Esercizi

)11

(22

partenzaarrivo nnE

Le “serie” prendono il nome dal valore di n di “arrivo”.

Lyman na=1

Balmer na=2

Paschen na=3

Quindi la riga a frequenza più bassa ( e lunghezza d’onda più grande) di ogni serie è quella tra i livelli che corrispondono a na e na+1.

Spettri atomo H

2220

2

42 1

32 n

meZEn

1.La riga di Lyman a numero d’onda più basso per l’atomo di H è a 82259 cm-1. Calcolare la frequenza in Hz e la lunghezza d’onda della transizione per l’atomo di Li2+ .

Per H Z=1

Per Li2+ Z=3

9

1

)(

)(2

LiE

HE

c

9

1

)(

)(2

Li

H

1612 102259.89822599)( mcmLi

E

Hz

HzLi14

862

102319.20

)1010()99.22259.89()(

ESERCIZIO 1

Esercizio 2Gli astronomi hanno trovato atomi di H nello spazio interstellare con numero

quantico n altissimo.

Calcolare la lunghezza d’onda della luce emessa da un elettrone che subisca una transizione da n=236 a n=235, e individuare la zona spettrale corrispondente.

1578.109677 cm Costante di Rydberg

112 6795.1106795.1 mcm

17122236235 105313.1

236

1

235

1

cmcmEE

12

cm

nEn

mm 595.06795.1

1

mm 595.06795.1

1 La zona è quella della

radiofrequenza.

Esercizio 3

Calcolare la probabilità di trovare la particella nei diversi punti di un’orbita circolare se la sua funzione d’onda è

im

m e2

1)( con m = 2.

La probabilità di trovare la particella tra e + d è:

2

1

2

1

2

1

2

1)()( )22(22*

22 iiii eee

d)()( *22 (interpretazione di Bohr)

------------------------------------------------------------------

Quindi la localizzazione della particella sull’orbita è del tutto indefinita perché non dipende da . Il risultato inoltre non dipende dalla particolare funzione, il risultato è lo stesso qualsiasi sia il valore di m.

Esercizio 4Calcolare la differenza di energia tra i primi due livelli energetici per una molecola di O2 in una scatola monodimensionale lunga 5 cm. Come potreste dimostrare che la quantizzazione dell’energia si può trascurare per una scatola di queste dimensioni? (Suggerimento: cfr. con l’energia media )

------------------------------------------------------------------Espressione dell’energia per la particella nella scatola: 2

22

8mL

hnEn

Dati che ci servono: sJh 341062.6

Massa della molecola di O2: 32 u.a. x peso in kg di 1 u.a. (mu)

kgmu271066.1

I primi due livelli energetici corrispondono ai numeri quantici n = 1 e n = 2.

2

2

1 8mL

hE

kgkgMO2727 101.53321066.1

2

2

2

2 8

4

mL

hE 2

2

12 8

3

mL

hEEE

Lunghezza della scatola: L = 5x10-2 m

JmL

hEEE 426

682

2

2

12 1010

10

2531.58

)62.6(3

8

3

kgMO261031.5

2

JJE 393068 1024.11010124.0

La scatola di 5 cm è una scatola di dimensioni ordinarie. Un confronto ragionevole può essere tra la differenza di energia calcolata tra due stati quantizzati per la molecola di O2 , e l’energia media ottenuta dalla termodinamica statistica per il moto di una molecola di gas perfetto in una direzione:

kTE2

1 dove k è la costante di Boltzmann. A

300K :

JJE 2123

101.22

3001038.1

La differenza di energia tra due stati quantizzati è piccolissima rispetto all’energia media.

Esercizio 5Il numero d’onda che corrisponde alla transizione vibrazionale per la molecola di 12C=16O è 2170 cm-1. Usando il modello dell’oscillatore armonico, ricavare la costante di forza del legame C=O. ------------------------------------------------------------------

Nel modello dell’oscillatore armonico abbiamo: hE )21(

Le transizioni permesse sono quelle con 1

La transizione “fondamentale” è quella tra lo stato con v=0 (che è il più popolato) e v=1 hhhE )21()23(

Ma per la relazione di Planck: hE

Quindi la frequenza del moto di vibrazione delle molecole biatomiche è anche la frequenza della radiazione elettromagnetica che possono assorbire.

Procedimento: 1. Si ottiene la frequenza dal numero d’onda.

2. La frequenza si pone eguale a quella di vibrazione.

3. Dall’espressione della frequenza per l’oscillatore armonico si ottiene la costante di forza.

1

Numero d’onda Per passare alla frequenza bisogna moltiplicare per c, velocità della luce.

Esprimiamo il numero d’onda in unità SI. Si ricordi che 11 1001 mcm151 10170.22170 mcm

18103 msc

THzHzssmm 1.651051.61051.610170.2103 131131158

cc

E adesso?

?

Adesso è quasi fatta!

k2

2

4

1

k

2

1

kgkgmm

mm

OC

OC 2727 1038.111066.11612

1612

224k

mC = 12 u.a.

mO = 15.9949 u.a. (Approssimiamo mO a 16 u.a.)

kgmu271066.1

Per calcolare la massa in kg dobbiamo moltiplicare la massa in u.a. per il peso in kg dell’u.a.:

))(1010)(38.1138.4287.94(4 2272622 skgk

))(10)(10905.1(4 21422 skgk

11905 mNk

1 N = kg x m x s-

2

Che risoluzione dovrebbe avere uno spettrometro IR per distinguere tra 12CO e 13CO ?

La funzione d’onda angolare degli atomi idrogenoidi è anche autofunzione degli operatori di momento angolare.

a. Quali sono gli autovalori di questi operatori per un elettrone in uno stato n,l,m?b. Siete capaci di dimostrare che le funzioni dette sono autofunzioni dell’operatore lz?

i

lz

)2

1(

2

1

2

1

imim

im

mlz emimei

e

il

Modulo del momento angolare:

)1( lll

mlz

Componente lungo z del momento angolare:

Esercizio 6

Che relazione c’è tra gli orbitali 2p0, 2p1, 2p-1, e gli orbitali 2px, 2py, 2pz?

cos2 0 p

iep sin2 1

iep sin2 1

cos22 0 ppz

cossin)(sin222 11

iix eeppp

sinsin)(sin222 11

iiy eeppp

i

lz Le funzioni reali degli orbitali non sono autofunzioni di lz

211

pp

px

211

pp

ipy

0ppz

Esercizio 7

cos22 0 ppz

cossin2 xp

sinsin2 yp

Disegnare la forma del potenziale per l’oscillatore armonico, la forma delle funzioni d’onda da v=0 a v= 3, e scriverne le energie

Esercizio 8

Sapete giustificare l’uso del modello dell’oscillatore armonico per descrivere i moti di vibrazione delle molecole? Quali sono i limiti del modello secondo voi?

v=0

v=1

v=2

v=3

La forma del potenziale in cui si muovono i nuclei assomiglia ad una parabola per gli stati a energia più bassa

Se si adotta il modello dell’oscillatore armonico si trova che i livelli energetici sono tutti equidistanti

Se si usa un potenziale più simile a quello reale, si trova che i livelli di energia si infittiscono al crescere di v.

Esercizio 9

Lo spettro vibrazionale della molecola di 1H19F ha una riga a 4138 cm-1 . Ricavare la costante di forza del legame H-F (assumete che le masse siano 1 u.a. per H e 19 u.a. per F).

1 966 Nm

21H

22H

FH191

ClH 351

214N

216O

10

cm pmr 1Nmk 1 kJmol

4400

3118

74

74

575

577

432

440

4138

2990

92

127

966

516

564

428

2358

1580

110

121

2294

1177

942

493

Esercizio 10

Una molecola che ruota in assenza di potenziale può essere considerata come una particella di massa μ che si muove su una superficie sferica di raggio r uguale alla distanza di legame. Quindi possiamo usare i risultati trovati per la particella sulla sfera per avere informazioni sul moto di rotazione delle molecole biatomiche.

rm1 m2

21

21

mm

mm

r

Moto di rotazione delle molecole

Esercizio 11Calcolare le energie dei primi cinque livelli rotazionali della molecola di H2, e per ognuno degli stati le grandezze del momento angolare, e i valori delle proiezioni del momento angolare lungo l’asse z.

Momento di inerzia per la molecola di H2 : I= 4.603 x 10-48 kg m2

------------------------------------------------------------------Suggerimento: ricalcolatevi per esercizio il momento di inerzia di H2!

IllEl 2

)1(2

Procedimento: le energie degli stati rotazionali di H2 si calcolano con il modello del “rotatore rigido”, che equivale al moto di una particella di massa ridotta su una sfera di raggio r. Quindi l’espressione per l’energia è:

I cinque stati a energia più bassa hanno numeri quantici l = 0,1,2,3,4 (per gli stati rotazionali si usa anche il simbolo J ).

Conviene calcolare I2

2

Calcoliamo :

2

22

48

23422

10

)10(

603.42

)055.1(

2 mkg

sJ

I

22

2

48

68

10

10

206.9

113.1

smkg

J

J

J 220101209.0 J2110209.1

sJ 3410055.1Costante di cui abbiamo bisogno

l = 0 00 E

JE 211 10209.12 l =

1JE 21

2 10209.16 l =2

JE 213 10209.112 l = 3

JE 214 10209.120 l = 4

Calcolatelo per esercizio per i primi cinque valori di l.

Quadrato del modulo del momento angolare:

2)1( ll

l = 0 0lm

1,0 ,1 lml = 1l =2

l = 3

l = 4

Valori delle proiezioni del momento angolare su un asse, in unità :

2,1,0 ,1 ,2 lm

3,2,1,0 ,1 ,2 ,3 lm

4,3,2,1,0 ,1 ,2 ,3 ,4 lm

La molecola di ossido di carbonio ha una distanza di legame di 113 pm. Ricavare la frequenza per la transizione tra i due stati rotazionali più bassi per la molecola 12C-16O.

rm1 m2

21

21

mm

mm

JJ EEE '

,...2,1,0JI

JJE j 2)1(

2

I due stati rotazionali a energia più bassa sono quelli con J=0 e J=1

101' EEEEEE JJ 2

222

1 22

rIIE

Esercizio 12