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Ing. G. Pasini – Esercitazioni di Impianti Elettrici 1 – N° 4: Calcolo correnti di cortocircuito - 24/12/98 pag. 1

Esercitazioni di Impianti Elettrici 1N° 4: Calcolo delle correnti di ctocto

3.1 - Richiami di teoria: generalità sul calcolo di ctocto e guasti trifase

3.1.1 - Generalità

Lo studio delle correnti di cortocircuito è uno dei problemi classici per l'impiantista elettrico;la conoscenza dei valori di tali correnti è fondamentale per un corretto dimensionamentodelle linee e dei trasformatori, ma soprattutto dei dispositivi di protezione e di intervento:relè e interruttori. L'utilizzo di relè di minima tensione negli impianti industriali BT e MT e direlè distanziometrici nelle impianti di trasmissione in AT rende necessaria non solo laconoscenza delle correnti nei vari rami, ma anche delle tensioni nei nodi dell'impiantodurante e dopo il guasto.Se non ci si prefigge un'analisi raffinata, che tenga in conto i transitori elettromagnetici edelettromeccanici, lo studio delle correnti di ctocto è relativamente semplice dal punto divista concettuale, basandosi su pochi concetti, che vanno però compresi a fondo eutilizzati correttamente. Può invece essere più complesso dal punto di vistacomputazionale, specie quando la rete presenta dimensioni notevoli, soprattutto se sitratta di reti magliate e di guasti dissimmetrici (vedasi seguito).Il principio fondamentale su cui ci si basa per il calcolo è il principio di sovrapposizionedegli effetti. Come ben noto, tale principio è applicabile solo a reti lineari e in cui igeneratori siano ideali. Occorre pertanto che la rete oggetto dello studio goda di questeproprietà. Come frequentemente accade per molte applicazioni ingegneristiche, anche inquesta si commette una approssimazione, ma i risultati ottenibili sono molto vicini al vero.Ulteriori approfondimenti permetteranno di tenere in qualche considerazione effetti di non-linearità o di applicare il principio entro limiti che permettano di considerare la rete comeeffettivamente lineare.E' ben noto che iniettando da sorgente esterna corrente in un nodo di una rete è possibilemodificare la tensione di tale nodo (e degli altri nodi della rete). Infatti, detta Y la matricedelle ammettenza nodali, vale:∆ ∆I Y U= ⋅ (1.1)

da cui reciprocamente:∆ ∆U Z I= ⋅ (1.2)

dove: Z Y= −1 (1.3)

è la matrice delle impedenze nodali. Così, ipotizzando l'iniezione di corrente nel solo nodok −esimo, vale:

knkn

kk

kk

IZU

IZU

IZU

∆⋅=∆

∆⋅=∆

∆⋅=∆

K

22

11

(2.1)

ed in particolare:


∆ ∆U Z Ik kk k= ⋅ (2.2)

Quindi il fenomeno (reale!) del ctocto in un dato nodo può essere modellizzato come unainiezione di corrente nel nodo di guasto, corrente tale da annullare la tensione del regimepreesistente. Tale iniezione altri non è se non la corrente di guasto cambiata di segno:convenzione abituale è che la corrente di guasto sia considerata positiva se uscente,mentre le iniezioni delle (1.1), (1.2), (2.1), (2.2) sono positive se entranti, per cui la (2.2)diventa:∆U Z Ik kk cc k= − ⋅ , (2.3)

dove I cc k, è la corrente di cortocircuito nel nodo. Sia:( )0kU

la tensione del regime preesistente. Allora deve valere:( ) 00 =∆+ kk UU (3.0)

se il guasto è franco; quindi:

( )( )

kk

kkcckcckkk ZUIIZU

0

,,0 0 =⇒=⋅− (3.1)

Quest'ultima formula mostra con chiarezza come il procedimento fin qui seguito altro nonsia se non l'applicazione del teorema di Thevenin. Il valore Z kk , k −esimo elementodiagonale della matrice delle impedenze nodali, altri non è se non l'impedenza equivalentedi Thevenin dell'intera rete vista da quel nodo, e il valore ( )0

kU , tensione del regimepreesistente, altri non è se non la tensione equivalente di Thevenin (tensione a vuoto inquel nodo, dove per "vuoto" si intende che il nodo non è ancora stato posto a terramediante ctocto).Se però il guasto non è franco, cioè se esiste una impedenza di guasto Z g (resistenzad'arco, impedenza del mezzo incontrato dalla corrente per chiudere il cto, etc.), allora la(3.0) diventa:

( )kccgkk IZUU ,

0 ⋅=∆+ (3.2)

e quindi la (3.1):

( )( )

gkk

kkcckccgkcckkk ZZ

UIIZIZU+

=⇒⋅=⋅−0

,,,0 (3.3)

Quest'ultima formula, ancora perfettamente coerente con la rappresentazione di Thevenin,è più generale; la (3.1) è in essa contenuta, semplicemente ponendo pari a 0 il valoredell'impedenza di guasto.La (3.3) può essere usata indifferentemente utilizzando valori assoluti oppure valori in pu.Essa tuttavia è valida solo per guasti trifase simmetrici (guasto contemporaneo nelletre fasi, con medesima impedenza di guasto in ciascuna delle tre fasi).Questo approccio evidenzia alcuni punti fondamentali:a) l'intera rete viene ridotta nel punto di guasto ad un circuito equivalente di Thevenin;b) tale circuito viene chiuso sull'impedenza di guasto (eventualmente nulla) calcolando

così la corrente di guasto (effetto di guasto che si sovrappone al regime preesistente);


c) mediante tale corrente, utilizzando la (2.1) (ricordare che la corrente di guasto hasegno opposto rispetto alla corrente utilizzata nella formula) è possibile calcolare inqualunque altro nodo della rete la tensione dovuta all'effetto di guasto (o, se sipreferisce esprimersi in altro modo, la variazione di tensione rispetto al regime dovutaal guasto); informazioni utile, tra l'altro, per una corretta scelta o per la corretta taraturadei relè di minima tensione;

d) grazie a queste variazioni di tensione è possibile calcolare in ogni ramo della rete lacorrente dovuta all'effetto di guasto (o, se si preferisce, la variazione di correnterispetto al regime dovuta al guasto): questa informa di quanto il guasto possa esserepericoloso (correnti elevate, molto superiori alla portata nominale e persistenti perlungo tempo, portano alla distruzione dell'isolamento per l'elevato calore sviluppatodall'effetto Joule, alla rottura meccanica di quadri e sbarre per i notevoli sforzielettrodinamici, o addirittura alla fusione di parti metalliche conduttrici) e permettequindi di effettuare il corretto dimensionamento di linee, quadri, sbarre, interruttori euna corretta scelta e taratura dei relè di massima corrente.

Se l'impedenza equivalente di Thevenin nel nodo può essere calcolata mediante unprocesso di riduzione (serie-parallelo, stella-triangolo o triangolo-stella, etc.), quindi senzaricorrere alla matrice della impedenze nodali, i coefficienti:

( )nhZ hk ,,2,1 K=

da utilizzarsi nella (2.1) possono essere ottenuti in generale solo calcolando la colonnak −esima di tale matrice. La matrice delle ammettenze nodali viene costruita per ispezione;la matrice della impedenze nodali può invece essere ottenuta solo invertendo la matricedelle ammettenze. Essendo necessaria però una sola colonna di tale matrice, anzichéeseguire un processo di inversione totale basta risolvere il sistema:

[ ]

=

⋅

0

1

0

0

2

1

K

K

K

K

nk

kk

k

k

Z

Z

Z

Z

Y (4)

dove cioè la matrice dei coefficienti sia la matrice delle ammettenze nodali, il vettorecolonna delle incognite sia la colonna voluta della matrice delle impedenze nodali, e lacolonna dei termini noti sia un vettore composto interamente da valori nulli con la solaeccezione dell'elemento k −esimo, che dovrà essere pari a 1. Infatti, essendo la matricedella impedenze l'inversa della matrice delle ammettenze, il prodotto delle due matricidovrà fornire la matrice identità; pertanto il prodotto della matrice delle ammettenze nodaliper la colonna k −esima della matrice delle impedenze nodali fornirà la colonna k −esimadella matrice identità; la (4) esprime tale relazione.

3.1.2 - Transitori elettromagnetici

Le formule fin qui riportate, ed in particolare la (3.3) che è la formula più generale, sonoespressioni fasoriali. Di fatto queste esprimono un effetto che si sovrappone a quellopreesistente, ma tale effetto è a sua volta un effetto in regime P.A.S., quindi un nuovoregime. Una corretta impostazione del problema avrebbe richiesto la scrittura di unsistema di equazioni differenziali per tenere conto dei transitori elettromagnetici dovuti alla


presenza in rete di induttanze e capacità. I risultati ottenuti dalla (3.3) e dalle altre formuleforniscono quindi le sole componenti P.A.S. delle correnti di guasto (e delle variazioni ditensione), dette componenti simmetriche della correnti (o tensioni) di guasto.Esistono poi le correnti transitorie che sono di tipo esponenziale smorzato (come neicircuiti R-L o R-C) o di tipo oscillatorio smorzato (come nei circuiti R-L-C con determinantedell'equazione caratteristica negativo). Le correnti esponenziali smorzate vengonochiamate correnti o componenti unidirezionali, poiché non cambiano mai segno neltendere a zero (mentre le correnti simmetriche sono alternate e quindi vanno ora in unverso ora nell'altro). Queste correnti hanno valori iniziali tali da far sì che, sommate allacomponente simmetriche, le correnti nelle induttanze e le tensioni nei condensatori noncambino "a scalino" ma rimangano uguali negli istanti 0− e 0+ del guasto. Tipicamente,durante una guasto, in un ramo si ha:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) τ−−⋅+α+ω⋅⋅+α+ω⋅⋅= 0cos2cos2 00 ttUniDircccc eItItIti (5.1)

dove sono ben evidenti dai pedici o dagli apici la corrente del regime preesistente (apice" ( )0 "), quella simmetrica dovuta al guasto (pedice "cc ") e quella unidirezionale (pedice"UniDir "), e dove t t= 0 è l'istante di guasto. In tale istante, da 0− e 0+ , dovrà valere che lacorrente del regime preesistente e la corrente data dalla (5.1) siano uguali:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) UniDircccc ItItItI +α+ω⋅⋅+α+ω⋅⋅=α+ω⋅⋅ 00

000

00 cos2cos2cos2 (5.2)

cioè:

( )( )ccccUniDir

UniDircccc

tII

ItI

α+ω⋅⋅−=

=+α+ω⋅⋅

0

0

cos2

0cos2(5.3)

che significa che il valore massimo della corrente unidirezionale è pari al valore istantaneo(cambiato di segno) che la componente simmetrica ha al momento del guasto. Va notatoche tale valore massimo della componente unidirezionale non sarà uguale nelle 3 fasiperché in ciascuna di esse i valori istantanei della componente simmetrica saranno diversi(all'argomento del coseno della (5.3) andrà aggiunto un valore m2 3π ).

La conoscenza delle correnti unidirezionali è pure molto importante. Le costanti di temposono solitamente molto piccole (ms o decine di ms, nei casi peggiori centinaia di ms), percui il fenomeno transitorio si esaurisce molto in fretta e solitamente non fornisce contributimolto grandi al riscaldamento per effetto Joule, né è ancora rilevante quando gli interruttoriintervengono per aprire il circuito (dopo alcuni periodi); ma sono le componentiunidirezionali che determinano il massimo (o minimo) assoluto del valore istantaneo dicorrente, detto corrente di picco: tale valore va tenuto sotto osservazione perché valoritroppo elevati possono portare alla rottura del quadro o di altri componenti per sforzielettrodinamici. E' esperienza comune che per una rottura meccanica non importa tantoquanto a lungo permanga la forza, ma se tale forza supera o meno una data soglia: alsuperamento, la rottura è pressoché immediata (esempio comune: la rottura di noci omandorle con lo schiaccianoci: se non si ha forza sufficiente si può agire anche perparecchi secondi senza ottenere nulla, se si supera una certo valore di forza il guscio cededi schianto).Il numero di costanti di tempo presenti in una rete elettrica lineare è pari al numerocomplessivo di induttanze e condensatori in essa presenti, perché tale è l'ordine delsistema di equazioni differenziali che descrive il transitorio elettromagnetico della rete (piùinduttanze in serie o più condensatori in parallelo devono essere considerati come un solocomponente); tale numero può quindi essere molto elevato, e a ciascuna costante di


tempo corrisponde una componente unidirezionale in ogni componente della rete. Lacorrente di guasto o le correnti nei vari rami dovute al guasto sono quindi lasovrapposizione di una componente simmetrica e di molte componenti unidirezionali. La(5.1) più in generale diventa:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∑=

τ−−⋅+α+ω⋅⋅+α+ω⋅⋅=M

m

ttmUniDircccc

meItItIti1

,00 0cos2cos2 (5.4)

La valutazione di tali componenti per reti anche solo con pochi nodi è quindi unaoperazione complessa sia per quanto riguardo il calcolo delle costanti di tempo sia perquanto riguarda il valore iniziale di ogni componente. Inoltre va tenuto presente quantosegue. Già per la formula (5.1) non è semplice stabilire quale sia, in un periodo, l'istantepeggiore in cui possa avvenire il guasto, cioè quello che comporta il massimo valoreassoluto della corrente di picco; si tratta infatti di trovare il massimo di una espressionetrascendente al variare di un parametro (t0). Or dunque, se il calcolo è già complesso conuna sola costante di tempo, a maggior ragione lo sarà con più costanti, come previstodalla formula (5.4).L'esperienza di studio delle reti elettriche inoltre porta ad affermare che è possibile, senzaintrodurre gravi errori, approssimare con una sola componente unidirezionale la presenzadi molteplici componenti.Attenzione!Poiché la soluzione del sistema (4) ha fornito il valore:Z R jX R j Lkk kk kk kk kk= + = + ω

si può essere portati a credere che l'induttanza Lkk esista realmente e quindi che sia:

τ =LRkk

kk

non va invece dimenticato che l'impedenza in questione è una impedenza equivalente edè valida solo ai fini del calcolo fasoriale e solo se il sistema funziona in regime P.A.S. aquella frequenza per la quale l'equivalente è stato calcolato; non ha invece alcun valoreper i calcoli a frequenze diverse o, peggio ancora, in regimi diversi dal regime P.A.S..La costante di tempo va quindi calcolata con metodi diversi, di cui si parleràeventualmente in seguito.

3.1.3 - Comportamento subtransitorio, transitorio, permanente

Solitamente gli alternatori vengono rappresentati come generatori ideali, eroganti unaf.e.m. spesso indicata con E , con in serie una reattanza detta reattanza sincrona edeventualmente con la resistenza d'armatura. Per questo vale:

( ) IXjRUE sa&&&&& ⋅++= (6)

dove U& è la tensione ai morsetti e I& la corrente erogata.

Nella costruzione dell'equivalente di Thevenin di un generatore reale funzionante a caricoil generatore ideale viene spento e quindi la reattanza sincrona viene posta a terra (nellarappresentazione unifilare di un sistema trifase) ed entra nel calcolo della matrice delleammettenze nodali come elemento shunt; il generatore equivalente di Thevenin eroga unatensione pari a quella misurata ai morsetti nel regime precedente al guasto. E' quindi


immediato pensare che in caso di guasto il generatore fornisce un corrente (simmetrica) diguasto pari a:

sagencc XjR

UI&&

&&

+=, (7.0)

La corrente complessiva è data dal circuito originale:

sagentot XjR

EI&&

&&

+=, (7.1)

e può essere vista come:

sasasagentot XjR

UXjRUE

XjREI

&&

&

&&

&&

&&

&&

++

+−

=+

=,

dove il termine:

sa XjRUE&&

&&

+−

è la corrente di regime, come da equazione (6), mentre il termine:

sa XjRU

&&

&

+

è il solo effetto di guasto, come da equazione (7.0).Tuttavia non va dimenticato che in caso di perturbazione il comportamento di ungeneratore è parecchio più complicato. Dal modello dell'alternatore si ricorderà che lacorrente dell'effetto di guasto vede inizialmente una reattanza molto inferiore a quellasincrona, a causa dell'effetto dei transitori sui circuiti di eccitazione e dei circuiti smorzatoridi asse diretto e in quadratura. Tale reattanza prende il nome di reattanza subtransitoria, siindica con X ′′& ed è 4÷8 volte inferiore alla reattanza sincrona. Gradualmente questareattanza evolve verso valori maggiori, e si parla allora di reattanza transitoria X ′& , circa1.5÷2.0 volte più grande della transitoria. Infine la reattanza raggiunge gradualmente ilvalore della reattanza sincrona.Valori tipici:

pupupu

50.280.0

40.020.0

25.012.0

÷=

÷=′

÷=′′

X

X

X

&

&

&

Tipicamente allora in una rete elettrica con generatori il ctocto attraversa varie fasi ocondizioni: - la fase iniziale o subtransitoria, caratterizzata da risposta dei generatori con reattanze

subtransitorie; sono questi i valori di reattanza da porre nel calcolo dei cti equivalenti diThevenin e nella matrice delle ammettenze per il calcolo del solo effetto di guasto, percui:

XjRUI

agencc ′′+

=′′&&

&&

, (7.2)


solitamente in questa fase i dispositivi di protezione non hanno ancora fatto in tempoad aprire gli interruttori; tuttavia questi, come pure cavi, quadri, etc., nonché ilgeneratore stesso, devono essere dimensionati per resistere agli effetti termici dellacorrente subtransitoria e alle sollecitazioni elettromeccaniche dovute alla corrente dipicco; va tenuto presente che per i generatori il valore della resistenza di armatura èsolitamente molto piccolo (dell’ordine di 0.005 pu) e questo può dar luogo a costanti ditempo della componente unidirezionale elevate; per esempio con pu005.0=aR& e

( )Hzpu 5000064.02.0 ==′′⇒=′′ fLX& , si ha ms127=τ ; questo significa che il rapportotra corrente di picco e (valore efficace della) corrente simmetrica (subtransitoria) saràmolto prossimo al valore massimo teorico di 22 ;

- la fase successiva, detta transitoria, dopo un tempo dell'ordine dei 100 ms,caratterizzata da risposta dei generatori con reattanze transitorie; sono questi i valoridi reattanza da porre nel calcolo dei cti equivalenti di Thevenin e nella matrice delleammettenze per il calcolo del solo effetto di guasto;

XjRUI

agencc ′+

=′&&

&&

, (7.3)

solitamente è in questa fase che si ha l’intervento di apertura degli interruttoricomandati dai relè che hanno percepito il guasto, quindi è sulla base della correntetransitoria che gli interruttori vanno dimensionati per quanto riguarda il loro potere diapertura;

- la fase permanente, dopo alcune centinaia di ms, caratterizzata da risposta deigeneratori con reattanze sincrone; riguardo a quest'ultima va però precisato che aquesto punto dell'evoluzione del fenomeno l'intervento dei regolatori di tensione avràgià fatto in tempo a modificare sensibilmente il valore della tensione E per cui l'utilizzodi una formula come la (7.0) per il calcolo della corrente permanente non èparticolarmente attendibile.

La componente sinusoidale avrà quindi una ampiezza che si smorzerà nel tempo,evolvendo da un massimo nella condizione subtransitoria a valori via via decrescenti.Non va poi dimenticato che la presenza della componente unidirezionale (diversa nelle trefasi) andrà sempre tenuta in conto, sovrapponendo tale componente a quella simmetrica,e cha tale componente sarà particolarmente gravosa per l’elevato valore della costante ditempo di smorzamento.

3.1.4 - Transitori elettromeccanici

I transitori di tipo elettromagnetico non sono però gli unici transitori presenti nella rete incaso di guasto. Le macchine rotanti subiscono sensibili perturbazioni per quanto riguarda ilbilancio coppia elettrica - coppia resistente o coppia motrice; ne consegue unamodificazione della velocità, che solitamente consiste in una rallentamento per i motori (ilcrollo di tensione comporta la mancanza di alimentazione e quindi la coppia resistenteprevale su quella motrice) e in una accelerazione per i generatori (il crollo di tensioneriduce la possibilità per la macchina di cedere potenza elettrica alla rete, mentre il motoreprimo continua a fornire coppia motrice). Questi fenomeni prendono in generale il nome ditransitori elettromeccanici; sono fenomeni molto più lenti di quelli elettromagnetici,separati da questi da 2÷4 ordini di grandezza (= fattore 100÷10000) per quanto riguarda lecostanti di tempo.


Per i motori il rischio maggiore è quello dello stallo: il rallentamento può portare a riduzionidella velocità tali che, all'eliminazione del guasto e al ripristino della tensione, la richiestadi potenza attiva e reattiva che il motore fa alla rete sia eccessiva, tanto da non poteressere soddisfatta; il motore non è più in grado di riaccelerare e continua a rallentare finoa fermarsi, oppure rimane a quella velocità o si riprende lentissimamente, rimanendo perlungo tempo nella zona di funzionamento della caratteristica elettromeccanica detta “zonadi funzionamento instabile”; tutto questo mentre è ancora alimentato, assorbendo quindielevati valori di corrente (valori paragonabili a quelli delle correnti di spunto), con elevataproduzione di calore per effetto Joule e tutte le conseguenze, anche distruttive, del caso.Per la verità l'assorbimento di corrente di un motore non ancora fermo non può esseresuperiore alla richiesta che si ha in condizioni di spunto, e quindi la rete dovrebbe esserein grado di fornirlo senza problemi; ma nel caso del ripristino della tensione dopol'eliminazione di un guasto va considerato sia che tutti i motori coinvolti tentano, allo stessotempo, di riprendersi, sovraccaricando la rete, sia che la rete può esserecomplessivamente in condizioni di stabilità ancora precarie perché anche i generatori sonoancora coinvolti nei rispettivi transitori elettromeccanici. Inoltre per il normale avviamentodi alcuni motori di grandi dimensioni sono talvolta previsti opportuni accorgimenti (comeper esempio la riduzione del carico meccanico durante lo spunto, per poi aumentarlogradualmente una volta raggiunta la zona di funzionamento stabile) che non possonoessere applicati all'eliminazione del guasto perché richiedono interventi manuali ecomunque tempi molto più lunghi di quelli disponibili.Durante il guasto i motori si comportano come generatori: sono di fatto sorgenti di f.e.m.,che però viene presto ad esaurirsi. Il loro contributo è rilevante solo per quanto riguarda lecorrenti subtransitoria e di picco; solitamente nella fase transitoria tale contributo èesaurito.Per i generatori il rischio maggiore è quello della perdita di passo. Se un generatoreaccelera eccessivamente rispetto ad altri o rispetto ad una rete prevalente (la rete detta "dipotenza infinita"), il suo angolo di carico potrebbe compiere un mezzo giro e la f.e.m.potrebbe trovarsi quindi in opposizione rispetto a quella delle altre macchine; questocomporterebbe forti transiti di potenza attiva e reattiva tra quel generatore e i rimanenti. Ilfenomeno può presentarsi anche dopo l'eliminazione del guasto, perché la pesanteperturbazione dovuta al ctocto innesca un transitorio elettromeccanico che richiede uncerto tempo per spegnersi naturalmente. Il superamento del mezzo giro fino alcompimento del giro intero, o di più giri, detto appunto "perdita di passo", produce pesantisollecitazioni sulla macchina medesima e comporta rilevanti oscillazione nel valoreefficace della tensione (il fenomeno è simile a quello dei "battimenti" in campo acustico) eprovoca l'intervento delle protezioni che staccano dalle rete i gruppi coinvolti, evitandodanni ai componenti ma, spesso, portando alla fermata dell'impianto.Sempre per i generatori non va poi dimenticato l'effetto dei regolatori di tensione e divelocità.I primi (spesso chiamati con la sigla AVR - Automatic Voltage Regulator - tenderanno, daun lato, ad aumentare l'eccitazione per ripristinare la tensione, e dall’altro a ridurla perlimitare le correnti durante il guasto (se sono forniti di logiche di controllo che consideranoanche la corrente e/o la potenza reattiva erogata); dei due effetti sarà possibile saperequale sarà quello prevalente solo con opportune simulazioni con programmi di calcolospecialistici, o quantomono con considerazioni più complesse di quelle possibili in questasede. L'aumento dell'eccitazione modifica il modello di rete costruito con l'equivalente diThevenin, perché cambiano le sorgenti di f.e.m.; tale modello è quindi valido solo nei primiistanti del transitorio, per un lasso di tempo di poche centinaia di ms (situazionesubtransitoria e, in parte, transitoria).


I secondi (spesso chiamati Governor nella letteratura anglosassone) agiranno sui motoriprimi per stabilizzare la velocità; saranno solitamente più lenti degli AVR perché dovrannoagire meccanicamente su valvole di alimentazione (dell’acqua per le turbine idrauliche, delvapore per le turbine a vapore, del combustibile per i turbogas).

Tutte queste considerazioni devono servire come riflessione critica perché si abbiano benpresenti i limiti insiti nel calcolo delle correnti di ctocto con il metodo di sovrapposizionedegli effetti. Tuttavia l'esperienza insegna che tale metodo, se eseguito cercando semprele condizioni peggiori (esempio: condizioni peggiori per la componente unidirezionale equindi massima corrente di picco), fornisce risultati attendibili o almeno a vantaggio disicurezza.

3.1.4 - Metodi “a rete scarica” e “a rete carica” - Correnti massime e minime di ctocto

Nei precedenti paragrafi si è affermato che il calcolo delle correnti durante il guasto vieneottenuto dalla sovrapposizione di due effetti: - il regime preesistente al guasto - il regime di guastoLa somma delle correnti dei due effetti fornisce la corrente complessiva durante il guasto.Questo metodo comporta la necessità di calcolare il regime preesistente sia perdeterminare le correnti in tale regime, da sommare poi a quelle del regime di guasto, siaper determinare la tensione preesistente in ogni nodo per il quale si voglia calcolare ilguasto, da usarsi come tensione dell'equivalente di Thevenin nella formula (3.3). Ma è bennoto che il calcolo di regime è, spesso, un calcolo laborioso, che per reti radiali può essererisolto in via approssimata oppure in maniera esatta con metodi iterativi, o che più ingenerale (reti di tipo qualunque) richiede la soluzione di un problema di load-flow. Così, ilcalcolo delle correnti di ctocto, che di per sé sarebbe lineare, come da formule (3.3) e (4),richiede preventivamente un calcolo non lineare!Inoltre, questo modo di procedere arriva a risultati diversi a seconda delle condizioni delregime preesistente. La finalità del calcolo di ctocto è invece quella, solitamente, di trovarele condizioni in assoluto peggiori per la rete. Occorrerebbe allora considerare infinitesituazione del regime preesistente per poi scegliere quella che porta alle maggiori correnticomplessive durante il ctocto, eseguendo così il calcolo infinite volte.L'esperienza però mostra che normalmente le correnti di guasto sono molto più grandi diquelle di regime. Si opta quindi frequentemente per una strada diversa: - il regime preesistente è considerato "a vuoto": nessuna transito di potenza in tutta la

rete, tensione uguale in modulo e fase in tutti i nodi; - con tale regime si calcola il regime di guasto; le correnti complessive durante il guasto

coincidono con quelle del solo regime di guasto, essendo nulle nel regimepreesistente;

- per eseguire un calcolo a vantaggio di sicurezza, che tenga conto cioè di tutte lepossibili condizioni di funzionamento e fornisca quella peggiore, il valore di tensione intutti della rete del regime preesistente a vuoto viene considerato non pari a 1 pu, masuperiore: 1.05 o 1.10 pu, a seconda dei casi e del margine di sicurezza che si vuoletenere in conto.


Questo metodo è detto metodo a rete scarica, mentre quello che considera un regimereale preesistente è detto per questo metodo a rete carica; il metodo a rete scaricacomporta una maggiore semplicità di calcolo e al tempo stesso una maggiore generalità.Infine, va tenuto presente che non sempre la motivazione del calcolo delle correnti dictocto è quella di trovare le massime correnti per un corretto dimensionamento deicomponenti, dei quadri e degli interruttori. Un problema più sottile è quello dellapercezione del guasto da parte dei relè: ci possono essere condizioni di funzionamentodella rete in cui, in caso di ctocto, le correnti di guasto sono modeste; occorre che anche intali casi i relè abbiano la percezione che c'è un guasto in atto e quindi intervengano.Un esempio è il seguente. Si consideri una rete industriale composta dalla connessionecon la rete prevalente, da alcuni generatori interni, (l'impianto è di autoproduzione), e daparecchi carichi rotanti, oltre ovviamente ai quadri, ai trasformatori e ai cavi per connetteretra loro sorgenti e utenze. La condizione in cui la connessione con la rete prevalente èchiusa, tutti i generatori sono in servizio e così pure tutti i motori è quella che, ovviamente,in caso di guasto presenterà i maggiori valori di correnti di ctocto, perché sarannonumerosi i contribuenti al guasto. Si dice allora che questo è un calcolo di ctocto acorrenti massime.Si supponga che (per esempio per motivi di manutenzione) l'impianto venga fermato,lasciando in servizio solo pochi carichi statici (illuminazione, etc.) e spegnendo anche tutti igeneratori (potenza solo dalla rete prevalente) oppure lasciando in servizio un sologeneratore ma aprendo la connessione con la rete prevalente. In tale configurazione, incaso di guasto, le correnti di ctocto saranno molto inferiori rispetto al caso precedente,perché si avrà una sola fonte di contribuzione di corrente (la rete prevalente, collegataall'impianto mediante il trasformatore di interconnessione, oppure il solo generatorerimasto in servizio). Se i relè fossero tarati solo in base al calcolo a correnti massime,probabilmente in caso di guasto non interverrebbero, perché la corrente percepita sarebbeinferiore alla soglia prescelta. Occorre allora eseguire anche questo calcolo, detto acorrenti minime, per poter predisporre una corretta taratura. Per maggiore precauzione,anziché usare una tensione di 1.05 o 1.10 nel regime preesistente a vuoto, si preferisceutilizzare una tensione di 1.00 o 0.95 pu, in modo da ottenere le correnti minime assolute.Il problema è comunque delicato, perché a volte le correnti minime, in alcuni rami, sonoinferiori alle correnti di regime in condizione di carico normale (il protezionista si augura dinon imbattersi mai in questi casi limite).

3.2 - Richiami di teoria: guasti dissimmetrici

3.2.1 - Generalità

I guasti trifase non sono gli unici tipi di guasto possibili, anzi. Frequentemente è una solafase ad essere colpita dal ctocto, e in tal caso si parla di guasto monofase, altre volte ilctocto avviene tra due fasi distinte, e in tal caso si parla di guasto bifase. Spesso - pernon dire sempre - il guasto trifase è l'evoluzione di un guasto monofase o bifase, dove percause varie (estensione dell'arco, distruzione dell'isolante, etc.) vengono coinvolte anchele fasi rimaste sane. Il guasto monofase non può che essere tra una fase e la terra; ilguasto bifase invece può essere tra due fasi senza interessare la terra, e in tal casoprende il nome di guasto bifase isolato, oppure interessandola, e in tal caso prende ilnome di guasto bifase a terra. In tutti questi casi il guasto può essere franco oppuremediante impedenza.


3.2.2 - Multipolo equivalente

Il problema da affrontare in caso di guasto dissimmetrico è più complesso di quello relativoal caso di guasto trifase, anche se vale sempre l'utilizzo del principio di sovrapposizionedegli effetti. La rete viene sempre rappresentata mediante un equivalente di Thevenin. Giàper il guasto trifase sappiamo che il bipolo equivalente di Thevenin è unarappresentazione unifilare di un sistema trifase; occorre invece ora esplicitare le 3 fasi, perciascuna delle quali si avrà un generatore equivalente in serie con una impedenzaequivalente, come segue:

a

b

c

G

fig. 1Quindi anziché un bipolo equivalente si avrà un multipolo equivalente. Siano:U U Ua b c, , le tensioni dei tre morsetti di uscita (tensioni di fase, rispetto a terra)

E E Ea b c, , le tensioni dei tre generatori equivalenti

I I Ia b c, , le correnti uscenti dai tre morsetti

Naturalmente le tre tensioni dei generatori equivalenti sono tra loro uguali in modulo esfasate di 120° l'una dall'altra, cioè vale che:

π+θπ

+

π−θπ

−

θ

⋅=⋅=

⋅=⋅=

⋅=

32

32

32

32

ee

ee

e

jj

ac

jj

ab

ja

EEE

EEE

EE

(8.0)

Le tensioni ai morsetti sono pari alle tensioni dei generatori meno la c.d.t. dovuta alpassaggio di corrente sulle impedenze equivalenti. Va però tenuto presente che la c.d.t. suuna fase, in generale, non dipende solo dalla corrente su tale fase, ma anche dallecorrenti sulle altre due fasi, a causa della presenza di effetti mutui (mutue induttanze,mutue capacità). Si può allora scrivere:

( )( )( )cccbcbacacc

cbcbbbababb

cacbabaaaaa

IZIZIZEU

IZIZIZEU

IZIZIZEU

⋅+⋅+⋅−=

⋅+⋅+⋅−=

⋅+⋅+⋅−=

(9.1)

o anche, in forma matriciale:


⋅

−

=

c

b

a

cccbca

bcbbba

acabaa

c

b

a

c

b

a

I

I

I

ZZZ

ZZZ

ZZZ

E

E

E

U

U

U

(9.2)

quindi: - al posto del generatore equivalente di Thevenin, si ha una terna di generatori - al posto dell'impedenza equivalente di Thevenin, si ha una matrice (3 x 3) di

impedenzeUn discorso a parte meriterà in seguito l'impedenza che dal punto "G" (centro stella deigeneratori) va verso terra.Se il sistema equivalentato è, in ogni sua parte, geometricamente simmetrico sulle tre fasi,allora vale che:Z Z ZZ Z Z Z Z Zaa bb cc

ab ba ac ca bc cb

= == = = = =

cioè tutti gli elementi fuori diagonale, vale a dire le mutue impedenze, sono uguali fra loro;tutti gli elementi diagonali sono uguali fra loro. Se per esempio, anziché un equivalente, siavesse un trasformatore reale, si avrebbe che:

2p

mcbbccaacbaab

pdsccbbaa

ZZZZZZZZ

ZZZZZZ

−=======

+====

cioè: le impedenze diagonali (quelle che in ogni fase rendono conto della tensione dovutaalla corrente nella fase medesima), che potremmo chiamare auto-impedenze (perdistinguerle dalle mutue impedenze) e sono contraddistinte dal pedice “s” che sta per “self-impedance”, possono essere viste come la somma di due termini, uno che rende conto deiflussi magnetici di dispersione in quella fase (Zd ) e uno che rende conto della componentedel flusso magnetico principale (Z p ); componente che, generata dalla corrente di quellafase, si concatenerà con la fase medesima ma anche con le altre; la mutua impedenzasarà pari alla metà di tale impedenza cambiata di segno (il flusso generato da una fase didividerà sulle altre due, percorrendole nel verso opposto a quello con cui percorre la faseda cui proviene).Quindi, per un sistema geometricamente simmetrico, si può scrivere anche:

⋅

−

=

c

b

a

smm

msm

mms

c

b

a

c

b

a

I

I

I

ZZZ

ZZZ

ZZZ

E

E

E

U

U

U

(9.3)

Si noti che quando il sistema lavora in condizioni non dissimmetriche, per cui:

π+δπ

+

π−δπ

−

δ

⋅=⋅=

⋅=⋅=

⋅=

32

32

32

32

ee

ee

e

jj

ac

jj

ab

ja

III

III

II

(10.0)

allora per esempio sulla fase "a":


( )( )cbmasa

cmbmasaa

IIZIZEIZIZIZEU

+⋅−⋅−==⋅+⋅+⋅−=

(10.1)

e poiché le tre correnti sono uguali in modulo e sfasate di 120°, vale che la loro somma ènulla e quindi:I I I I I Ia b c b c a+ + = ⇒ + = −0 (10.2)

da cui:

( ) ( )( ) amsa

amasacbmasaa

IZZEIZIZEIIZIZEU

⋅−−==−⋅−⋅−=+⋅−⋅−=

(10.3)

la dipendenza della tensione nella fase "a" dalla correnti nelle fasi "b" e "c" sembra esserescomparsa (ma questa scomparsa è solo una conseguenza della simmetria delle correnti);analogamente vale per le altre fasi. Si scrive allora:

cdcc

bdbb

adaa

IZEU

IZEU

IZEU

⋅−=

⋅−=

⋅−=

(10.4)

dove msd ZZZ −= prende il nome di impedenza di servizio; si è con questo tornati allarappresentazione unifilare di un sistema trifase, perché in generale è:

IZEU d ⋅−= (10.5)

Tornando al caso dissimetrico, l'equivalente dato dalla (9.3) o, più in generale, dalla (9.2)contiene in sé tutte le informazioni necessarie per affrontare il problema dei ctictidissimmetrici. Per esempio, per il guasto monofase basterà imporre 3 condizioni:U Z III

a g a

b

c

= ⋅==00

(11.1)

dove Z g è l'eventuale impedenza di guasto in caso di guasto non franco (se il guasto èfranco, Z Ug a= ⇒ =0 0 ). Quindi il sistema (9.3) si riduce alla sola equazione relativaalle tensioni nella fase "a", dove, essendo nulle le correnti delle altre due fasi:

agasa IZIZE ⋅=⋅− (11.2)

da cui:

gs

aa ZZ

EI+

= (11.3)

utilizzando tale corrente nelle altre due equazioni, è banale trovare la tensione ai morsettinelle altre due fasi.Un po' più complessa, ma comunque ancora ben risolvibile, la situazione per i guastibifase a terra e bifase isolato.Con questo modello il problema dei guasti dissimmetrici è quindi di (quasi) facilesoluzione. Tuttavia questo modo di procede non viene praticamente mai utilizzato, ma sipreferisce ad esso un modello, derivato da questo, più elegante e più semplice dal puntodi vista computazionale, anche se più complesso dal punto di vista concettuale.


3.2.3 - Le sequenze: elementi generali di teoria

Va tenuto presente che raramente sono disponibili, per i vari componenti di un sistemaelettrico (linee, trasformatori, generatori) i parametri di auto e mutua impedenza, in quantosolitamente viene fornito il valore di impedenza equivalente di fase. Come scomporre taleimpedenza nelle sua componenti auto e mutua richiede delle informazioni aggiuntive.Quand'anche tali informazioni aggiuntive siano disponibili, allora occorre tenere presenteche il calcolo dell'impedenza equivalente di Thevenin con le tre fasi in evidenza è moltopiù laborioso del calcolo con la rappresentazione unifilare, in quando ogni processo diriduzione serie o parallelo non sarà fatto considerando due impedenze, bensì due matrici(3 x 3) di impedenze; per non parlare delle conversioni stella-triangolo o triangolo-stella.Analogamente se si utilizza la matrice delle ammettenze nodali, il processo di calcolo delvettore colonna della matrice delle impedenze dovrà essere eseguito su matrici in cui ognielemento è in realtà una sottomatrice (3 x 3). Possibile, ma non agevole.Si ricorre allora ad una trasformazione che permette di superare questo problema. Perprima cosa occorre definire con rigore cosa si intende per terna simmetrica. In generale,una terna di fasori o comunque di vettori nel piano complesso si dice simmetrica se godedelle seguenti proprietà:a) i moduli delle tre grandezze sono uguali;b) ogni grandezza dista da quella della fase successiva di un medesimo angolo.La seconda proprietà implica allora che la somma degli angoli di differenza di fase traqueste grandezze deve dare l'angolo giro oppure un suo multiplo, cioè che:n kf ⋅ = ⋅∆θ π2 (12.0)

dove nf è il numero delle fasi (nf = 3 per i sistemi trifase). Per i sistemi trifase sono quindipossibili solo tre casi:

∆ ∆ ∆ ∆θπ

θ θπ

θπ

= ⇒ = = =k 23

0 23

43

; ; (12.1)

Si consideri l'operatore:

απ

= = − +ej

j23 1

232

(12.3)

e si noti che:

α

α

π π

π

243

23

363

12

32

1

= = = − −

= =

−e e

e

j j

j

j(12.4)

Questo operatore, se applicato ad una grandezza fasoriale tipo tensione o corrente,apporta ad essa uno sfasamento in avanti di 120°. Per esempio una terna di tensioni comequella dei tre generatori equivalenti di Thevenin della (8.0) potrebbe essere scritta come:

( )

( )a

jc

aj

b

ja

EEE

EEE

EE

⋅α=⋅=

⋅α=⋅=

⋅=

π+θ

π−θ

θ

32

232

e

e

e

(8.1)

Allora in un sistema trifase le terne simmetriche possibili, per una generica grandezza F ,sono:


⋅α

⋅α=

⋅α

⋅α=

=

i

i

i

ci

bi

ai

d

d

d

cd

bd

ad

o

o

o

co

bo

ao

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

2,

,

,2

,

,

,

,

,

,

;; (13.1)

denominate rispettivamente terna omopolare, diretta, inversa. - nella terna omopolare le tre grandezze di fase sono coincidenti; - nella terna diretta ogni grandezza di fase dista 120° dalla successiva; - nella terna inversa ogni grandezza di fase dista 240° dalla successiva.Un delle proprietà più significative di cui godono le terne simmetriche è quella di potereliminare, con un opportuno processo di equivalentazione, le mutue impedenze inequazioni come la (9.2). Infatti, se le 3 correnti al secondo membro sono correnti di unaterna simmetrica, allora, considerando ogni fase, è possibile esprimere le correnti dellealtre due fasi in funzione della corrente della fase medesima; per esempio con una ternadiretta vale che:

cbca

bcba

acab

IIII

IIII

IIII

⋅α=⋅α=

⋅α=⋅α=

⋅α=⋅α=

;

;

;

2

2

2

e quindi le c.d.t. della (9.2) possono essere espresse come:

( )

( )

( ) ccbcacc

cccccbccacccbcbacac

bbcbabb

bbcbbbbbacbcbbbabab

aacabaa

aacaabaaacacbabaaaa

IZZZ

IZIZIZIZIZIZUIZZZ

IZIZIZIZIZIZUIZZZ

IZIZIZIZIZIZU

⋅⋅α+⋅α+=

=⋅+⋅α⋅+⋅α⋅=⋅+⋅+⋅=∆⋅⋅α+⋅α+=

=⋅α⋅+⋅+⋅α⋅=⋅+⋅+⋅=∆⋅⋅α+⋅α+=

=⋅α⋅+⋅α⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=∆

2

2

2

2

2

2

e quindi la (9.2) diventa:

( )( )

( )

⋅

+⋅α+⋅α

⋅α++⋅α

⋅α+⋅α+

−

=

c

b

a

cccbca

bcbbba

acabaa

c

b

a

c

b

a

I

I

I

ZZZ

ZZZ

ZZZ

E

E

E

U

U

U

2

2

2

00

00

00

(9.2,d)

ritrovando per altra via, e con valore più generale, quanto già dimostrato con le(10.1÷10.5). Analoghi risultati si sarebbero ottenuti con correnti di sequenza omopolareoppure diretta. Si noti bene però che se anche la terna della correnti è simmetrica, la ternadella c.d.t. ottenute in generale non lo sarà, perché i 3 coefficienti sulla diagonale dellamatrice della (9.2,d) possono essere, in generale, diversi tra loro.Riprendendo la (13.1), si noti che in essa i tre vettori di coefficienti:

α

α

α

α

2

2

1

;

1

;

1

1

1

(13.2)

sono 3 vettori tra loro indipendenti; pertanto una loro combinazione lineare è in grado diesprimere qualunque terna di grandezze di fase o, ribaltando il concetto, qualunque terna,


quindi anche una terna dissimmetrica, di grandezze di fase può essere espressa comecombinazione lineare dei tre vettori della (13.2). I coefficienti moltiplicativi dei tre vettorisaranno i tre valori F F Fd i o, , , coincidenti ciascuno con la grandezza nella fase "a" dellarispettiva terna della (13.1). Vale allora che:

⋅

αα

αα=

i

d

o

c

b

a

F

F

F

F

F

F

2

2

1

1

111

(13.3)

e quindi, invertendo la matrice, vale anche:

⋅

αα

αα⋅=

c

b

a

i

d

o

F

F

F

F

F

F

2

2

1

1

111

31 (13.4)

per cui si può anche scrivere che:

F F F FF F F FF F F F

a o d i

b o d i

c o d i

= + += + ⋅ + ⋅= + ⋅ + ⋅

α αα α

2

2

(13.5)

o se, si preferisce:

⋅α

⋅α+

⋅α

⋅α+

=

i

i

i

d

d

d

o

o

o

c

b

a

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

2

2 (13.6)

che a volte si scrive anche come:

+

+

=

ci

bi

ai

cd

bd

ad

co

bo

ao

c

b

a

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

,

,

,

,

,

,

,

,

,

(13.7)

Questa trasformazione fu introdotta da Charles L. Fortescue nel 1918.Si notino subito alcune proprietà di questa trasformazione:a) nel caso in cui la terna al 2° membro sia del tipo previsto dalla (10.0), allora vale che:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 01

31

31

31

331

31

31

0131

31

31

2222

222

22

=⋅α+α+⋅=⋅α⋅α+⋅α⋅α+⋅=⋅α+⋅α+⋅=

=⋅⋅=⋅α⋅α+⋅α⋅α+⋅=α+⋅α+⋅=

=⋅α+α+⋅=⋅α+⋅α+⋅=++⋅=

aaaacbai

aaaaacbad

aaaacbao

FFFFFFFF

FFFFFFFFF

FFFFFFFF

cioè: le componente inversa e omopolare sono nulle, mentre la componente diretta èpari al fasore della fase "a"

b) in ogni caso (quindi anche dissimmetrico) la componente omopolare è pari alla sommadelle grandezze delle tre fasi divisa per 3; per esempio, se si considerano le correntidel circuito equivalente di Thevenin di fig. 1, tale corrente omopolare è 1/3 dellacorrente che da terra entra nel nodo "G" (centro stella della terna di generatori).


In sintesi, allora: qualunque terna fasoriale di grandezze di fase può essere vistacome la sovrapposizione di tre terne, dette terne di sequenza omopolare, diretta,inversa (oppure terne di sequenza zero, positiva e negativa) per le quali vale che: - per la terna diretta, le tre grandezze sono uguali in modulo e con fasi distanti tra loro

120°, presentandosi nell'ordine le fasi "a", "b", "c" (è quindi la terna che si ha incondizioni di funzionamento non dissimetriche);

- per la terna inversa, le tre grandezze sono uguali in modulo e con fasi distanti tra loro120°, presentandosi però nell'ordine le fasi "a", "c", "b" (quindi con ordine invertitorispetto alla terna diretta);

- per la terna omopolare, le tre grandezze sono uguali in modulo e presentano anche lamedesima fase: sono quindi 3 fasori coincidenti, la cui somma non sarà pari a zerocome per le terne diretta e inversa; tale terna sarà quindi presente solo quando lasomma delle grandezze originali di fase sia diversa da zero.

Si riprenda ora la (9.3) e la si riveda applicando questa trasformazione.

=

⋅

⋅

αα

αα⋅−

⋅

αα

αα⋅=

=

⋅

αα

αα⋅=

c

b

a

smm

msm

mms

c

b

a

c

b

a

i

d

o

I

I

I

ZZZ

ZZZ

ZZZ

E

E

E

U

U

U

U

U

U

2

2

2

2

2

2

1

1

111

31

1

1

111

31

1

1

111

31

⋅

αα

αα⋅

⋅

αα

αα⋅−

⋅

αα

αα⋅=

i

d

o

smm

msm

mms

c

b

a

I

I

I

ZZZ

ZZZ

ZZZ

E

E

E

2

2

2

2

2

2

1

1

111

1

1

111

31

1

1

111

31 (14.1)

La terna di tensioni del generatore equivalente di Thevenin è già una terna diretta, per cuila sua trasformazione è immediata:

≡

=

⋅

αα

αα⋅=

0

0

0

0

1

1

111

31

2

2da

c

b

a

EE

E

E

E

(15.1)

da un punto di vista fisico questo significa che il sistema non ha forzanti (sorgenti di f.e.m.)alle sequenze inversa e omopolare; questo vale, ovviamente, se nel regime preesistenteal guasto non sussistevano condizioni di dissimmetria.La trasformazione della matrice delle impedenze di Thevenin fornisce un risultatointeressante:

≡

−

−

⋅+

=

=

αα

αα⋅

⋅

αα

αα⋅=

i

d

o

ms

ms

ms

smm

msm

mms

Z

Z

Z

ZZ

ZZ

ZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

00

00

00

00

00

002

1

1

111

1

1

111

31

2

2

2

2

(15.2)


questo può essere dimostrato con un po' di semplice algebra; oppure applicando ilprincipio di sovrapposizione degli effetti per ciascuna componente di corrente: - per la sequenza omopolare la c.d.t. sulla fase "a" vale:

( ) ( ) ( ) aomsaommscobomaos IZZIZZZIIZIZ ,,,,, 2 ⋅⋅+=⋅++=+⋅+⋅ (15.3)

ed analogamente sulle altre fasi.

- per la sequenza diretta, si è già dimostrato con le (10.0÷10.3) e con la (9.2,d); - per la sequenza inversa, la dimostrazione è analoga a quella della sequenza diretta.Si noti che l'impedenza corrispondente alla sequenza omopolare è diversa da quella allesequenze diretta e inversa (tra loro uguali): questo è conseguenza del fatto che per lasequenza omopolare la somma delle tre correnti è diversa da zero, mentre è nulla per lealtre sequenze.Il risultato della (15.2) è significativo perché nella matrice i valori di mutua impedenza tra letre sequenze sono pari a 0, conservando solo gli elementi diagonali.Attenzione!questo vale solo se la matrice delle impedenze di Thevenin è del tipo indicato dalla(9.3), cioè se corrisponde ad un sistema geometricamente simmetrico tra le 3 fasi;nel caso in cui si abbia la più generica formulazione (9.2), in cui non valgono leuguaglianze tra i vari elementi, la matrice della (15.2) presenterebbe elementi fuoridiagonale.Questo significherebbe che, per esempio, una terna di corrente di sequenza direttaprodurrebbe c.d.t. sia dirette, che inverse, che omopolari; etc.Se poi, nel cto equivalente di fig. 1, il ramo che dal centro stella dei generatori va a terrapresentasse una impedenza di valore ZT , allora questa comporterebbe una ulteriore c.d.t.solo nel caso in cui tale ramo fosse attraversato da corrente. Questo si verifica quando lasomma delle 3 correnti di fase è diversa da zero, quindi solo in caso di presenza dicorrente omopolare. La corrente nel ramo sarebbe pari a 3⋅ I o e quindi l'ulteriore c.d.t. - inserie con quella di ciascuna fase, quindi percettibile con medesimo valore in tutte le fasi, eper questo definibile come c.d.t. omopolare - sarebbe pari a 3⋅ ⋅Z IT o . La matrice della(15.2) diventerebbe allora:

−

−

⋅+⋅+

=

ms

ms

Tms

i

d

o

ZZ

ZZ

ZZZ

Z

Z

Z

00

00

0032

00

00

00

(15.4)

Concludendo, nel caso favorevole di simmetria geometrica si può allora scrivere che:

⋅

−

=

i

d

o

i

d

o

d

i

d

o

I

I

I

Z

Z

Z

E

U

U

U

00

00

00

0

0

(14.3)

e questo risultato è estremamente significativo, perché quello che era un sistema di treequazioni tra loro dipendenti (9.3) è diventato ora un insieme di tre equazioni tra loroindipendenti:


iii

dddd

ooo

IZU

IZEU

IZU

⋅−=

⋅−=

⋅−=

(14.4)

potendo quindi infine affermare che gli effetti delle 3 sequenze sono tra loro indipendenti.Si noti che ogni equazione della (14.4) corrisponde ad una rappresentazione unifilare di unsistema trifase di tensioni e correnti: di ognuno di questi sistemi viene rappresentata, pertutte, sola la fase "a". Volendo esplicitare anche le fasi "b" e "c" occorrerebbe scrivere unsistema di 3 equazioni per ognuna delle (14.4); per esempio la prima equazione andrebbescritta per esteso come:

⋅

−

=

cd

bd

ad

d

d

d

cd

bd

ad

cd

bd

ad

I

I

I

Z

Z

Z

E

E

E

U

U

U

,

,

,

,

,

,

,

,

,

00

00

00

(16.1)

e analogamente la seconda e la terza. Tuttavia, una scrittura estesa non fornisce alcunainformazione aggiuntiva, per il semplice fatto che la sequenza è simmetrica e non sono piùpresenti mutue impedenze; quindi, noto quello che accade nella fase "a", nelle fasi "b" e"c" avviene la medesima cosa, con eventuali sfasamenti di 120° o 240° sia per tensioniche per correnti.Va notato che le 3 impedenze sulla diagonale della matrice nella (16.1) sono tutte ugualifra loro in modulo e fase; analogo risultato sarebbe ottenuto anche nel caso di sequenzaomopolare o inversa. Questo permetterebbe di affermare che le 3 impedenze allasequenza diretta della (16.1), come pure quelle delle altre sequenze, sono una ternaomopolare di vettori. Infatti molti testi parlano di sistema omopolare di impedenze allasequenza diretta (quello della (16.1)), sistema omopolare di impedenze alla sequenzainversa (matrice con elementi diagonali Zi ), sistema omopolare di impedenze allasequenza omopolare (matrice con elementi diagonali Zo ). Questa dicitura, benché correttadal punto di vista formale, è ora meno diffusa perché si preferisce utilizzare gli aggettivi"omopolare", "diretta" e "inversa" per indicare le sequenze di tensioni e correnti a cui leimpedenze si riferiscono, e non il fatto che le impedenze alle 3 fasi di una sequenza sonouguali tra loro (fatto quasi sempre verificato e quindi ritenuto ormai non più significativo)oppure sfasati in maniera simmetrica.

3.2.4 - Sequenze: utilizzo applicativo

Normalmente, per un componente, il costruttore fornisce i valori di impedenza allasequenza diretta, inversa e omopolare; se il componente è passivo (linea o trasformatore)le impedenze di sequenza diretta e inversa sono uguali: differiscono solo per le macchinerotanti.Sulla base di questi valori è possibile rappresentare il sistema elettrico mediante tre distintischemi unifilari, tra loro indipendenti, relativi alle 3 sequenze, e costruire per ciascuno diessi l'equivalente di Thevenin (normalmente solo quello alla sequenza diretta presenteràun generatore di f.e.m., gli altri saranno solo passivi) e/o la matrice delle ammettenze, i cuielementi saranno singole ammettenze e non sottomatrici (3 x 3).


ZoZd Zi

Ed

fig. 2Si ottengono così tre circuiti equivalenti, uno per ogni sequenza, rappresentabili in modounifilare come in fig. 2.Per una rete che sia elettricamente connessa nel normale funzionamento di regime, dove,in assenza di dissimmetrie geometriche o di carico, tensioni e correnti sono tutte disequenza diretta, può capitare che la corrispondente rete di sequenza omopolare presentiinvece dei rami aperti, e quindi sia suddivisa in isole (per rete connessa si intende una retein cui per qualunque coppia di nodi della rete esista almeno un percorso elettrico che licongiunga, e quindi non esistano isole).Infatti i trasformatori con avvolgimenti tipo "triangolo" oppure "stella isolata" non sono ingrado di far fluire corrente alla sequenza omopolare su tale avvolgimento, e si comportanopertanto come circuiti aperti a tale sequenza. Può anche capitare che la rete di sequenzaomopolare sia tutta aperta nel nodo in cui si calcola l'equivalente di guasto, e diconseguenza l'impedenza equivalente alla sequenza omopolare sarà infinita.Su tale argomento si tornerà in seguito, dopo aver esaminato i metodi di calcolo dei varitipi di guasto. Il sistema di equazioni (9.2) contiene 6 incognite (le tre tensioni di fase e letre correnti di fase) e 3 equazioni; analogamente il sistema (14.4), dove le tensioni e lecorrenti sono le trasformazioni, secondo leggi note, delle incognite del sistema (9.2).Occorre quindi fornire 3 ulteriori equazioni perché il sistema (14.4) possa esserecompletato. Se le ulteriori equazioni sono espresse in termini di grandezze di fase, graziealle (13.4) è possibile convertirle in termini di grandezze di sequenza.

Guasto monofase a terraSi supponga che il ctocto avvenga sulla fase "a". Sia Z g l'eventuale impedenza di guasto.Considerando allora il cto equivalente di fig. 1, si nota che la corrente di guasto è pari allacorrente nella fase "a", mentre le altre due fasi rimangono a vuoto. Si possono scrivere leseguenti equazioni:U Z III

a g a

b

c

= ⋅==00

(16.0)

Le correnti di sequenza, grazie alla (13.4), possono allora essere espresse in funzionedella corrente nella fase "a":

30

0

1

1

111

31

2

2 aido

a

i

d

oIIII

I

I

I

I

===⇒

⋅

αα

αα⋅=

(16.1)

quindi le correnti delle tre sequenze sono uguali e pari ad 1/3 della corrente di guasto.Inoltre, poiché dalla (13.3) vale che:


oida

i

d

o

c

b

a

UUUU

U

U

U

U

U

U

++=⇒

⋅

αα

αα=

2

2

1

1

111

(16.2)

quindi le tensioni delle tre sequenze, sommate, forniscono la tensione del nodo di guasto.Le due espressioni (16.1) e (16.2) e la prima equazione della (16.0) indicano allora che i 3circuiti equivalenti di fig. 2 devono essere tra loro combinati ponendoli l'uno in serieall'altro, e chiudendo poi il circuito su una impedenza di valore pari a 3⋅Z g . Infatti con talescelta essi sono percorsi dalla medesima corrente I I I Io d i a= = = 3 che, chiudendosisull'impedenza 3⋅Z g , darà una c.d.t. Z Ig a⋅ pari, secondo la prima equazione della (16.0),alla tensione della fase "a" e quindi alla somma delle tre tensioni di sequenza.Con tale cto equivalente è allora facile calcolare che:

I I I EZ Z Z Zo d i

d

o d i g

= = =+ + + ⋅3

(16.3)

da cui:

I EZ Z Z Z

EZ Z Z Z

U Z IZ

Z Z Z ZE

ad

o d i g

a

o d i g

a g ag

o d i ga

=⋅

+ + + ⋅=

⋅+ + + ⋅

= ⋅ =⋅

+ + + ⋅⋅

33

33

33

(16.4)

Da queste espressioni generali si ricavano quelle relative al guasto franco:

ido

dido ZZZ

EIII++

=== (16.3')

I EZ Z Z

EZ Z Z

U Z I

ad

o d i

a

o d i

a g a

=⋅

+ +=

⋅+ +

= ⋅ =

3 3

0(16.4')

Attenzione!Tensioni e correnti così calcolate, per questo caso e per i successivi, sono giàtensioni e correnti cumulative dell'effetto preesistente (regime, anche rete scarica) edell'effetto di guasto. Per esempio, nell'ultima equazione, la tensione nella fase "a"pari a 0 è la tensione complessiva, quindi si ha una tensione di guasto tale daannullare la tensione di regime e quindi uguale e contraria ad essa.Alcune importanti considerazioni vanno fatte sul guasto monofase.a) Nel caso in cui l'impedenza equivalente della rete alla sequenza omopolare sia infinita

(la rete non ammette l'ingresso/uscita di corrente omopolare in quel nodo) la correntedi guasto è nulla; si vedrà in seguito in quali casi questo accade. In assenza dicorrenti, alle sequenze diretta e inversa non ci sono c.d.t.; il centro stella G del ctoequivalente della rete (fig. 1), sul quale si misura la tensione omopolare, è invecelibero di spostarsi, e (in caso di guasto franco) si porterà quindi ad una tensione pari a−U a (del regime preesistente), in modo che la tensione del solo effetto di guasto sullafase "a", pari alla sola tensione omopolare (all'effetto di guasto), sia uguale e contrariaalla tensione nella fase "a" durante il regime. Ora il nuovo centro stella, che è anchecentro del sistema di tensione del generatore trifase equivalente, è l'estremo della fase


"a" e quindi le tensioni nelle fasi "b" e "c", rispetto a terra, sono aumentate nella misuradi 3 : le tensioni di fase verso terra assumuno il valore che normalmente vale per letensioni concatenate.

b) Nel caso invece in cui l'impedenza equivalente della rete alla sequenza omopolare sianulla o trascurabile (la rete ammette l'ingresso/uscita di grandi valori di correnteomopolare in quel nodo, senza subire variazioni significative di tensione), il centrostella G non si sposta, e con esso non si sposta il sistema delle tensioni, ma lacorrente di guasto può assumere valori notevoli.

c) Da queste considerazioni discendono i criteri di messa a terra del centro stella deitrasformatori per i sistemi elettrici ai vari livelli di tensione. Dalla (15.4) si nota come ilvalore dell'impedenza di messa a terra del centro stella sia un parametro moltoinfluente sul valore di impedenza alla sequenza omopolare. Nel caso di sistemi in AT(132, 150, 220, 380 kV) una situazione come nel caso "a)" comporterebbe tensionifase-terra molto elevate, con rischio per la tenuta degli isolamenti. Quindi si opta perun centro stella francamente a terra. Nel caso di sistemi BT l'aumento della tensione difase dal valore stellato (220÷230 V) a quello concatenato (380÷400 V) potrebbeessere sopportato dagli isolamenti dei cavi di distribuzione, ma non dai dispositividomestici, quindi anche in questo caso si opta per un centro stella francamente aterra. Nei sistemi MT invece cavi e linee sono ben in grado di reggere questoincremento di tensione, e si ritiene più opportuno privilegiare la limitazione dellecorrenti di guasto, quindi si opta per trasformatori con centro stella isolato oppure atriangolo.

Guasto bifase generalizzatoSi supponga che il ctocto avvenga sulla fase "b" e "c". La prima informazione è quindi chela corrente sulla fase "a" è pari a zero; siano poi definite, con la massima generalità, leeventuali impedenze di guasto: - Z g bG, tra la fase "b" e la terra;

- Z g cG, tra la fase "c" e la terra;

- Z g bc, tra le fasi "b" e "c".

Questo comporterà che:

I

I UZ

U UZ

I UZ

U UZ

a

bb

g bG

b c

g bc

cc

g cG

c b

g bc

=

= +−

= +−

0

, ,

, ,

(17.0)

La parte di rete esterna alla rete originale e quindi esterna all'equivalente, dovuta allasituazione di guasto e a cui corrispondono le (17.0), potrà allora essere descritta daseguente sistema di equazioni:

⋅

+−

−+=

c

b

a

bcgcGgbcg

bcgbcgbGg

c

b

a

U

U

U

ZZZ

ZZZ

I

I

I

,,,

,,,

1110

1110

000

(17.1)

o, se si preferisce, utilizzando le ammettenze anziché le impedenze:


⋅

+−

−+=

c

b

a

bcgcGgbcg

bcgbcgbGg

c

b

a

U

U

U

YYY

YYY

I

I

I

,,,

,,,

0

0

000

(17.2)

Questo può essere trasformato in modo da utilizzare terne di grandezze di sequenzesimmetriche:

⋅

αα

αα⋅

+−

−+⋅

αα

αα⋅=

=

⋅

+−

−+⋅

αα

αα⋅=

⋅

αα

αα⋅=

i

d

o

bcgcGgbcg

bcgbcgbGg

c

b

a

bcgcGgbcg

bcgbcgbGg

c

b

a

i

d

o

U

U

U

YYY

YYY

U

U

U

YYY

YYY

I

I

I

I

I

I

2

2

,,,

,,,2

2

,,,

,,,2

2

2

2

1

1

111

0

0

000

1

1

111

31

0

0

000

1

1

111

31

1

1

111

31

(17.3)

La matrice delle ammettenze alle sequenze simmetriche che si ottiene sviluppando ilprodotto matriciale della (17.3) sarà una matrice piena; questo significa che i tre circuiti disequenza, lato guasto, non saranno più indipendenti tra loro. In questo caso di massimageneralità allora l'utilizzo delle sequenze simmetriche non porta particolari vantaggi, nonessendo più in essere il disaccoppiamento tra di esse; tale strada è comunque possibile,ma in questa sede non verrà approfondita ulteriormente, anche perché la valutazione o lastima di 3 distinte impedenze di guasto è praticamente impossibile.Si esamineranno invece tre sottocasi: - il guasto bifase a terra, dove l'impedenza di guasto Z g bc, tra fase e fase si consideri

nulla e vi sia un'unica impedenza Z g tra il punto di guasto e la terra;

- il guasto bifase isolato, dove le impedenze di guasto Z g bG, e Z g cG, fase-terra siconsiderino infinite;

- il doppio guasto monofase, dove l'impedenza di guasto Z g bc, tra fase e fase siconsideri infinita; ma si verificherà che anche questo caso comporta la presenza dimutue impedenze tra le varie sequenze, quindi la trattazione non verrà completata.

Guasto bifase a terraSi supponga che il ctocto avvenga sulle fasi "b" e "c". La prima informazione è quindi chela corrente sulla fase "a" è pari a zero; è poi definita l'eventuale impedenza di guasto: - Z g tra il punto di guasto, comune alle fase "b" e "c", e la terra.


( )bc

cbgb

a

UU

IIZU

I

=

+⋅=

= 0

(18.0)

Da queste equazioni discende che:


( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )babacbai

babacbad

bacbao

cbcbao

UUUUUUUU

UUUUUUUU

UUUUUU

IIIIII

−⋅=⋅α+α+⋅=⋅α+⋅α+⋅=

−⋅=⋅α+α+⋅=⋅α+⋅α+⋅=

⋅+⋅=++⋅=

+⋅=++⋅=

31

31

31

31

31

31

231

31

31

31

22

22(18.1)

e questo significa che: - il circuito di sequenza omopolare è attraversato dalla somma delle due correnti di

guasto divisa per 3; - i circuiti di sequenza diretta e inversa sono sottoposti alla medesima differenza di

potenziale, quindi possono essere considerati in parallelo; si andrà quindi a verificarequanto valga la somma delle correnti in tali due circuiti.

Tale somma è data da:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ocbcbid

cbcbai

cbcbad

IIIIIII

IIIIII

IIIIII

−=+⋅−=+⋅α+α⋅=+

⋅α+⋅α⋅=⋅α+⋅α+⋅=

⋅α+⋅α⋅=⋅α+⋅α+⋅=

31

31

31

31

31

31

2

22

22

(18.2)

e questo significa che la corrente che attraversa il parallelo dei circuiti di sequenza direttae inversa è pari alla corrente di sequenza omopolare cambiata di segno, ed è pari ad unterzo della somma delle due correnti di guasto; quindi il parallelo dei circuiti di sequenzadiretta e inversa è posto in serie con il circuito di sequenza omopolare capovolto; si andràallora a calcolare la tensione complessiva risultante:

( ) ( ) ( )

( )00 33

231

31

IZIZ

IIZUUUUUUUUUU

gg

cbgbbabaoiod

−⋅⋅=⋅⋅−=

=+⋅−=−=⋅+⋅−−⋅=−=−=∆(18.3)

quindi la serie dei circuiti suddetti può essere richiusa sull'impedenza di guasto, arrivandocosì ad una rete di cui si può trovare la soluzione:


Zo

ZiZd

Ed

Io

Id

Ii Zg3

→Zd Zi

Zo

Zg3

figg. 3a e 3bQuesta rete si risolve con il metodo dei potenziali di nodo:U EZ

UZ

UZ Z

d d

d

d

i

d

o g

−+ +

+= 0

( ) ( )( )

( ) ( ) didgodgoi

dd

ddidgodgoid

EZZZZZZZZ

ZU

ZEZZZZZZZZU

⋅⋅++⋅++⋅

=

⋅=⋅++⋅++⋅⋅(18.4)

Quindi, dalla figura:

U U

U ZZ Z

U

i d

oo

o gd

=

=−+

⋅(18.5)

etc.

Guasto bifase isolatoSi supponga che il ctocto avvenga sulle fasi "b" e "c". La prima informazione è quindi chela corrente sulla fase "a" è pari a zero; è poi definita l'eventuale impedenza di guasto: - Z g tra le due fasi "b" e "c".


bgcb

cb

a

IZUU

II

I

⋅=−

−=

= 0

(19.0)

Da queste equazioni discende che:


( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) bbcbai

bbcbad

bbcbao

IjIIIII

IjIIIII

IIIIII

⋅−=⋅α−α⋅=⋅α+⋅α+⋅=

⋅=⋅α−α⋅=⋅α+⋅α+⋅=

=−⋅=++⋅=

33

31

31

33

31

31

031

31

22

22 (19.1)

e questo significa che: - il circuito di sequenza omopolare è a vuoto, quindi non deve essere considerato; - i circuiti di sequenza diretta e inversa sono percorsi dalla medesima corrente, ma

cambiata di segno; saranno quindi posti in serie, ma con il circuito di sequenza inversaposto in opposizione.

Inoltre:

( ) ( ) ( )ididcb

idoc

idob

UUjUUUU

UUUU

UUUU

−⋅−=−⋅α−α=−

⋅α+⋅α+=

⋅α+⋅α+=

32

2

2

(19.2)

quindi, collegando questo alla (19.1):

( ) dgdgbgcbid IZIj

Zj

IZj

UUj

UU ⋅=⋅⋅⋅−

=⋅⋅−

=−⋅−

=−33

31

31

31 (19.3)

e questo significa che i circuiti di sequenza possono essere chiusi in una maglia come dafigura:

Zi

Zd

Edfig. 4

Questa rete si risolve con il metodo delle correnti di maglia:

I EZ Z Zd

d

d i g

=+ +

I IIi d

o

= −= 0

(19.4)

etc.

3.2.5 - Parametri di rete alla sequenza omopolare - Tipi di connessione dei trasformatori

Gli avvolgimenti dei trasformatori possono essere connessi in diverse maniere. Leprincipali sono:1) a triangolo;2) a stella, con centro stella isolato;


3) a stella, con centro stella a terra mediante impedenza;4) a stella, con centro stella francamente a terra;5) a zig-zag.Il caso "5)" (a zig-zag) non verrà considerato. Il caso "4)" (a stella, con c.s. francamente aterra) verrà classificato come di tipo "3)" (a stella, con c.s. a terra mediante impedenza),con valore di impedenza pari a zero. Quindi i tipi considerati, e i relativi simboli, sarannosolo:1) ∆ a triangolo;2) Υ a stella, con centro stella isolato;

3) ZtΥ a stella, con centro stella a terra mediante impedenza.

Nel caso di trasformatori a 2 avvolgimenti (per semplicità quelli con maggior numero diavvolgimenti non saranno considerati) le combinazioni possibili sono riportati nella tabellaseguente, e per ciascuna combinazione si discuterà il comportamento alle sequenzaomopolare. In particolare si indicheranno i tre parametri del cto equivalente a Π allasequnza omopolare (Y Z Yo l o o01 02, , ,; ; ), con i valori espressi in p.u. di macchina e quindisenza doversi preoccupare del rapporto spire. Occorre qui ricordare che nel caso in cui itre avvolgimenti di un cto a triangolo siano percorsi da correnti uguali in modulo e fase,queste correnti si limitano a circolare nel triangolo senza entrare o uscire dai morsetti difase.


Avv. 1 Avv. 2 Note su avv. 1 Note su avv. 2 cto equiv alla sequenza omop.

∆ ∆ Per il princ. di Kirchhoffai nodi non può entrareo uscire corrente disequenza omopolare

Per il princ. di Kirchhoffai nodi non può entrareo uscire corrente disequenza omopolare

0;;0 ,02,,01 =∞== oolo YZY

il trasformatore è un cto apertoalla sequenza omopolare

∆ Υ Per il princ. di Kirchhoffai nodi non può entrareo uscire corrente disequenza omopolare


0;;0 ,02,,01 =∞== oolo YZY


∆ ΥZt Per il princ. di Kirchhoffai nodi non può entrareo uscire corrente disequenza omopolare;tuttavia nel triangolopuò circolare corrente,uguale in ogni lato,senza uscire/entraredai morsetti di fase

La corrente disequenza omopolarepuò entrare/uscire;essa viene riportata alprimario dove circolanel triangolo senzauscire/entrare daimorsetti di fase

2,02

,,01

31

;;0

tcco

olo

ZZY

ZY

⋅+=

∞==

il trasformatore alla sequenzaomopolare è un cto aperto all'avv.

1, mentre all'avv. 2 è un ramoverso terra con impedenza pariall'impedenza di ctocto + 3 voltel'impedenza di messa a terra del

c.s.

Υ Υ Per il princ. di Kirchhoffai nodi non può entrareo uscire corrente disequenza omopolare


0;;0 ,02,,01 =∞== oolo YZY


Υ ΥZt Per il princ. di Kirchhoffai nodi non può entrareo uscire corrente disequenza omopolare

Per il prin. di Kirchhoffai nodi, la corrente disequenza omopolarepotrebbe entrare ouscire; ma non avendomodo di fare lo stessoal primario, essa ènulla anche sulsecondario, fatta salvala corrente dimagnetizzazione allasequenza omolare(vedi discussioneseguente)

2,,02

,,01

31

;;0

tomo

olo

ZZY

ZY

⋅+=

∞==

il trasformatore alla sequenzaomopolare è un cto aperto all'avv.

1, mentre all'avv. 2 è un ramoverso terra con impedenza pari

all'impedenza di magnetizzazione(più una frazione dell'impedenzadi ctocto) + 3 volte l'impedenza di

messa a terra del c.s

ΥZt ΥZt La corrente disequenza omopolarepuò entrare/uscire;essa viene riportata alprimario con ilmedesimo valore, fattosalvo il rapporto spire ela corrente dimagnetizzazione

La corrente disequenza omopolarepuò entrare/uscire;essa viene riportata alsecondario con ilmedesimo valore, fattosalvo il rapporto spire ela corrente dimagnetizzazione allasequenza omopolare(vedi discussioneseguente)

21,

,02,01

33;0;0

tcctol

oo

ZZZZYY

⋅++⋅=

==

il trasformatore alla sequenzaomopolare è un cto (in p.u.,

quindi senza doversi preoccuparedel rapporto spire) con

impedenza longitudinale pariall'impedenza di ctocto + 3 voltel'impedenza di messa a terra delc.s. avv. 1 + 3 volte l'impedenzadi messa a terra del c.s. avv. 2

Una discussione particolare merita la corrente di magnetizzazione alla sequenzaomopolare. Si riprendono qui brevemente le equazioni (trifasi) di funzionamento di untrasformatore a 2 avvolgimenti, con le seguenti convenzioni:


- i pedici a lettere maiuscole (A, B, C) si usano per le grandezze di fase del primario; - i pedici a lettere minuscole (a, b, c) si usano per le grandezze di fase del secondario; - l'apice " ' " significa che una grandezza del secondario è stata riportata al primario

mediante il rapporto spire; - per le grandezze del primario si utilizza le convenzione degli utilizzatori, per le

grandezze al secondario si utilizza la convenzione dei generatori.

cCcbCbaCaCCCBCBACACCC

cBcbBbaBaCBCBBBABABBB

cAcbAbaAaCACBABAAAAAA

IMjIMjIMjILjIMjIMjIRU

IMjIMjIMjIMjILjIMjIRU

IMjIMjIMjIMjIMjILjIRU

′ω−′ω−′ω−ω+ω+ω+=

′ω−′ω−′ω−ω+ω+ω+=

′ω−′ω−′ω−ω+ω+ω+=

'''

'''

'''

(20.1)

(una formula analoga vale per le tensioni di fase al secondario).Nell'ipotesi di perfetta simmetria geometrica, allora le autoinduttanze sono uguali in tutte lefasi, e così pure sono tutte uguali fra loro le mutue induttanze, non solo tra fasi diverse delmedesimo avvolgimento (primario oppure secondario), ma anche tra fasi diverse diavvolgimenti diversi; faranno eccezione le mutue tra fasi uguali di avvolgimenti diversi, chesaranno comunque uguali fra loro. Per generalità infatti poniamo:

mfdCCBBAA

CBA

LLLLLLRRRR

111

1

++======

dove:L d1 è l'induttanza di dispersione relativa a flussi concatenati solo con quella fase di

quell'avvolgimento (primario);L f1 è l'induttanza di dispersione relativa a flussi concatenati solo con quella fase su

entrambi gli avvolgimenti (primario e secondario); tali flussi si richiudono anche sulcassone o su eventuali colonne prive di avvolgimenti nel caso di trasformatori connucleo a mantello;

L m1 è l'induttanza relativa al flusso principale, che poi si suddividerà in parti uguali nellecolonne delle altre due fasi (ipotesi di perfetta simmetria geometrica).

e dove solitamente vale che:L L Ld f m1 1 1<< << .

Quindi:

21

''m

AbAbACBAABLMMMMM −======= KK

mfCcBbAa LLMMM 11''' +===

Quindi, con tali ipotesi, la (20.1) diventa, per esempio per la fase "A":

( )( ) ( )

( ) ( )cbm

amf

CBm

AmfdA

IILjILLj

IILjILLLjRU

′+′ω+′+ω−

++ω−++ω+=

2

21

11

11111

(20.2a)

Nel caso di funzionamento con grandezze (correnti) di sequenza diretta oppure inversa,dove la somma delle tre correnti fase è pari a 0, è immediato dimostrare che questaequazione diventa:


( ) ( )aAidmA

amfAmfdA

IIjXIjXR

ILLjILLLjRU

′−++=

=′

+ω−

++ω+=

/,11

111111 23

23

(20.2a,d/i)

dove quindi:

+ω= mfidm LLX 11/, 2

3 è l'impedenza di magnetizzazione alla sequenza diretta/inversa

I I IA a A− ′ = 0, è la corrente di magnetizzazione (fase "A", vista al primario)

Invece, nel caso di funzionamento con grandezze (correnti) di sequenza omopolare, la(20.2a) diventa:

( )( ) ( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )oaoAomoA

oafoAfd

ocobm

oamf

oCoBm

oAmfdA

IIjXIjXR

ILjILLjR

IILjILLj

IILjILLLjRU

,,,,11

,'1,111

,','1

,'11

,,1

,1111

2

2

′−++=

=ω−+ω+=

=+ω++ω−

++ω−++ω+=

(20.2a,o)

dove quindi:X Lm o f, = ω 1 è l'impedenza di magnetizzazione alla sequenza omopolare.

Questo risultato matematico rispecchia la fisica della situazione: mentre con 3 correnti disequenza diretta o inversa il flusso prodotto da ciascuna fase si suddivide nelle altre duecolonne e rafforza quello generato in tali colonne dalle rispettive correnti, con 3 correntiuguali il flusso prodotto da ciascuna fase si suddivide nelle altre due colonne andando adannullare in tali colonne il flusso generato dalle rispettive correnti.La (20.2a,o) (o le analoghe per le fasi "B" e "C") mostra quindi come l'impedenza dimagnetizzazione alla sequenza omopolare sia solitamente molto inferiore rispetto a quellaalla sequenza diretta/inversa; valori tipici sono:XXm d i

m o

, /

, . .= ÷

= ÷

100 5000 5 2 0

pupu

quindi l'impedenza di magnetizzazione alla sequenza omopolare è circa 100 volte inferioredi quella alla sequenza diretta, anche se nel caso di trasformatori con nucleo a 5 colonne,o anche solo con cassone in ferro di spessore rilevante e molto vicino al nucleomagnetico, essa assume valori maggiori di quelli indicati.La tabella della pagina precedente mostra come in molti casi i trasformatori si comportinocome circuiti aperti. Come conseguenza, una rete elettrica che nel normale funzionamentodi regime (sequenza diretta) si presenti elettricamente non disgiunta, alla sequenzaomopolare può invece essere composta di più isole e da nodi isolati. Alcune isole possonoanche essere prive di collegamenti verso terra, rendendo così singolare la corrispondentesottomatrice delle ammettenze nodali; così pure alcuni nodi isolati, per i quali quindi ilcorrispondente elemento diagonale nella matrice delle ammettenze nodali è nullo. Nelcaso di calcolo automatico (con programmi come MATLAB o altri prodotti o subroutine ingrado di eseguire l'inversione di una matrice o di risolvere un sistema lineare) questesingolarità danno luogo a divisioni per zero, con il rischio di interruzione del calcolo pererrori. Occorre allora prendere alcune contromisure, tra le quali una delle più utilizzate èquella di porre valori molto piccoli di ammettenza negli elementi diagonali, in modo da


ottenere impedenze equivalenti molto elevate (e quindi assimilabili ad un valore infinito)nei nodi corrispondenti. Nel calcolo manuale basta ricordare che nelle parti di rete isolatealla sequenze omopolare non può esistere tale corrente.

3.3 - Esempio numerico

Sia data la rete in figura:

Nodo 1 Nodo 2

Nodo 3

Nodo 4 Nodo 5

132 kV 132 kV 15 kV

15 kV 6 kV30 km

1 kmScc=200 MVA

An=30 MVA

An=40 MVA

An=10 MVA An=6 MVA

Yt/d

D/y

A monte del Nodo 1, da considerarsi come nodo di saldo, è presente una rete di potenzaprevalente.I dati della rete e dei componenti sono i seguenti: - frequenza nominale 50 Hz - rete prevalente: potenza di ctocto 200 MVA con f.p. 0.1 per guasto trifase; in caso di

guasto monofase la corrente di guasto monofase è 1.2 volte superiore alla corrente diguasto trifase, e con f.p. 0.2;

- linea aerea a 132 kV: r=0.054 Ω/km, x=0.380 Ω/km, c=9.6 nF/km, lungh.=30 km; allasequenza omopolare: ro/r=4, xo/x=3, co/c=2/3;

- trasformatore AT/MT: 132 kV / 15 kV, An=40 MVA; zcc=0.12 pu; pCu=0.004 pu;corrente di magnetizzazione e perdite nel ferro trascurabili; connessioni Yt/d (stellafrancamente a terra / triangolo);

- generatore: An=30 MVA; ra=0.0045 pu; x"d=0.180 pu; x'd=0.270 pu; xi=0.240 pu;xo=0.135 pu; avvolgimenti statorici a stella con c.s. a terra mediante resistenza da86.6 Ω;

- cavo MT 3x150 mm2, portata 400 A: r=0.162 Ω/km; x=0.097 Ω/km; c=240 nF/km;lungh=1 km; ro/r=4; xo/x=3; co/c=1

- trasformatore MT/MT: 15 kV / 6 kV, An=10 MVA; zcc=0.10 pu; pCu=0.006 pu; correntedi magnetizzazione e perdite nel ferro trascurabili; connessioni D/y (triangolo / stellaisolata);

- motore: An=6 MVA; Isp/In = 4.5; r/x = 0.2 in ctocto.Calcolare la corrente di ctocto subtransitoria trifase e monofase nei nodi 2 e 4 e i rispettivicontributi dai vari rami della rete.

RisoluzioneSi procede per varie fasi:

- fase 1: costruzione dei cti equivalenti a Π per tutti i rami della rete alla seq. diretta;

- fase 2: costruzione dei cti equivalenti a Π per tutti i rami della rete alla seq. inversa;


- fase 3: costruzione dei cti equivalenti a Π per tutti i rami della rete alla seq. omop.; - fase 4: costruzione delle matrici delle ammettenze nodali alle tre sequenze; - fase 5: calcolo dell'impedenza equiv. di guasto nei nodi indicati, alle tre sequenze; - fase 6: calcolo della corrente di ctocto nei nodi indicati; - fase 7: calcolo dei vettori colonna delle matrici delle impedenze nodali; - fase 8: calcolo c.d.t. nei vari nodi alle varie sequenze; - fase 9: calcolo dei transiti di corrente (contributi al guasto).Il processo di calcolo sarà quindi lungo e laborioso.

Fase 1, 2, 3

Per prima cosa occorre scegliere una potenza di riferimento per l'intero sistema. Essendoin gioco potenze nominali differenti, per non scontentare nessuno si sceglie una potenza"neutrale": 100 MVA.Rete prevalenteViene modellizzata mediante una impedenza a terra nel Nodo 1. Se per tale rete si ha unapotenza di ctocto di 200 MVA, questo significa che la rete a monte può essererappresentata con una impedenza di 1 pu nel riferimento di 200 MVA, e tenendo conto delfattore di potenza:

995.0100.0200, jZ MVAcc +=&

che, nel riferimento di 100 MVA, diventa:

497.0050.0 jZ cc +=&

Poiché in caso di guasto monofase la corrente di guasto è maggiore di 1.2 volte con f.p.0.2, allora occorre che l'impedenza complessiva di guasto monofase equivalente all'interarete a monte sia 1.2 volte inferiore a quella indicata, quindi in modulo sia 0.5/1.2; tenendoconto del f.p.:

( ) 408.0083.02.1/5.02.012.0 2, jjZ monofcc +=⋅−+=&

e poiché (dalla teoria del guasto monofase) si ha che:

229.0149.023

33

,

,,,,,,,

,

jZZ

ZZZZZZZ

Z

ccmonofcc

iccdccmonofccoccocciccdcc

monofcc

+=⋅−⋅=

=−−⋅=⇒++

=

&&

&&&&&&&

&

dove si è ipotizzato che l'impedenza alla sequenza inversa fosse pari all'impedenza allasequenza diretta.Linea aerea a 132 kVUn calcolo esatto richiederebbe l'utilizzo delle formule derivanti dall'equazione deitelegrafisti; ci si accontenta di un calcolo approssimato (ma la differenza è davvero moltopiccola). L'impedenza base vale:

Zb = =132100

174 242

. Ω


- alla sequenza diretta/inversa si ha: R=1.620 Ω, X=11.400 Ω, B/2=15⋅ω⋅9.6⋅10-9 = 45µS, che in pu diventano:

0078.00654.00093.0

0201 jYYjZ l

==

+=&&

&

- alla sequenza omopolare, applicando i coefficienti moltiplicativi per resistenze,reattanze e capacità:

0052.0

1962.00372.0

,02,01

,

jYY

jZ

oo

ol

==

+=&&

&

Trasformatore AT/MTE' sufficiente un banale riporto delle impedenze:

300.0010.040100120.0004.0 40,40, jZZjZ MVAccccMVAcc +=⋅=⇒+= &&&

da cui: - alla sequenza diretta/inversa:

0300.0010.0

0201 ==

+=

YYjZ l

&&

&

- alla sequenza omopolare, riprendendo la tabella di pag. 26:

0;330.3111.0300.0010.0

1,02,01

,

=−=+

=

∞=

oo

ol

Yjj

Y

Z

&&

&

GeneratoreViene modellizzato mediante una impedenza a terra pari a ra + j x"d; va anche questariportata a 100 MVA:

( ) 600.0015.0180.00045.030100 jjZ d +=+⋅=′′&

Alla sequenza inversa:

( ) 800.0015.0240.00045.030100 jjZ i +=+⋅=′′&

Alla sequenza omopolare occorre anche mettere in conto la resistenza di messa a terradel centro stella, aggiungendo all'impedenza omopolare il triplo del valore di taleresistenza. Si calcola allora l'impedenza base a 15 kV, 100 MVA:

Zb = =15100

2 2502

. Ω

da cui:3 3 86 6

2 250115 47⋅

=⋅

=RZ

T

b

..

. pu

quindi:


( ) 450.0485.11547.115135.00045.030100 jjZ o +=++⋅=′′&

(si noti che l'impedenza dovuta alla resistenza di messa a terra prevale di gran lungasull'impedenza omopolare del generatore).Linea in cavo a 15 kVUn calcolo esatto richiederebbe l'utilizzo delle formule derivanti dall'equazione deitelegrafisti; ci si accontenta di un calcolo approssimato (ma la differenza è davvero moltopiccola). L'impedenza base vale:

Zb = =15100

2 2502

. Ω

- alla sequenza diretta/inversa, con lunghezza 1 km, si ha: R=0.162 Ω, X=0.097 Ω,B/2=0.5⋅ω⋅240⋅10-9 = 37.7 µS, che in pu diventano:

000085.00431.00720.0

0201 jYYjZ l

==

+=&&

&

- alla sequenza omopolare, applicando i coefficienti moltiplicativi per resistenze,reattanze e capacità:

000085.0

1293.02880.0

,02,01

,

jYY

jZ

oo

ol

==

+=&&

&

Trasformatore MT/MTE' sufficiente un banale riporto della impedenze:

998.0060.010100099.0006.0 10,10, jZZjZ MVAccccMVAcc +=⋅=⇒+= &&&

da cui: - alla sequenza diretta/inversa:

0998.0060.0

0201 ==

+=

YYjZ l

&&

&

- alla sequenza omopolare, riprendendo la tabella di pag. 26:

0;0 ,02,01

,

==

∞=

oo

ol

YY

Z&&

&

Motore asincronoViene modellizzato mediante una impedenza a terra. La corrente di ctocto è circa ugualealla corrente di spunto, quindi nel pu di macchina l'impedenza subtransitoria vale 1/4.5;tenendo conto del rapporto r/x:

561.3712.06100

2137.00427.05.41

0.12.00.12.0

6,

226,

jZZ

jjZ

MVAcccc

MVAcc

+=′′⋅=′′

+=⋅+

+=′′

&&

&

Si utilizzerà tale valore anche alla sequenza inversa.


Poiché il trasformatore MT/MT separa il motore dalla rete alla sequenza omopolare, ilvalore di impedenza omopolare del motore non è di alcuna utilità (e comunque solitamentei motori sono con avvolgimento a triangolo oppure a stella con c.s. isolato, quindi taleimpedenza è di valore infinito).Tabella di sintesi alla sequenza diretta:

Componente Zshunt oppure Zl (pu) Y01 (pu) Y02 (pu)

Rete prev. in Nodo 1 0.050+j0.497 // //

Linea 1-2 0.0093+j0.0654 j0.0078 j0.0078

Trasformatore 2-3 0.010+j0.300 0 0

Generatore in Nodo 3 0.015+j0.600 // //

Linea 3-4 0.0720+j0.0431 j0.000085 j0.000085


Motore in Nodo 5 0.712+j3.561 // //

Tabella di sintesi alla sequenza inversa:



Linea 1-2 0.0093+j0.0654 j0.0078 j0.0078



Linea 3-4 0.0720+j0.0431 j0.000085 j0.000085


Motore in Nodo 5 0.712+j3.561 // //

Tabella di sintesi alla sequenza omopolare:




Linea 1-2 0.0372+j0.1962 j0.0052 j0.0052

Trasformatore 2-3 ∞ 1 / (0.010+j0.300) 0


Linea 3-4 0.2880+j0.1293 j0.000085 j0.000085

Trasformatore 4-5 ∞ 0 0

Motore in Nodo 5 // // //

Fase 4

Con le tabelle di sintesi è immediata la costruzione della matrice delle ammettenze nodali.Topologicamente queste matrici hanno la sequente struttura:

seq. dir./inv.:

XX

XXX

XXX

XXX

XX

000

00

00

00

000

seq. omop.:

?0000

000

000

000

000

XX

XX

XX

XX

dove con "X" si indica il generico elemento diverso da zero. La matrice alla sequenzaomopolare è costituita da due sottomatrici (2 x 2), corrispondenti alle sottoreti compostedai nodi (1,2) e (3,4), e da un elemento diagonale di valore indefinito, corrispondente alnodo isolato 5 (porre un valore fittizio diverso da 0, meglio se molto piccolo in modo daavere impedenza molto grandi). Le due sottoreti sono entrambe dotate di rami verso terra,quindi le rispettive sottomatrici non sono singolari.La parte numerica di questa fase sarà riportata in una versione successiva.

Fasi 5 e 7

Per il guasto nel nodo "2" occorre risolvere il sistema:

=

⋅

0

0

0

1

0

000

00

00

00

000

52

42

32

22

12

Z

Z

Z

Z

Z

XX

XXX

XXX

XXX

XX

alla sequenza diretta, inversa, e omopolare (a tale sequenza la topologia è diversa perchéalcuni elementi sono nulli). Analogamente nel nodo "4", ottenendo la colonna 4 dellamatrice delle impedenze nodali e ponendo il termine noto "1" nella riga 4 anziché nella riga2 del vettore colonna dei termini noti. Per la topologia matriciale, è facile risolvere ilsistema per sostituzione, partendo per esempio dal fondo (si esprime tutto in funzione diZ52 o di Z54 ).


Fase 6

...

Fase 8

...

Fase 9

...

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