195

Termodinamica

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Unit di apprendimento programmata di termodinamica n.1

Esercizi su

Equazione di stato dei gas

Rappresentazione degli stati e delle trasformazioni di un sistema termodinamico

Lavoro esterno in trasformazioni quasi statiche e non quasi statiche

Quantit di calore

1 Obiettivo.Saper applicare lequazione di stato dei gas per determinare la coordinata mancante delle tre coordinate

termodinamiche di stato P, V, T, note due di esse e il numero di moli, oppure determinare il numero di molinote P, V, T

1.1 Una mole di gas perfetto si trova in uno stato di equilibrio termodinamico caratterizzato da un volume di30 l e da una pressione di 2 atm. Determinare la temperatura del gas.Nella equazione di stato dei gas perfetti PV=nRT si sostituisce a V il valore in litri e a P il valore inatmosfere, a n il numero delle moli, a R, costante universale dei gas, il suo valore in l.atm/(K.mol) che 0,082. Si ha quindi:

Tmolkatmlmolatml

= 082,01230 da cui si ricava la temperatura T=731,7K

Esprimendo T in gradi centigradi si ha t=731,7-273=458,7CSe si fosse voluto usare il valore di R=8,31J/(K mol) si sarebbe dovuto esprimere V e P nel SistemaInternazionale, cio: V=30l=30 10-3m3=3,0 10-2 m3

P=2 atm =2 101325Pa= 202650 Pae sostituendo si sarebbe ottenuto per T lo stesso valore, tenuto conto delle approssimazioni:Si noti che Jatml 1011 1.2 Una mole di gas perfetto si trova in uno stato di equilibrio termodinamico caratterizzato da P=1atm eV=22,4l. Determinare T nel sistema tecnico e nel S.I.1.3 Tre moli di gas biatomico si trovano in uno stato di equilibrio termodinamico caratterizzato dai seguentivalori T=300K e P= 2,00 105Pa. Determinare il volume V1.4 Una mole di gas perfetto si trova in uno stato di equilibrio termodinamico caratterizzato dai seguentivalori P=1,0 103Pa e T=127C. determinare V1.5 Dieci moli di gas perfetto si trovano in uno stato di equilibrio termodinamico caratterizzato dai seguentivalori V=150 l e T =500K. Determinare la pressione sia nel sistema tecnico che nel S.I.1.6 Una certa quantit di gas perfetto costituito da 20 moli si trova in uno stato di equilibrio termodinamico, icui valori delle coordinate termodinamiche sono V=0,5 m3 e T=300K. Determinare P.1.7 Una certa quantit di gas perfetto si trova in uno stato di equilibrio termodinamico, i cui valori dellecoordinate termodinamiche sono V=4 10-2m3,, P=2 105 Pa, T=300K. Determinare il numero di moli di gas.1.8 Una certa quantit di gas perfetto si trova in uno stato di equilibrio termodinamico, i cui valori dellecoordinate termodinamiche sono V=180l,, P=0,5 atm, T=500K. Determinare il numero di moli di gas.1.9 Una mole di gas perfetto si trova in equilibrio termodinamico alla temperatura di 0C e alla pressione di1 atm occupando il volume V di 22,4l. Determinare il valore di R

197

2 obiettivoSaper rappresentare lo stato di equilibrio termodinamico di un sistema termodinamico gassoso in sistemi di

assi cartesiani ortogonali rappresentanti i valori delle coordinate termodinamiche.

2.1 Rappresentare nel piano P-V lo stato di equilibrio termodinamico A(V=20l , P= 3atm).

Tracciati due assi cartesiani ortogonale si fissano su di essi le opportune scale e si determina il punto A le cuicoordinate corrispondono ai valori dati.

E da notare che non viene specificato il numero dellemoli del gas. Tutto il diagramma si riferisce infatti ad una P(atm)certa quantit di gas, cio ad un certo numero di moli(tale numero viene utilizzato per calcolare T).Volendo considerare un altro stato di equilibriotermodinamico B della stessa 3 Aquantit di gas, esso si rappresenta con un altro puntodello stesso diagramma. 2Volendo invece considerare un altro gas con diversonumero di moli, e volendo rappresentare alcuni stati di 1 di questo gas, non si pu utilizzare il diagrammaconsiderato, ma bisogna considerare un altro 10 20 30 V(l)diagramma, analogo a questo.

2.2 Rappresentare in piani P-V gli stati termodinamici degli esercizi dellobiettivo 12.3 Rappresentare in piani P-T gli stati termodinamici degli esercizi dellobiettivo 12.4 Rappresentare in piani T-V gli stati termodinamici degli esercizi dellobiettivo 1

3 ObiettivoSaper rappresentare nel piano P-V alcune trasformazioni quasi statiche

3.1 Sia data la trasformazione PV=cost di una certa quantit di gas, ad esempio una mole, da un volume V1 aun volume V2. Rappresentare tale trasformazione sapendo che P espresso in Pa, V espresso in m3, lacostante vale 400J; V1=10-3m3 e V2= 4 10-3m3.

La trasformazione, essendo data da una relazione analitica tra P e V, quasi statica, cio costituita da unasuccessione di stati di equilibrio termodinamico. Infatti ad ogni valore di V corrisponde un determinatovalore di P. Tale trasformazione rappresentabile nel piano P_V mediante una linea costituita dai punti cherappresentano i vari successivi stati di equilibrio del sistema.Se la trasformazione avviene tra un certo stato ed un altro sar rappresentata da un tratto di lineacongiungente i due stati, iniziale e finale del sistema. Nel nostro caso abbiamo, per gli stati iniziale e finale:

( )( )PaPm

PaPm

PamJ

VJP

PamJ

VJP

51

332

51

331

533

2

22

533

2

11

10;104VB

104;10VA

cuiper 10104104400

10410

104400

==

==

===

===

Per determinare il tratto di curva consideriamo altri punti intermedi

PamJPm c

533

233

c 102102104 ha si 102Vper =

==

PamJPm D

533

233

D 1033,1103104 ha si 103Vper =

==

198

P (105Pa) 5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 V (10-3m3)La rappresentazione della trasformazione quella descritta dal tratto di iperbole equilatera disegnata.3.2 Rappresentare nel piano P-V la trasformazione di equazione PV=8 l atm con P in atmosfere e V in litri diun certo numero di moli di gas che evolve dallo stato di volume V1= 20 l allo stato V2=80l.3.3 Due moli di gas perfetto evolvono dallo stato A (V= 60 10-3m3, P= 3 105Pa) allo stato B (V=30l)mediante una trasformazione del tipo PV=cost. Rappresentare nel piano P-V tale trasformazione.3.4 Una mole di gas perfetto evolve da uno stato A (V= 10 10-3m3, P= 3 105Pa) allo stato B (V=40l)mediante una trasformazione quasi statica a temperatura T costante. Rappresentare nel piano P-V taletrasformazione.3.5Una certa quantit di gas perfetto evolve da uno stato A (V= 50 10-3m3, P= 2 105Pa) allo stato B (P=8105Pa) mediante una trasformazione quasi statica a volume V costante. Rappresentare nel piano P-V taletrasformazione.3.6Una certa quantit di gas perfetto evolve da uno stato A (V= 40 10-3m3, P= 3 105Pa) allo stato B(V=120l) mediante una trasformazione quasi statica a pressione P costante. Rappresentare nel piano P-V taletrasformazione.3.7Una certa quantit di gas perfetto evolve da uno stato A (V= 10 10-3m3, P= 8 105Pa) allo stato B (V=20l)mediante una trasformazione di equazione PV2=cost. Rappresentare nel piano P-V tale trasformazione.3.8Una certa quantit di gas perfetto evolve da uno stato A (V= 10 10-3m3, P= 8 105Pa) allo stato B (V=20l)mediante una trasformazione di equazione PV=cost (con =5/3). Rappresentare nel piano P-V taletrasformazione.3.9Una certa quantit di gas perfetto evolve da uno stato A (V= 10 10-3m3, P= 4 105Pa) allo stato B (V=32l)mediante una trasformazione di equazione 33

33

108103 mPPamV

+= . Rappresentare nel piano P-V tale

trasformazione.3.10Una certa quantit di gas perfetto evolve da uno stato A (V= 10 10-3m3, P= 7 105Pa) allo stato B(V=20l) mediante una trasformazione di equazione PaPaP 12

2Vm 101 32 += . Rappresentare nel piano P-V tale

trasformazione.

4 ObiettivoSaper calcolare il lavoro scambiato con lesterno da un gas che compie una trasformazione quasi statica.

4.1 Una mole di gas perfetto evolve da uno stato A (V= 10 10-3m3, P= 2 105Pa) allo stato B (V=20 10-3m3)mediante una trasformazione quasi statica rappresentata da una equazione del tipo PV=cost. (Isoterma).Determinare il lavoro scambiato con lesterno.

P(105 Pa)

2 A

1 B

10 20 V (10-3m3)

199

Nella figura abbiamo rappresentato lo stato iniziale A e quello finale B e la trasformazione quasi statica AB.Il lavoro, essendo nel nostro caso la trasformazione quasi statica e rappresentabile analiticamente, datodallintegrale:

A

BVV

B

A

B

A VVVdV

VPdVW B

Alncostlncostcost ====

Ricordando che PV=cost=P1V1=20 102J e sostituendo a VA eVB i loro valori si ha:

JJJW 13902ln10201020ln1020 22 ==

Il lavoro ottenuto rappresentato geometricamente dallarea sottesa dal tratto AB ed ha segno positivoperch percorso nel senso dei valori crescenti del volume (Lavoro fatto dal sistema sullesterno).4.2 Determinare il lavoro scambiato con lambiente esterno dal sistema termodinamico descritto

nellesercizio 3.9, supponendo che evolva dallo stato B (V=32l, P=8atm) allo stato A(V=20l, P=4atm).

P(atm)8 B

4 A

10 20 V (l)La trasformazione rappresentata in figura. Larea tratteggiata rappresenta il lavoro, che avr segno negativodato che la trasformazione avviene nel verso dei volumi decrescenti (lavoro subito dal sistema). Per calcolareil valore del lavoro basta calcolare larea del trapezio tratteggiato. Si ha:

( ) ( ) atmVVPPW ABBABA ==

+= 72

21212

2.

Volendo il lavoro espresso in Joule, si ha: WAB=101(-72)J=-7207J.4.3 Determinare il lavoro scambiato con lambiente esterno dai sistemi termodinamici descritti negli esercizi3.1; 3.2; 3.3; 3.4; 3.5; 3.6; 3.7; 3.8; 3.10 che evolvono secondo le trasformazioni ivi descritte.4.4 Un sistema termodinamico costituito da una mole di gas perfetto evolve da uno stato A(V=10 10-3m3,P=2 105Pa) allo stato B(V=20 10-3m3) secondo una trasformazione quasi statica di equazione PV2=cost.successivamente il sistema torna allo stato A mediante una trasformazione rappresentata dal segmento BA.Determinare il lavoro scambiato dal gas con lesterno quando ritornato allo stato A dopo aver compiuto ledue trasformazioni. (CICLO).(Per risolvere il problema basta considerare la trasformazione ciclica ABA come somma di duetrasformazioni AB e BA. Il lavoro sar dato dalla somma algebrica dei due lavori, ciascuno con il segno chegli compete).4.5 Calcolare il lavoro scambiato con lesterno da un sistema termodinamico costituito da una mole di gasperfetto il quale compie le seguenti trasformazioni cicliche:a) da A(V=20 10-3m3, P=2 105Pa) allo stato B(P=1atm) secondo una trasformazione quasi statica di

equazione V=cost. Da B a C (V=40l) mediante una trasformazione quasi statica con P=cost. Da C ad Amediante una trasformazione isoterma quasi statica. (N:B: Per prima cosa si rappresentino letrasformazioni nel piano P-V.

b) da A(V=20 10-3m3, P=2 105Pa) allo stato B(V=40 10-3m3) secondo una isoterma quasi statica. Da B a C(V=60l) mediante una isobara quasi statica. Da C ad A mediante un segmento di retta.

c) da A(V=20 10-3m3, P=3 105Pa) allo stato B(V=20 10-3m3, P=2 105Pa) mediante un segmento di retta . DaB a C mediante una isobara ( P=cost) quasi statica. Da C ad A mediante una isocora (V=cost)quasistatica.

d) da A(V=10l , T=400K) allo stato B(T=300K) mediante una trasformazione quasi statica a volumecostante. Da B a C (V= 40l) mediante una isoterma quasi statica. Da C a D (V=VC; T=TA) mediante unaisocora (V=cost) quasi statica. Da D ad A mediante una trasformazione isoterma quasi statica.

4.6 Una mole di gas perfetto evolve secondo una trasformazione ciclica ABCA cos descritta:

200

da A(V=5l ,P=6atm) allo stato B(P=2atm) mediante una trasformazione quasi statica a volume costante. DaB a C (V= 20l) mediante una isobara quasi statica. Da C ad A mediante una trasformazione non quasi statica.Della quale si conosce il lavoro pari a 40 l atm. Calcolare il lavoro scambiato dal gas con lesterno durantela trasformazione ciclica.4.7 Una mole di gas perfetto evolve secondo una trasformazione quasi statica ciclica ABA con

VA=20 10-3m3 e PA=3,0 105Pa, VB=50 10-3m3 e PB=3,0 105Pa, secondo la ellisse in figura. Calcolare illavoro scambiato dal gas con lambiente esterno nei due casi il cui ciclo venga percorso: in verso orarioe in verso antiorario

P(105Pa)

4,2 A B

1,8

20 50 V(10-3m3)

4.8 Una mole di gas perfetto si trova in un cilindro chiuso da un pistone scorrevole senza attrito, occupandoun volume di 20 10-3m3 con un parete conduttrice a contatto con un termostato a temperatura costanteT=500K. Si supponga di far espandere il gas fino a un volume di 50l eseguendo questa trasformazionelentissimamente. Calcolare il lavoro scambiato dal gas con lesterno.

T=500K

4.9 Calcolare il lavoro scambiato con lesterno dal sistema gassoso dellesercizio 4.8, supponendo che il gasvenga ora compresso lentissimamente fino a un volume di 10l.

4.10 Una mole di gas perfetto si trova in un cilindro chiuso da un pistone scorrevole senza attrito,occupando un volume di 20 10-3m3 e la pressione la pressione atmosferica sia a destra che a sinistra delpistone scorrevole (PA=101325 Pa). Supposto che la superficie del pistone sia di 1,0dm2 e che il gas nelcilindro venga riscaldato lentamente fino ad occupare il volume di 30 10-3m3. Calcolare il lavoro scambiatodal gas con lesterno.

PA

4.11 Come nellesercizio 4.10 supponendo che il gas venga raffreddato attraverso la parete conduttrice fino aun volume di 10 l.4.12 Due moli di gas perfetto monoatomico sono contenute in un cilindro chiuso da un pistone senza massa esenza attriti, occupando un volume di 50l alla pressione di 1,1 105Pa ottenuta dalla pressione atmosfericaesterna e da un mucchio di sabbia. Si supponga di aumentare il mucchietto di sabbia fino a ridurre il volumea 40 10-3m3.Si supponga che le pareti del cilindro e del pistone siano isolanti e che la trasformazione avvenga lentamente(cio che la trasformazione sia adiabatica quasi statica). Calcolare il lavoro scambiato dal sistema conlesterno.

201

4.13 come il 4.12, supponendo di togliere la sabbia granello per granello fino ad arrivare alla pressione diuna atmosfera.

4.14 In un cilindro adiatermano chiuso diviso a met da un pistone adiatermano scorrevole senza attriti e conmassa trascurabile n attriti sono contenute due moli di gas perfetto monoatomico una a destra e laltra asinistra e alla temperatura di 0C , occupando volumi uguali di 20l ciascuna, a pressioni ovviamente uguali.Si supponga di riscaldare la mole contenuta nella parte a sinistra fino a un volume di 30l comprimendo cosquella di destra fino a farle occupare un volume di 10l. (Lentamente) Calcolare il lavoro scambiato dallamole di destra con quella di sinistra. Quanto vale invece il lavoro scambiato dalla mole di sinistra con quelladi destra?

5 ObiettivoSaper calcolare il lavoro scambiato con lesterno da un sistema termodinamico gassoso che compia una

trasformazione non quasi statica.

5.1Una mole di gas perfetto si trova in un cilindro chiuso da un pistone scorrevole senza attrito e di massatrascurabile come in figura. Il volume V di 10 litri e la pressione P di 3 atmosfere. Esternamente al pistoneagisce la pressione a atmosferica (Pa=1 atm). Supponendo che la sezione del cilindro chiuso dal pistone siadi 2dm2 e che il pistone venga lasciato scorrere liberamente fino al volume del cilindro di 20 litri (togliendodi colpo i pioli di fermo A e B) limitato dai pioli Ce D. Calcolare il lavoro scambiato dal sistema conl'ambiente esterno durante questa trasformazione.

C D

A B

SF SI

Ilpistone sollecitato da una pressione interna del gas, tre volte maggiore di quella esterna:.Levando i pioli A e B il pistone scatter di colpo fino a fermarsi contro i pioli C e D. Chiaramente non sitratta di una trasformazione quasi statica . Gli stati intermedi del gas tra quello. iniziale e quello finale nonsono stati. di equilibrio perci il lavoro scambiato con lesterno non si pu calcolare come

202

=F

I

PdVW

Infatti P non data e non si pu nemmeno dire che a un certo istante sia uguale in tutti i punti del gas. Percalcolare il lavoro scambiato bisogna allora guardare allesterno del gas e cercare di valutare le forze cheagiscono sul gas attraverso il pistone.Nel nostro caso si ha una forza costante dovuta allazione della pressione atmosferica sulla superficie esternadel pistone. Tale forza :

APF ee = con A area della sezione del cilindro chiusa dal pistone.Il lavoro fatto dalla forza esterna dallo stato iniziale allo stato finale F :

( ) ( ) ( )IFeIFeIFeF

Ie

F

Ie VVPASSPSSFdsFsdFW ===== '

Il segno negativo dovuto al fatto che lo spostamento contrario alla forza. Il lavoro scambiato dal sistemacon lesterno :

( )IFeIF VVPWW == 'con il segno positivo in accordo con il fatto che la trasformazione avviene nel verso dei volumi crescenti. Nelnostro caso particolare vale:

JJatmlatmlWIF 10101011010)1020(1 ====5.2 Consideriamo il gas contenuto nel cilindro dellesercizio precedente 5.1. Supponiamo che sul pistonescorrevole sia appoggiato un peso di 10kgF. Quanto vale il lavoro scambiato con lambiente esterno dal gasnellespansione dal volume di 10l al volume di 20l come nel precedente esercizio?5.3 Supponiamo che il gas dellesercizio 5.1 si trovi nello stato finale con il pistone mobile nella posizionedelimitata dai pioli C e D e supponiamo di appoggiare di colpo sul pistone un peso del valore di 400kgF, chelo faccia scendere fino alla posizione AB. Quanto vale il lavoro scambiato con lesterno dal sistema durantequesta trasformazione?

5.4 Due moli di gas perfetto si trovano in un cilindro chiuso da un pistone scorrevole, senza attriti e conmassa trascurabile come in figura. Il volume occupato di 30l, la pressione di 2 atm, mentre a destra delpistone c il vuoto. Viene applicata al pistone la forza F1= 2500N e il pistone viene lasciato libero dimuoversi fino ai pioli C, D spostandosi di 0,5 m. Calcolare il lavoro scambiato dal sistema con lesterno.

A C

F1

B D

5.5 Supponiamo che il gas venga fatto tornare alla posizione di partenza applicando una forza F2=5000N. Sidetermini il lavoro scambiato dal sistema gassoso con l'esterno durante questa trasformazione. Quanto valeti lavoro totale scambiato dal gas con lambiente esterno durante le due trasformazioni degli esercizi 5.4 e5.5?5.6 Una mole di gas perfetto si trova in un cilindro chiuso da un pistone scorrevole senza attriti e con massatrascurabile come in figura Il volume occupato di 10 litri e la pressione di 2 atm. Al pistone poi attaccatauna molla di costante elastica k=1000N/m. Sganciando i pioli A, B il pistone si ferma contro i pioli C,DCalcolare il lavoro scambiato dal gas con lesterno supponendo che la corsa fatta dal pistone sia un metro.(A-B posizione di riposo molla)

A C

F1

B D

203

6 ObiettivoSaper calcolare la quantit di calore scambiata da un sistema termodinamico noti i calori specifici.

6.1 Una mole di gas perfetto monoatomico si trova in uno stato caratterizzato da un volume V=20 l e da unatemperatura T=300K.Successivamente viene riscaldato fino alla temperatura di 400K tenendo costante il volume.Si calcoli la quantit di calore scambiata dal sistema con l'esterno sapendo che il calore specifico molare delgas a volume costante 3/2 R.Si ha una trasformazione a volume costante. Per la quantit di calore Q si ha:Q= n.CS.(TF -T1)con C5 calore specifico durante la trasformazione ed n numero di moli. Nel nostro caso CS = CV (calorespecifico a volume costante) = 3/2R. Sicch:.

Q= 1OO.Cs= 3/2 R 1OO =150 R =150.8.31=1247,1J

6.2 Due moli di gas perfetto monoatomico si trovano a temperatura T=4OO K e alla pressione di 2 atrn.Supposto che la pressione rimanga costante e che la temperatura passi da 400K a 45OK calcolare la quantitdi calore Q scambiata con l'esterno (Il calore specifico molare a pressione costante per i gas monoatomici CP = 5/2 R).6.3 Una mole di gas perfetto biatomico si trova in uno stato caratterizzato da una pressione P=2 atm eT= 300K. Calcolare la quantit di calore scambiata con l'esterno supponendo che il gas compia unatrasformazione a volume costante fino alla temperatura di 6000K.(N.B. Il calore specifico molare a volume costante del gas biatomico Cv=5/2 R>6.4 La mole di gas perfetto biatomico dell'es. 5.3 viene portata alla T=600K, mediante una trasformazione apressione costante. Calcolare la quantit Q di calore scambiata dal sistema con l'esterno. (CP=7/2R)6.5 Come lesercizio 6.3 supponendo che T passi da 300K a 200K6.6 Calcolare la quantit di calore scambiata con lesterno dal gas degli esercizi 4.11 e 4.14 supponendo i gasmonoatomici

204

Unit di apprendimento programmata di termodinamica n.2

Esercizi su

Energia interna dei gas

Applicazioni del Primo Principio della Termodinamica

7 ObiettivoSaper calcolare la differenza di energia interna tra due stati A e B di un sistema termodinamico, noti il

lavoro W e la quantit di calore Q.

7.1 Un sistema termodinamico evolve secondo una trasformazione A,B compiendo un lavoro W=200J eassorbendo una quantit di calore Q=20cal. Calcolare la variazione di energia interna UA-UB.Dal primo principio abbiamo, qualunque sia la trasformazione:

WQU =Sostituiamo a W e a Q i loro valori, trasformando tutte le unit in J oppure calorie (ricordando che 1cal=4,185J). Otteniamo:

calcalUUU AB 79,27185,420020 =

==

( ) JJUUU AB 3,1162007,83200185,420 ====La variazione di energia interna negativa, il che significa che il sistema, passando da A a B, subisce unadiminuzione di energia interna.7.2 Un sistema termodinamico evolve secondo una trasformazione A,B compiendo un lavoro W=500J eassorbendo una quantit di calore Q=600J. Calcolare la variazione di energia interna UB-UA.7.3 Un sistema termodinamico passa da uno stato A ad uno stato B scambiando con lesterno un lavoroW=-200J e una quantit di calore Q=300J. Calcolare la variazione di energia interna UB-UA.7.4 Un sistema termodinamico passa da uno stato A ad uno stato B scambiando con lesterno un lavoro W=-100J e una quantit di calore Q=-200J. Calcolare la variazione di energia interna UB-UA.7.5 Una mole di gas perfetto monoatomico evolve dallo stato A(VA =10 10-3m3 , PA =1 105Pa) allo statoB(VB =20 10-3m3 , PB =1 105Pa) secondo una trasformazione quasi statica reversibile a pressione costante (adesempio riscaldando lentamente il gas in un cilindro racchiuso da un pistone scorrevole, senza attrito e dimassa trascurabile, quando allesterno c la pressione atmosferica). Considerando che il calore specificomolare a pressione costante del gas cP=5/2 R, calcolare la variazione di energia interna UB-UA.(N.B. Per prima cosa rappresentare gli stati A e B e la trasformazione nel piano P-V)

PAtm

7.6 Una mole di gas perfetto biatomico evolve dallo stato A(VA =20 10-3m3 , PA =2 105Pa) allo stato B(VB=20 10-3m3 , PB =1 105Pa) secondo una trasformazione quasi statica reversibile a volume costante (adesempio riscaldando lentamente il gas contenuto in un recipiente chiuso). Considerando che il calorespecifico molare a volume costante CV=3/2 R, calcolare la variazione di energia interna UB-UA.

205

7.7 Calcolare la variazione di energia interna per i sistemi degli esercizi 5.1, 5.2, 5.3, 5.6, supponendo che lepareti del cilindro e del pistone non conducano calore.

8 ObiettivoSaper calcolare il lavoro W o la quantit di calore Q scambiati da un sistema termodinamico durante una

trasformazione da uno stato A ad uno stato B nota una delle due grandezze e la variazione di energia internaU tra i due stati A e B

8.1 Un sistema termodinamico evolve tra gli stati A e B mediante una trasformazione durante la qualecompie un lavoro di 2000J. La variazione di energia interna tra i due stati U=UB-UA= 3000J. Calcolare laquantit di calore scambiata Q durante la trasformazione.

Dal primo principio abbiamo WQU = , qualunque sia il tipo di trasformazione, da cui sostituendo i valoridati, 3000J=Q-2000J Q=5000J.Volendo Q espresso in piccole calorie si ricordi che 4,185J=1cal, da cui: Q=5000/4,185J=1194,74cal8.2 Un sistema termodinamico evolve tra gli stati A e B mediante una trasformazione durante la qualecompie un lavoro di -2000J. La variazione di energia interna tra i due stati U=UB-UA= 3000J. Calcolarela quantit di calore Q scambiata durante la trasformazione.8.3 Un sistema termodinamico evolve tra gli stati A e B mediante una trasformazione durante la qualescambia con lesterno una quantit di calore Q=1000J. Se UB-UA=500J, calcolare il lavoro W.8.4 Un sistema termodinamico evolve tra gli stati A e B mediante una trasformazione durante la qualeassorbe una quantit di calore Q=100cal. Se UB-UA=200J, calcolare il lavoro W scambiato.8.5 Un sistema termodinamico evolve tra gli stati A e B mediante una trasformazione durante la qualescambia con lesterno una quantit di calore Q=2000J e un lavoro W=1000J. Durante unaltra trasformazioneda A a B Q=1500J. Quanto vale Wi questa seconda trasformazione?8.6 Un sistema termodinamico evolve tra gli stati A e B mediante una trasformazione durante la qualescambia con lesterno una quantit di calore Q=100cal ed W=-500J. Quanto vale Q in unaltratrasformazione A, B nella quale W=-1000J?8.7 Un sistema termodinamico evolve tra gli stati A e B mediante una trasformazione ciclica che lo riportaallo stato A. Sapendo che il lavoro scambiato dal sistema durante la trasformazione di 180J, quanto vale laquantit di calore scambiata durante la trasformazione?

9 ObiettivoSaper calcolare la variazione di energia interna di un gas perfetto tra due stati A e B

9.1 Un gas perfetto monoatomico costituito da due moli si trova prima in uno stato A(VA=20l, PA=1 atm) epoi in uno stato B(VB=30l, PB=2 atm). Calcolare la variazione di energia interna UB-UAIn un gas perfetto lenergia interna dipende solo dalla temperatura e si ha:

)( ABVAB TTCnUU = ove CV il calore molare a volume costante ed n il numero di moli. Nelnostro caso n=2mol e CV=3/2 R essendo il gas monoatomico. Per le temperature TA e TB abbiamo:

K

Kmolatmlmol

atmlnRVPT AAA 122082,02

20 =

==

K

Kmolatmlmol

atmlnRVPT BBB 366082,02

60 =

==

Sia avr: ( ) ( ) JlatmatmlVPVPnRVP

nRVP

RnUU AABBAABB

AB 606060206023

23

23 ====

=

9.2 Una mole di gas perfetto biatomico si trova in uno stato A(V=50l, P=0,5atm) e poi in uno statoB(V= 20l, P=5atm). Calcolare la variazione di energia interna UB-UA.

206

9.3 Una mole di gas perfetto monoatomico si trova in uno stato A(V=20l, T=300K) e poi in uno statoB(V= 20l, T=400K). Calcolare la variazione di energia interna UB-UA.9.4 Due moli di gas perfetto monoatomico si trovano in uno stato A(V=50l, T=300K) e quindi in uno statoB(V= 80l, T=300K). Calcolare la variazione di energia interna UB-UA.

10 ObiettivoSaper calcolare la quantit di calore Q scambiata da un sistema termodinamico gassoso con lesterno

durante una certa trasformazione conoscendo la trasformazione e gli stati iniziale e finale.

10.1 Una mole di gas perfetto biatomico evolve dallo stato A(VA=30 10-3m3, TA=300K) allo statoB(TB=400K) secondo una trasformazione PV2=cost. Calcolare la quantit di calore Q scambiata dal gas conlesterno durante la trasformazione considerata.Dal primo principio si ha: WUUUWQ AB +=+=Per UB-UA possiamo scrivere:

.5,20705,20

082,0250)300400(251)(

Jatml

atmlKRmolTTCnUU ABVAB

==

====

Per il lavoro W si ha, dato che la trasformazione, essendo data analiticamente, quasi statica,

===

AB

B

A

B

A VVitdV

VtPdVW 1coscos2

Per determinare il valore della costante si determina il valore di PA VA 2, considerando che

82,030

300082,01 atmatmVnRT

PA

AA =

==

sostituendo il valore ottenuto si ha:222

A 73890082,0Pcost latmlatmVA ===Per determinare il valore VB consideriamo che :

====

latmlatmnRTVPlatmVP

BBB

BB

8,32400082,0738 22

Dividendo membro a membro si ha llVB 5,228,32738 ==

Il lavoro W sar:

atmlatmlVV

latmWAB

=

=

= 2,8

301

5,22173811738 2

La quantit di calore Q sar:Q=20,5l atm-8,2l atm=12,3 l atm.Il segno positivo, da cui si deduce che la quantit di calore assorbita dal sistema.10.2 Una mole di gas perfetto monoatomico (CV=3/2 R) si trova in uno stato A (V= 20 10-3m3; P=2 105Pa) edevolve secondo una trasformazione isoterma fino allo stato B (V=40 10-3m3).Calcolare la quantit di calore Q scambiata dal gas con lesterno durante la trasformazione.10.3 Due moli di gas perfetto biatomico (CV=3/2 R) si trovano in uno stato A (V= 60 10-3m3; P=1 105Pa) edevolvono secondo una trasformazione adiabatica fino allo stato B (V=20 10-3m3).Calcolare la quantit di calore Q scambiata dal gas con lesterno durante la trasformazione.10.4 Tre moli di gas perfetto monoatomico evolvono dallo stato A (V= 20 10-3m3; P=3 105Pa) allo stato B(V=40 10-3m3; P=2 105Pa) secondo la trasformazione rappresentata dal segmento di retta che nel piano P-Vcongiunge i due punti rappresentanti gli stati A e B.Calcolare la quantit di calore Q scambiata dal gas con lesterno durante la trasformazione.10.5 Calcolare la quantit di calore Q scambiata con lesterno dal sistema termodinamico dellesercizio 4,5,specificandole per ogni trasformazione e per tutto il ciclo.10.6 Un sistema termodinamico, costituito da una mole di gas perfetto monoatomico, si trova in un cilindrochiuso da un pistone scorrevole, senza massa n attriti, occupando un volume di 10 l, alla temperatura T0 di500K

207

Supposto di levare i piolini A e B e che il pistone, di superficie 2 dm2 si sposti velocemente fermandosicontro i piolini C e D, occupando ora un volume di 20 l, calcolare la quantit di calore Q scambiata conlesterno (termostato a temperatura costante T0) nei seguenti casi:a) sopra il pistone appoggiato un peso di 100kg;b) sopra il pistone c la pressione atmosferica;c) sopra il pistone c la pressione atmosferica e il peso.Se il gas fosse biatomico si avrebbe lo stesso risultato?

Unit di apprendimento programmata di termodinamica n.3

Esercizi su Macchine termiche

11 ObiettivoSaper calcolare il rendimento di una macchina termica reversibile note le trasformazioni costituenti il suo

ciclo.

11.1 Un sistema termodinamico costituito da una mole di gas perfetto monoatomico funziona da macchinatermica compiendo il ciclo ABCDA cos definito:a) da A (V=10 10-3m3, P=2 105Pa) a B (P=5 105Pa) mediante una isocora reversibile;b) da B a C (V=40 10-3m3 ) mediante una trasformazione isobara reversibile;c) da C a D(PD=PA) mediante una trasformazione isocora;d) da D ad A mediante una isobara reversibile.Calcolare il rendimento del ciclo.

P(105Pa)

B C 5

2 A D

10 40 V(10-3m3)

Il rendimento definito come il rapporto tra il lavoro compiuto dal sistema durante il ciclo e la quantit dicalore assorbita dal sistema, cio:

H

C

H QQ

QW == H

Q scrivere anche pu si che

tenendo presente che il lavoro durante il ciclo pari alla differenza tra la quantit di calore entrata QH equella uscita QC.Valutiamo ora queste quantit esaminando le singole trasformazioni..Trasformazione AB.

( ) JmolR

JmolR

JRmolTTRmolTCnWUQ ABV 450012000

15000

231

2310 =

==+=+=

Trasformazione BC.

( ) ( )

JJmolR

JmolR

JRmol

VVPTTRmolWUQ BCBC

375001500015000

120000

231

231

=+

=+=+=

Trasformazione CD.

208

( ) JmolR

JmolR

JRmolTTRmolTCnWUQ CDV 18000120000

18000

231

2310 =

==+=+=

Trasformazione DA.

( ) ( )

JJJmolR

JmolR

JRmol

VVPTTRmolWUQ DADA

1500060009000600018000

12000

231

231

==

=+=+=

Per lintero ciclo abbiamo: W=900J e per la differenza QH-QC, tenendo presente che QH e QC rappresentanoin valore assoluto le quantit di calore assorbite ( quelle positive) e quelle cedute (quelle negative) siha: JJJJJQQ CH 9000'3300420001500018000375004500 ==+=Si noti che tale valore coincide con quello del lavoro W. Per il rendimento avremo quindi:

%2121,0420009000 ===

11.2 Un sistema termodinamico costituito da una mole di gas perfetto monoatomico funziona da macchinatermica reversibile compiendo il ciclo ABCA cos definito:a) da A (V=30 10-3m3, P=1 105Pa) a B (P=3 105Pa) mediante una isoterma reversibile;b) da B a C mediante la trasformazione reversibile P2V=cost;c) da C a A mediante una trasformazione adiabatica reversibile;Calcolare le coordinate termodinamiche degli stati B e C e il rendimento del ciclo.

P(105Pa) 3 B

2,2 C

1 A

10 18,7 30 V(10-3m3)Per trovare le coordinate del punto B si osserva che trovandosi B ed A sulla stessa isoterma, deve essere:

PAVA=PBVB da cui si ha 335533

1010103

101030 mPa

PamPVPVB

AAB

=

==

Il punto C, invece, si trova sulla trasformazione di equazione P2V=cost e sulla adiabatica di equazionePV=cost. Possiamo perci scrivere:

PaVVP

mVPVP

VPVP

VPVPVPVP

VPVPVPVP

C

BB

BB

AA

BB

AA

CCAA

CCBB

CCAA

CCBB

52

C33-12

2

22

C

2

221-2

C2222

2222

102,2P 1018,7V

V

====

===

==

V (10-3m3) P (105Pa) T (K)A 30 1 366B 10 3 366C 18,7 2,2 502

Trasformazione isoterma AB:

JVVnRT

VdVnRTPdVWQ

A

BB

A

B

AAB 3340ln0 ===+=

Trasformazione BC:Bisogna tenere conto che P2V=cost equivalente a PV1/2=cost.

209

( ) JTTR

RTRTTTRVPVPTTR

VVTTRVTTR

V

dVTTRPdVWTTRQ

BC

BCBCBBcCBC

BCBC

C

BBC

C

B

C

BBCBCAB

396027

22)(2322)(

23

22cost)(232cost)(

23

cost)(23)(

23

21

21

21

21

=

=+=+

=

+=+

=+==+=

Trasformazione CA:trattandosi di una trasformazione adiabatica QCA=0.

Per quanto riguarda il rendimento del ciclo si ha : %1616,0396033403960 ===

11.3 Un sistema termodinamico costituito da una mole di gas perfetto monoatomico funziona da macchinatermica reversibile compiendo il ciclo ABCDA cos definito:a) da A (V=50 10-3m3, P=1 105Pa) a B (P=0,8 105Pa) mediante una isoterma reversibile;b) da B a C (V=25 10-3m3) mediante la trasformazione isobara reversibile;c) da C a D mediante una trasformazione isoterma reversibile;d) da D ad A mediante una isobara reversibile.Calcolare le coordinate termodinamiche degli stati B e C e il rendimento del ciclo.11.4 Calcolare il rendimento di una mole di gas perfetto monoatomico che funziona come macchina termicaseguendo ognuno dei cicli descritti nellesercizio 4.5.

12 ObiettivoSaper calcolare il rendimento di una macchina termica irreversibile note alcune trasformazioni e alcune

quantit di calore e/o alcuni lavori scambiati durante le varie trasformazioni.

12.1 Una mole di gas perfetto monoatomico funziona da macchina termica seguendo un ciclo formato dalletrasformazioni irreversibili AB, BC, CA:a) dallo stato A (V=30 10-3m3, P=1,01 105Pa) allo stato B (V=10 10-3m3, P=3,03 105Pa) scambiando con

lesterno un lavoro pari a 7070J;b) dallo stato B allo stato C (V=18,7 10-3m3, P=2,22 105Pa) scambiando con lesterno una quantit di

calore pari a 5050Jc) Dallo stato C allo stato A scambiando con lesterno un lavoro di +5050J.Calcolare il rendimento della macchina termica.

E necessario esaminare separatamente ogni trasformazione.Trasformazione AB.Q=U+W=0+(-7070J)=-7070J

Essendo negativa ceduta dal sistema e U uguale a zero in quanto A e B sono alla stessa temperatura,come possibile verificare dal fatto che PAVA=PBPB.Trasformazione BC.Q=5050J che essendo positiva assorbita dal sistema.Trasformazione CA.

JJJJmolR

JmolR

JRmolWUQ 337050501680505014151

13030

231 =+=+

=+=

Si ha perci:

%1616,033705050707033705050 ==

++=

=

H

CH

QQQ

12.2 Una mole di gas perfetto biatomico funziona da macchina termica seguendo un ciclo formato dalletrasformazioni AB, BC, CA:

210

a) dallo stato A (V=10 10-3m3, P=2,02 105Pa) allo stato B (V=40 10-3m3, P=0,50 105Pa) secondo unaisoterma reversibile;

b) dallo stato B allo stato C (V=20 10-3m3) secondo una trasformazione isobara reversibile;c) Dallo stato C allo stato A mediante una trasformazione irreversibile scambiando con lesterno un lavoro

di -1060J.Calcolare il rendimento del ciclo.12.3 Due moli di gas perfetto biatomico compiono il ciclo ABA:a) dallo stato A (V=50 10-3m3, P=1,01 105Pa) allo stato B (V=100 10-3m3) secondo una isobara reversibile;b) Dallo stato B allo stato A mediante una trasformazione irreversibile scambiando con lesterno un lavoro

di -4040J.Calcolare il rendimento del ciclo.

12.4 Una mole di gas perfetto monoatomico contenuta in un cilindro chiuso da un pistone di massa 10kg,come in figura. (Macchina di Benussi)Il cilindro ha la parete di base conduttrice di calore e si trova a contatto con un termostato alla temperatura di300K. Sul cilindro cade dal caricatore una palla di massa 5kg e conseguentemente il pistone di sezione0,25dm2 si abbassa. A questo punto la parete conduttrice viene a contatto con una sorgente di calore atemperatura di 600K e il pistone porta la palla ad una certa altezza B che rappresenta il nuovo stato diequilibrio del sistema.A questa altezza la palla rotola fuori dal cilindro, per cui il pistone sale ulteriormente, raggiungendo lamassima quota. Si sostituisce nuovamente il termostato con quello a 300K finch il pistone non si ritrovernella posizione di caricamento. Calcolare il rendimento del ciclo.

TERMOSTATO

13 ObiettivoSaper calcolare lefficienza di una macchina termica reversibile o irreversibile funzionante come frigorifero

e come pompa di calore

13.1 Considerare il ciclo dellesercizio 11.1 percorso in senso inverso. Calcolare lefficienza dellamacchina frigorifera funzionante con tale ciclo inverso.

Lefficienza di una macchina frigorifera definita come:21

22

QQQ

WQ

== dove Q2 la quantit di calore

assorbita dal sistema che opera nel senso inverso. W il lavoro fatto dallesterno sul sistema. Q2 la quantitdi calore che nellesercizio 11.1 corrisponde a QC e vale 33000J. W uguale al lavoro calcolatonellesercizio 11.1 e vale 9000J pertanto lefficienza sar:

67,3900033000 == .

Se vogliamo calcolare l'efficienza della macchina pensando di utilizzarla come pompa di calore allora la

efficienza definita come: 21

11

QQQ

WQ

== ove Q1 rappresenta il calore ceduto ( pompato) dal sistema che

opera in senso inverso13.2 Calcolare lefficienza come frigoriferi e come pompa di calore degli esercizi dell'obiettivo 11,considerandoli sistemi funzionanti in senso inverso come frigoriferi e come pompe di calore.

211

14 ObiettivoSaper risolvere semplici problemi riguardanti il ciclo di Carnot.

14.1 Un motore funziona tra due sorgenti di calore alla temperatura di 400K e 300K.a) Se in ogni ciclo il motore riceve 1200 cal dalla sorgente a 400K quante calorie cede alla sorgente a

300K?b) Se il motore funziona a ciclo inverso, come frigorifero, sottrae 1200cal dalla sorgente a 300K. Quante

calorie cede alla sorgente a 400K?

Sapendo che in un ciclo di Carnot il rendimento vale:

2

12

2

12

QQQ

TTT

=

= per cui sostituendo si ha:

calQ

calQcalcalQcal

C

C

900

3001200 segue cui da 1200

1200400

300400 1

=

=

==

Per quanto riguarda la seconda domanda bisogna guardare alla efficienza definita come

calcalQ

calTT

TQQ

QWQ

1600Q cui da 1200

1200300-400

300 sicch 1121

2

21

22 =

==

=

==

W

Q1=Q2+W Q2

Si ottiene lo stesso risultato ricordando che per un ciclo di Carnot in valore assoluto: 2

2

1

1

TQ

TQ =

14.2 Un motore di Carnot il cui rendimento del 30%, cede calore ad un serbatoio alla temperatura costantedi 0C.Si desidera aumentare il rendimento al 40%. Di quanti gradi deve essere aumentata la temperatura dellasorgente di calore?

Sapendo che in un ciclo di Carnot il rendimento vale:

=

=2

12

TTT

e che T1=273K, si hanno le relazioni:

TTKTT

TKT

++== 2734,0 e 2733,0 Da cui

KTKT

KTTTT

656,0

6,02732734,04,0 e390K T cio273K -T0,3T

==

+=+==

14.3 Determinare le temperature necessarie per ottenere un rendimento del 30% e del 70% da una macchinadi Carnot funzionante in senso diretto con il termostato inferiore a 300K. Se la macchina cede 100 cal a300K, quante calorie assorbe a tali temperature? Calcolare inoltre la efficienza dei cicli inversi se lamacchina funzionasse da frigorifero tra tali temperature.

14.4 Determinare le due temperature T1 e T2 di una macchina di Carnot funzionante in senso diretto con unrendimento del 60% supposto che se si aumentino entrambe le temperature di 100K, il rendimento siadiventato del 30%. Volendo ottenere con queste temperature un lavoro di un kW, quante calorie bisogna farassorbire al sistema? Quante calorie vengono cedute al termostato a temperatura inferiore?

T1 T2

212

15 ObiettivoSaper applicare il teorema di Carnot sui rendimenti delle macchine termiche a semplici problemi.

15.1 E possibile realizzare una macchina termica funzionante tra due termostati a temperaturarispettivamente di 500K e 300K, che abbia un rendimento del 70%?E possibile realizzarla con un rendimento del 30%?

Il rendimento di una macchina termica non pu essere superiore a quello di una macchina di Carnotfunzionante tra le temperature massima e minima dei termostati con i quali avviene lo scambio di calore.Pertanto calcoliamo il rendimento della macchina di Carnot funzionante tra le temperature date: %40

5003001

2

12 ==

=TTT

Questo il massimo rendimento possibile. perci impossibile realizzare una macchina termica con unrendimento del 70%. E possibile invece realizzare una macchina termica con un rendimento del 30%

15.2 Si vuol realizzare una macchina termica che prelevi 1000cal da un serbatoio di calore a temperatura500K e ceda 500cal ad un altro serbatoio. Si dica quale deve essere la temperatura massima di questoserbatoio affinch la macchina sia realizzabile e per quale valore tale macchina reversibile.15.3 Una macchina termica ha il rendimento del 30% e assorbe una quantit di calore pari a 1000cal.Sapendo che il calore viene ceduto ad un serbatoio a 350K calcolare la temperatura minima del termostato atemperatura maggiore affinch la macchina sia realizzabile e per quale valore tale macchina reversibile.15.4 E possibile che una macchina termica funzionante in senso diretto tra due serbatoi a 300K e a 500Kassorba 1550cal dal termostato a temperatura superiore e ceda 1000cal al termostato a temperatura inferiore?15.5 E possibile che una macchina termica reale funzionante tra le stesse temperature dellesercizio 15.4scambi una quantit di calore di 300J con il termostato a temperatura superiore e 180 J con quello atemperatura inferiore?

213

Unit di apprendimento programmata di termodinamica n.4

Esercizi su

Temperature di equilibrio di due sistemi termodinamici in contatto termico

Variazione di entropia di sistemi termodinamici e dellUniverso

16 ObiettivoSaper calcolare la temperatura di equilibrio tra due sistemi termodinamici messi in contatto termico.

16.1 Un recipiente a pareti adiatermane diviso da un setto pure adiatermano che lo divide in due partiuguali A e B. In A contenuta una mole di gas perfetto monoatomico alla temperatura di 300K e allapressione di 3,03 105Pa,. in B una mole di gas perfetto biatomico alla temperatura di 400K. Aperto ilrubinetto di comunicazione tra i due serbatoi A e B si attendono le condizioni di equilibrio. Calcolaretemperatura e la pressione di equilibrio.

Considero come sistema linsieme dei serbatoi A e B. Poich durante la trasformazione non si hanno ninterazioni meccaniche n scambi di calore con lesterno, per il primo principio della termodinamica essendoQ=0, WEST=0 si ha U=0.(Si noti che il primo principio della termodinamica pu essere scritto ed valido indipendentemente dal tipodi trasformazione eseguita dal gas, purch siano noti lo stato iniziale e lo stato finale del sistema).

Essendo poi U=UA+UB dei due gas, possiamo scrivere:

( ) ( ) 040025300

23 =+ KTRKTR FF

e con semplici passaggi si ottiene per la temperatura finale TF=362,5K.Dalla equazione di stato si ha per i serbatoi prima dellesperimento:

400KR1molVP Bper e300K R1molVPA Per 0B0A ==Dopo lesperimento essendo VF=2V0 e il numero di moli uguale a due:

00F 2

2 cui da R2mol2VP V

molRTPT FFF ==

Conoscendo poi il valore di P1=3,03 105Pa, dalla prima si ottiene:

PaTKPa

KPa

VmolR

F5

5

F

5

0

1066,3300

1003,3P cui da 300

1003,31 === .

Si noti che la pressione nel serbatoio B inizialmente era di 4,04 105Pa.

BA

214

16.2 Un calorimetro contiene 2l di acqua e 0,1kg di ghiaccio alla temperatura di equilibrio di 0C. Siintroduce un blocco di metallo di massa m alla temperatura di 80 C e si osserva che met del ghiacciofonde. Quale temperatura raggiungerebbe il sistema se il blocco di metallo avesse massa quadrupla? Sitrascurino le perdite di calore del calorimetro verso lesterno e cos pure la capacit termica del calorimetro.Infine, sapendo che il calore specifico 0,2 cal/(gC) calcolare la massa del blocco.

(Detto CS il calore specifico del blocco di metallo, la quantit di calore ceduta da questo al calorimetrorisulta: CmctmcQ SSC == 80 )

Il calore assorbito dal calorimetro, sapendo che il calore di fusione del ghiaccio = 332kJ/kg risulta:

JggJmQH 1660050332 ===

Da cui la capacit termica del blocco di metallo risulta:

CJ

CJC

=

= 5,2078016600

Se il blocco ha massa quadrupla si pu senzaltro dire che il ghiaccio si scioglie tutto (basterebbe perscioglierlo che fosse doppia), richiedendo 33200J.Una volta sciolto il ghiaccio, la temperatura di equilibrio si ottiene considerando che nel calorimetro ci sono2100g di acqua a zero gradi.La quantit di calore ceduta dal metallo sar:

( ) ( ) ( )CTKJTTCTTmc FIFIFs == 8083044

La quantit di calore assorbita dal calorimetro sar:)0(879133200)'(210033200

2CTJTTgcJ FIFOsH +=+

Sommando le due quantit ed eguagliando a zero, visto che il sistema isolato, si ha:

gm

CmCgJJ

CTJTCJ

JTCJT

CJJ

FF

FF

250

80186,42,016600 : che doconsideran ottiene si blocco del massa La

5,3 332009621

066400830879133200

=

=

==

=

+

+

16.3 Un calorimetro di capacit termica =20 cal/C contiene una massa m=3l di acqua alla temperatura diequilibrio di t1= 20C. Si introduce una massa m2= 0,05kg di vapore acqueo alla temperatura di 100C. Sidetermini la temperatura di equilibrio del sistema. Si trascurino le perdite di calore del calorimetro versolesterno.

Poich il calore latente di ebollizione dell'acqua di circa 550cal/g e la temperatura di equilibrio compresa tra 0C e 100C si pu impostare la equazione del bilancio termico, indicando con te la temperaturadi equilibrio:( ) ( ) ( ) 010022111 =++ Ctmmttcmtt eee

( ) ( ) ( ) 0100505505020130002020 =+

+

CtgcalgCt

CgcalgCt

Ccal

eee

Risolvendo si ottiene: Cte = 3,30

16.4 Calcolare la quantit di calore ceduta in ogni ora da un termosifone allambiente dove si trova, sapendoche in esso circolano due litri di acqua al minuto che entrano alla temperatura di 80C ed escono allatemperatura di 60C.16.5 Calcolare la quantit di calore necessaria per sciogliere 50 g di ghiaccio con temperatura iniziale di10C e per portare lacqua ottenuta fino alla temperatura di 10C. Calore specifico del ghiaccio 0,5 cal/(gC)

215

16.6 Determinare la temperatura finale quando una massa di 200g di ghiaccio (il calore di fusione delghiaccio = 332kJ/kg) alla temperatura di 0C viene mescolata con una massa di 500g di acqua allatemperatura di 80 C, supponendo nulle tutte le dispersioni di calore.16.7 Un blocco di 10kg di ferro alla temperatura di 800C (calore specifico del ferro = 0,481J/(g C) vienemesso in un secchio dacqua di 20l, alla temperatura di 20C.

a) dire se si raggiunge una temperatura di equilibrio inferiore a quella di ebollizione dellacqua (100C);b) se si raggiunge la temperatura di ebollizione calcolare la quantit di acqua che evapora ( calore latente di

ebollizione dellacqua 550cal/g).

16.8 Un blocchetto di alluminio di massa m=250g , che si trova alla temperatura di 200C, viene inserito inun calorimetro di capacit termica =15cal/C contenente 400 g di acqua alla temperatura di equilibrio di15C, insieme a 30g di vapore alla temperatura di 100C. Si determini la temperatura di equilibrio delsistema.

17 ObiettivoSaper calcolare la variazione di entropia tra due stati di un sistema termodinamico gassoso

17.1 Una mole di gas biatomico perfetto occupa un volume di 10l alla pressione di 5,05 105Pa (punto A).Mediante una trasformazione isoterma reversibile viene portato allo stato B in cui il volume di 50l.Calcolare la variazione di entropia tra questi due stati di equilibrio.Mettere poi in evidenza che la variazione di entropia una funzione dei soli stati iniziale e finale calcolandotale variazione lungo una trasformazione isocora e una isobara che portano il sistema dalla stato A allo statoB.

P (105Pa) 5,05 A

1,01 C B

10 50 V(10-3m3)

Poich la variazione di entropia si calcola con la relazione =B

A TdQS determiniamola applicando alla

trasformazione isoterma reversibile il primo principio della termodinamica:dQ=dU+PdV. Essendo dU=0 risulta dQ=PdV, per cui sostituendo:

===B

A

B

A VdVnRS

VnR

TP

TPdVS ha si stato di equazione dalla ma

da cui integrando e tenendo conto che n=1mol

KJKJRmol

VVnRSA

B /4,135ln31,85ln1ln ==== od anche 0,13 l atm/K oppure 3,19cal/K.

Riportati sul piano di Clapeyron gli stati A e B (vedi figura) e costruita la tabella delle coordinatetermodinamiche degli stati A, B e C intermedio, calcoliamoci anche le temperature in funzione dellapressione e del volume.

P(105Pa) V(10-3*m3) T(K)A 5,05 10 608B 1,01 50 608C 1,01 10 122

Per verificare la seconda richiesta necessario scindere il percorso nei due tratti previsti e calcolareseparatamente le variazioni di entropia lungo i due tratti nelle rispettive posizioni di equilibrio (stati A, B, C).

216

Detta S1 la variazione di entropia tra i due stati A e C lungo la trasformazione isocora reversibile si ha:

A

CC

A

C

AV

C

A

VC

A

C

A TTR

TdTR

TdTC

TpdVdTC

TpdVdU

TdQS ln

25

25

1 ===+=+==

Detta S2 la variazione di entropia tra i due stati A e C lungo la trasformazione isobara reversibile si ha:

+=+

=+==B

C

B

CV

B

C

VB

C

B

C TPdV

TdTmolC

TpdVdTmolC

TpdVdU

TdQS 112

e dalla equazione di stato P/T=1mol R/V

C

B

C

BB

CC

B

VVmolR

TTRmol

VdVmolR

TTRmolS ln1ln

2511ln

2512 +=+=

Poich S=S1+S2 risulta:

KJVVmolR

VVmolR

TTRmol

VVmolR

TTRmol

TTRmolS

C

B

C

B

A

B

C

B

C

B

A

C

/4,13ln1ln1ln251

ln1ln251ln

251

==+

=++=

essendo ln1=0 poich TA=TB.17.2 Mettere in evidenza che una trasformazione adiabatica isoentropica (S=0). Calcolare la variazione dientropia tra lo stato A(V=10 10-3m3; 5,05 105 Pa) e lo stato B (V=50 10-3m3) lungo la trasformazioneadiabatica reversibile e lungo la trasformazione isocora e isobara che portano il sistema costituito da unamole di gas monoatomico dallo stato A allo stato B.

P(105 Pa) 5,05 A

C B

10 50 V(10-3m3)

Lungo la trasformazione adiabatica reversibile dQ=0, quindi si ha immediatamente

0== B

A TdQS . Verifichiamo tale risultato lungo gli altri due percorsi A-C, C-B.

Detta S1 la variazione di entropia tra lo stato A e lo stato C di coordinate termodinamicheVC=VA e PC=PB, PB si ricava partendo dalla equazione della adiabatica reversibile:

PaVVPVPVPtPV B

AB

BB

AA 34540

P cui da cos A ====

Inoltre ricavando TC e TA dalla equazione di stato,

KmolRPVT

VmolRVP

molRVPT AAA

B

AAABC 7,6091

e41,6K 11

1

===

==+

KJRmolRmol

VVRmol

VVRmol

VPV

VP

RmolTTRmol

TdTnC

TdQS

B

A

B

A

AA

B

AA

A

CC

AV

C

A

43,335ln2515ln

35

231ln

231

ln231ln

231ln

231

1

1

==

=

=====

+

Detta poi S2 la variazione di entropia tra lo stato C e lo stato B lungo la trasformazione isobara reversibile,si ha:

217

KJRmol

VVR

VVRmol

VVR

molRVVP

molRV

VVP

Rmol

VVR

TTRmol

VdVmolR

TdTRmol

TPdVdTnC

TdQS

A

B

A

B

C

B

B

AA

B

B

AA

C

B

C

BB

C

B

C

C

A

VB

C

43,335ln251lnln

231ln

11

1ln

231

lnln2311

231

1

2

=

+=

+

=

+=+=

+==

+

Essendo S=S1+S2 si ottiene sostituendo:

05ln2515ln

251 =+= RmolRmolS

17.3 calcolare la variazione di entropia SB-SA di una mole di gas perfetto monoatomico dati gli stati:a) A (V=20l ; P=3atm) B (V=50l ; P =2atm)b) A (V=30 10-3m3 ; T=300K) B (V=1010-3m3; T =400K)c) A( P=1,01 105Pa ; T=500K) B (P=2,02 105Pa ; T=300K)17.4 Si calcoli la temperatura di una mole di gas monoatomico che espande isotermicamente ereversibilmente dall0 stato A( PA= 4,04 105Pa; VA= 30 10-3m3) allo stato B (PB=2,2 105Pa) sapendo che lavariazione di entropia S=5 cal/K

18 ObiettivoSaper calcolare la variazione di entropia delluniverso per trasformazioni irreversibili.

18.1 Un pezzo di alluminio (CS= 0,21 cal /(g K) di 2,5 kg alla temperatura di 97C viene introdotto in uncalorimetro le cui pareti sono adiatermane e la cui capacit termica trascurabile. Sapendo che il calorimetrocontiene 1,5 l di acqua alla temperatura di 17C calcolare:a) la variazione di entropia del pezzo di alluminiob) la variazione di entropia dellacquac) la variazione di entropia delluniverso.Si calcola la temperatura di equilibrio tenendo conto che la quantit di calore ceduta dal pezzo uguale allaquantit di calore passata nel calorimetro.(TAl= temperatura iniziale del pezzo di alluminio; TH2O= temperatura iniziale dellacqua)

( ) ( )( ) ( )

CTCCTTCTCTTTCkgTTCkg

fff

ff

OHfAlfS

+=+

=+

=+

38 5,25925,505,1525,0

01715,19721,05,2

05,15,2 2

Se trasformiamo quindi le temperature in K, abbiamo:TAl=370 K Tf=311 K TH2O=290K Per calcolare la variazione di entropia del pezzo di alluminio si immagini di sostituire alla trasformazioneirreversibile una trasformazione reversibile che porti il pezzo dalla temperatura iniziale di 370K a quellafinale di 311K scambiando calore con una serie infinita di termostati posti a temperature intermedie, si ha:

Kcal

Kcal

TdT

KgcalgS

K

K

86,86370311ln50021,02500

311

3701 ==

= ( Si osservi che si ha una diminuzione di entropia in quanto il calore esce dal pezzo di alluminio).Analogamente si opera per il calcolo della variazione di entropia dellacqua:

Kcal

Kcal

TdT

KgcalgS

K

K

87,104290311ln150000,11500

311

2902 ==

=

(Si noti come lentropia sia aumentata in quanto il calore entra nellacqua del calorimetro.)Per calcolare la variazione di entropia delluniverso si opera la somma:

KJKcalKcal

KcalSSS /35,75/00,1887,10486,8621 ==+=+=

da cui si osserva che lentropia delluniverso cresce, come era da prevedersi dato che le trasformazionidellalluminio e dellacqua sono irreversibili.

218

18.2 Un corpo di metallo del peso di 3kg e di calore specifico 1,26kJ/(kg K) alla temperatura di 57C vienemesso in un lago che si trova alla temperatura di 17 C. Calcolare la variazione di entropia:a) del corpo b) del lago c) delluniverso.

Tlago= 290K Tmet=330KPer calcolare la variazione di entropia del corpo la cui temperatura passa da 330K a 290 K devo operare conuna trasformazione reversibile

KkJ

KkJ

TdT

KkgkJkgS

K

K

488,0330290ln78,326,13

290

3301 ==

= Per calcolare la variazione di entropia del lago, la cui temperatura rimane costante, si ha:

KkJ

KkJ

TQS 521,0

2904026,13

2 ===

Per la variazione di entropia dell'universo si ha:

KkJKkJ

KkJSSS /033,0521,0488,021 =+=+=

18.3 Due litri di acqua a 90C vengono introdotti in un recipiente a pareti adiatermane e con capacittermica nulla, nel quale vi sono 10l di acqua a 20C. Calcolare la variazione di entropia dei due litri, deidieci litri di acqua , delluniverso.

18.4 Un pezzo di 5kg di alluminio a 600C (CS=0,88 kJ/(kg K) viene immerso in un recipiente a paretiisolanti e con capacit termica trascurabile nel quale vi sono 9 l di acqua e 1 kg di ghiaccio in equilibriotermico. Calcolare la variazione di entropia dellalluminio, del sistema acqua pi ghiaccio ,delluniverso.

18.5 Un pezzo di ghiaccio del peso di 10kg e alla temperatura di 0C viene gettato in mare a 20C ove siscioglie. Calcolare la variazione di entropia del ghiaccio, del mare, delluniverso.

18.6 Un cilindro a pareti laterali adiatermane con la base permeabile al calore posto su un termostatoalla temperatura di 127C. La stantuffo della massa di 300kg, pure adiatermano viene tenuto sul postoda un piolo e racchiude due moli di gas monoatomico alla pressione di 5atm. La sezione dello stantuffo di 5dm2. Si toglie il piolo (considerare nullo questo lavoro) e si lascia espandere il gas fino a che si siaristabilito lequilibrio ( pressione esterna =1 atm) Calcolare la variazione di entropia del gas, deltermostato e delluniverso.

.P atm

127C

18.7 Una mole di gas perfetto biatomico contenuto in una met di un recipiente diviso da una parete,nellaltra met del quale c il vuoto. Mettendo in comunicazione le due met, aprendo il rubinetto delleparete divisoria, il gas si espande liberamente occupando il volume 2V0, senza variazioni di temperatura.Calcolare la variazione di entropia delluniverso.

18.8 Calcolare la variazione di entropia delluniverso nei casi degli esercizi dellobiettivo 16.

219

Risultati di alcuni esercizi.4.4 W=-250J4.5 772J -1227J 1000J -1152J4.6 10 L atm4.7 +5652J -5652J4.8 3807J4.9 6687J4.10 1013J4.12 1341J5.2 1060J5.3 2970J5.4 1250J5.5 1250J5.6 500J6.2 2080J6.3 6230J6.4 8730J7.2 100J7.4 500J7.5 1500J7.6 5000J7.7 Q=08.5 500J8.6 81J9.2 JU 19000=9.3 JU 1250=9.4 JU 0=10.2 Q= 2770J10.3 Q=010.4 Q=8000J10.5 Q=W10.6 490J 1010J 1500J11.3 PB=PC=80000Pa VB=62,5 10-3 m3 VC=25 10-3 m3 7,8%11.4 17,3%11.5 5,7%13.2 11.3 11,9 12.3 16,614.3 143 cal 2,33 333cal 0,4314.4 T2=100K T1=40K15.2 250K15.3 500K15.4 si15.5 si ciclo reversibile16.3 -2400kcal16.4 4750 cal16.5 34,5C16.6 Te=100C mx= 2,95 kg17.3 13,98 J/K -5,54 J/K -16,4 J/K17.4 349K18.3 -1466J/K 1640 J/K 173 J/K18.4 -4376 J/K 8243 J/K 3867J/K18.5 15227 J/K -14287 J/K 940J/K18.6 19,13 J/K -11,37 J/K 7,76 J/K18.7 5,76 J/K