ESERCIZIARIO del corso di TRASMISSIONE DEL CALORE · Università degli Studi di Udine Facoltà di...

Università degli Studi di Udine

Facoltà di Ingegneria Dipartimento di Energetica e Macchine

ESERCIZIARIO del corso di TRASMISSIONE DEL CALORE

A cura di Stefano Savino

Anno accademico 2005/2006

Università degli Studi di Udine – DiEM, Dipartimento di Energetica e Macchine Pagina 2

INDICE Esercizi relativi ai diversi capitoli del libro di testo:

Capitolo 3, (Conduzione in regime stazionario) ·························· pag 3

Capitolo 4, (Conduzione in regime transitorio) ··························· pag 13

Capitoli 6 e 7, (Convezione forzata esterna ed interna) ············· pag 18

Capitolo 8, (Convezione naturale) ··············································· pag 24

Capitolo 10, (Scambiatori di calore) ··········································· pag 29

Capitolo 11, (Irraggiamento) ······················································ pag 39

Questo eserciziario è da intendersi come materiale complementare al libro di testo

FONDAMENTI DI TRASMISSIONE DEL CALORE di G. Comini e G. Cortella, Servizi Grafici Editoriali, Padova.


ESERCIZI RELATIVI AL CAPITOLO 3 Conduzione in regime stazionario

Compito del 16 marzo 2004 Una parete edilizia monostrato di spessore xΔ e conduttività termica λ separa un locale a

temperatura t fi (coefficiente di convezione iα ), dall’esterno a temperatura fet (coefficiente di

convezione eα ). Trattando lo scambio termico come monodimensionale stazionario, si calcolino

1. la resistenza specifica totale totR ′′ ;

2. il flusso termico specifico q ′′ ; 3. la temperatura t1 della parete interna. Dati:

xΔ = 12 cm; λ = 0,2 W/(m K); iα = 8 W/(m2 K); eα = 23 W/(m2 K); t fi = 20 °C; fet = -5 °C.

Soluzione

1. W

Km768,0231

2,012,0

8111 2

=++=+Δ

+=′′ei

totxR

αλα

2. Km

W30,1768,011

2==′′

=totR

U

2mW5,32

768,0520" =

+=

′′−

=tot

fefi

Rtt

q

3. ( ) C9,1525768,0

8/1201 °=−=−′′′′

−= fefitot

ifi tt

RRtt


Compito del 8 gennaio 2002 Si consideri il processo di trasmissione del calore attraverso un vetro camera, costituito da due lastre dello spessore s = 4 millimetri e da un’intercapedine d’aria dello spessore b = 6 mm. La conduttività termica del vetro vale vλ = 0,8 W/(m K) e, per l’intercapedine, si può assumere una

resistenza termica specifica bR ′′ pari ad 0,67 volte la resistenza conduttiva di uno strato d’aria di

uguale spessore ( aλ = 0,025 W/(m K)). I coefficienti di convezione lato interno e lato esterno

assumono i valori iα ed eα , mentre le corrispondenti temperature dei fluidi sono pari a ti e te .

Si richiedono:

1. uno schema grafico del circuito termico equivalente che evidenzi le resistenze termiche specifiche e l’andamento qualitativo delle temperature;

2. i valori della resistenza termica specifica totale totR ′′ e del coefficiente globale di scambio

termico U; 3. il valore del flusso termico specifico q ′′ ; 4. il valore della temperatura ts della superficie del vetro rivolta verso l’ambiente a temperatura

ti . Dati: ti = 20°C; te = - 5°C; iα =8W/m2K; eα =23W/m2K;

Soluzione 1.

2. W

Km34,0167,01 2=++++=′′

evavitot

sbsRαλλλα

KmW95,212=

′′=

totRU

3. ( ) 2mW7,73" =−= ei ttUq

4. ( ) K2,9" ==−i

siqtt α

( ) C8,10 °=−−= siis tttt


Compito del 3 luglio 2001 Un elemento riscaldante elettrico a sezione circolare avente raggio r deve fornire un flusso termico per unità di lunghezza q ′ad una massa d’acqua alla temperatura tf ipotizzata costante nel tempo.

1. Nell’ipotesi che il coefficiente di scambio termico convettivo sia pari ad α , si calcoli la temperatura t1 (°C) raggiunta dalla superficie dell’elemento riscaldante;

2. nell’ipotesi che il coefficiente di scambio termico convettivo sia ancora pari ad α , si calcoli la nuova temperatura t1 (°C) raggiunta dalla superficie dell’elemento riscaldante dopo che su di esso si è depositato uno strato di calcare avente conduttività termica λ = 0,2 W/(m K) e spessore s = 1 mm;

3. nelle condizioni del punto 2), si calcoli la temperatura t2 (°C) sulla superficie esterna dello strato di calcare.

Dati: r = 2 cm; q ′= 3000 W/m; tf = 70 °C; α = 500 W/(m2 K) Soluzione

1. ( ) C7,117K7,4750002,02

30002

2 111 °=⇒=⋅

=′

=−⇒−=′ tr

qttttrq ff παπαπ

2.

( )

C232K162ln

21

21 11

1 °=⇒=−⇒+

++

−=′ ttt

rsr

sr

ttq f

f

πλαπ

3. Noti q ′ , t1, tf e le resistenze termiche, la temperatura t2 può essere calcolata con diverse

procedure. Ad esempio:

( )

( )

281,0ln

21

21

21

1

2 =+

++

+=

′+′′

=−

−

rsr

sr

srRR

Rtttt

f

f

πλαπ

απ

λα

α

C5,115K5,45162281,0 22 °=⇒=⋅=− ttt f


Compito del 6 settembre 2005 Un cavo elettrico di raggio r1 è percorso da una corrente di intensità tale da generare un flusso termico per unità di lunghezza pari a q ′ . Il cavo è isolato con uno spessore s di materiale avente conduttività termica λ e disperde calore per convezione naturale, con coefficiente α , verso l'aria esterna a temperatura ft . Con riferimento ai dati riportati in calce, nell’ordine indicato si

chiedono:

1. la resistenza conduttiva dell'isolante λR ′ e la resistenza convettiva esterna eR ′ per unità di

lunghezza, espresse in m K/W;

2. la temperatura all'interfaccia t1 tra cavo ed isolante; 3. la temperatura t2 all'interfaccia tra isolante ed aria esterna. Dati:

1r = 2 mm; q ′ = 5 W/m; s = 2 mm; λ = 0,1 W/(m K); α = 10 W/( m2 K); ft = 30 °C.

Soluzione

1. =+

=′1

1ln2

1r

srR

λπλ 1,1 m K/W

( ) =+

=′απ sr

Re121 3,98 m K/W

2. =⇒′+′

−=′ 1

1 tRR

ttq

e

f

λ 55,4°C

3. =⇒′

−=′ 2

2 tR

ttq

e

f 49,9 °C


Compito del 15 luglio 2003 Un filo elettrico di diametro D, rivestito con uno spessore s di materiale isolante avente conduttività termica λ , dissipa un flusso termico per unità di lunghezza q′ . Nell'ipotesi che l'aria

esterna si trovi alla temperatura ft e che il coefficiente di scambio termico per convezione sia

α , si determinino:

1. la resistenza termica totale per unità di lunghezza totR′ espressa in (K m)/W;

2. la temperatura 1t , supposta uniforme, a cui si trova il filo. Dati: D = 1 mm; s = 2,5 mm; λ = 0,1 W/(m K); ′ q = 10 W/m; t f = 20 °C; α = 10 W/(m2 K).

Soluzione

1. αππλ ei

etot rr

rR2

1ln2

1+=′ = 8,16 (K m)/W

dove ri = D/2 = 5·10-4 m e re = ri + s = 3·10-3 m

2. =′′+=⇒′

−=′ totf

tot

f RqttR

ttq 1

1 101,6 °C


Compito del 1 giugno 2000 Un tubo in acciaio, avente conduttività termica λ1 = 54 W/(m K), ha un diametro esterno d2 = 15 cm ed uno spessore s1 = 0,7 cm, ed è isolato con uno strato di materiale avente conduttività termica λ2 = 0,073 W/(m K) e spessore s2 = 5,3 cm. All’interno del tubo scorre vapore surriscaldato alla temperatura Tfi = 500 K ed il coefficiente di scambio termico per convezione è αi = 35 W/(m2 K). La temperatura dell’aria esterna è Tfe = 300 K, ed il coefficiente di scambio termico per convezione è αe = 8 W/(m2 K). Si calcoli il flusso termico disperso all’esterno se il tubo ha lunghezza L = 20 m. Soluzione di = d2 – 2 s1 = 13,6 cm; ri = 0,068 m

de = d2 + 2 s2 = 25,6 cm; re = 0,128 m

Il flusso termico è: tot

fefi

RTT

q−

=

La resistenza totale è:

eitot RRRRR +++= 21 λλ

Lrrr

Lrr

LLr ee

e

iii παλπλππα 21ln

21ln

21

21

22

2

1+++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

ee

e

iii rrr

rr

rL αλλαπ1ln1ln11

21

22

2

1 = 0,0694 K/W

Quindi: tot

fefi

R

TTq

−= = 2880 W


Compito del 16 settembre 2003 Un’aletta piana metallica di conducibilità termica λ e sezione rettangolare, è spessa 2δ , larga b e presenta una lunghezza assiale L. La temperatura alla base è 0t , mentre la dissipazione di calore

ha luogo con un fluido alla temperatura ft ed è caratterizzata da un coefficiente di convezione

α . Con riferimento alla distribuzione di temperatura assiale adimensionale

( )[ ]( )c

ccmL

LxmLtcosh

/1cosh −=′

si valutino: 1. il parametro adimensionale cmL ;

2. la temperatura cLt nel punto più freddo dell’aletta.

Successivamente, con riferimento all’espressione dell’efficienza dell’aletta

( )c

cmL

mLtanh=ε

si valuti 3. il flusso termico trasferito al fluido dall’aletta. Dati: 2δ = 2 mm; b = 8 mm; L = 25 mm; λ = 15 W/(m K); α = 12 W/(m2 K);

0t = 250 °C; ft = 20 °C.

Soluzione 1. δ+= LLc = 26 mm = 0,026 m; == δ2bA 16 mm2 = 16·10-6 m2;

=+= δ42bP 20 mm = 0,02 m

APm

λα

= = 31,6 m-1

mLc = 0,822

2. Per x = Lc, ( )

( ) ==′cmL

tcosh

0cosh 0,737

=⇒−

−=′

cLf

fcL ttt

ttt

0189,4 °C

3. ( )c

cmL

mLtanh=ε = 0,823; ( )=−= fttPLq 0max α 1,43 W

== maxqq ε 1,18 W


Compito del 15 giugno 2004 Una piastra con alette piane avente superficie libera da alette pA e superficie delle alette

pa AnA = deve dissipare un flusso termico specifico medio

ap AAqq+

=′′

Nell’ipotesi che la temperatura della base delle alette coincida con la temperatura pt della

superficie libera, che l’efficienza delle alette sia pari ad ( )

c

ca mL

mLtanh=ε

e che il coefficiente di convezione con il fluido esterno a temperatura ft sia pari ad α si

calcolino

1. l’efficienza media ε della superficie di scambio; 2. la differenza di temperatura ( t p − t f ) espressa in [K];

3. la differenza di temperatura ( ) fc tLt − tra l’estremità delle alette ed il fluido, espressa in [K].

Dati:

pa A/An = = 5; cmL = 1,0; q ′′ = 2000 W/m2 ; α = 20 W/(m2 K).

Soluzione

1. 83,015

158,01

1=

++⋅

=+

+=

+

+=

+

+=

nn

AA

AAAA

AAAA a

p

p

pa

paa

pa

paa εεεε

2. ( )( ) ( )fpfppa ttqttAAq −=′′⇒−+= εαεα

da cui si ricava ( ) 8,1248,020

2000=

⋅=

′′=−

εαq

tt fp K

3. ( )

( ) ( ) ( ) 9,80cosh

)(cosh

1cosh

1cosh=

−=−⇒=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

=−

−=′

c

fpfc

cc

cc

fp

f

mLtt

tLtmLmL

LxmL

tttxt

t K


L

s

r

q

x0

tf

Compito del 20 settembre 2005

Si consideri la situazione illustrata in figura, dove uno strato di materiale omogeneo, compreso tra i due piani x = 0 (adiabatico) ed x = L, è caratterizzato da una conduttività termica λ e da una generazione interna di calore q& . Esso è rivestito da un altro strato di spessore s e conduttività termica rλ che è raffreddato, con coefficiente di convezione α , da un fluido a temperatura ft . Procedendo in sequenza:

1. si tracci l'andamento qualitativo delle temperature nella geometria considerata; 2. si calcoli la resistenza termica specifica totale ′ ′ R t [m2K/W] (somma delle resistenze dello

strato di rivestimento e della resistenza convettiva) 3. si calcoli la temperatura t2 ad x = L+s; 4. si calcoli la temperatura t1 ad x = L; 5. si calcoli la temperatura t0 ad x = 0. Dati: L = 2 cm; λ = 1,5 W/(m K); q& = 30000 W/m3; s = 1 cm; rλ = 0,3 W/(m K); α = 10 W/(m2 K); ft = 30 °C. Soluzione

2. =+=′′αλ1

rt

sR 0,133 m2 K/W

3. ( ) 22 tttqLq f ⇒−=′′= α& = 90 °C

4. 121

/t

stt

qr

⇒−

=′′λ

= 110 °C

5. λ2

2

10Lq

tt&

+= = 114 °C


Compito del 1 aprile 2003 Una lastra piana di spessore L, soggetta a generazione interna di calore in regime stazionario, è isolata sulla faccia sinistra ed è raffreddata per convezione da un fluido che ne lambisce la faccia destra. Nell'ipotesi che si conoscano: • la conduttività termica della lastra λ ; • la temperatura del fluido tf ; • il coefficiente di convezione sulla faccia destra α ; • la temperatura della faccia isolata 0t ;

si valutino:

1. il valore del flusso termico sviluppato per unità di volume q& (W/m3); 2. la temperatura sulla faccia destra tL (°C). Dati: L = 0,05 m; λ = 12 W/(m K); tf = 20 °C; α = 18 W/(m2 K); t0 = 400°C. Soluzione

Espressione generale:

( )222

xLqLqtt f −++=λα&&

1. Per x = 0 dall'espressione generale:

=

+

−=⇒++=

λαλα

22 2

02

0LL

ttqLqLqtt f

f &&&

131855 W/m3

2. Per x = L dall'espressione generale:

=+=αLqtt fL&

386 °C


ESERCIZI RELATIVI AL CAPITOLO 4 Conduzione in regime transitorio

Compito del 20 giugno 2000 Una piastra d’acciaio di spessore 2L = 0,08 m, inizialmente alla temperatura uniforme ti = 440 °C, è riscaldata in un forno fino a che il centro raggiunge la temperatura t = 512 °C. La temperatura del forno è pari a t∞ = 800 °C ed il coefficiente di convezione vale α = 185 W/(m2 K). Assumendo, per l’acciaio, λ = 30 W/(m K), ρ = 7800 kg/m3, c = 0,48 kJ/(kg K), determinare:

1. il numero di Biot riferito al semispessore L; 2. il numero di Fourier, riferito ad L, al quale la temperatura del centro raggiunge il valore

desiderato; 3. il tempo, in secondi, necessario per raggiungere al centro la temperatura desiderata.

Soluzione

1. 25,030

04,0185Bi =⋅

==λ

αL

2. 8,0800440800512

=−−

=−

−=′

∞

∞

tttt

ti

Dal diagramma fornito, Fo = 1,16

3. 30

480780004,016,1FoFo 222 ⋅⋅⋅===

λρϑ cL

aL = 232 s


Compito del 18 giugno 2002 Una sfera solida di raggio re = 0,06 m, inizialmente alla temperatura uniforme ti = 90 °C, viene posta in una corrente fluida alla temperatura t∞ = 20 °C costante. Il materiale costituente la sfera ha conduttività termica λ = 0,8 W/(m K), densità ρ = 1100 kg/m3 e calore specifico c = 900 J/(kg K). Utilizzando il diagramma fornito, si determinino:

2. il tempo ϑ (s) necessario perché la temperatura al centro della sfera raggiunga il valore t0 = 48 °C, nell’ipotesi che il coefficiente di convezione sia pari ad α = 10 W/(m2 K);

3. il valore del coefficiente di convezione α′ che consentirebbe di dimezzare il tempo di raggiungimento della stessa temperatura t0 al centro della sfera.

Soluzione

1. ==c

aρλ 8,08 · 10-7 m2/s

λerα=Bi = 0,75 =

−−

=∞

∞

ttttt

i

0' 0,4 ⇒ Dal diagramma fornito, Fo = 0,58

=⋅

=are

2Foϑ 2584 s

2. 2,80iB0,292

FooF2

=′⇒==′⇒=′ ϑϑ

KmW3,37iB2=

′=′

erλα


Compito del 20 marzo 2001 Una sfera solida avente raggio re = 0,05 m, conduttività termica λ = 0,5 W/(mK), diffusività termica a = 10-7 m2/s, inizialmente alla temperatura t1 = 75°C, viene immessa in una corrente fluida alla temperatura t∞ = 25°C. Dopo un tempo ϑ = 104 s la temperatura del centro si porta a

50°C.

1. Si calcoli il numero di Fourier; 2. utilizzando il diagramma fornito si calcolino il numero di Biot ed il coefficiente di

convezione α espresso in [W/(m2K)]. Soluzione

1. 2Foer

aϑ= = 0,4

2. ∞

∞

−−

=ttttt

i

c' = 0,5

Dal diagramma:

Fo, t’ ⇒ Bi = 1

erλα ⋅

=Bi = 10 W/(m2K)


Compito del 7 luglio 2005 Un ferro da stiro, è schematizzabile come un corpo di massa m, densità ρ , superficie esposta A,

calore specifico c, e conduttività termica λ . Nell'ipotesi di temperatura iniziale it , temperatura

ambiente ∞t e coefficiente di scambio termico convettivo pari ad α si calcolino:

1. la lunghezza caratteristica L = V/A del ferro da stiro; 2. si verifichi che il numero di Biot Bi è inferiore a 0,1 e quindi che il ferro da stiro, è

schematizzabile come un sistema ad una resistenza ed una capacità; 3. la costante di tempo CRe ′′′′=0ϑ del ferro da stiro;

4. il tempo impiegato dal ferro da stiro per raffreddarsi sino alla temperatura t senza intervento della resistenza scaldante in dotazione.

Infine si tracci: 5. l'andamento qualitativo della temperatura adimensionale t′ in funzione del tempo

adimensionale 0/ϑϑ rappresentando anche la tangente nell'origine della curva stessa.

Dati: m = 1 kg; ρ = 7800 kg/ m3; A = 0,025 m2; c = 440 J/(kg K);

it = 110 °C; ∞t = 20 °C; t = 80°C; λ = 40 W/(m K); α = 40 W/(m2K).

Soluzione

1. A

mAVL

ρ== = 31013,5 −⋅ m

2. λ

αL=Bi = 1,01013,5 3 <⋅ −

3. Amc

AVc

ααρϑ ==0 = 440 s

∞

∞

−−

=′ttttt

i = 6,0

4. 0ϑϑ

ϑρα −−

==′ eet VcA

⇒ t′−= ln0ϑϑ = 178 s


Compito del 10 luglio 2001 Le pareti di un forno aventi proprietà termofisiche ρ = 820 kg/m3, c = 450 J/(kg K) e λ = 0,4 W/(mK) sono di spessore talmente elevato da poter essere considerate seminfinite. Nell’ipotesi che la temperatura della superficie interna del forno vari sinusoidalmente tra 400 e 500°C con un periodo di 6 ore, utilizzando la soluzione analitica per la temperatura adimensionale

( )[ ]rsenxt ϑϑωγ −−= )exp('

e le definizioni ad essa collegate, si calcolino:

1. l’ampiezza dell’oscillazione Δt0 [K] sulla superficie interna, e la temperatura media t ; 2. la pulsazione ω [rad/s] e la costante di attenuazione γ [m-1] dell’oscillazione; 3. i valori massimo e minimo della temperatura ad una distanza x = 0,1 m dalla superficie

interna; 4. il ritardo ϑr con cui l’onda termica arriva alla distanza x = 0,1 m dalla superficie interna. Soluzione

1. Kt 502

4005000 =

−=Δ

Ct °=+

= 4502

400500

2. srad /109,23600622 4

0

−⋅=⋅

==π

ϑπω

158,1122

−=== m

ca

ρλ

ωωγ

3. ( ) Kxttx 70,15exp0 =−Δ=Δ γ

Cttt xx°=Δ−= 3,434min

Cttt xx°=Δ+= 7,465max


ESERCIZI RELATIVI AI CAPITOLI 6, 7 Convezione forzata esterna ed interna

Compito del 24 luglio 2001 Una corrente d’aria alla temperatura ∞t =15° C investe un tubo cilindrico a sezione circolare del diametro di 3 cm e di lunghezza 1 m, riscaldato dall’interno. Mantenendo la parete esterna alla temperatura ts = 25°C viene misurato un flusso termico q = 50W. Si valutino:

1. Il coefficiente di convezione α [W/(m2K)]; 2. il numero di Nusselt, assumendo una conduttività termica dell’aria λ = 0,026 W/(mK). Soluzione

1. ( ) KmW53 2=

−=

∞ sttDLq

πα

2. 2,61Nu ==λ

αD


Compito del 30 marzo 2004 Un cilindro di diametro D, temperatura superficiale st , è investito trasversalmente da una

corrente d’aria con velocità ∞u , temperatura indisturbata ∞t . Utilizzando la correlazione

33,05,0 PrRe62,0Nu =

si calcolino:

1. il numero di Nusselt; 2. il coefficiente di convezione α ; 3. il flusso termico Lqq /=′ scambiato per unità di lunghezza assiale L del cilindro. Dati: D = 5 cm; st = 80 °C; ∞t = 0 °C; ∞u = 2 m/s;

proprietà dell’aria

ρ = 1,18 kg/m3 ; pc = 1,008 kJ/(kg K); λ = 0,0273 W/(m K); μ = 1,91 ⋅10−5 kg/(m s).

Soluzione

1. 705,00273,0

1091,11008Pr5

=⋅⋅

==−

λμpc

61781091,1

05,0218,1Re 5 =⋅

⋅⋅== −

∞

μρ Du

4,43705,0617862,0PrRe62,0Nu 33,05,033,05,0 =⋅==

2. Km

W7,234,3405,0

0273,0Nu 2===Dλα

3. ( ) W/m8,297807,2305,0 =⋅⋅⋅=−=′ ∞ παπ ttDq s


Compito del 5 settembre 2002 Un cilindro avente diametro D e lunghezza L è riscaldato internamente per mezzo di una resistenza elettrica che dissipa un flusso termico q. Il cilindro è raffreddato da una corrente d’aria che lo investe trasversalmente con velocità ∞u e temperatura ∞t . Trascurando gli effetti dei bordi ed utilizzando la correlazione

3/1466,0 PrRe683,0Nu =

si calcolino:

1. il numero di Reynolds e il numero di Prandtl; 2. il coefficiente di convezione medio α ; 3. la temperatura superficiale ts, supposta uniforme, del cilindro. Dati D = 2 cm; L = 10 cm; P = 40 W; ∞u = 5 m/s; ∞t = 20 °C;

sm /1071,1 25−⋅=ν ; sma /1042,2 25−⋅= ; λ = 0,0273 W/(m K). Soluzione

1. 5848Re == ∞

νDu

707,0Pr ==aν

2. 3/1466,0 PrRe683,0Nu = = 34,6

KmW3,47Nu 2==

Dλα

3. ( ) ⇒−= ∞ttDLq sαπ ts = 154,6 °C


Compito del 6 aprile 2005 In una condotta di lunghezza L avente sezione rettangolare di dimensioni h x b, scorre una corrente d’aria a velocità media u e temperatura media mt . Nell’ipotesi che la temperatura ts

della superficie interna della condotta sia uniforme, e che sia valida la correlazione

3154 PrRe0270 //,Nu =

si calcolino:

1. il coefficiente di scambio termico per convezione α [W/(m2K)]; 2. il flusso termico complessivamente scambiato q [W]. Dati: h = 0,30 m; b = 0,15 m; L = 5 m; ts - mt = 6 K; u = 0,8 m/s; ν = 1,52·10-5 m2/s; a = 2,14·10-5 m2/s;

λ = 0,0258 W/(mK) Soluzione

1. ( ) 150301503022

24

,,,,

bhbh

bhbhDh +

⋅⋅=

+=

+= = 0,2 m

510521208,0Re−⋅

⋅==

,,

νDu h

Dh= 10526

5

5

1014210521Pr

−

−

⋅

⋅==

,,

aν = 0,71

31543154 710105260270PrRe0270Nu ////DD ,,,

hh⋅⋅== = 39,8

2002580839Nu

,,,

Dλ

h

Dh ⋅==α =

KmW13,52

2. ( )ms ttb)L(hq −+= 2α = 138,53 W


Compito del 2 luglio 2002 In un condotto a sezione triangolare equilatera con lato di lunghezza L fluisce, con velocità u , una corrente d’aria [ν = 1,66·10-5m2/s; λ = 0,0276 W/(m K); Pr = 0,706]. Nell’ipotesi che, nella sezione considerata, la differenza di temperatura tra superficie del condotto e aria sia pari a (ts – tf) = 10 K, utilizzando la correlazione

33,08,0 PrRe027,0Nu =

si calcolino nell’ordine:

1. il diametro idraulico del condotto Dh; 2. il coefficiente di convezione α [W/(m2 K)]; 3. il flusso termico scambiato per unità di lunghezza assiale del condotto q′ [W/m]. Dati: L = 2 cm; u = 4 m/s Soluzione

1. ==PADh

4 0,0116 m

2. ==ν

hD

Duh

Re 2782

Nu = 13,7

8,32Nu==

hDλα

3. ( ) W/m7,19=−=′ fs ttPq α


Compito del 13 luglio 2000 Una portata d’aria m& = 0,02 kg/s scorre attraverso un canale di sezione rettangolare (larghezza W = 2 cm, altezza H = 4 cm) le cui pareti si trovano alla temperatura Ts = 600 K. Nell’ipotesi che la temperatura media dell’aria sia mT = 400 K si calcolino:

1. il diametro idraulico del canale Dh; 2. il numero di Reynolds ReDh;

3. il numero di Nusselt con la correlazione 33,08,0 PrRe027,0Nu =Dh ;

4. il flusso termico scambiato per unità di lunghezza q′ (W/m). Si utilizzino i seguenti valori delle proprietà termofisiche dell’aria: μ = 22,5⋅10-6 kg /(m s); λ = 0,0331 W/(m K); cp = 1009 J/(kg K). Soluzione

1. ( ) 12,0

0008,042

44 ⋅=

+==

HWHW

PAD h = 0,0267 m

2. ===μ

ρρμ

ρ hhD

DA

mDuh

&Re 29667

3. Pr = =λ

μpc0,686

33,08,0 PrRe027,0Nu =

hD = 90,2

4. h

D

Dh

λα

Nu= = 111,8

Km

W2

( )mW268320012,08,111 =⋅⋅=−=′ ms TTPq α


ESERCIZI RELATIVI AL CAPITOLO 8 Convezione naturale

Compito del 15 dicembre 2005 Una lastra piana orizzontale, mantenuta alla temperatura ts, è immersa in acqua più fredda alla temperatura ∞t . La lastra, di forma quadrata con lato di dimensione pari ad a, scambia calore solamente attraverso la faccia superiore. Si valutino:

1. il numero di Nusselt utilizzando la correlazione Nu = 0,54 Ra1/4; 2. il flusso termico trasmesso (W). Dati: ts = 50 °C; ∞t = 20 °C; a = 10 cm.

proprietà dell'acqua: gβ/ν 2 = 6,43·109 1/(m3 K); λ = 0,625 W/(m K); c = 4,178 kJ/(kg K); μ = 7,22·10-4 kg/(m s). Soluzione 1. L = A/p = a/4 = 0,025 m

( )2

3Gr

νLttgβ s ∞−

= = 3,01·106

λ

cμ=Pr = 4,83

Ra = Gr Pr = 1,455·107

41Ra540Nu /,= = 33,35

2. Lλα Nu

= = 833,74 Km

W2

( )∞−= ttAαq s = 250,12 W


Compito del 22 settembre 2004 Una resistenza elettrica cilindrica di diametro esterno D è completamente immersa in acqua alla temperatura supposta costante ta. Calcolare la lunghezza minima necessaria L perché la temperatura superficiale tr della resistenza sia inferiore a 85 °C, nell’ipotesi che la sua potenza scaldante sia pari a 1000 W. Per il calcolo del coefficiente di scambio termico per convezione naturale si usi la correlazione:

4/1Ra53,0Nu DD = Dati:

D = 1,0 cm; ta = 40 °C; 2νβg = 1,7·1010 1/(m3K); λ = 0,65 W/(m K); Pr = 3,3.

Soluzione

( )=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⋅= PrPrGrRa 2

3

νβ Dttg ar

DD 2,52·106

4/1Ra53,0Nu DD = = 21,13

==DD λα Nu 1373 W/(m2K)

( ) =−⋅=′ ar ttDq πα 1941 W/m

=′

=qq

L 0,52 m


Compito del 1 luglio 2003 Un tubo fluorescente con diametro D e lunghezza L è posizionato orizzontalmente in aria alla temperatura ∞t . Se la temperatura della superficie esterna del tubo è st , si calcolino:

1. il numero di Grashof; 2. il coefficiente medio di scambio termico per convezione naturale α utilizzando la

correlazione 4/1Ra0,53Nu =

3. il flusso termico q scambiato dal tubo (W). Dati: D = 4 cm; L = 1,2 m; ts = 60 °C; t∞ = 20 °C.

Proprietà dell’aria a pressione atmosferica: t ρ cp λ a μ ν β

°C kg/m3 kJ/(kg·K) W/(m·K) m2/s kg/(m·s) m2/s 1/K 10 1,240 1,007 0,0250 2,00·10-5 1,76·10-5 1,42·10-5 3,53·10-3 20 1,193 1,007 0,0258 2,14·10-5 1,81·10-5 1,52·10-5 3,41·10-3 30 1,151 1,007 0,0265 2,29·10-5 1,86·10-5 1,62·10-5 3,30·10-3 40 1,118 1,008 0,0273 2,42·10-5 1,91·10-5 1,71·10-5 3,19·10-3 50 1,084 1,008 0,0280 2,56·10-5 1,96·10-5 1,80·10-5 3,10·10-3 60 1,051 1,008 0,0288 2,71·10-5 2,00·10-5 1,90·10-5 3,00·10-3

Soluzione 1. Le proprietà termofisiche dell'aria devono essere valutate alla temperatura tmf = 40 °C.

2

3Gr

νβ Dtg Δ

= = 273973

2. aν

=Pr = 0,707; Ra = Gr Pr = 193699;

4/1Ra0,53Nu = = 11,12;

Dλα Nu

= = 7,59 W/(m2 K)

3. ( )∞−= ttLDq sπα = 45,8 W


Compito del 11 dicembre 2001 Una vasca d’acqua viene mantenuta alla temperatura ∞t mediante uno scambio termico per convezione naturale da tubazioni cilindriche orizzontali del diametro esterno d e temperatura superficiale ts. Utilizzando la correlazione

4/1Ra0,53Nu =

si valuti la potenza termica somministrata all’acqua per unità di lunghezza di tubazione,

assumendo Pr = 2,7, λ = 0,6 W/(m K) e 2νβg = 3,3×1010 (m3K)-1.

Dati: ts = 100°C; ∞t = 36°C; d = 0,05 m Soluzione

832 1013,7PrPrGrRa ⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅Δ⋅=⋅= dtg

νβ

4/1Ra0,53Nu = = 86,6

dλα Nu

= = 1099,8 W/(m2 K)

tdLq Δ= πα/ = 11057 W/m


Compito del 3 aprile 2001 Il flusso termico specifico nominale scambiato da un radiatore di un impianto di riscaldamento è pari a 1q ′′ = 600 W/m2 quando la temperatura superficiale è ts1 = 80 °C e la temperatura dell’aria è

t∞ = 20 °C. Trascurando le variazioni delle proprietà termodinamiche dell’aria con la temperatura e lo scambio termico radiativi, si trovi il flusso termico specifico 2q ′′ quando la temperatura superficiale diventa ts2 = 50 °C mentre la temperatura dell’aria resta invariata. Si usi la correlazione

31H0,13RaNu =

Soluzione

31

2

1

2

1

2

1

tt

NuNu

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

α

α

34

2

1

2

1

2

1

2

1

tt

tt

q"q"

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Δ

Δ=

Δ

Δ=

α

α

238Wtt

q"q"34

1

212 =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Δ

Δ=


ESERCIZI RELATIVI AL CAPITOLO 10 Scambiatori di calore

Compito del 9 aprile 2002 In uno scambiatore di calore di superficie A scorre una portata fm& di fluido di calore specifico cf,

entrante alla temperatura tfe. In controcorrente scorre una uguale portata ( fc mm && = ) dello stesso

fluido (cc = cf). Conoscendo il flusso termico scambiato q ed il coefficiente globale di scambio termico U si calcolino:

1. la temperatura di uscita del fluido freddo tfu; 2. le temperature di entrata ed uscita del fluido caldo tce e tcu e si tracci un diagramma con l’andamento delle temperature dei fluidi nello scambiatore. Dati: A = 2 m2;

fm& = 0,1 kg/s; cf = 1 kJ/(kg K); tfe = 10 °C; q = 2000 W; U = 25 W/(m2K)

Soluzione 1. ( ) C30°=⇒−= fufefuff tttcmq &

2. costanteK40=Δ⇒Δ= ttAUq

C70°=Δ+= ttt fuce

C50°=Δ+= ttt fecu


Compito del 15 dicembre 2003 Una portata d’acqua fredda fm& , entrante alla temperatura tfe viene riscaldata da un’uguale

portata d’acqua calda, che entra alla temperatura tce ed esce alla temperatura tcu. Assumendo un calore specifico dell’acqua pari a c = 4187 J/(kg K) ed un coefficiente globale di scambio termico U, si calcolino:

1. il flusso termico scambiato; 2. la temperatura d’uscita del fluido freddo.

Nelle due ipotesi di scambio termico in equicorrente e controcorrente:

3. si traccino gli andamenti qualitativi delle temperature negli scambiatori; 4. si calcolino le aree di scambio necessarie. Dati:

fm& = 1 kg/s, tfe = 20 °C, tce = 70 °C, tcu = 50 °C, U = 1000 W/m2K.

Soluzione 1. ( ) =−= cucec ttcmq & 83,7 kW 2. ( ) =⇒−= fufefuf tttcmq & 40 °C

4. ( ) ( ) ( )( )( )

=

−

−−−−

=Δ

fucu

fece

fucufececeml

tttt

ttttt

ln.. 24,9 K

( ) =Δ

=..

..ceml

ce tUqA 3,37 m2

( ) ( ) ( )=−=−=Δ fecufucecc ttttt .. 30 K

( ) =Δ

=..

..cc

cc tUqA 2,79 m2


Compito del 16 dicembre 2004 Una portata d’acqua am& alla temperatura di entrata tae raffredda una portata d’olio om& dalla

temperatura toe alla temperatura tou. Utilizzando i valori indicati per i calori specifici dei fluidi cp ed il coefficiente globale di scambio termico U, si valutino le aree di scambio necessarie nelle ipotesi di scambiatore equicorrente e controcorrente. Si traccino inoltre gli andamenti qualitativi delle temperature dei fluidi in entrambe le ipotesi. Dati:

am& = 1 kg/s; tae = 20 °C; om& = 0.5 kg/s ; toe = 90 °C; tou = 50 °C;

cpa = 4187 J/(kg K); cpo = 2100 J/(kg K); U = 1500 W/(m2 K) Soluzione

( ) =−= ouoepoo ttcmq & 42000 W

paaaeau cm

qtt&

+= = 30 °C

( ) =Δ ecmlt 39,9 K

Aec = 0,70 m2

( ) =Δ ccmlt 43,3 K

Acc = 0,65 m2


Compito del 8 febbraio 2000 Uno scambiatore di calore a tubi concentrici in controcorrente riscalda una portata fm& d'acqua da

20 °C a 80 °C utilizzando una portata cm& di olio diatermico che si raffredda da 160 °C a 140 °C.

Il tubo interno ha diametro Di = 20 mm, ed il coefficiente globale di scambio termico, riferito alla superficie interna, vale Ui = 500 W/(m2K). Il flusso termico scambiato in condizioni di progetto è pari a q = 3000 W. 1. Tracciare gli andamenti della temperatura dei fluidi. 2. Determinare la lunghezza dello scambiatore.

Dopo un periodo d'uso, con le stesse portate fm& e cm& e le stesse temperature entranti, si trova

che la temperatura dell'acqua all'uscita è scesa a 65 °C. 3. Determinare la corrispondente temperatura di uscita dell'olio diatermico ed il nuovo

coefficiente globale di scambio termico Ui*. Soluzione

2. ( )

K7,98ln

2

1

21 =

Δ

ΔΔ−Δ

=Δ

tt

ttt ml

2m0608,0=Δ

=⇒Δ=mli

imlii tUq

AtUAq

m96,0==⇒=i

iii D

ALLDA

ππ

3. ( ) ( ) ( )( ) W2250

**** =

−

−=⇒−=−=

fefu

fefufefufffefuff tt

ttqqttcmqettcmq &&

Similmente,

( ) ( ) ⇒−=−= cucecccucecc ttcmqettcmq && **

( ) ( ) C145** °=⇒−=−⇒ cucucecuce tttq

qtt

( )

K3,109

**

ln

**

2

1

21* =

Δ

ΔΔ−Δ

=Δ

tt

ttt ml e

Km

W6,338**

*2

=Δ

=ml

i tAq

U


Compito del 6 dicembre 2000 Una portata cm& = 2,00 kg/s di fluido organico di calore specifico cc = 1600 J/kg K viene

raffreddata dalla temperatura tce = 95 °C alla temperatura tcu = 55 °C, in uno scambiatore di calore a tubi concentrici in controcorrente,mediante una portata fm& = 0,60 kg/s di acqua entrante

alla temperatura tfe = 20 °C. Il fluido organico scorre nell’intercapedine tra il tubo interno e quello esterno, mentre l’acqua scorre nel tubo interno, di diametro interno Di = 25 mm. Il

coefficiente di convezione lato fluido organico vale eα = 1000 W/m2K, mentre quello lato acqua

può essere valutato con la correlazione:

NuD = 0,027 ReD0,8 Pr1/3

valida per il regime turbolento. Considerando lo scambiatore adiabatico verso l’esterno e trascurando lo spessore del tubo interno, valutare: 1. la temperatura di uscita dell’acqua tfu (°C);

2. il coefficiente di convezione lato acqua iα (W/m2K);

3. l’area della superficie di scambio A (m2). Proprietà dell’acqua alla temperatura di riferimento:

c = 4180 J/kg K; μ = 6.10-4 kg/m s; λ = 0,64 W/m K; ρ = 990 kg/m3 Soluzione 1. ( ) Wttcmq cucec 128000=−= &

Ccm

qttff

fefu °=+= 0.71&

( ) ( ) ( )C

tttt

ttttt

fecu

fuce

fecufuceccml °=

−

−−−−

=Δ 2.29ln

2. 91.3Pr ==λ

μ pc , 509304Re ==Dm

D πμ& , 248PrRe027.0Nu 3

18.0 == DD

KmW

DD

i 26349Nu==

λα

3. Km

WU

ei

2864111

=+

=

αα

( )20736.5 m

tUqA

ccml=

Δ=


Compito del 2 settembre 2003 Un fluido condensa alla temperatura costante cuce tt = in un condensatore di superficie A,

utilizzando una portata massica d’acqua di raffreddamento fm& che si riscalda dalla temperatura

fet alla temperatura fut .

Sono richiesti:

1. la rappresentazione grafica qualitativa dell’andamento delle temperature nello scambiatore; 2. il calcolo del flusso termico scambiato, espresso in kW; 3. il calcolo del coefficiente globale di scambio termico U, espresso in W/(m2K). Dati:

fc = 4,187 kJ/kg K; A = 1,25 m2; fm& = 1,8 kg/s; cuce tt = = 80 °C; fet = 20 °C; fut = 40 °C.

Soluzione 2. ( ) =−= fefuff ttcmq & 150,7 kW

3. =

ΔΔ

Δ−Δ=Δ

L

Lml

tt

ttt0

0

ln49,33 K

=Δ

=⇒Δ=ml

ml tAqUtUAq 2,44 kW/(m2K) = 2440 W/(m2K)


Compito del 30 marzo 2006 Una portata vm& di vapor d’acqua saturo secco alla temperatura vt = 100 °C condensa

isobaricamente in un condensatore fino allo stato di liquido saturo, scambiando calore con una portata d’acqua am& entrante alla temperatura tae.

Conoscendo il calore latente di condensazione r ed il coefficiente globale di scambio termico U, si determinino:

1. il flusso termico scambiato q, espresso in W; 2. la temperatura di uscita dell’acqua aut , espressa in °C;

3. l’area di scambio necessaria A, espressa in m2

e si traccino:

4. gli andamenti qualitativi delle temperature dei due fluidi nello scambiatore. Dati:

vm& = 0,05 kg/s, am& = 1,0 kg/s; tae = 20 °C; r = 2256 kJ/kg,

cpa = 4187 J/(kg K), U = 1400 W/(m2 K) Soluzione 1. == rmq v& 112800 W

2. paa

aeau cmqtt

&+= = 46,9 °C

3. =Δ mlt 65,6 K

A = 1,228 m2


Compito del 16 luglio 2002 In un condensatore, schematizzabile come uno scambiatore di calore con rapporto tra le capacità termiche di flusso Cc / Cf = ∞, si vuole condensare a temperatura costante tce = tcu = tc del vapore d’acqua. A tal fine si dispone, come fluido freddo, di una portata di massa fm& di acqua liquida

con calore specifico cf = 4187 J/(kg K) entrante a temperatura tfe. Noti il coefficiente globale di scambio termico U e l’area della superficie di scambio A, sfruttando l’espressione del salto di temperatura lungo uno scambiatore si calcolino nell’ordine:

1. la differenza tra le temperature (tc - tfu) (K);

2. la differenza di temperatura media logaritmica lmtΔ ;

3. il flusso termico scambiato q (kW). Dati

fm& = 50 kg/s; tc = 35 °C; tfe = 25 °C; U = 2000 W/(m2K); A = 100 m2

Soluzione

1. ffffc cmCCC

M&

1111==+=

MUAett −Δ=Δ 01 = 3,85 K

2. K47,6ln

0

1

01 =

ΔΔ

Δ−Δ=Δ

tt

tttml

3. q = U A mltΔ = 1295 kW


Compito del 29 giugno 2004 In uno scambiatore di calore in controcorrente, caratterizzato da un coefficiente globale di scambio termico U, si ha pffpcc cmcm && = . Il fluido caldo entra alla temperatura tce e riscalda il fluido freddo da fet a t fu .

1. Si tracci l’andamento (qualitativo) delle temperature nello scambiatore;

e successivamente si calcolino:

2. il flusso termico scambiato (espresso in W); 3. la superficie di scambio termico necessaria (espressa in m2); 4. l’efficienza dello scambiatore. Dati: U = 30 W/(m2 K); pffpcc cmcm && = = 100 W/K; tce = 400 °C; t fe = 0 °C; t fu = 300 °C. Soluzione 1. tcu = 100 °C – andamenti lineari con Δ t = 100 K costante lungo lo scambiatore. 2. ( ) ( ) 30000300100 =⋅=−=−= fefupffcucepcc ttcmttcmq && W

3. A =q

U Δ t=

3000030 ⋅100

= 10 m2

4. ( )( ) 75,0

04000300

max=

−−

=−

−=

−

−==

fece

fefu

fecepff

fefupff

tttt

ttcmttcm

qq

&

&ε


Compito del 27 giugno 2005 In un evaporatore di un impianto frigorifero, di superficie di scambio A, si raffredda una portata

cm& di acqua dalla temperatura tce alla temperatura tcu. Il fluido frigorigeno evapora alla

temperatura costante tf.

1. Tracciare l’andamento qualitativo delle temperature dei fluidi nello scambiatore; 2. determinare il flusso termico scambiato q (W); 3. calcolare il coefficiente di scambio termico globale U (W/m2K).

Dopo un periodo di funzionamento dello scambiatore, la superficie dal lato acqua è soggetta a sporcamento che riduce il coefficiente globale di scambio termico dal valore U al valore U’. Nelle nuove condizioni di funzionamento, a parità di superficie A, di portate e di temperature di entrata dei fluidi:

4. determinare l’efficienza dello scambiatore con la correlazione UNTe ′−−=1ε ;

5. calcolare il flusso termico scambiato q’ (W); 6. calcolare la nuova temperatura di uscita dell’acqua tcu’ (°C). Dati: A = 7 m2; cm& = 2 kg/s; cc = 4187 J/(kgK); tce = 12 °C; tcu = 7 °C; tf = 4 °C; U’ = 0.85 U

Soluzione

2. ( )cucecc ttcmq −= & = 41870 W

3.

2

1

21

lntt

tttml

ΔΔ

Δ−Δ=Δ = 5,1 K

mltA

qU

Δ= = 1173 W/(m2K)

4. cc cm

AUUNT&

′=′ 0,834

UNTe ′−−=1ε = 0,57

5. ( )fececc ttcmq −= &max = 66992 W

maxqq ε=′ = 37888 W

6. cc

ceuc cmqtt&

′−=′ = 7,48 °C


ESERCIZI RELATIVI AL CAPITOLO 11 Irraggiamento

Compito del 17 settembre 2002 Una cavità isolata termicamente ha le pareti interne alla temperatura t, e scambia calore con l’esterno solo per irraggiamento attraverso un foro di diametro D. Si determinino:

1. la lunghezza d’onda λmax [μm] di massima emissione monocromatica; 2. il flusso termico specifico [W/m2] emesso dal foro; 3. il flusso termico [W] scambiato dalla cavità con le pareti di una stanza a temperatura ta. Dati: t = 500 °C; D = 6 cm; ta = 20 °C; costante della legge di Wien: C3 = 2898 μm K. Soluzione 1. T = t + 273,15 = 773,15 K

dalla legge di Wien: ==TC3

maxλ 3,75 μm

2. 4Tq σ=′′ = 5,67 10-8 ⋅ 773,154 = 20260 W/m2

3. ( )=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−= 44

244

2)( aa TTDTTAq πσσ 56,1 W

Ta

T

D


Compito del 18 dicembre 2000 Si calcoli il flusso termico specifico radiativo scambiato tra le due facce di un’intercapedine che si trovano alle temperature tc = 15°C e tf = 5°C, ammettendo che le emissività siano eguali e pari

ad ε = 0,8. Si usi il valore σ = 5,67 10-8 W/(m2K4). Soluzione

( )=−−

= 44

121

fc TTAq σ

ε

( )=−⋅−

= − 448 15.27815.2881067.51

8.02

1

23.34mW

=

Tc Tf


Compito del 17 giugno 2003 Tra due superfici piane e parallele 1 e 2, che si trovano alle temperature 1t e 2t , è interposto uno schermo sottile alla radiazione. Nell'ipotesi che le distanze tra le superfici siano piccole rispetto alle dimensioni delle stesse e che tutte le superfici abbiano la stessa emissività ε , si determinino:

1. il flusso termico 12q ′′ scambiato per unità di superficie, espresso in W/m2;

2. la temperatura st (°C) a cui si porta lo schermo.

Dati:

ε = 0,03; ( )428 KmW/1067,5 −⋅=σ ; t1 = 350°C; t2 = 50°C. Soluzione

1. tot

nnR

EEq 21

12−

= dove:

22

2

22

2

1

1

1111

1 111111εε

εε

εε

εε

AFAAAFAAR

ssss

s

ss

s

stot

−++

−+

−++

−=

che in questo caso particolare si semplifica in ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 122

εARtot

Quindi ( )

tottot

nnRA

TT

RAEE

Aq

q42

412112

12

−=

−==′′

σ= 60,3 W/m2

2. ( )

s

s

s

nsnRA

TT

RAEE

Aq

q−−

−=

−==′′

1

441

1

11212

σ con

1

1

1111

11

111

ss

s

ss AFAA

Rεε

εε −

++−

=−

che si semplifica in ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=− 121

1 εAR s

Quindi ( )

12

441

12−

−′′

ε

σs

TTq da cui, si ricava Ts. = 533 K = 260 °C

Oppure, essendo uguali le resistenze R1-s e Rs-2 prima e dopo lo schermo:

2

21 nnns

EEE

+= ⇒

2

42

414 TT

Ts+

= Ts = 533 K = 260 °C

TsT1 T2


Compito del 13 luglio 2004 Una superficie circolare piana 1 di diametro D, che si trova alla temperatura t1 è sovrastata da una cupola semisferica 2 dello stesso diametro D, che si trova alla temperatura t2 . Si determinino:

1. i fattori di vista 12F ed 21F ; 2. il flusso termico q, espresso in watt [W], scambiato per radiazione tra le due superfici

nell’ipotesi che entrambe le superfici siano nere; 3. il flusso termico q, espresso in watt [W], scambiato per radiazione tra le due superfici

nell’ipotesi che le due superfici siano grigie con emissività pari, rispettivamente ad ε1 ed ε2 . Dati:

D = 20 m; t1 = 0 °C; t2 = 20 °C; ( )428 KmW/1067,5 −⋅=σ ; ε1 = 0,8; ε2 = 0,6. Soluzione

1. F12 = 1; ( ) 5,04/24/

2

2

21 ==DDF

ππ

2. ( ) ( ) 3239015,27315,2931067,514

20 4482

41

42121 =−⋅⋅⋅=−= −πσ TTFAq W

( ) ( ) W20457

6,06,015,0

8,01

3239011111

2

2

2

1

1

41

421

22

2

12111

1

41

42 =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

−=

−++

−−

=

εε

ε

σ

εε

εε

σ

AA

TTA

AFAA

TTq

1

2

D


Compito del 25 gennaio 2000 Si considerino due superfici piane parallele indefinite, una nera ed una grigia, per le quali si abbia: T1 = 1000 K, ε1 = 1, T2 = 500 K, ε2 = 0,8. Si trovino:

1. il flusso termico specifico scambiato per radiazione mutua A

qq 12=′′ ;

2. la radiosità J1 e l’irradianza G1 per la piastra nera;

3. la radiosità J2 e l’irradianza G2 per la piastra grigia. Si assuma σ = 5,67 · 10-8 W/(m2K4) Soluzione

En1-------/\/\/\/\/\/\-------O-------/\/\/\/\/\-------O-------/\/\/\/\/\----- En2

1. Essendo A1 = A2 = A è ( )

2

2

121

1

42

4112

111ε

εε

εσ

−++

−−

==′′

F

TTA

qq

inoltre, essendo ε1 = 1 ed F12 = 1, sarà R"1 = 0, R"12 = 1 e ( )4

24

12 TTq −=′′ σε = 42525 W/m2.

2. 2411 W/m56700=== TEn σ1J

( ) 2111

12

1

11111 W/m14175=′′−=⇒−=′′==⇒−= qJGJq

A

q

A

qGJAq 1G

3. ( ) 22

2

222

2

2

3

22 W/m141751

1=+′′

−=⇒−

−=⇒

−= nn

n EqEJAq

REJ

qε

εε

ε2J

( ) 2222

21

2

22222 W/m56700=′′+=⇒−=′′−==⇒−= qJGJq

Aq

Aq

GJAq 2G

Si noti che, dalla correlazione A1 F12 J1 = A2 G2, essendo in questo caso F12 = 1 e A1 = A2 = A si ottiene J1 = G2. Analogamente, dalla A2 F21 J2 = A1 G1 si ottiene in questo caso J2 = G1.

J1 J2

R1=1

11ε

ε

A−

= 0 R2=2

21ε

ε

A−

R12=12

1AF

= A1


Compito del 6 settembre 2000 Si calcoli la temperatura Ts raggiunta da una superficie isolata perfettamente verso l’interno che scambia calore con l’esterno esclusivamente per irraggiamento solare, ricevendo un’irradiazione Gs = 870 W/m2, e per convezione verso l’aria a temperatura T∞ = 297 K. Si ipotizzi che il

coefficiente di assorbimento della radiazione solare sia pari a αs (5800 K) = 0,50 e che il coefficiente di scambio termico per convezione valga α = 10 W/(m2 K). Si verifichi poi (calcolandone l’entità) che, per la superficie alla temperatura Ts così determinata, è ragionevole trascurare gli scambi termici radiativi tra la superficie e l’atmosfera (εa = 1) a T∞ =

297 K nell’ipotesi che si abbia εs (Ts) = αs (T∞) = 0,1.

Soluzione 1. Il flusso termico scambiato con il sole per irraggiamento dovrà essere uguale al flusso termico

scambiato per convezione con l’aria. Pertanto è:

convsolare qq "" = ( ) ( )∞−=⋅ TTG sss αα K5800 ( ) K5,340K5800=

⋅+= ∞ h

GTT sss

α

2. Il flusso termico scambiato per irraggiamento tra la superficie e l’atmosfera si ricava da un

bilancio tra il flusso emesso dalla superficie ed il flusso emesso dall’atmosfera ed assorbito dalla superficie. Pertanto è:

)()()()(" . ∞∞−= TETTETq nassnssambirr εαε

=⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅= −− 4848 2971067,511,05.3401067,51,0

2mW1,32=

Poiché

( ) 073,0K5800

""" .. =

⋅=

ss

ambirr

solare

ambirrG

qqq

α

gli scambi termici radiativi tra superficie ed atmosfera sono pari al 7 % circa della radiazione solare assorbita dalla superficie.

q’’conv Gsq’’

solare = α s (5800 K)


Compito del 7 settembre 2004 Si stimi il flusso termico per unità di lunghezza scambiato complessivamente per convezione naturale e irraggiamento dalla superficie esterna di una tubazione cilindrica orizzontale molto lunga, avente diametro D = 0,12 m, emissività superficiale ε = 0,7 e temperatura superficiale ts = 75 °C. La tubazione si trova in un ambiente di grandi dimensioni, le cui pareti sono alla temperatura tp = 25 °C e in cui è presente aria alla temperatura t∞ = 25 °C. Per il calcolo del coefficiente di scambio termico per convezione naturale si usi la correlazione:

4/1Ra53,0Nu DD =

Si assumano le seguenti proprietà per l’aria:

ν = 1,8·10-5 m2/s; λ = 0,028 W/(m K); Pr = 0,704. Inoltre σ = 5,67·10-8 W/(m2K4) Soluzione Per la convezione naturale:

=+

= ∞

2tt

t smf 50 °C

=+

==mfmf tT 15,273

11β 0,0031 1/K

( )

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⋅= ∞ PrPrGrRa

2

3

ν

β Dttg sDD 5,699·106

4/1Ra53,0Nu DD = = 25,9

==DD λ

αNu

6,04 W/(m2K)

( ) =−⋅=′′ ∞ttq sα 302 W/m2

Dqqconv π′′=′ = 114 W/m

Per l’irraggiamento:

( ) ( )44844 1067,5 ∞−

∞ −⋅=−==′′ TTTTAqq ss εσε = 269 W/m2

Dqqirr π′′=′ = 102 W/m

Flusso termico scambiato complessivamente per unità di lunghezza: =′+′=′ irrconv qqq 215 W/m

ESERCIZIARIO del corso di TRASMISSIONE DEL CALORE · Università degli Studi di Udine Facoltà di...

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