Eulero

Princeps Mathematicorum

Ritratto a pastello di J. E. Handmann, 1753

Da ragazzo studiò filosofia e si

iscrisse alla facoltà di teologia, ma

l’abbandonò per dedicarsi

completamente alla matematica.

Allievo di Johann Bernoulli,

all’età di 20 anni

lasciò Basilea per andare a lavorare a San Pietroburgo, dove ottenne le

cattedre di medicina e fisica e

poi quella di matematica

Leonhard Euler nasce a Basilea il 15 aprile 1707

• Calcolo delle variazioni (a 18 anni)

• A 19 anni completò il dottorato sulla propagazione del suono e concorse alla cattedra di fisica, ma gli fu negata forse a causa della sua giovane età.

• Vinse per dodici volte il grand prix dell’Accademia delle Scienze di Parigi.

• Teoria dei grafi

• Topologia

• La formula per i poliedri

• Equazioni differenziali

• Teoria dei numeri

• Calcolo combinatorio

• Analisi

• Meccanica

Gli studi

A 18 anni Eulero scrisse Constructio linearum isochronarum in medio quocumque resistente.

Nello stesso periodo cominciò a studiare problemi

relativi al campo della matematica che in seguito sarà

chiamato calcolo delle variazioni, che si

occupa della ricerca dei massimi e dei minimi di funzioni

definite su un insieme di funzioni e che ha avuto innumerevoli applicazioni, oltre che in fisica, anche in

economia

Il calcolo delle variazioni

I ponti di KӧnigsbergKӧnigsberg, già facente parte della Prussia Orientale, è una città che attualmente sichiama Kaliningrad e che si trova in Russia. Oltre ad aver dato i natali a Immanuel Kant, il22 aprile del 1724, è famosa per il problema dei sette ponti.

La città è attraversata dal fiume Pregel e

dai suoi affluenti, che la dividono in quattro

zone che al tempo di Eulero erano collegate

tra loro da sette ponti.

Il problema consisteva nel capire se

era possibile partire da un punto delle

quattro zone e tornare al punto di

partenza percorrendo una e una sola

volta tutti i ponti.

La teoria dei grafi

La storia dei ponti permise a Eulero di gettare le basi di quella che sarebbe

diventata la teoria dei grafi. Capì che la possibilità di trovare un percorso-

soluzione non dipendeva dalla capacità umana di trovarlo o dalla distanza

tra i punti o dagli angoli tra le linee, ma dalle caratteristiche geometriche

del percorso stesso. Schematizzò la situazione con una rappresentazione

che utilizzava solo punti, o nodi, e linee. Un nodo può essere pari o dispari

a seconda che sia pari o dispari il numero delle linee che vi convergono.

Eulero notò che un qualsiasi grafo è percorribile passando sulle linee

una sola volta se e soltanto se ha tutti i nodi di ordine pari o se solo due

di essi sono dispari; per percorrere un grafo di questo tipo è necessario

partire da uno di questi nodi dispari e terminare il percorso nell’altro

nodo dispari. Il problema dei ponti, di cui qui sotto sono rappresentate

schematizzazioni equivalenti, ha 4 connessioni dispari,

quindi non ha soluzione.

Questo grafo ha 3 nodi pari e

due dispari, quindi è

percorribile passando sulle

linee una sola volta

Questo grafo

ha 4 nodi

dispari e uno

pari, quindi

non è

percorribile

passando

sulle linee

una sola volta

Topologia

Eulero notò che i grafi hanno un’altra caratteristica, oltre

ai nodi e alle linee, che resta inalterata per deformazioni

e torsioni: il numero delle facce di un grafo, compresa

quella che circonda il grafo, più il numero dei vertici

meno il numero delle linee è sempre 2, sia che il grafo

sia rappresentato su un foglio che su una superficie

ottenuta piegando in qualsiasi modo il foglio.

La topologia è la parte della matematica

che studia le caratteristiche delle figure

che restano invariate durante questo tipo

di trasformazioni. Due figure sono

topologicamente equivalenti se si

possono deformare in modo continuo,

cioè senza tagli, l’una nell’altra. Una

faccia è equivalente a un cerchio. Un

ragionamento analogo si applica a

superfici in tre dimensioni, riconducendo

la superficie a un grafo e calcolandone la

caratteristica di Eulero, cioè il numero

delle facce più il numero dei vertici meno

il numero delle linee. In questo caso il

risultato non è sempre due, la superficie

sferica non è ad esempio equivalente a

quella di una ciambella, detta anche toro.

La caratteristica di

Eulero è un invariante

topologico

La formula di Eulero per i poliedri

V+F-S=2Eulero osservò che questa formula

vale per tutti i poliedri semplicemente

connessi, cioè senza buchi.

In un cubo, ad esempio, si hanno 6 facce, 8 vertici

e 12 spigoli. In una piramide a base quadrata, che

non è un poliedro regolare, ci sono 5 facce, 5

vertici e 8 spigoli.

Fu proposto per la prima volta da Pietro Mengoli nel 1644 e fu

risolto da Eulero nel 1735, suscitando stupore e ammirazione.

Il problema consisteva nel determinare la somma dell’inverso di tutti i

quadrati dei numeri naturali, cioè la somma della serie infinita:

Il problema di Basilea

Eulero scoprì che la serie aveva

come somma pi-greco alla seconda

diviso 6:

Lettere a una principessa

Nel 1741 Eulero venne chiamato

dal re di Prussia Federico il

Grande all’Accademia delle

Scienze di Berlino. Qui rimase fino

al 1766, poi tornò a San

Pietroburgo. A Berlino dette lezioni

alla figlia del Margravio. Durante la

guerra dei Sette Anni la famiglia

della ragazza si trasferì a

Magdeburgo e Eulero continuò

l’istruzione della principessa in

fisica, matematica, filosofia e

francese scrivendole 234 lettere,

tra il 1760 e il 1762. Pur non

essendo un’opera scientifica ebbe

molto successo, grazie alla

chiarezza con la quale Eulero vi

presentò i principali temi scientifici

dell’epoca.

I diagrammi di Eulero

In una delle lettere, per spiegare alla allieva i sillogismi aristotelici,

Eulero utilizzò la rappresentazione grafica oggi conosciuta

come DIAGRAMMA DI EULERO-VENN.

L’identità di Eulero

In un sondaggio condotto nel 2004 dalla rivista

Physics World, questa equazione è risultata ai primi

posti nella classifica delle equazioni più belle di tutti i

tempi. Nella sua semplicità contiene i cinque numeri

più importanti della matematica. Si ottiene dalla

formula generale ponendo x=p

Eulero ebbe 13 figli di cui solo 5 sopravvissero

Fu cieco per 17 anni

«Scrisse le sue famose dissertazioni con la facilità con cui uno scrittore dall’agile penna scrive una lettera per un amico. La cecità totale che lo afflisse durante gli ultimi diciassette anni di vita non rallentò il ritmo della sua attività; al contrario, la perdita della vista affinò le sue percezioni nel mondo interno della sua immaginazione».

Eric Bell

18 settembre 1783

Il cessa de calculer et de vivre(Jean Antoine-Nicolas de Caritat, marchese di Condorcet)

Bibliografia

Eulero – Lettere a una principessa tedesca – Bollati Boringhieri

C. B. Boyer – Storia della matematica - Mondadori

www.fondazionetonolini.org

www.wikipedia.org

http://www.math.dartmouth.edu/~euler/

http://www.euler-2007.ch/en/index.htm

www.dm.unibo.it/rsddm/it/articoli/damore/618%20Trecento%20anni%20Eulero.pdf

www.syllogismos.it/history/Bellezza.pdf

www.syllogismos.it/2007-Lugano-Euler-PDF.pdf

www.syllogismos.it/history/Euler.pdf

http://www.matematicamente.it

http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Miscellaneous/Euler_elogium.html

http://www.pdmi.ras.ru/EIMI/2007/Euler300/

www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/DOCUMENT/.../Bottazzini%20-%20L'Analisi%20nell'et%E0%20della%20ragio...

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www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/lezioni/viareggio-2008.pdf