Esercitazione di Statistica

Verifica di Ipotesi

I test di ipotesi

Etimologia della parola “TEST” Dal latino Testa, vaso di terracotta nel

quale venivano portati ad alta temperatura i metalli leggeri per separarli dalle impurità.

Dal latino Testis, cioè testimone, risolutore delle controversie

Principali di test di ipotesi

Test di ipotesi

Test parametrici

μ σ2 π

μ 1- μ2 π1- π2σ21/ σ2

2

Test non parametrici

Bontà di adattamento

Indipendenza

Regole di decisione

Ho Vera

Accetto H0 Rifiuto H0

Decisione Corretta Decisione Errata

Errore α

Ho Falsa

Accetto H0 Rifiuto H0

Decisione Errata Decisione Corretta

Errore β

Test sulla media μσ2 nota

Ipotesi

H0:μ= μ0

H1:μ≠ μ0

H1:μ≥ μ0

H1:μ≤ μ0

0XZ

n

Esercizio 1

Un biologo rinviene una grossa quantità di scheletri che ritiene appartenenti ad una specie estinta. E’ noto che la lunghezza di un certo osso appartenete alla specie estinta segue una distribuzione normale con media μ=176 mm e σ=1,5 mm.

Il biologo analizza 9 scheletri e ne calcola la media che è pari a 174,125 mm.

Appartengono alla specie estinta?Eseguire il test ad un livello di significatività del

10%.

Test sulla media μσ2 non nota – piccoli campioni

Ipotesi

H0:μ= μ0

H1:μ≠ μ0

H1:μ≥ μ0

H1:μ≤ μ0

0

ˆX

tS

n

Esercizio 2

In passato una macchina ha prodotto guarnizioni il cui spessore medio è 0,05 pollici. Per determinare se la macchina lavora regolarmente, un campione di 10 guarnizioni viene esaminato e si constata che la media è 0,053 pollici e deviazione standard pari a 0,003 pollici. Si verifichi che il macchinario stia funzionando regolarmente ad un livello di significatività del 5%.

Test sulla media μσ2 non nota – grandi campioni

Ipotesi

H0:μ= μ0

H1:μ≠ μ0

H1:μ≥ μ0

H1:μ≤ μ0

0

ˆX

ZS

n

Esercizio 3

Un agricoltore ha utilizzato per anni un certo fertilizzante riscontrando che il grano prodotto (questa variabile si distribuisce normalmente) è pari a 4,2 tonnellate.

Un rappresentante gli propone un nuovo fertilizzante con il quale in 60 appezzamenti ottiene mediamente 5,3 tonnellate di grano con una deviazione standard pari a 4.

L’agricoltore deve utilizzare il nuovo fertilizzante?

Test sulla differenza di due medie, varianze note

Ipotesi

H0:μ1= μ2

H1:μ1≠ μ2

H1: μ1 ≥ μ2

H1: μ1 ≤ μ2

1 2

2 21 2

X XZ

n m

Esercizio 4

Il peso medio di 50 studenti maschi di una scuola che partecipano attivamente alle gare atletiche è stato calcolato ed è pari a 68,2 kg con una deviazione standard pari a 2,5 kg, mentre quello di 40 studenti che non partecipano è stato calcolato ed è pari a 67,5 kg con una deviazione standard di 2,8 kg.

Si verifichi ad un livello di significatività del 10% che il peso degli studenti che partecipano alle gare atletiche è superiore a quello dell’altro gruppo.

Test sulla differenza di due medie, varianze uguali ma non note

Ipotesi

H0:μ1= μ2

H1:μ1≠ μ2

H1: μ1 ≥ μ2

H1: μ1 ≤ μ2

1 2

1 1ˆc

X Xt

Sn m

2 2

1 1 2 21 1ˆ

2

n n

i ii i

c

X X X XS

n m

1 2ˆ ˆ1 1

2c

n S m SS

n m

Esercizio 5

Un ricercatore sta effettuando delle ricerche sugli effetti causati dall’inquinamento. E’ noto che il peso di una determinata specie di pesci, segue una distribuzione normale.

Da due differenti fiumi, pesca dei pesci e li pesa:

Il peso dei pesci dei due fiumi ha varianza uguale.

Si verifichi che il peso dei due fiumi è uguale.

Fiume 1 20 10 17 7 10 18

Fiume 1 16 6 10 8 9 7 7 6 8

Test sulla differenza di due medie per campioni appaiati

Ipotesi

H0:μ1= μ2

H1:μ1≠ μ2

H1: μ1 ≥ μ2

H1: μ1 ≤ μ2

ˆD

DT

S

n

1

n

ii

DD

n 2

1ˆ1

n

ii

D

D DS

n

Esercizio 6

Un test misura i tempi di reazione in decimi di secondo di un campione casuale di 6 pazienti prima e dopo la somministrazione di un certo farmaco e produce i seguenti risultati:

Il farmaco fa aumentare i tempi di reazione?

Pazienti 1 2 3 4 5 6

Prima 6,1 6,7 4,2 5,6 5,9 4,4

Dopo 12,1 11,7 4,1 8,6 5,7 8,4

Test sulla frequenza di una popolazione

Ipotesi

H0:π= π0

H1: π ≠ π0

H1: π ≥ π0

H1: π ≤ π0

0

0 01

fZ

n

Esercizio 7

Una ditta farmaceutica sta sviluppando un nuovo farmaco per curare l’emicrania. Indagini condotte in passato hanno rilevato che il farmaco attualmente prodotto è efficace sul 50% dei soggetti. L’azienda, prima procedere alla produzione su larga scala del farmaco, decide di condurre un test. A tal fine somministra il nuovo farmaco su 36 soggetti di cui 14 risultano guariti. E’ consigliabile produrre il nuovo farmaco? Eseguire un test ad un livello di significatività del 10%.

Test sulle frequenze di due popolazioni

Ipotesi

H0:π1= π2

H1: π1 ≠ π2

H1: π1 ≥ π2

H1: π1 ≤ π2

1 2

1 11c c

f fZ

f fn m

1 2c

nf mff

n m

Esercizio 8

In un determinato paese viene indetto un referendum riguardante l’unione monetaria. Una società di sondaggi d’opinione vuole verificare se esiste una differenza tra il nord ed il sud del paese. A tal fine, intervista un campione di 5000 persone del nord del paese, di cui 2800 si dichiarano favorevoli, mentre di 6000 intervistati del sud, 3500 hanno dichiarato di voler votare a favore. Questi dati suggeriscono che l’opinione generale dei cittadini è la stessa nel nord e nel sud del paese?

Test sulla varianza

Ipotesi

H0:σ2= σ02

H1: σ2 ≠σ02

H1: σ2 ≥ σ02

H1: σ2 ≤ σ02

2

20

ˆ1n SY

Esercizio 9

La varianza del peso di un tipo di pacchetto di sigarette è di 0,25 grammi. Il responsabile qualità dell’azienda è preoccupato che il macchinario di riempimento sia fuori taratura. Estrae un campione causale di 20 pacchetti e constata che la varianza è pari a 0,32. E’ significativa al 5% tale aumento di variabilità?

Test sulle varianze di due popolazioni

Ipotesi

H0:σ12= σ2

2

H1: σ12≠ σ2

2

H1: σ12 ≥ σ2

2

H1: σ12 ≤ σ2

2

2max2min

ˆ

ˆS

FS

Esercizio 10

Si considerino i dati dell’esercizio 5

Questi dati sono sufficienti ad affermare che le varianze del peso dei due fiumi sono uguali?

Eseguire un test di ampiezza 5%.

Determinazione della numerosità campionaria

Approssimazione

2

2

z zn

Esercizio 11

Si supponga di voler verificare l’ipotesi

H0:μ0=40200Contro

H1:μ1=40400Di un determinato fattore con deviazione

standard pari a 1600.Quale deve essere la numerosità campionaria

che garantisca un errore α pari al 5% ed un errore β pari a 3%?