ESERCITAZIONI - Paolo Casini | Civil Engineer · 2019. 1. 5. · ESERCITAZIONI a cura di P. Casini...

SISTEMI DI TRAVI ISOSTATICI

ESERCITAZIONI

a cura di P. Casini

Testi consigliati:

1. P. Casini, M. Vasta, Scienza delle Costruzioni, CittàStudi (UTET università), 2016.

2. C. Comi, L. Corradi Dell’Acqua: Introduzione alla meccanica strutturale, McGraw-

Hill, 2007.

3. E. Viola: Complementi ed esercizi di Scienza delle Costruzioni, Voll. 1, 2, Pitagora

Ing. Ambiente SdC - Sistemi di Travi - PCasini

2

Con riferimento al sistema isostatico mostrato figura si chiede di:

• Calcolare le reazioni vincolari.

• Tracciare i diagrammi delle Caratteristiche della Sollecitazione.

• Calcolo delle reazioni vincolari

X = 0 XA= 0

D

C

E

B

A

M

XA

YA YD

l

Y

X

l l l

/4

D

C

E

B

A

M

2CD ;BCBEAB ll

l l l

l

Esercizio 1.1

1. Sistemi staticamente determinati:

Esercizi svolti


3

Y = 0 YA+YD = 0

MA = 0 M + 3lYD = 0 YD = -M/3l

YA = M/3l

• Riepilogo delle reazioni vincolari

• Verifiche

Y = 0 M/3l - M/3l = 0 ✓

ME = 0 M – (M/3l)l – (M/3l)(2 l) = 0 ✓

• Caratteristiche della Sollecitazione)

• Tratto AB

l

D

C

E

B

A

M

M/3l

l l

l

Y

X

M/3l

M z

B

z

D

C

E

A

l

l l l

M/3l M/3l

z

z


4

N(z) + M/3l = 0 N(z) = -M/3l

T(z) = 0 T(z) = 0

MS1 =0 M(z) = 0

• z = 0 S1 A N(0) = NA = -M/3l

T(0) = TA = 0

M(0) = MA = 0

• z = l S1 B- N(l) = NB- = -M/3l

T(l) = TB- = 0

M(l) = MB- = 0

• Nodo B

Equilibrio del Nodo B

NB+ = 0

TB+ = M/3l

MB+ = 0

• Tratto BE

N(z) = 0 N(z) = 0

T(z) - M/3l = 0 T(z) = M/3l

MS1 =0 M(z) = (M/3l)z

• z = 0 S2 B+ N(0) = NB+ = 0

B-

B+

B

M/3l

MB+

TB+

NB+

M/3l

NB+

TB+

MB+ B+

B-

B

M/3l

M/3l

M/3l

M/3l

A

S1

M/3

l

z

T(z)

N(z)

M(z)

M/3l

B+ S2

z

T(z)

M(z)

N(z)


5

T(0) = TB+ = M/3l

M(0) = MB+ = 0

• z = l S2 E- N(l) = NE- = 0

T(l) = TE- = M/3l

M(l) = ME- = M/3

• Nodo E

Equilibrio del Nodo E

NE+ = 0

TE+ = M/3l

ME+ = -(2/3)M

• Tratto EC

N(z) = 0 N(z) = 0

T(z) - M/3l = 0 T(z) = M/3l

MS3 =0 M(z) =-(2/3)M + (M/3l)z

• z = 0 S3 E+ N(0) = NE+ = 0

T(0) = TE+ = M/3l

M/3l

M/3

E-

NE+

M/3l

TE+

ME+ M/3

M

E TE+

ME+

E+

M/3

M/3l

2M/3

M/3l

E-

M/3l

M/3

M

E M/3l

2M/3

E+

T(z)

M(z)

N(z)

M/3l

2M/3

E+

z

S3


6

M(0) = ME+ = -(2/3)M

• z = l S3 C- N(l) = NC- = 0

T(l) = TC- = M/3l

M(l) = MC- = -M/3

• Nodo C

• Tratto CD

N(z) -2

2

3l

M = 0 N(z) = 2

6l

M

T(z) -2

2

3l

M = 0 T(z) = 2

6l

M

MS4 =0 M(z) = zl6

2

3

MM

• z = 0 S4 C+ N(0) = NC+ = 26l

M

T(0) = TC+ = 26l

M

M(0) = MC+ = -M/3

• z = l 2 S4 D N( 2l ) = ND =

26l

M

T( 2l ) = TD = 26l

M

M( 2l ) = MD = 0

M/3l

M/3 C-

M/3l

M/3

M/3l

M/3 C

M/3

C+

M/3l

M/3

C+

M/3l

z

N(z) T(z)

M(z)

S4


7

• Diagrammi delle Caratteristiche della Sollecitazione

/4

C

B A

l BCAB

q

l

l

+ -

26l

Ml3

M

N

+

+

26l

M

l3

MT

3

M

3

MM

3

2 M

Esercizio 1.2


8


X = 0 RA 2

2= 0 RA = 0

Y = 0 YC - ql = 0 YC = ql

MC = 0 (ql)(l/2) + MC = 0 MC = -2

2ql


• Verifiche

Y = -ql +ql = 0 ✓

MA = 22

2

2 qlql

lql = 0 ✓

C

B A

l

l

(1/2)ql2

ql

q

l/2 l/2

ql

C

B A

l

l

MC

YC

RA

q

l/2 l/2

ql

Y

X


9

• Caratteristiche della Sollecitazione

• Tratto AB

N(z) = 0

T(z) = - qz

M(z) = - (1/2)qz2

• z = 0 S1 A N(0) = NA = 0

T(0) = TA = 0

M(0) = MA = 0

• z = l S1 B- N(l) = NB- = 0

T(l) = TB- = -ql

M(l) = MB- = -(1/2)ql2

• Nodo B

C

B A

l

l

(1/2)ql2

ql

q

z

z

q

z/2 z/2

qz

z T(z)

M(z)

N(z)

S1 A

ql2/2

B- B

ql

ql2/2 ql2/2

ql

ql

ql2/2

B+


10

• Tratto BC

N(z) = - ql

T(z) = 0

M(z) = - (1/2)ql2


ql2/2

B+ ql

z

S1

T(z)

N(z)

M(z)

C

B A

T

- ql

C

A

N -

ql

B

C

B A

M

2

2ql


11


• Equilibrio asta BD

-XB = 0

YD – YB = 0

MD + XBl +YBl = 0

XB = 0

YB = YD

MD = -YBl

• Equilibrio asta ABC

XA = 0

YA + YB – ql/2 = 0

YBl – (ql/2)[l+ (2/3)l] = 0

XA = 0 XB = 0

YB = (5/6)ql YA = -ql/3

YD = (5/6)ql

MD = -(5/6)ql2

/4

2BD ;BCAB ll

l l

l

D

C A B

q

l

Esercizio 1.3

l l

(2/3)l l/3

XA

YA YB XB

MD

YB

XB

YD

Y

X

2

ql


12


• Verifiche

Y = 0 026

5

3

qlqlql ✓

MB = 0 03

2

26

5

6

5

3

2 lql

qllql

lql

✓


(2/3)l

l

l l

D

C A B

q

(5/6)ql

(1/3)ql

(5/6)ql2

z

z z

l

l l

2

ql

(2/3)l l/3

(5/6)ql2

(5/6)ql (1/3)ql

(5/6)ql

(5/6)ql

l

l l

l/3

(1/3)ql (5/6)ql2

(5/6)ql

2

ql


13

• Tratto AB

N(z) = 0

T(z) = - (1/3)ql

M(z) = -(1/3)ql z

• z = 0 S1 A N(0) = NA = 0

T(0) = TA = -(1/3)ql

M(0) = MA = 0

• z = l S1 B- N(l) = NB- = 0

T(l) = TB- = -(1/3)ql

M(l) = MB- = -(1/3)ql2

• Nodo B


NB+ = 0

TB+ = ql/2

MB+ = -ql2/3

A S1

z

T(z)

M(z)

N(z)

(1/3)ql

ql/3

ql2/3 B-

NB+

ql/3

TB+

MB+ ql2/3

B

TB+

MB+

B+

(5/6)ql

ql/3

ql2/3 B-

ql/3

ql/2

ql2/3 ql2/3

B

ql/2

ql2/3

B+

(5/6)ql


14

• Tratto BC

La legge di variazione del carico distribuito nel sistema

di riferimento locale è zl

qzq )( . Le equazioni di

Equilibrio del tratto B+S2 comportano (vedi Fig.):

N(z) = 0

T(z) = 2

ql-

l

qz

2

2

M(z) = 623

32 qzz

qlql

• z = 0 S2 B+ N(0) = NB+ = 0

T(0) = TB+ = (1/2)ql

M(0) = MB+ = -(1/3)ql2

• z = l S2 C N(l) = NC = 0

T(l) = TC = 0

M(l) = MC = 0

• Tratto BD

N(z) +2

2

6

5ql = 0 N(z) = - 2

12

5ql

T(z) +2

2

6

5ql = 0 T(z) = - 2

12

5ql

MS3 =0 M(z) = - 212

5ql z

• z = 0 S3 B N(0) = NB = - 212

5ql

T(0) = TB = - 212

5ql

M(0) = MB = 0

• z = l 2 S3 D N( 2l ) = ND = - 212

5ql

T( 2l ) = TD = - 212

5ql

M( 2l ) = MD = - 2

6

5ql

B

(5/6)ql

z

N(z) T(z)

M(z)

S3

B+

ql/2

ql2/3

z

T(z)

M(z)

N(z)

S2

(2/3)z z/3

l

qz

2

2


15


D

C A B

212

5ql

- N

T

D

C A

B

212

5ql

-

+

- 3

ql

2

ql

M

D

C A B

2

6

5ql

3

2ql


16


Il sistema assegnato è staticamente determinato (la dimostrazione si lascia per esercizio).

Come prima cosa conviene scom-

porre il carico distribuito in una

componente perpendicolare e in

una componente parallela alla di-

rezione AC. Si osserva poi che

l’asta EC è sottoposta unicamente

a forza normale; pertanto le rea-

zioni vincolari delle cerniere C ed

E devono essere parallele alla dire-

zione EC.

l l l

l A

B C

D E

/4

/4

2p

2p

pCosp 4

2

pnSp 4

i 2

Esercizio 1.4


17

• Equilibrio corpo ABCD

CE

2

0

R2

2

l

pdx = 0

CE

2

0

R2

2

l

pdx +YA+YD= 0

lpxdx

l

2R2

2CE

2

0

+ YDl = 0

RCE = - 22 pl

YD = 6pl YA = -2pl

l

CER

CER

2

2

CER

2

2

CER

CER

2

2

CER

2

2

l l

A B

D

C

YA

YD

CER

CER

2

2

CER

2

2

p

p

Y

X


18


• Verifiche

X = 0 02

2

0

l

pdxpl ✓

Y = 0 0262

2

0

l

pdxplplpl ✓

MD = 0 0222

2

0

222 l

pldxplplpl ✓

22 pl

pl2

pl2

l l

A B

D

C

2pl

6pl

p

p

l

22 pl

pl2

pl2

22 pl

pl2

pl2

C

E


19


• NODO B

22 pl

pl2

pl2

22 pl

pl2

pl2

C

E

z

22 pl

pl2

pl2A B

D

C

2pl

6pl

p

p

z

z z

NBIII

TBIII

MBIII

NBI

TBI

MB1

MBII

NBII

TBII

NBIII

TBIII

MBIII

BIII BI NB

I

TBI

MBI

NBII

TBII

MBII

BII

B


20

• Tratto AB

N(z) = pz

T(z) = -2pl - pz

M(z) = -2pl z - (1/2)pz2

• z = 0 S1 A N(0) = NA = 0

T(0) = TA = -2pl

M(0) = MA = 0

• z = l S1 BI N(l) = NBI = pl

T(l) = TBI = -3pl

M(l) = MBI = -(5/2)pl2

• Tratto DB N(z) = -6pl

T(z) = 0

M(z) = 0

• z = 0 S2 D N(0) = ND = -6pl

T(0) = TD = 0

M(0) = MD = 0

• z = l S2 BII N(l) = NBII = -6pl

T(l) = TBII = 0

M(l) = MBII = 0

T(z)

M(z)

N(z)

p

z/2 z/2

pz

z

S1 A

pz

2pl

D

S2

6pl

z

T(z)

N(z)

M(z)


21

• Nodo B


NBIII = pl

TBIII = 3pl

MBIII = -(5/2) pl 2

NBIII

TBIII

MBIII

BIII BI pl

3pl

(5/2)pl 2

NBIII

TBIII

MBIII

pl

3pl

(5/2)pl 2

6pl

B

BII

6pl

pl

3pl

(5/2)pl 2 BIII BI pl

3pl

(5/2)pl 2

pl

3pl

(5/2)pl 2

pl

3pl

(5/2)pl 2

6pl

B

BII

6pl


22

• Tratto BC

N(z) = pl + pz

T(z) = 3pl - pz

M(z) = -(5/2)pl2 +3pl z - (1/2)pz2

• z = 0 S3 BIII N(0) = NBIII = -pl

T(0) = TBIII = 3pl

M(0) = MBIII = -(5/2)pl2

• z = l S3 C N(l) = NC = 2pl

T(l) = TC = 2pl

M(l) = MC = 0

• Tratto CE

N(z) = 22 pl

T(z) = 0

M(z) = 0

T(z)

M(z)

N(z)

p

z/2 z/2

pz

z

S3

BIII

pz (5/2)pl 2

3pl

pl


23

• Diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione

A B C

D E

N +

-

+

6pl

2pl

22 pl

A

B C

D E

T +

-

2pl 3pl

2pl

3pl

A B C

D E

M

2

2

5pl

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