Esercizi Risolti Sulle Travi Di Fondazione
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TRAVI di FONDAZIONE Esercizio 1.
F12 6 m AF2= 10t F3= 30t L 12 B= 2m = = 2m 6 6 R= F1+F2+F3 = 20+10+30 = 60t Equilibrio alla rotazione intorno al punto A: F16 + F312 = Rx0 206 + 3012 = Rx0 x0 = F1= 20t
F2 F1 6m B
F3
C
120 + 360 480 = = 8m R in corrispondenza del raggio di nocciolo 60 60
x
F1
F2
R
F3
q
qt
qt
L 2 * 60t t = R qt = 2 R = = 10 2 12m m L
terreno =
qt qt Kg =2 2 b= = 50 cm b terreno cm
dT = q poich nelle travi di fondazione q < 0, dT/dx sempre positivo e quindi T(x) crescente. dxdM =T dx q lineare T(x) parabolico
qt > 0 T(x) crescente, qt crescente Diagramma del taglio e del momento
dT crescente dx
10 x
15 5 30
T(x)49.7
32.6
A
B' B
30
C
M(x)Tratto AB: T < 0 M decrescente, T decrescente tangente al diagramma del momento decrescente Tratto BB: T > 0 M crescente, T crescente tangente al diagramma del momento crescente MB = F2 *L qt L 1 L + * * * = 60 + 30 = 30 Kgm 2 2 2 2 6 x 2
Calcolo del momento in B: T(x) = -F2 + q x *
qx : qt = x : L q x = qt
x L
x = punto di nullo del diagramma del taglio (B)x
x x x2 F2 + q t * * = 0 * qt = F2 L 2 2Lqx qt
x = 2L
F2 10 = 2 * 12 * = 4.9m qt 104. 9 = 4. 1 t / m 12
qx = 10 *L=12m
x x 4. 1 Mmax,AB = -F2 x + q x * * = 10 * 4.9 + * 4.9 2 = 32.6 Kgm 2 3 6
Calcolo del momento nella sezione corrispondente al secondo punto di nullo del taglio:
x=8,5m
3,5m
qxqx
qt
T(x) = -F2 F1 + q x * 30 + q t *
x x q x = qt * 2 L 24 * 30 8.5 Kg = 8.5m q x = 10 * = 7.1 10 12 m
x x x2 * = 0 30 + 10 * =0 x= 12 2 24
M max BC = F3 * 3.5 + 7.1 * 3.5 *3 .5
3.5 3.5 2 + 2.9 * * * 3.5 = 30 * 3.5 + 43.5 + 11.8 = 49.7tm 2 2 3
F3= 3010
7 .1
2 .9
Esercizio 2.x
3F AF = 24t R= F + 3F = 4F
R
F B
10m
Equilibrio alla Rotazione in A: FL FL L Rx - FL = 0 x = + = = = 2.5 m R 4F 4 L 10 = = 1.67 m sez.parzializzata in quanto la risultante R cade fuori dal nocciolo. 6 6
x
3F
R=4F
F
qmax d0Calcolo punto d0 dallequilibrio alla traslazione: 1 1 d q max * d o * = 4 F q max * d o * * o 4 F * x = 0 2 2 3 do do 4 F * 2 8F 8F qmax = = * * F * 4x = 0 do do do 2 3do d 4 F * x = 0 4 F o x = 0 d o = 3 x = 7.5cm 3 3 Kg 8 F 8F Kg Kg = 256 q max = = = 1.067 F = 25608 cm d o 7.5 m m
4F
max,t =
q max q 256 b = max = = 130cm b max, t 2
3FA q1 qt
x
F 2.5 B C
3F A
D
C
B F+
T(x)
x
M (x)
T(x) Tratto CB: q = 0 T costante positivo Tratto AC: q > 0 T crescente lineare T parabolico q decrescente pendenza decrescente di T(x) M(x) Tratto AD: Taglio < 0 M decrescente Tratto DC: Taglio > 0 M crescente Tratto CB: Taglio costante M lineare
Ricerca punto nullo (D) del diagramma del Taglio: F q1F qt *
x =0 2
q1 = q t
x 7. 5
x x x2 qt = 256Kg/cm * = 0 F qt * =0 7.5 2 1500 1500 * 24000 3.75 Kg x2 = x = 3.75m q1 = * 256 = 128 256 7.5 cm Calcolo del momento in D: 3.75 2 3.75 2 M D = 3F * 3.75 + q1 * + (qt q1 ) * * * 3.75 = 2 2 3 2 2 128 * 375 375 = 3 * 24000 * 375 + + 128 * = 12000000 Kgcm = 120000 Kgm = 120tm 2 3
Esercizio 3.x
F A B
R
F C
R = F+F = 2F Calcolo della posizione della risultante R dallequilibrio alla rotazione intorno al punto C: L L 1 FL L L = 10m L/4 = 2.5m R x F = 0 x = F = = 2 2 R 2 2F 42.5
FA D B
RC
F
qt
3u A D B C F
T(x)
A
D
B
C
M(x)
3u = 32.5 = 7.5m 3u 2 4 10 q t ,max = 2F, q t ,max = 2F * * u = * F * u = F 2 3 3 3 Diagramma del taglio T(x): tratto AD: T=0 tratto DB q lineare, positivo, crescente T parabolico, crescente con pendenza crescente Tratto BC T crescente con pendenza crescente, positivo in C
Diagramma del momento tratto AD: M=0 tratto DB: T>0 M crescente a partire da 0 tratto BE: T0, in modulo crescente M crescente con pendenza crescente, MC=0
Esercizio 4.2
M
F=15tL
R
F=15t
M = 30tm, L = 6m, F1=F2=15t R= F1+F2 = 2F = 30t Calcolo della posizione della risultante R dallequilibrio alla rotazione intorno al punto C: FL M FL M 15 * 6 30 = 2m = x= FL M = Rx x = R 2F 30 L 6 = = 1m la risultante R capita sul nocciolo 6 6 L 2 t q t ,max * = R q t ,max = R * = 10 2 L m
F
m
Fqtmax
B A
C
T(x)m A D B C
M(x)
Diagramma del taglio - tratto AB: TA=F1 (0, crescente) - tratto BC: TC=F2 (>0), T(x) crescente con pendenza crescente (q>0, crescente) Diagramma del momento - tratto AD: T 0 = 17.4 tm MD < 0 = 5.2 tm