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Fisica per MedicinaLezione 19 - Campo elettrico

Dr. Cristiano Fontana

Dipartimento di Fisica ed Astronomia “Galileo Galilei”Università degli Studi di Padova

24 novembre 2017

Indice

ElettromagnetismoCampo elettrostaticoTeorema di Gauss per il campo elettrostaticoCampo elettrostatico nei conduttori

2/28 FISICA PER MEDICINA Lezione 19 - Campo elettrico – Dr. Cristiano Fontana – 24 novembre 2017

Forza di Coulomb

Fb⃗aqa qb

qa > 0, qb < 0

Fa⃗b

x ⃗

r ⃗

Fb⃗aqa qb

qa < 0, qb < 0

Fa⃗b

r ⃗

La forza che due cariche elettricheesercitano una sull’altra incondizioni statiche è detta diCoulomb.

~Fab =1

4πε0

qaqb

r2~ur (1)

~Fba = − 14πε0

qaqb

r2~ur (2)

ove qi sono le cariche elettriche eε0 = 8.85 · 10−12 C/(N m2) è dettacostante dielettrica del vuoto.E.g. Due cariche di 1 C ad 1 m didistanza:∣∣∣~Fab

∣∣∣ = ∣∣∣~Fab

∣∣∣ ≈ 9 · 109 N (3)


Carica elettrica

La carica elettrica è misurata in Coulomb (C) ed è espressa in terminidell’unità fondamentale della corrente elettrica, l’Ampere (A):

[q] = C = A · s (4)

Sperimentalmente si vede che la carica elettrica è quantizzata, ovveroesiste solo come multiplo intero della carica fondamentaledell’elettrone:

e− = −1.6 · 10−19 C (5)


Campo elettrostatico I

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

1

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

-1

Similmente al campo gravitazionale possiamo definire il campoelettrostatico come il rapporto tra forza che subisce una carica diprova q ed il valore della carica stessa:

~E(~r)=

~F(~r)

q=

14πε0

Qr2~ur (6)


Campo elettrostatico IILinee del campo

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

1

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

-1

A differenza del campo gravitazionale che ha solo “cariche” positive (lemasse) il campo elettrico ha anche cariche negative, e quindi ladirezione del campo può essere entrante o uscente. Questo èrispecchiato dal fatto che la forza può essere attrattiva o repulsiva.Convenzionalmente il campo è uscente per cariche positive edentrante per cariche negative.


Campo elettrostatico IIIAnalisi dimensionale

L’unità di misura per il campo elettrostatico è

[E ] =[F ]

[q]=

NC

=kg m

s2 · 1A s

(7)

= V/m (8)

Generalmente lo si vede espresso come V/m.


Principio di sovrapposizione

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

1 -1

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

1 1

Come per il campo gravitazionale vale il principio di sovrapposizione,ovvero il campo di un insieme di cariche è la somma dei campi dellesingole cariche

~Etot =∑

i

~Ei (9)


Linee di campo

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

1

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

-1

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

1 -1

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

1 1

Le linee di campo sono delle linee tangenti in ogni punto al campoelettrostatico. Sono uscenti dalle cariche positive ed entranti in quellenegative.


Energia potenziale del campo elettrostatico I

Fb⃗aqa

qb

Fa⃗b

r ⃗

Calcoliamo il lavoro contro la forza elettrica perportare una carica qb da ∞ ad r0 rispetto ad unacarica qa lungo una direzione radiale

W =

∫ r0

∞

[1

4πε0

qaqb

r2

]~ur · d~r (10)

=qaqb

4πε0

∫ r0

∞

drr2 =

qaqb

4πε0

[−1r

]r0

∞(11)

= − 14πε0

qaqb

r0(12)

Ricordando che dU = −dW otteniamo l’energiapotenziale

U(r0) =1

4πε0

qaqb

r0(13)


Energia potenziale del campo elettrostatico II

U(r) =1

4πε0

qaqb

r(14)

Cariche con segni concordi (qa · qb > 0)U > 0: Le cariche si respingono ed il campo compie lavoro perallontanarle.

Cariche con segni discordi (qa · qb < 0)U < 0: Le cariche si attraggono e si parla di energia di legame, ovveroè necessario fornire energia alle cariche per allontanarle.


Energia potenziale su cammini non rettilinei

F ⃗F ⃗

F ⃗

F ⃗

Segmentoradiale

Arco

Il campo elettrostatico è un camporadiale come il campogravitazionale, quindi l’energiapotenziale dipende solo dallaposizione in cui è calcolata. Infattinel caso di spostamenti non radialisi ha

~ur · d~s = ~ur ·(d~sarco + d~sradiale

)(15)

= ~ur · d~sarco︸︷︷︸=0

+~ur · d~sradiale

(16)

= ~ur · d~sradiale (17)


Potenziale elettrostatico I

Possiamo calcolare il potenziale elettrostatico a partire dall’energiapotenziale, sempre considerando una carica di prova q:

V (r) =U(r)

q=

14πε0

Qr

(18)

L’unità di misura del potenziale è

[V ] =[U]

[q]=

kg · m2

s21

A s= V (19)


Potenziale elettrostatico IICalcoliamo il lavoro fatto dal campo in funzione del potenziale

dW = −dU = − [U (r + dr)− U (r)] (20)= −q [V (r + dr)− V (r)] = −q dV (21)

Ricordando la definizione di lavoro

dW = ~F · d~r = qE dx (22)

ed eguagliando le espressioni

qE dx = −q dV ⇒ E = −dVdx

(23)

in generale il campo elettrico è descritto da un vettore:

~E =

ExEyEz

, ove Ex = −dVdx

, Ey = −dVdy

, Ez = −dVdz

(24)


Superfici equipotenziali

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

1

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

-1

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

1 -1

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

1 1

Le superfici equipotenziali sono delle superfici sulle quali il potenzialeè costante

V (sup. equip.) = cost. (25)

Le superfici equipotenziali sono perpendicolari alle linee di campo.E.g. Per una carica puntiforme le superfici equipotenziali sono dellesuperfici sferiche centrate sulla carica.


Flusso del campo elettrostatico

M r ⃗

u⃗rg ⃗

⍺

ds ⃗

Calcoliamo il flusso del campoelettrostatico attraverso unasuperficie

dΦ = ~E · d~s (26)

=q

4πε0

~ur

r2 · d~s (27)

Φ =q

4πε0

∫S

~ur

r2 · d~s (28)


Flusso del campo su una superficie sferica IProdotto scalare con elementi di superficie

M r ⃗

g ⃗ ds∥⃗u⃗r

Similmente al campogravitazionale, nel caso di unasfera, centrata sulla sorgente, ilprodotto tra il versore del campo ele normali alla superficie ècostante.

~ur · d~s = ds, (29)

perché il campo è radiale. Quindi ilcalcolo del flusso si semplifica in

Φ =q

4πε0

∫S

dsr2 (30)


Flusso del campo su una superficie sferica IILegge dell’inverso del quadrato

S

r2r

4r

1u1u

1u

1u4u

16u

Similmente al campogravitazionale, il campo elettricodipende dall’inverso del quadratodella distanza, mentre l’area dellasuperficie dipende dal quadratodella distanza.

ds ∼ r2 (31)

E ∼ 1r2 (32)

Il prodotto tra campo ed elementi disuperficie quindi

E ds ∼ r2

r2 (33)


Flusso di un campo su una superficie sferica III

Ricordiamo l’espressione dell’elemento di superficie in coordinatesferiche per una sfera generica di raggio r

ds = r2 sin θ dθdφ (34)

Chiamando R il raggio della sfera, su cui calcoliamo il flusso, abbiamo

Φ =q

4πε0

∫S

dsR2 =

q4πε0

∫ ϕ=2π

ϕ=0

∫ θ=π

θ=0

R2

R2 sin θ dθ dϕ (35)

=q

4πε0

∫ 2π

0dϕ︸︷︷︸

=2π

∫ π

0sin θ dθ (36)

=2πq4πε0

∫ π

0sin θ dθ =

q2ε0

[− cos θ]π0 (37)

=qε0

(38)


Flusso di un campo su una superficie I

M

r ⃗

r≈⃗r'⃗

g ⃗

u⃗r

ds ⃗

α

u⃗r

ds ⃗

α

α

ds'

ds'⃗

ds

Ricordiamo il risultato ottenuto peril campo gravitazionale: nel caso disuperfici generiche ci si puòricondurre alla superficie sfericainterna ed il flusso risulta essere lostesso.


Flusso di un campo su una superficie II

q1 q2

q4

q3

Q = q1 + q2 + q3 + q4

Quindi per una generica superficieche racchiude un insieme dicariche q, il flusso del campogravitazionale è

Φ =qε0

(39)

=

∑i qi

ε0(40)

Questo risultato è indipendentedalla superficie e dalladistribuzione delle cariche al suointerno.La fondamentale differenza tracampo gravitazionale edelettrostatico è che perquest’ultimo le cariche possonoanche essere negative.


Esempi di superfici gaussiane I

S2

S1

S5

S4

S3

Φ =

∑i qi

ε0(41)

ΦS1 =(+1 C) + (−1 C)

ε0= 0 (42)

ΦS2 =−1 Cε0

(43)

ΦS3 = 0 (44)

ΦS4 =(+1 C) + (1 C)

ε0=

2 Cε0

(45)

ΦS5 =1 Cε0

(46)


Esempi di superfici gaussiane II

? ?

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

1-1

1

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

2 -1


Campo elettrostatico nei conduttori carichi I

Un materiale in cui le cariche sono libere di muoversi si diceconduttore.

++++++

+

+

++++

+++++

+

+

+

++

Ei⃗nt.= 0

Ee⃗xt.≠ 0

I All’interno di un conduttore in equilibrio~Eint. = 0, perché, se non fosse in equilibrio,le cariche si muoverebbero per effetto di ~E .

I ~E deve essere perpendicolare alla superficie(~E ⊥ ds), altrimenti le cariche simuoverebbero su di essa.

I ~E ⊥ ds implica che la superficie siaequipotenziale (ricordando che E = − dV

dx ).

I Se la superficie è equipotenziale e ~E = 0all’interno, allora tutto il conduttore è allostesso potenziale.


Campo elettrostatico nei conduttori carichi II

+ Ei⃗nt.≠ 0

F ⃗

Non equilibrio

+

Ei⃗nt.= 0

Equilibrio

All’interno di un conduttore in equilibrio ~Eint. = 0,perché, se non fosse in equilibrio, le cariche simuoverebbero per effetto della forza dovuta alcampo elettrostatico

~F = q~E . (47)


Campo elettrostatico nei conduttori carichi III

++++++

+

+

++++

+++++

+

+

+

++

Ei⃗nt.= 0

Ee⃗xt.≠ 0

q/ε0=0

Se all’interno di un conduttore in equilibrio~Eint. = 0 allora la carica è tutta concentrata sullasuperficie del conduttore. Applicando il teoremadi Gauss si vede che all’interno del volume delconduttore non deve esserci carica.


Campo elettrostatico nei conduttori carichi IV

+

E⟂⃗

F ⃗E∥⃗

E ⃗

Non equilibrio

+

E⟂⃗

Equilibrio

~E deve essere perpendicolare alla superficie(~E ⊥ ds), altrimenti le cariche si muoverebberosu di essa per effetto della componente paralleladel ~E .


Campo elettrostatico nei conduttori carichi V

+

E⟂⃗

F ⃗E∥⃗

E ⃗

Non equilibrio

+

E⟂⃗

Equilibrio

~E ⊥ ds implica che la superficie siaequipotenziale. Limitiamoci a considerare unmovimento lungo la superficie e ricordiamo che

E = −dVdx

. (48)

Lungo la superficie la componente di ~E è semprenulla, quindi anche la sua derivata e quindi

V (superficie) = costante (49)

Se la superficie è equipotenziale e il campo ècostante e ~E = 0 all’interno, allora tutto ilconduttore è allo stesso potenziale.


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