esercizi di analisi numerica
2
LABORATORIO DI PROGRAMMAZIONE E CALCOLO Docente E. Carlini A.A. 2012/13 Foglio di esercizi N.13 con la collaborazione di Andrea Pugliese Dovete strutturare i programmi dei seguenti esercizi in funzioni Nei seguenti esercizi, presi in input gli estremi di un intervallo [a, b] ⊂ R ed un numero intero n> 0 dovete approssimare il valore dell’integrale definito I n (f ; a, b) ≈ I (f ; a, b)= Z b a f (x)dx utilizzando una formula di quadratura composita su n sottointervalli per una partizione uniforme dell’intervallo [a, b]. Di seguito sono riportati alcuni esempi su cui testare i programmi: 1. Z 1 -1 x 2 dx = 2 3 2. Z 2π 0 sin(x)dx =0 3. Z 3π 2 0 cos(x)dx = -1 4. Z 2π 0 xe -x cos(2x)dx = 3(e -2π - 1) - 10πe -2π 25 5. Z 5 -5 dx 1+ x 2 = 2 arctan(5) 6. Z 1 0 x 5 2 dx = 2 7 7. Z 2 -2 x sin(x)dx = 2 sin(2) - 4 cos(2) 8. Z 2π 0 |sin(x)| dx =4 9. Z 2 1 e -x 2 dx ≈ 0.1352572580 1
description
esercizi teorici e non in c++/c su algoritmi di analisi numerica
Transcript of esercizi di analisi numerica
-
LABORATORIO DI PROGRAMMAZIONE E CALCOLODocente E. Carlini A.A. 2012/13
Foglio di esercizi N.13con la collaborazione di Andrea Pugliese
Dovete strutturare i programmi dei seguenti esercizi in funzioni
Nei seguenti esercizi, presi in input gli estremi di un intervallo [a, b] R edun numero intero n > 0 dovete approssimare il valore dellintegrale definito
In(f ; a, b) I(f ; a, b) = baf(x)dx
utilizzando una formula di quadratura composita su n sottointervalli peruna partizione uniforme dellintervallo [a, b]. Di seguito sono riportati alcuniesempi su cui testare i programmi:
1.
11x2dx =
2
3
2.
2pi0
sin(x)dx = 0
3.
3pi2
0cos(x)dx = 1
4.
2pi0
xex cos(2x)dx =3(e2pi 1) 10pie2pi
25
5.
55
dx
1 + x2= 2 arctan(5)
6.
10x
52dx =
2
7
7.
22x sin(x)dx = 2 sin(2) 4 cos(2)
8.
2pi0|sin(x)| dx = 4
9.
21ex
2dx 0.1352572580
1
-
1) (Formula del Punto Medio) Scrivere un programma che, presi in inputgli estremi di un intervallo [a, b] R ed un numero intero positivo n, ap-prossima lintegrale definito I(f ; a, b) utilizzando la formula composita delpunto medio. Stampare a video il valore dellintegrale approssimato e, nelcaso in cui sia nota la primitiva della funzione f(x), lerrore in modulo. b
af(x)dx h
n1i=0
f
(xi + xi+1
2
)2) (Formula dei Trapezi) Scrivere un programma che, presi in input gli
estremi di un intervallo [a, b] R ed un numero intero positivo n, approssimalintegrale definito I(f ; a, b) utilizzando la formula composita dei trapezi.Stampare a video il valore dellintegrale approssimato e, nel caso in cui sianota la primitiva della funzione f(x), lerrore in modulo. b
af(x)dx h
2
n1i=0
[f(xi) + f(xi+1)]
3) (Formula di Cavalieri-Simpson) Scrivere un programma che, presi ininput gli estremi di un intervallo [a, b] R ed un numero intero positivo n,approssima lintegrale definito I(f ; a, b) utilizzando la formula composita diCavalieri-Simpson. Stampare a video il valore dellintegrale approssimato e,nel caso in cui sia nota la primitiva della funzione f(x), lerrore in modulo. b
af(x)dx h
6
n1i=0
[f(xi) + 4f
(xi + xi+1
2
)+ f(xi+1)
]4) (Grado di Esattezza) Diremo che una formula di quadratura ha grado
di esattezza r se, quando f(x) e` un polinomio di grado minore o uguale di r,il valore dellintegrale approssimato coincide con il valore esatto. Verificare,mediante dei test numerici, che le formule del Punto Medio e dei Trapezihanno grado di esattezza 1, mentre la formula di Cavalieri Simpson ha gradodi esattezza 3.
5) (Ordine di Convergenza) Sia f(x) una funzione per cui e` noto il valoreesatto dellintegrale relativo allintervallo [a, b]. Fissato n, approssimare gliintegrali In(f ; a, b), relativo ad n sottointervalli, e I2n(f ; a, b), relativo a 2nsottointervalli, e calcolare lordine di convergenza come il logaritmo in base2 del rapporto tra i due errori commessi:
p = log2
(EnE2n
), dove Ekn = |I(f ; a, b) Ikn(f ; a, b)|
2
