PASQUALE CERULLO  1 

Esercizi di probabilità. In questa parte si riportano alcuni esercizi su modelli di variabili aleatorie (v.a.) discrete. 

Variabile Binomiale. Si ottiene a partire della v.a. di Bernulli. La sua pmf è: 

Pr 𝑌 =𝑛𝑦 𝑝!(1− 𝑝)!!! 

Esprime la concomitanza di y successi e cioè la probabilità che l’evento si verifichi y volte su n prove.  Esercizio 1. 

Quattro automobili hanno la stessa probabilità di guastarsi p=0.3 e 1‐p di essere funzionanti. Le auto operano in maniera s‐indipendente l’una dall’altra. Qual è la pmf dei guasti delle automobili? 

Il numero di automobili che possono guastarsi è una variabile aleatoria Y, che può assumere valori 0,1,2,3,4. Dobbiamo quindi trovare la probabilità che si possano guastate 0,1,2,3,4 automobili sulle 4 a disposizione. Tale probabilità è espressa dalla v.a. Binomiale di parametri n=4 e p=0.3. Si riporta il codice Matlab per la risoluzione del problema. 

      

  Il grafico riporta la probabilità che vi siano Y auto guaste.    

%Binomiale% P=0.3; %Probabilità dei guasti% N=4; %Numero di auto% X=0:4; %Numero di auto guaste che possono verificarsi% %Calcolo della binomiale% Y=binopdf(X,N,P); bar(X,Y); xlabel('Y'), ylabel('pmf')  

PASQUALE CERULLO  2 

Esercizio 2. 

Nel lancio di due dadi la probabilità che si realizzi il valore 9 è p=0.11. Si calcoli la pmf dell’evento valore 9 su n=5 lanci. 

Anche in questo caso la probabilità che si verifichi il punteggio 9 su 5 lanci è una v.a. Y. Con lo stesso procedimento del precedente esercizio, si riporta in figura la pmf dell’evento. 

  Esercizio 3. 

Due operai devono provvedere alla manutenzione di 12 macchine. L’affidabilità di ogni macchina per giorno di lavoro è p=0.97. Sapendo che ogni intervento di manutenzione impegni un solo uomo e per tutta la giornata, qual è la probabilità che la squadra riesca a rispondere alle esigenze di una sola giornata? Poiché ogni operaio, se chiamato ad effettuare interventi di manutenzione, è impegnato per tutta la giornata, significa che entrambi riescono a rispondere solo a due interventi di manutenzione al giorno. Pertanto si deve calcolare la probabilità che gli interventi di manutenzione richiesti al giorno siano minori o al più uguali a 2. Quindi: 

Pr 𝑌 ≤ 2 =𝑛𝑦 𝑝!(1− 𝑝)!!!

!

!!!

= 0.995 

In questo caso il parametro p deve indicare la probabilità che si verifichi il guasto e cioè p=1‐0.97=0.03. Si riporta il listato matlab.  

  

 

  

 

    

%Binomiale% P=0.03; %Probabilità dei guasti% N=12; %Numero di macchine% X=0:12; %Numero di macchine che possono guastarsi% %Calcolo della binomiale% Y=binopdf(X,N,P); bar(X,Y); xlabel('Y'), ylabel('pmf') %Cdf valutata per il valore 2% Z=cdf('bino',2,N,P);  

PASQUALE CERULLO  3 

Distribuzione di Poisson. 

Esprime la probabilità che l’evento si verifichi Y volte nel dominio x, sapendo che il valore medio degli eventi è λ. La sua pmf è: 

Pr 𝑌 =(𝜆𝑥)!

𝑦! 𝑒!!" 

 Esercizio 1. 

Alla fila di un negozio si aggiungono 0.8 clienti al minuto. Con quale probabilità se ne aggiungeranno più di due nello stesso minuto? Per risolvere il problema è adatto il modello di Poisson. Dato che si vuole la probabilità che se ne aggiungano più di due nello stesso minuto: 

Pr 𝑌 > 2 = 1− Pr 𝑌 ≤ 2 = 1−𝜆𝑥 !

𝑦! 𝑒!!"!

!!!

= 0.0474 

Si riporta il listato matlab per la risoluzione ed in figura la pmf. Si faccia riferimento alla guida di matlab per i parametri della funzione di Poisson. 

 

 

Esercizio 2. Una tubazione presenta 4 perdite nei primi 3800 metri. Con quale probabilità nei successivi 1000 metri, del tutto simili ai precedenti, sarà al più uguale a 2? 

Assumendo il modello di Poisson con λ=4/3800=0.00105 e x=1000: 

Pr 𝑌 ≤ 2 =(𝜆𝑥)!

𝑦! 𝑒!!"!

!!!

= 0.91 

Si riporta il listato e la pmf nella pagina seguente. 

 

  

 

X=0:5; %Clienti% lambda=0.8; %Valore medio% %Calcolo della pmf% Y=poisspdf(X,lambda); %Calcolo della Cdf per il valore 2% Z=cdf('poiss',2,lambda); %Evento richiesto% Ris=1-Z; %Plottaggio pmf% bar(X,Y) xlabel('Clienti'); ylabel('pmf')  

PASQUALE CERULLO  4 

 

Esercizio 3. Un tipografo nello stampare 490 pagine di un libro commette 147 errori. Supponendo che le sue prestazioni rimangono invariate, qual è la probabilità che stampi un opuscolo di 10 pagine senza errori? 

Il numero medio di errori che commette è λ=147/490=0.3, mentre il dominio sono le x=10 pagine. Assumendo il modello di Poisson: 

Pr 𝑌 = 0 =(𝜆𝑥)!

𝑦! 𝑒!!" = 𝑒!!" = 0.05 

 

Esercizio 4. 

Su un’area di 1000 m2 sono dispersi 150 oggetti. Un addetto al recupero può ispezionare 100 m2 per ora di lavoro. Qual è la probabilità che l’addetto in 8 ore ne recuperi meno di 120? 

Il numero medio di oggetti dispersi per m2 è λ=150/1000=0.15, mentre il dominio di ricerca è x=8⋅100=800. Utilizzando il modello di Poisson: 

Pr 𝑌 < 120 =(𝜆𝑥)!

𝑦! 𝑒!!"!!"

!!!

= 0.49 

 

  

X=0:5; %Perdite% n=4; %Perdite rilevate% x=3800; %Tratto di rilevamento% dominio=1000; %Tratto di interesse% %Calcolo della pmf% m=4/3800; %Media% lambda=m*dominio; Y=poisspdf(X,lambda); %Calcolo della Cdf per il valore 2% Z=cdf('poiss',2,lambda); %Evento richiesto% Ris=Z; %Plottaggio pmf% bar(X,Y) xlabel('Perdite'); ylabel('pmf')