Esercizi di Matematica Finanziariascheda 6 - Leasing, rateazioni, titoli obbligazionari ed esercizi di riepilogo

1. L’anticipo è pari a 2 500 ed il tasso trimestrale equivalente a quello annuo contrattualeè i4 = 1.12

14 − 1 = 0.028737. Visto che non è previsto alcun anticipo, l’equivalenza

finanziaria

25 000− 2 500 = R · 1− 1.028737−6

0.028737permette di determinare il canone R = 4 136.07. Il debito iniziale ammonta a D0 =

22 500. La prima quota interesse ammonta a I1 = 22 500 ·0.028737 = 646.583 e quindi laprima quota capitale vale C1 = 4 136.07−646.583 = 3 489.487 e quindi il debito residuoè D1 = 22 500 − 3 489.487 = 19 010.513. Per quanto riguarda il secondo pagamento:I2 = 19 010.513 · 0.028737 = 546.305, C2 = 4 136.07 − 546.305 = 3 589.765 e infineD2 = 19 010.513− 3 589.765 = 15 420.748.Tenendo conto che il tasso trimestrale equivalente al tasso j = 0.07 è 1.070.25 − 1 =

0.01705 9, il VAN è

G (0.07) = 22 500− 4 136.07 · 1− 1.017059−6

0.017059= −899.62.

2. L’anticipo del contratto di leasing è pari a 600 euro mentre il prezzo di riscatto, da pagarsidopo 8 mesi, è 1 200; dato che il tasso bimestrale equivalente al tasso annuo contrattualeè 1.09

16 − 1 = 0.01447, l’equivalenza finanziaria che permette di determinare il canone

R = 2 658.46 è

12 000− 600 = R · 1− 1.01447−4

0.01447+

1 200

1.08812

Le rate del secondo contratto, dato che l’anticipo è pari a 2 400 si ricavano dallaequivalenza finanziaria

12 000− 2 400 =R1

1.08312

+2R1

1.08612

+2R1

1.08912

da cui si determinano R1 = 2 002.808 e R2 = R3 = 2 · 2 002.808 = 4 005.616. Idue VAN, tenendo conto che il tasso bimestrale equivalente al tasso annuo j = 0.11 è1.11

16 − 1 = 0.01755, sono

GA (0.11) = 12 000− 600− 2 658.46 · 1− 1.01755−4

0.01755− 1 200

1.11812

= 97.483

eGB (0.11) = 12 000− 2 400− 2 002.808

1.11312

− 4 005.616

1.11612

− 4 005.616

1.11912

= 142.755

va preferito il secondo contratto, in quanto ha il VAN positivo maggiore.Il tasso di sconto equivalente a quello d’interesse i = 0.08 è d = 0.08

1.08= 0.07407 e quindi

l’equivalenza finanziaria diventa

12 000−2 400 = R1

(1− 0.07407 · 3

12

)+2R1

(1− 0.07407 · 6

12

)+2R1

(1− 0.07407 · 9

12

)da cui s’ottiene R1 = 2 001.54 e R2 = R3 = 4 003.08.

1

3. La cedola annua ammonta a 100 e, tenuto conto che le cedole sono annue, le scadenzesono 15 mesi (scadenza finale) e 15− 12 = 3 mesi. Quindi i flussi sono

flussi 100 1 100

scadenze 0 3/12 15/12

Il prezzo tel quel al tempo 0 si ottiene attualizzando, al tasso annuo di rendimento, iflussi futuri generati dal titolo

P0 =100

1.2312

+1 100

1.21512

= 971.367

L’ultima cedola già incassata è stata pagata nove mesi fa, ovvero in −9/12 quindi ilrateo, ovvero quella parte della cedola più prossima alla scadenza relativa al periodoprecedente l’istante di valutazione, vale

r = 100 ·− 912− 0

− 912− 3

12

= 100 · 9

12= 75.

Di conseguenza il corso secco del titolo è C ′ = 971.367− 75 = 896.367.La durata media finanziaria del titolo vale

100

1.2312· 312

+ 1 100

1.21512· 1512

100

1.2312

+ 1 100

1.21512

= 1.15164

4. Le cedole semestali ammontano a c = 1 000 · 0.062

= 30 e saranno pagate alle scadenze(in anni) 3

12, 912, 1512, 2112e (scadenza finale) 27

12. Il titolo genera i seguenti flussi futuri

flussi 30 30 30 30 30 + 1 010

scadenze 0 3/12 9/12 15/12 21/12 27/12

quindi il corso tel quel oggi, in funzione del tasso annuo di rendimento x, è

C0 =30

(1 + x)312

+30

(1 + x)912

+30

(1 + x)1512

+30

(1 + x)2112

+1 040

(1 + x)2712

,

e quindi, per x = 0.04,

C0 =30

1.04312

+30

1.04912

+30

1.041512

+30

1.042112

+1040

1.042712

= 1067.569.

Il rateo vale r = 30 · 12

= 15 e quindi il corso secco è C ′ = 1067.569 − 15 = 1052.569.Dopo 8 mesi la prima cedola è già stata pagata per cui il corso tel quel sarà

C 812

=30

1.04112

+30

1.04712

+30

1.041312

+1040

1.041912

= 1065.357.

Indicato con y il tasso annuo di rendimento dell’investimento effettuato si ricava daC0 (1 + y)

812 = C 8

12.e quindi

1067.569 (1 + y)812 = 1065.357 y = −0.03106.

Il tasso risulta negativo in quanto non è stato considerato il reinvestimento della primacedola (quella pagata in 3/12) con la conseguenza che il prezzo in 8/12 è minore di quelloall’emissione.

2

5. Il VAN èG (x) = −600 +

250

1 + x+

a2

(1 + x)2+

300

(1 + x)3.

Dato che la determinazione del tasso interno equivale a risolvere l’equazione che annullail VAN ed ha come incognita il tasso x, deve valere

G (0.1) = −600 +250

1.1+a2

1.12+

300

1.13= 0;

da cui risulta a2 = 178.27. Per il grafico del VAN, si osserva che

G (0) = −600 +250

1+

178.27

12+

300

13= 128.27 > 0,

chelim

x→+∞−600 +

250

1 + x+

178.27

(1 + x)2+

300

(1 + x)3= −600

e che la derivata prima di G (x)

G′ (x) = − 250

(1 + x)2− 356.54

(1 + x)3− 900

(1 + x)4

è sempre negativa per x ≥ 0 indicando che in tale intervallo la funzione G (x) è sempredecrescente. La sua rappresentazione grafica allora è

0.05 0.10 0.15­40­20

020406080

100120140

x

y

6. Dai flussi del primo investimento si ricava l’equazione 100·[1 + h(0) (0; 1)

]= 106 da cui il

tasso a pronti h(0) (0; 1) = 0.06; dal secondo, risolvendo l’equazione 100·[1 + h(0) (0; 2)

]2=

114 e considerando solo la radice maggiore di −1 si ottiene h(0) (0; 2) = 0.06771. I prezzia pronti si ottengono dalle espressioni 106 · v(0) (0; 1) = 100 e 114 · v(0) (0; 2) = 100 ri-cavando da esse v(0) (0; 1) = 0.9434 e v(0) (0; 2) = 0.87719. Il tasso a termine si ottienedall’equazione 1.06·

[1 + h(0) (1; 2)

]= 1.067712 ottenendo h(0) (1; 2) = 0.075476 mentre il

prezzo a termine viene determinato sfruttando l’uguaglianza 0.9434 ·v(0) (1; 2) = 0.87719

da cui v(0) (1; 2) = 0.929818. Prezzo, durata media finanziaria e convessità del titolosono

P = 70 · 0.9434 + 100 · 0.87719 = 153.7567

D =70 · 1 · 0.9434 + 100 · 2 · 0.87719

153.7567= 1.57

C =70 · 12 · 0.9434 + 100 · 22 · 0.87719

153.7567= 2.7115

3

7. Vanno dapprima calcolate le rate. Sfruttando la condizione di chiusura iniziale

20 000 =R11.1

+2R11.12

+12· 2R11.13

+3 · 1

2· 2R1

1.14+

13· 3 · 1

2· 2R1

1.15

ovvero, semplificando

20 000 =R11.1

+2R11.12

+R11.13

+3R11.14

+R11.15

e risolvendo R1 = 3 342.66. Le altre quattro rate ammontanto, allora, a R2 = 6 685.32,R3 = R5 = R1 e R4 = 10 027.98. Il piano di ammortamento è

scadenza Deb. Res. Quota Cap. Quota Int. Rata0 20 000

1 18 657.34 1 342.66 2 000 3 342.66

2 13 837.75 4 819.59 1 865.73 6 685.32

3 11 878.87 1 958.88 1 383.78 3 342.66

4 3 038.78 8 840.09 1 187.89 10 027.98

5 0.00 3 038.78 303.88 3 342.66

e la condizione elementare è verificata dato che

2 342.66 + 4 819.59 + 1 958.88 + 8 840.09 + 3 038.78 = 20 000

8. Le quote di capitale si determinano sfruttando la condizione di chiusura elementare

20 000 = C1 + 2C1 +1

2· 2C1 + 3 · 1

2· 2C1 +

1

3· 3 · 1

2· 2C1

da cui si ricavano C1 = C3 = C5 = 2 500, C2 = 5 000 e C4 = 7 500. Il piano diammortamento risulta essere il seguente

scadenza Deb. Res. Quota Cap. Quota Int. Rata0 20 000

1 17 500 2 500 2 000 4 500

2 12 500 5 000 1 750 6 750

3 10 000 2 500 1 250 3 750

4 2 500 7 500 1 000 8 500

5 0, 00 2 500 250 2 750

La condizione di chiusura iniziale è

4 500

1.1+

6 750

1.12+

3 750

1.13+

8 500

1.14+

2 750

1.15= 20 000

9. Il VAN dei due finanziamenti è

G1 (0.14) = 20 000− 3 342.66

1.14− 6 685.32

1.142− 3 342.66

1.143− 10 027.98

1.144− 3 342.66

1.145=

= 1 994.06

4

eG2 (0.14) = 20 000− 4 500

1.14− 6 750

1.142− 3 750

1.143− 8 500

1.144− 2 750

1.145= 1 866.64

dato che il VAN del primo investimento è maggiore di quello del secondo, il primo è dapreferire.

10. Il tasso interno x dell’investimento deve risolvere l’equazione

−300 +180

1 + x+

230

(1 + x)2= 0.

Posto, per semplificare la risoluzione dell’equazione, y = 11+x

va risolta

230y2 + 180y − 300 = 0

, Solution is: 123

√771− 9

23,− 1

23

√771− 9

23che ha due radici y = 1

23

(√771− 9

)= 0.81595

e y = − 123

(√771 + 9

)= −1.59856. Sostituendo a ritroso si trova che 1

1+x= 0.81595 è

vera quando x = 0.22556 mentre, nel secondo caso, 11+x

= −1.59856 determina un tassominore di −1, x = −1.625563 che non è finanziariamente sensato. Quindi il tasso internodell’investimento vale 0.22556.La somma mancante al tizio per intraprendere l’investimento è f0 = 300− 250 = 50; setale somma viene restituita dopo due anni pagando un flusso f2 = 70 il tasso annuo diindebitamento j = 0.18321 si ricava risolvendo l’equazione

50 (1 + j)2 = 70

I flussi complessivi dell’operazione sono

flussi inv. −300 180 230

flussi fin. 50 −70

flussi netti −250 180 160

scadenze 0 1 2

e quindi l’APV è

Γ (0.02) = −250 +180

1.02+

160

1.022= 80.258

e, dato che è positivo, si ha convenienza ad intraprendere l’investimento + finanziamento.

11. Il finanziamento chiesto alla banca A viene rimborsato mediante due rate immediatecostanti e posticipate R = 28.423 il cui valore è calcolato partendo dalla condizione dichiusura iniziale del finanziamento

50 = R · a2|0.09 = R · 1− 1.09−2

0.09;

il finanzimento concesso dalla banca B viene invece rimborsato pagato al tempo 1 lasomma 30 · 1.11 = 33.3. I flussi complessivi sono

flussi inv. −400 180 230

flussi fin. A 50 −28.423 −28.423

flussi fin. B 30 −33.3

flussi netti −320 118.277 201.577

scadenze 0 1 2

5

e quindi l’APV vale

Γ (0.03) = −320 +118.277

1.03+

201.577

1.022= −11.419.

Il valore negativo dell’APV indica che l’operazione complessiva non è conveniente per iltizio.Per determinare per quali tassi jB l’APV è positivo va risolta la disequazione

−320 +180− 28.423− 30 · (1 + jB)

1.03+

201.577

1.022> 0

che ha come soluzione jB < −0.28203. (Ovviamente un finanziamento ad un tassonegativo non è finanziariamente credibile)

12. Dato che h(0) (0; 1) = 0.03 + 0.01 · 1 = 0.04, h(0) (0; 2) = 0.03 + 0.01 · 2 = 0.05 eh(0) (0; 3) = 0.03 + 0.01 · 3 = 0.06,

v(0) (0; 1) =1

1.04= 0.96154, v(0) (0; 2) =

1

1.052= 0.90703, v(0) (0; 3) =

1

1.063= 0.83962

Il tasso a termine h(0) (1; 2) = 0.06009 si ricava dall’equazione

1.04 ·[1 + h(0) (1; 2)

]1= 1.052

mentre il prezzo a termine v(0) (1; 2) risulta da

v(0) (1; 2) =v(0) (0; 2)

v(0) (0; 1)=

0.90703

0.96154= 0.94331

Il prezzo al tempo 0 del titolo è

P0 = 1.5 · 0.96154 + 2.2 · 0.90703 + 2.9 · 0.83962 = 5.873

13. I flussi futuri garantiti dal titolo sono

cedole annue 80 1020 + 80

cedole semestrali 40 40 40 1020 + 40

scadenze 0 2/12 8/12 14/12 20/12

I due corsi tel quel in 0 sono

C0 =80

1.07812

+1100

1.072012

= 1059.169

eC0 =

40

1.07212

+40

1.07812

+40

1.071412

+1060

1.072012

= 1061.714

il rateo nel caso di cedola annua è r = 80 · 412

= 26.667 mentre nel caso di cedolasemestrale vale r = 40 · 4

6= 26.667 e quindi i due corsi secchi sono

C ′ = 1059.169− 26.667 = 1032.502 C ′ = 1061.714− 26.667 = 1035.047

6