Esercitazione7_2010-2011
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Esercitazione 7 di Matematica Applicata Laura Marcias – [email protected] 18 Gennaio 2011 Esercizio 1 (correzione compito numero 1) Si ortonormalizzino i seguenti vettori mediante il procedimento di Gram-Schmidt = 0 1 0 1 1 v , = 1 1 1 1 2 v , = 1 2 1 3 3 v . Soluzione = 0 2 2 0 2 2 1 q = 2 2 0 2 2 0 2 q - = 0 2 2 0 2 2 3 q Esercizio 2 (correzione compito numero 1) Calcolare il numero di condizione rispetto alle norme 1, 2 e ∞ della matrice = 1 0 2 0 1 0 2 0 0 A Soluzione ( 3 1 = A K ( 3 = ∞ A K ( 29 2 17 1 2 + = A K Esercizio 3 (correzione compito numero 1) Determinare i valori di α e β che rendono ortogonali le matrici = 20 5 3 5 3 5 2 α α B , = 2 1 2 1 2 1 β C e, in corrispondenza a una coppia di tali valori, risolvere nel modo più conveniente il sistema lineare Ax = b, dove A = BC e b = (1, 1) T . Soluzione 4 - = α 2 2 - = β = 5 2 3 5 2 4 x
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Matematica Applicata
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Esercitazione 7 di Matematica Applicata Laura Marcias [email protected]
18 Gennaio 2011
Esercizio 1 (correzione compito numero 1) Si ortonormalizzino i seguenti vettori mediante il procedimento di Gram-Schmidt
=
0101
1v ,
=
1111
2v ,
=
1213
3v .
Soluzione
=
022
022
1q
=
220
220
2q
=
022
022
3q
Esercizio 2 (correzione compito numero 1) Calcolare il numero di condizione rispetto alle norme 1, 2 e della matrice
=
102010200
A
Soluzione ( ) 31 =AK ( ) 3= AK ( ) 2
1712
+=AK
Esercizio 3 (correzione compito numero 1) Determinare i valori di e che rendono ortogonali le matrici
=
2053
53
52
B ,
=
21
21
21
C
e, in corrispondenza a una coppia di tali valori, risolvere nel modo pi conveniente il sistema lineare Ax = b, dove A = BC e b = (1, 1)T.
Soluzione 4=
22
=
=
523524
x
-
Esercizio 4 (correzione compito numero 1) Risolvere mediante la fattorizzazione PA = LU, il seguente sistema lineare
=+
=+
=++
=+
735222224
8422224
4321
4321
421
432
xxxx
xxxx
xxx
xxx
e calcolare il determinante della matrice dei coefficienti. Soluzione
=
40002400
22402224
U
=
0010100000010100
P
=
1021210102100100001
L
=
882
2
y
=
212
1
x
( ) 256det =A
Esercizio 5 (correzione compito numero 1) Assegnati
=
30020
01
A ,
=
743
b ,
dire per quali valori del parametro reale A invertibile, per quali risulta definita positiva e per quali valori il metodo di Jacobi risulta convergente se applicato al sistema Ax = b. Posto = 1, calcolare le prime due iterazioni del metodo di Jacobi, utilizzando il vettore iniziale x
(0) = (0, 0, 0)T.
Soluzione A invertibile per 3
A definita positiva per 33
-
Esercizio 1 (correzione compito numero 2) Si ortonormalizzino i seguenti vettori mediante il procedimento di Gram-Schmidt
=
111
1
1v ,
=
01
01
2v ,
=
1213
3v .
Soluzione
=
212121
21
1q
=
022
022
2q
=
47474747
3q
Esercizio 2 (correzione compito numero 2) Calcolare il numero di condizione rispetto alle norme 1, 2 e della matrice
=
101020100
A
Soluzione ( ) 41 =AK ( ) 4= AK ( ) ( )512 +=AK
Esercizio 3 (correzione compito numero 2) Determinare i valori di e che rendono ortogonali le matrici
=
21
21
221
B ,
=
54
51
51
54
C
e, in corrispondenza a una coppia di tali valori, risolvere nel modo pi conveniente il sistema lineare Ax = b, dove A = BC e b = (1, 1)T.
Soluzione 1= 2= e 4=
Per 1= e 4=
=
524523
x
Esercizio 4 (correzione compito numero 2) Risolvere mediante la fattorizzazione PA = LU, il seguente sistema lineare
=++
=+
=++
=+
735292
04252
4321
4321
421
432
xxxx
xxxx
xxx
xxx
e calcolare il determinante della matrice dei coefficienti. Soluzione
-
=
40007500
11204012
U
=
0100100000010010
P
=
1011010100100001
L
=
47
50
y
=
1023
x
( ) 80det =A
Esercizio 5 (correzione compito numero 2) Assegnati
=
30020
01
A ,
=
743
b ,
dire per quali valori del parametro reale A invertibile, per quali risulta definita positiva e per quali valori il metodo di GaussSeidel risulta convergente se applicato al sistema Ax = b. Posto = 1, calcolare le prime due iterazioni del metodo di GaussSeidel , utilizzando il vettore iniziale x(0) = (0, 0, 0)T.
Soluzione A invertibile per 3 A definita positiva per 33
-
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )2,,,2
,;, hOyxfyxfyxfhyxfhyx yx +++=
( ) ( ) ( )( )[ ]yxhfyhxfyxfhyx ,,2,31
;, +++=
Sviluppo in serie di Taylor rispetto ad h: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )2,,,2,2,
31
;, hOyxfyxfyxfhyxfyxfhyx yx ++++=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )2,,,3
2,;, hOyxfyxfyxfhyxfhyx yx +++=
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )2,,,3
221
;, hOyxfyxfyxfhhyx yx ++
=
La formula ha ordine 2 se ( ) ( )2;, hOhyx = cio: 03
221
=
43
=
Ora applico la formula per approssimare la soluzione del problema di Cauchy. 00 =x
10 =
101 =+= hxx
( ) ( )( )[ ]00000001 ,,2,3 xhfhxfxfh
++++=
( )( )[ ]00000001 66263 xhhxxh
++++=
44362
3111 =
+=
11 =x 41 =
