Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Civile A/A 2012-2013 SLE DI DEFORMAZIONE IN...

Progetto di Strutture

Facoltà di Ingegneria

Corso di Laurea in Ingegneria Civile

A/A 2012-2013

SLE DI DEFORMAZIONE IN TRAVI DI

CEMENTO ARMATO

SLE di deformazione nel c.a. (Posizione del Problema)

Le deformazioni massime nelle strutture in c.a. devono essere limitate essenzialmente per evitare problemi di natura funzionale: evitare ad

esempio danni agli elementi non strutturali sorretti (tramezzi, tamponature, pavimenti etc..), evitare che grandi deformazioni compromettano

il razionale smaltimento delle acque, evitare indesiderati effetti antiestetici.

La valutazione analitica delle deformazioni e degli abbassamenti conseguenti non è cosa facile in strutture in c.a. per i problemi già messi

sufficientemente in evidenza nel caso di stato limite di fessurazione. La difficoltà maggiore consiste essenzialmente nel valutare la rigidezza

degli elementi strutturali in presenza di fessurazione. Come già visto nel caso di sole tensioni normali la rigidezza media di una trave fessurata

può calcolarsi tenendo conto del calcestruzzo ancora reagente che si trova tra due fessure consecutive (tension stiffening effect).

Si tenga presente inoltre che le deformazioni nelle strutture in c.a. dipendono anche da altri fenomeni non meno importanti come il ritiro e la

viscosità che modificano lo stato deformativo anche in assenza di variazione dello stato di carico.

SLU travi in c.a. - Deformazione

INTRODUZIONE

SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)

IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione interamente reagente)

Come già accennato in precedenza il calcolo analitico delle deformazioni dipende dalla possibilità di modellare in maniera accurata il fenomeno

della fessurazione. Le formulazioni approssimate di tale fenomeno conducono a risultati che presentano notevoli differenze rispetto ai risultati

dell’esperienza sperimentale.

Una prima approssimazione consiste nel presupporre la sezione interamente reagente. Indicando con II il momento d’inerzia della sezione della

sezione interamente reagente la curvatura è data dalla relazione

IcIE

)x(M)x(''v)x(

Curvatura della sezione

Interamente reagente Per doppia integrazione della curvatura si ottiene lo

spostamento v(x)

dd)(x)0('v)0(v)x(vx

0 0

)'x(v

Calcolo travi in c.a. - Deformazione

Calcolo analitico


IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione interamente reagente)

Un metodo alternativo all’integrazione diretta della curvatura è, nel caso di strutture isostatiche, far uso del teorema dei lavori virtuali

Sistema reale Sistema Virtuale

dxxxMfx abab 0

)()()()( )()(1

Sistema virtuale

Sistema reale

Ic

aa

IE

xMx

)()(

)()(

dxIE

xMxMf

x

Ic

aba 0

)()()( )(

)(


Calcolo analitico


IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)

Quando nella sezione viene superata la resistenza a trazione nel calcestruzzo, la deformazione nell’acciaio potrebbe essere espressa come una

frazione della deformazione dello stesso al secondo stadio, come era prescritto in passato dal D.M. 09.01.06:

IIs

s

sr

s

ssm E ,

2

1

IId

f

IIs

cdsm M

M

IE

ydM

2

1)(

Nel caso di

pura flessione

s

I° stadio

II° stadio

M

Fessurazione

Tension Stiffening

II,stadio

< 1

In corrispondenza della condizione Md

=Mf

sussiste una discontinuità in

quanto il valore della sm

non corrisponde a quello relativo al I° stadio

Momento di

fessurazione

yc d


Calcolo analitico



ss

ct

s

ssm 2

f1

E

Trattazione semplificataNormativa (EC2)

Nel caso di trazione semplice la tensione sr

vale

sctscctsr fA/Af

2

1ss

ct

s

ssm

f

E

Forma analoga


Calcolo analitico



La normativa europea (EC2) tenta di correggere tale discontinuità definendo la deformazione dell’acciaio nella sezione fessurata come

combinazione della deformazione al I° e al II° stadio (deformazione media del concio fessurato)

IIsIssm ,, 1

Deformazione media del concio di trave fessurata

secondo

l’Eurocodice 2 e NTC08

c

smm yd

yc d

II,ssm

Deformazione media dell’acciaio

nella sezione fessurata secondo

Il D.M. 9.1.96

dd)(x)0('v)0(v)x(vx

0 0m

IIIm 1


Calcolo analitico




Calcolo analitico



Volendo quindi calcolare la deformazione di una struttura isostatica tenendo conto delle indicazioni della normativa europea si possono

calcolare le caratteristiche geometriche della sezione al I° e II° stadio, per poi calcolare analiticamente l’abbassamento con l’equazione della

linea elastica sovrapponendo gli effetti così come indicato dall’Eurocodice 2. In alternativa è possibile utilizzare il TLV

IIIm 1 y

c d

yc

d

I° stadio

II° stadio

I

II

ddEI

Mdd1

EI

M.I.Cv

x

0 0 IId

x

0 0 Id

m Equazione

Linea

elastica

T.L.V.

dxEI

xM

EI

xMxMv

x

I

d

I

dIII

0

)0()0()1(, )(

)1()(

)(

Momento sist. virtuale

Curvatura media sist. reale


Calcolo analitico



Metodo Alternativo

Un metodo alternativo è quello di separare le zone di trave fessurate da quelle non fessurate e applicare l’integrale (TLV) per la determinazione

dell’abbassamento tenendo conto della diversa distribuzione delle caratteristiche meccaniche

L

v

Mfess

a b c

Zona fessurata

(Zona non fessurata)

m

j ia

IIb

j

n

i ia

Ib

ia xxMxxMf

1

)()(

1

)()()( )(1)(

dxxxMfx

mba 0

)()( )()(

DISCRETIZZAZIONE

Zona fessurataZona non fessurata


Calcolo analitico



Metodo Alternativo

Un metodo alternativo è quello di separare le zone di trave fessurate da quelle non fessurate e applicare l’integrale (TLV) per la determinazione

dell’abbassamento tenendo conto della diversa distribuzione delle caratteristiche meccaniche


Calcolo analitico



ESEMPIO

Gk,Q

k

6m 3m f ?

Calcolare lo spostamento verticale della trave di figura utilizzando i dati indicati a lato. Per il

calcolo fare riferimento alle NTC08

Dati

b=20 cm

h=60 cm

As=210=1.57cm2

As’=314=4.62cm2

Cls: Rck 25 Mpa

Acciaio: B450C

Gk = 22 kN

Qk = 10 kN

b

hAs

As’


Calcolo analitico



ESEMPIO

Lo spostamento di può calcolare rapidamente facendo uso del Teorema dei Lavori Virtuali:

dx)x()x(Mf1x

0

)a()b()a()b(

Sistema virtuale

Sistema reale

Sistema Reale Sistema Virtuale


Calcolo analitico



ESEMPIO

Calcolo con riferimento al solo II stadio. La normativa non fornisce alcun criterio di calcolo e rimanda a criteri reperibili in letteratura. Il

precedente decreto faceva riferimento alla curvatura al secondo stadio corretta del tension stiffening effect.

Caratteristiche della sezione:

I° Stadio – Trascurando la presenza dell’armatura si ha

yI=29 cm JI = byI 3/3+b(h-yI)3/3 +nAs(d-yI)2+nAs’(yI-d’)2 = 426507cm4

WI=14707 cm3

II° Stadio

- calcolo asse neutro (n=15)

- calcolo momento d’inerzia

cm94.151nA

bd21

b

nAy

s

GsIIc

cm3.43

'AA

'd'AsdAsd

ssG

42IIc

2IIc

3IIcII cm147778)yd(nAs)'dy('nAs3

byJ


Calcolo analitico



ESEMPIO

La normativa Europea prevede il calcolo delle deformazioni per carichi permanenti o quasi permanenti. La combinazione prevista per questa

tipologia di carichi è la seguente:

)al(EJ3

aF

EJ3

aF

EJ3

laFdxx

EJ

Fdxx

lEJ

aFdxx

EJ

xFdxx

l

a

EJ

xla

Ff

II

2k

II

3k

II

2k

a

0

2II

kl

0

22II

2k

a

0 IIk

l

0 II

k

824.07200

42655.015.011

222

aF

Wf

M

M

k

Ictm

d

fess

kNQGFi

ikikk 24102.0222 Combinazione di carico quasi permanente


Calcolo analitico



ESEMPIO

Calcolo con riferimento al EC2

La normativa suggerisce di adottare il calcolo della deformazione come combinazione della freccia riferita alla sezione al primo stadio e della

freccia calcolata con la sezione al II° stadio

cm

alEJ

aFal

EJ

aFfff

IIk

IkIII

m

328.1824.051.1)824.01(523.0

)(3

)1)((3

122

cmff I 523.0)300600(42650729003

30024 2

cmff II 51.1)300600(

14777829003

30024 2


Calcolo analitico



ESEMPIO

xi (cm) dxi (cm) Ej I° (kNcmq) EJ II° kNcmq Mfess (kNcm) Md (kNcm) 1 (1/cm) (1/cm) media (1/cm) M' (kNcm) media*M'*dxi0 50 1220000000 428000000 4260 0 0 1 0 0 0 0 0

50 50 1220000000 428000000 4260 600 0 1 4.92E-07 1.402E-06 4.91803E-07 25 0.000614754100 50 1220000000 428000000 4260 1200 0 1 9.84E-07 2.804E-06 9.83607E-07 50 0.002459016150 50 1220000000 428000000 4260 1800 0 1 1.48E-06 4.206E-06 1.47541E-06 75 0.005532787200 50 1220000000 428000000 4260 2400 0 1 1.97E-06 5.607E-06 1.96721E-06 100 0.009836066250 50 1220000000 428000000 4260 3000 0 1 2.46E-06 7.009E-06 2.45902E-06 125 0.015368852300 50 1220000000 428000000 4260 3600 0 1 2.95E-06 8.411E-06 2.95082E-06 150 0.022131148350 50 1220000000 428000000 4260 4200 0 1 3.44E-06 9.813E-06 3.44262E-06 175 0.030122951400 50 1220000000 428000000 4260 4800 0.606 0.394 3.93E-06 1.121E-05 8.34768E-06 200 0.08347677450 50 1220000000 428000000 4260 5400 0.689 0.311 4.43E-06 1.262E-05 1.00681E-05 225 0.113266489500 50 1220000000 428000000 4260 6000 0.748 0.252 4.92E-06 1.402E-05 1.17249E-05 250 0.146560882550 50 1220000000 428000000 4260 6600 0.792 0.208 5.41E-06 1.542E-05 1.33353E-05 275 0.183359947600 50 1220000000 428000000 4260 7200 0.825 0.175 5.9E-06 1.682E-05 1.49109E-05 300 0.223663685650 50 1220000000 428000000 4260 6000 0.748 0.252 4.92E-06 1.402E-05 1.17249E-05 250 0.146560882700 50 1220000000 428000000 4260 4800 0.606 0.394 3.93E-06 1.121E-05 8.34768E-06 200 0.08347677750 50 1220000000 428000000 4260 3600 0 1 2.95E-06 8.411E-06 2.95082E-06 150 0.022131148800 50 1220000000 428000000 4260 2400 0 1 1.97E-06 5.607E-06 1.96721E-06 100 0.009836066850 50 1220000000 428000000 4260 1200 0 1 9.84E-07 2.804E-06 9.83607E-07 50 0.002459016900 50 1220000000 428000000 4260 0 0 1 0 0 0 0 0

1.100857228


Calcolo analitico

SLE di deformazione nel c.a. (Strutture Iperstatiche)

IL CALCOLO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)

Nel caso di strutture iperstatiche il diagramma dei momenti non è noto a priori e dunque il calcolo della deformazione non risulta essere

immediato. Si può ad esempio ricorrere al metodo delle forze per la determinazione delle caratteristiche della sollecitazione ed integrare

successivamente l’equazione della linea elastica. In alternativa è possibile integrare l’equazione della linea elastica nella seguente forma:

Dove p è il carico distribuito lungo la trave

L’approccio classico al problema è di tipo numerico-iterativo.

pvIE IV


Calcolo analitico

BIBLIOGRAFIA

Per maggiori approfondimenti consultare

Cap. 14 Aurelio Ghersi – IL CEMENTO ARMATO

Cap. 11 – Progettazione di Strutture in calcestruzzo armato – AICAP

Cap 13 – Renato Giannini - Teoria e Tecnica delle Costruzioni civili


Calcolo analitico

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