Fare geometria come e perchè

La matematica non è una materia, è un metodo. Non è uno scaffale del sapere, quello che contiene formule, costruzioni mentali, astrazioni, che sembrano nascere le une dalle altre, per partenogenesi, come direbbero i biologi, senza una fecondazione all'esterno. E’ un metodo: il metodo che porta da situazioni fisiche a situazioni mentali, da strutture reali a strutture astratte, che però hanno a che fare con le strutture reali di partenza, sono un loro estremo perfezionamento (un loro limite).

Lucio Lombardo Radice (Lina Mancini Proia)Dalla prefazione al testo”Il metodo matematico nel mondo moderno” 1988, Principato

La geometria si presenta dentro la realtà, come semplificazione di una realtà, come «scarnificazione» della realtà fino a ridurla al suo puro scheletro, anzi ad una struttura mentale, limite ideale della struttura fisica. Perché i punti, le rette, i piani della geometria razionale sono «enti razionali», costruzioni della ragione, astrazioni, che aderiscono però alla struttura delle realtà «empiriche» dalle quali sono dedotte.

Carlo Felice Manara

Noi ci domandiamo: è possibile

con gli allievi una riflessione sulla

realtà e una presa di coscienza che

porti all'astrazione e alla concettualizzazione?

È possibile vivere questa esperienza concretamente

sia insieme che individualmente?

E’ possibile la costruzione del sapere?

È possibile...

Partiamo da ciò che ci suggerisce

la realtà, dai comportamenti

spontanei che ci accompagnano

quotidianamente e che diamo per

scontati, ma che sono le basi del nostro

agire.

Cose scontateNessuno di noi ha il dubbio che si possa spostare per esempio un bicchiere da un posto ad un altro senza che nulla cambi nella sua struttura, di fatto diamo per scontato ‘i corpi rigidi’ e gli spostamenti degli stessi che facciamo continuamente e che li mantengono tali.

Un bambino anche piccolo si stupirebbe che lo stesso oggetto quando gli viene sporto si afflosciasse, mentre non si stupisce che ciò succeda per l’orsacchiotto.

Un tempo si andava ad un vetro per “tracopiare” un disegno, eravamo sicuri, che a parte la mano tremolante, avremmo ottenuto “la stessa cosa”…

Che fare?• Come uscire da questa situazione?

• Come fare perché queste ‘cose che diamo per scontate’ diventino ‘conoscenza’?

• Occorre rendere esplicito ciò che è nascosto...

• La soluzione è .......

Condividere

Per condividere si può … incominciare a parlare …

Un primo problema è allora quello della condivisione delle “parole”.

Portiamo un esempio di dialogo concreto...

I ragazzi (scuola media) stavano tentando di descrivere un disegno perché venisse riprodotto.

Tracce del dialogo…già ci eravamo dovuti accordare sul significato della parola riprodurre...Ci sono parole che possono essere prese con significati diversi?Quando una cosa è creativaIn questo caso dobbiamo fare una cosa creativa? No, perché tutti devono fare la stessa cosa” …..Uno descrive …... disegna un rettangolo abbastanza lungo, all’altra estremità disegna un … non ho la parola per descrivere….Ma esiste questa parola? Dove andate a prendere questa parola?Dalle elementari, sono figure geometriche.

Quando una figura è geometrica … Dici una parola, lui subito fa una cosa …

Fareste tutti la stessa cosa?… Sì.

Sicuri? Se ci date le misure.

Senza le misure che cosa disegnereste? Lo stesso, ma non uguale.

Che cosa sarebbe uguale per tutti? La forma.

Che cosa si intende per forma? Il perimetro, il contorno. Che cosa vuol dire? Le linee che la chiudono.

Non possiamo dare alla parola ‘forma’ un significato che vada bene per tutti in modo che quando parliamo di forma tutti si sia della stessa idea? Se bisogna descrivere … le forme geometriche variano poco da persona a persona. Che cosa vuol dire? In un certo modo sono comunque definite.Che cosa vuol dire essere definite? In generale sono sempre uguali. Il triangolo è un esempio di forma definita. Ma perché è definita? Che cosa sanno tutti?Che è sempre fatto così, tre lati e tre angoli. Ma allora che cos’è la forma?Disegniamo un triangolo e vediamo se da esso riusciamo a capire che cosa intendiamo per forma.

Che cosa ha di caratteristico in modo che subito tutti hanno la capacità di avere in mente quell’”oggetto”? Tre lati e tre angoli.

E i lati che cosa sono? Delle linee, quello è un segmento.

Allora avete un’altra parola. Che cos’è un segmento? Ci sono nella realtà dei “segmenti”? Sì, un gesso, una biro, questo piccolo righello,…E sono il segmento? Forse sono un modello.

E il segmento dove sta? Esiste? Già, nella nostra mente!”

Ma forse è suggerito dagli oggetti che abbiamo elencato.

E del disegno che ne facciamo? E’ il segmento?

Anche lui è un modello! Di quello che abbiamo in testa! ..........

Oggetto idea modello

Oggetto concreto

Idea nella mente

Disegno come modello dell’idea

La presa di coscienza

Dalla realtà alle immagini, dalle immagini ai concetti.

Il percorso è lungo e imprevedibile perché la consapevolezza cresce contemporaneamente all’età e può essere diversa da bambino a bambino, ma con essa si strutturano le conoscenze e la capacità di sfruttarle in situazioni nuove.

realtà immagini concetti

il triangolo è....

Condividere significati

Le immagini mentali che ognuno di noi si crea rispetto ad una certa situazione, devono diventare le stesse per tutti se vogliamo sfruttarle per conoscere e agire nella realtà.

La condivisione avviene attraverso il confronto e la comunicazione, quindi attraverso il linguaggio che permette di associare le parole alle immagini.

Da qui comincia la geometria...

Il luogo della condivisione, della presa di coscienza, della comunicazione è la scuola.

La scuola lo è ovviamente anche per la lingua madre nella quale i significati delle parole hanno una efficace ridondanza.

Nella matematica il significato deve essere univoco per poter divenire linguaggio della scienza.

La scuola

ContributiOra sfruttiamo i vostri lavori per poter entrare nel vivo del discorso

Per quanto riguarda i commenti dei bambini e la loro capacità di mettere in relazione l’oggetto reale con le forme “concettualizzate”, non ho le competenze psicologiche per spiegare in che modo i bambini si sono costruiti nel corso dei loro sei anni di vita la capacità di chiamare quadrato un quadrato, forse nello stesso modo in cui imparano a chiamare sedia tutte le sedie (indipendentemente da colore, forma, posizione che occupano nella casa), forse è quel processo che li porta attraverso varie esperienze a costruirsi prototipi e poi concetti delle cose, un processo che inizia e continua fuori dalla scuola, che la scuola può accogliere ed accompagnare ma certo non pensare di esaurire con un’attività, in ogni caso i bambini a sei anni individuano e chiamano le forme con i loro nomi (sarà frutto del lavoro anche delle colleghe della materna? Non è questo un elemento di continuità verticale che dovremmo considerare?)

Antonietta Ciotta

Sedia e quadratoPer chiamare ‘sedia’ una sedia il bambino si costruisce spontaneamente un insieme di riferimento basandosi sulla sua esperienza.

Nel caso del ‘quadrato’ si tratta di costruire un oggetto mentale che nella realtà non esiste e che poco per volta deve poter essere studiato come tale (cioè puro costrutto mentale).

Usare la parola ‘quadrato’ La parola sedia ha dietro un percorso spontaneo di elaborazione concettuale, anche se inconscio, che è sufficiente per poter comunicare, per agire, per ottenere dei risultati nominandola.

La parola quadrato viene usata per indicare un modello che l’adulto offre al bambino come oggetto concreto e facendo ciò è come se gli nascondesse il percorso concettuale che ha portato l’umanità a condividere la stessa immagine mentale modellizzata in tante strutture che costruisce.

A scuola...Noi dobbiamo far sì che i bambini si chiedano da dove vengono quegli oggetti e come mai l’uomo usa il ‘quadrato’ come modello in tante strutture che costruisce.

A scuola...La condivisione di immagini mentali inizia già nella scuola materna ma è solo l’inizio del processo di astrazione:

• che cosa avete in mente quando dite ‘quadrato’?

• tu e il tuo compagno avete in mente la stessa cosa quando dite ‘quadrato’?

Queste sono domande da porre fin da quando i bambini sono molto piccoli.

Quando comincia la geometria?Sostanzialmente la geometria comincia quando prendo in esame due oggetti distinti e mi chiedo se hanno qualche cosa in comune. In una parola li confronto! La parola confrontare non significa ancora nulla se non si precisa il criterio, gli strumenti con cui si opera. La geometria come scienza è qui: nello scegliere certi criteri con cui effettuare questo confronto tra oggetti e nell’esaminare il risultato di questo confronto. Le proprietà geometriche dell’oggetto che stiamo considerando sono allora proprio quelle che, attraverso questo confronto, si scoprono comuni al nostro oggetto e a tutti quelli a lui accostati secondo i criteri che abbiamo scelto.

La geometria come scienza del confronto

Nei casi che abbiamo esaminato (sull’attività della casetta, ad esempio) di fatto questo confronto dà per scontati:

• i corpi rigidi

• l’uguaglianza per sovrapposizione

ritaglia uno sviluppo

fa combaciare i pezzi per incollarli

Per ricostruire la casetta la bimba fa in modo che combacino i ‘bordi’ di due elementi.

Ma i ‘bordi’ che cosa sono?

Nel disegno dello sviluppo che cosa erano? E le linguette? Fanno parte dello sviluppo?

Si può da qui cominciare una descrizione per arrivare a condividere un’immagine di forme e poterle confrontare?

Che parole usano i bambini? Queste ci mancano…

Punto, distanza, (segmenti?)

Sono arrivati a condividere queste

parole? Come?

Che cosa abbiamo in mente quando parliamo di ‘distanza’?

Prima città

Seconda città

Distanza tra due città

Distanza...

Possiamo modellizzare questo fatto così?

Immagine condivisa?

I bambini condividono questa immagine?Questo è la partenza di tutto...

Il punto C si trova a metà del lato AB?... calcolato: che cosa vuol dire?

la parola ‘acutangolo’ come è uscita?

Oggetti e formeNegli esempi che abbiamo visto ci sembra che vengano trattati nello stesso modo gli oggetti concreti su cui si dovrebbero applicare le astrazioni delle forme geometriche e le forme geometriche stesse, creando confusione tra i due livelli: questo andrebbe affrontato didatticamente proponendo attività in cui i due aspetti vengano chiaramente individuati.

Oggetti e formeOgni oggetto ha una sua consistenza materiale e una sua forma che fa riferimento a immagini mentali condivise a cui noi abbiamo attributo un nome ad esempio ‘il rettangolo’.

Ma l’oggetto concreto non è un rettangolo, ha la forma di un rettangolo.

Gli oggetti geometrici non hanno nulla a che fare con gli oggetti reali perché il rettangolo ‘geometrico’ non esiste nel mondo reale, è un costrutto della nostra mente che ci serve per dare il nome ad una proprietà degli oggetti reali che si chiama ‘forma’.

Oggetti e forme

Questo è un punto chiave: se ai bambini non si fa capire chiaramente che gli oggetti che manipolano sono una cosa e queste immagini mentali sono un’altra cosa

non si insegna geometria

ma si rimane nel campo delle intuizioni spontanee, non c’è nessuna evoluzione e non si arriva alla concettualizzazione.

Solo partendo dai concetti è possibile descrivere, dedurre, determinare le proprietà, scoprire caratteristiche implicite che gli oggetti vengono a possedere per come sono stati concepiti.

L’oggetto matematico così si può evolvere.

Esempio (per noi): disegno una circonferenza e in essa inscrivo un triangolo. Tra i vari casi che posso porre c’è anche quello che ha un diametro come lato.

Lo studio “concettualmente” e scopro che è un triangolo rettangolo.

Un punto chiave

Gli snodiProgressivo decentramento dal corpo:

•dal soggettivo all’oggettivo, come viene trasferito lo schema corporeo sull’oggetto (in particolare la casetta)

Dagli oggetti reali alle figure geometriche come oggetti mentali:

•seguendo le capacità concettuali dei bambini la geometria si sviluppa costruendo immagini condivise che attraverso ulteriori passaggi diventeranno concetti (Vygotskij)

Da infanzia a prim

aria

Gli snodi

Nei bambini della scuola primaria si vedono i germi dell’astrazione, nella scuola media il processo continua e si rafforza per arrivare....

…all’utilizzo delle conoscenze geometriche per sviluppare capacità argomentative cioè

la dimostrazione

Da prim

aria a media

Galileo

« La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto. » (Galileo Galilei, Il Saggiatore, Cap. VI)