filtraggio

Prof. Angelo Geraci DEI

1 Sistemi LTI a tempo discreto

Funzione di trasferimento

h[n] x[n] y[n]

k

knxkhny ][][][ n

n kn

n zknxkhznyzY

][][][)(

k n

nzknxkh ][][

k

kzxkh

)(][][


2

k

k

zzxkhzY

][][)(

)(zX

)(][ zXzkh

k

k

)(zH

)(

)()(

zX

zYzH

Sistemi LTI a tempo discreto


Funzione di trasferimento H(z) di un sistema LTI

Nk

kk

Mk

kk

zd

zpzH

0

0)(

N

k k

M

k k

z

z

d

p

11

11

0

0

)1(

)1(

N

kkN

k

M

kkM

kMN

zd

zpz

0

0)(

N

k k

M

k kMN

z

zz

d

p

1

1)(

0

0

)(

)(

M ,...,, 21 Zeri del sistema

N ,...,, 21 Poli del sistema

Se N > M, esistono (N-M) zeri aggiuntivi in z = 0

If N < M, esistono (M-N) poli aggiuntivi in z = 0

ROC:

kk

z max


3

Filtro FIR a media mobile su M campioni

M zeri sul cerchio unitario in

M-1 poli in z = 0 e 1 singolo polo in z = 1

Il polo in z = 1 compensa lo zero in z = 1

ROC: tutto il piano z eccetto z = 0

][nh

otherwise,010,/1 MnM

1

0

1)(

M

n

nzM

zH)]1([

1

)1(

11

zzM

z

zM

zM

MM



Mkjez /2 10 Mk

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

7

M = 8

Filtro IIR causale

]1[3.1]3[]2[2.1]1[][ nynxnxnxny ]3[222.0]2[04.1 nyny

321

321

222.004.13.11

2.1)(

zzz

zzzzH

)7.05.0)(7.05.0)(3.0(

)8.06.0)(8.06.0(

jzjzz

jzjz

ROC: 74.0z -1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

Real PartIm

agin

ary

Par

t


4

ROC include il cerchio unitario

jez

j zHeH )()(

)(*)()(2 jjj eHeHeH

jez

jj zHzHeHeH

)()()()( 1


Risposta in frequenza

Funzione di trasferimento H(z) a coefficienti reali :

Pi uno zero si trova vicino al cerchio unitario pi attenua lintorno di frequenze in prossimit di cui si trova

Pi un polo si trova vicino al cerchio unitario pi esalta lintorno di frequenze in prossimit di cui si trova

][]1[][ nxnyny )()()( 1 zXzYzzY

11

1

)(

)(

zzX

zY

z

zzH )(

jj

eeH

1

1)(

N

k k

M

k kMN

z

zz

d

p

1

1)(

0

0

)(

)(


5

n

nh ][


Stabilit

ROC include il cerchio unitario |z|=1 Sistema stabile BIBO

Filtro digitale FIR con risposta allimpulso limitata sempre stabile

Filtro digitale IIR pu essere stabile o instabile

Filtro digitale IIR pu divenire instabile a seguito della quantizzazione dei coefficienti in fase di implementazione

21 850586084511

1

zz

zH..

)(

0 10 20 30 40 50 60 700

2

4

6

Time index n

Am

pli

tud

e

h[n]

stabile

21 850586.0845.11

1

zz

21 8508511

1

zz

zH..

)(^

0 10 20 30 40 50 60 700

2

4

6

Time index n

Am

pli

tud

e

instabile

][nh^


6

Tutti i poli di una funzione di trasferimento causale stabile

devono essere contenuti nel cerchio di raggio unitario

1 Re z

Im z

1

j

j Regione

di stabilit


Stabilit

21 850586084511

1

zz

zH..

)(

21 850586.0845.11

1

zz

21 8508511

1

zz

zH..

)(^

Poli: z = 0.902 e z = 0.943 )943.01)(902.01(

1

11

zz

)85.01)(1(

1

11

zzPoli: z = 0.85 e z = 1

stabile

instabile



Classificazione - Funzione modulo della risposta in frequenza

Passa-basso (LP) Passa-alto (HP)

Passa-banda (BP) Arresta-banda (BS)


8

IDFT { }=

)( jLP eH

n

n

nnh cLP ,

sin][


Classificazione - Funzione modulo della risposta in frequenza

h[n] non assolutamente sommabile e quindi la funzione di trasferimento non stabile BIBO

h[n] non causale ed illimitata

Non esistono sistemi LTI a dimensione finita che realizzano filtri ideali con transizioni di pendenza infinita

Banda di

transizione


9

Filtro a fase nulla

Filtro non causale

Elaborazione off-line

Filtro a fase lineare

Filtro causale

Elaborazione on-line


Classificazione - Funzione fase della risposta in frequenza

Evitare distorsioni di fase

Filtro a fase lineare

sin ( t) [A,] filtrare

= f()= k filtro a fase lineare

sin ( t) [A,] Asin ( t+ ) = Asin [ (t+ k)]

ritardo costante di k no distorsione


10

fase lineare da = 0 a = 2

1)( jeH D )(


Classificazione - Funzione fase della risposta in frequenza

Filtro ritardatore

Non esiste una funzione di trasferimento IIR a fase lineare

sempre possibile progettare una funzione di trasferimento FIR a fase lineare:

njAenx ][)(][ DnjnjDj AeeAeny

D intero y[n] uguale a x[n] ritardata di D campioni

non intero y[n] diversa da x[n]

h[n] = h[N-n] h[n] = - h[N-n]

Djj eeH )(


11

z

zzzH

2

11 1

21

0

)()(

altrove

n nhl-nxny

l 0

1M-0M

1

M

1 1M

0

M=2


Filtri digitali elementari

Filtri FIR passa-basso

Filtro FIR a media mobile su 2 campioni

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

/

Mag

nit

ud

e

First-order FIR lowpass filter

X

da 0 a |ej+1| da 2 a 0 |H(ej)| da 1 a 0 con |H(ej0)|=1 e |H(ej)|=0


12

)2/cos()( 2/0 jj eeH

)2/cos(|)(| 0 jeH

2

earg

j0H

)(2

1)( 000

jj eHeH c

dB32log20)(log20 100

10 jeH

)G( c )(log20 10 cj

eH



Frequenza di taglio c (cutoff) a -3 dB

2/c2122

0 )2/(cos|)(|

cj ceH

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

/

Mag

nitude

First-order FIR lowpass filter

Banda di

arresto

Banda

passante


13

)()( 121

0 1 zzH

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

/

Mag

nit

ud

e

First-order FIR lowpass filter cascade

3 celle

Cascata di filtri



Filtri FIR passa-alto

)(-)1()( 01

21

1 zHzzH

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

/

Mag

nit

ud

e

First-order FIR highpass filter

)2/sin()( 2/1 jj ejeH


14

10,1

)(1

z

KzHLP 10,

1

)1()(

1

1

z

zKzHLP

Introduce uno zero in z=-1

(=) che aumenta leffetto LP

Filtri IIR passa-basso



da 0 a

|ej - | da 1- a 1+

|ej+1| da 2 a 0

0)(,1

2)( 0

jLP

jLP eH

KeH 1|)(| 0 jLP eH 2/)1( K

10,1

1

2

1)(

1

1

z

zzHLP

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

/

Mag

nitude

= 0.8

= 0.7

= 0.5

X

2

1|)(| 2 cjLP eH

c

c

cossin1




La funzione di trasferimento modificata con laggiunta del fattore a numeratore (1+z-1)

mostra un comportamento passa-basso anche per -1<


16

Filtri IIR passa-alto



01,1

)(1

z

KzHHP 01,

1

)1()(

1

1

z

zKzHHP

Introduce uno zero in z=1

(=0) che aumenta leffetto HP da 0 a

|ej - | da 1- a 1+

|ej -1| da 0 a 2

1

2)(,0)( 0

KeHeH jHP

jHP 1|)(|

jHP eH

2

1 K

01,1

1

2

1)(

1

1

z

zzHHP

2

1)(

2c

jHP eH

c

c

cossin1

La funzione di trasferimento modificata con laggiunta del fattore a numeratore (1-z-1)

mostra un comportamento passa-alto anche per 0<


17

1

1

1

1

2

1

z

zzHHP

)( || < 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

/

Magnitude

= 0.8

= 0.7

= 0.5

c

c

cos

sin1



X

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

/

Mag

nit

ude

= -0.8 = -0.7 = -0.5

X

-1 < < 0

0 < < 1




Esempio: progettare un filtro passa-alto del primo ordine con frequenza di taglio uguale a 0.8

5095245.0cos/)sin1( cc

1

1

509524501

12452380

z

z

..

587785.0)8.0sin()sin( c

80902.0)8.0cos(

1

1

1

1

2

1

z

zzHHP

)(


19

21

2

)1(1

1

2

1)(

zz

zzHBP

2)( jBP eH

]2cos2cos)1(2)1(1[2

)2cos1()1(2222

2



Filtri IIR passa-banda

X

X

2

1arccos

va a zero in = 0 e =

assume il massimo valore di 1 (frequenza centrale) in corrispondenza alla

frequenza tale per cui

Le frequenze e dove uguale a sono dette frequenze di taglio

La differenza tra le frequenze di taglio la larghezza di banda del filtro a -3 dB:

2|)(| jBP eH

2|)(| jBP eH

o )(cos1 o

1c 2c2|)(| jBP eH

12 cc

112 cos

ccwB

21

2


20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

/

Mag

nitude

= 0.34

= 0.8

= 0.5

= 0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

/

Mag

nitude

= 0.6

= 0.8

= 0.5

= 0.2

Filtri IIR arresta-banda

21

21

)1(1

21

2

1)(

zz

zzzHBS

|| < 1 and || < 1

X

X

2

1arccos

assume il massimo valore di 1 in = 0 e =

va a zero in chiamata frequenza di notch e vale

La funzione di trasferimento comunemente indicata come filtro notch

Le frequenze and in cui uguale a sono dette frequenze di taglio a -3dB

La differenza tra le frequenze di taglio detta larghezza di banda di notch a -3dB

2|)(| jBS eH2|)(| jBS eH o

)(cos 1 o)(zHBS

1c 2c2|)(| jBS eH

12 cc

112 cos

ccwB

21

2




21

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

/

Mag

nitude

= 0.8

= 0.5

= 0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

/

Mag

nitude

= 0.8

= 0.5

= 0.2



Filtri IIR di ordine superiore

1

1

1

1

2

1)(

z

zzHLP

Funzione di trasferimento della cascata di K filtri =

K

LPz

zzG

1

1

1

1

2

1)(


22

K

jLP eG

)cos21(2

)cos1()1(|)(|

2

22



2

1

)cos21(2

)cos1()1(2

2

K

c

c c

2cc

cos1

2sincos)1(1

C

CCCK

KKC /)( 12

c

c1K

cos

sin1

K

Esempio: progettare un filtro passa-basso usando la cascata di 4 celle del primo ordine con frequenza di taglio uguale a 0.4

1 cella del primo ordine 1584.0)4.0cos(

)4.0sin(1

cos

sin1

c

c

4 celle del primo ordine c

cc

C

CCC

cos1

2sincos)1(1 2

)4.0cos(6818.11

)6818.1()6818.1(2)4.0sin()4.0cos()6818.11(1 2

2510.

10-2

10-1

100

-20

-15

-10

-5

0

/

Gai

n, dB

K=4

K=1


23

Modulo e/o fase della risposta in frequenza

Risposta alla sequenza impulso o alla sequenza gradino

Compromesso realizzabilit-approssimazione

Regioni di transizione

Caratteristiche della banda passante e della banda di arresto


Progetto di filtri digitali Specifiche

Definizione delle specifiche

limite della banda-passante

limite della banda di arresto

valore di picco di oscillazione in banda passante

valore di picco di oscillazione in banda di arresto

funzione di attenuazione

p

s

sp

)(log20)( 10 jeGA

)1(log20 10 pp )(log20 10 ss


24

deviazione massima in banda passante

massima ampiezza in banda di arresto

attenuazione massima in banda passante:

21/1

A1


Progetto di filtri digitali Specifiche

210max 1log20 )21(log20 10 p1 p

cpc

p

c

pp TF

F

F

F

2

2

csc

s

c

ss TF

F

F

F

2

2


25

La funzione di trasferimento H(z) che incontra le specifiche della risposta in frequenza deve essere FIR o IIR

Nel progetto di filtri IIR : la funzione di trasferimento deve essere una funzione reale razionale di :

H(z) deve essere stabile ed avere il minimo ordine N necessario

NMzdzdzdd

zpzpzppzH

NN

MM

,)(2

21

10

22

110


Progetto di filtri digitali Scelta della tipologia

1z

Nel progetto di filtri FIR : la funzione di trasferimento deve essere un polinomio in a coefficienti reali::

H(z) sempre stabile ed avere il minimo ordine N necessario

Per avere fase lineare I coefficienti devono soddisfare la condizione:

Vantaggi possibilit di avere fase esattamente lineare

struttura del filtro sempre stabile indipendentemente dalla quantizzazione dei coefficienti

Svantaggi a pari specifiche lordine necessario molto maggiore di quello di un equivalente filtro IIR

maggiore complessit di calcolo rispetto ai filtri IIR

1z

N

n

nznhzH0

][)(

][][ nNhnh


26

(1) Convertire le specifiche del filtro digitale in quelle di un equivalente filtro analogico

(2) Determinare la funzione di trasferimento del filtro analogico corrispondente

(3) Trasformare la funzione di trasferimento analogica nella funzione di trasferimento digitale

cercata :

)(sHa

)(zG


Progetto di filtri digitali Filtri IIR

)(sHa

)(sHa

)(

)()(

sD

sPsH

a

aa )(

)()(

zD

zPzG

piano s

1

piano z

T.Laplace s=j

h(t) H(s) H(j)

T. Zeta |z|=1

h(n) H(z) H(ej)

Trasformata di Fourier

s = j |z|= r =1

1

piano z piano s




Criteri di mappatura

Lasse immaginario (j) del piano s deve corrispondere al cerchio unitario del piano z

Una funzione di trasferimento analogica stabile venga mappata in una funzione di trasferimento digitale stabile

Tecniche di mappatura

Invarianza della risposta allimpulso

Trasformazione bilineare


28

Campionamento della risposta allimpulso del filtro analogico

h[n] = ha(nTs )



Invarianza della risposta allimpulso

CTFT di xs(t) DTFT di x[n]

n sa

s

j

T

nFH

TeH )(

1)(

n S

a

S T

njsH

TzH

21)(

= TS z = esTs


29

piano s piano z

1

/TS

-/ TS

3/TS

-3/ TS

1 / TS

-/ TS

3/ TS

-3/ TS

...

FS /2



= TS= , F=Fs/2


30

piano z

e-aTcos(bT)

bT e-aT

piano s

/TS

-/TS

2/TS

-2/TS

b

a

TS|Fs =2Hz= TS|Fs =20Hz =

22 b)a(

a)(

s

ssHa




31

1

1

1

12

z

zT

s

11

112)()(

z

z

Tsa

sHzG



Trasformazione bilineare

Procedura operativa:

(1) Determinazione delle specifiche di a partire dalle specifiche di G(z)

applicando la trasformazione bilineare inversa

(2) Progetto di

(3) Calcolo di G(z) applicando la trasformazione bilineare a

)(sHa

)(sHa

)(sHa

s

sTz S

1

1

2

oo js 22

222

)1(

)1(

)1(

)1(

oo

oo

oo

oo zj

jz

10 zo

10 zo

10 zo

piano s piano z

1


32

)2/tan(2

ST

2

atan2 S

T



Mappatura fortemente non lineare (frequency warping)

p=2/TS atan (p/2)

s=2/TS atan (s/2)


33

Frequency warping:

Prewarping

tan (/2) /2 T=

SAA = small angle approximation

= 0

= /4



Invarianza allimpulso Trasformazione bilineare

Aliasing NO Aliasing

=TS =2 arctan ( TS /2)

LPF, (BPF) LPF, BPF, HPF, NF

H(z) = Zeta [ha(nTS)]

H(z) = Ha(s) s = 2/ TS [(1-z-1)/(1+ z-1)]

filtraggio

Documents

Transcript of filtraggio