Politecnico di Milano

FACOLTA DI INGEGNERIA INDUSTRIALE

Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Meccanica

Laboratorio progettuale di calcolo strutturale

Progetto d’anno

Analisi EF di una macchina utensile a portale

Candidato

Luca Maggiori

matr.726825

Docenti

Prof. Michele Carboni

Ing. Andrea Gilioli

Anno Accademico 2010–2011

Considerazioni  iniziali In tutto il progetto sono state impiegate le stesse Unità di Misura sia per trattazioni analitiche,  sia  all’interno  del  software  Abaqus: Forze in [N] Sforzi e Pressioni in [MPa] Densità in [ton/mm3] Lunghezze in [mm] Aree in [mm2] Volumi in [mm3] Materiale: acciaio. Si considerano le seguenti caratteristiche del materiale: E=210000 MPa v=0,3 ρ=7.8e-9 ton/mm3 G=80769 MPa Modello simmetrico dal punto di vista geometrico, ma non dal punto di vista dei carichi.

Non è quindi possibile  eseguire  un’analisi  in  simmetria Fori, guide e raggi di raccordo del portale non modellati (richiederebbero analisi ad

elementi solidi) Proprietà geometriche ed inerziali delle sezioni trasversali

Ricordando la formula per il calcolo del momento   d’inerzia   baricentrico   di  un rettangolo (J=bh3/12) e quella per il momento di trasporto (Jy=Jx+yG

2A) si possono calcolare i momenti d’inerzia  delle  due  sezioni

COLONNE Area=12544 mm2 J1=J2=321.394.005,3 mm4 J12=0 (simmetria della sezione rispetto ad entrambi gli assi) TRAVERSA Area=21888 mm2 J1= 689.682.944 mm4 J2= 383.033.344 mm4 J12=0 (simmetria della sezione rispetto ad entrambi gli assi) Carichi e Quota personalizzati In  base  all’ordinale  delle  iniziali  di  nome  e  cognome,  si  ottengono  i  valori  delle forze F1 e F2 da applicare,  e  la  distanza  del  loro  punto  di  applicazione  rispetto  all’asse  della  colonna.

F1=530 N F2=630 N QUOTA= 1720 mm

Analisi  Statica  –  BEAM Punti critici della modellazione Definizione profilo traversa Per le colonne è sufficiente utilizzare il profilo Box.

Nell’impostazione   del   profilo   da   assegnare   alla   sezione   trasversale   della  traversa occorre invece utilizzare il metodo Generalised, in cui si inseriscono direttamente le proprietà inerziali di sezioni a geometria generica. Tra i valori richiesti vi è anche la rigidezza torsionale (GJ), la quale non può essere calcolata mediante formule poiché legata ad un profilo non standard. È possibile però determinare tale parametro, insieme anche alle altre proprietà, tramite la procedura di Abaqus Meshed Beam Cross-Section (Manuale Abaqus, Vol.II-Analysis 10.5.1-3/4). Essa consiste nel  creare  un  modello  Shell  della  sezione,  applicare  un’opportuna  mesh,  e  richiedere la generazione del file di input per il solutore. Si modifica poi tale file per far sì che il solutore non esegua uno step standard, ma si limiti a generare le proprietà della sezione che

potrebbero essere necessarie in una generica analisi statica. A termine di tale procedura si ottengono i valori già precedentemente calcolati (a meno del modulo di taglio G) e in particolare la rigidezza GJ, da cui J=682.840.483 mm4.

Si osserva che impostando un profilo di tipo Generalised, occorre inserire a parte le informazioni sul materiale nel momento in cui con tale profilo si genera la sezione in Abaqus (questo perché il profilo generico viene trattato separatamente da Abaqus). Render del profilo Se   si   assegna   all’elemento   beam   una   sezione   con   profilo  “generalised”,  Abaqus  mostra  il  profilo  come  un’ellisse piena con  area  e  momenti  d’inerzia  che coincidono con i valori specificati (ellisse  centrale  d’inerzia).

Interaction – scelta del COUPLING I carichi da applicare, escluso il peso proprio del telaio, sono il peso del carrocroce e le forze F1 e F2 applicate al mandrino e simulanti le sollecitazioni di una lavorazione di fresatura. Tali carichi non agiscono direttamente sul modello realizzato (solo il telaio è oggetto di analisi) e quindi occorre definire il modo in cui le forze vengono applicate al telaio. Assunzioni e scelte: Carrocroce ipotizzato infinitamente rigido: non si generano forze o deformazioni

aggiuntive tra i punti di applicazione ed il telaio Peso del carrocroce applicato nel centro di massa Forze F1 e F2 applicate al mandrino COUPLING. per accoppiare il centro di massa ed il mandrino al telaio si sceglie di non

utilizzare il coupling Kinematic: questo vincolerebbe anche cinematicamente i punti del telaio. Tale vincolo è troppo forte nel modello beam della struttura perché ad ogni punto  dell’asse  è  associata  un’intera  sezione,  e  nella   realtà   le  sezioni   trasversali  non  sono vincolate cinematicamente ai carichi.

Si sceglie quindi un coupling di tipo Continuum Distributing: Accoppiamento con il telaio solo dal punto di vista dei carichi Carichi   agenti   sull’asse (nel modello beam): si considerano

distribuiti sulla zona in cui è appoggiato il carrocroce (risultano concentrati sulla superficie esterna, che però non è modellata)

Non si usa lo Structural Distributing perché richiede la definizione di una superficie di punti di accoppiamento (impossibile nel modello beam)

Il Continuum permette di trasportare solo forze (non trasporta momenti) OK perché non si hanno momenti agenti (i momenti di trasporto sono correttamente riportati)

Osservazione Il coupling Distributed non prevede applicazione delle componenti di momenti nella direzione di nodi allineati (Vol.V-Analysis, 31.3.2-10 e Verification Manual 1.10.3). Questo perché è implementato per poter essere usato anche con elementi che non possiedono gdL rotazionali. Eventuali momenti torcenti su nodi allineati non potrebbero essere considerati. Per evitare tale problema si rilascia il vincolo di rotazione nella direzione x (UR1) e si applica direttamente sulla struttura il momento torcente di trasporto dei carichi (in direz. X).

Load Si vincolano con incastro le due colonne. Si applicano i seguenti carichi:

Peso proprio telaio (gravity) (g=9806 mm/s2) Peso carrocroce applicato al centro di massa (P=3004N) F1=530N e F2=630N al mandrino Momento   torcente   di   trasporto   sull’asse,   nel   punto   proiezione   del   mandrino

(Mt=1357940 Nmm) Mesh Il modello relativamente semplice permette di utilizzare mesh molto fitta senza pregiudicare gli oneri di calcolo. Si utilizzeranno inoltre elementi beam quadratici a 3 nodi, che garantiscono maggiore accuratezza. Soluzione analitica con Metodo degli Spostamenti Ipotesi e semplificazioni: Analisi 2D (sollecitazioni ed effetti solo nel piano x-y) Aste assialmente inestensibili Peso proprio del telaio modellizzato come carico

distribuito sulla traversa Peso dei tratti esterni della traversa sostituito con

equivalenti momenti flettenti di trasporto in corrispondenza delle colonne

Carichi concentrati nella proiezione del mandrino sulla traversa

Spostamenti valutati: Rotazione nel punti B; Rotazione nel punto C; Spostamento traversa lungo x Sistema risolvente:

Risultati (confrontati con modello beam equivalente con elementi lineari – Cubic Formulation) Rotazione nel punto B=+7.73*10-6 rad

(Abaqus=+7.9*10-6 rad) Rotazione nel punto C=-6.85*10-6 rad

(Abaqus=-7*10-6 rad) Spostamento traversa lungo x=0.00173 mm

(Abaqus=0.00175mm (medio)) Scostamenti dovuti alle ipotesi non riproducibili in Abaqus (in particolare la rigidezza assiale infinita) Noti gli spostamenti è possibile verificare la correttezza delle reazioni vincolari: RF1(x)=630 N (=F2 OK) RF2(y)=8059 N (=peso telaio OK) RF3(z)=0 N (problema piano OK)

Analisi dei risultati (BEAM) Confronto risultati con soluzione analitica Prima  di  procedere  con  la  vera  e  propria  analisi  si  esegue  in  Abaqus  un’analisi  del  modello  utilizzando elementi lineari – Cubic Formulation (dimensione: 1mm) per confrontare e verificare la concordanza con i risultati previsti dalla soluzione analitica. Rotazione nel punto B=+7.73*10-6 rad (Abaqus=+8.1*10-6 rad) Rotazione nel punto C=-6.85*10-6 rad (Abaqus=-7*10-6 rad) Spostamento traversa lungo x=0.00173 mm (Abaqus=0.00218mm (medio)) Spostamento U2 in B=-0.003705 mm (Abaqus=-0.003279mm) Spostamento U2 minimo=-0.01336 mm (Abaqus==-0.01457 mm) La leggera differenza dei valori è dovuta alle ipotesi fatte per la risoluzione analitica, in particolare   all’   ipotesi   di   rigidezza assiale infinita e problema piano. Nonostante   ciò   c’è  accordo tra i valori. Osservazione Poiché sono state verificate le condizioni ai bordi del tratto centrale della traversa,   e   tale   tratto   è   stato   sollecitato   all’interno   in   modo   identico   nella   risoluzione  analitica, si può estendere la verifica della bontà dei risultati a tutto il telaio. Qualora si desiderasse   una   stima   più   accurata   dell’andamento   della   freccia   verticale   U2   lungo   la  traversa,  si  potrebbe  integrare  (a  tratti)  l’equazione  della  linea elastica (EJ)vIV=p tra i punti B e C, dal momento che tutte le condizioni al bordo (in B e C) sono note dalla risoluzione analitica precedente. Si otterrebbe v(x) di quarto grado (è presente il carico distribuito p). Analisi di convergenza Una veloce analisi di convergenza con infittimenti sempre più spinti della mesh, mostra come si arrivi a convergenza per gli spostamenti già con elementi lineari a dimensione 5mm. Per quanto riguarda gli sforzi la convergenza è più lenta (v. figura), e si ottiene con elementi quadratici a partire da dimensioni di 2.5mm. D’ora   in   poi   si   eseguirà   l’analisi   dei   risultati   sul  modello   con  mesh   ad   elementi quadratici –

1mm. Inoltre si visualizzeranno sempre sforzi NON mediati ai nodi.

Errors e Warnings Per le scelte di modellazione fatte, non si hanno warnings, né tantomento errors. Reazioni vincolari Si verifica la correttezza delle reazioni vincolari: Valori previsti delle forze: RF1tot=-630 N OK RF2tot=13306 N OK RF3tot=530 N OK Equilibri alla rotazione in A nelle 3 direzioni: Mx=-547040 Nmm Abaqus=-547040 Nmm My=-1.189*106 Nmm Abaqus=-1.189*106 Nmm Mz=+21.45*106 Nmm Abaqus=+21.45*106 Nmm

0,830,8320,8340,8360,838

lineari -5mm

lineari -2.5mm

lineari -1mm

quadratici -2.5mm

quadratici -1mm

σ  max (Mpa)

Deformata e analisi SPOSTAMENTI

Deformata compatibile con I carichi applicati Si valutano gli spostamenti di maggior interesse, cioè quelli in corrispondenza del carrocroce e mandrino, poiché tali spostamenti possono influire sulla qualità della lavorazione, in particolare sulle tolleranze geometriche. U1(direz. x) ≈ 3*10-3 mm (dovuto essenzialmente alle sollecitazioni di fresatura (F2)) U3(direz. z) ≈ 3*10-3 mm (dovuto essenzialmente alle sollecitazioni di fresatura (F1)) Tali   spostamenti   sono   dell’ordine   di   micron,   e   quindi   accettabili,   considerando   che   per  normali lavorazioni di fresatura del legno le tolleranze sono sempre superiori a 10 µm. U2(direz. y)lo spostamento verticale è quello sicuramente più intenso: U2≈15-18 µm. Tale spostamento però, a differenza degli altri due, è quasi esclusivamente dovuto egli effetti della forza peso del telaio e del carrocroce. È quindi (in gran parte) uno spostamento statico, presente anche in condizioni di non sollecitazione esterna della struttura. Pertanto è possibile tenerne conto a priori, correggendo opportunamente i parametri geometrici di lavorazione nel caso tale valore di spostamento venga ritenuto non accettabile.

Si riportano gli andamenti degli spostamenti della traversa nelle 3 direzioni. Osservazione l’andamento  di  U1  risulta   lineare a tratti: infatti la traversa è sollecitata assialmente da  soli  carichi  concentrati  (nell’unione  con  le  colonne  e   in  corrispondenza  di  F2), pertanto subisce deformazione assiale costante a tratti.

Analisi SFORZI L’analisi  degli  sforzi  in  un  modello  così  idealizzato  ha  debole  significatività. In ogni caso gli sforzi (anche valutati in Section Points in corrispondenza dei bordi esterni della  sezione  trasversale  della  traversa)  risultato  molto  bassi,  dell’ordine di 1 MPa. Si riportano i valori dello sforzo assiale in corrispondenza del carrocroce (coordinate

[1720.5,1530,0]) valutati in 3 diversi Section Points (Bottom, Centro, Top) con lo scopo di mostrare l’andamento  a  farfalla  dello sforzo dovuto alle sollecitazioni flettenti (Bottom in trazione, Top in compressione).

Analisi  Statica  –  SHELL Punti critici della modellazione Assegnamento sezioni Si disegna la parte con le quote relative alle dimensioni esterne. In questo modo si assegneranno gli spessori verso l’interno, e la superficie di riferimento rappresenterà il layer SNEG nel modulo Visualisation. Questo accorgimento è dovuto al fatto che la superficie di maggiore interesse (e anche la più sollecitata) è proprio la superficie esterna. Tale procedura genera apparente sovrapposizione

geometrica delle varie superfici, ma ciò non influirà sui risultati: si avranno semplicemente a disposizione più valori in uno stesso punto, associati a layers differenti.

La superficie interna della traversa è invece considerata Middle Surface. Interaction e Load Si simulerà il collegamento del carrocroce al telaio tramite i 4 punti di appoggio sulle guide (2 superiori e 2 inferiori) modellati come superfici, e non come punti concentrati. Anche  in  questo  caso,  si  sceglie  un  accoppiamento  cinematico  “mediato”  tra  carrocroce  e telaio: il vincolo di corpo rigido,  per  quanto   il  carrocroce  sia  “bloccato”  sulle  guide,  risulta  eccessivo, in quanto sarà la deformata del telaio a determinare gli spostamenti del gruppo mandrino, e non viceversa. Si applica quindi un coupling di tipo Structural Distributing, con tutti i gdL vincolati Per gli incastri si definiscono invece  coupling  cinematici   sui   punti   centrali   dell’area  di  

base delle colonne: questo permette di valutare in un unico punto le reazioni vincolari. Si applicano gli stessi carichi del modello beam, ad esclusione del momento torcente di

trasporto Mt, ora non più necessario.

Mesh Si realizza Mesh Strutturata con elementi Shell a 4 nodi (Quad lineari) Il modello permette di scegliere diversi tipi di elementi: Le superfici possono ragionevolmente essere considerate sottili (lo spessore è <1/15

delle altre dimensioni) si possono usare elementi S4R5 a 5 gdL per nodo, che risolvono numericamente la teoria di Kirchoff permettendo di ridurre gli oneri di calcolo

Elementi S4R general purpose a 6 gdL per nodo, capaci di descrivere correttamente sia  elementi  sottili  che  spessi.  Nell’analisi  si  utilizzeranno  questi  elementi.

Elementi sottili quadratici (es. S8R5), non utilizzati per evitare eccessivi oneri di calcolo.

Analisi dei risultati (SHELL) Analisi di convergenza Utilizzando  mesh  via  via  più  fitte,  si  è  eseguita  un’analisi  di  convergenza,  notando  che  a  partire  dall’utilizzo  di  elementi  a  dimensione  <25  mm   la  variazione  dei   risultati  non  è  più  significativa. D’ora  in  poi  si  eseguirà  l’analisi  dei  risultati  sul  modello  con  mesh  ad  elementi S4R lineari – 20

mm. Inoltre si visualizzeranno sempre sforzi NON mediati ai nodi. Errors e Warnings Non compaiono errors, mentre compaiono 2 warnings: Non è possibile attribuire più di un coupling cinematico in ogni nodo (OK) Il coupling cinematico introduce gdL aggiuntivi (OK)

Reazioni vincolari Anche in questo caso la verifica delle reazioni vincolari è indice della corretta modellazione del problema. Valori previsti delle forze: RF1tot=-630 N OK RF2tot=13306 N OK RF3tot=530 N OK Equilibri alla rotazione in A nelle 3 direzioni: Mx=-547040 Nmm Abaqus=-547082 Nmm My=-1.189*106 Nmm Abaqus=-1.189*106 Nmm Mz=+21.45*106 Nmm Abaqus=+21.3*106 Nmm Analisi SPOSTAMENTI SCALA il fattore di scala usato in automatico da Abaqus (4375) risulta eccessivo. Si

sceglie un più ragionevole valore di 1500 Deformata compatibile con i carichi e vincoli imposti; la deformazione più accentuata si

ha in corrispondenza della zona di appoggio del carrocroce

Spostamenti maggiori in cima

alla traversa: effetto dovuto ai momenti di trasporto (i carichi agiscono fuori dal dominio del modello)

U1 ≈   10-3 mm su tutta la traversa (accettabile)

U2 ≈ -10-2 mm Lo spostamento verticale U2 è più accentuato al centro della traversa (U2≈-25/27 µm in corrispondenza degli appoggi del carrocroce). Anche in questo caso, U2 è dovuto principalmente alle forze peso, e quindi ha natura statica e può essere in parte corretto da un’opportuna   regolazione   dell’altezza   del  mandrino,   nel   caso   fosse   necessario. Esso in particolare risulta leggermente maggiore del corrispondente nel modello beam, poiché in questo caso si tiene conto della reale geometria della traversa. U3 nel modello shell è possibile notare come i carichi applicati tendano ad inclinare

l’asse   del   mandrino   nel   piano   yz, con la possibiltà di un peggioramento della lavorazione  sul  pezzo.  Si  stima  pertanto  l’entità  di  tale  inclinazione: U3top=+0.05 mm e U3bottom=-0.01 mm inclinazione di circa 1.34*10-4 rad spostamento U3 del mandrino ≈ 0.021 mm (stesso ordine delle rugosità tipiche)

Spostamenti U3 sulla superficie caricata della

traversa, rispettivamente sul bordo inferiore (bottom), al centro ed in cima (top). Sotto, spostamenti U2 della superficie caricata.

Analisi SFORZI Non ci sono gradienti di sforzi eccessivi tra

un elemento e  l’altro:  non  c’è  necessità  di  infittimenti locali di mesh

Struttura relativamente poco solecitata: sforzi di von Mises <10 MPa

Maggiori sollecitazioni in corrispondenza degli appoggi del carrocroce, come prevedibile

Le superfici interne del telaio (SPOS) risultano correttamente meno sollecitate (sforzi di Von Mises < 8 MPa)

OSSERVAZIONE si  confronta  l’andamento  degli  sforzi  di  von  Mises  in  corrispondenza  dell’asse  centrale  della  traversa, nel caso non mediato e nel caso mediato. Si mette così in evidenza il procedimento usato dal software per attibuire ad ogni nodo un unico valore di sforzo, a partire da quelli valutati nei vicini punti di Gauss.

Analisi  Dinamica  –  BEAM Non si hanno informazioni sulle proprietà di smorzamento della struttura. Pertanto si valutano le frequenze proprie della struttura non smorzata (senza carrocroce). I valori ottenuti saranno comunque validi, poiché lo smorzamento sarà sicuramente non elevato. Si valutano le prime 10 frequenze proprie e i modi di vibrare

1°frequenza: 51.6 Hz ≈ 3096 rpm. Le lavorazioni di fresatura del legno sono realizzate

a velocità di rotazione massime di 800-900 rpm. Non si hanno quindi rischi di risonanza della struttura.

I modi di vibrare più significativi sono i primi 3: essi saranno parallelamente presenti anche nel modello Shell

Risposta in frequenza Si analizza il range di frequenze 0-100 Hz (primi 3 modi di vibrare) Si valutano qualitativamente gli spostamenti del punto della traversa corrispondente

alla posizione di carrocroce e mandrino (in questo caso non aver modellato lo smorzamento darà valori delle ampiezze non attenuati, e quindi non verosimili)

Si applicano solo le forze di lavorazione al mandrino (F1 e F2), le uniche che danno sollecitazione dinamica

Si nota come le diverse ampiezze degli spostamenti in risonanza concordano con i rispettivi modi di vibrare

Analisi  Dinamica  –  SHELL Analisi delle prime 10 frequenze proprie e modi di vibrare della struttura non smorzata. Il modello shell è meno idealizzato e più simile al telaio reale: i valori di frequenze

ottenuti sono più significativi

Risultati e confronto con il modello beam Prima frequenza a 31 Hz (≈ 1865 rpm) inferiore a quella del modello beam di circa

20 Hz; la 2° e 3° frequenza quasi coincidono con quelle beam Il primo modo, qualora eccitato dalle sollecitazioni dinamiche di lavorazione,

comporterebbe una vibrazione dei tratti superiori della traversa nella direzione di avanzamento del pezzo in rotazione (direzione z). Ciò potrebbe accentuare l’inclinazione  dell’asse  del  mandrino  (già  analizzata  in  ambito  statico).  Non  è  possibile  però  valutarne  l’entità  poiché  non  si  hanno  informazioni  sullo  smorzamento.

Primi 3 modi di vibrare uguali a quelli beam (il 2° e 3°, a causa della vicinanza delle rispettive frequenze,  risultano  “invertiti”)

Dal quarto modo di vibrare le differenze con il modello beam sono significative, e dovute alla diversa geometria del modello: nello shell compaiono i modi di vibrare

associati alla deformabilità delle superfici a spessore sottile che compongono la struttura (è  riportata  la  deformata  del  6°  modo  a  titolo  d’esempio)

Nel modello shell, più complesso, a pari range di frequenze compaiono più modi di vibrare

Risposta in frequenza Per evitare elevato onere computazionale si analizzano intervalli di frequenze centrati sulle prime 3 frequenze proprie, sfruttando la possibilità di inserimento di intervalli multipli nel singolo  step  “Steady-state  Dynamics,  Direct”  di  Abaqus. Si valutano qualitativamente gli spostamenti del punto della traversa corrispondente alla posizione di carrocroce e mandrino Si applicano solo le forze di lavorazione al mandrino (F1 e F2) Anche in questo caso si ottengono in corrispondenza delle risonanze spostamenti

congruenti con i rispettivi modi di vibrare

Buckling Anche  se  non  richiesta,  si  esegue  in  modo  puramente  qualitativo  un’analisi  all’instabilità  elastica della struttura. Di  fatto,  l’analisi  ha  come  unico  scopo  la  dimostrazione  dell’elevata rigidezza della

struttura: si ottengono valori di carico critico elevatissimi (addirittura fisicamente non possibili in campo elastico).

Si sollecita il telaio separatamente con un carico sonda F2=100N in direzione x e con un carico F1=100 N in direzione z, applicati al mandrino.

BEAM Si ottengono autovalori ≈ 106 Pcritico ≈ F2*106 = 108 N (>4500 MPa !!) la struttura non subirà mai fenomeni di instabilità in campo elastico SHELL autovalori più bassi, ma comunque elevati