Quan%tà  di  moto  e  ur%    

Conservazione  della  quan%tà  di  moto,    ur%  elas%ci,  ur%  anelas%ci  

Quan%tà  di  moto  Questa grandezza riveste un ruolo molto importante nella Fisica classica. Infatti è una grandezza conservativa. La quantità di moto di un corpo di massa m che si muove alla velocità v è p = mv.

cost 0 == vmdtpd !!

( )dtvmdamF!

!!==

Un corpo di massa m lanciato a velocità v mantiene sempre la sua quantità di moto p. Infatti Solo l’intervento di un evento esterno può modificare il suo valore.

•  In un sistema isolato (F = 0) formato da molte particelle l’aumento di velocità di una particella comporta la diminuzione di velocità di altre.

Conservazione  della  quan%tà  di  moto  Quantifichiamo la precedente affermazione. •  Supponiamo un sistema isolato formato da due particelle m1 e m2 di massa uguale che viaggino uno contro l’altra con velocità v1 e v2.

m1

m1

m1

m2

m2

m2

v1

v2f v1f

v2

•  La quantità di moto iniziale delle due particelle sarà

pi = m1v1 – m2v2 dopo un urto elastico la quantità di moto finale

pf = - m1v1f + m2v2f dovrà essere la stessa, ma la velocità delle particelle risulta invertita. •  Questo è possibile nelle ipotesi che il sistema sia isolato ΣFest = 0 e che gli urti siano di tipo elastico

Conservazione  di  p  •  In un sistema isolato, dove non ci sono forze esterne, la 2°legge di Newton (F = dp/dt) diventa dp/dt = 0. Ma se la derivata di una grandezza è zero, la grandezza è costante. •  Quindi possiamo dire che in un sistema isolato la quantità di moto p si conserva. •  Supponiamo di avere due corpi di massa m1 ed m2, su un binario privo di attrito separati da una molla e tenuti insieme da uno spago. •  La sua quantità di moto è zero. •  Appena lo spago viene tagliato i due corpi si dirigeranno nella direzione opposta. Le velocità dei due corpi saranno tali che: m1v1 = - m2v2

Conce7o  di  urto  

Queste condizioni sottintendono l’impossibilità di conoscere la forma della forza in funzione del tempo. Quindi per descrivere matematicamente il fenomeno dovremo trovare altre relazioni, invarianti rispetto all’evento, che possano tornarci utili.

Un urto non è altro che il contatto fra due corpi, ma … è un contatto che avviene in condizione particolari: •  deve sprigionare forze particolarmente intense, e •  deve avvenire in un tempo brevissimo.

Urto  elas%co/urto  inelas%co  •  In tutti gli urti, la quantità di moto del sistema , Σ p = mv, si

conserva sempre. •  Negli urti elastici oltre alla quantità di moto si conserva anche

l’energia. •  Negli urti inelastici si conserva solo la quantità di moto

Urti elastici Urti inelastici

0 0 ==Δ ΔEp! 0 0 ≠=Δ ΔEp!

Ur%:  caso  unidimensionale  •  Negli urti elastici Ek e p sono grandezze che si conservano.

Negli urti inelastici si conserva solo p, mentre l’ Ek persa durante la collisione si trasforma in altre forme di energia.

§  Nell’urto elastico, i valori complessivi di Ek e p, prima e dopo l’urto sono uguali.

§  Nell’urto inelastico, dopo l’urto, i due corpi saranno deformati o strettamente legati. Il valore complessivo di p è ancora uguale a prima dell’urto, mentre l’Ek sarà diminuita. Nell’urto si sviluppa calore, suono, deformazione meccanica o altro ancora. Urto elastico p1,i + p2,i = p1,f + p2,f Eki = Ekf Urto inelastico p1,i + p2,i = p1,f + p2,f , Eki = Ekf

Ur%  ed  Energia  

Dimostrazione: L’Energia  potenziale  della  palla  prima  di  cadere  è  U  =  mgh.  Poiché  l’energia  meccanica  si  deve  conservare,  Ek  =  U,  la  palla  poco  prima  che  tocchi  il  suolo  avrà  una  velocità  pari  a  v  =  √2gh    •  Dopo il rimbalzo la palla raggiungerà la quota h’ e quindi U’ = mgh’. La velocità v’ subito dopo il rimbalzo doveva quindi valere v’ = √2gh’ poiché ½ mv’2 = Ek’ = U’ = mgh’ •  Se il rapporto v’/v = 1 si dirà che l’urto palla - suolo è elastico; •  Se v’/v < 1 l’urto palla-suolo è inelastico.

•  Supponiamo di far cadere, da una altezza h una palla di massa m, e supponiamo di vederla rimbalzare ad una altezza h’. •  Il rapporto delle velocità, poco prima e poco dopo il contatto con il suolo, si ottiene come radice del rapporto fra le altezze.

v’/v = √h’/h

Urto  elas%co:  bersaglio  mobile  

2,222

12,112

12,112

1

,22,11,11

ffi

ffi

vmvmvm

vmvmvm

+=

+=

( )( )( )

if

if

ffifi

ffi

vmmmv

vmmmmv

vmvvvvm

vmvvm

.121

1,2

.121

21,1

2,22,1.1,1.11

,22,1.11

2+

=

+

−=

=+−

=−

In un urto elastico l’energia cinetica dei singoli corpi può variare, ma la Ek del sistema rimane costante. Corpo mobile che colpisce un bersaglio fisso:

(quantità di moto)

(energia cinetica)

Se le masse sono uguali m1 = m2 v1,f = 0 e v2,f = v1,i

1. Urtando contro un muro m2 >> m1

v1,f ~ - v1,i e v2,f ~ 0

2. Se m1 >> m2 allora v1,f ~ v1,i e v2,f ~ 2v1,i

Urto  elas%co:    bersagli  contrappos%  

))(())(()()(

)()(

,2,2,2,22,1,1,1,11

,2,22,1,11

2,2

2,22

2,1

2,11

2,222

12,112

12,222

12,112

1

,22,11,22,11

fifififi

fifi

fifi

ffii

ffii

vvvvmvvvvmvvmvvm

vvmvvm

vmvmvmvm

vmvmvmvm

+−=+−

+=+

−=−

+=+

+−=−

iif

iif

vmmmmv

mmmv

vmmmv

mmmmv

,221

21,1

21

2,2

,221

2,1

21

21,1

2

2

+

−+

+=

++

+

−=

m1 m2

v1 v2

Conservazione della quantità di moto e dell’energia cinetica

Da cui, conoscendo le velocità iniziali si possono ricavare le due velocità finali:

Pendolo  balis%co  

Per  calcolare  la  velocità  di  un  proie@le  si  spara  un  colpo  contro  un  tronco  sospeso  orizontalmente  da  due  funi.  Nella  descrizione  del  pendolo  balis%co  convergono  due  conce@  diversi.    Il  primo  è  il  conce7o  di  urto  perfe7amente  anelas%co:  proie@le  che  si  conficca  nel  tronco.  Il secondo è la trasformazione dell’energia cinetica in energia potenziale: il tronca si solleva di una altezza h  

Pendolo  balis%co:  esempio  Nell’esempio,  la  massa  del  tronco  è  M  =  5,4  kg,  la  massa  del  proie@le  è  m  =  9,5  g,  e  h  =  6,3  cm  è  l’altezza  misurata  dopo  la  collisione.  Quanto  è  la  velocità  del  proie@le?    pi    =  pf                            mvi  =  (M+m)vf                                            vf=  mvi/(M+m)  Immediatamente  dopo  l’impa7o  il  sistema  proie@le-­‐blocco  ha  una  massa  che  vale  (M  +  m)  e  una  velocità  pari  a  vf  .  La  sua  energia  meccanica  si  deve  conservare,  cioè  Ek  -­‐  U  =  0  ½  (m+M)  vf2  =  (M+m)gh  e  sos%tuendo  il  valore  di  vf  si  o@ene  

][ 630063,08,920095,0

4,50095,02 1−=⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

+= MSgh

mMmvi

ghMm

mvghMm

mv ii 2 21

2

=+

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

Ur%  elas%ci  in  due  dimensioni  

p  è  un  veKore,  pertanto  la  sua  conservazione    è  valida  per  ciascun  asse,  mentre  Ek  è  uno  scalare  e  la  sua  conservazione  fornisce  una  sola  equazione    

p1,i  +  p2,i  =  p1,f  +  p2,f    Ek,1,i  +  Ek,2,i  =  Ek,1,f    +  Ek,2,f  

Nel  caso  di  figura  pi,  pf  ed  Ek  sono  legate  dalle  relazioni    

m1v1,i  =  m1v1,f  cosθ1  +  m2v2,f  cosθ2                  0  =  m1v1,f  sinθ1  +  m2v2,f  sinθ2      

½  m1v1,i2=  ½  m1v1,f2  +  ½  m2v2,f2  

L’impulso  •  La quantità di moto è il prodotto fra la massa m e la velocità v posseduta da un corpo e si indica con il vettore p. •  Questa grandezza non ha una specifica unità di misura, e nel sistema SI è espressa in [KMS-1].

p = m v •  La seconda legge di Newton lega l’azione di una forza alla variazione di p

dtFpddtpdF

!!!!

==

•  il prodotto Fdt ovvero l’Impulso è equivalente alla variazione della quantità di moto )( 12 vvmvmtF

vmdpddtF!!!!

!!!

−=Δ=Δ

==

L’impulso  trasferito  m1

<F> Un dischetto da hockey 150 g che viaggia alla velocità di 15 m/s urta il palo della porta e viene deviato di 150°dalla sua direzione con una velocità ridotta del 30%. Se l’impatto dischetto-palo è stimato pari a 1,5 ms quale è la forza trasferita al palo.

150°

Soluzione: La velocità finale sarà In forma vettoriale dopo l’impatto la quantità di moto è 0,15 x 10,5 = 1,58 [MKS-1] ovvero pfin = 1,58 cos30 i + 1,58 sen30 j. La forza trasferita al palo sarà data da

smv fin / 10,5 4,5 -15 5,415%30==

=⋅

vin

vfin

( ) ( )

( )

°≈=

≈==+=

−−=−−

=⋅

−−=

=⋅

⋅−⋅−⋅=

⋅

−=

ΔΔ

=

−

−−

426,5866,526

80 ][3.7882,6214076,5266,586][

6,5266,586105,179,010

5,188,0

105,179,025,237,1

105,11515,05,058,1867,058,1

105,1

22

333

33

arctg

kgNNF

jijiji

ijipptpF infin

θ

!!!!!!

!!!!!!

Forza  dovuta  ad  ur%  ripetu%  

Dal teorema dell’impulso risulta che: J = pf – pi = <F> Δt. Volendo conoscere la forza media dovuta ad una serie di urti

ripetuti dovremo moltiplicare l’impulso per il numero di urti. Allora si avrà F = nΔp/Δt = - (n/Δt) mΔv (n/Δt) è la frequenza dell’urto.

                 

vt

mF Δ

Δ

Δ−=

Se il proiettile resta nel muro Δv = - vi mentre se rimbalsa elasticamente Δv = -2vi e nell’intervallo di tempo Δt la quantità di massa è Δm = nm

Moto di un razzo

dt

dvMu

dt

dM=−

Al tempo t si osservi, da un sistema inerziale, il moto di un razzo e supponiamo: 1.  che il moto razzo non risenta della forze di gravità 2.  che il razzo abbia velocità v e massa M Dopo un tempo dt il razzo avrà gettato una massa – dM con velocità + U rispetto al nostro sistema di riferimento. Il sistema razzo + gas di scarico dovrà conservare la propria quantità di moto pi = pf quindi

Mv = - dM U + (M + dM)(v + dv) Se ora osserviamo, dal sistema del razzo, che la velocità di scarico u vale

u = (v +dv) - U si avrà U = v + dv - u sostituendo

Mv = - dMv - dMdv + dMu + Mv + dMv + Mdv + dMdv Pertanto resta dMu + Mdv = 0 diviso per dt si avrà: Ru = Ma (quindi Ru è una forza: la spinta del razzo)

Calcolo  della  velocità  del  razzo    •  Il valore di spinta di un razzo è Ru. Quindi la spinta è tanto maggiore quanto più velocemente si riduce la massa del carburante e quanto più alta è la temperatura dei gas di scarico •  La velocità come funzione della massa di carburante bruciata si ricava da è ci porta

∫ ∫−=f

i

f

i

v

v

M

M MdMudv

MdMudv −= ed integrando

La soluzione di questo integrale da il valore della velocità finale corrispondente alla diminuzione della massa totale del razzo

)ln(ln fiif MMuvv −=−

dMu + Mdv = 0