Esercitazioni di Fisica (2013)

Dr.ssa Alessia Fantini

Corso di Laurea in Scienze

Biologiche-canale(M-Z)

A.A. : 2012/2013

Docente del corso di Fisica:

Dott.ssa Alessia Fantini

Dott.ssa Alessia Fantini: Tel. Ufficio: 0672594910 Tel lab. : 0620427152

Grandezze (simbolo) Unità di misura simbolo

tempo (t) secondo s

lunghezza (l) metro m

massa (m) chilogrammo kg

temperatura (T) kelvin K

quantità di materia (n) mole mole

corrente elettrica (I,i) ampere A

intensità luminosa (Iv) candela (c,d)

Grandezze fondamentali ed unità di misura del SI

Tabella di alcune grandezze derivate, con la

corrispondente unità di misura nel sistema SI

Stesse grandezze della tabella precedente con le

corrispondenti dimensioni, espresse in funzione

delle 4 grandezze fondamentali: L, T, M, A

Angolo: Radiante(simbolo rad): l'ampiezza, in radianti, di un angolo al

centro di una circonferenza, è il rapporto fra l'arco sotteso dall'angolo e il

raggio della circonferenza.

Grandezze supplementari:

Angolo solido. Steradiante (simbolo sr): l'ampiezza, in steradianti, di un

angolo solido al centro di una sfera, è dato dal rapporto fra l'area della

regione della superficie sferica sottesa dall'angolo solido e l'area del

quadrato costruito sul raggio della sfera.

Nota: dimensionalmente radiante e steradiante sono numeri puri.

360° 180° 90° 60° 45° 30°

2π

(rad)

π

(rad)

π/2

(rad)

π/3

(rad)

π/4

(rad)

π/6

(rad)

π = 3.14159...

La maggior parte delle grandezze derivate sono una moltiplicazione o una

divisione di grandezze di base. Alcune di esse hanno nomi particolari. In

questo modo, non solo si vede immediatamente la relazione che intercorre

tra due grandezze, ma, con un controllo dimensionale, è facile verificare la

possibile correttezza del proprio lavoro.

Esempio:

Forza= m·a = massa·accelerazione

Eq. dimensionale: [F] = [M]1 [L]1 [T]-2

[G] = [L]a [T]b [M]c [I]d....

2s

mkg1N 1

N = kg · m · s-2

area (A) m2

volume (V) m3

velocità (v) m · s-1

Esempi di Grandezze derivate:

Equazione dimensionale:

Esercizio 1:

Supponiamo di scrivere la posizione di una particella che si muove con accelerazione costante al

tempo t con l’espressione:

nmtkax

a)

La grandezza x (cioè la posizione della particella ) ha le dimensioni di una lunghezza => L

Il termine a (accelerazione) ha le dimensioni di una lunghezza per un tempo alla -2 => [LT-2]

Il termine t che rappresenta il tempo ha naturalmente la dimensione di un tempo => [T]

Il termine k è adimensionale ( non compare nell’equazione dimensionale)

Dimensionalmente si ha quindi che l’espressione diventa: nmtkax

che può anche essere riscritta come : L1T0 = Ln Tn-2m

Le potenze di L e T devono essere le stesse per entrambi i lati dell’espressione:

1) L1 = Lm => m = 1

2) T0 = Tn-2m => n-2∙m = n-2 = 0 => n =2

Quindi abbiamo dimostrato che l’espressione con m =1 ed n=2 è corretta.

b)

L’analisi dimensionale dell’espressione in studio non può dare informazioni sul valore numerico della

costante adimensionale.

Esercizi analisi dimensionale

dove k è una costante adimensionale

a)Mostrare con l’analisi dimensionale che tale espressione è corretta se m=1e n=2.

b) Può tale analisi dare il valore di k?

L = [LT-2 ]m [T]n

nmtkax

Considerata l’espressione m = rV dove m ha le dimensioni di una massa, V le dimensioni di un volume,

determinare le dimensioni di r e l’unita’ di misura nel sistema SI.

r, simbolo che rappresenta la densità di volume, ha le seguenti dimensioni:

r m / V=> [r]=[M]∙[L]-3

Quindi nel sistema internazionale SI l’unità di misura della densità di volume è : Kg/m3.

Esercizio 2

apotema

Esercizio 3:

Dato un tronco di cono di raggi R1ed R2, ed altezza h,

associate le seguenti espressioni

i) 1/3 πh (R12+ R2

2+ R1 R2)

ii) 2π (R1+ R2)

iii) π (R1+ R2) [h2+( R1- R2)

2]1/2

alle corrispondenti grandezze misurate:

a) la circonferenza delle facce piane di base

b) il volume

c) l’area delle superficie curva

Ricordiamo che:

Circonferenza => ha le dimensioni di una lunghezza L

Area => ha le dimensioni di una lunghezza al quadrato L2

Volume => ha le dimensioni di una lunghezza al cubo L3

Analizziamo ora le dimensioni delle 3 espressioni, tenendo presente che R1 , R2 ed h

hanno le dimensioni di una lunghezza e che π è una costante adimensionale:

i) Questa espressione ha le dimensioni di un volume infatti:

(R12+ R2

2+ R1 R2) => [L]2 => h∙(R12+ R2

2+ R1 R2) => [L]∙[L]2 = [L]3

ii) Quest’espressione ha le dimensioni di una lunghezza => L infatti:

(R1+R2) => [L]

iii) Quest’espressione ha le dimensioni di un’area infatti:

(R1+R2) => [L]

(R1-R2) => [L]

h2 => [L]2

quindi

In conclusione, effettuando l’analisi dimensionale delle tre espressioni possiamo dire che

l’espressione i) è associata alla risposta b)

l’espressione ii) è associata alla risposta a)

l’espressione iii) è associata alla risposta c)

h2+( R1- R2)2 => [L]2 => => [L]

221

2 RRh

2221

221 LLLRRhRRπ

Conversioni delle unità di misura

Il modo più semplice per convertire

un valore da un'unità di misura ad

un'altra è quello di moltiplicarlo per il

fattore di conversione espresso con le

corrette unità di misura

Principali unità di misura che non appartengono al SI

Per convertire un numero in una potenza di 10 (la base) il sistema è molto semplice.

Esempio: il numero 26000000 (ventisei milioni) può essere pensato come pari a 26000000,0∙100 ( essendo

infatti pari all'unità la potenza di zero di una qualsiasi numero => 100 = 1).

Se si sposta la "virgola" verso sinistra, ogni spostamento di una cifra corrisponde all'incremento di un'unità

dell'esponente della potenza di 10:

26000000,0∙100= 2600000,0∙101 = 260000,0∙102 =.....= 2.6∙107

La conversione è in genere completa quando il numero originario risulta espresso come un intero seguito da

un certo numero di cifre dopo la virgola ( es: 2.6∙107).

Quando invece si vuole convertire un numero molto piccolo, cioè pari a zero seguito da molti zeri dopo la

virgola prima delle cifre significative, lo spostamento della virgola avviene invece verso destra e ciò si

tramuta in un decremento di un'unità dell'esponente della potenza di 10. Si avranno quindi esponenti

negativi.

Esempio: 0,000000000123 = 1,23 x 10-10.

A volte può essere utile esprimere i numeri come potenze di 10 seguendo incrementi di multipli di 103 (cioè

multipli di 1000). E' questo in genere il caso di risultati seguiti da un'unità di misura. In questo modo è più

semplice l'espressione del risultato con suffissi opportuni dell'unità di misura di base. Un esempio chiarirà

quanto appena affermato.

Esempio: Dobbiamo esprimere in potenze 560 milioni di watt (560000000 W).

Tale potenza si esprime come 5,6 x 108 W, tuttavia è anche vero che il watt W ammette multipli:

chilowatt (kW), pari a 1000 W,

megawatt (MW), pari a 1000 kW ovvero a 1 x 106 W

Si può quindi riscrivere 5,6 x 108 W come 560 x 106 W, cioè 560 MW, sfruttando il multiplo megawatt

dell'unità di misura watt.

Notazione scientifica

Nella notazione scientifica un numero

viene espresso in potenze di 10

Verifica la correttezza dei fattori di conversione riportati di seguito e nel caso in cui siano sbagliati,

riportare a fianco i fattori di conversione esatti:

1 Mm2 = 1012 m2

1 m2 = 10-12 Mm2

1 km2 = 106 m2

1 m2 = 10-6 km2

1 cm2 = 10-4 m2

1 m2 = 104 cm2

1 mm2 = 10-6 m2

1 m2 = 106 mm2

1 μm2 = 10-12 m2

1 m2 = 1012 μm2

Esercizio 1:

1Mm = 106 m =====> (1Mm)2 = (106 m)2 = 1012 m2

1m = 10-6 Mm =====> 1m2 = (10-6 Mm)2 = 10-12 Mm2

1km = 103 m =====> 1km2 = (103 m)2 = 106 m2

1m = 10-3 km =====> 1m2 = (10-3 km)2 = 10-6 km2

.......................................... ........................

Verifica la correttezza dei fattori di conversione riportati di seguito:

1 Mm3 = 1018 m3

1 m3 = 10-18 Mm3

1 km3 = 109 m3

1 m3 = 10-9 km3

1 cm3 = 10-6 m2

1 m3 = 106 cm3

1 mm3 = 10-9 m3

1 m3 = 109 mm3

1 μm3 = 10-18 m3

1 m3 = 1018 μm3

Esercizio 2:

Un turista italiano sta guidando la sua automobile alla velocità di 90 Km/h lungo un’autostrada americana,

dove il limite di velocità imposto è di 50 miglia orarie. L’automobile incontra una pattuglia di polizia, cosa succederà ?

E se la macchina andasse a 43 m/s???

Ricordiamo che 1miglio = 1609 metri => 1 m= 1/1609 mi

1) Caso in cui il turista ha una velocità di 90 Km/h

Convertiamo i Km in miglia: 90 Km =90∙1000 m =90000 * 1/1609 mi = 56 mi (55.93 in realtà)

L’automobile sta quindi viaggiando a 56 mi/h => bella multa!

2) Se la macchina andasse a 43 m/s:

43 m/s = 43/1609 mi/s = 43/(1609* 1/3600) mi/h = 43*3600/1609 mi/h = 96 mi/h

L’automobile sta andando a 96 mi/h => forse il turista verrà arrestato!

Per risolvere più velocemnet e il problema potevamo vedere a quanti km/h corrisponde il limite di velocità:

In questo caso si convertono le miglia in km => 50 mi/h = 50 * 1609/1000 km/h = 80.5 Km/h

e si vede subito che il turista sta superando, con i suoi 90 Km/h il limite di velocità.

Per la seconda domanda bisogna convertire i secondi in ore ed i metri in km : 43/1000 Km/s= 0.0033 *3600 Km/s= 155 km/h

L’automobilista sarebbe stato multato anche su un’autostrada italiana! (limite di 130Km/h)

Esercizio 3:

Un anno luce (ly) e’ la distanza che percorre un raggio luminoso (velocita’ c=3x108m/s) in un

anno (365 giorni). Quanto equivale un anno luce in metri?

m105.9m 360024365103mins60orenmi60giornoore24annogiorni365sm103annocly1 1588

Esercizio 4:

Dal sito NBA risulta che l'altezza del giocatore Yao Ming è 7 piedi [ft] e 5 pollici, Esprimere altezza del

cestista nel sistema SI.

Esercizio 5:

Indichiamo le unità di misura tra parentesi quadre .

L'altezza h è: h=7 [ft]+ 5[in]

Le tabelle di conversione indicano che: 1 pollice = 1 [in] = 0.0254 m

1piede = 1 [ft] = 0.3048 m

h = 7∙0.3048 m +5∙0.0254 m = 2.1336 m+0.127 m = 2.26 m

Per il collegamento satellitare ad Internet intendete dotarvi di una antenna parabolica.

La legislazione italiana impone che la potenza emessa per unità di superficie non superi i 0.10 W/m2

se l'antenna è installata in un ambiente chiuso.

La vostra antenna parabolica ha un diametro D di 10 cm ed emette una potenza P pari a 10 mW. La

potete tenere in casa o la dovete installare sul tetto?

Esercizio 6:

Calcoliamo la potenza emessa per unità di superficie dalla nostra parabola.

L'area A della "parabola" è:

A= p(D/2)2 = 78.5 cm2

La potenza P per unità di superficie è quindi:

P/A=10/78.5mW/cm2 =0.1274 mW/cm-2

Per confrontarla con il valore massimo consentito dalla legge dobbia trasformare il valore in W/m2:

1 mW = ∙10-3 W,

1 cm-2 =(1 cm)2=(10-2 m)2 = 10-4 m2

==> P/A=0.1274 mW/cm-2 =0.1274 ∙10-3 W/ 10-4 m2 =0.1274 ∙10 W/m2 = 1.274 W/m2 > 0.10 W/m2

L’antenna quindi non potrà essere montata in un ambiente chiuso

La Terra ruota di 360° in 24 ore.

Ricordando che 1min è una frazione pari a 1/(24⋅60) di giorno

===> 1min=1/1440 giorni = 6.94∙10-4 giorni

La terra dopo un minuto sarà quindi ruotata di 1/1440 ∙ 360° =0.25°

e, poiché 1° = 60’ (minuti di arco) e 1’ = 60’’(secondi di arco), si avrà che la rotazione della Terra dopo 1

minuto è pari a 0,25° ( = 0.25∙60’) o, espressa in minuti d’arco , a 15’ (=15∙60’’) o in secondi d’arco

900’’.

0,25° = 15’ = 900’’.

La Terra ruota su se stessa compiendo un giro in 24 ore. Di quanti gradi si sposta in un minuto? Esprimi

il risultato in gradi, poi in minuti d’arco e infine in secondi d’arco.

Esercizio 7:

Determinare l’rdine di grandezza dei seguenti numeri:

1)143

2)34.678

3)0.0017

4)7423.12

5)0.92

6)123657800100

1) 143 102 (centinaio)

2) 34.678 10 (decine)

3) 0.0017 10-3(millesimi)

1)7423.12 104 (decine di migliaia)

2)0.92 100 (unità)

3)123657800100 1011(centinaia di miliardi)

Oridini di grandezza

L’ordine di grandezza è la potenza di 10 più vicina al valore reale della misura.

Esercizio 1:

Le masse della terra e della luna, rispettivamente, 5.98x1024 Kg e 7.34x1022 Kg.

Qual’è l'ordine di grandezza del loro rapporto?

22

22

24

101086.0107

106

La massa della Terra è di due ordini di grandezza maggiore della massa della luna

Esercizio 2:

Se un cuore umano batte 70 volte al minuto, qual’e’ la migliore stima del numero di battiti in

80 anni?

a. 105

b. 106

c. 107

d. 108

e. 109

Esercizio 3:

La stima migliore è quindi 109, cioè la risposta e.

80 anni ∙365 day/anno ∙ 24 h/day ∙60 min/h ∙70 battiti/min = 3x109 battidi di cuore

Raggio terrestre ~ 6000 km

Superficie terrestre = 4p∙(6000km)2 ~ 4.5 108 km2

Abitanti della Terra ~ 5 miliardi=109

Le terre emerse sono ~ 1/3 superficie terrestre ~ 1/3 ∙ 4.5∙108 km2 ~ 108 km2 ;

Quindi lo spazio per persona è: 108 km2 / 5x109 abitanti ~ 20000 m2 per abitante (cioè circa 2 ettari)

Stimare quanto spazio si avrebbe a disposizione se le terre emerse venissero suddivise equamente

tra tutti gli abitanti della Terra.

Esercizio 4:

Cifre significative

Una cifra significativa nel valore numerico che rappresenta una grandezza è

una cifra che non sia uno zero iniziale o finale, gli zeri finali contano se

seguono il punto decimale

0.2547 ha 4 cifre significativa

345600 ha 4 cifre significative

3,14 ha 3 cifre significative

0.003800 ha 4 cifre significative

La cifra più a destra dotata di significato è detta “cifra meno significativa”

(negli esempi precedenti le cifre meno significative sono: 7,6,4,8

rispettivamente)

Il numero di cifre con il quale si esprime una misura dipende dalla precisione

della misura stessa ed è una indicazione indiretta dell’entità dell’errore.

Misurando la lunghezza di un tavolo con una riga millimetrata, non si potrà

ottenere un valore del tipo: 1803,3 mm (non si può misurare la lunghezza

con una precisione del decimo di millimetro)

nella moltiplicazione e nella divisione di due numeri il risultato ha un

numero di cifre significative pari a quello della meno precisa tra le grandezze

in gioco. ( in parole povere il numero di cifre significative del risultato è

uguale al numero di cifre significative della grandezza che ne ha di meno)

(0,456s)(7.8m)/9.0123=0.39s

nella somma e nella sottrazione di due numeri il risultato è dato dal numero

di cifre decimali del numero che ne ha di meno

8,5675kg - 8.556kg=0.011 kg

0.032s+11.6s=11.6s

Area di un piatto:

Esercizio :

Un biologo sta riempiendo un piatto rettangolare con una coltura in

crescita ed ha bisogno di conoscere l’area del piatto.

La lunghezza del piatto misura 12.71 cm e la larghezza misura 7.46 cm.

Si trovi l’area del piatto.

Area= l1 × l2 = A (quante cifre significative?)

Se per calcolare l’area usiamo la calcolatrice il risultato che otteniamo è =>

12.71 × 7.46= 94.8166 (6 cifre significative!!!!)

Ma questo numero così preciso nella realtà della misura non ha molto

senso.

Noi conosciamo le due lunghezze con una precisione di al massimo 0.01 cm

non è quindi possibile ottenere da queste due misure una misura dell’area

con una precisione di 0.0001 cm2.

La regola che bisogna applicare è quella di considerare nel risultato di una

moltiplicazione un numero di cifre significative pari al più piccolo numero

di cifre significative dei fattori. Quindi:

12.71 => 4 cifre significative

7.46 => 3 cifre significative => questo sarà il numero di cifre significative

del prodotto

A=94.8 cm2 ( 3 cifre significative)

Esercizio:

Un’asta di legno viene costruita incollando assieme tre pezzi, il primo di

lunghezza l1 =20,26 cm, il secondo l2 = 12,4 cm e il terzo l3 = 6,164 cm.

Qual è la lunghezza dell’asta?

L= l1+l2+l3 la calcolatrice dà: L =38.824 , ma in numero di cifre decimali

del totale non può essere superiore a quello della lunghezza misurata con

meno precisione (l2).

Quindi il numero di cifre decimali del risultato non può essere maggiore di

1.

L=38.8 e le cifre significative sono 3

Operazioni con i vettori

1) Somma r = a+b

a b

a

b

r

r=(a+b)+c=a+(b+c)

a

b

r’

a b c

c

r

b

r’‘

c

r

a

r = (a+b)+c =r’+c = a+(b+c) = a+r’’

b

Proprietà associativa

r=a+b=b+a

Proprietà commutativa

La somma di due o più vettori è ancora un vettore.

Durante l’operazione di somma tra vettori non è importante l’ordine degli addendi

(proprietà commutativa) nè il modo in cui gli addendi vengono raggruppati (proprietà

associativa).

1) Differenza r= b-a= b+(-a)

a

-a

a b -a b

b

-a

r

r

a

b

r

a

Vengono utilizzate per descrivere la posizione di un punto su un piano (2 dimensioni) o nello spazio (3

dimensioni)

Coordinate cartesiane

Versori cartesiani: Vettori unitari (moduli i=j=k=1) diretti rispettivamente

lungo gli assi cartesiani x,y,z

Ogni vettore può essere descritto mediante le sue componenti cartesiane.

x

y

C

Cx

î

Cy

ĵ

C = Cx î + Cy ĵ

q

x

y

2y

2x

C

Cθtan

CCC

Cx= C cos q

Cy= C sin q

Modulo:

Direzione:

Un vettore C in un piano xy che forma un angolo q arbitrario con l’asse delle x può essere espresso

in termini delle sue componenti ortogonali Cx ed Cy.

La componente Cx rappresenta la proiezione di C lungo l’asse delle x mentre la componente Cy

rappresenta la proiezione di C lungo l’asse delle y.

Le componenti del vettore che sono grandezze scalari possono essere sia negative che positive.

Il modulo del vettore è dato dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle due componenti.

Un piccolo aereoplano decolla da un aereoporto in una giornata nuvolosa

e viene avvistato più tardi a 215 km, in una direzione che forma un angolo

di 22° verso est rispetto al nord.

A che distanze verso nord e verso est si trova l’aereo quando viene avvistato?

Per trovare le componenti di d considero l’angolo θ = 90°-22°=68°

da cui si ottiene:

KmsinKmsindd

KmcosKmcosdd

y

x

19968215θ

8168215θ

L’aereo è quindi localizzato 199 km verso nord e 81 km verso est, rispetto all’aereoporto.

Esercizio 1:

mA

mA

y

x

0

12

Dati i seguenti vettori:

A di modulo 12 m in direzione ovest

B di modulo 18 m inclinato di 60° rispetto all’asse positivo delle x

C di modulo 15 m inclinato di 330° rispetto all’asse positivo delle x

Calcolare il vettore somma S=A+B+C

- Il vettore B ha componenti:

Esercizio 2:

- Il vettore A ha solo componente lungo x e tale componente è negativa in quanto rivolto verso

ovest (e quindi lungo le x negative)

0mA

12mA

y

x

m6.1587.0m1860sinBB

m95.0m1860cosBB

y

x

- Il vettore C ha componenti:

m5.75.0m15330sinCC

m1387.0m15330cosCC

y

x

NB : cos330°=cos (2p-30°)=cos30°

sin330°=sin (2p-30°)=-sin30°

La somma dei tre vettori è data da:

ji zx SSS

8.1m7.5m15.60mCBAS

10m13m9m12mCBAS

yyyy

xxxx

La direzione del vettore somma è definita dall’angolo che tale vettore forma con l’asse delle x e tale

angolo è dato da:

51

18

10θ

m.

marctg

S

Sarctg

x

y

modulo pari al prodotto del valore assoluto di c per il modulo di

direzione pari a quella di

verso pari a quello di se c>0

o opposto a quello di se c<0

a

È un vettore ,che ha : r

Operazioni con i vettori

1) Prodotto di uno scalare per un vettore acr

a

a

2) Prodotto scalare tra due vettori θcosabbas

È uno scalare s, il cui valore è definito dall’espressione |a||b| cosq dove q è

l’angolo formato dai due vettori e

a

a

b

3) Prodotto vettoriale tra due vettori bar

È un vettore ,che ha :

modulo dove q è l’angolo minore compreso tra e

direzione ortogonale al piano definito dai due vettori e

verso definito dalla regola della mano destra (vite destrorsa)

a

br

a

b

scalare

vettore

vettore

Con le dita della mano destra si fa girare il vettore

verso il vettore .

Il pollice indica la direzione del vettore .

a

b

r

Numero reale

In particolare:

Proprietà commutativa:

Proprietà distributiva: cabacba

abba

abba

0ba

Tra due vettori ORTOGONALI (q=90°)

Tra due vettori PARALLELI (q=0°)

abba

0aa

0ba

abba

Tra due vettori ORTOGONALI (q=90°)

Tra due vettori PARALLELI (q=0°)

In particolare:

θsinabr

Esercizio 1:

Qual’è l’angolo compreso tra i vettori: k3i2b

j4i3a

x

y

z

ij

k

Sappiamo che: θcosabba

aq

Dove q è l’angolo compreso tra i due vettori b e a

13943)2(bbbb

525169)4(3aaaa

222z

2y

2x

222z

2y

2x

ab

baθcos

Calcoliamo i moduli dei due vettori :

Poichè sappiamo che il prodotto scalare di due vettori è dato dalla somma del prodotto delle

componenti dei due vettori:

zzyyxx babababa

Possiamo scrivere:

6300423babababa00

zzyyxx

333.0135

6

ab

baθcos

110333.0cosaθ

Esercizio 2:

Dimostrare l’equivalenza tra le due formule relative al prodotto scalare:

b e a traangolol' è θ dove θcosabba

babababa zzyyxx

Per semplicità consideriamo i due vettori entrambi giacenti sul piano xy

(cioè az =bz =0)

a

b

φa

φb

θ

by

bx

ay

ax

φsinab

φcosabb

φsinaa

φcosaaa

baba

babayyxx

φsinφsinφcosφcosab

φsinφsinabφcosφcosabbababa

Ma per una nota proprietà trigonometrica: bababa φφcosφsinφsinφcosφcos

Poichè nella formula θcosabba

q è l’angolo tra i due vettori cioè q=fa-fb

ba φφcosabba

Quindi:

Ritroviamo la formula: θcosabba

Abbiamo quindi dimostrato l’equivalenza: θcosabbabababa zzyyxx

Esercizio 3:

Dati 3 vettori coplanari , quali delle seguenti affermazioni è vera: c,b,a

cba )4

c//ba )3

0cba )2

0cba )1

Andiamo ad analizzare le possibili risposte una ad una:

1) Non è necessariamente vera, facciamo un esempio banale

a3c ,a2b

0a 6a 3a 2a cba

Prendiamo

Quindi la 1) non è vera

2) ba

È un prodotto vettoriale, è quindi un vettore che è perpendicolare al piano determinato

dai due vettori

NB: tre vettori si dicono coplanari se giacciono

tutti e tre su uno stesso piano

b e a

Sappiamo che giace sullo stesso piano di , quindi è anch’esso perpendicolare al vettore c

b e a ba

Poichè però il prodotto scalare tra due vettori ortogonali è nullo si avrà che 0cba

Quindi la 2) non è vera ed ho risolto anche l’esercizio in quanto ho appena dimostrato che

cba

corrispondente alla risposta 4) => la risposta giusta è la 4)

Esercizio 4:

Siano dati i vettori , come rappresentati in figura, con moduli: a=4, b=3, c=5. Si calcolino i seguenti

prodotti scalari . Il risultato esatto e:

c ,b ,a

cb ,ca ,ba

1) 0, -16, -9

2) 0, 16, 9

3) 0, 12, -15

4) 0, 12, 15 x

y

a

bc

cba

a

bc -

9bbabbba bcb

16abaaaba aca

0ba

2

2

La risposta

giusta è la 1)