ESERCIZI RISOLUBILI IN BASE ALLA DEFINIZIONE DI LOGARITMO

Ripassiamo la definizione di logaritmo Definizione di logaritmo di b in base aDati due numeri positivi a e b, il logaritmo di un numero b, detto argomento, rispetto a numero a, detto base, è l’esponente x a cui si deve elevare a per avere b.Si indica con x=loga b ; x è il logaritmo di b rispetto ad a se ⇔a x=b

Esempi: log3 27=3 perché 33=27 log51

25=−2 perché 5-2=1/25.

IMPORTANTENon esiste il logaritmo di 0 né di un numero negativo, perchè per definizione a e b sono numeri positivi.La base del logaritmo a deve essere diverso da 1 perché 1x=b è un’equazione impossibile se b≠1 o indeterminata se b=1.Ricordiamo che:

loga 1=0 perché ogni numero elevato a zero è uguale a 1.

loga a=1 perché ogni numero elevato ad uno è uguale a se stesso.

Vediamo ora degli esercizi sui logaritmi che si risolvono applicando la definizione di logaritmo.

Una prima tipologia di esercizi è la seguente: calcolare i seguenti logaritmi

1) log2 64 2) log319 √3 3) log4 2 4) log3

4

169 5) log√a a3 6) log 100

Risolvere questi esercizi significa trovare l’esponente a cui dobbiamo elevare la base per avere l’argomento. Sostanzialmente si risolvono riscrivendo l’argomento come potenza della base del logaritmo.1) log2 64 : calcolare questo logaritmo significa trovare l’esponente a cui elevare 2 per avere 64,

quindi riscriviamo 64 come potenza di 2 si ha che 64=26, quindi si ha che log2 64 = log2 26

Ora è semplice rispondere alla domanda: a quale numero dobbiamo elevare 2 per avere 26?La risposta è 6.

2) log319 √3 : riscriviamo

19 √3 come potenza di base 3: poiché

19=3−2 √3=31/2

applicando la proprietà delle potenze a x∗a y=ax+ y si ha che19 √3 = 3

−2+12

=3−4+1

2 =3−

32 ; quindi log3

19 √3 =-3/2.

3) log4 2 : notiamo che 2 è la radice quadrata di quattro cioè √4=2 quindi 2=412 ;

perciò si halog4 2 =1/2.

1

4) log 34

169 : notiamo che 16=42 e 9=32 quindi 16

9=( 3

4)−2

(ricordiamo che l’esponente

negativo fa passare al proprio reciproco la base di una potenza); per cui log34

169 =-2.

5) log√a a3 : riscriviamo la base √a come √a = a12 e ora rispondo alla domanda a

quale numero devo elevare a12 per avere a3 ? Rispondere a questa domanda significa

trovare un numero che moltiplicato per 1/2 dia 3, matematizzando, significa risolvere l’equazione 12

x=3 che porta alla soluzione x=6; quindi log√a a3 = 6.

6) log 100 questo esercizio è estremamente semplice purché ci si ricordi che quando la base non è espressamente scritta come in log100 è sottintesa la base 10, mentre con ln si sottintende la base e; quindi log 100 =log102=2.

Una seconda tipologia di esercizi è la seguente: calcolare l’argomento b dei seguenti logaritmi.

1) log5 b=3 2) log b=4 3) log5 b=−13 4) log20 b=−11

7Poiché il logaritmo è in pratica un esponente a cui dobbiamo elevare la base per avere l’argomento, questi esercizi si risolvono elevando la base al risultato del logaritmo.1) log5 b=3 in base alla definizione di logaritmo, 3 è il numero a cui devo elevare 5 per avere b

quindi 53=b cioè l’argomento è b=125.

2) log b=4 : la base, sottintesa, è 10 quindi b=104=10000.

3) log5 b=−13 : b=5

−13 da cui poiché il segno meno dell’esponente fa passare al reciproco

della base della potenza e l’esponete frazionario indica una radice si ha che b=5−

13=3√ 1

5= 1

3√5.

4) log20 b=−117 : b=(20 )

−117 da cui poiché il segno meno dell’esponente fa passare al

reciproco della base della potenza e l’esponete frazionario indica una radice si ha che

b=(20 )−

117 =

7√( 120 )

11

= 17√( 20)11

.

Una terza ed ultima tipologia di esercizi è la seguente: calcolare la base a dei seguenti logaritmi.

1) loga 125=3 2) loga1

81=4 3) loga 3=−11 4) loga √2=2

2

Sfruttando la definizione di logaritmo e conoscendo l’argomento e l’esponente a cui elevare la base, questi esercizi si risolvono in sostanza con il calcolo di un radicale con radicando uguale all’argomento del logaritmo e con l’indice uguale al logaritmo. 1) loga 125=3 : poiché in base alla definizione di logaritmo a3=125 si ha che la base a sarà

uguale 3√125 , cioè a=5.

2) loga1

81=4 : poiché in base alla definizione di logaritmo a4=1/81 si ha che la base a sarà

uguale 4√ 181

e poiché 81=34 risulta a=1/3.

3) loga 3=−11 : poiché in base alla definizione di logaritmo a-11=3 si ha che la base

a=11√ 13=

111√3

=1

31

11

.

4) loga √2=2 : poiché in base alla definizione di logaritmo a2= √2 si ha che la base a

sarà uguale √√2 cioè a = 4√2 .

3

ESERCIZI SULLE PROPRIETA’ DEI LOGARITMI

- Ripassiamo la definizione di logaritmo Definizione di logaritmo di b in base aDati due numeri positivi a e b, il logaritmo di un numero b, detto argomento, rispetto a numero a, detto base, è l’esponente x a cui si deve elevare a per avere b.Si indica con x= loga b ; x è il logaritmo di b rispetto ad a se ⇔a x =b

Esempi: log3 27=3 perché 33=27 2251log5 −= perché 5-2=1/25.

IMPORTANTENon esiste il logaritmo di 0 né di un numero negativo, perchè per definizione a e b sono numeri positivi.La base del logaritmo a deve essere diverso da 1 perché 1x=b è un’equazione impossibile se b≠1 o indeterminata se b=1.Ricordiamo che:

loga 1=0 perché ogni numero elevato a zero è uguale a 1.

loga a=1 perché ogni numero elevato ad uno è uguale a se stesso.

- Ripassiamo ora le proprietà dei logaritmiLe proprietà fondamentali dei logaritmi sono tre:

I) loga b⋅c=loga b+ loga c : il logaritmo del prodotto di due numeri positivi è uguale alla somma

dei logaritmi dei singoli fattori.Questa formula viene applicata anche al “contrario” ossia loga b+ loga c=loga b⋅c .

II) logabc=loga b−loga c : il logaritmo del quoziente di due numeri positivi è uguale alla

differenza tra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore.

Questa formula è letta anche al “contrario” ossia loga b−loga c= logabc

.

III) loga bn =n logab : il logaritmo della potenza di un numero positivo è uguale al prodotto

dell’esponente della potenza per il logaritmo della base.

Questa formula può essere applicata anche al “contrario” ossia n log a b= loga bn .

Queste formule, applicate da sinistra verso destra, si usano per risolvere i seguenti esercizi:- Applicando le proprietà dei logaritmi sviluppare le espressioni di seguito indicate:

1) log 35a 2) log2( 2 3√2

√2 ) 3) log a3 (a2+1)b2 4) log 1

2

14⋅a2 5√b

b 4√c

1) log 35a : per sviluppare tale espressione si applica la formula del logaritmo di un quoziente

logabc=loga b−loga c in cui si sostituiscono b=3 e c=5a si ha dunque log 3

5a=log3−log5 .

4

2) log2( 2 3√2√2 ) : per sviluppare tale espressione si applica prima la formula del logaritmo di un

quoziente e si ha log2( 2 3√2√2 ) = log2 2 3√2−log2√2. In seguito al termine log2 2 3√2 si

applica la formula del prodotto loga b⋅c=loga b+ loga c dove b=2 e c= 3 2 e si ha log2 2 3√2

= log2 2+log23√2 , poi al termine log2

3√2 applichiamo la formula del logaritmo di una

potenza loga bn =n logab con b=2 e n= 1/3 e si ha log23√2 = 1

3log2 2 . Analogamente il

secondo termine

- log2 √2 diventa -12

log22 . Unendo il tutto si ha log2( 2 3√2√2 ) =

log2 2+13

log2 2−12

log2 2 . Per finire, poiché 12log2 = si ha che

222log

3

2 =

.65

6326

21

311 =−+=−+

3) 2

23 )1(logbaa + : per sviluppare tale espressione si applica prima la formula del logaritmo di

un quoziente e si ha 2

23 )1(logbaa + = log a3(a2+1 )−log b2 . In seguito al termine

log a3(a2+1 ) si applica la formula del prodotto loga b⋅c=loga b+ loga c dove b=a3 e

c= (a2+1) si ha log a3(a2+1 ) = log a3+ log (a2+1) poi al termine log a3

applichiamo la formula del logaritmo di una potenza loga bn =n loga b con b=a e n=3 e

si ha log a3 = 3log a . Analogamente il secondo termine - log b2 diventa -

2log b . Unendo il tutto si ha log a3 (a2+1)b2 = 3log a+log( a2+1 )−2logb .

(si noti che il termine log(a2+1) rimane invariato perchè non c’è una formula che coinvolge la somma degli addendi nell’argomento del logaritmo!)

4) log 12

14⋅a2 5√b

b 4√c: per sviluppare tale espressione si applica prima la formula del logaritmo di un

prodotto si ha log 12

14⋅a2 5√b

b 4√c = log 1

2

14+log 1

2

a2 5√bb 4√c

. In seguito al termine log 12

a2 5√bb 4√c

si

applica la formula del quoziente e si halog1

2

a2 5√bb 4√c =

log12

a2 5√b−log12

b 4√c; in seguito con

5

le formule del prodotto e del logaritmo di una potenza si continua a sviluppare gli addendi

log 12

a2 5√b e −log12

b 4√c e si ha:

log 12

a2 5√b = log12

a2+log12

5√b = 2log 12

a+ 15

log 12

b

−log 12

b 4√c = −(log12

b+ log12

4√c) = −(log 12

b+ 14 log1

2

c) .

Unendo tutti i pezzi si ha log 12

14⋅a2 5√b

b 4√c= log1

2

14+ 2log1

2

a+ 15

log 12

b

−(log 12

b+ 14 log 1

2

c) , ma

log12

14=2 si ha log1

2

14⋅a2 5√b

b 4√c=2+ 2log 1

2

a+ 15

log 12

b cb21

21 log

41log +− =2+

ba21

21 log

54log2 − c

21log

41− .

6