Esercizi sul calcolo differenziale con due variabili

(ricavati dai temi d’esame di Matematica Finanziaria - codice 6008)

1. Si consideri la funzione di due variabili:

f (x1, x2) = −x21 − x22 +1

5x1x2 + 1

(a) Se ne calcoli il gradiente ∇f (x1, x2).

(b) Si individui in quale punto x∗ =∙x∗1x∗2

¸esso è nullo.

2. Si consideri la funzione di due variabili:

f (x1, x2) = −x21 +1

5x1x2 − x2

(a) Se ne calcoli il gradiente ∇f (x1, x2).

(b) Si individui in quale punto x∗ =∙x∗1x∗2

¸esso è nullo.

3. Si consideri la funzione di due variabili:

f (x1, x2) = e−4x21−x22

(a) Se ne calcoli il gradiente ∇f (x1, x2).

(b) Si individui in quale punto x∗ =∙x∗1x∗2

¸esso è nullo.

4. Si consideri la funzione di due variabili:

f (x1, x2) =¡x1 − 2x21

¢e−x1 +

¡x2 − 3x22

¢e−x2

(a) Se ne calcoli il gradiente ∇f (x1, x2).

(b) Si indichino le coordinate x =

⎡⎣ x1

x2

⎤⎦ dei quattro punti stazionari per f .

5. Si consideri la funzione f : R2→ R:

f (x1, x2) = e−(x1−b1)2−(x2−b2)2

con b1, b2 ∈ R.

(a) Si calcoli il gradiente ∇f (x1, x2) di f .

(b) Si individui l’unico punto x∗ =∙x∗1x∗2

¸stazionario per f , e si determini il valore di f in esso.

6. Si consideri la funzione f : R2 → R, definita nel primo quadrante del piano cartesiano (semiassiesclusi) da:

f (x1, x2) = x1x2 (3− lnx1 − lnx2)

(a) Si calcoli il gradiente ∇f (x1, x2).(b) Dopo aver verificato che f ammette infiniti punti stazionari, si individuino le coordinate del

punto stazionario x∗ =∙x∗1x∗2

¸tale che x∗1 = 2.

7. Si consideri la funzione f : R2 → R:

f (x1, x2) =¡x31 − x21

¢ ¡x22 − x2

¢definita sul quadrato aperto (prodotto di intervalli aperti):

Q =

½∙x1x2

¸: 0 < x1 < 1 e 0 < x2 < 1

¾(a) Calcolare il gradiente ∇f (x1, x2).(b) Individuare l’unico punto stazionario x∗ per f in Q.

Soluzioni degli esercizi sul calcolo differenziale con due variabili

(ricavati dai temi d’esame di Matematica Finanziaria - codice 6008)

1. Si ha:

∇f (x1, x2) =∙−2x1 +

1

5x2

1

5x1 − 2x2

¸Il punto x∗ risolve il sistema d’equazioni:⎧⎪⎨⎪⎩

−2x1 +1

5x2 = 0

1

5x1 − 2x2 = 0

ed è:

x∗ =

∙x∗1x∗2

¸=

∙00

¸

2. Si ha:

∇f (x1, x2) =∙−2x1 +

1

5x2

1

5x1 − 1

¸Il punto x∗ risolve il sistema d’equazioni:⎧⎪⎨⎪⎩

−2x1 +1

5x2 = 0

1

5x1 − 1 = 0

ed è:

x∗ =

∙x∗1x∗2

¸=

∙550

¸

3. Si ha:∇f (x1, x2) =

h−8x1e−4x

21−x22 −2x2e−4x

21−x22

iIl punto x∗ risolve il sistema d’equazioni:(

−8x1e−4x21−x22 = 0

−2x2e−4x21−x22 = 0

ed è:

x∗ =

∙x∗1x∗2

¸=

∙00

¸

4. Si ha:∇f (x1, x2) =

£e−x1

£2x21 − 5x1 + 1

¤e−x2

£3x22 − 7x2 + 1

¤ ¤I punti stazionari hanno coordinate:

x1 =

⎡⎢⎢⎢⎣5−√17

4

7−√37

6

⎤⎥⎥⎥⎦ x2 =

⎡⎢⎢⎢⎣5−√17

4

7 +√37

6

⎤⎥⎥⎥⎦

x3 =

⎡⎢⎢⎢⎣5 +√17

4

7−√37

6

⎤⎥⎥⎥⎦ x4 =

⎡⎢⎢⎢⎣5 +√17

4

7 +√37

6

⎤⎥⎥⎥⎦

5. Si ha:∇f (x1, x2) = f (x1, x2)

£−2 (x1 − b1) −2 (x2 − b2)

¤Il gradiente s’annulla in:

x∗ =

∙b1b2

¸e si ha:

f (x∗) = 1

6. Si ha:∇f (x1, x2) =

£x2 (2− lnx1 − lnx2) x1 (2− lnx1 − lnx2)

¤con le condizioni x1 > 0 e x2 > 0.

Annullando il gradiente si trova l’equazione in x∗1, x∗2 che caratterizza gli infiniti punti stazionari:

lnx∗1 + lnx∗2 − 2 = 0

Imponendo x∗1 = 2 si ottienex∗2 = e

2−ln 2 = e2/2

e dunque

x∗ =

∙2e2/2

¸

7. Il gradiente richiesto è:

∇f (x1, x2) =£ ¡3x21 − 2x1

¢ ¡x22 − x2

¢ ¡x31 − x21

¢(2x2 − 1)

¤L’unico punto stazionario x∗ per f nel quadrato aperto Q è:∙

x∗1x∗2

¸=

∙2/31/2

¸