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LABORATORIO INFORMATICO

SVILUPPO DI UNA POLIGONALE APERTA

Per sviluppare l’esercitazione faremo riferimento al se-guente problema pratico:

Problema

Con una stazione totale si è rilevata la poligonale apertadi vertici 1-2-3-4-5-6-7, eseguendo le misure riportatenel registro allegato. Si conoscono poi le coordinate delvertice iniziale 1 (X1 � 500,00 m; Y1 � 200,00 m). Sa-pendo che nella stazione eseguita sullo stesso punto ilgoniometro è stato orientato correttamente, determinarele coordinate dei vertici della poligonale.

Lo schema geometrico del problema è illustrato in �FIGU-

RA A. Osserviamo subito, dall’enunciato del problema, che ilcerchio del goniometro, nella stazione sul punto 1, è statoorientato, dunque la lettura al cerchio orizzontale eseguitasul punto 2 coincide con l’azimut del primo lato, cioè:(12) � 100c. Nelle restanti stazioni, poi, il cerchio del gonio-metro è stato orientato sulla stazione precedente (letturanulla), quindi la lettura al cerchio eseguita sulla stazione

seguente rappresenta direttamente l’angolo al vertice cor-rispondente al punto di stazione; per esempio:

123 � �2 � 145c,3213 � 0c � 145c,3213

234 � �3 � 289c,4532 � 0c � 289c,4532 ecc.

1. Preparazione del foglio

Il calcolo numerico delle poligonali si sviluppa sempre conmodalità ripetitive, che perciò si prestano particolarmentebene a essere automatizzate con lo schema a griglia (strut-turato in righe e colonne) tipico del foglio elettronico.

In questa esercitazione svilupperemo un esercizio nu-merico che si riferisce a una poligonale aperta non vin-colata, dunque senza implicazioni di compensazionedelle misure. L’esercitazione ci fornisce il pretesto per il-lustrare come può essere strutturato il foglio elettronicoper sviluppare i calcoli connessi alle poligonali.

Excel Sviluppo di una poligonale apertanon compensabile

DI COSA CI OCCUPIAMO

1 2 100c,0000 99,22

21 0c,0000 –

3 145c,3213 78,43

32 0c,0000 –

4 289c,4532 102,34

43 0c,0000 –

5 168c,3254 91,32

54 0c,0000 –

6 72c,4322 66,12

65 0c,0000 –

7 159c,4444 56,66

Punto Punti Angoli Distanzedi stazione collimati orizzontali (m)

FIGURA A Schema geometrico della poligonale.

0

51 2

(23)

3

4

Y

X

(12)=100c

99,22

145c,3213

6

7

(500;200)

(34)289c,4532

78,4

3

102,34

91,32

66,12

56,66

168c,3254

72c,4322(45)

(56)

(67)159c,4444

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In effetti, riproducendo sul foglio elettronico lo schemadi un registro di restituzione già illustrato in precedenza,possiamo utilizzare alcune colonne del foglio per contene-re elementi geometrici omogenei della poligonale.

• Individuazione delle celle Si possono definire i contenuti di queste colonne secondo ilseguente schema:

Elementi assegnati

Aree del foglio Contenuto

Colonna B Numerazione dei vertici

Colonna C Lunghezze dei lati

Colonna D Angoli al vertice

Elementi da calcolare

Aree del foglio Contenuto

Colonna E Azimut dei lati

Colonna F Ascisse parziali dei vertici (x)

Colonna G Ordinate parziali dei vertici (y)

Colonna H Ascisse totali dei vertici (X)

Colonna I Ordinate totali dei vertici (Y)

Fissiamo subito sulla griglia le colonne appena individuateassegnando loro i corrispondenti titoli di testa, sistemando-li nelle righe 4 e 5. Utilizzeremo poi la riga 2, unendo le cel-le D2, E2, F2, G2, per assegnare il titolo al foglio inserendoin esse la stringa POLIGONALE APERTA, come illustrato in�FIGURA B.

• Formattazione delle celle È poi opportuno formattare in modo adeguato le celle uti-lizzate nel calcolo. In effetti le celle che conterranno coordi-nate o distanze (dunque le colonne C, F, G, H, I), potranno es-sere formattate come numeri con 2 cifre decimali, mentrequelle che contengono i valori angolari, cioè le celle dellecolonne D ed E, è necessario siano formattate come numeri a4 cifre decimali. Infine la colonna B sarà formattata con nu-meri interi (0 cifre decimali), dovendo contenere i numeriche identificano i vertici della poligonale.

Per formattare le celle, occorre prima selezionarle (nelnostro caso è possibile selezionare un’intera colonna clic-cando sulla corrispondente lettera nella sua intestazione),quindi premere sul piccolo bottone a freccia inclinata pre-sente nella sezione Numeri della scheda Home (cerchiata in�FIGURA B). Ciò provocherà l’apertura di una finestra di dia-logo nella quale selezionare le caratteristiche dei dati che sa-ranno poi contenuti nelle celle selezionate. Nella �FIGURA B,dopo avere selezionato la colonna D, vengono scelti il tipo didati (numeri) e le sue caratteristiche (numero di decimali).

• Schema di utilizzo delle righe Occorre poi strutturare il foglio valutando opportunamen-te l’utilizzo delle righe.

In effetti è necessario che venga assegnata una riga per idati attinenti a ciascun vertice della poligonale, tuttavia, conl’accorgimento di alternare le righe impiegate per i verticicon righe vuote, nelle quali verranno poi inseriti quei datiche non sono riferibili ai vertici, ma ai lati compresi tra duevertici consecutivi (come lunghezza dei lati e azimut).

Se, per esempio, consideriamo i primi due vertici 1 e 2, aessi possiamo assegnare le due righe 7 e 9, le quali conter-

FIGURA B Formattazione di tutte le celle della colonna D con numeri di 4 cifredecimali.




ranno gli elementi a essi riferiti (angoli al vertice, coordina-te parziali e totali). Nella riga intermedia, la 8, verranno in-seriti (oppure calcolati) gli elementi connessi al lato com-preso tra i vertici 1 e 2, cioè la distanza 1-2 e l’azimut (1-2).

2. Inserimento delle misure

Prima di procedere alla fase di calcolo è necessario inserirenella riga 7 gli elementi noti riferiti al punto 1, che sono ledue coordinate totali (X1 � 500 m; Y1 � 200 m) e che pertan-to andranno inserite, rispettivamente, nelle celle H7 e I7, men-tre nella riga 9 inseriremo gli elementi misurati riferiti al ver-tice 2, cioè l’angolo al vertice �2 � 145c,3213 da inserire nellacella D9. La riga 8, intermedia tra righe 7 e 9 relative ai vertici1 e 2, viene utilizzata per ricevere gli elementi relativi al latoche collega gli stessi vertici 1 e 2. Dunque la lunghezza del la-to 1-2 (99,22 m) verrà inserita nella cella C8 e l’azimut asse-gnato dello stesso lato, (1-2) � 100c, nella cella E8 (�FIGURA C).

Analogamente utilizzeremo la riga 11 per inserire gli ele-menti misurati riferiti al vertice 3, cioè l’angolo al vertice �3 �289c,4532 da inserire nella cella D11; mentre la riga interme-dia tra i vertici 2 e 3, cioè la riga 10, viene utilizzata per inse-rirvi gli elementi relativi al lato 2-3, cioè la lunghezza del lato2-3 (78,43 m), che verrà inserita nella cella C10, e l’azimut(2-3), che dovrà essere calcolato in seguito, nella cella E10.

Procedendo in modo analogo si completa l’inserimentodei dati della poligonale come illustrato in �FIGURA C.

3. Calcolo della poligonale

Come visto nella parte teorica, lo sviluppo geometrico del-la poligonale procede secondo le seguenti tre fasi di calco-lo, nel cui ambito vengono applicate le formule indicate.

Fase Operazione e formule

1 Calcolo degli azimut dei lati�i � �i �1 � �i � 200c

2 Calcolo delle coordinate parziali(xi)i �1 � di �1 � sen �i �1

(yi)i �1 � di �1 � cos �i �1

3 Calcolo delle coordinate totaliXi � Xi �1 � (xi)i �1

Yi � Yi �1 � (yi)i �1

• Calcolo degli azimut dei latiIl calcolo dell’azimut avviene applicando la legge di propa-gazione degli azimut. Per esempio l’azimut (2-3) della poli-gonale deve essere determinato con la seguente relazione:

(2-3) � (1-2) � �2 � 200c

La relazione precedente contiene un’apparente ambiguitàlegata al doppio segno di �200c. Per sciogliere automatica-mente questa ambiguità occorre utilizzare la funzione Ex-cel SE(..), che possiede una struttura logica con cui è possi-bile operare automaticamente scelte in base alla valutazio-ne di una condizione da sottoporre a test (scelta condizio-nata). La sintassi di questa funzione (che abbiamo già illu-strato in una precedente esercitazione), ricordando cheessa deve essere preceduta dal segno di uguale, è così sinte-tizzabile:

� SE (condizione ; se vera ; se falsa)

Il primo argomento della funzione è la condizione da sot-toporre a verifica; se questa è vera viene attivato il secondoargomento (se vera), se è falsa viene invece attivato il terzoargomento (se falsa). Gli argomenti devono essere separatidal simbolo «;».

FIGURA C Inserimento delle misure eseguitesulla poligonale. I vertici sono stati collocati surighe alternate per consentire l’inserimento,nel foglio, degli elementi riferiti ai lati della poligonale.

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Dunque, attivando via via le successive celle E12, E14, E16,E18, e generalizzando per analogia quanto detto in prece-denza, possiamo usare la funzione appena descritta per cal-colare gli azimut di tutti i lati della poligonale (si veda latabella a fondo pagina).

Sappiamo poi che non è conveniente riscrivere questeformule via via nelle celle predefinite, ma per procederepiù rapidamente è opportuno copiare il contenuto dellacella E10 in cui è presente la funzione per il calcolo dell’a-zimut (2-3) nella cella E2 [calcolo dell’azimut (3-4)], poicopiare il contenuto della stessa E10 nella cella E14, e cosìvia fino alla E18. Excel provvederà poi ad adeguare i riferi-menti relativi presenti nelle formule copiate per adattarlialla loro nuova destinazione.

Per copiare il contenuto della cella E10 nelle celle E12,E14, E16, E18, occorre in primo luogo selezionarla, quindiserve attivare il menu di scelta rapida premendo sul tastodestro del mouse, e scegliere il comando Copia. Infine si se-leziona la prima cella di destinazione E12 e, attivando dinuovo il menu di scelta rapida, si seleziona il comando In-colla senza ulteriori interventi.

Completiamo la procedura «incollando» la stessa fun-zione nelle successive celle E14, E16, E18.

Nel nostro caso la condizione da sottoporre a verifica èla seguente:

(1-2) � �2 200c

Se questa è vera, l’azimut (2-3) sarà fornito dalla relazione:

(2-3) � (1-2) � �2 � 200c

Se al contrario è falsa (cioè (1-2) � �2 200c), allora l’azi-mut (2-3) viene ricavato dalla relazione:

(2-3) � (1-2) � �2 � 200c

La struttura della funzione allora diviene:

SE [(1-2) � �2 200c ; (1-2) � �2 � 200c ; (1-2) � �2 � 200c)]

Ricordando che sul foglio elettronico l’azimut del lato pre-cedente (1-2) si trova nella cella E8, e l’angolo al vertice123 � �2 è stato inserito nella cella D9, possiamo rendere at-tiva la cella E10 e tradurre nella sintassi Excel l’espressioneprecedente, che fornisce l’azimut (2-3), nel seguente modo:

cella E10 : � SE(E8�D9��200 ;E8�D9�200 ; E8�D9�200)

Calcolo degli azimut

Formula Cella e descrizione

� SE(E8�D9>�200 ; E8�D9�200 ; E8�D9�200) In E10 per il calcolo dell’azimut (2-3)





FIGURA D La colonna E del foglio contiene il calcolo degli azimut dei lati della poligonale.Nella riga delle formule è visualizzata la funzione inserita nella cella attiva E10 per il calcolo dell’azimut (2-3) che poi è stata copiata nelle sottostanti celle E12, E14, E16, E18.




A operazione ultimata le formule copiate nelle celle didestinazione adegueranno automaticamente i propri riferi-menti relativi e nelle celle stesse verranno immediatamen-te visualizzati i valori degli azimut dei lati. La �FIGURA D il-lustra il calcolo precedente concluso.

• Calcolo delle coordinate parzialiIl secondo passo del calcolo della poligonale è quello delcalcolo delle coordinate parziali dei vertici a partire dalvertice 2. Per questo calcolo verranno usate le colonne F eG, rispettivamente per le ascisse e per le ordinate, sulle ri-ghe corrispondenti ai vertici. Se per esempio consideriamoil vertice 2, le sue coordinate parziali (cioè le coordinate di2 rispetto a un sistema di riferimento secondario con origi-ne nel punto precedente 1) sono fornite dalle seguenti re-lazioni:

(x2)1 � 1�2 � sen (1-2) (y2)1 � 1�2 � cos (1-2)

Queste formule dovranno essere inserite nella riga 9(quella del vertice 2) in corrispondenza delle colonne F eG, dunque nelle celle F9 e G9. Ricordando che la lun-ghezza del lato 1-2 è stato introdotto nella cella C8, e chel’azimut (1-2) dello stesso lato è stato inserito nella faseprecedente nella cella E8, la traduzione di queste formulediventa:

cella F9 : � C8*SEN(RADIANTI(E8*0,9))

cella G9 : � C8*COS(RADIANTI(E8*0,9))

In esse la funzione RADIANTI() trasforma in radianti (ne-cessari al calcolo delle funzioni goniometriche in Excel) gliangoli espressi in gradi sessagesimali. Dunque, avendo cal-colato nella cella E8 gli azimut in gradi centesimali, il pro-

dotto E8*0,9 (9/10) trasforma gradi centesimali in gradisessagesimali.

Successivamente, attivando di seguito le celle F9, F11,F13, F15, F17, F19 ed estendendo per analogia quanto det-to in precedenza, possiamo calcolare le ascisse parziali deivertici della poligonale:

Calcolo delle ascisse parziali


�C8*SEN(RADIANTI(E8*0,9)) In F9 per il calcolo di (x2)1






In modo del tutto analogo si calcolano le ordinate parzialisemplicemente sostituendo la funzione coseno alla funzio-ne seno:

Calcolo delle ordinate parziali


�C8* COS (RADIANTI(E8*0,9)) In G9 per il calcolo di (y2)1






FIGURA E Le colonne F e G del fogliocontengono il calcolo delle coordinateparziali.La cella attiva G11 contiene la formula per il calcolo di (y3)2. Le celle che partecipano alla formazione della formula sono evidenziate con un fondo rosa.

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Anche in questo caso, dopo aver inserito le prime formulein F9 e G9, è possibile evitare di riscrivere le altre formulenelle celle sottostanti, sostituendo la riscrittura con unaoperazione di copiatura delle formule in F9 e G9 secondole stesse modalità già descritte al punto precedente.

La �FIGURA E mostra l’aspetto del foglio dopo aver cal-colato le coordinate parziali.

• Calcolo delle coordinate totaliLo sviluppo della poligonale termina con il calcolo dellecoordinate totali dei suoi vertici, a partire dal vertice 2, inquanto le coordinate del primo vertice sono assegnate dal-l’enunciato del tema (X1 � 500 m; Y1 � 200 m), e già inse-rite nella riga 7 (quella dedicata al primo vertice), rispetti-vamente nelle celle H7 e I7, durante la fase di preparazio-ne del foglio elettronico. Dunque le coordinate totali delvertice 2, da inserire nell’ambito della riga dedicata al ver-tice 2 (riga 9), sono calcolate dalle ovvie relazioni:

X2 � X1 � (x2)1 Y2 � Y1 � (y2)1

La traduzione di queste formule nella sintassi Excel, da in-serire nelle celle H9, I9, ricordando che i valori di (x2)1 e(y2)1 sono contenuti rispettivamente nelle celle F9, G9, èaltrettanto ovvia:

cella H9 : � H7 � F9 cella I9 : � I7 � G9

Ripetendo la procedura per i restanti vertici, in sintesi siottiene quanto indicato dalla tabella in alto.

Come sempre, è poi opportuno utilizzare titoli e coloriper migliorare la leggibilità e l’aspetto del foglio elettroni-co, per esempio assegnando alternativamente un fondo co-lorato alle righe che contengono i dati relativi a ciascunvertice, come illustrato in �FIGURA F, che mostra lo stato fi-nale del foglio.

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Calcolo delle coordinate totali

Ascisse Ordinate

Formula Cella e descrizione Formula Cella e descrizione

�H7 � F9 In H9 per il calcolo di X2 �I7 � G9 In I9 per il calcolo di Y2






FIGURA F Il foglio per il calcolo della poligonale completato.

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