhe y1 y2 con la regola:

[6.6.10] z = 4 y1 + 2 y1H y2 - 3,

dove il segno H indica la operazione di somma modulo-2, la notazione y corrisponde alla operazione di negazione della cifra binaria e le due cifre binarie possono assumere i valori 0

oppure 1. È immediato verificare che si tratta di una regola di Gray, dato che si ottengono le associazioni mostrate in Tabella 6.2.

Tabella 6.2: Associazioni stabilite dalla regola di Gray per ML = 4.

q 1 2 3 4 zq -3 -1 1 3

y1 y2 01 00 10 11

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155 Si lascia al lettore l’esercizio di verificare che le regole di Gray per ottenere i simboli zq dati dalla [6.4.9] nei casi ML = 8 e ML = 16 hanno le espressioni: [6.4.11] z = 8 y1 + 4 y1H y2 + 2 y1H y2H y3 - 7, ML = 8, [6.4.12] z = 16 y1 + 8 y1H y2 + 4 y1H y2H y3 + 2 y1H y2H y3H y4 - 15, ML = 16. Nel caso ML = 8 si ottengono le associazioni mostrate in Tabella 6.3.

Tabella 6.3: Associazioni stabilite dalla regola di Gray per ML = 8.

q 1 2 3 4 5 6 7 8 zq -7 -5 -3 -1 1 3 5 7

y1 y2 y3 010 011 001 000 100 101 111 110

6.7 CENNI DI MODULAZIONE ARMONICA

6.7.1 Introduzione ai metodi di modulazione armonica

Molti canali di trasmissione per la natura stessa del mezzo trasmissivo richiedono che il segnale in linea s(t) sia del tipo in banda traslata, con banda relativa stretta attorno a una frequenza fc assai elevata, come accade per le fibre ottiche e le tratte radio; oppure per particolari circostanze di impiego è necessario che non si abbiano componenti spettrali prossime all’origine, come nel caso della trasmissione dati in un canale telefonico. D’altra parte all’inizio del sistema, o meglio a valle di una elaborazione (vedi blocco SBE in Figura 6.4), si ha in generale una coppia di segnali, bc(t) e bs(t), che sono invece del tipo in banda base, spesso con identica frequenza minima fbm nulla o prossima allo zero e la stessa frequenza massima fbM inferiore a fc: nei casi considerati risulta dunque necessaria una elaborazione sulla coppia menzionata (vedi blocco MO in Figura 6.4) che produca il diverso segnale s(t) avente spettro tutto contenuto all’interno della banda offerta dal canale; ovviamente ai fini del corretto trasferimento della informazione l’operazione deve essere reversibile, ossia deve esistere la elaborazione complementare che agendo su s(t) restituisca due forme fedeli a bc(t) e bs(t). Dato che a valle del trattamento considerato si hanno in s(t) componenti spettrali non presenti a monte, la elaborazione considerata deve essere necessariamente compiuta tramite un sottosistema con comportamento non lineare; sarà parimenti non lineare anche il sottosistema complementare. In effetti nel caso qui considerato della modulazione armonica si fa ricorso ad operazioni non lineari che coinvolgono bc(t) e bs(t) in emissione, oppure s(t) in ricezione, con un segnale armonico noto:

[6.7.1] c(t) = cos(%ct + &c),

denominato segnale portante e caratterizzato dalla frequenza fc = %c /

2! e da una inessenziale fase

&c; l’ampiezza, anch’essa inessenziale, può essere assunta unitaria. Il segnale modulato s(t) nel canale è convenientemente rappresentabile con riferimento alla frequenza fc, nella sue già note forme di segnale in banda traslata (vedi [3.5.41] e [3.5.42]), di seguito riportate per comodità:

[6.7.2] s(t) = =(t) cos[%ct + &(t)] = ac(t) cos(%ct) – as(t) sin(%ct),

oppure tramite il suo inviluppo complesso:

[6.7.3] !(t) = =(t) e j! (t) = ac(t) + j as(t),

in cui l’argomento 7(t) è uguale a &(t) a meno di un multiplo dell’angolo giro. I metodi di modulazione armonica possono essere distinti in due categorie: quella della modulazione tramite prodotto, in cui appunto si impiega l’operazione di prodotto con segnali

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156 armonici a frequenza fc, e quella della modulazione di angolo, in cui si interagisce sull’angolo che costituisce l’argomento della oscillazione. Nel seguito ci si limita a considerare i soli aspetti essenziali che determinano il mutamento della collocazione spettrale e che prescindono dalla natura analogica o numerica dei segnali; gli schemi dei modulatori e demodulatori (MO e DEM) e gli effetti prodotti sulla modulazione armonica dalle eventuali elaborazioni nelle sezioni in banda base (SBE e SBR) sono oggetto di un successivo capitolo. 6.7.2 Cenni sulla modulazione tramite prodotto

Tramite l’unico prodotto tra il segnale portante [6.7.1] e un solo segnale reale in banda base b(t) " bc(t), assumendo dunque che risulti bs(t) " 0, si ottiene la modulazione a prodotto semplice, o modulazione a prodotto, con segnale modulato:

[6.7.4] sx(t) = b(t) c(t) = b(t) cos(%ct + &c),

e inviluppo complesso:

[6.7.5] !sx(t) = b(t) e j!c .

Si noti che di norma b(t) assume sia il segno positivo che quello negativo, in modo che l’inviluppo reale =sx(t) = |!sx(t)| = |b(t)| non ha lo stesso andamento di b(t). Supposto che esista la trasformata di Fourier B( f ) di b(t), dalla [6.7.5] si ricava immediatamente lo spettro dell’inviluppo complesso Isx(f) = B(f) e j!c , in modo che rammentando la [3.5.7] si determina quello del segnale modulato a prodotto:

[6.7.6] Sx(f) = 12 [B( f - fc) e j!c + B*(- f - fc) e- j!c ].

L’andamento del modulo Sx(f) è del tipo mostrato in Figura 6.32. Lo spettro del segnale modulato è dunque composto, a meno del fattore 1/2, di due repliche di quello modulante B( f ) traslate di ±fc; dalla stessa figura si constata immediatamente che tali repliche risultano separate tra loro in frequenza a patto che si abbia:

[6.7.7] fc > fbM,

che dunque rappresenta la condizione di reversibilità della modulazione a prodotto. Con la modulazione a prodotto, a volte anche denominata a banda laterale doppia (DSB = Double Side Band), si ottiene quindi un segnale che risulta ridondato nel dominio della frequenza, e perciò più resistente ai difetti del canale; tale ridondanza è la contropartita vantaggiosa del requisito di una banda di canale doppia di quella in banda base.

Figura 6.32: Spettri di ampiezza del segnale modulato a prodotto (linea marcata) e del segnale

modulante in banda base (linea grigia).

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157 Nel caso di segnale di potenza valgono considerazioni analoghe sugli spettri di potenza. In definitiva la banda Bx di sx(t) nel canale risulta centrata su fc e ha estensione doppia della frequenza massima in banda base:

[6.7.8] Bx = 2 fbM.

Un interessante caso particolare si ha quando b(t) sia ottenuto da un segnale in banda base x(t) con una semplice elaborazione lineare del tipo:

[6.7.9] b(t) = Ac [1 + k x(t)] ' 0,

ossia con Ac e k costanti e quest’ultima sia scelta in modo che risulti semore | k x(t)| * 1 e quindi:

[6.7.10] =sx(t) = |b(t)| = 1 + k x(t).

Allora nei riguardi di x(t) si ottiene il sottocaso della modulazione di ampiezza (AM = Amplitude Modulation), caratterizzata dalla semplice proporzionalità a meno di una costante tra l’inviluppo del segnale modulato e il segnale originario. Si noti tuttavia che nella AM si ha la trasmissione nel canale del segnale di portante Ac cos(%ct + &c), che in quanto noto non è utile al trasferimento della informazione mentre richiede una potenza maggiore di quella effettivamente utile, riguardante le sole bande laterali. Un tipico andamento nel tempo di segnale AM è quello già mostrato in Figura 3.17. Più generale è la modulazione a prodotto in quadratura, a volte anche denominata modulazione di ampiezza istantanea in quadratura (QAM = Quadrature Amplitude Modulation), che necessita di una elaborazione, capace di fornire i due segnali reali in banda base a valore medio nullo, e di due prodotti con segnali armonici in quadratura di fase; si ottiene in tale modo il segnale in banda traslata nella forma generale (vedi [6.7.2]):

[6.7.11] s(t) = bc(t) cos(%ct) – bs(t) sin(%ct),

dove bc(t) e bs(t) risultano come le ampiezze istantanee delle due portanti in quadratura. I due addendi in s(t) sono singolarmente dei segnali modulati a prodotto con la stessa frequenza di portante e di conseguenza i loro spettri condividono la stessa banda nel canale, per una estensione pari al doppio della frequenza massima fbM. Con la modulazione a prodotto in quadratura si ha ancora la ridondanza nel dominio della frequenza, ma grazie alla sovrapposizione degli spettri ciò non costa in termini di requisito di banda nel canale. Dato che i due segnali addendi in s(t) benché sovrapposti in frequenza risultano separabili, come dimostrato in un capitolo successivo, la elaborazione è ancora reversibile nel rispetto della condizione fc > fbM.

6.7.3 Cenni sulla modulazione armonica di angolo

La seconda categoria di elaborazione con segnale armonico, ossia la modulazione di angolo, è caratterizzata dalla variabilità nel tempo del solo argomento dell’oscillazione, ossia si ha la costanza dell’inviluppo. Una volta posto =s7(t) " Ac dove Ac è una costante, il segnale modulato e il suo inviluppo complesso rispettivamente assumono l’espressioni:

[6.7.12] s7(t) = Ac cos[%ct + &(t)],

[6.7.13] =sx(t) = Ac e j!(t) .

L’informazione è veicolata tramite la fase istantanea &(t), che viene infatti resa dipendente da un solo segnale in banda base b(t) tramite una generica trasformazione lineare:

[6.7.14] &(t) = K&h&(t) $ b(t),

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158 dove KF è una costante e hF(t) è un’arbitraria funzione che ammette la trasformata di Fourier HF( f ) = F [hF(t)]. Un tipico andamento nel tempo di segnale modulato di angolo è quello già mostrato in Figura 3.18. La dipendenza non lineare, attraverso la funzione coseno, del segnale nel canale s7(t) da quello modulante b(t) rende assai ardua la determinazione dello spettro modulato di angolo. Tale spettro, che con lecito riferimento al solo semiasse positivo delle frequenze ha comunque in generale un andamento simmetrico rispetto a fc (vedi ad esempio Figura 6.33) e non riconducibile a quello di b(t), è in teoria infinitamente esteso, ma adottando una regola pratica può essere assunto sostanzialmente limitato entro l’intervallo, denominato banda di Carson:

[6.7.15] B7 = 2 ( >fp + fbM ),

dove >f p è la deviazione di frequenza, ossia il valore di picco della deviazione di frequenza istantanea >f (t) legata alla fase istantanea dalla già nota relazione [3.5.53], qui riportata:

[6.7.16] >f (t) = 12! d!(t)dt .

Per garantire la reversibilità della modulazione di angolo è dunque opportuno che sia soddisfatta la relazione:

[6.7.17] fc >> >fp + fbM.

Figura 6.33: Spettri di ampiezza del segnale modulato di angolo (linea marcata) e del segnale

modulante in banda base (linea grigia).

Si noti dalla [6.6.14] che al crescere di KF la fase istantanea &(t) varia maggiormente e quindi aumenta sia il valore di picco >fp che quello della banda pratica B7, con crescente introduzione di ridondanza nel dominio della frequenza del segnale modulato e conseguente maggiore protezione nei riguardi dei difetti del canale, con la contropartita dell’aumento del requisito di banda di quest’ultimo. Il caso particolare più semplice dal punto di vista analitico è la modulazione di fase (PM = Phase Modulation), per cui nella [6.6.14] si assume hF(t) " +(t), ossia HF(t) " 1, in modo che la fase istantanea risulta proporzionale al segnale modulato:

[6.7.18] &(t) = KFb(t), per PM.

Un altro caso particolare è la modulazione di frequenza (FM = Frequency Modulation), nella quale la trasformazione lineare che conduce a &(t) è l’integrazione nel tempo, così che

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159 rammentando la [6.6.16] risulta stabilito che la deviazione di frequenza istantanea è proporzionale al segnale modulato:

[6.7.19] >f (t) = K!

2" b(t), per FM.

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7 MEZZI TRASMISSIVI

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7.1 INTRODUZIONE AI MEZZI TRASMISSIVI

L’elemento fondamentale della trasmissione è il mezzo trasmissivo, nel cui ambito il segnale elettromagnetico si propaga per la distanza r del collegamento con una velocità di norma non molto diversa da quella caratteristica di un’onda e.m. (e.m.=elettromagnetica) nel vuoto (c=3$108 m/s); tale velocità finita, anche se molto grande, è la principale responsabile del ritardo di ricezione t0(r), crescente con r. I mezzi trasmissivi si distinguono in due categorie: le linee di trasmissione, sistemi materiali a distribuzione uniforme secondo una coordinata longitudinale, che nel guidare la propagazione del segnale fino alla sua destinazione coprono materialmente la distanza r del collegamento e perciò sono anche denominati portanti fisici; le tratte radio, nelle quali il segnale irradiato da una antenna emittente si propaga liberamente sotto forma di onde e.m. fino ad essere captato da una antenna ricevente a distanza r, perciò anche denominati portanti radio. I mezzi portanti fisici hanno struttura costituita da due conduttori isolati con dielettrico oppure formata da soli dielettrici: si tratta, rispettivamente, delle coppie metalliche e delle fibre ottiche. Di norma la natura dei mezzi trasmissivi è passiva e il loro comportamento è lineare; nello schema equivalente ideale, in cui si ammette anche la caratteristica di invarianza nel tempo, oltre al menzionato ritardo è significativa la attenuazione del mezzo portante, funzione crescente della distanza r:

[7.1.1] A0(r)=Wxx

Wyy,

dove sono indicate con Wxx e Wyy le potenze dei segnali x(t) e y(t), rispettivamente alla entrata e alla uscita del mezzo stesso. Se i materiali dei portanti fisici fossero ideali, grazie alla uniformità della linea la configurazione dell’onda e.m. guidata rimarrebbe invariata in ogni sezione, a meno del ritardo di propagazione; l’affievolimento del segnale che invece caratterizza i mezzi reali è allora dovuto alle perdite ohmiche nei materiali. Nel generico mezzo portante radio, l’onda e.m. irradiata distribuisce invece la sua potenza e.m. su una superficie sferica di area sempre crescente con la distanza, in modo che l’affievolimento del campo e.m. in un punto lontano può essere in prima approssimazione valutato tenendo conto del solo effetto menzionato, connaturato al fenomeno della propagazione libera, ossia trascurando le caratteristiche fisiche dello spazio reale interessato. Il mezzo trasmissivo è molto importante nei riguardi del servizio offerto dall’intero collegamento; talvolta la scelta del tipo è obbligata, come ad esempio nelle trasmissioni con terminali mobili, sempre effettuate via radio, ma nella maggiore parte dei casi deriva da considerazioni economiche in un contesto non ideale.

7.1.1 Coppie metalliche

Quando le distanze da coprire tra due terminali fissi siano modeste, si ricorre spesso all’impiego di un mezzo portante fisico costituito da una coppia di conduttori metallici, isolati tra loro da materiale dielettrico, posati lungo il tracciato del percorso stabilito tra i terminali. Di norma la sezione trasversale è invariata, sia nella geometria che nei materiali: un tale tipo di struttura è denominata linea di trasmissione uniforme a coppia metallica o più semplicemente coppia metallica. La propagazione del segnale avviene nel dielettrico, con onda e.m. piana, avente sia campo elettrico che campo magnetico sempre giacenti sul piano trasversale, ossia con modo di tipo TEM (TEM=Trasverso Elettrico e Magnetico); il metallo assolve dunque la funzione di guida lungo il tracciato del mezzo portante. I tipi più comuni di linee metalliche sono la coppia simmetrica (vedi Figura 7.1a), comunemente denominata anche linea bifilare o doppino, e la coppia coassiale (vedi Figura 7.1b). Nel primo caso si ha un esempio di struttura aperta, con un campo e.m. che si estende in teoria in tutto lo spazio; il secondo caso appartiene invece alla categoria delle strutture chiuse, in cui il campo e.m.

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164 si assume praticamente confinato all’interno di un conduttore cavo, con effetto di schermo anche nei riguardi di eventuali altri campi e.m. generati all’esterno della coppia da fenomeni naturali o artificiali non correlati alla trasmissione desiderata. Mirando ai benefici derivanti dalla schermatura, si impiega anche il doppino schermato (vedi Figura 7.1c), altro esempio di struttura chiusa.

Figura 7.1: Coppie metalliche, di tipo simmetrico aperto (a), coassiale (b) e simmetrico chiuso (c).

I dati strutturali della coppia sono quelli dei materiali, ossia la costante dielettrica I (o quella relativa Ir=I/I0) e la permeabilità magnetica µ=µ0 dell’isolante(1) e la conducibilità J e la permeabilità magnetica µm del conduttore, e quelli relativi alla geometria della sezione: il diametro comune d e l’interasse D dei fili nella coppia simmetrica oppure il diametro esterno d del conduttore interno, il diametro interno D del conduttore esterno e lo spessore s di quest’ultimo nella coppia coassiale. Per garantire la uniformità, ossia la invarianza della sezione di una coppia bifilare, i conduttori sono a volte immersi in un materiale plastico isolante (ad esempio polietilene, con Ir=2,26). Più comunemente, ciascun filo metallico è circondato da una sua guaina in plastica di spessore costante e l’uniformità dell’interasse degli elementi della coppia è ottenuta intrecciandoli e contenendoli in una ulteriore guaina; l’avvolgimento a spirale dei fili ha anche l’importante funzione di protezione nei riguardi dei disturbi, ottenuta per compensazione degli effetti indotti sui due conduttori che ad ogni semipasso invertono la loro posizione relativa ai campi e.m. disturbanti. Un valore tipico del diametro dei fili è d=0,6 mm. Il centraggio del conduttore interno di una coppia coassiale può essere ottenuto come mostrato in Figura 7.2, con dischetti di dielettrico (a), con un materiale plastico isolante avvolto a spirale (b) oppure pieno in modo da colmare interamente lo spazio tra i due conduttori (c); ammesso che il passo dei dischetti o della spirale sia sufficientemente breve, si può assumere che il dielettrico sia omogeneo, con costante dielettrica di valore intermedio tra quello dell’aria e del materiale isolante: si passa così da un valore di Ir attorno a 1,1 al valore di 2,26, nel caso del polietilene pieno.

Figura 7.2: Sezione longitudinale di coppia coassiale con dischetti (a) e con spirale (b).

Alle soluzioni strutturali considerate in Figura 7.2 corrispondono, nell’ordine, comportamenti trasmissivi di minore qualità, ma in contropartita si acquisisce maggiore flessibilità meccanica della struttura, soprattutto se nel caso di dielettrico pieno il conduttore esterno viene realizzato in forma di calza di rame (fili di assai piccolo diametro intessuti secondo spirali controavvolgentesi). Nel caso di isolamento a dischetti si hanno i valori tipici d=2,6 mm e D=9,5 mm. Nelle strutture coassiali posate in opera, spesso affiancando più coppie, si usano adeguate guaine protettive dell’insieme, costituendo un cavo coassiale. Attualmente le coppie metalliche vengono impiegate quasi esclusivamente su distanze brevi, tipicamente inferiori a 1 km. (1) I valori nel vuoto sono I0=(36!)-110-9 [F/m] e µ0=4!10-7 [H/m].

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165 7.1.2 Fibre ottiche

Nella trasmissione tra due terminali fissi a grande distanza, ma per certi segnali anche a breve distanza, è assai frequente l’impiego di un mezzo portante fisico basato su una struttura interamente isolante, in modo da abolire le perdite dovute a materiali conduttori. Nella soluzione tipica mostrata in Figura 7.3, a salto di indice (“step index”), la struttura è costituita da due materiali dielettrici separati da una unica superficie cilindrica, a sezione circolare di raggio a, che delimita il nucleo interno (“core”) dal mantello che lo circonda (“cladding”). Il primo materiale ha costante dielettrica relativa Ir1=I1/I0 e indice di rifrazione n1= !r1 , mentre il secondo ha Ir2=I2/I0

e n2= !r2 di valore assai poco minore di n1; entrambi, usualmente vetro di silice con opportuni diversi droganti, hanno indice di rifrazione di valore attorno a 1,4 e permeabilità magnetica µ1=µ2=µ0, uguale a quella del vuoto.

Figura 7.3: Fibra ottica con sezione a simmetria circolare (a), e profilo teorico dell’indice di

rifrazione n lungo il raggio (b).

La struttura schematizzata in Figura 7.3, con sezione invariante in senso longitudinale ed estensione trasversale finita del mantello, è usualmente denominata fibra ottica, date le sue piccolissime dimensioni trasversali (di norma, 2d=125 µm) e l’uso di frequenze prossime a quelle dello spettro visibile. La fibra ottica è una struttura aperta, con campo e.m. che si estende in teoria in tutto lo spazio dielettrico, non omogeneo; tuttavia nelle condizioni di impiego il campo e.m. guidato è in pratica prevalentemente concentrato nella regione del nucleo, in modo che nel mantello i valori del campo risultano trascurabili già a distanze dall’asse minori del raggio esterno d. Nella pratica la struttura è dunque efficientemente schermata. Una fibra ottica può consentire la propagazione di una pluralità di diverse configurazioni di onde e.m., o modi guidati, che essendo tutti di tipo non TEM hanno però una propria frequenza di taglio, al di sotto della quale la propagazione del modo non si può sostenere. Nella maggiore parte delle applicazioni, e sempre per distanze oltre il chilometro, allo scopo di ottenere migliori prestazioni si opera con il solo modo fondamentale, che ha la minore frequenza di taglio; scelta la frequenza di eccitazione o la sua corrispondente lunghezza d’onda K=c / f, si ottiene la desiderata fibra monomodo con la riduzione al valore opportuno del raggio a del nucleo: tipicamente si ha 2a<10 µm adoperando lunghezze d’onda attorno a 1 µm (1,3 o 1,55 µm). A parità di frequenza di impiego, una struttura che opera in regime plurimodale, ossia una fibra multimodo, ha un maggiore diametro del nucleo, attorno 2a<60 µm, riducendo in contropartita delle sue peggiori prestazioni trasmissive i problemi di accoppiamento tra fibra e terminali e tra spezzoni di fibra. Nell’ambito del processo di produzione la fibra ottica viene a volta ricoperta con un rivestimento dielettrico, opaco alle frequenze impiegate, che oltre ad assicurare una ancora più completa schermatura ha il compito principale di consentire una migliore maneggevolezza della struttura, altrimenti molto fragile; il diametro esterno risulta così raddoppiato. Nelle strutture posate in opera con affasciamento di più fibre, si usano adeguate guaine protettive dell’insieme, costituendo un cavo ottico. Il notevole impiego delle fibre ottiche nella trasmissione è dovuto alla possibilità di ottenere un valore molto piccolo dell’affievolimento del segnale per unità di lunghezza percorsa nel mezzo,

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166 grazie all’assenza di materiali conduttori e alle basse perdite che il vetro di silice mostra attorno alla lunghezza d’onda di 1,5 µm, ossia per frequenze estremamente elevate (oltre 1014 Hz). 7.1.3 Tratte radio

Nei casi di libera mobilità di almeno uno dei terminali o della sua lontana collocazione nello spazio circostante la Terra, la trasmissione può essere attuata unicamente impiegando la propagazione e.m. libera. Tale modalità è anche molto conveniente nella trasmissione con diffusione della informazione, ossia quando si vuole trasferire lo stesso segnale da un terminale generatore a una grande molteplicità di terminali utilizzatori fissi; può anche essere usata con profitto per la trasmissione tra due punti fissi in alternativa ai mezzi fisici, tipicamente in particolari condizioni orografiche o per il vantaggio offerto dalla tempestività della installazione. La struttura basilare di una tratta radio comprende una coppia di antenne e lo spazio libero interposto (vedi Figura 7.4), supposto in prima approssimazione ideale. Le antenne sono sistemi materiali con una porta accessibile ai segnali classici: eccitando con un segnale entrante x(t) un’antenna emittente, essa è capace di irradiare un campo e.m. sferico che in ogni punto dello spazio libero ha intensità istantanea di campo elettrico e magnetico entrambe proporzionali al segnale, a meno di un ritardo legato alla distanza; un’antenna ricevente investita da un tale campo e.m. è capace di captare la radiazione, fornendo un segnale uscente y(t) proporzionale alle menzionate intensità istantanee e, quindi, fedele al segnale x(t) di eccitazione della tratta.

Figura 7.4: Struttura basilare di una tratta radio.

Quasi sempre le antenne sono costituite essenzialmente da materiali conduttori, spesso con strutture filiformi, come l’antenna a stilo, oppure di tipo a superficie, come l’antenna a parabola. Spesso oltre che passive sono reciproche, in modo che la stessa antenna può operare tanto in emissione, quanto in ricezione. Si hanno molte varietà con prestazioni assai diverse, essenzialmente dal punto di vista della loro capacità di irradiare e captare con diversa efficacia in ragione del loro orientamento rispetto alla congiungente la coppia di antenne. Dato che le tratte radio utilizzano lo stesso spazio, è necessario porre molta attenzione alle interferenze, affinché si faccia il migliore uso di tale risorsa naturale comune e scarsa: uno dei provvedimenti più diffusi è la assegnazione a ciascun portante radio di una radiofrequenza fc, accuratamente individuata entro lo spettro delle applicazioni radio esteso da poche decine di kHz ad alcune decine di GHz, al centro di un intervallo di larghezza B più limitata possibile tenuto conto della applicazione (si ha B«fc, anche per più di un ordine di grandezza).

7.2 INTRODUZIONE AI MEZZI TRASMISSIVI REALI Nel paragrafo 7.1 sono state individuate le due fondamentali categorie in cui possono essere distinti i mezzi trasmissivi, ossia le linee di trasmissione e le tratte radio, rispettivamente anche denominati portanti fisici e portanti radio. Si distinguono per il diverso meccanismo tramite il quale il segnale transita lungo il mezzo trasmissivo: si hanno infatti le due possibilità di

propagazione e.m. guidata secondo la coordinata longitudinale che segna il percorso o di propagazione e.m. libera nello spazio interposto tra una coppia di antenne. Nel seguito ci si propone di affrontare l’analisi dei mezzi trasmissivi impiegabili nel trasferimento elettromagnetico della informazione, tenendo in conto le imperfezioni che possono manifestarsi nei casi effettivi e le loro conseguenze sui segnali trasmessi. Si dà per scontata la conoscenza delle pertinenti nozioni basiche di elettromagnetismo, anche se non mancano alcuni richiami, giustificati

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167 per motivi di notazione e per comodità di disporre in modo immediato delle espressioni che esprimono le definizioni e le proprietà fondamentali. Saranno considerati nell’ordine i mezzi portanti fisici metallici, concentrando l’attenzione sulle strutture costituite da coppie di conduttori isolati da dielettrico (paragrafo 7.3), i mezzi portanti fisici ottici, costituiti da strutture composte esclusivamente di dielettrici (paragrafo 7.4), e infine le tratte radio (paragrafo 7.5). Alcune precisazioni e dimostrazioni sono raccolte in una appendice (appendice A5), articolata in paragrafi.

7.3 MEZZI TRASMISSIVI METALLICI

7.3.1 Struttura delle coppie metalliche Quando le distanze da coprire tra due terminali fissi siano modeste e i segnali abbiano banda utile non molto estesa, si ricorre spesso all’impiego di un mezzo portante fisico costituito da una coppia di conduttori metallici, isolati tra loro, posati lungo il tracciato del percorso stabilito tra i terminali. Di norma la sezione è invariata, sia nella geometria che nei materiali: un tale tipo di struttura è denominata linea di trasmissione uniforme a coppia metallica o più semplicemente coppia metallica. Nel seguito si presuppone che la struttura sia cilindrica lungo lo sviluppo longitudinale, in modo da potere adottare una coordinata rettilinea z; anche se il tracciato effettivo è spesso curvilineo, il suo raggio di curvatura è infatti sufficientemente grande da potere assumere che il comportamento e.m. della linea sia equivalente a quello che si avrebbe qualora essa fosse posata secondo una unica direzione. Le versioni più comuni di linee metalliche sono la coppia simmetrica (vedi Figura 7.5a), comunemente denominata anche linea bifilare o doppino, e la coppia coassiale (vedi Figura 7.5b). Nel primo caso si ha un esempio di struttura aperta, con un campo e.m. (e.m. = elettromagnetico) che si estende in teoria in tutto lo spazio; il secondo caso appartiene invece alla categoria delle strutture chiuse, in cui il campo e.m. si assume confinato all’interno di un conduttore cavo, con effetto di schermo anche nei riguardi di eventuali altri campi e.m. generati all’esterno della coppia da fenomeni naturali o artificiali non correlati alla trasmissione desiderata; mirando ai benefici derivanti dalla schermatura, si impiega anche il doppino schermato (vedi Figura 7.5c), altro esempio di struttura chiusa.

D

Dd

d

a) b) c) Figura 7.5: Coppie metalliche, di tipo simmetrico aperto (a), coassiale (b) e simmetrico chiuso (c)

I dati strutturali della coppia sono quelli dei materiali, ossia la costante dielettrica I (o quella relativa Ir!I /I0) e la permeabilità magnetica µ = µ0 dell’isolante (1) e la conducibilità J e la permeabilità magnetica µm del conduttore, e quelli relativi alla geometria della sezione: il diametro comune d e l’interasse D dei fili nella coppia simmetrica oppure il diametro esterno d del conduttore interno, il diametro interno D del conduttore esterno e lo spessore s di quest’ultimo nella coppia coassiale. Per garantire la uniformità, ossia la invarianza della sezione di una coppia bifilare, i conduttori sono a volte immersi in un materiale plastico isolante (ad esempio polietilene, con Ir = 2,26). Più comunemente, sono circondati entrambi da una guaina a spessore costante di tale materiale e quindi intrecciati; il loro avvolgimento a spirale ha anche l’importante funzione di protezione nei

(1) I valori nel vuoto sono I0 = (36!)-1

10-9 [F/m] e µ0= 4! 10-7 [H/m].

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168 riguardi dei disturbi, ottenuta per compensazione degli effetti indotti sui due conduttori che ad ogni semipasso invertono la loro posizione relativa ai campi e.m. disturbanti. Il centraggio del conduttore interno di una coppia coassiale può essere ottenuto come mostrato in Figura 7.6, con dischetti di dielettrico (a), con un materiale plastico isolante avvolto a spirale (b) oppure pieno in modo da colmare interamente lo spazio tra i due conduttori (c); ammesso che il passo dei dischetti o della spirale sia sufficientemente breve, si può assumere che il dielettrico sia omogeneo, con costante dielettrica di valore intermedio tra quello dell’aria e del materiale isolante: si passa così dal un valore di Ir attorno a 1,1 al valore di 2,26, nel caso del polietilene pieno.

a) b) c) Figura 7.6: Sezione longitudinale di coppia coassiale con dischetti (a) e con spirale (b).

Alle soluzioni considerate corrispondono, nell’ordine, comportamenti elettromagnetici di minore qualità, ma in contropartita si acquisisce maggiore flessibilità meccanica della struttura, soprattutto se nel caso di dielettrico pieno il conduttore esterno viene realizzato in forma di calza di rame (fili di assai piccolo diametro intessuti secondo spirali controavvolgentesi). Solo per brevi lunghezze (di norma minori di 10 m) e nel caso di trasmissione di segnali in banda traslata ad altissima frequenza (di norma dell’ordine di grandezza di 1 GHz = 109 Hz ), si fa uso di guide d’onda metalliche, strutture chiuse con conduttore unico cavo, prevalentemente del tipo a sezione rettangolare come mostrato in Figura 7.7a; altre strutture guidanti di tipo aperto caratterizzate da costanti di attenuazione molto maggiori di quelle delle guide d’onda, come ad esempio la microstriscia (vedi Figura 7.7b), trovano impiego per lunghezze assai più brevi (di norma minori di10 cm). Per la scarsa o nulla rilevanza che tali strutture hanno nella funzione di mezzo trasmissivo (ben diverso è il loro ruolo come elementi di connessione nell’ambito degli impianti, degli apparati e addirittura dei circuiti integrati) nel seguito non verranno più prese in considerazione.

a) b) Figura 7.7: Guida d’onda metallica rettangolare (a) e microstriscia (b) .

7.3.2 Grandezze caratteristiche delle coppie metalliche

7.3.2.1 Impedenza caratteristica e costante di propagazione Le grandezze fondamentali atte a qualificare un tronco di linea di trasmissione a coppia metallica reale di lunghezza generica L possono essere desunte dall’esame del suo comportamento agli estremi. Assunto il comportamento perfetto, il mezzo considerato è rappresentabile tramite un quadripolo LT I simmetrico, passivo, adattato, caratterizzato quindi entro la banda utile del segnale trasmesso dalla funzione di trasferimento (vedi [5.4.10] e [5.4.11]):

[7.3.1] H(f, L) " H21(f, L) " H12(f, L) = e-!0L e- j 2 f L /v! , per fm * | f | * fM;

il modulo della funzione risulta dipendere unicamente dalla lunghezza del tronco tramite la legge esponenziale, dove il fattore 70 è la costante di attenuazione del mezzo perfetto, mentre l’argomento dipende invece proporzionalmente sia dalla lunghezza che dalla frequenza. La menzionata specificità è dovuta al meccanismo del trasferimento e.m. (e.m. = elettromagnetico) del segnale lungo il mezzo trasmissivo, che si ammette avvenga per propagazione guidata del solo

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169 modo fondamentale del tipo TEM (vedi appendice A5.1) secondo la coordinata longitudinale che segna il percorso. Nel caso di una coppia metallica reale, una volta accertata la propagazione unimodale, il tronco di linea è ancora rappresentabile con un quadripolo LT I, simmetrico e passivo, ma deve essere caratterizzato, per ogni frequenza almeno in banda utile e con riferimento a una resistenza R reale e costante, tramite una trasmettenza identica nei due versi, Hc(f, L) " H21(f, L) " H12(f, L), e una riflettenza comune alle due porte, Ac(f, L) " H11(f, L) " H22(f, L), in generale non più nulla. Facendo tendere L all’infinito, per effetto delle perdite Hc(f, L) tende a zero e il coefficiente di riflessione in entrata viene a coincidere con la riflettenza Ac(f, )), indipendentemente dal particolare coefficiente di riflessione del carico in uscita; in tali condizioni si ricava dalla [5.2.10] la impedenza della linea infinitamente lunga, denominata impedenza caratteristica in quanto tipica della sola struttura:

[7.3.2] Zc(f) = R 1+!c f,"( )1-!c f,"( )

.

Assunto che il tronco di linea sia adattato (Ac(f,))"0, ossia Zc(f)"R) e posta la sua funzione di trasferimento sotto la forma generica di esponenziale complesso, Hc(f, L) " e- (f ,L)! , imponendo che per ogni frequenza il comportamento di due tronchi in cascata di lunghezza z e L-z, con z positivo minore di L, sia identico a quella dell’intero tronco, si ricava che nell’esponente si ha la separazione delle variabili f e L:

[7.3.3] Hc(f, L) = e-!c f( )L ,

dove la grandezza complessa:

[7.3.4] Dc(f) = - 1L ln[Hc(f, L)],

indipendente dalla lunghezza L, è la costante di propagazione della coppia. L’attenuazione di inserzione del tronco di linea adattata risulta dalla costante di attenuazione della coppia, 7c(f) ! 0{Dc(f)}, tramite la relazione:

[7.3.5] Ac(f, L) = |Hc(f, L)|-2 = e2!c f( )L .

Nota la costante di fase della coppia, Cc( f ) ! 8{Dc(f)}, si ottengono poi il tempo di ritardo:

[7.3.6] trc(f, L) ! - arg Hc f, L( ){ }

2!f = !c f( )2"f L,

e il tempo di ritardo di gruppo:

[7.3.7] tc(f, L) ! - 12!

ddf arg Hc f, L( ){ }"# $% = 12!

d!c f( )df L.

Si noti che i due ritardi sono entrambi proporzionali alla lunghezza L; inoltre essi coincidono se e solo se la costante di fase è proporzionale alla frequenza; allora risultano indipendenti dalla frequenza. Una struttura per cui non è soddisfatta tale condizione viene qualificata come un mezzo trasmissivo dispersivo.

7.3.2.2 Velocità di fase e velocità di gruppo Dai rapporti tra la lunghezza del tronco e i tempi di ritardo dati dalle [7.3.6] e [7.3.7] risultano altre due grandezze indipendenti dalla lunghezza medesima e perciò tipiche della struttura: la velocità di fase:

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170

[7.3.8] vC (f) ! L!rc f,L( )

= 2!f"c f( )

,

e la velocità di gruppo:

[7.3.9] vc(f) ! L

!c f, L( )= 2!

d!c f( )df

"

#$

%

&'

-1

.

La velocità di gruppo nella coppia soddisfa sempre la condizione:

[7.3.10] vc(f) * c = 1µ0!0

< 3 .108 m /s ,

dove con c è indicata la velocità della propagazione e.m. nel vuoto. Le due velocità ovviamente coincidono e sono indipendenti dalla frequenza nel caso di costante di fase proporzionale alla frequenza, ossia di mezzo trasmissivo non dispersivo; il comune valore costante si indica con vc.

7.3.2.3 Lunghezza d’onda e lunghezza elettrica La grandezza, ancora tipica della struttura, definita dal rapporto:

[7.3.11] Kc(f) !2!"c f( )

,

prende il nome di lunghezza d’onda nella coppia. In regime armonico e a tempo costante essa misura di quanto occorre spostarsi lungo l’asse del mezzo trasmissivo affinché la fase dell’onda che si propaga abbia compiuto un angolo giro. Nel caso di mezzo trasmissivo non dispersivo, per il quale la costante di fase è proporzionale alla frequenza e si ha una unica velocità costante vc, la lunghezza d’onda è inversamente proporzionale alla frequenza: Kc(f) = vc/f. Con riferimento a un tronco di linea di lunghezza L, sono opportuni alcuni commenti sul prodotto:

[7.3.12] Cc(f) L = 2! L!c f( )

= 2!f L

v! f( ) ,

che si misura in radianti e viene denominato lunghezza elettrica del mezzo trasmissivo. Nell’impiego di coppie metalliche il valore assoluto della lunghezza elettrica è più significativo di quello della lunghezza fisica. Se ad esempio si verifica L « Kc(f), tanto da comportare lunghezza elettrica molto minore di un radiante, il tronco di linea può essere considerato più alla stregua di una semplice connessione metallica, che non come un mezzo trasmissivo; tenuto conto che la velocità di fase è spesso molto elevata (non molto minore di c < 3$108 m/s), quanto sopra può accadere anche per lunghezze fisiche dell’ordine del centinaio di metri, se le frequenze dei segnali da trasmettere sono dell’ordine del kHz. Si ha dunque a che fare davvero con un tronco di linea di trasmissione quando la lunghezza elettrica non risulti molto minore di un radiante; il tronco sarà poi elettricamente corto quando L sia dell’ordine di Kc(f) ed elettricamente lungo per L»Kc(f); per frequenze molto elevate (ordine del GHz) anche un tratto di un metro di coppia è dunque da considerare come un tronco di linea di trasmissione.

7.3.2.4 Parametri primari Si usa spesso caratterizzare una coppia metallica tramite quattro grandezze fisiche reali positive, denominate parametri primari della linea; essi sono: la resistenza assiale per unità di lunghezza, r [2/m], la induttanza assiale per unità di lunghezza, l [H/m], la conduttanza di dispersione trasversale per unità di lunghezza, g [2-1/m], e la capacità trasversale per unità di lunghezza,

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171 c [F/m]. Le grandezze considerate sono legate alle proprietà dei materiali impiegati e alla geometria della sezione; sono perciò di maggiore interesse per il progetto e la produzione della coppia. Come si vedrà nell’immediato seguito, i valori assunti da r risultano dipendere dalla frequenza quando si superino alcuni kHz, mentre i rimanenti parametri primari possono ritenersi costanti, almeno in prima approssimazione. Nel caso di coppie con conduttori ideali e con riferimento alla propagazione unimodale TEM (vedi appendice A5.1), il vettore Js della densità di corrente superficiale (misurata in A/m) è diverso da zero solo sulla superficie di separazione tra conduttore e dielettrico ed è diretto assialmente. Passando al caso reale monomodale con metalli a conducibilità J elevata, ma finita, quanto meno è alta la frequenza, tanto più le correnti hanno modo di scorrere anche all’interno dei conduttori: si ha allora, come grandezza fisica, il vettore JJ della densità di corrente volumetrica (misurata in A/m%), orientato come Js del corrispondente caso ideale e con intensità JJ che diminuisce con legge esponenziale reale allontanandosi dalla superficie, verso l’interno dei conduttori, come mostrato nell’esempio in Figura 7.8.

dielettrico

!

(0)"

C

J

0!

!

µ , "conduttore

m

m

Figura 7.8: Distribuzione esponenziale della corrente volumetrica nel conduttore.

Il fenomeno dell’addensamento, sempre crescente all’aumentare della frequenza, delle correnti di conduzione verso le superfici che separano i conduttori dai dielettrici entro cui avviene la propagazione si denomina effetto pellicolare. Il decadimento della intensità della densità di corrente volumetrica avviene in modo che essa si riduce di un fattore 1/e < 0,37 a una distanza dalla superficie, che prende il nome di spessore di penetrazione, data dalla:

[7.3.13] +m ! 1!µ "m f

,

dove f è la frequenza e J e µm sono la conducibilità e la permeabilità magnetica del conduttore. Nel caso più comune di conduttori in rame si hanno i valori J = 0,58 108 [2-1/ m] e µm = µ0 = 4! 10-7 [H/m]; dalla [7.3.13] si ottiene allora: +m (rame) = 0,066 / f e, quindi, i seguenti valori mostrati in Tabella 7.1:

Tabella 7.1: Parametri primari di una coppia metallica

f [kHz] 1 3 6 10 30 60 100 300 600 1000 +m[mm] 2,09 1,21 0,85 0,66 0,38 0,27 0,21 0,12 0,09 0,07

La tabella mostra che alle basse frequenze, ad esempio al di sotto di 10 kHz, la penetrazione della corrente nei conduttori è tale che, per le usuali dimensioni nelle applicazioni di trasmissione (ingombri delle sezioni dei conduttori di norma inferiori al millimetro) si può ammettere la ipotesi

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172 di distribuzione uniforme della densità di corrente volumetrica sulla sezione, anche per materiali ad alta conducibilità come il rame. Tale ipotesi non è invece affatto valida alle alte frequenze: +m si riduce addirittura a 1 µm a 4,4 GHz! Comunque, già a 60 kHz è sufficiente penetrare di appena 0,27 mm all’interno di un conduttore di rame per trovare una densità di corrente pari a 0,37 volte quella in superficie (la riduzione è a un decimo per una penetrazione di 0,62 mm). Alle basse frequenze, per cui di norma è trascurabile l’effetto pellicolare, la resistenza assiale unitaria di un singolo conduttore reale con sezione di area A e contorno di perimetro C risulta dalla nota relazione, ricavabile per f 9 0 (in corrente continua):

[7.3.14] rb1 = 1!A .

Per frequenze sufficientemente alte (per cui è valida la C+m << A), associando all’effetto pellicolare una sezione ridotta (vedi appendice A5.2) avente un’area equivalente in continua data dal prodotto del perimetro C per lo spessore +m, si ha invece:

[7.3.15] ra1 (f) = 1!C"m f( )

= 1C!µ"m f ,

e tenuto conto della [7.3.14]:

[7.3.16] ra1 (f) = rb1A

C!m f( ) = rb1

AC !µ "m f » rb1.

In contropartita dell’incremento della resistenza assiale unitaria, sempre alle alte frequenze, l’effetto pellicolare consente una efficace schermatura delle strutture chiuse, giacché anche piccoli spessori del conduttore esterno possono bastare a ritenerle impenetrabili da parte di eventuali campi e.m. generati al di fuori della linea. In particolare la struttura della coppia coassiale, così come quella del doppino schermato, è proprio motivata dalla possibilità di racchiudere il segnale utile in un volume che risulta ben protetto dalle interferenze, sempre che lo spessore del metallo sia sufficientemente maggiore di +m. Si noti in proposito dalla [7.3.13] che la schermatura alle basse frequenze, altrimenti poco efficace, può essere migliorata ricorrendo a materiali conduttori ad alta permeabilità magnetica avvolti in spessore sottile sul conduttore di rame esterno.

7.3.3 Comportamento delle coppie metalliche

7.3.3.1 Condizioni di Heaviside Come è stato evidenziato in precedenza, dal punto di vista della utilizzazione sono rilevanti la impedenza caratteristica, Zc(f), e la costante di propagazione, Dc(f), grandezze in generale complesse e dipendenti dalla frequenza, che vengono anche denominate parametri secondari della coppia. Volendo perseguire l’obiettivo di una trasmissione perfetta occorre dunque mirare ad ottenere che nella banda utile del segnale la linea reale abbia:

• impedenza caratteristica reale e costante, Zc(f) = R, • costante di attenuazione indipendente dalla frequenza, 7c(f) = cost, • costante di fase proporzionale alla frequenza, Cc(f) = 2!f/vc, con vc = cost.

Tra i parametri primari e quelli secondari valgono le note relazioni (vedi appendice A5.3):

[7.3.17] Zc(f) = r lg c+ j+ j!!

,

[7.3.18] Dc( f ) = 7c( f ) + jCc(f) = r +j! l( ) g+j!c( ) .

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173 A patto che la dipendenza dalla frequenza della resistenza assiale unitaria possa essere trascurata, ponendo r(f) < r(0) = rb, in base alla osservazione della [7.3.17] appare evidente la possibilità di conseguire l’obiettivo di una impedenza caratteristica reale e costante. Imponendo che si abbia Zc = R, ossia che il numeratore e il denominatore del radicando nella [7.3.17] soddisfino la relazione:

[7.3.19] rb + j % l= R2(g + j % c),

si ottengono le condizioni di Heaviside sui parametri primari:

[7.3.20] rg b = lc = R2 = Zc

2 .

Servendosi della [7.3.19] nella [7.3.18] si ricava immediatamente che una coppia per cui siano soddisfatte le condizioni di Heaviside, oltre ad avere impedenza caratteristica reale e costante, ha costanti di attenuazione e di fase date dalle:

[7.3.21] 7H = r bR = r g b , CH(f) = jR! l = 2!f l c .

Si può dunque asserire che un tronco di lunghezza L di una coppia che soddisfi le condizioni di Heaviside e abbia parametri primari tutti indipendenti dalla frequenza in una stretta banda assegnata mostra un comportamento perfetto, in quanto le riflettenze sono nulle e la funzione di trasferimento risulta (vedi [7.3.3]):

[7.3.22] HH ( f ) = e-!H f( )L = e b- Lr g e- j2 f L! lc .

Le considerazioni svolte ebbero in passato grande rilevanza nelle applicazioni della trasmissione telegrafica e telefonica a media e grande distanza su coppie simmetriche, con banda contenuta al di sotto di 4 kHz e conseguente ammissibilità pratica della ipotesi di indipendenza di r dalla frequenza. Il rispetto delle condizioni di Heaviside comportava comunque interventi di modifica sulle coppie simmetriche normalmente prodotte e installate a costi ottimizzati (1), con conseguente non trascurabile aumento del costo per unità di lunghezza. Con l’abbandono dell’impiego delle coppie metalliche per la trasmissione di segnali a banda stretta su distanze oltre qualche chilometro, le condizioni di Heaviside hanno perso rilevanza applicativa; infatti per tronchi di linea di lunghezza contenuta il comportamento imperfetto introduce effetti indesiderati, proporzionali a L, che risultano tollerabili.

7.3.3.2 Modelli asintotici a bassa e alta frequenza Di norma è possibile scegliere, senza particolari aggravi di costo, dei materiali isolanti di qualità tale da rendere trascurabile la conduttanza di dispersione trasversale unitaria; le [7.3.17] e [7.3.18] assumono pertanto le forme approssimate:

[7.3.23] Zc(f) < r l

c+ jj!

!,

[7.3.24] Dc(f) < j!c r+j! l( ) .

(1) Di norma si ottiene r/g >> l/c, stante i valori molto piccoli assunti da g; per soddisfare le [7.3.19] [5.2.19] si ricorreva all’aumento di l ottenuto avvolgendo un filo ferromagnetico sui conduttori di rame (metodo Krarup) o inserendo in serie delle bobine a distanza periodica molto minore della lunghezza d’onda (metodo Pupin).

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174 Al tendere a zero della frequenza, si può assumere r(f) < r(0) = rb >> %l, dove tenuto conto che i due conduttori della coppia, di sezione A1 e A2, sono percorsi in serie dalle correnti volumetriche si ha dalla [7.3.14]:

[7.3.25] rb = rb1 + r b2 = 1!A1 +AA A

2

1 2.

Trascurando allora j%l rispetto a r nelle [7.3.23] e [7.3.24], si perviene alle seguenti espressioni del modello asintotico a bassa frequenza:

[7.3.26] Zb(f) !rc

bj! = (1 - j ) r

c b

4! 1f

,

[7.3.27] Db(f) ! j b! cr = (1 + j ) ! f bcr ,

e quindi

[7.3.28] 7b( f ) = Cb(f) = ! cr b f .

Le [7.3.26] e [7.3.27] sono perciò ben lungi dal soddisfare le condizioni di trasmissione perfetta. Se invece si fa tendere la frequenza verso l’infinito, ammesso che risulti r( f ) « %l si può trascurare r rispetto a j%l nella [7.3.23] e assumere nella [7.3.24] l’approssimazione:

[7.3.29] 1+r f( )j! l < 1 - j

rl

(f )2! .

Si giunge allora alle seguenti espressioni del modello asintotico ad alta frequenza:

[7.3.30] Za ! lc

= R,

[7.3.31] Da (f) ! -!2 l c 1-jr f( )2! l

"

#$

%

&' ,

e quindi

[7.3.32] 7a(f) = 12 r f( )R , Ca(f) = 2!f l c .

Si noti che tanto la impedenza caratteristica Za, che la costante di fase Ca(f), assumono le medesime espressioni che avrebbero nel rispetto delle condizioni di Heaviside, senz’altro soddisfacenti le rispettive condizioni di trasmissione perfetta. Altrettanto non si può invece affermare per la costante di attenuazione, 7a( f ). Tenuto conto che i due conduttori della coppia, di sezione A1 e A2 e di perimetro C1 e C2, sono in serie, dalle [7.3.15] e [7.3.16] si ricava infatti:

[7.3.33] r( f ) < ra(f) = ra1(f) + ra2(f) = 1!"m

1C1+ 1C2

!"#

$%& = rb kr f ,

dove rb è dato dalla [7.3.25] e

[7.3.34] kr ! A1A2 C1+C2( )C1C2 A1+A2( )

!µ "m ,

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175 è una costante dipendente dai materiali e dalla geometria della sezione; dalla prima delle [7.3.32] si ha dunque:

[7.3.35] 7a (f) < 12 r bR kr f ,

che mostra una dipendenza proporzionale con la radice della frequenza. Si noti che per le frequenze, non troppo basse, per cui la [7.3.33] è validamente applicabile, l’effetto pellicolare impone che si abbia ra(f) » rb; di conseguenza risulta:

[7.3.36] kr f » 1.

7.3.3.3 Comportamento a banda larga È interessante analizzare i legami che intercorrono tra i due modelli asintotici, a bassa e alta frequenza. Si hanno le relazioni:

[7.3.37] Zb f( )Za

= (1 - j ) rc

b4!

1f

cl = (1 - j ) r

l b

4! 1f

,

[7.3.38] !b f( )!a f( )

= ! cr b f lc

2

kr r b 1f

= 1kr4! lr b

,

[7.3.39] !b f( )!a f( )

= ! cr b f 1

2! f l c =

rl

b4!

1f

.

Posto:

[7.3.40] fx ! rl

b4! ,

dalle precedenti si ricavano le più semplici forme:

[7.3.41] Zb( f ) = (1 - j ) ffx Za,

[7.3.42] 7b(f) = 1kr 1fx

7a( f ),

[7.3.43] Cb(f) = ffx Ca(f).

Dalla [7.3.43] si deduce che per f = fx si ha il comune valore Cb(fx) = Ca(fx) = X, per cui la grandezza fx definita tramite la [7.3.40] risulta essere la frequenza di incrocio delle costanti di fase dei due modelli. Nella Figura 7.9 sono tracciati con linea sottile gli andamenti di |Zc|/R, 7/X e C/X forniti dai due modelli asintotici al variare della frequenza normalizzata f/fx; sono poi riportati a tratto pieno gli andamenti delle medesime funzioni ricavabili dalle [7.3.17] e [7.3.18] con la r(f) effettiva.

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176

0,1 1 10

1

10 10

1

2

b

a

|Z |/Rc

f / fx0,10,1 1 10

1

10 10

b

a

f / fx

!

"

!/ "/X X,

0,1

100 100

0,1

a) b)

Figura 7.9: Andamenti asintotici (a tratto sottile) ed effettivi (a tratto pieno) del modulo della impedenza caratteristica (a) e delle costanti di attenuazione e di fase (b).

Si osserva in conclusione quanto segue: • i modelli asintotici in bassa e alta frequenza sono attendibilmente impiegabili solo quando la

frequenza fx risulti nettamente esterna alla banda utile del segnale da trasmettere; • il comportamento delle coppie metalliche alle alte frequenze è decisamente più prossimo a

quello perfetto, ma comporta attenuazioni maggiori; • nel campo di validità dei modelli la costante di attenuazione appare comunque variabile con

legge proporzionale alla radice quadrata della frequenza e, grazie alla [7.3.40], si constata che la crescita alle frequenze elevate avviene con un fattore costante minore di quello alle frequenze basse;

• il comportamento a banda larga delle coppie metalliche, con la frequenza fx interna alla banda utile del segnale da trasmettere, è marcatamente imperfetto.

7.3.4 Mezzi trasmissivi con coppie simmetriche

7.3.4.1 Coppia simmetrica Si abbia una coppia simmetrica con diametro dei fili d, distanza tra gli assi D, conduttori in rame con J = 0,58 108 [2-1/ m] e µm = µ0 = 4! 10-7 [H/m], e isolante di costante dielettrica relativa Ir = I /I0, dove I0 = (36!)-110-9 [F/m]. Dato che per le sezioni e i perimetri dei due conduttori si hanno le:

[7.3.44] A1 = A2 = !d2

4 , C1 = C2 = !d,

dalle [7.3.25] e [7.3.33] si ottiene:

[7.3.45] rb = 1!8!d2

;

[7.3.46] ra(f) = 1!

!µ "m f 2!d

= 2 µ0!"

1df ;

ammesso che sia D»d/2, si hanno poi le seguenti espressioni approssimate degli altri due parametri primari significativi (si rammenta che g può essere trascurato):

[7.3.47] l < µ!o ln(2D/d),

[7.3.48] c < !"0"rln 2D/d( )

.

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177 Da tali ultime espressioni risulta l’impedenza caratteristica ad alta frequenza (vedi [7.3.30]):

[7.3.49] Za = lc

< 1!

µ0!0

1!rln 2D

d"

#$

%

&' = 120

!rln 2D

d"

#$

%

&' ;

si calcola infine dalla [7.3.40] la frequenza di incrocio:

[7.3.50] fx = r l

4b!

< 2!"µ0d

2ln 2D/d( ).

Scegliendo a titolo di esempio i valori 2D/d = 5 [ln(2D/d) = 1,61] e Ir=2,26 (polietilene), per alcuni valori molto comuni del diametro d si calcolano i valori mostrati in Tabella 7.2 della resistenza assiale unitaria in continua, della induttanza assiale unitaria, della capacità trasversale unitaria, della impedenza caratteristica ad alta frequenza e della frequenza di incrocio.

Tabella 7.2: Parametri caratteristici di una coppia simmetrica

d [mm] 0,4 0,6 0,9 rb [2 / km] 275 122 44 l [mH / km] 0,64 c [nF / km] 40

Za [2] 128 fx [kHz] 33,8 15,0 6,7

I dati dell’ultima riga mostrano come nella più diffusa applicazione della coppia simmetrica, ossia per il collegamento di terminali con trasmissione di segnali entro la banda 300 - 3.400 Hz, tipica della telefonia analogica, sia ammissibile il modello asintotico a bassa frequenza, con parametri primari indipendenti dalla frequenza. A partire dalla [7.3.41] e con i valori sopra considerati si hanno allora gli andamenti del modulo della impedenza caratteristica a bassa frequenza mostrati in Figura 7.10, sensibilmente variabili nella banda telefonica attorno a 600 2. A partire dalla [7.3.28] si hanno poi gli andamenti della costante di attenuazione e della costante di fase mostrati in Figura 7.11. Da essi si deduce che è sufficiente contenere opportunamente la lunghezza del tratto di coppia entro alcune centinaia di metri per poterlo considerare elettricamente corto, ossia con effetti praticamente trascurabili a riguardo della risposta in fase.

1

2

3

0f [kHz] 0 1 2 3 4

d = 0,4 mm

d = 0,6 mm

d = 0,9 mm

Z(f) [k ]!4

| |

Figura 7.10: Esempi di andamenti del modulo della impedenza caratteristica di coppie simmetriche

in bassa frequenza.

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178

0,1

0,2

0,3

0,4 (f) [rad/km]

1

2

3

(f) [dB/km]! "

00f [kHz] 0 1 2 3 4

d = 0,4 mm

d = 0,6 mm

d = 0,9 mm

Figura 7.11: Esempi di andamenti del modulo della impedenza caratteristica di coppie simmetriche

in bassa frequenza.

Nei casi in cui il tratto di coppia venga usato per distanze nettamente maggiori di quelle considerate oppure per la trasmissione di segnali con estremo di banda ben superiore a quello della banda telefonica, è necessario considerarne il comportamento senza assumere approssimazioni asintotiche.

7.3.4.2 Cavi a coppie simmetriche Molto frequentemente accade che numerosi collegamenti in coppia simmetrica abbiano in comune una parte del loro tragitto. Allo scopo di ridurre i costi di posa e installazione delle linee e di proteggere maggiormente il mezzo trasmissivo, si adottava nella parte comune del percorso la multiplazione di spazio delle coppie simmetriche, raccogliendole in una struttura cava, appunto denominata cavo a coppie simmetriche. La maggiore parte dei cavi a coppie simmetriche era destinata a percorsi cittadini, prevedendo prevalentemente una posa interrata. Nel passato più lontano si impiegavano cavi contenenti moltissime coppie (alcune migliaia) per i collegamenti di giunzione tra nodi di commutazione urbana; in tempi più recenti i cavi, costituiti da alcune centinaia di coppie, venivano posati solo per disporre dei collegamenti tra le centrali di commutazione e i terminali di utente: la struttura di uno di tali cavi è mostrata in Figura 7.12. In esso 10 coppie simmetriche con d = 0,4 mm e isolate con polietilene compatto vengono cordate, ossia avvolte a spirale, a formare un sottogruppo; 10 sottogruppi cordati formano poi un gruppo di 100 coppie e 8 di tali gruppi vengono raccolti in un unico cavo a 800 coppie.

guaina

polietilene

alluminio nastro di

nastro di acciaio

800 coppie47 mm

12 mm

71 mm

Figura 7.12: Cavo a 800 coppie simmetriche.

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179 È da rimarcare che nell’affasciamento di più conduttori si ha l’alterazione della capacità trasversale per unità di lunghezza rispetto al valore riscontrabile nella coppia isolata, nel senso di un suo aumento. Ad esempio nel caso di diametro dei fili d = 0,4 mm si ottiene c = 50 nF/km.

7.3.5 Mezzi trasmissivi con coppie coassiali

7.3.5.1 Coppia coassiale Si abbia una coppia coassiale con diametro esterno d del conduttore interno e diametro interno D del conduttore esterno, entrambi in rame con J = 0,58 108 [2-1/m] e µm = µ0 = 4! 10-7 [H/m], e isolante di costante dielettrica relativa Ir = I/I0 Il maggiore costo di tale struttura chiusa rispetto a quella bifilare può essere giustificato solo dalle migliori prestazioni, ottenibili grazie alla schermatura: è allora necessario che lo spessore di penetrazione +m sia minore dello spessore s del conduttore esterno, condizione che alla luce della [7.3.13] può essere soddisfatta con piccoli valori di quest’ultimo a patto che la coppia sia impiegata per la trasmissione di segnali con frequenza minima superiore a qualche decina di kHz. Nel seguito si farà pertanto riferimento alla resistenza assiale unitaria ad alta frequenza ra(f), espressa dalla [7.3.33]. Dato che per le sezioni e i perimetri dei due conduttori si hanno le:

[7.3.51] A1 = !d2

4 , A2 < !sD , C1 = !d , C2 = !D,

dalla [7.3.33] si ottiene:

[7.3.52] ra( f ) = 1!

!µ "m f d DdD+!

= µ!"o 1+ / dDD

f ,

mentre il valore in continua risulta dalla [7.3.25]:

[7.3.53] rb < 1!

d Dd D

2

2+ 4ss!

= 1!

4 1+d2 /4sD( )

!d2;

si hanno poi le seguenti espressioni approssimate degli altri due parametri primari significativi (si rammenta che g può essere trascurato):

[7.3.54] l < µ!o

2 ln(D/d),

[7.3.55] c < 2!"0"rln D/d( )

.

Da tali ultime espressioni risulta l’impedenza caratteristica ad alta frequenza (vedi [7.3.30]):

[7.3.56] Za = lc

< 12!

µ0!0

1! r

ln(D / d) = 60! r

ln(D/d);

si calcola infine dalla [7.3.40] la frequenza di incrocio:

[7.3.57] fx = r l

4b!

< 2 1+d2 /4sD( )!"µ0d

2ln D/d( ).

Rammentando le [7.3.32], si ricavano le costanti di attenuazione e di fase del modello asintotico valido per f » fx:

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180

[7.3.58] 7a(f) = !"0#

1+D/dDln D/d( )

! r f ,

[7.3.59] Ca(f) = 2!f µ0!0 ! r = ! r C0(f),

essendo C0( f ) ! 2!f /c la costante di fase intrinseca del vuoto. Si lascia al lettore la dimostrazione che la costante di attenuazione al variare del rapporto D / d risulta minima per il valore ottimo:

[7.3.60] (D/d)0 < 3,6 ,

che viene pertanto di norma adottato nella costruzione della coppia coassiale. Per le [7.3.56] e [7.3.58] si possono allora adoperare le formule pratiche:

[7.3.61] Za < 77! r

,

[7.3.62] 7a(f) < 2 48,D

! r f 10-9[Nep/m] = 2 15,D

! r f 10-8[dB/m].

Dalla [7.3.62] risulta inoltre che una coppia coassiale costruita con l’intento di minimizzare le perdite ha la struttura mostrata in figura 5.2.a; infatti con il centraggio del conduttore interno tramite dischetti dielettrici si riescono a ottenere valori della costante dielettrica relativa equivalente attorno a 1,1, che sono assai prossimi al valore minimo unitario. Tale tipo di coppia, ottima per la trasmissione a grande distanza di segnali del tipo in banda base, ha allora una impedenza caratteristica Za < 75 2. La coppia coassiale che è stata maggiormente impiegata nella trasmissione a grande distanza, del tipo a dischetti dielettrici, ha i parametri strutturali:

d = 2,6 mm, D = 9,5 mm, s = 0,254 mm, Ir < 1,07; sono state anche usate le coppie, sempre con dischetti dielettrici, con parametri strutturali:

d = 1,2 mm, D = 4,4 mm, s = 0,180 mm, Ir < 1,15, d = 0,7 mm, D = 2,9 mm, s = 0,100 mm, Ir < 1,40,

denominate rispettivamente “mini-coassiale” e “micro-coassiale”. Il lettore può verificare che i valori scelti soddisfano sostanzialmente la [7.3.60]; applicando le [7.3.53] - [7.3.57] risultano i valori mostrati in Tabella 7.3.

Tabella 7.3: Parametri caratteristici di una coppia coassiale

d [mm] - D [mm] 0,7 - 2,9 1,2 - 4,4 2,6 - 9,5 rb [2 / km] 64 22 5,5 l [mH / km] 0,28 0,26 0,26 c [nF / km] 55 49 46

Za [2] 72 73 75 fx [kHz] 17,8 6,8 1,7

I dati dell’ultima riga mostrano che il buon comportamento tipico del modello asintotico ad alta frequenza, con impedenza caratteristica quasi costante e costante di fase praticamente proporzionale alla frequenza, è ottenibile in effetti purché i segnali trasmessi nelle coppie coassiali considerate abbiano spettri con frequenza minima sufficientemente maggiore della frequenza di incrocio. Si osserva inoltre che se tale condizione non è rispettata gli spessori del conduttore esterno non hanno sufficiente effetto di schermo.

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181 Nelle applicazioni su percorsi brevi, tanto per segnali in banda base (ad esempio in reti locali), quanto per segnali in banda traslata (tipicamente per collegamenti tra antenne e apparati), si preferisce che la coppia coassiale goda di una buona flessibilità meccanica, offerta dalla struttura mostrata in figura 5.2.c, con dielettrico pieno; assumendo che esso sia il polietilene, che ha Ir = 2,26, si ha in tale caso dalla [7.3.61] una impedenza caratteristica Za<50 2. Quando i segnali siano in banda traslata a frequenza molto alta (ordine del GHz), per contenere il forte aumento della costante di attenuazione (vedi [7.3.62]) può risultare conveniente la tendenza ad aumentare la dimensione della sezione, sempre nel rispetto della [7.3.60], sopportando il maggiore costo per unità di lunghezza che ne deriva. In tale prospettiva occorre tuttavia tenere presente che è comunque opportuno rimanere in regime di propagazione unimodale, soddisfando la condizione:

[7.3.63] ft = ct! < 2c

! d+D( ) "r > f ,

dove ft è la frequenza di taglio del primo modo superiore nel cavo coassiale. Si noti che con i valori sopra considerati si ottiene fD < 108 , ossia D < 10 mm per f=10 GHz.

7.3.5.2 Cavi a coppie coassiali Nel passato la coppia coassiale è stata largamente impiegata come mezzo trasmissivo per collegamenti a grande distanza, su lunghezze anche di alcune migliaia di chilometri, con segnali del tipo in banda base sia analogici che numerici. Per la esigenza di disporre di almeno due coppie, da dedicare ai due versi delle comunicazioni tipicamente bidirezionali come la telefonia, ma soprattutto per aumentare la capacità di trasporto in direttrici ad alto traffico era prassi comune raccogliere una pluralità di coppie coassiali all’interno di un struttura cava, appunto denominata cavo a coppie coassiali o semplicemente cavo coassiale. I cavi coassiali trovavano largo impiego per disporre di collegamenti di giunzione tra i nodi principali delle reti nazionali, oltre che per realizzare collegamenti internazionali, continentali e transoceanici. Nelle direttrici nazionali a maggiore traffico la multiplazione di spazio, che inizialmente riuniva quattro coppie coassiali, si è spinta fino a raccogliere una ventina di esse. Un esempio tipico di un cavo di tale tipo, per posa interrata, è quello mostrato in Figura 7.13, contenente 16 coppie isolate a dischetti con dimensioni d=2,6 mm e D=9,5 mm. Si può notare come la struttura sia adeguatamente protetta, oltre che da un rivestimento plastico, da una guaina in alluminio corrugato che assicura buone proprietà meccaniche pur consentendo una certa flessibilità. Negli interstizi tra le coppie coassiali e le nastrature erano spesso alloggiate anche alcune coppie simmetriche cordate assieme due a due, denominate bicoppie.

guaina in plastica

guaina in alluminiocorrugato

nastrature

Figura 7.13: Cavo a 16 coppie coassiali per installazione sotterranea.

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182 7.4 MEZZI TRASMISSIVI OTTICI

7.4.1 Struttura delle fibre ottiche Nella trasmissione a distanza di segnali con banda utile molto estesa è assai frequente l’impiego di un mezzo portante fisico basato su una struttura interamente isolante. Nella soluzione tipica mostrata in Figura 7.14, a salto di indice (“step index”), essa è costituita da due materiali dielettrici separati da una unica superficie cilindrica, a sezione circolare di raggio a, che delimita il nucleo interno (“core”), con costante dielettrica relativa Ir1=I1/I0 e indice di rifrazione n1= ! r1 , dal mantello che lo circonda (“cladding”), con costante dielettrica relativa Ir2= I2/I0 e indice di rifrazione n2= ! r2 di valore poco minore di n1. L’effetto di guida del campo e.m. da parte della superficie di discontinuità è ottenibile anche con differenze assai piccole degli indici di rifrazione, caso in cui la struttura è denominata guida d’onda dielettrica lieve uniforme; si fa nel seguito esclusivo riferimento alla differenza relativa degli indici di rifrazione:

[7.4.1] > ! n12 - n2 n

22

22 < n1 - nn

2

2 << 1,

con valori pratici non superiori a 1%. Entrambi i materiali hanno permeabilità magnetica, µ1= µ2= µ0= 4! 10-7 [H/m], uguale a quella del vuoto.

1 n 22a

2d

n 1

a

d

n

r

b)a)

0

z

Figura 7.14: Fibra ottica con sezione a simmetria circolare (a), e profilo teorico dell’indice di

rifrazionenlungo il raggio (b).

La struttura schematizzata in Figura 7.14, con sezione invariante in senso longitudinale ed estensione trasversale finita del mantello, è usualmente denominata fibra ottica, date le sue piccolissime dimensioni trasversali (di norma 2d = 125 µm) e l’uso di frequenze prossime a quelle dello spettro visibile. Nell’ambito del processo di produzione la fibra ottica viene ricoperta con un rivestimento dielettrico, opaco alle frequenze impiegate, che oltre ad assicurare una completa schermatura alla frequenze interessate ha il compito di consentire una migliore maneggevolezza del mezzo trasmissivo, altrimenti molto fragile; il diametro esterno risulta così raddoppiato. La fibra ottica a salto di indice di rifrazione viene in effetti realizzata con un profilo dinnon discontinuo, ma raccordato in modo continuo tra i valori n1 e n2 entro un breve intervallo centrato sul raggio teorico a del nucleo. Il comportamento non è tuttavia molto discosto da quello deducibile con il modello teorico a salto di indice. Gli approfondimenti sugli effetti di particolari profili dell’indice di rifrazione, sempre del tipo con transizione quasi brusca tra nucleo e mantello oppure con profilo graduale (in inglese “graded index”), esulano dallo scopo delle presenti note. Nonostante che il percorso effettivo della fibra ottica sia in generale curvilineo, si assume in seguito che la struttura sia cilindrica lungo il suo sviluppo assiale, in modo da potere adottare una coordinata rettilinea z: i raggi di curvatura dell’asse sono infatti abbastanza grandi da potere assumere che il comportamento e.m. della struttura sia equivalente a quello che si avrebbe qualora essa fosse posata lungo una retta.

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183 7.4.2 Grandezze caratteristiche delle fibre ottiche

7.4.2.1 Modi guidati La fibra ottica è una struttura aperta, con campo e.m. che si estende in teoria in tutto lo spazio dielettrico, non omogeneo. Tuttavia nelle condizioni di impiego il campo e.m. guidato è in pratica prevalentemente concentrato nella regione del nucleo, di raggio a, in modo che nel mantello i valori del campo risultano trascurabili a distanze dall’asse minori del raggio, d, della superficie cilindrica che lo delimita; ciò rende lecita la ipotesi di mantello indefinitamente esteso in senso trasversale. Una fibra ottica ideale con mantello praticamente illimitato può consentire la propagazione di una pluralità di modi guidati, a patto che la frequenza sia maggiore delle frequenze di taglio di questi ultimi. A tale proposito è usuale fare riferimento alla frequenza normalizzata, definita per una struttura nota dalla:

[7.4.2][5.3.2] V ! a % µ0 !1-!2( ) = a k n - n12

22 = a k n2 2! ,

dove k è la costante di fase intrinseca (numero d’onda) del vuoto,

[7.4.3][5.3.3] k ! % µ0!0 = 2! fc = 2!"

,

essendo K = c / f la lunghezza d’onda nel vuoto (c < 3$108 m /s). Utilizzando la [7.4.2] si ha il vantaggio che le frequenze di taglio normalizzate, Vti, dei modi guidati sono espresse tramite numeri noti: in particolare il modo fondamentale ha frequenza di taglio nulla, mentre per il primo modo superiore si ha Vt1= 2,405 (vedi appendice A5.4). In generale in un tronco di lunghezza L di fibra ottica che operi alla frequenza f in regime multimodale occorre fare riferimento, oltre che alla costante di fase C0(f) del modo fondamentale, a tutte le costanti di fase, Ci( f ), degli altri m modi superiori che si possono propagare nella struttura priva di perdite, ossia per cui le frequenze di taglio normalizzate Vti risultano minori di V. Ad ogni frequenza non inferiore a quella di taglio ciascuna delle grandezze considerate risulta compresa entro i limiti espressi mediante la relazione (vedi [A5.4.1]):

[7.4.4] k( f ) n2 * Ci ( f ) * k( f ) n1, i = 0 ,1, 2,.., m ,

dove kn2 e kn1 sono le costanti di fase intrinseche del dielettrico illimitato rispettivamente con indice di rifrazione n2 e n1. Per ciascuno dei modi il primo segno di uguaglianza nella [7.4.4] si verifica al taglio, ossia si ha Ci(fti) = k(fti) n2; il secondo si ha per f 9 ), ossia per f » fti si ha in pratica Ci(f) < k(f)n1. Nel caso di fibra ottica reale la propagazione del modo i-esimo può essere caratterizzata con buona approssimazione tramite la costante di propagazione complessa:

[7.4.5] Di(f) = 7i(f) + j Ci(f), i = 0 ,1, 2,.., m,

assumendo che la costante di fase Ci( f ) ! 8{Di(f)} sia quella del corrispondente modo della struttura idealizzata e dove la costante di attenuazione 7i(f) ! 0{Di(f)} tiene conto delle reali condizioni.

7.4.2.2 Costante di fase normalizzata e ritardo di gruppo specifico Si osservi che in una fibra ottica a piccolo salto di indice, in cui sono assai prossimi i due indici di rifrazione (vedi [7.4.1]), dalla limitazione [7.4.4] risulta che l’andamento della costante di fase Ci(f) del generico modo guidato si discosta assai poco da quello della costante di fase intrinseca kn2. Le differenze, per quanto molte piccole, vengono tuttavia esaltate dai valori molto grandi delle lunghezze elettriche Ci(f)L, calcolabili in prima approssimazione per mezzo della CiL < kn2L = 2!n2L / K con L enormemente maggiore di K.

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184 Allo scopo di rendere più evidenti gli scostamenti sopra menzionati si ricorre alla costante di fase normalizzata, definita tramite la espressione (vedi [A5.4.2]):

[7.4.6] bi ! !i2 - k n

k n - k n

222

212 2

22 < !i - knkn - kn

2

1 2 , per i = 0 ,1, 2,.., m;

si ottiene infatti per ogni modo una diversa funzione bi(f), che grazie alla [7.4.4] varia dal valore 0 alla frequenza di taglio al valore 1 per f»fti. Risolvendo la [7.4.6] rispetto a Ci si ottiene la seguente relazione:

[7.4.7] Ci < k n2 + k bi (n1- n2), i = 0 ,1, 2,.., m,

che permette di risalire alla costante di fase una volta nota quella normalizzata. La deviazione dall’andamento non lineare della costante di fase è messa in evidenza tramite il ritardo di gruppo specifico (per unità di lunghezza) dello i-esimo modo guidato:

[7.4.8] ti ! dd

i!"

= 1cddki! , i = 0 ,1, 2,.., m.

In generale gli indici di rifrazione n1 e n2 dei dielettrici sono variabili con la frequenza, ma si può spesso ammettere che la variazione con la frequenza della loro differenza sia trascurabile; sotto tale ipotesi e con l’approssimazione dV/dk < V/ k, derivando la [7.4.7] si ricava la seguente espressione:

[7.4.9] ti < 1cd kn2( )dk + n c

1 - n2 d Vbi( )dV , i = 0 ,1, 2,.., m ,

dove la funzione d(Vbi)/dV assume per una stessa V valori diversi in dipendenza dal modo (vedi fig. A5.2.b), ma comunque compresi tra 0 e 2, tendendo a 1 per V»Vti. In base alla [7.4.9] e considerando anzitutto ciascun modo da solo, si osserva che il relativo ritardo di gruppo specifico non risulta costante con la frequenza: una fibra ottica è dunque soggetta comunque alla dispersione intramodale, anche se operante in regime monomodale, con il solo modo fondamentale. Si nota successivamente che i ritardi di gruppo specifici ti(fc) dei vari modi a una stessa frequenza portante fc = c/Kc non sono uguali tra loro: ciò conduce ad affermare che una fibra ottica che operi in regime multimodale mostra anche una dispersione intermodale. Il primo addendo del secondo termine nella [7.4.9] evidenzia un effetto di dispersione del materiale, che prende origine dalla identica dipendenza dalla frequenza (e quindi da k) degli indici di rifrazione n1 e n2 dei dielettrici; il secondo addendo esplicita un secondo effetto di dispersione di guida, tipico della propagazione guidata con modi non TEM. Si noti che quest’ultimo è l’unico responsabile della dispersione intermodale, poiché il primo effetto agisce ugualmente su tutti i modi.

7.4.2.3 Costante di attenuazione Il generico modo in una fibra ottica reale è caratterizzato, oltre che dalla costante di propagazione, da una costante di attenuazione:

[7.4.10] 7i ! - 12 ln

Pi-PpiPi

!

"#

$

%& < 12

PPpi

i ,

che tiene conto della assai piccola quota Ppi di potenza perduta in un percorso di lunghezza unitaria in ragione della potenza iniziale Pi dell’onda e.m.. La potenza perduta Ppi è dovuta a trasformazione di energia e.m. guidata che si converte in calore, con corrispondente attenuazione per assorbimento, oppure che si converte in energia e.m. di modi irradianti, con corrispondente attenuazione per irradiazione. In entrambi i casi si hanno sia cause intrinseche, legate ai materiali

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185 dielettrici, che estrinseche, connesse a impurità indesiderate nei materiali o a irregolarità nella geometria della struttura (principalmente la non rettilineità dell’asse). Ammettendo la medesima qualità nei due dielettrici di una fibra geometricamente perfetta, si perviene a costanti di attenuazione che alla frequenza assegnata assumono sostanzialmente il medesimo valore 7(f), indipendentemente dai modi, tranne che per un sensibile aumento nell’intorno delle frequenze di taglio(1). In una buona struttura reale, con mantello in vetro di silice assai puro e nucleo costituito dal medesimo materiale, ma opportunamente drogato allo scopo di ottenere la desiderata differenza dell’indice di rifrazione, la costante di attenuazione ha un andamento come quello mostrato nell’esempio in Figura 7.15, che palesa la convenienza ad applicare le guide dielettriche considerate impiegando segnali con lunghezze d’onda nell’intervallo spettrale del vicino infrarosso (frequenze dell’ordine di 3 1014 Hz).

0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 [ m] ! µ

" [dB/km]

diffusionedi Rayleigh

assorbimentiione ossidrile

assorbimentoultravioletto

assorbimentoinfrarosso

0

2

4

Figura 7.15: Costante di attenuazione in una fibra di vetro di silice.

La Figura 7.15 tiene conto delle seguenti cause di attenuazione intrinseca: • diffusione di Rayleigh con conversione in energia e.m. irradiante, secondo una legge

proporzionale a K-4, dovuta a fluttuazioni microscopiche dell’indice di rifrazione, • assorbimento nell’infrarosso con conversione in calore, dovuto a vibrazioni molecolari, • assorbimento nell’ultravioletto con conversione in calore, dovuto a transizioni elettroniche; tiene inoltre conto dell’attenuazione estrinseca per assorbimento con conversione in calore, dovuto a presenza di impurità (solo ione ossidrile OH-). Nella fase iniziale delle applicazioni nelle telecomunicazioni le fibre ottiche erano prodotte con maggiore attenuazione estrinseca per impurità indesiderate, con effetto più rilevante proprio in corrispondenza dei valori più bassi della attenuazione intrinseca. Fu allora scelto di operare in corrispondenza della lunghezza d’onda portante Kc< 0,85 µm, che si usa denominare 1a finestra, anche per la disponibilità di sorgenti ottiche direttamente funzionanti attorno a tale valore. In seguito ai decisi miglioramenti tecnologici dei processi produttivi le applicazioni si sono orientate prima verso la lunghezza d’onda Kc < 1,3 µm e poi Kc< 1,55 µm, rispettivamente denominate 2a finestra e 3a finestra: infatti in una fibra ottica attuale di buona qualità a tali valori corrispondono rispettivamente un minimo relativo e il minimo assoluto di 7(K) (vedi Figura 7.15).

7.4.2.4 Modello approssimato con l’ottica geometrica Limitatamente al caso di una fibra ottica a salto di indice di rifrazione con rapporto a / Ksufficientemente grande da permettere la propagazione di un numero molto elevato di modi

(1)In prossimità del taglio il campo si estende in quota considerevole nel mantello e il diametro esterno finito di quest’ultimo non rende più accettabile l’ipotesi di identica perdita intrinseca nei due dielettrici.

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186 (V » Vti = 2,405), si può ricorrere a un modello approssimato ottenibile applicando l’ottica geometrica.

n

n < nn = 1

!

!

! ! o

t 2 1

1 A

L

Figura 7.16: Raggi in una fibra ottica a salto di indice.

Con riferimento alla Figura 7.16, un raggio all’interno del nucleo subisce una riflessione totale sulla superficie di separazione tra nucleo e mantello, se l’angolo di incidenza & è maggiore dell’angolo limite &L, in corrispondenza del quale l’angolo &t del raggio rifratto nel mantello assume il valore ! / 2. Dalla legge di rifrazione di Snell:

[7.4.11] n1sin(&) = n2 sin(&t) ,

per &t= ! / 2 si ottiene per definizione:

[7.4.12] &L ! arcsin n2n1!"#

$%& ;

si ha quindi la propagazione guidata, con assenza di rifrazione nel mantello, se si considerano solo i raggi con & > &L, corrispondenti a quelli a monte della sezione iniziale della fibra ottica con angolo di incidenza minore del valore &A, ottenibile tramite la:

[7.4.13] sin(&A) = n1 sin !2 -"L!"#

$%& = n1 cos(&L) .

L’angolo &A è denominato angolo di accettazione della fibra; il seno di tale grandezza:

[7.4.14] sin(&A) = n1 cos arcsin n2n1!"#

$%&

'

()*

+, = n - n1

222 N.A. ,

è denominato apertura numerica (N.A. = Numerical Aperture). Si noti che la [7.4.2] può essere posta nella forma:

[7.4.15] V = 2!"

a N.A.

Accettando l’approssimazione dell’ottica geometrica, valida al limite per K 9 0, l’insieme dei modi guidati in numero finito molto grande risulta sostituito dall’insieme continuo dei raggi guidati, con & > &L. Il modello inoltre non tiene conto della propagazione guidata a frequenze molto lontane da quella di taglio: infatti solo in tale condizione si tende all’annullamento del campo e.m. nel mantello, che corrisponde all’assenza di raggi rifratti.

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187 7.4.3 Comportamento delle fibre ottiche a salto di indice

7.4.3.1 Comportamento in regime multimodale Per caratterizzare il comportamento di un tratto di lunghezza L di guida dielettrica reale in regime di propagazione multimodale, ossia di un tronco di fibra ottica multimodo, si ricorre alle costanti di propagazione [7.4.5], ma si deve anche valutare come il segnale di eccitazione nella sezione iniziale si ripartisce negli m +1 modi, così come questi ultimi concorrono alla formazione del segnale in uscita, nella sezione finale al termine del tronco. Con riferimento allo schema equivalente mostrato in Figura 7.17, in cui al mezzo ottico multimodale corrisponde una pluralità di diverse linee di trasmissione, si hanno di norma delle perdite di accoppiamento agli estremi, che possono essere valutate globalmente tramite una riflettenza H11m(f, L) e il coefficiente di riflessione del carico, e una trasmettenza complessiva:

[7.4.16] Hm( f , L) = !ie-"i f( )Le-j#i f( )L

i=0

m

$ ,

dove i coefficienti Li dipendono dalle effettive condizioni agli estremi. ( ) , L( ) , L( ) , L

( ) , L

!

!

!

!

1

2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

( ) ,( ) ,( ) ,

( ) ,

"

"

"

"

1

2

m m

ff

f

f

f f f

f

0 0

s (t) s (t) de du

re s (t)

Figura 7.17: Schema equivalente di un tronco di fibra ottica multimodo.

Dato che la trasmissione in una fibra ottica multimodo a salto di indice interessa una banda monolatera relativa, B/fc, estremamente piccola attorno a una precisata frequenza portante fc = c/Kc di valore estremamente elevato, per f < fc è lecito in prima approssimazione assumere Li costanti, trascurare la dipendenza dalla frequenza delle costanti di attenuazione ponendo:

[7.4.17] 7i(f) < 7i(fc) ! 7ic ,

e ignorare la dispersione intramodale linearizzando le costanti di fase:

[7.4.18] Ci(f) < Cic + 2!( f - fc) tic ,

dove si è posto Ci(fc) ! Cic e si è indicato con tic ! ti(fc) il ritardo di gruppo specifico dello i-esimo modo guidato, calcolato in fc. Posto Mi ! Lie ic- L! e ic- j L! , la risposta impulsiva trasmessa del quadripolo equivalente in banda base (vedi [5.4.9]) a partire da quello rappresentato dalla [7.4.16] diviene allora:

[7.4.19] hm (t) < F -1 ! ie-j2"fticL

i=0

m

!"#$

%&'

= ! "i ic

m( - L)t t

i=#0

, per |f| * B ,

che nonostante le semplificazioni introdotte rivela un comportamento imperfetto, causato dalla dispersione intermodale: con riferimento anche alla Figura 7.17, esso è dovuto alla combinazione all’estremo del tronco di fibra di più segnali che, pure avendo la medesima origine, hanno viaggiato con diversi ritardi di gruppo ticL; dalla [7.4.19] si ottiene infatti l’inviluppo complesso in uscita:

[7.4.20] sdu(t) = hm(t) $ sde(t) = !i ic

m( - L)s tde

it

="0

.

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188 Il difetto evidenziato nella [7.4.20] è valutabile qualitativamente tramite il valore massimo delle differenze (vedi [7.4.9]):

[7.4.21] >tij(fc) (tic – tjc) L < n c1 - n2

L d(Vbi)

dV Vc

- d(Vbj)dV

Vc

!

"##

$

%&&,

tra i ritardi di gruppo degli m modi che si possono efficacemente propagare alla frequenza normalizzata Vc, ottenibile dalla fc tramite la [7.4.2]. In base agli andamenti delle funzioni d(Vbi)/dV mostrati in figura A5.2, il massimo valore teorico della [7.4.21] risulterebbe >tM = 2 (n1

- n2)L/c; se però si escludono quei pochi modi più veloci per cui si verifica d(Vbi)/dV < 1 per Vti < Vc, dato che per essi l’attenuazione da valutare in prossimità del taglio risulta nettamente maggiore di quella degli altri modi, il valore massimo della [7.4.21] si ottiene in pratica dalla differenza tra il ritardo di gruppo del modo più lento di ordine elevato, per cui d(Vbi) /dV < 2, e quello del modo più veloce che sia lontano dal taglio, ossia il ritardo del modo fondamentale per cui si ha d(Vb0) /dV < 1; si assume dunque (vedi [7.4.1]):

[7.4.22] >tM < n c1 - n2 L(2 - 1) < n2c L> .

Indicati con tr1L ! n1L/c e tr2L ! n2 L/c i tempi di ritardo intrinseci dei due materiali dielettrici sul percorso di lunghezza L, risulta >tM < tr1L - tr2L , da cui non è però lecito dedurre che tr1L e tr2L siano il massimo e minimo ritardo di gruppo nel tronco di fibra. Il difetto evidenziato dalla [7.4.20] limita l’impiego delle fibre multimodo a salto di indice al caso di tronchi di lunghezza L abbastanza breve (dell’ordine di 100 m) da soddisfare la condizione >tMB«1, ossia:

[7.4.23] LB << cn2!,

in modo che per le frequenze in banda utile possano essere quasi trascurate le differenze tra i ritardi di gruppo, ossia l’effetto della dispersione intermodale risulti contenuto in limiti accettabili. Ricorrendo al modello approssimato con l’ottica geometrica e trascurando in modo analogo la dispersione del materiale, si ricava per il generico raggio guidato con angolo di incidenza & > &L il tempo di ritardo nel tronco di lunghezza L, coincidente per ipotesi con il ritardo di gruppo:

[7.4.24] trL(&) = ncsin

1( )! L;

considerando il percorso più lungo (& = &L) e quello più breve (& = ! / 2), si ha allora servendosi della [7.4.12] la differenza massima:

[7.4.25] >tM = nc n12

2 L - nc

1 L < nn1

2

n2c L>,

praticamente uguale alla [7.4.22]. Il risultato deriva dal fatto che l’approssimazione con l’ottica geometrica non tiene conto della propagazione in prossimità della frequenza di taglio e ciò corrisponde all’avere considerato nella [7.4.22] solo i modi per cui si ha d(Vbi)/dV ' 1.

7.4.3.2 Comportamento in regime monomodale Il comportamento di un tronco di guida dielettrica di lunghezza L diviene decisamente molto soddisfacente anche per notevole larghezza di banda monolatera utile B (dell’ordine del GHz), a

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189 patto di operare in regime di propagazione unimodale(1), ossia con frequenze (V<Vt1=2,405) che diano luogo alla propagazione del solo modo fondamentale. Si ha infatti in tale caso la scomparsa del dannoso effetto di dispersione intermodale, che altrimenti comporterebbe una severa limitazione del prodotto LB (vedi [7.4.23]), con la conseguente possibilità di estendere molto la lunghezza L (anche fino a 100 km). Diviene allora rilevante la dispersione intramodale, denominata anche dispersione cromatica, legata allo scostamento dalla linearità del ritardo di gruppo specifico (vedi [7.4.9] per i = 0) e perciò bene evidenziata tramite la derivata non nulla di quest’ultimo:

[7.4.26] s ! dtdi!

= 12cddk

2

2! < 12c

ddk

2

2(kn )2 + n

c k12- n2

VddV

2

2(Vb) ,

calcolata con le medesime approssimazioni che hanno condotto alla [7.4.9]. Grazie alla unimodalità, nello schema equivalente generale in Figura 7.17 resta una unica linea di trasmissione; si hanno ancora di norma delle perdite di accoppiamento agli estremi, che possono essere valutate globalmente tramite una riflettenza H11,0(f, L) e il coefficiente di riflessione del carico, mentre la trasmettenza del tronco di fibra ottica monomodo si semplifica nella:

[7.4.27] H0(f, L) = L0 e- (f ) L! e f- j ( ) L! ,

dove il coefficiente L0 dipende dalle effettive condizioni agli estremi. Dato che la trasmissione interessa una banda monolatera relativa B/fc che risulta comunque molto piccola dato il valore estremamente elevato della frequenza portante fc = c/Kc, per f attorno a fc ma con | f - fc| non del tutto trascurabile rispetto a fc è lecito ignorare la debole dipendenza dalla frequenza della costante di attenuazione (vedi Figura 7.15) ponendo:

[7.4.28] 7( f ) < 7( fc) !7,

ma non si può trascurare la dispersione intramodale. La costante di fase del modo fondamentale è comunque rappresentabile con buona approssimazione tramite lo sviluppo in serie di potenze di punto iniziale fc, troncato al secondo ordine:

[7.4.29] C(f) < Cc + 2!( f - fc)tc + 12 [2!(f - fc)]2sc, per |f - fc| * B/2,

dove Cc ! C(fc), tc ! t(fc) e sc ! s(fc). Posto M0 ! L0e- L! e c- j L! , il quadripolo equivalente in banda base (vedi [5.4.9]), a partire da quello rappresentato dalla [7.4.27], può essere scomposto in due elementi in cascata, come mostrato in Figura 7.18, ottenendo un quadripolo ideale con trasmettenza:

[7.4.30] H0 (f,L) = M0 e f tc- j L2! ,

avente ritardo di gruppo costante tcL e attenuazione anch’essa costante:

[7.4.31] A0 (f, L) = |H0 (f,L)|-2 = |L0|-2 e2!L ,

seguito da un quadripolo con trasmettenza avente attenuazione unitaria, ma non perfetto in argomento a causa della dispersione intramodale cui corrisponde un valore sc in generale non nullo:

[7.4.32] Hs(f, L) = e! j(2!f"ts )2,

(1) In seguito nella costante di propagazione e nelle grandezze ad essa legate viene omesso il pedice indicativo del modo fondamentale, non necessario in regime monomodale.

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190 dove la scelta del segno è determinata dal segno di sc e si è posto

[7.4.33] >ts ! | |s Lc2 .

s s (t) s (t)0

(t- L)ts (t) = o

!de du

res (t)

de c

o sH (f,L) H (f,L)

Figura 7.18: Schema equivalente di un tronco di fibra ottica multimodo.

Ammesso che il valore assoluto dell’esponente nella [7.4.32] risulti minore di 0,5, ossia che sia soddisfatta la condizione:

[7.4.34] 2!B>ts < 1, ??B;f??

è lecita l’approssimazione e jx2

< 1 + j 2 [1- cos(x)], in modo che la risposta impulsiva del quadripolo non perfetto risulta:

[7.4.35] hs(t) < F -1 1! j2 1-cos 2!f!ts( )"# $%{ }= !( t ) ! j 2!( t )-! t +!ts( )-! t -!ts( )"# $%

Indicato con s0(t) ! M0sde(t - tcL) l’inviluppo complesso in entrata, si ottiene in uscita:

[7.4.36] sdu(t) = hs(t) $ s0(t) = s0(t) ! j[2s0(t) - s0(t+>ts) - s0(t->ts)],

che al di là della deformazione messa in evidenza dal segnale additivo entro parentesi quadra, nel caso di durata limitata di s0(t) rivela un effetto di incremento della durata del segnale in uscita della quantità 2>ts, che nell’ambito di validità del modello deve rispettare la [7.4.34].

7.4.4 Mezzi trasmissivi con fibra ottica monomodo

7.4.4.1 Fibra ottica monomodo Nella trasmissione di segnali a banda larga tra punti fissi a grande distanza è senz’altro preferibile l’impiego della fibra ottica in regime unimodale, che soffre solo della limitazione comportata dalla dispersione intramodale o cromatica (vedi [7.4.26]). Per ottenere una bassa attenuazione (vedi [7.4.31]) si scelgono fibre con dielettrici di elevata qualità: di norma il mantello è in vetro di silice (Si O2 amorfo) assai puro, con indice di rifrazione n2 < 1,45 nel vicino infrarosso, e il nucleo è costituito dal medesimo materiale, opportunamente drogato con composti di boro, fluoro, germanio o fosforo allo scopo di ottenere la desiderata differenza relativa degli indici di rifrazione. Operando nella 2a finestra (Kc< 1.310 nm) oppure nella 3a finestra (Kc < 1.550 nm) si ottengono assai bassi valori della costante di attenuazione 7, rispettivamente attorno a 0,35 dB / km e 0,25 dB/km; a causa dell’andamento non rettilineo dell’asse reale della fibra ottica, con raggio di curvatura aleatorio continuamente variabile, la costante di attenuazione può subire incrementi attorno a 0,1 dB / km. Il rispetto della condizione di unimodalità della propagazione in una fibra ottica a salto di indice, espressa tramite la:

[7.4.37] V < Vt1 = 2,405,

dove Vt1 è la frequenza di taglio normalizzata del primo modo superiore, comporta che il raggio del nucleo rispetti la limitazione (vedi [7.4.2] e [7.4.3]):

[7.4.38] a < Vk

t1

2n2 ! < 0,19

!"

,

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191 avendo assunto che il materiale del mantello sia vetro di silice. Con valori della differenza relativa degli indici di rifrazione, >, attorno a 3‰ il raggio del nucleo di una fibra ottica monomodo operante in 2a o 3a finestra risulta allora attorno a 4 - 5 µm. Il diametro esterno del nucleo è tipicamente di 125 µm. Scelto il valore di Kc, in 2a o 3a finestra, il proporzionamento della fibra ottica a salto di indice risulta in base alle seguenti considerazioni sulla dispersione intramodale o cromatica. In luogo della grandezza s definita nella [7.4.26] è di sovente impiegato il coefficiente di dispersione cromatica della fibra ottica monomodale:

[7.4.39] D(K) ! dtdi!

= Dn2(K) + Dg(K) = - 2 2!"c

s,

semplicemente legato a s come mostrato nell’ultimo termine (vedi appendice A5.5). I due addendi nella espressione [7.4.26] divengono allora:

[7.4.40] Dn2(K) ! - !cd nd

222!

, Dg(K) ! - n c1 - n2!

VddV

2

2(Vb) ,

e sono rispettivamente denominati coefficiente di dispersione cromatica di materiale e coefficiente di dispersione cromatica di guida. Sempre nel caso di vetro di silice, il primo coefficiente è nullo attorno a 1.270 nm, è negativo per K inferiore e positivo per K superiore, come mostrato dalla curva tratteggiata in Figura 7.19; il secondo coefficiente, che dipende (vedi [7.4.1] e [7.4.2]) dalla differenza relativa degli indici di rifrazione, >, e dal raggio del nucleo, a, risulta invece sempre negativo in condizione di unimodalità, come appare anche dalla curva a tratto e punto in Figura 7.19. I valori dei due contributi sono tali da condurre alla esistenza di un punto di zero K0, in corrispondenza del quale risulta Dn2(K0) = - Dg(K0), ossia:

[7.4.41] D(K0) = -s(K0) = 0,

a patto che la lunghezza d’onda sia maggiore di 1.270 nm.

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 [ m] ! µ

10

20

-10

-20

1,7 1,8

D

D

D n

g

2

D [ps/nm km].

Figura 7.19: Coefficiente di dispersione cromatica in una fibra di vetro di silice e contributi di

dispersione di materiale (a tratteggio) e di guida (a tratto e punto).

Poiché le espressioni riguardanti la dispersione sono state ottenute introducendo delle approssimazioni, i piccoli errori che esse comportano non permettono di ricavare con esattezza il punto di zero K0. Con metodi di analisi più approfonditi, che tengono anche conto del reale profilo continuo dell’indice di rifrazione nel passaggio dal nucleo al mantello, è comunque possibile proporzionare la fibra ottica, ossia stabilire i valori di >e di a, in modo da ottenere il soddisfacimento della [7.4.16], che comporta l’assenza dei considerati effetti di dispersione del

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192 secondo ordine. Nel caso di impiego della fibra ottica in 3a finestra, per ottenere che K0 si sposti attorno a 1.550 nm si considerano spesso profili di indice opportuni, ottenendo strutture denominate fibre ottiche a dispersione spostata o fibre ottiche DS (Dispersion Shifted). Una fibra ottica ben progettata per una lunghezza d’onda Kc< K0 dà luogo a valori di D(Kc) minori di 3 ps/nm km, che in 3a finestra conducono a valori di sc inferiori a 0,4 10-26 s2/m. Dalla [7.4.33] con L = 100 km si ottiene allora >ts < 14 ps, che risulta in pratica trascurabile anche a fronte del brevissimo tempo di bit T = 400 ps, corrispondente al ritmo binario di 2,5 Gbit / s.

7.4.4.2 Cavi a fibre ottiche monomodo

7.4.4.3 Mezzi trasmissivi con fibra ottica multimodo

7.4.4.4 Fibra ottica multimodo proporzionamento del nucleo

7.4.4.5 Cavi a fibre ottiche multimodo

7.5 MEZZI TRASMISSIVI REALI CON PORTANTE RADIO qualcosa di simile a: Quando le distanze da coprire tra due terminali fissi siano contenute e i segnali abbiano banda utile non molto estesa, si ricorre spesso all’impiego di un mezzo portante fisico costituito da una coppia di conduttori metallici, isolati tra loro, posati lungo il tracciato del percorso stabilito tra i terminali. Di norma la sezione è invariata, sia nella geometria che nei materiali: un tale tipo di struttura è denominata linea di trasmissione uniforme a coppia metallica o più semplicemente coppia metallica. Nel seguito si presuppone che la struttura sia cilindrica lungo lo sviluppo longitudinale, in modo da potere adottare una coordinata rettilinea z; anche se il tracciato effettivo è spesso curvilineo, il suo raggio di curvatura è infatti sufficientemente grande da potere assumere che il comportamento e.m. della linea sia equivalente a quello che si avrebbe qualora essa fosse posata secondo una unica direzione. Assunto il comportamento perfetto, il mezzo considerato è rappresentabile tramite un quadripolo LTI simmetrico, passivo, adattato, caratterizzato quindi entro la banda utile del segnale trasmesso dalla funzione di trasferimento (vedi [3.4.10]): [4.4.1] H(f) = S21(f) = S12(f) = g(L) e- j 2 f L/v! , per fm * | f | * fM, dove in particolare il modulo della funzione di trasferimento risulta dipendere dalla lunghezza L del mezzo tramite la legge di proporzionalità inversa:

[4.4.2] g(L) = g(L1) rr1 ,

essendo L1 una distanza di riferimento (ad esempio r1 = 1 km). La menzionata specificità è dovuta al meccanismo della trasferimento e.m. (e.m. = elettromagnetico) del segnale lungo il mezzo trasmissivo, che si ammette avvenga per propagazione libera di una onda e.m. sferica (vedi appendice A4.5), nello spazio costituito da un dielettrico omogeneo, isotropo e privo di perdite.