Esercizi1_08-09
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ESERCIZI DI EAMAG - A.A. 2009-09
PROF. CIPRIANI-BUSLACCHI-CITTERIO
1. Definizioni.
1.1 Sia E ⊆ R. Un punto x ∈ R e’ detto di accumulazione per E se
∀ r > 0 (x− r, x + r) ∩ (E − {x}) 6= ∅o, equivalentemente, se
∀ r > 0 (x− r, x + r) ∩ E e′ un insieme infinito,
oppure se esiste una successione {xn}n≥1 ∈ E \ {x} convergente a x:
limn→∞
xn = x .
L’insieme dei punti di accumulazione di E si denota con E′.
Sia E ⊆ R e x0 ∈ R.
1.4 x0 e’ detto maggiorante di E se x ∈ E ⇒ x ≤ x0
1.5 x0 e’ detto minorante di E se x ∈ E ⇒ x0 ≤ x
1.6 x0 e’ detto massimo di E se x0 ∈ E e se x0 e’ maggiorante di E
1.7 x0 e’ detto minimo di E se x0 ∈ E e se x0 e’ minorante di E
1.8 x0 e’ detto estremo superiore di E se x0 e’ maggiorante di E e nessun y < x0 e’maggiorante di E. Equivalentemente
x ∈ E ⇒ x ≤ x0
∀r > 0 (x0 − r, x0) ∩ E 6= ∅
i) x0 e’ detto estremo inferiore di E se x0 e’ minorante di E e nessun y > x0 e’ minorantedi E. Equivalentemente
x ∈ E ⇒ x0 ≤ x
∀r > 0 (x0, x0 + r) ∩ E 6= ∅ .
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2. Determinare Sup E, Inf E, Max E, Min E, E′ per ognuno dei seguenti sottoinsiemi diR.
E1 = (0, 1) inf E = 0, sup E = 1, non esistono min E, max E.
E2 = (−1, +2] inf E = −1, sup E = max E = +2, non esiste min E.
E3 = [−3, 0) inf E = min E = −3, sup E = 0, non esiste max E.
E4 = [−4, +4] min E = −4, max E = +4.
E5 = {x ∈ R : (−1)n, n ∈ N} min E = −1, max E = +1.
E6 = {x ∈ R : (−1)nn, n ∈ N}. inf E = −∞, sup E = +∞.
E7 = {x ∈ R : (−1)n + 1n, n ∈ N, n ≥ 1}. inf E = −1, max E = 3
2, non esiste min E.
E8 = {x ∈ R : + 1n, n ∈ N, n ≥ 1} ∪ {0} min E = 0, max E = +1.
E9 = {x ∈ R : (1 + (−1)n)n, n ∈ N} min E = 0, sup E = +∞.
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4. Usando le proprieta’ dei limiti mostrare che le seguenti successioni, definite per ricor-renza, sono monotone. Determinare poi se sono limitate, convergenti (nel caso calcolareil limite), non convergenti, divergenti a +∞ o −∞.(utilizzare le disuguaglianze:∀ a, b ∈ R si ha (a± b)2 ≥ 0 e quindi ±2ab ≤ a2 + b2).
3.1 x1 = +2, xn+1 = xn
2+ 1
xn, n ∈ N, n ≥ 1,
(suggerimento: mostrare nell’ordine che xn > 0 ∀n ≥ 1, x2n > 2 ∀n ≥ 1, la successione
e’ monotona decrescente)
3.2 x1 = −2, xn+1 = xn
2+ 1
xn, n ∈ N, n ≥ 1,
(suggerimento: mostrare nell’ordine che xn < 0 ∀n ≥ 1, x2n > 2 ∀n ≥ 1, la successione
e’ monotona decrescente)
3.3 x1 = +1, xn+1 = xn + 1xn
, n ∈ N, n ≥ 1,
3.4 x1 = −1, xn+1 = xn + 1xn
, n ∈ N, n ≥ 1,
3.5 x1 = +2, xn+1 = 1− 1xn
, n ∈ N, n ≥ 1,
3.6 Mostrare che ∀ x0 6= 0, +1 la successione seguente e’ periodica
x1 = x0, xn+1 = 1− 1xn
, n ∈ N, n ≥ 1.