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* Prof.: REYES ÑIQUE J. MIGUEL

* U.R.P. - Esc. Ingeniería Mecatrónica 1

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UNIDAD TEMÁTICA Nº 4:

En esta unidad el estudiante se familiarizará con las tres leyes deNewton, en particular con la segunda, y las aplicará a los cuerposque se encuentra bajo la acción de diversas fuerzas mecánicas.

DINÁMICA DE LA PARTÍCULA

Prof. MIGUEL REYES

D I N A M I C A

Es la parte de la mecánica que estudia las causas que condicionanel movimiento de los cuerpos.

Símbolo: m , M

Es la propiedad que tienen los cuerpos de resistirse avariar su estado de reposo ó de movimiento.

Es una magnitud escalar positiva que se utiliza comomedida de la inercia de un cuerpo.

Es una magnitud vectorial que se utiliza como medidade la intensidad de interacción entre los cuerpos.

F ,f

Símbolo:

MASA

FUERZA

INERCIA

Veamos algunos conceptos previos:

2Prof. MIGUEL REYES

LEYES DE NEWTON

Sistema de referencia inercial

1ra Ley :

Estas leyes son el resultado de la generalización de una grancantidad de hechos experimentales.

Todo cuerpo continúa manteniéndose en su estado de reposo o de

movimiento rectilíneo uniforme, en tanto en cuanto otros cuerposno actúen sobre el y le obliguen a cambiar dicho estado.

La 1ra ley de Newton sólo se cumple en los sistemas de referenciallamados inerciales , o sea en aquellos que no tienen aceleración.

A la superficie de la Tierra se le considera como inercial debido aque su aceleración es muy pequeña (en su movimiento de rotaciónalrededor de su eje).

< == > ( Ley de inercia de Galileo )

3

F am

Ni

1i

iF F

2da Ley :

Unidades ( SI )

N1 s

m kg 1

2 De aceleración : el metro/segundo2 ( 1 m/s2 )

De masa : el kilogramo ( 1 kg )

De fuerza : el Newton ( 1 N )

ma

F

Aquí:

El producto de la masa m del cuerpo por su ace-leración es igual a la fuerza resultante queactúa sobre él.

a

F

(4.1) . . .

xx F am yy F am ;

Si la partícula se mueve en el plano XY, entonces esta ecuaciónvectorial es equivalente a las siguientes dos ecuaciones escalares:

(4.2) . . .

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3ra Ley :

F F BAAB

La fuerza que el cuerpo A experimenta por parte del cuerpoB es del mismo valor pero opuesta a la fuerza que el cuerpo Bexperimenta por parte del cuerpo A.

ABF

BAF

( Acción Reacción )

Línea deacción

cuerpoB

cuerpoA FAB FBA

(4.3) . . .

Hacemos notar que la fuerza FAB actúa sobre el cuerpo A y lafuerza FBA actúa sobre el cuerpo B.

5Prof. MIGUEL REYES

FUERZAS MECÁNICAS MAS CONOCIDAS :

Normal ( ) .- N

Tensión ( ) .-

Es la fuerza que la tierraejerce sobre un cuerpo.

T

Fuerza de gravedad ( ó ) .-W P

Fuerzas de fricción ( o de rozamiento ) .-

Fuerza elástica ( ) .-eF

Es la fuerza que un cuerpo ejerce sobre su apoyoó su suspensión.

DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE ( DCL ).

Peso ( ) .-G

6Prof. MIGUEL REYES

A) Dinámica del movimiento rectilíneo

EJEMPLO:

APLICACIONES de las leyes de Newton

La figura muestra dos bloques de masasm1 y m2 unidos por una cuerda que pasa

por una polea. La cuerda y polea sonideales y sin fricción.a) Haga los DCL’s de los bloques y polea

por separado. m1

m2

Rpta. : b) c)gmm

mm a

21

21y1

g

mm

mm2 T

21

21

b) Encuentre la aceleración de cadabloque.

c) Halle la tensión de la cuerda.

7

m2

m1

a) DCL’s de los bloques y polea por separado

1o. Elegimos un sistema de referencia:techo eje OY (hacia abajo)

2o. Aplicamos la 2da ley de Newton a cadabloque, en su forma escalar:

(1)..... am T gm y1111

(2)..... am T gm y2222

T1 T2

R

m2 g

T2

SOLUCION:

m1 :

m2 :

b) Aceleración de cada bloque

Y

0

T1

m1 g

3o. Como la polea es ideal, o sea su masa mP es nula, entonces lasfuerzas de tensión a ambos lados de ella son iguales:

(3)..... T T 21 8Prof. MIGUEL REYES

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m2

m1

Y

0

4o. Hasta el momento se tienen 4 incógnitas(T1 , T2 , a1y , a2y ) y sólo 3 ecuaciones.

cuerda

l

*) Ahora derivamos ésta relación respecto altiempo, teniendo presente que l cuerda = const .Obtenemos:

)0v( 0 )0v( 0 y2y1 y2y1 v v

(4)..... a a y2y1

*) Derivamos ésta última relación, respecto al tiempo, obteniendonuestra 4ta ecuación:

y1

y2

yP

Necesi-tamos de una 4ta ecuación, la cual estable-ceremos de la siguiente manera:

)yy( P1 arcol )yy( P2

9

*) Expresamos la longitud de la cuerda entérminos de las coordenadas de posición delos bloques y la polea. De la figura:

Prof. MIGUEL REYES

5o. Resolvemos. De (1) (2) , y teniendo en cuenta (3) y (4), seobtiene que:

gmm

mm a

21

21y1

g

mm

mm a

21

21y2

Usando éstos últimos resultados en las ecs. (1) y (2), obtenemos:

gmm

mm2 T T

21

2121

c) Tensión de la cuerda

10Prof. MIGUEL REYES

En los casos mostrados en las figuras, el sistema de bloques demasa m1 y m2 se encuentra sobre una superficie horizontal lisa. Seaplica una pequeña fuerza horizontal F a uno de los bloques, talque éste no deslice respecto al otro (se muevan juntos). Elcoeficiente de fricción estática entre los bloques es e .

EJEMPLO:

Caso A Caso B

a) Haga los DCL’s de los bloques por separado.

b) Encuentre el máximo valor de la fuerza F.

m1

m2

e 0

= 0

Fm1

m2

e 0

= 0F

11Rpta. : a) , b)

gm

)mm(m μ F

2

211emax

g)mm(μ F 21emax

SOLUCION:

m1

m2

FCaso a)

1o. Elegimos un sistema de referencia:superficie horizontal,

ejes XY.

a) DCL’s de los bloques por separado. f e

m1g

N1

m2g

N2 N1

f e

m1 : x11e am f F

0 am gm N y1111

0 am gm N N y22212

x22e am f m2 :

b) Máxima fuerza F

2o. Aplicamos la 2da ley de Newton acada bloque, en su forma escalar:

(1)................

(2).....

(4).....

(3).....................

y1

X

Y

0


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gm

)mm(m μ F

2

211emax

Ya que los bloques se deben mover juntos, entonces sus velocida-des deben ser iguales, o sea v 1 x = v 2 x .

De (6) , (2) y ésta última relación, obtenemos:

Y por consiguiente (5)..... a a x2x1

De (1) , (5) y (3):

2

e1em

f m f F (6)..... F

mmm f

21

2e

1emaxe,e Nμ f f Además:

gm

)mm(m μ F

2

211e

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Caso b)

Prof. MIGUEL REYES 15

Dos bloques de masa m1 = 20 kg y m2 = 40 kg están unidos poruna cuerda. La fuerza F es constante y paralela al plano inclinado(tg

= 3/4) pero de valor desconocido. El bloque m2 sube por elplano inclinado con una aceleración a2 = 2,5 m/s2. El coeficientede fricción cinética entre los bloques y las superficies es el mismo,

= 0,5.

Rpta. : b) F = 640N , c) T = 148N

a) Haga los DCL’s de cada bloque por separado.b) Encuentre el valor de la fuerza F.

EJEMPLO:

c) Calcule la tensión T en la cuerda.

Cuerda ypolea ideales

F

m1 θ


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F

m1 θ

a) DCL’s de los bloques ( por separado ):

1o. Elegimos un sistema de referencia:

x1

x2

f 2 m2gT

N1

f 1

SOLUCION:

b) Fuerza F

centro de la polea

ejes cartesianosXY ( para m1 )

Y ’ X ’

m2g

T

N2

X’Y’ ( para m2 )

X

Y

17

(1)... am Nμ T x1111

2o. Aplicamos la 2da ley de Newton a cada bloque, en su formaescalar:

m1 : x111 am f T

0 am gm N y1111

(3)... am θsengm Nμ T F'

x22222

0 am θcosgm N'

y2222

m2 :

3o. Resolvemos.

Se tienen 3 incógnitas ( T , a1x , F ) y sólo 2 ecuaciones (ec. (1) y (3)).

(2)... gm N 11

(4)... θcosgm N 22

Por ello, para establecer una 3ra ecuación, utilizaremos el hecho deque la longitud de una cuerda ideal es constante: l cuerda = const.

De la figura:18

)x( )( )x( '2arco1cuerda l l

Volviendo a derivar ésta última relación, respecto al tiempo,obtenemos que:

(5).... a a ' x2x1

Derivando esta relación, respecto al tiempo, obtenemos:

'

x2x1 v 0 v 0

'

x2x1 v v

De (3) (1), teniendo en cuenta (5), (2) y (4), se obtiene:

θsengm g)θcosm m(μa)m(m F 221'

x221

N 640 5

39,840 9,8)

5

440 20(0,5 2,540)(20

De (1), (2) y (5), obtenemos: )a gμ(m T x21

c) Tensión T en la cuerda

)2,5 9,80,5(20 N 148 19Prof. MIGUEL REYES

EJERCICIO:

La figura muestra a un joven sentadosobre una silla que está amarrada a unacuerda ideal que pasa por una polea y queen su otro extremo tiene un dinamómetro.Del otro extremo del dinamómetro jala el

joven y el dinamómetro da una lectura de250 N. La masa del joven es 70 kg y la dela silla 10 kg.a) Haga los DCL’s del joven y de la silla, por separado.

b) Haga el DCL del joven y de la silla como un todo.

c) Encuentre la aceleración del joven. Indique hacia donde semueve.

d) Halle la fuerza que el joven ejerce sobre la silla.


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SOLUCION:


Dos bloques están enlazadospor cuerdas y poleas ideales ysin fricción. Además, m1 = 5kg , m2 = 10 kg , c = 0,2 y

= 37o.

b) Haga los DCL’s de los bloques y de la polea P1 (por separado).

c) Calcule las aceleraciones de cada bloque.

d) Halle la tensión en cada cuerda.

EJEMPLO:

Rpta. : c) d)21y m/s 0,83 a 2

2x m/s 1,66 a N 53,15 T1 N 26,57 T2

a) Demuestre que los módulosde las aceleraciones de losbloques satisfacen la siguienterelación: a2 = 2 a1 .

m 2

P2

P1

m 1

Cuerda 2

Cuerda 1

23

m 2

P2

P1

m 1

Cuerda 2

Cuerda 1

1o. Elegimos un sistemade referencia:

SOLUCION:

a) Demostración: a2 = 2 a1.

Y

0

X

Y

xyP1

y2o

. Expresamos la longitud decada cuerda de la siguientemanera:

2cuerda

l

1cuerda

l

3o. Derivando dos veces cada una de éstas relaciones, respecto altiempo, obtenemos ( l cuerda = const ):

xyP1, a a2 0 (1)..... a2 a yx

yP1,y a a 0

centro de polea P2,ejes Y y XY.

x P2arco

l yP1 P1arcol P1y

P1y y


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m 2

P2

P1

m 1

X

Y

Y

0

b) DCL’s de m1 , m2 y P1( por separado ).

T1

P1

T2 T2

T1 P2 N

T2

f c

Tomando módulos a ambosmiembros de (1):

12a2 a

4o. Aplicamos la 2da ley deNewton a cada bloque, ensu forma escalar:

m1 Eje Y: )2( ..... am gm T y111

m2 Eje X: )3( ..... am θsengm f T x22c2

Eje Y: )4( ..... 0 θcosgm N 2

c) Aceleraciones de m1 y m2 .

25

De (2), (3), (4) y (5) obtenemos:

Eje Y: yP1,P112 aM T T2 )5( ..... 0 P1

)6( ..... am am2 gm )θcosμ θsen(gm2 y1x21c2

5o. Resolvemos.

De (1) en (6):

)7( m m4

m )θcosμ θsen(m2 g a

12

1c2y

5 104

5 )4/50,2 3/5(102 9,8

Y:

2m/s 0,83

2

x m/s 1,66 )0,83(2 a 26Prof. MIGUEL REYES

De (2):

De (5):

d) Tensión en cada cuerda .

)a g(m T y11

)0,83 9,8(5 N 53,15

2/T T12

2/53,15 N 26,57


Rpta. : b)

B) Dinámica del movimiento curvilíneo ( circular )

)Lω

g (cosarc θ

2

EJEMPLO:

a) Haga el diagrama de cuerpo libre de laesferita.

b) Halle el ángulo

que hace el hilo con lavertical.

L

m

La figura muestra una esferita de masa m,suspendida por un hilo ideal de longitud Ly girando alrededor de la vertical con unavelocidad angular constante

.


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