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POLITECNICO DI MILANO

Facoltà di Ingegneria Dipartimento di Elettronica e Informazione

ESERCIZIARIO DI CAMPI ELETTROMAGNETICI

Esercizi e soluzioni su:

Linee di trasmissione Problemi di adattamento Trasferimento di potenza

Relatore: Prof. Carlo Giuseppe RIVA

Elaborato di I° livello di: Alberto RATTI Matr. 647087 Marco SAVINO Matr. 647588

Anno accademico 2002 - 2003

I

INDICE

Linee di trasmissione Esercizio 1……………………………………………………………………………pag. 2 Esercizio 2……………………………………………………………………………pag. 4 Esercizio 3……………………………………………………………………………pag. 5 Esercizio 4……………………………………………………………………………pag. 6 Esercizio 5……………………………………………………………………………pag. 8 Esercizio 6……………………………………………………………………………pag. 10 Esercizio 7……………………………………………………………………………pag. 12 Esercizio 8……………………………………………………………………………pag. 14 Esercizio 9……………………………………………………………………………pag. 16 Esercizio 10..…………………………………………………………………………pag. 18 Esercizio 11..…………………………………………………………………………pag. 20 Esercizio 12..…………………………………………………………………………pag. 22 Esercizio 13..…………………………………………………………………………pag. 24 Esercizio 14..…………………………………………………………………………pag. 26 Esercizio 15..…………………………………………………………………………pag. 28 Esercizio 16..…………………………………………………………………………pag. 31

Problemi di adattamento e trasferimento di potenza per linee senza perdita Esercizio 1……………………………………………………………………………pag. 35 Esercizio 2……………………………………………………………………………pag. 38 Esercizio 3……………………………………………………………………………pag. 42 Esercizio 4……………………………………………………………………………pag. 45 Esercizio 5……………………………………………………………………………pag. 51 Esercizio 6……………………………………………………………………………pag. 54 Esercizio 7……………………………………………………………………………pag. 57 Esercizio 8……………………………………………………………………………pag. 61 Esercizio 9……………………………………………………………………………pag. 63 Esercizio 10……..……………………………………………………………………pag. 66 Esercizio 11………..…………………………………………………………………pag. 70 Esercizio 12……..……………………………………………………………………pag. 74 Esercizio 13………..…………………………………………………………………pag. 80 Esercizio 14………..…………………………………………………………………pag. 82 Esercizio 15………..…………………………………………………………………pag. 84 Esercizio 16………..…………………………………………………………………pag. 89 Esercizio 17..…………………………………………………………………………pag. 92

Problemi di adattamento e trasferimento di potenza per linee con perdita Esercizio 1……………………………………………………………………………pag. 96 Esercizio 2……………………………………………………………………………pag. 98 Esercizio 3……………………………………………………………………………pag. 100 Esercizio 4……………………………………………………………………………pag. 103 Esercizio 5……………………………………………………………………………pag. 105

II

RIASSUNTO

In questo testo sono presentati alcuni esercizi relativi alle linee di trasmissione, ai problemi di adattamento e ai bilanci di potenza sia in linee prive di perdite sia in linee con perdite.

Relativamente alle strutture trasmissive sono presenti problemi di dimensionamento nel rispetto di alcuni parametri e la valutazione degli stessi per strutture già definite. Le tipologie di linee con cui si ha a che fare sono: il cavo coassiale, la linea bifilare o circuiti equivalenti e la microstriscia.

Per quanto riguarda i problemi il cui obbiettivo era quello di ottenere il massimo trasferimento di potenza da un generatore a un carico, sono stati effettuati adattamenti sia con l’ausilio delle più note strutture adattanti (singolo stub, 6/4 e doppio stub) sia per mezzo dell’inserimento di componenti puramente reattivi. Nei casi in cui ci si è trovati a operare con circuiti in cui il generatore presentava una impedenza interna non puramente reale, oltre a perseguire l’obbiettivo di massimizzazione della potenza trasferita, le strutture sopraccitate sono state usate anche per ottenere assenza di riflessione.

A livello di bilanci di potenza si sono affrontate problematiche di ripartizione della stessa tra carichi, problematiche di trasferimento e riflessione di potenza in presenza di discontinuità di impedenza e, nel caso di linee con perdita, anche di dissipazione della stessa.

Nella risoluzione di molti esercizi si è utilizzato come strumento di base la nota carta di Smith la quale ha permesso l’applicazione della legge di trasformazione delle impedenze con un mezzo semplice di natura grafica.

III

INTRODUZIONE Lo scopo del presente testo, frutto del lavoro di stesura di un elaborato di I livello

svolto dagli autori, è quello di fornire uno strumento di sostegno per i futuri studenti di ingegneria che si troveranno ad affrontare il corso di Campi Elettromagnetici. Nella vastità degli argomentati trattati nel programma di tale corso, esso focalizza l'attenzione su una ristretta branca della materia in questione e, più specificatamente, sulle linee di trasmissione, sui problemi di adattamento e sui flussi di potenza.

Le conoscenze propedeutiche alla comprensione degli esercizi (supposte note e per questo non dimostrate all'interno delle soluzioni) sono le teorie alla base della propagazione delle onde TEM o quasi-TEM, il funzionamento della Carta di Smith, i principali tipi di adattatori (singolo stub, 6/4 e doppio stub) e i fondamenti del bilanciamento di potenza in tutte le possibili condizioni di adattamento o disadattamento. Il testo è stato suddiviso in tre sezioni, come segue:

• Nella prima, "Linee di trasmissione", si trovano i concetti di dimensionamento e valutazione dei parametri intriseci (impedenza caratteristica, velocità di propagazione, costante di attenuazione, …) delle seguenti strutture trasmissive: cavo coassiale, microstriscia, linea bifilare e circuiti equivalenti.

• Nella seconda, "Problemi di adattamento e trasferimento di potenza per linee senza

perdita", si introduce la condizione di adattamento auspicabile per il massimo trasferimento di potenza e si descrivono i vari metodi per ottenerla. Si incontrano inoltre le problematiche relative alla ripartizione della potenza su più carichi e alla divisione di essa in due componenti, una assorbita e una riflessa, in prossimità di una discontinuità.

• La terza," Problemi di adattamento e trasferimento di potenza per linee con perdita",

riprende i concetti già visti nella sezione precedente ma li estende a linee con perdite, caratterizzate cioè da una costante di attenuazione che scaturisce dalla conducibilità finita dei conduttori.

Nel testo sono inclusi problemi a diversi livelli, da semplici esercizi fino a sviluppi

relativamente complessi. Gli esercizi sono stati selezionati dai temi d'esame degli anni passati in maniera tale da risolvere e sviluppare tutti i problemi, inerenti agli argomenti sopra riportati, cui gli studenti sono stati sottoposti nel corso degli anni passati. Si è inoltre cercato per quanto possibile di partire da considerazioni elementari dando immagini intuitive di molte tra le soluzioni degli esercizi trattati. Certamente la trattazione analitica è una guida più sicura e la via intuitiva non è sempre la più semplice, ma poi è più facile da memorizzare.

Il testo è stato redatto ovviamente da chi ha anche sostenuto l'esame di Campi Elettromagnetici per cui eventuali errori sono da imputarsi esclusivamente agli autori del testo.

Infine, benché gli esercizi risolti non siano particolarmente numerosi, si spera che il testo sia comunque di aiuto per la comprensione della materia.

1

SEZIONE 1

LINEE DI

TRASMISSIONE

Linee di trasmissione .

2

ESERCIZIO 1 Data la linea coassiale in figura, calcolare: a) l’impedenza caratteristica; b) la velocità di fase; c) la costante di attenuazione , in dB/Km dovuta alla conducibilità finita dei conduttori (= = 5 .107 S/m) alla frequenza di 1 GHz. SOLUZIONE a) Poiché tale linea coassiale può essere vista come il parallelo di due strutture, la prima contenente il dielettrico 1, la seconda contenente il dielettrico 2, la capacità totale della linea può essere ottenuta come somma delle singole capacità. La capacità del mezzo costituito dai ¾ della struttura del coassiale contenente il dielettrico 1 è quindi data da:

mpFab

C r /77.8843

)/ln(

210

1 =⋅=επε

Analogamente, la capacità della parte rimanente del coassiale è:

mpFab

C r /36.11841

)/ln(

220

2 =⋅=επε

2a

2b

∆r2

∆r1

∆r1 = 1 ∆r2 = 4 a = 2.5 mm b = 4 mm


3

Per quanto detto in precedenza la capacità totale della struttura è:

C = C1 + C2 = 207.13 pF/m

Per il calcolo dell’induttanza non è necessario tenere conto della presenza del dielettrico poiché questa è indipendente da esso e quindi è pari a quella in aria.

mnHab

CL /94

2)/ln(

0

00

0

00 =⋅

==πε

εµεµ

A questo punto è facile calcolare l’impedenza caratteristica della linea attraverso il seguente rapporto:

Ω== 3.21CLZC

b) La velocità di fase altro non è che la velocità di propagazione dell’onda nella linea coassiale che è ottenibile dalle equazioni delle linee e risulta:

smLC

v /1027.21 8⋅==

c) Sapendo che la resistenza per unità di lunghezza r è data da:

+⋅==

bapr 11

211

πσδσδ

dove = è la conducibilità finita del conduttore, p il perimetro della sezione nel conduttore interessata dal passaggio di corrente e / lo spessore di penetrazione dato da:

mf

µσµπωσµ

δ 25.212

00

===

si ottiene una resistenza per unità di lunghezza r = 0.92 +/m. La costante di attenuazione dovuta alla conducibilità finita dei conduttori si trova ora da:

KmdBKmdBmNpZr

c

/62.187/1000686.8106.21/106.212

33 =⋅⋅⋅=⋅== −−α


4

ESERCIZIO 2

Si calcolino i parametri Z0 (impedenza caratteristica) e vf (velocità di fase) della linea quasi-TEM in figura (trascurando gli effetti di bordo).

SOLUZIONE La struttura in figura può essere vista come il parallelo di 3 linee a piatti piani paralleli di larghezze rispettivamente w1 , w2 e w3 e altezza h. Per questo motivo la sua capacità è data dalla somma delle singole capacità delle 3 linee che sono:

mpFh

wC r /416.35101 1

=⋅⋅= εε

mpFh

wC r /281.13202 2

=⋅⋅= εε

mpFh

wC r /416.35303 3

=⋅⋅= εε

La capacità totale della struttura è quindi:

mpFCCCC TOT /113.84321 =++=

Per calcolare l’impedenza caratteristica della linea occorre conoscere anche il valore dell’induttanza per unità di lunghezza che essendo indipendente dal dielettrico è pari a quella in aria.

mnHwww

hC

LLTOT /039.359321

00

000 =

++⋅=== µεµ

Conoscendo il valore della capacità e dell’induttanza per unità di lunghezza si può facilmente calcolare l’impedenza caratteristica della linea dalla seguente:

Ω== 33.650TOT

TOT

CL

Z

Inoltre, la conoscenza di tali valori permette il calcolo immediato della velocità di fase della linea:

sec/1082.11 8 mCL

vTOTTOT

f ⋅=⋅

=

h = 2 mm

w1 = 2 mm w2 = 3 mm w3 = 2 mm

w3 w2 w1

εr = 4 εr = 4 εr = 1


5

ESERCIZIO 3 Data la linea bifilare in aria di figura, calcolare, con l'approssimazione dei conduttori sottili l'impedenza caratterstica Z0. SOLUZIONE Utilizzando l'approssimazione dei conduttori sottili si può scrivere che la capacità per unità di lunghezza è data dal rapporto fra la carica per unità di lunghezza e la differenza di potenziale tra i due fili.

mpF

RRdV

qC

l

l /82.14ln

220 =

⋅

⋅

⋅==

−+ρ

περ

dove R+ e R- sono i raggi del conduttori. Conoscendo la capacità per unità di lunghezza è possibile calcolare l'impedenza caratteristica della linea attraverso il seguente rapporto:

Ω==⋅== 225000 CC

CLCLZ

εµ

avendo sfruttato il fatto che per un mezzo omogeneo in aria vale la seguente relazione:

00

11εµ

==LC

v

2mm 3mm

d = 8mm


6

ESERCIZIO 4 Data la linea coassiale disomogenea di figura, adottando le ipotesi di “linea quasi-TEM”, si calcolino (sapendo che a = 4 mm, b = 1.5 mm, ∆r1 = 1, ∆r2 = 2.2): a) il valore dell’angolo 3 per avere Zc = 50 +; b) la velocità di propagazione risultante. SOLUZIONE a) La misura dell’angolo 3 influisce solo sulla capacità del condensatore poiché il valore dell’induttanza non è condizionato dal dielettrico. Sapendo che l’impedenza caratteristica è data da

Ω== 50CLZC

quello che bisogna fare è dimensionare l’angolo 3 in modo da rendere vera questa uguaglianza. La capacità di questo coassiale può essere vista come la capacità di due strutture in parallelo composte ognuna da una frazione del coassiale e contenenti dielettrici diversi. La capacità totale si ottiene quindi come:

( )

⋅+

−⋅⋅=+=

3603601

/ln2

21

021

ϑεϑεπεrrba

CCC

Essendo l’induttanza pari a:

mnHba

CLL /07.196

2)/ln(

0

00

0

000 =

⋅===

πεεµεµ

2b

2a

∆r1 ∆r2

3


7

e sostituendo le relazioni di capacità e induttanza nella formula relativa all’impedenza caratteristica è possibile esplicitare 3 come:

°=⋅−

−⋅= 8.114360

2)/ln(

2500

22

10

rr

rabL

εε

επεϑ

b)

Una volta dimensionato 3, avendo già calcolato il valore dell’induttanza, per calcolare la velocità di propagazione è sufficiente calcolare la capacità del coassiale e quindi utilizzare la formula:

LCv 1=

Risultando la capacità del condensatore pari a C = 78.42 pF/m, si ottiene una velocità di propagazione v = 2.55 . 108 m/s.


8

ESERCIZIO 5 Data la linea di trasmissione mostrata in figura, si determini l’impedenza caratteristica con l’approssimazione dei conduttori sottili. SOLUZIONE L’impedenza caratteristica di una generica linea può essere calcolata mediante:

dove L e C sono rispettivamente l’induttanza e la capacità per unità di lunghezza. Per la struttura in figura, ossia un cavo conduttore con 2 piani a massa, utilizzando l’approssimazione dei conduttori sottili la capacità per unità di lunghezza risulta da è in generale:

( ) ( )( )

−+⋅⋅−⋅−

=

rhHrrHrh

C

22222ln

2πε

dove con r si indica il raggio del cavo e con H e h le distanze di esso dai piani conduttori. Nel caso in esame la relazione sopraccitata si traduce nella seguente:

mpF

dhd

dhC /54.21

222

2

22

ln

22

0 =

−⋅⋅

−

= πε

h =5 cm

h = 5 cm

d = 1 cm

∆0

CLZC =


9

Invece, l’induttanza per unità di lunghezza è relazionata alla capacità in aria, che in questo caso coincide con quella della struttura, dalla relazione:

mnHCC

L /3.51600

0

00 ===εµεµ

Sostituendo le espressioni trovate nella relazione dell’impedenza caratteristica si ottiene:

Ω=== 82.154200

CCLZc

εµ


10

ESERCIZIO 6 Della linea a striscia mostrata in figura (sezione trasversale), trascurando gli effetti di bordo, valutare: a) l'impedenza caratteristica e la costante di fase; b) la costante di attenuazione in dB/m dovuta sia ai conduttori; (conducibilità =c = 5.107 S/m) che al dielettrico (=d = 10-4 S/m) per f=100 MHz. SOLUZIONE a) L'impedenza caratteristica di una linea può essere trovata come:

CLZC =

dove L e C sono rispettivamente l'impedenza e la capacità della linea per unità di lunghezza. Nel caso della striscia in esame l'induttanza e la capacità si trovano rispettivamente come:

mHwhLmpF

hwC r /10026.5/21.199 7

00−⋅==== µεε

Sostituendo si ottiene: ZC = 50.23 + La costante di fase − si ottiene dalla seguente:

mradLC /28.6== ωβ

dove Χ = 2&f è la pulsazione a frequenza 100 MHz. b) L'attenuazione dovuta ai conduttore è:

Cc Z

r2

=α

dove r è la resistenza per unità di lunghezza.

w

h ∆r

w =10 mm h = 4 mm ∆r = 9


11

Siccome il conduttore è costituito dalle due lamine racchiudenti il dielettrico la sua resistenza per unità di lunghezza r può essere trovata come il doppio della resistenza di una sola lamina. Una volta calcolato lo spessore di penetrazione /

mc

µωµσ

δ 12.72

==

la resistenza per unità di lunghezza si trova come:

mw

rc

/5618.02

Ω=⋅⋅

=δσ

dove w è la misura del perimetro della sezione del conduttore. Sostituendo nella sopraccitata si ottiene: ,c =5.592 . 10-3 Np/m. Occorre convertire l'attenuazione specifica da Np/m a dB/m e, dato che 1 Np/m corrisponde a 8.686 dB si ha:

,c =5.592 . 10-3 . 8.686 dB/m = 0.048 dB/m

L'attenuazione dovuta al dielettrico è:

cd Y

g2

=α

dove Yc è l'ammettenza caratteristica della linea e g è l'ammettenza per unità di lunghezza data da:

mShw

heAreaSezion

g dd /105.21 4−⋅=

⋅⋅=⋅= σσ

Dunque risulta ,d = 6.278 . 10-3 Np/m = 0.0545 dB/m


12

ESERCIZIO 7 Data la linea coassiale in figura, calcolare: a) le impedenze caratteristiche per ∆r=1 e per ∆r=2.5; b) le costanti di attenuazione corrispondenti in dB/m a causa della conducibilità finita

dei conduttori (=c=5 . 107 S/m) alla frequenza di 1 GHz. SOLUZIONE a) L’impedenza caratteristica della linea in esame si può trovare dal seguente rapporto:

CCLC

CC

CL

CLZ r

c

εµε ⋅==⋅== 00

dove L e C sono rispettivamente l’induttanza e la capacità per unità di lunghezza e avendo sfruttato la seguente relazione che vale per mezzi omogenei in aria (con L0 e C0 sono indicate l’induttanza e la capacità in aria):

0000 εµ=CL

Ovviamente nella relazione usata per trovare ZC la permeabilità magnetica del mezzo è pari a quella in aria quindi l’induttanza non viene influenzata dal mezzo. Dato che la capacità di un cavo coassiale si ottiene come:

=

ab

Cln

2πε

sostituendo ed eseguendo i conti nei due casi si ottengono i seguenti risultati: 1) ∆r = 1 C = 68.6 pF/m ZC = 48.6 + 2) ∆r = 2.5 C = 171.5 pF/m ZC = 30.8 + b)

a = 2 mm b = 4.5 mm

2a

2b


13

La costante di attenuazione dovuta alla conducibilità finita dei conduttori si trova da:

CZr

2=α

Bisogna quindi calcolare la resistenza per unità di lunghezza r che in generale è data da:

+⋅==

bapr

cc

112

11πδσδσ

dove =c è la conducibilità finita del conduttore, p il perimetro della sezione nel conduttore interessata dal passaggio di corrente e / lo spessore di penetrazione. Calcolando lo spessore di penetrazione nel seguente modo:

mf cc

µµσπµωσ

δ 25.212

00

===

e sostituendolo nella precedente si ottiene una resistenza per unità di lunghezza r = 1.02 +/m. L’attenuazione dipende però dall’impedenza caratteristica della linea ed è quindi diversa nei due casi: 1) ∆r = 1 , = 10.5 . 10-3 Np/m = 10.5 . 10-3 . 8.686 dB/m = 0.09 dB/m 2) ∆r = 2,5 , = 16.56 . 10-3 Np/m = 16.55 . 10-3 . 8.686 dB/m = 0.144 dB/m


14

ESERCIZIO 8 Per la linea di trasmissione in figura, facendo opportune approssimazioni, si calcoli l'impedenza caratteristica (∆r = 1, h = 1, r1 = 1, r2 = 2, l=2) SOLUZIONE L'impedenza caratteristica è ricavabile dalla seguente:

CLZC =

Ai fini del calcolo dell'impedenza caratteristica questa linea di trasmissione può essere vista come composta da strutture indipendenti disposte in parallelo. La capacità totale è, quindi, data dalla somma delle singole capacità delle strutture costituenti, ossia un coassiale e una microstriscia. La capacità del coassiale (formato dai 4 spezzoni di coassiale aventi rapporto tra i raggi r2/r1 = 2) si trova come segue:

mpF

rr

rr

Ccoassiale /26.80ln

2

ln

2

1

2

0

1

2

1 =

=

= πεπε

dove l'ultima uguaglianza è possibile essendo la struttura in aria (∆r=1). La capacità dell'insieme dei tratti di linea piatta è, invece, data da:

mpFhl

hwC ciamicrostris /83.704

00 =⋅=⋅= εε

dove w e h sono rispettivamente la larghezza e l’altezza della microstriscia.

r1

r2

h

l l

l

l


15

La capacità totale è dunque:

C = Ccoassiale + Cmicrostriscia = 151.09pF/m Per il calcolo dell'induttanza bisogna ricordare che questa non dipende dal mezzo dielettrico in cui è immersa la linea ed è dunque sempre uguale all'induttanza calcolata in aria, da cui:

mnHC

LL /64.730

000 === εµ

Sostituendo i valori di induttanza e capacità appena trovati nella formula sopra citata si ottiene un valore dell'impedenza caratteristica della linea pari a ZC = 22.08 +


16

ESERCIZIO 9 Per la linea di trasmissione la cui sezione trasversale è mostrata in figura, la conducibilità finita dei conduttori è pari a = = 1.5 . 107 S/m. Calcolare l’attenuazione introdotta da un tratto di linea lungo 10 m alla frequenza di lavoro f = 1GHz. SOLUZIONE L’attenuazione per unità di lunghezza di una generica linea di trasmissione può essere ottenuta dalla seguente:

CZr

⋅=

2α

dove r è la resistenza per unità di lunghezza e ZC l’impedenza caratteristica della linea. Poiché queste due grandezze sono incognite il problema si riduce nel trovare il loro valore. Per calcolare l’impedenza caratteristica della linea occorre calcolare dapprima la capacità per unità di lunghezza di questa che è facilmente ottenibile osservando che la linea di trasmissione in figura è pari a 1/4 di coassiale.

mpF

ab

C r /9.108)ln(

241 0 =⋅=

επε

Il valore di ZC è legato anche all’induttanza per unità di lunghezza che è pari a quella in aria poiché indipendente dal dielettrico presente ed è quindi data da:

mnHab

CLL /408)ln(

24 0

0

000 =⋅===

πµεµ

a = 3 mm b = 5 mm ∆r = 4

a

b


17

A questo punto è possibile valutare l’impedenza caratteristica della linea dalla seguente:

Ω== 2.61CLZC

La resistenza per unità di lunghezza della linea è invece data da:

mp

r /29.11 Ω==σδ

dove / è lo spessore di penetrazione ottenibile come:

mf

µδµπωδµ

δ 11.412

00

===

e dove p è la misura del perimetro della sezione del conduttore che nel caso specifico risulta:

mmbap 57.124

24

2 =+= ππ

Conoscendo ora i valori della resistenza per unità di lunghezza e dell’impedenza caratteristica della linea è possibile ottenere l’attenuazione per unità di lunghezza per mezzo della relazione inizialmente citata.

mNpZr

C

/1054.102

3−⋅=⋅

=α

L’attenuazione introdotta da un tratto di lunghezza di l = 10 m è semplicemente:

NplA 21054.10 −⋅=⋅= α


18

ESERCIZIO 10

Della linea a striscia la cui sezione trasversa è mostrata in figura, calcolare, trascurando gli effetti di bordo: a) l'impedenza caratteristica Z0; b) le potenze per unità di lunghezza dissipate nei conduttori (=c = 1.5 . 107 S/m) e nel

dielettrico (=d = 5.10-4 S/m) per un'onda con |V+| = 25 V e f=2 GHz. SOLUZIONE a) L'impedenza caratteristica di una linea può essere trovata come:

CLZ =0

dove L e C sono rispettivamente l'impedenza e la capacità della linea. Nel caso della striscia in esame l'induttanza e la capacità si trovano rispettivamente come:

mnHwhLmpF

hwC r /88.418/97.92 00 ==== µεε

Sostituendo si ottiene: Z0 = 67.12 + b) Si calcola anzitutto la resistenza per unità di lunghezza dei conduttori come:

mw

Rr S /54.22

Ω=⋅

=

dove RS è la resistenza superficiale dei conduttori ed è data da

0229.00 ==C

SfR

σµπ +

w

h 0r

w =18 mm h = 6 mm 0r = 3.5


19

Essendo noto il modulo del fasore dell'onda diretta si può facilmente calcolare la potenza associata all'onda progressiva e da questa la corrente che scorre sui conduttori della linea.

mAIZIWZ

VP 139

2166.4

21

0

2

0

2

=⇒⋅⋅==⋅= +++

Dunque, la potenza dissipata nei conduttori è data dalla seguente relazione:

mmWrIP MAXdissCOND /5.2421 2

=⋅⋅= dove |IMAX| = |I+| poiché, essendo il carico adattato, la tensione dell’onda diretta è la massima presente nella linea. Per il calcolo della potenza dissipata nel dielettrico si deve per prima cosa ricavarne la conduttanza che nel caso in esame vale:

mShwg d /10151 4−⋅=⋅⋅= σ

La corrente che fluisce nel dielettrico non è una corrente di conduzione ed è diversa quindi dalla |I+| trovata per i conduttori. Tuttavia, osservando che il modulo del fasore dell'onda diretta è a tutti gli effetti la tensione ai capi del dielettrico, si ricava la potenza in esso dissipata per unità di lunghezza come segue:

mWVgPdissDIEL /469.021 2 =⋅⋅=


20

ESERCIZIO 11 Data la linea coassiale in figura, adottando l’ipotesi di una linea quasi TEM, calcolare: a) l’impedenza caratteristica ZC; b) il valore massimo HMAX del campo magnetico, indicandone la posizione, per un’onda

di potenza P = 10 W. SOLUZIONE a) La struttura in figura è equivalente a due coassiali in serie. Pertanto la sua capacità è data da:

21

21

CCCCCTOT +

⋅=

Calcolando quindi le capacità dei singoli coassiali

mpFabab

C /5.160)/ln(

4)/ln(

2 011 === πεπε

mpFbcbc

C /2.137)/ln(

2)/ln(

2 022 ===

πεπε

e sostituendo si ottiene CTOT = 74 pF/m.

∆0

2

1

2c

∆1 = 2∆0 ∆2 = ∆0 a = 2 cm b = 4 cm c = 6 cm

2a

2b

∆1

∆2


21

Per il calcolo dell’induttanza si può considerare la struttura come un unico coassiale perché il suo valore è pari a quello in aria in quanto indipendente dal dielettrico ivi presente. Dunque

mnHac

CL /61.219

2)/ln(

0

00

0

00 =⋅

==πε

εµεµ

A questo punto è possibile calcolare l’impedenza caratteristica della struttura.

Ω== 5.54TOT

C CLZ

b) Siccome la potenza è data da

mAIZIZ

VP MAXCMAX

C

MAX 60621

21 2

2

=⇒⋅⋅=⋅=

Conoscendo il valore della corrente massima è possibile, mediante la nota Legge di Ampere, calcolare il valore massimo del campo magnetico:

mAHIHa MAXMAXMAX /82.42 =⇒=⋅⋅π La posizione del massimo del campo magnetico è naturalmente in prossimità del conduttore più interno poiché è inversamente proporzionale alla distanza dall’asse del coassiale.


22

ESERCIZIO 12

Si desidera determinare la costante dielettrica di un liquido mediante una misura di coefficiente di riflessione. A tale scopo si riempie parzialmente un cavo coassiale con il liquido citato e si misura nel tratto in aria |VMAX| = 2 mV, |VMIN| = 0.6 mV. All'estremo opposto a quello di misura, il coassiale è terminato su un carico assorbente che può essere visto come un carico adattato a qualsiasi impedenza caratteristica (quindi anche a quella del tratto di coassiale con il liquido). Ricavare la ∆r del liquido dai dati del problema. SOLUZIONE Dai dati del problema si può immediatamente ricavare il Rapporto d'Onda Stazionaria che, per definizione, consiste nel rapporto tra il massimo e il minimo dell'inviluppo della tensione totale sulla linea:

333.3==MIN

MAX

VV

ROS

Conoscendo il valore del ROS e sviluppando la relazione appena riportata si ottiene il coefficiente di riflessione laddove si effettua la misura:

( )( ) 54.0

11

1

1

0

0 ≈+−=Γ⇒

Γ−⋅

Γ+⋅==

+

+

ROSROS

V

V

VV

ROSMIN

MAX

dove tale coefficiente è riferito all'impedenza caratteristica della linea Z0 in aria. Sulla Carta di Smith al valore |!| = 0.54 corrispondono solo due punti che rendono la linea a comportamento reale. Essi sono z1 = 0.3 e z2 = 3.333. Tra i punti di impedenza appena trovati, si sceglie z1 poiché z2 renderebbe il valore di ∆r minore dell'unità, il che è impossibile dato che significherebbe che nel liquido la luce viaggia più velocemente che nel vuoto!

aria liquidocarico adattato! = 0

∆∆∆∆r


23

L'impedenza caratteristica per una linea coassiale è data dalla seguente formula

⋅⋅=

⋅=

1

00

1

0 log21log

2 rr

rrZ

rC πε

ηπ

η

dove 2 è l’impedenza intrinseca del mezzo, r0 il raggio esterno e r1 quello interno. Il Rapporto d’Onda Stazionaria risulta da:

C

C

C

C

C

ZZ

ZZZZZZZZ

ROS 0

0

0

0

0

1

1≈

+−

−

+−

+=

e quindi si può concludere che la costante dielettrica relativa ∆r nel liquido si trova dal seguente rapporto:

11333.33.0

10 ≅⇒=== rrCz

z εε


24

ESERCIZIO 13 Sia data una linea coassiale avente i diametri dei conduttori 2a = 10 mm e 2b = 2.5 mm, riempita da dielettrico con ∆r = 3. Supponendo la linea adattata e connessa a un generatore di tensione a frequenza f con Vg = 10 V, calcolare: a) il valore massimo del campo elettrico lungo la linea; b) la corrente che vi fluisce SOLUZIONE a) Il campo elettrico generato dal coassiale è radiale ed è dato da:

rr

r ar

QE ⋅=επε 02

dove Q è la carica lineare sulla superficie del conduttore, ∆0 è la costante dielettrica del vuoto, ∆r è la costante dielettrica relativa del mezzo interposto tra i due conduttori, r è la distanza dall’asse del coassiale e ra è il versore radiale. Sapendo che campo elettrico e potenziale sono legati dall’operatore gradiente come:

VE r −∇=

si può ricavare l’espressione del potenziale integrando tra i due raggi nell’unica coordinata da cui il campo elettrico ha una dipendenza (il raggio):

⋅=⋅⋅=⋅−= ∫∫ b

aQdrar

QdrEVr

a

br

r

b

ar ln

22 00 επεεπε

Esplicitando la carica rispetto al potenziale e sostituendola nella relazione del campo elettrico si ottiene:

Per trovare il valore massimo del campo elettrico bisogna conoscere il valore massimo del potenziale che, essendo la linea adattata al generatore, coincide col modulo del fasore dell’onda diretta:

VV

VV gMAX 5

20 === +

rba

VEr

1

ln⋅

=


25

Siccome il campo elettrico è massimo sulla superficie del conduttore interno, conoscendo il valore massimo della tensione si ottiene:

mVb

ba

VE MAX

MAX /28851

ln=⋅

=

b) Per calcolare il modulo della corrente che fluisce nella linea bisogna conoscere anzitutto il valore dell’impedenza caratteristica di questa che si trova come:

Ω=

⋅=⋅== 48ln

41

02

0

0

00

ba

CCCLZ

rC εεπ

µεµ

A questo punto, il modulo della corrente massima si trova semplicemente da:

mAZ

VI

C

MAXMAX 104==


26

ESERCIZIO 14 Data la linea bifilare in aria in figura, calcolare: a) l’impedenza caratteristica ZC (approssimazione dei conduttori sottili) e la velocità di

propagazione; b) il campo

+E nel punto medio P della congiungente gli assi, associato ad un’onda

entrante nel foglio con I+ = 125 mA. SOLUZIONE a) Per il calcolo dell’impedenza caratteristica della linea è necessario calcolare dapprima la capacità per unità di lunghezza che, utilizzando l’approssimazione dei conduttori sottili, è:

mpF

ba

C /5.10)ln(

220 =

⋅

=δ

πε

Conoscendo la capacità è possibile calcolare il valore dell’induttanza per unità di lunghezza che è legato a questa da:

mHC

LL /059.10

000 µεµ

===

dove la prima uguaglianza sta ad indicare che il valore dell’induttanza è sempre pari a quello in aria indipendentemente dal dielettrico e dove C0 indica la capacità per unità di lunghezza in aria che in questo caso coincide con la capacità reale della linea. Con i valori sopra trovati si può ricavare l’impedenza caratteristica della linea dalla seguente:

Ω== 6.317CLZC

a b

//2 //2

I+ a = 0.5 mm b = 1 mm / = 10 mm


27

Per quanto riguarda la velocità di propagazione, essendo il mezzo in aria, si vede immediatamente che essa è pari alla velocità della luce.

smv /1031 8

00

⋅==εµ

b) In condizioni di adattamento sulla linea si propaga solo un’onda progressiva perciò la conoscenza del fasore della corrente trasportata da questa (I+) e dell’impedenza caratteristica (ZC) permette di calcolare anche il fasore della tensione.

VZIV C 7.39=⋅= ++ Il valore del fasore dell’onda diretta, che in condizioni di adattamento coincide con una costante pari a V+, rappresenta anche il potenziale sulla linea. Sapendo l’espressione del potenziale generato da una linea bifilare è possibile ricavare la carica nella sezione della linea:

CV

ba

Qba

QV 920

2

0

1068.41)ln(

2)ln(

2−++ ⋅=⋅

⋅

=⇒⋅

⋅=δ

πεδπε

Sostituendo a questo punto l’espressione della carica trovata nell’espressione del campo elettrico valutato nel punto di interesse P si trova il suo valore:

mkVaQPE x /687.2992

122)(

0

=⋅⋅= δπε

dove il fattore 2 presente al numeratore è dovuto al fatto che i due fili generano campi concordi poiché le cariche su di essi sono uguali e contrarie e il //2 a denominatore rappresenta la distanza del punto P dai fili. Il versore indica che il campo elettrico ha direzione radiale dal filo di raggio a, in cui entra il fasore dell’onda diretta, al filo di raggio b.


28

ESERCIZIO 15 Data la linea coassiale in figura, calcolare: a) la potenza associata all'onda progressiva per cui il campo elettrico massimo è pari a

30 KV/cm; b) la corrispondente potenza dissipata per unità di lunghezza a causa della conducibilità

finita dei conduttori (= = 5 . 107 S/m) alla frequenza di 1 GHz. SOLUZIONE a) Anzitutto si calcola l'impedenza caratteristica della linea in esame. Essa è data dal seguente rapporto:

CCLC

CLZ 00

0

εµ===

dove l'ultima uguaglianza è consentita essendo la linea immersa nel vuoto. Il valore della capacità per unità di lunghezza si trova dalla seguente relazione:

pF

ab

ab

C 6.68ln

2

ln

2 0 =

=

= πεπε

da cui

Z0 = 48.6 +

Per il calcolo della potenza associata all'onda progressiva bisogna ora conoscere la massima tensione applicabile.

a = 2 mm b = 4.5 mm

2a

2b

∆0


29

Il campo elettrico per una linea coassiale è dato da:

rar

rE ⋅=0

0

2)(

περρ

dove <0 è la carica superficiale per unità di lunghezza ed r la distanza assiale. La funzione potenziale si trova come

⋅=⇒

⋅===Φ−Φ= ∫ ∫

ab

Vabrd

rdrrEV

B

A

B

ABA

ln

2ln22

)( 00

0

0

0

0 περπερ

περ

Ora sfruttando l'ultima relazione e sostituendola in quella del campo elettrico si ottiene:

rabV

rabVrE

⋅

=⋅

=ln2

1

ln

2)(0

0

πεπε

Il campo elettrico è massimo per r = a (come si può notare analiticamente dalla formula appena sopra riportata) ossia alla superficie del conduttore più interno e poiché esso vale

E(r)|r=a = 30 KV/cm = 3 MV/m la massima tensione applicabile è pari a:

VaabrEVMAX 4866ln)( =⋅

⋅=

A questo punto è immediato trovare la potenza associata all'onda progressiva in corrispondenza del massimo campo elettrico come segue:

KWZ

VP MAX

MAX 6.24321

0

2

=⋅=

b) Anzitutto osservo che in corrispondenza della massima potenza si ha anche la massima corrente che risulta pari a:

AZPIZIP MAX

MAXMAXMAX 100221

00

2 =⋅=⇒⋅⋅=

Per il calcolo delle perdite si possono pensare i conduttori assimilabili a conduttori piani di lunghezza 2;r.


30

Essendo la resistenza superficiale data da:

Ω⋅== −310886.8σ

µπfRS le resistenze per unità di lunghezza dei conduttori 1 e 2 sono rispettivamente

mb

RRema

RR SS /314.02

/707.02 21 Ω==Ω==

ππ

Le potenze dissipate sui due conduttori sono rispettivamente per il conduttore più interno e più esterno:

mKWRIP MAXLOSS /5.321

12

1 =⋅=

mKWRIP MAXLOSS /57.121

22

2 =⋅=

Dunque, la potenza dissipata per unità di lunghezza a causa della conducibilità finita dei conduttori è

PLOSS = P1LOSS + P2LOSS = 5.07 KW/m


31

ESERCIZIO 16 Dato il circuito di figura, sapendo che nella sezione A-A si trova il massimo della tensione e che il valore del ROS lungo la linea è pari a 3, determinare il valore dell'impedenza del carico ZL in termini di resistenza e induttanza (o capacità). Tutte le linee di trasmissione sono realizzate con dielettrico in "aria". SOLUZIONE Sapendo che il modulo del fasore della tensione in una qualunque sezione della linea si trova come:

)(1)( 0 zVzV Γ+⋅= + ed essendo |V0

+| costante una volta fissate le condizioni al contorno per le linee senza perdite e condizionante solo l'ampiezza di |V(z)|, il fatto che alla sezione A-A è presente un massimo di tensione altro non significa che in tale sezione il coefficiente di trasmissione è massimo e coincide con:

LzzT Γ+=Γ+= 1)(1)( In altre parole, come si può notare nella figura sotto riportata il coefficiente di trasmissione è massimo quando è puramente reale e positivo, e cioè quando è puramente reale il coefficiente di riflessione nel piano di Gauss .

|!L|

Im

Re

1+|!!!!L| massimo

( )[ ]zLjL e −−⋅Γ+ β21

B

A

A C

C

Z0

Z0 Z0

B

l3

l1

l2

l1 = 1.05 m l2 = 0.67 m l3 = 1 m Z0 = 50 + f = 100 MHz

B'

B'

ZL


32

A questo punto è possibile calcolare l'impedenza del carico vista alla sezione A-A come il rapporto, in tale sezione, fra i fasori di tensione e corrente

( )( ) Ω=⋅=

Γ−

Γ+⋅=

Γ−Γ+

⋅=Γ−⋅⋅Γ+⋅⋅

==−+

−+

1501

1

)(1)(1

)(1)(1

)()(

0000

0 ROSZZzz

ZzeIzeV

ZIzV

ZL

Lzj

Zj

AA β

β

dove le ultime uguaglianze sono consentite avendo appurato che alla sezione A-A il coefficiente di trasmissione è puramente reale e dove !L si può ricavare invertendo la definizione di Rapporto d'Onda Stazionaria. Dato che la linea in figura è costituita da uno stub parallelo in corto circuito, si utilizza la Carta di Smith delle ammettenze. In questo modo la soluzione dell'esercizio consiste nel muoversi dal punto yAA in senso antiorario e a modulo costante per i tratti di linea l3 e l1 e tenendo conto del contributo del tratto l2 dello stub sulla parte immaginaria dell'ammettenza. Per prima cosa si ricava l'ammettenza normalizzata alla sezione A-A e, dopo aver calcolato la lunghezza d'onda della linea in esame, si convertono le lunghezze fisiche dei tratti di linea e dello stub in lunghezze normalizzate in modo da poter operare sulla Carta di Smith.

yAA = Z0/ZAA = 0.333 6 = c/f = 3 m l1 = l1/6 = 0.35

l2 = l2/6 = 0.223 l3 = l3/6 = 0.333

Ruotando a modulo costante e in senso antiorario dal punto yAA per un tratto di linea di lunghezza normalizzata l3 si arriva alla sezione B-B nel punto di ammettenza normalizzata yBB = (1+j1.2) (fig. 16.1). Il tratto di stub l2 corrisponde ad un movimento sulla Carta di Smith dal cortocircuito della carta delle ammettenze al punto ySTUB = -j0.17. Dunque risulta yB°B° = (1+j1.37). Infine, per arrivare alla sezione del carico ci si muove in senso antiorario e a modulo costante a partire da yB°B° per un tratto di linea l1 e si incontra il punto yCC = (1.1-j1.37) che è l'ammettenza del carico ZL (fig.16.2). Dunque, il valore dell'impedenza del carico ZL risulta pari a

( )Ω+== 19.2281.170 jyZZ

CCL


33

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

yBB

yAA

YBB=0.020+0.024i S

yBB=1.0+1.2i

yAA= 0.333

YAA= 0.0067 S

fig. 16.1 Movimento corrispondente al tratto l3.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

yL

yB°B°

YL=0.022-0.028i S

yL=1.1-1.4i

yB°B°= 1.00+1.37i

YB°B°= 0.020+0.027i


34

SEZIONE 2

PROBLEMI DI

ADATTAMENTO E TRASFERIMENTO DI POTENZA PER

LINEE SENZA PERDITE

Problemi di adattamento e trasferimento di potenza per linee senza perdite .

35

ESERCIZIO 1

Si consideri la rete di adattamento in figura, costituita interamente da linee coassiali con rapporto tra i diametri pari a 2.3. a) Si valutino i parametri del trasformatore in λ/4 (εrx ed eventuale lunghezza l del tratto

di neutralizzazione) per ottenere l’adattamento. b) Si calcolino le lunghezze fisiche della rete (lAB e lBC = l) per f = 300 MHz. c) Si calcoli il modulo della tensione alle sezioni A-A , B-B e C-C per Pd = 10 W (potenza

disponibile).

SOLUZIONE a) Nei tratti di linea dove la costante dielettrica relativa ha valore unitario il coassiale è in aria e la sua impedenza caratteristica assume valore pari a:

Ω=⋅=== 502

)/ln(

0

020

00

0

00 πε

µεµ abCC

LZ

Il valore del carico è complesso e dato che l’adattatore in 6/4 è in grado di adattare solo carichi puramente resistivi il tratto di linea l funge da neutralizzatore ossia ha lo scopo di rendere il contributo del carico alla sezione B-B reale. Partendo sulla carta di Smith dal punto zL = ZL/Z0 = (2+j1) si ruota sino a raggiungere l’intersezione con l’asse delle impedenze puramente reali. Con una lunghezza normalizzata l = 0.036 si arriva alla sezione B-B con impedenza normalizzata zBB = 2.6 , cioè ZBB = zBB

. Z0 = 130 + . Per effettuare l’adattamento alla sezione A-A bisogna quindi dimensionare l’impedenza caratteristica Zx del tratto di linea in 6/4. L’adattamento sussiste se tale valore coincide con la media geometrica delle impedenze della linea a sinistra Z0 e del carico visto a destra ZBB.

Ω=⋅= 62.800ZZZ BBx

Dovendo assumere tale valore di impedenza il coassiale tra le sezioni A-A e B-B deve avere una costante dielettrica relativa di valore:

C B A

ZL=100 + j 50 Ω εr = 1 εr = 1 εrx = ?

l λ/4


36

385.02

0 =

=

xr Z

Zx

ε

Poiché essa è minore di 1, valore non ammissibile, bisogna ripetere i conti dall’inizio, ma piuttosto che fermarsi alla prima intersezione con l’asse reale si deve raggiungere la seconda che ovviamente dista 6/4 dalla prima. Prendendo l = 0.286 si arriva alla sezione B-B nel punto zBB = 0.38 , cioè ZBB = zBB

. Z0 = 19 + (fig. 1.1). Ripetendo i conti precedenti si ottengono dei valori per l’impedenza caratteristica dell’adattatore e per la sua costante dielettrica relativa rispettivamente pari a:

Ω=⋅= 8.300ZZZ BBx

64.22

0 =

=

xr Z

Zx

ε

b) Facendo lavorare la linea a una frequenza di 300 MHz si ha una lunghezza d’onda di:

mfc 10 ==λ

dove c è la velocità di propagazione nel vuoto ossia la velocità della luce. Conoscendo 6 è ora possibile denormalizzare le lunghezze lAB e lBC

lBC = l = l .60=28.6 cm

cml xr

AB 38.154

4/

0

=

==ελ

λ

c) Alla sezione A-A, essendoci adattamento, si ha una impedenza uguale a quella del generatore e quindi la tensione da questo erogata si ripartisce in parti uguali tra di queste. Conoscendo la potenza Pd del generatore si può facilmente calcolare il modulo della tensione da questo fornita.

[ ] VZPV gdg 25.63Re8 =⋅⋅=

Da qui si ricava poi il modulo della tensione alla sezione A-A:

VV

V gAA 63.31

2==


37

Sia alla sezione C-C sia alla sezione B-B si ha una potenza pari a quella disponibile al generatore poiché si è in condizioni di adattamento. Conoscendo la potenza si è in grado di risalire facilmente al modulo delle tensioni in tali sezioni.

[ ] VYP

VZ

VPPBB

dBB

BBBBBBd 49.19

Re21Re

21 2 =

⋅=⇒

⋅⋅==

[ ] VYP

VZ

VPPc

dCC

cCCzd c

50Re21Re

21 2 =

⋅=⇒

⋅⋅==

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

zL

zBB

ZL=100+50i Ω

zL=2.000+1.000i

zBB=0.38-0.00i

ZBB=19-0i Ω

fig. 1.1. Movimento corrispondente al tratto di linea l.


38

ESERCIZIO 2

Dato il circuito in figura, determinare: a) l1 e l2 (linee in aria) in modo da avere nella sezione A-A adattamento al generatore; b) la potenza reale trasferita al carico nelle condizioni di adattamento del punto a); c) la posizione e il valore dei massimi del modulo della tensione nel circuito di adattamento. SOLUZIONE a) Dovendo effettuare l'adattamento con un stub parallelo in corto circuito si utilizza la carta di Smith delle ammettenze e, quindi, per prima cosa si calcolano le ammettenze normalizzate all’ammettenza caratteristica della linea.

zL = 2-j3 da cui yL = 1/zL = 0.154+j0.23

zg = 2 da cui yg = 0.5

La condizione di adattamento consiste nel vedere alla sezione A-A un'ammettenza del carico pari al complesso coniugato dell'ammettenza del generatore. Dato che l'ammettenza del generatore è reale allora la condizione di adattamento corrisponde ad avere una yAA = 0.5. Il tratto di linea l1 serve per adattare la parte reale poiché lo stub parallelo può solo portare una variazione della parte immaginaria dell'ammettenza. Per questi motivi alla sezione A°-A° (sezione appena a destra dello stub) dobbiamo vedere un'ammettenza yA°A° = 0.5+jx. Partendo quindi sulla carta di Smith dal punto di ammettenza yL si ruota a modulo di ! costante in senso orario di una lunghezza l1 necessaria ad arrivare al punto di intersezione con la circonferenza di parte reale uguale a 0.5. Inserendo un tratto di linea di lunghezza l1 = 0.12 si arriva all'ammettenza yA°A° = 0.5+j1.4 (fig. 2.1). Essendo 6 = c/f = 1 m, la lunghezza fisica del tratto di linea è l1 = 12 cm.

B

Rg

V0

Z1 Z0

A

A

B l1

l2

Z0

Rg = 100 + Z0 = 50 + Z1 = (100-j150) + V0 = 100 V f = 300 MHz


39

A questo punto, per completare l'adattamento, bisogna dimensionare la lunghezza dello stub in modo che la sua ammettenza compensi la parte immaginaria di yA°A°.

4.1jyyy AAAASTUB −=−= °°

Per avere una tale ammettenza bisogna partire dal punto rappresentante il cortocircuito e ruotare a modulo unitario in senso orario fino al punto di intersezione con la curva a parte immaginaria -j1.4. Si ottiene una lunghezza normalizzata l2 = 0.099 corrispondente a una lunghezza fisica l2 pari a 9.9 cm (fig. 2.2) b) In condizioni di adattamento la potenza trasferita al carico è uguale alla potenza disponibile.

WR

VPP

gdL 5.12

8

20 =

⋅==

c) La tensione in una qualsiasi sezione z della linea si trova dalla seguente:

)(1)( 0 zVzV Γ+⋅= +

Siccome |V0

+| è costante, i massimi si trovano in corrispondenza dei massimi del coefficiente di trasmissione |1+!(z)|. Tali massimi vanno trovati lavorando però con la carta delle impedenze. Su tale carta, il coefficiente di trasmissione è massimo nei punti più lontani dal punto (0,0) che rappresenta il corto circuito. Nella linea in esame si trovano due soli massimi in corrispondenza della sezione del carico (fig. 2.3) e della sezione A-A (massimo sullo stub) (fig. 2.4) . Poiché in tali punti le potenze sono note, i valori delle tensioni possono essere facilmente trovati con considerazioni energetiche e senza dover analizzare il valore del coefficiente di riflessione. Alla sezione A-A la potenza è:

[ ]AAAAdAA YVPP Re21 2

⋅==

da cui si ottiene |VAA| = 50 V (risulta ovvio poiché a causa dell’adattamento sulla linea si propaga la sola onda diretta). Allo stesso modo si ha alla sezione B-B e quindi sul carico:

[ ]LBBdL YVPP Re21 2

⋅==

da cui |VBB| = 90.1 V


40

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

yL

yA°A°

YL=0.003+0.005i S

yL=0.154+0.230i

yA°A°=0.5+1.4i

YA°A°=0.01+0.03i S

fig. 2.1 Movimento corrispondente al tratto di linea l1.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

yCC

ySTUB

ySTUB=-0.0-1.4i

YSTUB=-0.00-0.03i S

fig. 2.2 Movimento corrispondente al tratto di stub l2.


41

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

zL

zA°A°

ZL=100-150i Ω

zL=2.000-3.000i

zA°A°=0.21-0.64i

ZA°A°=10-32i Ω

T(L)=1.7

fig.2.3 Massimo del coeff. di trasmissione sulla linea visualizzato sulla carta delle impedenze.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

zCC

zSTUB

zSTUB=-0.00+0.72i

ZSTUB=-0+36i Ω

T(A-A)=1.16

fig.2.4 Massimo del coeff. di trasmissione sullo stub visualizzato sulla carta delle impedenze.


42

ESERCIZIO 3

Si progetti la rete di adattamento stub serie in corto-circuito in figura alla frequenza di 600 MHz e utilizzando tratti di linea con impedenza caratteristica a 50 + (∆r = 2 ovunque). Si determinino inoltre la posizione dei massimi del modulo della tensione sul tratto di linea e sullo stub della rete adattante. SOLUZIONE Poiché Zg è reale, l’adattamento alla sezione A-A si ha imponendo: ZAA = Zg, che si traduce nell’imporre zAA = 2 dato che zg = Zg/ZC = 2 Siccome zL = (1+j1.5) per adattare si deve dimensionare il tratto di linea la in modo da avere una zBB = (2+jx) . Per far ciò si parte dal punto zL sulla Carta di Smith e ruotando in senso orario si arriva fino ad intersecare la circonferenza avente parte reale uguale a 2. Con un tratto di linea di lunghezza l1 = 0.032, quindi di lunghezza fisica l1 = l1 . 6 = 1.14 cm, si arriva alla sezione B-B con impedenza zBB = (2+j1.87) (fig. 3.1) Si noti che nel calcolo della lunghezza fisica si è utilizzata una lunghezza d’onda 6 ottenuta come:

mfc

r

3536.01 =⋅=ε

λ

A questo punto, per avere adattamento alla sezione A-A, bisogna dimensionare la lunghezza dello stub in modo che questo abbia impedenza:

87.1jzzz BBAASTUB −=−=

Partendo dal punto (0,0) (cortocircuito sulla carta delle impedenze) si ruota in senso orario fino a raggiungere il punto a impedenza zSTUB. Con una lunghezza ls = 0.328, cioè una lunghezza fisica ls = l1 . 6 = 11.6 cm, si è dimensionato lo stub (fig. 3.2).

ZC

Zg= 100 + ZC = 50 + ZL = (50+j75) +

ZL

Zg

Vg

ZC

la

ls

A B C


43

Per determinare la posizione dei massimi bisogna ricordare che la tensione in una qualsiasi sezione della linea può essere ricavata mediante:

( ) ( )zVzV Γ+⋅= + 10 dove |V0

+| è il modulo della tensione dell’onda diretta che essendo costante non influisce sulla posizione dei massimi. La ricerca si limita quindi a valutare dove è massimo il modulo del coefficiente di trasmissione che sulla Carta di Smith equivale alla distanza dal punto (0,0) al punto di impedenza considerato. Si vede che i massimi si trovano alla sezione B-B per la linea e ad una distanza normalizzata pari a lMAX = 0.25 dal cortocircuito dello stub.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

zL

zBB

ZL=50+75i Ω

zL=1.00+1.50i

zBB=2.00+1.87i

ZBB=100.0+93.5i Ω

fig. 3.1 Movimento corrispondente al tratto la.


44

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

zCC

zSTUB

zSTUB=0.00-1.87i

ZSTUB=0.0-93.6i Ω

fig. 3.2 Movimento corrispondente al tratto ls.


45

ESERCIZIO 4 Un carico di impedenza ZL=35-j70 Ω deve essere connesso ad una linea di trasmissione di impedenza caratteristica Z0=50 Ω. Si chiede di progettare una rete di adattamento con stub in corto circuito connesso in parallelo (fig.A) ed una rete di adattamento con trasformatore λ/4 (fig.B), sapendo che il circuito funzionerà a 100 MHz. Si chiede poi di determinare quale delle due reti dia il ROS minore nel caso che vengano fatte funzionare a 120 MHz. SOLUZIONE Calcoliamo anzitutto la lunghezza d’onda della linea poiché essa servirà in tutta la trattazione seguente.

6= c/f = 3 m Adattamento con stub parallelo in cortocircuito Dovendo lavorare con uno stub in parallelo per prima cosa si trova l’ammettenza normalizzata del carico rispetto alla linea:

yL = Z0/ZL = (0.286+j0.571) La condizione di adattamento consiste nel dimensionare le lunghezze della linea e dello stub in modo da portare il carico nell’origine della Carta di Smith che coincide con l’avere alla sezione A-A un’ammettenza del carico uguale a quella della linea. Per prima cosa si dimensiona la lunghezza ld per adattare la parte reale del carico. Dovendo arrivare subito a destra della sezione A-A con un’ammettenza pari a yA°A° = (1+jx), tale lunghezza si trova dalla Carta di Smith partendo dal punto yL e ruotando sino all’intersezione con la circonferenza a parte reale unitaria (rotazione in senso orario perché ci si allontana dal carico). Si misura ld = 0.094 pari a una lunghezza fisica ld = 28.3 cm cui corrisponde un’ammettenza normalizzata yA°A° = (1+j1.71) (fig. 4.1). A questo punto bisogna dimensionare la lunghezza dello stub in modo che la sua ammettenza compensi la parte immaginaria di yA°A°. Dovendo essere ySTUB = -j1.71, partendo dal cortocircuito sulla Carta di Smith (yCC), si trova che la sua lunghezza risulta essere ls = 0.084 cui corrisponde una lunghezza fisica ls = 25.2 cm (fig. 4.2).

A

A

A

A

B

B

ld

ls

lN


46

Se si cambia la frequenza di lavoro, quello che cambia è la lunghezza d’onda e quindi i movimenti sulla Carta di Smith. Con una frequenza f = 120 MHz, quindi una lunghezza d’onda 61 = 2.5 m, le lunghezze fisiche dimensionate risultano corrispondere a:

ld = ld / 61 = 0.113 ls = ls / 61 = 0.101

Conoscendo le nuove lunghezze normalizzate è possibile calcolare ora la nuova ammettenza alla sezione A-A necessaria per valutare il Rapporto d’Onda Stazionaria (ROS). Utilizzando i nuovi valori di ld e ls si trovano la nuova yA°A° = (1.56+j2.06) (fig. 4.3) e la nuova ySTUB = -j1.35 (fig. 4.4) dalle quali segue che l’ammettenza alla sezione A-A non eguaglia più quella del generatore ed è data dalla somma delle precedenti: yAA = (1.56+j0.71). Poiché per la valutazione del ROS è necessario conoscere il coefficiente di riflessione alla sezione A-A dobbiamo denormalizzare e invertire l’ammettenza in tal punto per trovarne l’impedenza. ZAA = Z0/yAA = (26.55+j12.08). Si calcola a questo punto il suddetto coefficiente di riflessione:

34.00

0 =+−=Γ

ZZZZ

AA

AAAA

Si può quindi valutare il ROS come segue:

03.211

=Γ−Γ+

=AA

AAROS

Adattamento con trasformatore in λ/4 Poiché l’impedenza del carico normalizzata zL = (0.7-j1.4) è complessa l’adattamento con trasformatore 6/4 è possibile solo inserendo prima di esso un neutralizzatore costituito da un tratto di linea con impedenza caratteristica Z0 di lunghezza tale da far ruotare l’impedenza dal punto zL fino al punto d’intersezione con l’asse reale zAA = 0.21. Risulta lN = 0.164 corrispondente ad una lunghezza fisica lN = 49.2 cm (fig. 4.5). Detto questo, l’adattamento si completa dimensionando l’impedenza caratteristica del tratto in 6/4 alla media geometrica tra l’impedenza del carico alla sezione A-A e l’impedenza caratteristica della linea:

Ω=⋅=Ω=⋅= 5.1091.22 00 ZzZdoveZZZ AAAAAAX Cambiando la frequenza di lavoro e ponendola pari a 120 MHz la nuova lunghezza normalizzata del neutralizzatore è: lN = lN/61 = 0.197 alla cui rotazione sulla Carta di Smith con punto di partenza zL corrisponde una nuova impedenza alla sezione A-A zAA = (0.22+j0.20) che denormalizzata vale ZAA = (11+j10) + (fig. 4.6). L’impedenza alla sezione B-B si trova dalla carta di Smith partendo dal punto zAA = ZAA/Zx = 0.48+j0.44 e ruotando di una lunghezza normalizzata l =(6/4)/61 =0.3. Si ottiene zBB = 0.66-j0.71, che denormalizzato fornisce ZBB = (15.01-j16.36) + (fig. 4.7).


47

Si può dunque calcolare il coefficiente di riflessione alla sezione B-B e valutarne successivamente il ROS:

717.311

576.00

0 =Γ−Γ+

=⇒=+−=Γ

BB

BB

BB

BBBB ROS

ZZZZ

Confrontando i risultati ottenuti nei due casi si nota che l’adattatore stub parallelo in corto circuito risulta più stabile in frequenza rispetto all'adattatore in 6/4 poiché a parità di variazione di questa il ROS assume un valore inferiore.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

yL

yA°A°

YL=0.01+0.01i S

yL=0.29+0.57i

yA°A°=1.00+1.71i

YA°A°=0.02+0.03i S

fig. 4.1 Movimento corrispondente al tratto ld dell’adattatore stub parallelo a 100 MHz.


48

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

yCC

ySTUB

ySTUB=0.00-1.71i

YSTUB=0.00-0.03i S

lS= 0.252m

fig. 4.2 Movimento corrispondente al tratto ls dell’adattatore stub parallelo a 100 MHz.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

yL

yA°A°

YL=0.01+0.01i S

yL=0.29+0.57i

yA°A°=1.56+2.06i

YA°A°=0.03+0.04i S

fig. 4.3 Movimento corrispondente al tratto ld dell’adattatore stub parallelo a 120 MHz.


49

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

yCC

ySTUB

ySTUB=0.00-1.35i

YSTUB=0.00-0.03i S

lS= 0.252m

fig. 4.4 Movimento corrispondente al tratto ls dell’adattatore stub parallelo a 120 MHz.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

zL

zAA

ZL=35-70i Ω

zL=0.700-1.400i

zAA=0.21+0.00i

ZAA=11+0i Ω

fig. 4.5 Movimento corrispondente al tratto lN del neutralizzatore a 100 MHz.


50

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

zL

zAA

ZL=35-70i Ω

zL=0.700-1.400i

zAA=0.22+0.20i

ZAA=11+10i Ω

fig. 4.6 Movimento corrispondente al tratto lN del neutralizzatore a 120 MHz.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

zAA

zBB

ZAA=11+10i Ω

zAA=0.480+0.436i

zBB=0.66-0.71i

ZBB=15.01-16.36i Ω

fig. 4.7 Movimento corrispondente all’adattatore 6/4 a 120 MHz.


51

ESERCIZIO 5

Dato il circuito in figura, determinare: a) l1 e l2 (entrambe con ∆r=2) in modo da avere nella sezione A-A adattamento al

generatore; b) la potenza reale trasferita al carico nelle condizioni di adattamento del punto a); c) il valore del modulo della tensione sulle sezioni A-A e B-B. SOLUZIONE a) Per prima cosa si calcolano le ammettenze, avendo a che fare con una struttura a stub parallelo, e la lunghezza d’onda della linea in figura:

yg= Z0/Zg = 2

y1 = Z0/Z1 =(0.8+j0.4)

mfc

r

3535.01 =⋅=ε

λ

La condizione di adattamento alla sezione A-A si ottiene vedendo rispettivamente a destra e a sinistra di tale sezione due ammettenze complesse coniugate. Poiché l'ammettenza del generatore è reale tale condizione diventa:

2== gAA yy Conoscendo l’ammettenza alla sezione A-A e la parte reale dell’ammettenza alla sezione B-B è possibile dimensionare l1 partendo dal punto yAA, sulla carta di Smith, e ruotando in senso antiorario fino a intersecare la circonferenza con parte reale uguale a quella di y1.

Zg = 50 + f = 600 MHz Z0 = 100 + Zl = (100-j50) + V0 = 100 V

B

Zg

V0

Zl Z0 ∆r = 2

A

A B l1

Z0

l2


52

Con un tratto di linea di lunghezza normalizzata l1 = 0.125, corrispondente ad una lunghezza fisica pari a l1 = l1

. 6 = 44.2 mm, si ottiene una yBB = 0.8+j0.6 (fig. 5.1). La lunghezza dello stub va ora dimensionata in modo che il suo valore sommato a quello del carico comporti un’ammettenza alla sezione B-B pari a yBB.

2.01 jyyy BBSTUB =−=

Con una lunghezza normalizzata l2 = 0.282 pari ad una lunghezza fisica l2 = 99.7 mm, si ottiene l’ammettenza cercata (fig. 5.2). b) Avendo adattamento alla sezione del generatore la potenza disponibile Pd viene completamente assorbita dal carico dove risulta pari a:

WR

VPP

gdL 25

8

20 =

⋅==

c) Avendo dimensionato i tratti di linea l1 e l2 in modo da avere un'impedenza ZAA uguale all'impedenza del generatore Zg, il modulo della tensione alla sezione A-A risulta pari a:

VV

ZZZVV

gAA

AAAA 50

20

0 ==+

⋅=

Avendo effettuato adattamento alla sezione B-B è presente tutta la potenza disponibile Pd. Conoscendo quindi l’ammettenza in tale sezione si calcola la tensione come:

[ ] [ ] VYPVYVP

BB

BBBBBBBBBB 79

Re2Re

21 2 ==⇒⋅⋅=


53

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

yBB

yAA

YBB=0.008+0.006i S

yBB=0.8+0.6i

yAA=2+0i

YAA=0.02+0.00i S


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

yCC

ySTUB

ySTUB=-0.00+0.20i

YSTUB=-0.000+0.002i S



54

ESERCIZIO 6 Per il circuito in figura (V0 = 100 V, f = 100 MHz) determinare: a) ZX e lS in modo da avere adattamento in A-A; b) la potenza assorbita da R; c) le tensioni (in modulo) su R e nelle sezioni A-A e B-B. SOLUZIONE a) Dato che l’adattatore in 6/4 permette di effettuare un adattamento solo se il carico è puramente resistivo, anzitutto si dimensiona il tratto di linea lS in modo da avere un’impedenza ZBB puramente reale. Si calcolano dapprima la lunghezza d’onda della linea in esame e tutte le impedenze e lunghezze normalizzate.

6 = c/f = 3 m l1 =0.167

zL = (0.4+j0.6) r = 2

L’impedenza vista alla sezione B-C si trova partendo dal punto a impedenza zL sulla Carta di Smith e ruotando in senso orario a modulo costante di una lunghezza normalizzata pari a l1 . Si trova zBC = (3.34-j0.74) (fig. 6.1). Essendo inoltre i carichi in serie l’impedenza vista alla sezione B-B può essere scritta come:

zBB = zBC + r + zSTUB = (5.34-j0.74) + zSTUB

ZL = (20 +j30) +

Z0 =50 + Zx =?

V0

Zg =50 +

A

A B

B

6/4

R = 100 +

Z0

Z0

ls = ?

l1 = 0.5 m

C


55

Dovendo essere zBB puramente reale allora deve essere zSTUB = j0.74; tale impedenza risulta con un tratto di linea lS = 0.102 che si ottiene dalla Carta di Smith ruotando dal punto zCC sino al punto zSTUB con coefficiente di riflessione unitario (fig. 6.2). La lunghezza normalizzata trovata corrisponde ad una lunghezza fisica ls = 30.6 cm. A questo punto l’impedenza caratteristica dell’adattatore in 6/4 va dimensionata a un valore pari alla media geometrica tra l’impedenza caratteristica della linea e quella alla sezione B-B:

Ω=⋅= 5.1150ZZZ BBX dove ZBB = zBB . Z0 = 267 +. b) Avendo effettuato adattamento alla sezione A-A, la potenza alla sezione B-B cioè quella sul carico totale è pari alla potenza disponibile del generatore.

WR

VPP

gdBB 25

8

20 =

⋅==

La potenza assorbita dal resistore R si ottiene quindi partizionando in maniera proporzionale tale potenza come segue:

[ ] WZR

RPPBC

BBR 6.9Re

=+

⋅=

dove ZBC = zBC . Z0 = (160-j40) +. c) I moduli delle tensioni su R e alla sezione B-B possono essere facilmente trovate con considerazioni energetiche dato che in tali punti si è a conoscenza sia delle potenze che delle impedenze.

VRPVR

VP RR

RR 8.432

21

2

=⋅⋅=⇒⋅=

VZPVZ

VP BBBBBBBB

BBBB 5.11521Re21 2 =⋅⋅=⇒

⋅⋅=

Alla sezione A-A, in condizioni di adattamento, si ha la stessa impedenza del generatore perciò il modulo della tensione ai suoi capi risulta uguale alla metà del modulo della tensione fornita:

VV

V gAA 50

2==


56

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

zL

ΓezBC

ZL=20+30i Ω

zL=0.400+0.600i

zBC=3.34-0.74i

ZBC=167-37i Ω


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

zCC

Γe

zSTUB

ZCC=0 Ω

zCC=0

zSTUB=0.00+0.74i

ZSTUB=0+37i Ω



57

ESERCIZIO 7

Per il circuito in figura (V0= 50 V, frequenza = 300 MHz, ZC = 50 +): a) determinare l2 in modo che la potenza si ripartisca in modo uguale sui carichi; b) dimensionare un adattatore stub parallelo in cortocircuito che adatti il carico al

generatore; c) determinare la potenza reale assorbita da Z1 ,ad adattamento effettuato. SOLUZIONE a) La condizione per cui la potenza è ripartita in egual modo fra i due carichi è che la parte reale delle due ammettenze alla sezione B-B sia la medesima. Questo si ottiene eguagliando la frazione di potenza sui due carichi

[ ] [ ]BBBBBBBB YVPYVP 22

212

1 Re21Re

21 ⋅⋅==⋅⋅=

Detto questo, bisogna trovare la parte reale dell’ammettenza del carico 1 alla sezione B-B e uguagliarla alla stessa sezione la parte reale dell’ammettenza del carico 2. z1 = 2 da cui y1 = 0.5 z2 = (0.4 + j0.6) da cui y2 = (0.77-j1.15) Sapendo che la lunghezza d’onda 6 = c/f = 1 m, l’ammettenza dovuta al carico Z1 alla sezione B-B si trova ruotando in senso orario sulla carta di Smith di una lunghezza l1 = l1/6 = 1.25 a partire dal punto di ammettenza y1 trovato. Siccome tale distanza coincide con uno spostamento pari a 6/4 alla sezione B-B si ha un’ammettenza reciproca a quella di partenza y1BB = 2.

l2 = ?

Rg=50 +

V0

Z2= (20+j30) +

Z1=100 +

ZC

ZC

adattatore stub parallelo in corto circuito

l1 = 1.25 m

BA

A B


58

La condizione di egual potenza fra i due carichi si traduce nell’avere una y2BB = (2+jx). La lunghezza l2 è quindi quella tale per cui partendo dal punto y2 e ruotando in senso orario sulla carta di Smith si arriva nel punto di intersezione con la circonferenza a parte reale uguale a 2. Con uno spezzone di linea l2 = 0.364, quindi con una lunghezza fisica l2 = l2

. 6 = 36.4 cm, si ha un’ammettenza y2BB = (2+j1.6) (fig. 7.1) b) La condizione di adattamento si traduce nell’avere alla sezione A-A l’ammettenza complessa coniugata dell’ammettenza del generatore.

yAA = Zc/Zg = 1 L’ammettenza totale vista alla sezione B-B è la somma delle ammettenze dei due carichi alla medesima

( )6.1421 jyyy BBBBBB +=+= L’adattatore stub parallelo in cortocircuito è così fatto: Il tratto di linea ld con impedenza caratteristica 50 + deve essere dimensionato in modo da far ruotare l’impedenza alla sezione B-B sino ad un valore YA°A° = (1+jx) (tale valore è quello appena a destra dello stub). Dalla carta di Smith si ottiene che con un tratto di linea ld = 0.083, cioè una lunghezza fisica ld = ld . 6 = 8.3 cm, si ha un’impedenza yA°A° = (1-j1.7) (fig. 7.2). La lunghezza dello stub ls deve essere tale che la sua ammettenza compensi la parte immaginaria dell’ammettenza di yA°A°, perciò ySTUB = +j1.7. Per dimensionare la lunghezza dello stub bisogna partire sulla carta di Smith delle ammettenze dal punto del cortocircuito e ruotando in senso orario fino a ySTUB. Si ottiene ls = 0.415 corrispondente ad una lunghezza fisica ls = 41.5 cm (fig. 7.3). c) In condizioni di adattamento la potenza alla sezione B-B è uguale alla potenza disponibile:

WR

VPP

gdBB 25.6

8

20 ===

ld

ls

B

B

A°

A°

A

A


59

Avendo dimensionato la linea in modo che la potenza si ripartisce in modo uguale tra i due carichi, la potenza sul carico Z1 non è altro che la metà della potenza alla sezione B-B.

WPP BBZ 125.3

21==

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

y2

y2BB

Y2=0.0154-0.0231i S

y2=0.77-1.15i

y2BB=2.0+1.6i

Y2BB=0.04+0.03i S



60

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

yA°A°

yd

YA°A°=0.080+0.032i S

yA°A°=4.00+1.60i

yd=1.0-1.7i

Yd=0.02-0.03i S

fig. 7.2 Movimento corrispondente al tratto ld.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

yCC

ySTUB

ySTUB=0.0+1.7i

YSTUB=0.00+0.03i S



61

ESERCIZIO 8

Un carico ZL è composto da una resistenza R1=70 + in serie ad un condensatore C di capacità 100 pF; si vuole adattare il carico ad una linea di trasmissione in aria di impedenza caratteristica Z0 = 50 +, mediante un condensatore CX da collocare lungo la linea, in un punto opportuno (vedi figura). Sapendo che la frequenza di lavoro è 90 MHz, si chiede di: a) determinare la distanza d ed il valore della capacità CX che realizzano l'adattamento; b) sapendo che la potenza disponibile è di 100 W, calcolare qual è la tensione ai capi del

condensatore CX. SOLUZIONE a) Nella struttura in figura è presente un carico complesso connesso ad una linea ad impedenza caratteristica Z0. Per effettuare l'adattamento bisogna posizionare il condensatore (posto in parallelo al carico complesso) ad una distanza tale che la parte reale dell'ammettenza sia già adattata poiché esso dà un contributo solo sulla parte immaginaria. L'impedenza del carico è data dalla somma dell'impedenza reale del resistore e di quella complessa del condensatore.

Ω−=⋅⋅

+=⋅⋅

+= )68.1770(2

1111 j

CfjR

CjRZL πω

Da qui è possibile calcolare il valore dell’ammettenza del carico normalizzata all’impedenza caratteristica della linea:

yL = Z0 / ZL = (0.67+j0.17) La condizione di adattamento nel caso specifico si traduce nell’imporre che il carico complesso converga nell'origine della carta di Smith, in altre parole nell’imporre che esso sia eguale all’impedenza caratteristica della linea. Per trovare d si opera sulla Carta di Smith delle ammettenze e ci si muove in senso orario e a modulo del coefficiente di riflessione costante dal punto di ammettenza yL fino all’intersezione con la circonferenza unitaria. Procedendo in questo modo si trovano due punti che intersecano tale circonferenza, uno avente parte immaginaria positiva, l’altro avente parte immaginaria negativa.

CX RlZ0 = 50+

C

d


62

Dato che il condensatore CX è in grado di compensare solo una suscettanza negativa, si deve scegliere il punto yd avente parte immaginaria negativa. Si misura quindi un’ammettenza pari a yd = (1-j0.45) dopo un tratto di lunghezza normalizzata d = 0.312 pari ad una lunghezza fisica d = d . c/f = 1.04 m (fig. 8.1). Per dimensionare il valore della capacità del condensatore CX bisogna invece imporre che il valore della sua suscettanza compensi la parte immaginaria dell’ammettenza Yd = yd / Z0 = (0.02-j0.01) S. Dunque:

pFSCSCB XXC 68.1701.001.0 ==⇒==ω

ω

b) La conoscenza della potenza disponibile al generatore permette di calcolare la tensione da esso fornita invertendo la seguente relazione:

[ ] VRPVZRE

VP gdg

g

gd 2008

81

2

=⋅=⇒⋅=

Essendoci adattamento, sulla linea si propaga la sola onda diretta il cui modulo della tensione |V0

+| coincide, quindi, con la tensione ai capi del condensatore:

VV

VV gCX

10020 ===+

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

yL

yd

YL=0.0134+0.0034i S

yL=0.67+0.17i

yd=1.00-0.45i

Yd=0.02-0.01i S

fig. 8.1 Movimento corrispondente al tratto d.


63

ESERCIZIO 9

Per il circuito in figura, calcolare: a) l1 e l2 in modo da adattare (massimo trasferimento di potenza) il circuito alla sezione

A-A; b) la potenza reale dissipata su Z2. SOLUZIONE a) Anzitutto si trova la lunghezza d'onda della linea in questione e si normalizzano le impedenze note all'impedenza caratteristica della linea ottenendo i seguenti valori:

6 = c/f = 0.5 m zg = (2-j) z1 = (1+j)

z2 = 3 Essendo la linea costituita da un generatore avente impedenza interna complessa, la condizione di adattamento e quindi il massimo trasferimento di potenza si traduce nell'avere a destra e a sinistra della sezione A-A rispettivamente l'impedenza interna del generatore e la sua complessa coniugata. Deve quindi risultare:

)2(* jzzz AAgAA +=⇒= Osservando che l’impedenza del carico alla sezione A-A è

zAA = z2AB + z1 + zSTUB

Vg

Zg

A

A

Z1

ZC

ZC

l1

l2

B

Z2

Zg = (100-j50) + ZC = 50 + Z1 = (50+j50) + Z2 = 150 + Vg = 100 V f = 600 MHz


64

e sapendo che lo stub modifica solo la parte immaginaria dell'impedenza, bisogna operare affinché il tratto di linea l2 modifichi la parte reale dell'impedenza di z2 vista alla sezione A-B in modo che sommata a quella di z1 eguagli la parte reale dell'impedenza del generatore. Si dimensiona poi il tratto di stub l1 in modo da effettuare l’adattamento della parte immaginaria dell’impedenza vista alla sezione A-A. Dovendo essere:

(2+j) = (Re[z2AB]+Im[z2AB]) + (1+ j) + Im[zSTUB] risulta:

Re[z2AB] = 1 [1] e

Im[zSTUB] = -Im[z2AB] [2] Si può a questo punto procedere operando sulla Carta di Smith. Il tratto di linea l2 equivale infatti alla lunghezza normalizzata che permette di muoversi sulla carta a modulo costante e in senso orario dal punto z2 al punto che interseca la circonferenza unitaria (fig. 9.1). Si legge un valore d’impedenza pari a z2AB = (1-j1.1) con una lunghezza normalizzata l2 = 0.084 pari a una lunghezza fisica l2 = l2

. 6 = 42 mm. Infine, la lunghezza normalizzata del tratto di stub l1 non è altro che il movimento sulla carta a modulo unitario dal punto zCC al punto avente parte immaginaria uguale e contraria a quella introdotta dallo spezzone di linea l2. Dalla carta si misura una zSTUB = +j1.1 dopo una lunghezza normalizzata l1 = 0.132 corrispondente ad una lunghezza fisica l1 = 66 mm (fig. 9.2). b) Avendo nel punto precedente a) effettuato adattamento alla sezione A-A la potenza sul carico vista in tale sezione è pari alla potenza disponibile:

WR

VPP

g

gdAA 5.12

8

2

=⋅

==

dove Rg = Re[Zg] Dunque, la potenza reale dissipata sul carico si ottiene con la seguente formula:

[ ][ ] [ ] W

ZZZPP

AB

ABAAZ 25.6

ReReRe

21

22

=+

⋅=

dove Re[Z2AB] = Re[z2AB] . Z0 = 50 +


65

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

z2

z2AB

Z2=150 Ω

z2=3

z2AB=1.0-1.1i

Z2AB=49.5-57.5i Ω


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

zCC

zSTUB

zSTUB=0.0+1.1i

ZSTUB=0.0+54.6i Ω



66

ESERCIZIO 10

Dato il circuito in figura, si calcoli: a) il valore dell’impedenza Zx in modo da avere adattamento alla frequenza f = 500 MHz; b) il valore del ROS (rispetto all’impedenza del generatore) alla frequenza f+∆f = 550 MHz; c) la potenza assorbita dal carico alla frequenza di 550 MHz; d) il modulo delle tensioni alle sezioni A-A, B-B, C-C alla stessa frequenza. SOLUZIONE a) La condizione di adattamento si traduce nell’avere rispettivamente a destra e sinistra della sezione A-A due impedenze una complessa coniugata dell’altra. Poiché l’impedenza del generatore è reale tale condizione si riduce al veder rispettata la seguente condizione:

Ω== 50gAA RZ Poiché il tratto di linea tra la sezione A-A e la sezione B-B ha una lunghezza pari a 6/4 (cioè mezzo giro sulla carta di Smith) l’impedenza che si dovrebbe vedere in quest’ultima per avere l’adattamento può essere velocemente trovata come segue:

Ω== 2002

AA

CBB Z

ZZ

Per fare in modo che l’impedenza del carico vista alla sezione B-B sia quella desiderata basta osservare che la distanza tra i due è pari a 6/4 e quindi l’adattamento si compie dimensionando l’impedenza caratteristica di questo tratto di linea alla media geometrica tra l’impedenza del carico e quella desiderata alla sezione B-B.

Ω=⋅= 5.122BBLX ZZZ b) Cambiando il valore della frequenza di lavoro quello che cambia sono i valori delle lunghezze normalizzate dei tratti di linea e quindi i relativi spostamenti sulla carta di Smith.

λ/4 λ/4

A B C

Zx ZL=75 Ω ZC=100 Ω Rg=50 Ω

V0 =100 V


67

La lunghezza fisica dei 2 tratti di linea in 6/4 corrisponde a:

mfc 15.0

41

4=⋅=λ

Lavorando a una frequenza f+∀f = 550 MHz tale lunghezza viene rinormalizzata con un valore della lunghezza d’onda 61 = c/(f+∀f) = 0.545 m e quindi va a determinare uno spostamento pari a l = 0.15 m/61 = 0.275 Questi cambiamenti comportano un disadattamento alla sezione A-A dovuto alla variazione dell’impedenza vista in tale sezione che può essere trovato con l’ausilio della carta di Smith. Innanzitutto si trova l’impedenza alla sezione B-B partendo dal punto rappresentante il carico normalizzato zL = ZL/Zx = 0.61 e ruotando in senso orario (spostamento verso il generatore) di una lunghezza normalizzata pari a l. Si trova una ZBB = 1.57-j0.247 (fig. 10.1). Questo valore va denormalizzato e poi rinormalizzato rispetto all’impedenza caratteristica del tratto di linea compreso tra le sezioni A-A e B-B.

Ω−=⋅=⇒−==° )23.3029.192(302.0923.1 jZzZjZZz XBBBB

C

BBBB

Dal punto z°BB si ruota ancora in senso orario di una lunghezza normalizzata l e si arriva nel punto zAA = 0.53 +j0.2 che denormalizzato rispetto a ZC fornisce l’impedenza alla sezione A-A pari a ZAA =(53+j20) + (fig.10.2). A questo punto si può calcolare il modulo del coefficiente di riflessione alla sezione A-A come:

19.0=+−

=ΓgAA

gAAAA RZ

RZ

La conoscenza di tale modulo permette il calcolo del rapporto d’onda stazionaria.

47.111

=Γ−Γ+

=AA

AAROS

c) La potenza assorbita dal carico è pari alla potenza che passa alla sezione del generatore A-A ossia alla frazione di potenza disponibile che in tal punto non viene riflessa a causa della discontinuità.

( ) [ ] ( ) WR

VPP AA

g

gAADL 1.241

Re81 2

2

2 =Γ−⋅⋅

=Γ−⋅=

d)


68

Poiché l’unico elemento dissipativo presente sulla linea è il carico ZL su tutte e tre le sezioni A-A, B-B e C-C sarà presente la stessa potenza pari alla potenza sul carico PL già trovata al punto precedente. Utilizzando la formula generale:

[ ]XXX YVP Re21 2 ⋅⋅=

dove PX è la potenza e Re[YX] la parte reale dell’ammettenza a una generica sezione x è possibile calcolare il modulo della tensione |VX| alla medesima Alla sezione C-C il valore dell’ammettenza vale YC = 1/ZL = 0.0133 S e quindi invertendo la sopraccitata si ottiene |VC| = 60.2 V. Alla sezione B-B la parte reale dell’ammettenza vale Re[YB] = Re[1/ZBB] = 0.0051 S e quindi invertendo la sopraccitata si ottiene |VB| = 97.2 V. Alla sezione A-A la parte reale dell’ammettenza vale Re[YA] =Re[1/ZAA] = 0.0165 S e quindi invertendo la sopraccitata si ottiene |VA| = 54 V.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

zL

zBB

ZL=75 Ω

zL=0.612

zBB=1.570-0.247i

ZBB=192.292-30.231i Ω

fig. 10.1 Movimento corrispondente al tratto l con impedenza caratteristica Zx a f = 550 MHz


69

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

z°BB

zAA

Z°BB=192-30i Ω

z°BB=1.923-0.302i

zAA=0.53+0.20i

ZAA=53+20i Ω

fig. 10.2 Movimento corrispondente al tratto l con impedenza caratteristica ZC a f = 550 MHz


70

ESERCIZIO 11 Dato il circuito in figura: a) determinare l1 e l2 (linee in aria) in modo che il generatore trasferisca la massima

potenza reale al carico; in tal condizioni, calcolare la potenza reale trasferita al carico e il modulo della tensione su di esso;

b) determinare l1 e l2 (linee in aria) in modo che alla sezione A-A non si abbiano riflessioni (!AA = 0 ); in tali condizioni, calcolare la potenza reale trasferita al carico e il modulo della tensione su di esso.

SOLUZIONE a) La condizione di massimo trasferimento di potenza coincide con la condizione di adattamento che si ha se l’impedenza dovuta al carico vista alla sezione A-A (sezione di adattamento) è uguale alla complessa coniugata dell’impedenza del generatore.

*gAA ZZ =

Quindi si dovrà avere ZAA = (50-j50) + che normalizzato all’impedenza caratteristica della linea corrisponde a zAA = 1-j I tratti di linea l1 e l2 andranno dimensionati rispettivamente per effettuare l’adattamento di parte reale e parte immaginaria. Partendo sulla Carta di Smith dal punto individuato dal carico normalizzato zL = 2 si deve ruotare in senso orario e a modulo costante sino ad intersecare la circonferenza a parte reale unitaria. Con un tratto di linea di lunghezza normalizzata l1 = 0.098 si arriva alla sezione A-B con una impedenza pari a : zAB = 1-j0.7 (fig. 11.1). Si noti che, essendo la lunghezza d'onda della linea 6 = c/f = 3 m, la lunghezza fisica corrispondente al tratto l1 è l1 = l1 .6 = 29.4 cm. Per ottenere la zAA desiderata l’impedenza dello stub deve essere :

3.0jzzz ABAASTUB −=−=

Z0

Zg = 50(1+j) + f = 100 MHz Z0 = 50 + ZL = 100 + V0 = 50 V

Zg

V0

A

A

B

A

C

C

ZL

l1

l2


71

La lunghezza dello stub va quindi trovata partendo dal corto circuito (ZCC) e ruotando in senso orario e a modulo unitario sino al punto con impedenza cercata. Con una lunghezza l2 = 0.454, cui corrisponde una lunghezza fisica pari a l2 = l2 . 6 = 1.362 m, si è dimensionato lo stub (fig. 11.2). In condizioni di adattamento si ha come richiesto il massimo trasferimento di potenza e, quindi, al carico arriva l’intera potenza disponibile al generatore.

[ ] WZg

VPP dL 25.6

Re81

20 =⋅==

Conoscendo la potenza si può velocemente ricavare il modulo della tensione sul carico come:

VZPVZ

VP LLLL

LL 36.3521Re21 2 =⋅⋅=⇒

⋅⋅=

b) La condizione di assenza di riflessioni si traduce in termini di impedenze nella seguente:

ZAA = Zg Il tratto di linea l1 e l’impedenza alla sezione A-B hanno, quindi, ancora gli stessi valori del caso precedente mentre la lunghezza del tratto di linea l2 va ridimensionata in modo da avere uno stub con impedenza:

7.1jZZZ ABAASTUB =−= Con procedimento analogo al precedente si parte dal corto circuito e si gira sulla circonferenza unitaria sino al punto con impedenza cercata e, quindi, si misura una lunghezza normalizzata l2 = 0.165 pari a l2 = l2 . 6 = 49.5 cm (fig. 11.3). Poiché l’impedenza vista alla sezione A-A è uguale a quella del generatore in tal punto il modulo della tensione vale:

VV

VAA 252

0 ==

La conoscenza della tensione alla sezione A-A permette di calcolare la potenza alla medesima che, poiché si è in condizione di assenza di riflessione, coincide con quella sul carico.

WZ

VPPAA

AAAAL 125.31Re21 2 =

⋅⋅==


72

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

zL

zAB

ZL=100 Ω

zL=2.000

zAB=1.00-0.71i

ZAB=50-35i Ω

fig. 11.1 Movimento corrispondente al tratto l1 (casi a e b).

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

zCC

zSTUB

zSTUB=0.0-0.3i

ZSTUB=0-15i Ω

fig. 11.2 Movimento corrispondente al tratto l2 (caso a).


73

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

zCC

zSTUB

zSTUB=0.0+1.7i

ZSTUB=0+85i Ω

fig. 11.3 Movimento corrispondente al tratto l2 (caso b).


74

ESERCIZIO 12

Data la struttura in figura: a) si calcoli la potenza dissipata su R1; b) si dimensioni una rete di adattamento con linee a 50 +; c) si calcoli, in presenza della rete, la potenza dissipata su R2; d) si calcoli infine |V1| e |V2|. (f = 400 MHz, Z0 = 50 +, L= 20 nH, C = 3 pF, R1 = 25 +, R2 = 40 +, l1 = 15 cm, l2 = 25 cm, Pd = 1 W) SOLUZIONE a) Non essendoci adattamento la potenza disponibile erogata dal generatore non viene assorbita totalmente dal carico ma viene in parte riflessa. Si deve quindi anzitutto trovare il coefficiente di riflessione alla sezione del generatore mediante la determinazione dell’impedenza del carico vista in tale sezione resa possibile dall'ausilio della Carta di Smith. Essendo la linea composta da elementi disposti tra loro in parallelo è conveniente utilizzare la carta delle ammettenze in modo che i successivi calcoli risulteranno semplificati. Si calcolano dunque la lunghezza d'onda della linea, le ammettenze normalizzate e le lunghezze normalizzate dei tratti di linea.

6 = c / f = 0.75 m y1 = g1 = 2

y2 = g2 = 1.25 l1 = 0.2

l2 = 0.333 Si parte dal punto di ammettenza y1 e si ruota sulla carta a modulo costante per un tratto di lunghezza l1 fino ad arrivare al punto di ammettenza y1DD = (0.54-j0.24) (fig. 12.1).

L C Pd R1 R2

l1 l2

Z0 Z0 Z0

A

A

B

B

C

C

D

D

V2 V1

sezione dove inserire la rete di adattamento


75

Essendo le resistenze R1 e R2 in parallelo, l'ammettenza totale alla sezione D-D sarà data dalla somma delle ammettenze y2 e y1DD

yDD = y2 + y1DD = (1.79-j0.24) Il contributo del condensatore si calcola come:

38.0500 jCjZCjbC +=⋅=⋅= ωω ed essendo anche il condensatore disposto in parallelo sulla linea l'ammettenza vista alla sezione C-C è la somma di yDD e della suscettanza dovuta al contributo del condensatore:

yCC = yDD + bC = (1.79+j0.14) A questo punto ci si muove a modulo costante per il tratto di linea corrispondente alla lunghezza normalizzata l2 fino ad arrivare alla sezione C-B (appena a destra dell’induttore) con ammettenza pari a yCB = (0.64+j0.32) (fig. 12.2). Il contributo dell'induttore si calcola come

99.0500 jL

jL

ZjbL −=−=−=

ωω

L'ammettenza totale vista alla sezione B-B, e dunque anche dal generatore, è:

yBB = yCB + bL = (0.64-j0.67) Il modulo del coefficiente di riflessione alla sezione del generatore si può misurare direttamente dalla Carta di Smith come la distanza del punto di ammettenza yBB dall'origine oppure si può ricavare analiticamente dalla definizione:

43.011 =

+−=Γ=Γ

BB

BBBBg y

y

A questo punto è possibile calcolare la potenza dissipata su R1 tenendo presente che la potenza che oltrepassa la sezione del generatore viene dissipata totalmente sui due carichi, essendo la linea priva di perdite, e in maniera proporzionale alla parte reale degli stessi visti in tale sezione. Risulta:

( ) [ ][ ] [ ] mW

yyyPP

DD

DDBBdR 246

ReReRe1

21

12

1=

+⋅Γ−⋅=

b) Considerando che la resistenza interna del generatore è puramente reale, la condizione di adattamento per la linea in esame si traduce nella seguente:

1* ==⇒= gAAgAA yyyy


76

Per rendere possibile la relazione appena citata è possibile utilizzare uno stub parallelo in corto circuito da inserire fra le sezioni A-A e B-B dimensionando opportunamente la lunghezza del tratto di linea e dello stub in modo tale da far convergere l'ammettenza del carico vista alla sezione del generatore nell'origine della Carta di Smith. Dal punto precedente a) si ha che l'ammettenza alla sezione B-B risulta yBB = (0.64-j0.67).Si dimensiona quindi anzitutto la lunghezza del tratto di linea (distanza dalla sezione B-B del punto dove inserire lo stub) partendo dal punto yBB e ruotando in senso orario e a modulo costante fino al punto di intersezione con la circonferenza unitaria. Con l'ausilio della Carta si misura un'ammettenza y = (1+j0.95) dopo una lunghezza normalizzata l = 0.277 corrispondente ad una lunghezza fisica pari a l = 208 mm (fig. 12.3). A questo punto è possibile compensare la parte immaginaria di questa ammettenza con uno stub la cui lunghezza normalizzata corrisponde ad un movimento sulla Carta di Smith a modulo unitario dal punto yCC al punto avente parte immaginaria uguale a –j0.95. La lunghezza dello stub risulta essere lSTUB = 0.129 cui corrisponde una lunghezza fisica uguale a lSTUB = 97 mm (fig. 12.4). Con l’inserimento dello stub l'ammettenza del carico vista alla sezione del generatore converge nell'origine della Carta con il conseguente adattamento. c) Ad adattamento effettuato, non essendoci più nessuna riflessione alla sezione del generatore tutta la potenza disponibile da esso erogata viene assorbita dai carichi in modo proporzionale alla parte reale della loro ammettenza vista alla sezione D-D. Dunque:

[ ][ ] [ ] mW

yyyPP

DDdR 698

ReReRe

12

22

=+

⋅=

d) Le tensioni ai capi dei due carichi si trovano, conoscendo la corrispondente potenza assorbita, dalla seguente relazione:

⋅=⇒

⋅⋅=

x

RX

xxR

Z

PV

ZVP x

X 1Re

21Re21 2

dove ZX è l'impedenza del corrispondente carico. Il calcolo del modulo |V2| della tensione ai capi di R2 è immediato avendone calcolato al punto precedente la potenza dissipatavi ed essendo l'impedenza vista alla sezione D-D proprio R2. Risulta:

VRPV R 47.72 22 2=⋅⋅=


77

Il calcolo del modulo della tensione ai capi di R1, |V1|, è possibile invece solo dopo aver ricavato la potenza dissipata su tale carico. Essendo

[ ][ ] [ ] mW

yyyPP

DD

DDdR 302

ReReRe

12

11

=+

⋅=

si ricava

V

Z

PV xR 49.5

1Re

2

1

1 =

⋅=

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

y1

y1DD

Y1=0.04 S

y1=2.00

y1DD=0.54-0.24i

Y1DD=0.01-0.00i S



78

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

yCC

yCB

YCC=0.04+0.00i S

yCC=1.79+0.14i

yCB=0.64+0.32i

YCB=0.01+0.01i S


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

yBB

y

YBB=0.01-0.01i S

yBB=0.64-0.67i

y=1.00+0.95i

Y=0.02+0.02i S

fig. 12.3 Movimento corrispondente alla distanza a cui inserire lo stub.


79

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

yCC

ySTUB

ySTUB=0.00-0.95i

YSTUB=0.00-0.02i S

fig. 12.4 Movimento corrispondente alla lunghezza dello stub.


80

ESERCIZIO 13

Data la struttura in figura, dove Rg = 75 +, ZC = 75 +, R1 = R2 = 150 +, si determino le lunghezze l1, d1, l2, in modo che ci sia adattamento alla frequenza di 150 MHz, e che la potenza assorbita dai due carichi stia nel rapporto P1 = 3P2. SOLUZIONE Per prima cosa si calcola la lunghezza d'onda corrispondente alla frequenza di lavoro 6 = c/f =2 m. Essendoci per ipotesi adattamento alla sezione A-A tutta la potenza disponibile erogata dal generatore di tensione viene assorbita interamente dai due carichi. Essa, inoltre, come ben noto si ripartisce in modo proporzionale alla parte reale dell'ammettenza dei due carichi connessi in parallelo nella sezione B-B. Dunque, imporre P1 = 3P2 significa a tutti gli effetti imporre:

( ) ( )BByy 21 Re3Re ⋅= Dobbiamo ora trovare y2CC = (0.5+jx) (avendo alla sezione C-C un carico puramente resistivo il termine "+jx" è quello introdotto dal tratto di stub l2) tale per cui partendo da questo punto e ruotando sulla Carta di Smith in senso orario e a modulo costante per un tratto di lunghezza l si incontra un punto y2BB avente parte reale uguale ad 1/3 della parte reale dell'ammettenza del carico 1. Operando con la Carta di Smith si trova che il punto che soddisfa la condizione sopraccitata è:

y2CC = (0.5-j1.4) Muovendosi infatti da y2CC di l = 6/8 si arriva nel punto y2BB = (0.167-j0.2) che soddisfa la tesi. La lunghezza l2 dello stub deve fare in modo che la sua ammettenza vista alla sezione C-C sommata al carico y2 comporti la presenza alla medesima sezione dell’ammettenza cercata y2CC . Operando con la Carta di Smith si trova una lunghezza normalizzata l2 = 0.099 pari ad una lunghezza fisica l2 = l2 . 6 = 19.8 cm tale che ySTUB = -j1.4.

Rg

Rl

A

Al2

R2

B

B C

C l=6/8 d1

l1

ZC


81

Per effettuare l'adattamento alla sezione A-A bisogna imporre che l'impedenza del carico sia uguale all'impedenza complessa coniugata del generatore. Tuttavia, avendo a che fare con uno stub parallelo in cortocircuito e dovendo dunque lavorare con la carta delle ammettenze, la relazione sopra riportata si traduce nella seguente:

yAA = yg* = 1

L'ammettenza del carico alla sezione B-B risulta:

yBB = y1 + y2BB = (0.667-j0.2) A questo punto si dimensiona d1 sapendo che tale tratto corrisponde sulla Carta di Smith ad un movimento in senso orario e a modulo costante in modo tale da spostarsi dal punto yBB fino all'intersezione con la circonferenza a parte reale unitaria. Il punto di intersezione risulta essere yAA = (1+j0.475) dopo una lunghezza normalizzata d1 = 0.177 corrispondente ad una lunghezza fisica d1 = d1 . 6 = 35.4 cm. La lunghezza normalizzata dello stub l1 si trova imponendo che la sua ammettenza compensi la parte immaginaria dell’ammettenza appena trovata in maniera da ottenere yAA = 1. Questo si ottiene con uno stub di lunghezza normalizzata l1 =0.225 corrispondente ad una lunghezza fisica l1 = l1 . 6 = 45 cm.


82

ESERCIZIO 14

Un generatore di impedenza interna 50 Ω è collegato, tramite una linea di trasmissione a 50 Ω, ad un carico ZL. Sapendo che la tensione massima tollerabile dalla linea è 500 V, calcolare la potenza massima trasferibile al carico, nei due casi: ZL=50 Ω e ZL=30-j25 Ω. SOLUZIONE Nel caso ZL = 50 + si è in presenza di adattamento perciò sulla linea si propaga solo l’onda diretta il cui modulo è ottenibile come frazione dalla tensione del generatore alla sezione A-A.

VV

V g 50020 ==+

Da questa relazione si ottiene che per rispettare la specifica sulla massima tensione tollerabile dalla linea il valore massimo che può assumere la tensione del generatore è |Vg| = 1000 V . La potenza trasferita al carico è pari alla potenza disponibile del generatore poiché si è in condizioni di adattamento, perciò:

[ ] WZ

VPP

g

gdL 2500

Re8

2

=⋅

==

Nel caso di ZL = (30-j25) + non sussistono le condizioni di adattamento e, quindi, sulla linea si propagano sia un’onda diretta che un’onda riflessa . La condizione della massima tensione tollerabile deve essere rispettata in qualsiasi sezione della linea e soprattutto nel punto più critico, cioè dove la tensione è massima. Siccome la tensione sulla generica sezione z della linea può essere scritta come:

)(1)( 0 zVzV Γ+⋅= +

per trovare il suo massimo bisogna valutare dove è massimo il coefficiente di trasmissione operazione possibile lavorando con la carta di Smith delle impedenze. Dato che la lunghezza della linea non è indicata si suppone che essa sia tale da implicare una rotazione che comporti in una generica sezione zx un’impedenza puramente reale e maggiore di 1. In suddetto punto il coefficiente di trasmissione assume il valore:

382.111)(1 =+−

+=Γ+=Γ+CL

CLLx ZZ

ZZz


83

Il modulo del massimo di tensione si ottiene quindi come:

382.12

)(10 ⋅=Γ+⋅= + gxMAX

VZVV

Imponendo che tale valore sia pari a 500 V si ricava il massimo valore ammissibile come tensione del generatore |Vg| = 723.6 V Con questo valore è possibile ricavare la potenza disponibile al generatore come:

[ ] WZ

VP

g

gd 1309

Re8

2

=⋅

=

La massima potenza trasferibile al carico si ottiene quindi come la frazione di potenza disponibile non riflessa alla sezione A-A:

( ) WPPP LdAAdL 1118)1(1 22 =Γ−⋅=Γ−⋅=


84

ESERCIZIO 15

Un carico di impedenza ZL = (9-j32.5) + è connesso ad un generatore di potenza disponibile Pd = 100 W tramite la rete in figura. Sapendo che la frequenza è 100 MHZ, Z0 =ZG =50 +, L1 = 0.165 m e L2 = 0.375 m, si chiede di: a) realizzare l'adattamento, determinando i valori di C e L incogniti, in modo che tutta

la potenza disponibile venga assorbita dal carico; b) ad adattamento effettuato, calcolare la tensione ai capi del condensatore e la corrente

nell'induttore, entrambe in modulo; c) calcolare la potenza al carico, con la rete trovata precedentemente, quando la

frequenza è di 110 MHz. SOLUZIONE a) Avendo a che fare con una linea costituita da elementi disposti in parallelo si utilizza la carta delle ammettenze in modo da rendere più semplici i calcoli dell'ammettenza totale in ogni sezione della linea. Si calcolano quindi la lunghezza d'onda, le ammettenze e le lunghezze normalizzate in modo da poter operare sulla Carta di Smith.

6 = c / f = 3 m yg = 1

yL = Z0/ZL = (0.395+j1.42) L1 = L1/6 = 0.055

L2 = L2/6 = 0.125 Nel caso in esame la condizione di adattamento si traduce nell'avere rispettivamente a destra e a sinistra della sezione del generatore l'ammettenza interna di quest'ultimo e la sua complessa e coniugata riferita al carico:

yAA = yg

* Poiché il condensatore e l'induttore sono elementi che ai fini del calcolo dell'adattamento hanno un contributo solo sulla parte immaginaria dell'ammettenza della linea, nella pratica per avere adattamento si dovranno dimensionare i valori di capacità e induttanza nel seguente modo. Dovendo arrivare alla condizione yAA = 1 e ragionando a ritroso, l'induttanza deve

ZL L C

L2 L1

Z0 Pd

A A° B B°


85

essere dimensionata in modo tale che il suo contributo sulla parte immaginaria di yBB possa permettere di arrivare in un punto sulla Carta di Smith tale che, a sua volta, ruotando a modulo costante per il tratto di linea L2 si arrivi in un punto appartenente alla circonferenza unitaria. A quel punto il valore della capacità va dimensionato semplicemente in modo che il suo contributo compensi la parte immaginaria dell'ammettenza yA°A° . Dunque, partendo dal punto yL e ruotando a modulo costante per un tratto di lunghezza normalizzata L1 si arriva nel punto yB°B° = (1.7+j3.2) (fig. 15.1). L'induttore deve modificare la parte immaginaria di yB°B° in modo che partendo dal punto yBB così ottenuto e ruotando di L2 si possa arrivare sulla circonferenza unitaria: operando sulla Carta di Smith si trova che il punto che soddisfa la condizione appena riportata è yBB = (1.7+j0.3). A questo punto l'ammettenza totale vista alla sezione B-B sarà data dalla somma di yB°B° e della suscettanza dovuta all’induttanza L opportunamente dimensionata, come segue:

nHLL

jJbyjy LBBBB 44.27)3.02.3(

5050.2.37.1)3.07.1( =−⋅

=⇒−+=+=+= °° ωω

Ruotando poi a modulo costante a partire da yBB per un tratto di linea corrispondente alla lunghezza normalizzata L2 si incontra la circonferenza unitaria nel punto yA°A° = (1-j0.6) (fig. 15.2). Il valore della capacità è dimensionato quindi come segue:

pFCCjjbyy CAAAA 1.1950

6.0506.011 =⋅

=⇒⋅+−=+== °° ωω

Con questi valori di capacità e induttanza l'ammettenza del carico vista alla sezione del generatore è puramente reale e uguaglia l'ammettenza interna del generatore. Di qui l'adattamento. b) Il modulo della tensione dell'onda diretta si trova per mezzo della formula del partitore di tensione tra la impedenza interna del generatore e la impedenza vista alla medesima sezione. Poiché si è effettuato adattamento tali impedenze coincidono e risulta:

VV

VV gC 100

20 === +

Poiché la linea è adattata alla sezione B-B è presente tutta la potenza disponibile erogata dal generatore da cui si può ricavare il modulo della corrente in tale sezione:

[ ] [ ] AZPIZIP

BB

dBBBBBBd 65.2

Re2Re

21 2 =⋅=⇒⋅⋅=

La corrente che scorre nell'induttore si trova dalla formula del partitore di corrente tra l'impedenza dell'induttore stesso e l'impedenza del carico vista alla stessa sezione. Risulta:

AZX

ZIIBBL

BBBBL 21.1=

+⋅=


86

c) Essendo cambiata la frequenza le lunghezze fisiche L1 e L2 corrispondono ora a delle nuove lunghezze normalizzate L1 e L2 che, con i valori di capacità e induttanza calcolati al punto a), non consentono più di raggiungere l'adattamento. In altre parole la potenza disponibile non viene totalmente dissipata sul carico ma viene in parte riflessa. Si calcolano anzitutto la nuova lunghezza d'onda e le nuove lunghezze normalizzate:

61 = c / f = 2.727 m L1 = L1 / 61 = 0.0605 L2 = L2 / 61 = 0.1375

Partendo dal punto yL = (0.395+j1.42) e ruotando a modulo costante per il tratto L1 si arriva nel punto di ammettenza yBB = (2.2+j3.4) (fig. 15.3). Con la nuova frequenza, il contributo dell'induttore è

6.250 jL

jbL −=−=ω

e consente di muoversi sulla circonferenza avente parte reale uguale a 2.2 fino ad arrivare al punto di ammettenza yBB = (2.2+j0.8). Muovendosi di nuovo a modulo costante per il tratto L2 si arriva nel punto di ammettenza yA°A° = (0.8-j0.85) (fig. 15.4). Calcolando infine il contributo del condensatore dato da

66.050 jCjbC =⋅= ω ci si muove questa volta sulla circonferenza avente parte reale uguale a 0.8 fino ad arrivare alla sezione del generatore nel punto di ammettenza normalizzata yAA = (0.8-j0.19). A questo punto è possibile calcolare il coefficiente di riflessione come segue:

152.011 =

+−=Γ

AA

AAAA y

y

con cui è possibile ricavare finalmente l'effettiva potenza assorbita dal carico data dalla seguente relazione:

WPP AAdL 69.97)1( 2 =Γ−⋅=


87

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

yL

yLB°B°

YL=0.008+0.028i S

yL=0.395+1.420i

yLB°B°= 1.7+3.2i

YLB°B°=0.034+0.062i S

fig. 15. 1 Movimento corrispondente al tratto L1 a 100 MHz.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

yLBB

yLA°A°

YLBB=0.034+0.006i S

yLBB=1.7+0.3i

yLA°A°=1.0-0.6i

YLA°A°=0.020-0.012i S



88

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

yL

yLB°B°

YL=0.008+0.028i S

yL=0.40+1.42i

yLB°B°= 2.2+3.4i

YLB°B°=0.042+0.068i S


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

yLBB

yLA°A°

YLBB=0.04+0.02i S

yLBB=2.2+0.8i

yLA°A°= 0.8-0.85i

YLA°A°=0.016-0.017i S



89

ESERCIZIO 16

Dato il circuito in figura: a) determinare l1 in modo che la potenza reale assorbita da Z1 e Z2 sia la stessa; b) dimensionare l'adattatore tra la sezione A-A e B-B (realizzato con uno stub parallelo

in cortocircuito e un tratto di linea in 6/4); c) determinare la posizione e il modulo del valore massimo della tensione nel tratto B-C. SOLUZIONE a) La condizione affinché la potenza assorbita dai 2 carichi sia la stessa è che alla sezione B-B essi abbiano ammettenze con la stessa parte reale:

Re[Y1]=Re[Y2] Siccome

z2 = Z2/Z0 = 2 => y2 = 1/z2 = 0.5 z1 = Z1/Z0 = 4 => y1 = 0.25

Quello che bisogna imporre è che la lunghezza l1 sia tale da avere alla sezione B-B una ammettenza dovuta al carico Z1 pari a: y1BB = (0.5+jx). Partendo dal punto y1 sulla Carta di Smith si ruota in senso orario fino a intersecare la circonferenza a parte reale 0.5. Con una lunghezza l1 = 0.13 e quindi una lunghezza fisica l1 = l1

. 6 = 0.39 m si ottiene una ammettenza y1BB= (0,5+j0.925) (fig. 16.1). Si noti che la lunghezza d’onda 6 è data da: 6 = c/f = 3 m

Rg = Z0=50 + V0= 100 V f = 100 MHz Z1 = 200 + Z2 = 100 +

lSTUB

Rg

V0

6/4

Z2

l1

Z1

A

A

B

B

C

C

Z0


90

b) La condizione da rispettare per avere adattamento alla sezione A-A è che in tal punto l'ammettenza vista a destra e a sinistra siano tra loro complesse e coniugate. Essendo yg = Z0/Rg = 1 reale, la condizione sopra citata si riduce a yAA = 1. Poiché l'ammettenza alla sezione B-B è:

yBB = yBB1 + y2 = (1+j0.925)

è sufficiente eliminare la parte immaginaria di tale ammettenza con lo stub parallelo in corto circuito. Il tratto di linea in 6/4 è ininfluente poiché essendoci adattamento linea-generatore ci si trova nell'origine della Carta di Smith (punto con coefficiente di riflessione nullo) e qui ci si mantiene fino alla prima discontinuità B-B. Dovendo essere ySTUB = -j0.925 la lunghezza lSTUB si trova ruotando in senso orario con modulo del coefficiente di riflessione unitario dal punto rappresentante il corto circuito sino al punto con parte immaginaria –j0.925. Si trova (fig. 16.2):

lSTUB = 0.132 => lSTUB = lSTUB . 6 = 39.5 cm c) Essendo:

( ) ( )zVzV Γ+⋅= + 10

ed essendo |V0+| una costante si ha che il massimo si trova in corrispondenza del massimo

valore del coefficiente di trasmissione |1+!(z)|. Dalla Carta di Smith si trova che tale punto è ai capi di Z1. Sapendo che la potenza alla sezione B-B è pari alla potenza disponibile del generatore e cioè:

WR

VPP

gdBB 25

8

20 =

⋅==

e che tale potenza si ripartisce in parti uguali sui due carichi si ha:

WPP dZ 5.12

21==

da cui si ricava il modulo della tensione sul carico Z1

[ ] VYP

V ZZ 71.70

Re2

1

1

1=

⋅=


91

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

y1

y1BB

Y1=0.005 S

y1=0.25

y1BB= 0.500+0.925i

Y1BB= 0.0010+0.0185i S


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

yCC

ySTUB

ySTUB=0.000-0.925i

YSTUB=0.0000-0.0185i S

fig. 16.2 Movimento corrispondente al tratto lSTUB.


92

ESERCIZIO 17

Un generatore operante a frequenza 800 MHz, di impedenza interna Zg = 75 + e potenza disponibile Pd = 5 W, è connesso tramite una linea di impedenza Z0 = 75 + e costante dielettrica relativa ∆r = 5 ad un carico ZL = (40-j60) +. Si vuole adattare il carico al generatore tramite la rete a doppio stub (in serie) in figura. Si chiede di: a) determinare le lunghezze fisiche l1 e l2 dei due stub (in corto circuito), realizzati con

un coassiale di impedenza interna ZS = 300 +; b) valutare la massima tensione lungo i due stub. SOLUZIONE a) La condizione di adattamento si traduce nell'avere alla sezione del generatore

Zg = ZL*

Nel dimensionamento della rete di adattamento occorrerà tenere presente che i due stub sono inseriti in serie (per questo si opererà sulla carta delle impedenze) e che sono realizzati con linee di trasmissione avente impedenza caratteristica di 300 +. Con riferimento alle sezioni tratteggiate in figura, nella sezione A--A- ci deve essere adattamento che significa essere nel centro della Carta di Smith. Affinché lo stub serie di lunghezza normalizzata l1 possa far convergere l'impedenza riferita al carico in tale centro, l'impedenza ZA+A+ vista nella sezione A+-A+ dovrà essere rappresentata da un punto qualsiasi del cerchio a resistenza costante (1+jx); lo stub, infatti, può introdurre solo una reattanza di valore qualsiasi, sia positiva che negativa, ma non una resistenza. Perché l'adattamento sia realizzabile nella sezione B--B- si dovrà avere un'impedenza tale che, dopo un tratto d1, si possa trasformare in un punto sul cerchio a resistenza costante (1+jx).

d1 = 6/8 d2 = 6/8

Zg

300+ 300+

ZL

A-

A-

B-

B-

B+

B+

A+

A+

75+

l1 l2


93

Il tratto d1 ha una lunghezza elettrica di 0.1256; il luogo delle impedenze che appartengono al cerchio (1+jx) dopo una rotazione in senso orario (verso il generatore) di 0.1256 si ottiene graficamente ruotando in senso antiorario di 0.1256 il cerchio (1+jx) stesso attorno al centro della Carta di Smith. Per poter realizzare l'adattamento, quindi, l'impedenza vista nella sezione B--B- dovrà essere rappresentata da un punto qualsiasi appartenente al cerchio appena ottenuto. Per poter operare a questo punto sulla Carta di Smith si normalizzano le impedenze Z0 e si trova la lunghezza d'onda dei tratti di linea caratterizzanti il doppio stub serie:

zL = ZL / Z0 = 0.533-j0.8

1677.00 ==rε

λλ

Partendo dal punto rappresentante l'impedenza normalizzata del carico si ruota in senso orario e a modulo costante per un tratto di lunghezza normalizzata pari a d2 fino a incontrare l'impedenza del carico vista alla sezione B+-B+ che risulta essere ZB+B+ = 0.3+j0.04. Lo stub serie di lunghezza normalizzata l2 può introdurre una reattanza qualsiasi e, dunque, nella sezione B--B- si potrà essere su di un punto qualsiasi del cerchio a resistenza costante (0.3+jx). I punti su tale cerchio che permettono di adattare il carico alla sezione del generatore sono quelli che appartengono anche al cerchio ottenibile, come già accennato precedentemente, ruotando in senso antiorario il cerchio unitario di 0.1256 attorno al centro della Carta di Smith. Si ottengono i punti di impedenza z1 = 0.3+j0.29 e z2 = 0.3+j1.7 che permettono entrambi di soddisfare tutte le condizioni di adattamento. Se si sceglie di partire, per esempio, dal punto z2 lo stub posto in serie deve introdurre una reattanza normalizzata xBB = +1.66 (jxBB = z2 – zBB+) che corrisponde ad una reattanza XBB = 124.5 +. Passando dalla sezione B--B- alla sezione A+-A+ l'impedenza z2 = zB-B- si trasforma in zA+A+ = (1-j0.34) dopo un movimento in senso orario sulla Carta di Smith e a modulo costante. Per ritrovarsi nel punto (1,0) della Carta di Smith, lo stub posto nella sezione A-A deve introdurre una reattanza normalizzata xAA = +j0.34 corrispondente ad una reattanza XAA = +25.5 +. Occorre a questo punto dimensionare la lunghezza l1 e l2 degli stub serie da introdurre rispettivamente nella sezioni A-A e B-B. Entrambi gli stub sono realizzati con tratti di linea di impedenza caratteristica pari a 300 +. Per ottenere una reattanza XAA = +25.5 +, corrispondente ad una reattanza x'AA = 0.085, si dimensiona la lunghezza normalizzata dello stub partendo dal corto circuito della carta e muovendosi a modulo unitario fino a incontrare il cerchio a reattanza costante di valore 0.085. Con un tratto l1 = 0.014 corrispondente ad una lunghezza fisica l1 = 2.3 mm si è ottenuta la reattanza desiderata. Analogamente, per ottenere una reattanza XBB = 124.5 +, corrispondente ad una reattanza normalizzata x'BB = 0.415, la lunghezza normalizzata del tratto di stub l2 è 0.062 corrispondente ad una lunghezza fisica l2 = 10.4 mm.


94

b) La tensione in ogni sezione della linea, e quindi anche nel un tratto di stub, si trova dalla seguente relazione

Mg

M TV

TVzVzV ⋅=⋅=Γ+⋅= ++

2)(1)( 00

dove l'ultima uguaglianza è consentita in quanto sussiste adattamento generatore- linea. Il modulo della tensione del generatore |Vg| si ottiene come segue:

VRPVR

VP gdg

g

gd 77.548

8

2

=⋅⋅=⇒⋅

=

Essendo il modulo del fasore dell'onda diretta (|V0

+|) costante una volta fissate le condizioni al contorno e condizionante solo l'ampiezza, i massimi di tensione si trovano in corrispondenza dei punti in cui risulta massimo il coefficiente di trasmissione. Si valutano quindi i punti in cui si trovano i massimi di tensione nei rispettivi stub e in prossimità di questi punti si misurano direttamente sulla Carta di Smith i corrispondenti coefficienti di trasmissione. Risulta che per lo stub serie di lunghezza l1 il massimo di tensione si trova ad una distanza di 2.3 mm dal corto circuito (sulla sezione della linea) in prossimità del quale si misura |TM| = 0.17. Per lo stub serie di lunghezza l2 il massimo si trova ad una distanza 10.4 mm dal corto circuito (anch’esso sulla sezione della linea) dove risulta |TM| = 0.76. Sostituendo si trova che i valori dei massimi di tensione sono:

|VAA| = 4.65 V e |VBB| = 20.81 V

95

SEZIONE 3

PROBLEMI DI

ADATTAMENTO E TRASFERIMENTO DI POTENZA PER

LINEE CON PERDITE

Problemi di adattamento e trasferimento di potenza per linee con perdite .

96

ESERCIZIO 1

Un generatore è connesso ad un carico mediante una linea con perdite (vedi figura). Calcolare: a) la potenza assorbita alla sezione del generatore A-A; b) il modulo delle tensioni alla sezione A-A. SOLUZIONE a) Per prima cosa si converte la costante di attenuazione da dB/Km a Np/m:

mNpmNpmdBKmdB /105.11/686.8

1.0/1.0/100 3−⋅====α

Inoltre si calcola la lunghezza normalizzata l alla lunghezza d’onda (6 = c/f= 0.075 m):

l = l/6 = 266.667 La potenza assorbita alla sezione del generatore è data da:

( )21 gdR PP

gΓ−⋅=

Il coefficiente di riflessione alla sezione A-A si trova come:

gAA

gAAg ZZ

ZZ+−

=Γ

Per calcolare l’impedenza ZAA ossia l’impedenza del carico vista alla sezione A-A bisogna partire dall’impedenza zl (impedenza del carico normalizzata) ma poiché la linea presenta attenuazione il movimento sulla carta di Smith non è a modulo di ! costante.

Zg

Pd

Zl ,,Zc

BA

A B l

Zg = 75 + , = 100 dB/Km f = 4 GHz Zc = 50 + Zl = (150-j50) + Pd = 100 W l = 20 m


97

Dunque, per trovare la suddetta impedenza ci si muove del tratto di linea normalizzata l dopodiché si moltiplica il modulo del coefficiente di riflessione in tal punto per il fattore di attenuazione e-2,l. Fatto questo si riporta il valore del modulo del coefficiente di riflessione attenuato sulla carta e si legge la nuova impedenza. Con questo procedimento si ottengono zAA = (0.56-j0.32) + e ZAA =zAA

. Zc = (28-j16) + (fig. 1.1). Conoscendo questo valore si ottiene un valore del modulo del coefficiente di riflessione alla sezione A-A pari a |!g| = 0.47 Sostituendo, la potenza assorbita alla sezione del generatore vale PRg = 77.91 W b) Conoscendo la potenza disponibile al generatore si può calcolare il modulo della tensione del generatore (|Vg|):

VRPV ggg 2458 =⋅⋅= Una volta conosciuta la tensione al generatore si può calcolare la tensione alla sezione A-A con l’aiuto dell’elettrotecnica mediante il partitore di tensione:

VRZ

ZVVgAA

AAgAA 8.75=

+⋅=

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

zl

zAA

Zl=150-50i Ω

zl=3.0-1.0i

zAA=0.56-0.32i

ZAA=28-16i Ω

fig. 1.1 Movimento corrispondente al tratto di linea l.


98

ESERCIZIO 2 Un generatore è connesso a due carichi mediante una linea con perdite (vedi figura). Calcolare a) la potenza reale erogata a Z1 e Z2; b) la potenza dissipata dalla linea stessa. SOLUZIONE a) L’impedenza dovuta al carico Z1 vista alla sezione B-B è facilmente ottenibile senza l’ausilio della Carta di Smith poiché esso dista semplicemente 6/4 da tale sezione. Con un tratto di linea di tale lunghezza si ha una nuova impedenza data da:

Ω+== )5050(1

20

1 JZZZ BB

Questo è dovuto al fatto che sulla Carta di Smith una rotazione di mezzo giro provoca uno spostamento da un’impedenza alla sua reciproca, e i processi di normalizzazione e denormalizzazione per entrare in essa provocano la presenza del quadrato dell’impedenza caratteristica. Invece, il contributo del carico Z2 all’impedenza alla sezione B-B risulta essere esattamente uguale al carico stesso poiché un tratto di linea di lunghezza 6/2 corrisponde ad un intero giro sulla Carta di Smith ed equivale a tornare nel punto di partenza.

Z2BB = Z2 Essendo i carichi in parallelo, l’impedenza totale alla sezione B-B risulta dalla seguente:

Rg

Pd

Z1

Z2

Z0

,,Z0

l2 = 6/2

B

l = 3m

l1 = 6/4

Rg = Z0 = 50 + Pd = 100 W Z1 = (25-j25) +

Z2 = (50-j100) +

, = 0.5 dB/m

B

A

A

Z0


99

Ω+=+⋅= )1070(

21

21 jZZZZZ

BBBB

BBBBBB

Essendo Rg = Z0, alla sezione A-A si trova la potenza disponibile del generatore. Pertanto alla sezione B-B, ossia sul carico, si ha la frazione di potenza non riflessa dalla discontinuità attenuata di un fattore dovuto alla natura dissipativa della linea. Per il calcolo di tale potenza dobbiamo anzitutto calcolare il coefficiente di riflessione alla sezione B-B e convertire il coefficiente di attenuazione da dB/m a Np/m:

1857.00

0 =+−=Γ

ZZZZ

BB

BBBB

mNpmNpmdB /106.57/686.8

5.0/5.0 3−⋅===α

A questo punto si può calcolare la potenza alla sezione B-B nel modo sopra descritto:

( ) WePP l

BBdBB 34.681 22 =⋅Γ−⋅= − α Questa potenza si ripartisce sui 2 carichi in maniera direttamente proporzionale alla parte reale della loro ammettenza.

[ ][ ] [ ] W

YYYPP

BBBB

BBBBz 81.48

ReReRe

21

11

=+

⋅=

[ ]

[ ] [ ] WYY

YPPBBBB

BBBBz 53.19

ReReRe

21

22

=+

⋅=

b) La potenza dissipata sulla linea è data dalla differenza tra la frazione di potenza che passa alla sezione A-A e quella che arriva sul carico. Perciò bisogna anzitutto calcolare la potenza alla sezione del generatore che è la frazione di quella disponibile che non viene riflessa. Per questo conto è necessario conoscere il coefficiente di riflessione alla sezione del generatore:

131.02 =⋅Γ=Γ − lBBAA e α

poiché Rg = Z0. A questo punto è possibile calcolare la potenza assorbita alla sezione del generatore:

( ) WPP AAdAA 28.981 2 =Γ−⋅= La potenza dissipata sulla linea sarà dunque:

WPPP BBAADISS 94.29=−=


100

ESERCIZIO 3

Un generatore di impedenza interna Rg = 75 + e tensione a vuoto V0 = 10 V è connesso, tramite una linea di impedenza Z0 = 75 +, ad un carico ZL = 26-j26 + (vedi figura). Si chiede di determinare: a) la lunghezza ls dello stub connesso in parallelo alla sezione B-B che minimizza il

coefficiente di riflessione ! nella sezione del generatore A-A; b) la potenza assorbita dal carico ZL in queste condizioni; c) quale sarebbe la potenza assorbita al carico se la linea fosse dissipativa, e perdesse

complessivamente 6 dB? SOLUZIONE a) Il coefficiente di riflessione alla sezione del generatore A-A è minimo quando è minimo il coefficiente di riflessione alla sezione B-B. Per definizione i coefficienti di riflessione alle sezione B-B e A-A sono rispettivamente

gAA

gAAAA

BB

BBBB ZZ

ZZe

ZZZZ

+−

=Γ+−=Γ

0

0

e, nel caso in esame, coincidono (in modulo) poiché il tratto di linea che unisce tali sezioni è a modulo del coefficiente di riflessione costante e poiché si è nella condizione di adattamento generatore – linea (Zg =Z0 =75 +). Indicando con zL = aL+jxL l'impedenza del carico vista alla sezione B-B e zg = z0 =1, dimensionare la lunghezza dello stub in modo da rendere minimo il coefficiente di riflessione alla sezione B-B del generatore si traduce nel dimensionare il contributo della reattanza dello stub in modo tale che il seguente rapporto sia minimo in modulo:

22

22

)()1(

)()1(1)(1)(

STUBLL

STUBLL

STUBLL

STUBLL

xxa

xxajxjxajxjxa

+++

++−=

+++−++=Γ

A

A

B

B

V0

Rg

Z0 ZL

ls


101

dove zBB = (aL+jxL+jxSTUB) è l'impedenza del carico vista alla sezione B-B dopo il contributo dello stub. Potendo minimizzare il coefficiente di riflessione operando unicamente sulla parte immaginaria dell'impedenza ZBB si deduce immediatamente che il rapporto sopra riportato è minimo quando è verificata la seguente relazione;

LSTUBSTUBL xxxx −=⇒=+ 0)( 2 Dunque si ottiene il minor coefficiente di riflessione quando il contributo dello stub compensa la parte immaginaria del carico visto alla sezione B-B. Normalizzando l'impedenza del carico all'impedenza caratteristica della linea si ottiene zL = 0.35-j0.35. A questo punto si dimensiona la lunghezza normalizzata dello stub lS che corrisponde al movimento sulla Carta di Smith a modulo unitario e in senso orario dal corto circuito della carta delle impedenze fino al cerchio avente reattanza costante uguale a +j0.35. Si ottiene: lS = 0.053 (fig 3.1). Con uno stub di lunghezza normalizzata lS si ottiene infatti un coefficiente di riflessione pari a

482.011

=+−

=ΓBB

BBAA z

z

b) Non essendoci adattamento non tutta la potenza disponibile viene assorbita dal carico ma parte di essa viene riflessa e assorbita dal generatore a causa della discontinuità alla sezione A-A. Essendo la potenza disponibile data dalla formula

mWR

VP

gd 167

8

20 =

⋅=

la potenza che passa la sezione A-A e che viene assorbita dal carico è

( ) mWPP AAdL 1281 2 =Γ−⋅= dove il modulo del coefficiente di riflessione |!AA| è quello ottenuto al punto precedente a). c) Se la linea fosse dissipativa la potenza assorbita dal carico sarebbe quella trovata al punto precedente attenuata di un fattore pari a e-2,l come segue:

( ) lBBdL ePP α221 −⋅Γ−⋅=

dove

11

+−

=ΓBB

BBBB z

z


102

Ricordando che 1 Np corrisponde a 8.686 dB, la perdita complessiva di 6 dB per tratto di linea corrisponde a un'attenuazione equivalente in Neper pari a 0.691 Np. Utilizzando la formula sopra riportata e con il valore dell'attenuazione espresso in Np appena trovato si ottiene una potenza assorbita dal carico pari a PL = 32 mW.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

zCC

zSTUB

zSTUB=-0.00+0.35i

ZSTUB=-0+26i Ω

lS=0.053

fig. 3.1 Movimento corrispondente al tratto ls (a 300 MHz).


103

ESERCIZIO 4

Un generatore è connesso ad un carico mediante una linea con perdite (vedi figura). Calcolare: a) l’’impedenza caratteristica ZC2 del tratto di linea lungo 6/4 in modo da adattare il

carico alla linea con perdite; b) la potenza dissipata sul carico ad adattamento effettuato; c) il modulo delle tensioni alla sezione A-A e C-C, ad adattamento effettuato. SOLUZIONE a) L’adattamento tra il carico e la linea con perdite è realizzabile col solo tratto di linea in 6/4 dato che il carico è puramente reale. Se questo avesse avuto anche una parte immaginaria si sarebbe dovuto aggiungere un tratto di linea con la funzione di neutralizzatore. Per avere adattamento alla sezione B-B bisogna dimensionare l’impedenza caratteristica del tratto in 6/4 pari alla media geometrica delle impedenze del carico ZL e della linea con perdita Zc1.

Ω=⋅= 6.8612 LCC ZZZ

b) Poiché il fattore di attenuazione verrà usato in Np/m è necessario effettuare la conversione:

mNpmNpmdB /106.57/686.8

5.0/5.0 3−⋅===α

Siccome si è effettuato adattamento alla sezione B-B non ci sarà nessuna riflessione, pertanto la potenza dissipata sul carico è pari alla potenza in tale sezione, frazione di potenza disponibile al generatore trasmessa alla sezione A-A, attenuata di un fattore legato alla costante di attenuazione ,.

( ) WePP lgdL 541 22

=⋅Γ−⋅= − α

Rg

Pd

ZL ,,ZC1

BA

A B l

Rg = 75 + , = 0.5 dB/m f = 4 GHz ZC1 = 50 + ZL = 150 + Pd = 100 W l = 5 m l1 = 6/4

ZC2

C

C l1


104

Il modulo del coefficiente di riflessione alla sezione del generatore A-A è stato trovato come:

2.01

1 =+−

=+−

=Γgc

gc

gAA

gAAg RZ

RZZZZZ

c) Alla sezione A-A è presente una potenza pari alla frazione di potenza disponibile al generatore che non viene riflessa dalla discontinuità presente in tal punto della linea.

( ) WPP gdAA 9612

=Γ−⋅= Conoscendo la potenza e sapendo che l’impedenza vista in tal sezione ZAA è uguale all’impedenza caratteristica della linea con perdite, per via dell’adattamento effettuato, si può facilmente risalire al modulo della tensione in A-A:

V

Z

PV

AA

AAAA 981Re

12 =

⋅⋅=

Allo stesso modo si può trovare il modulo della tensione alla sezione C-C in quanto qui la potenza è la stessa presente sul carico.

V

Z

PV

L

LCC 1271Re

12 =

⋅⋅=


105

ESERCIZIO 5

Rg=Z0=50 + Z1 = (50+j50) + V0 = 100 V l1=5 m l2 = 4 m l3 =10 m , = 0.5 dB/m f = 100 MHz Dato il circuito in figura, calcolare: a) l'impedenza Z2 in modo che il circuito sia adattato alla sezione B-B; b) la potenza reale dissipata sul carico Z1, nel caso di adattamento (punto A) e tenendo

conto delle perdite lungo il tratto l3; c) il modulo delle tensioni sui due carichi Z1 e Z2 . SOLUZIONE a) Per prima cosa si normalizzano i carichi all'impedenza caratteristica della linea in modo da poter operare sulla Carta di Smith.

z1= Z1/Z0=1+j da cui y1 = 1/z1=0.5-j0.5 Sapendo che la lunghezza d'onda è 6=c/f=3 m, l'ammettenza y1 vista alla sezione B-B si trova ruotando sulla carta di Smith in senso orario a modulo di ! costante di una lunghezza normalizzata pari a l1 = l1/ 6 = 0.167 (fig. 5.1)

y1BB=0.47+j0.44 Dato che la condizione di adattamento impone che yBB = 1, allora risulta y2BB = 0.53-j0.44

l1

Rg

V0

Z1

Z2

Z0

Z0

, ,Z0

l2

BA

A

B l3


106

Per trovare y2 si deve ruotare in senso antiorario di una lunghezza normalizzata l2 = l2 / 6= 1.333=0.333 partendo dal punto di ammettenza y2BB. Si trova y2 = 0.54+j0.45 da cui z2=1/ y2=1.09-j0.91 (fig. 5.2). Denormalizzando rispetto all'impedenza caratteristica si ottiene: Z2 = (54.5-j45.5) + b) Dato che alla sezione A-A la potenza è uguale alla potenza disponibile Pd in caso di adattamento, alla sezione B-B si ha una potenza attenuata di un fattore 32 le α− dove , è l'attenuazione in Np/m e l3 è la lunghezza fisica del tratto di linea che presenta attenuazione. Risulta:

( ) ( ) WeR

VePP BB

l

gBB

ldBB 81

811 22

2022 33 =Γ−⋅⋅⋅=Γ−⋅⋅= −− αα

Chiaramente, in questo caso, il coefficiente di riflessione alla sezione B-B è nullo poiché è stato effettuato l'adattamento. La potenza dissipata sul carico Z1 si trova come segue:

[ ][ ] [ ] W

yyy

PPBBBB

BBBB 76.3

ReReRe

21

11 =

+⋅=

P2 = PBB-P1 = 4.24W c) In generale si ha

[ ]xZx yVPx

Re21 2

⋅⋅= da cui si ricava:

[ ]x

xZ y

PV

x Re2 ⋅

=

In questo caso, conoscendo P1 e P2 dal punto precedente, otteniamo:

WVWV ZZ 28.2842.2721

==


107

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

y1

y1BB

Y1=0.01-0.01i S

y1=0.5-0.5i

y1BB=0.47+0.44i

Y1BB=0.0094+0.0088i S

fig. 5.1 Movimento corrispondente al tratto di linea l1.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

0.2

-0.2

0.5

0.5

-0.5

1

1

-1

2

2

-2

5

5

-5

Re[Γ]

Im[Γ]

y2

y2BB

Y2=0.0108+0.0090i S

y2=0.54+0.45i

y2BB= 0.53-0.44i

Y2BB=0.0107-0.0088i S


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