Esercitazione del 13/3/2009

• Esercizio 1

Un punto materiale si muove lungo l’asse x secondo l’equazione x =2 + 3t− 4t2, con x misurata in [m] e t in [s]. Si calcoli: (a) la posizionedel punto materiale nell’istante in cui cambia direzione. (b) la velocitaquando ripassa nella posizione occupata al tempo t = 0.

• Esercizio 2

State guidando alla velocita di 112 km/h. Un incidente sulla strada vidistrae per 1 s. Quanto spazio percorre la vostra macchina in questolasso di tempo?

• Esercizio 3

Un autista sta viaggiando alla velocita di 30 m/s e vede sulla corsia unveicolo molto lento ad una distanza di 155 m che viaggia a 5 m/s. Lastrada e scivolosa e l’auto rallenta imprimendo una decelerazione di -2m/s2. Avviene la collisione? Se sı, a che distanza?

• Esercizio 4

Una persona cammina a 5 m/s lungo una strada rettilinea da A a B.Poi torna indietro da B ad A ad una velocita di 3 m/s. Calcolare:(a) il valor medio del modulo della velocita nell’intero percorso, (b) lavelocita media nell’intero percorso.

• Esercizio 5

Il pilota di un’auto frena a causa di un albero che occupa la carreggiata.L’auto rallenta uniformemente per 4.2 secondi imprimendo un’acceler-azione di -5.6 m/s2. Sul terreno rimane una striscia di frenata di 62.24m. A che velocita finisce contro l’albero?

• Esercizio 6

Un masso inizialmente in quiete viene lasciato cadere da una roccia dialtezza h. Nello stesso istante dalla base della roccia viene lanciata

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verso l’alto una sfera, con velocita v0 lungo la traiettoria del masso.Calcolare dopo quanto tempo avviene la collisione.

• Esercizio 7

In un bar un avventore lancia lungo il bancone un boccale vuoto dabirra perche venga riempito nuovamente. Il barista, momentaneamentedistratto, non vede il boccale, che scivola lungo il bancone e cade alsuolo, ad una distanza di 1.4 m dalla base del bancone. Se l’altezzadel bancone e 0.86 m, si calcolino (a) la velocita del boccale nell’istantein cui inizia a cadere dal bancone e (b) la direzione della velocita delboccale nell’istante precedente all’impatto con il suolo.

• Esercizio 8

Una palla viene lanciata con velocita ~v0 = 25 m/s ad angolo θ =40 rispetto alla posizione orizzontale, contro un muro posto a 22 m.Calcolare: (a) il tempo di volo per colpire il muro, (b) la quota h a cuiavviene l’impatto.

• Esercizio 9

Uno pneumatico di raggio 0.5 m ruota con una velocita angolare costantedi 200 giri per minuto. Trovare il modulo della velocita e l’accelerazionedi un sassolino attaccato al battistrada.

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Esercitazione del 16/3/2009

• Esercizio 1

Una palla legata all’estremita di una fune viene fatta ruotare in uncerchio orizzontale di raggio 0.3 m. Il piano in cui giace il cerchio sitrova ad un’altezza di 1.2 m da terra. La corda si rompe e la pallacade ad una distanza orizzontale di 2 m dal piede della perpendicolarecondotta dal punto in cui la corda si rompe verso terra. Si determinil’accelerazione radiale della palla durante il suo moto circolare.

• Esercizio 2

Un treno rallenta da 90 km/h a 50 km/h nei 15 s che impiega a percor-rere una curva orizzontale di raggio 150 m. Si calcoli l’accelerazionenell’istante in cui il treno ha una velocita di 50 km/h. (Si faccia l’ipote-si che la decelerazione sia costante durante i 15 s necessari a percorerrela curva).

• Esercizio 3

La cabina di un ascensore e alta h = 2.6 m. A t = 0 s l’ascensorecomincia a scendere con accelerazione costante pari a a = 0.8 m/s2.Dopo t1 = 3 s la lampadina attaccata al soffitto della cabina si stacca.Calcolare:1) dopo che intervallo di tempo la lampadina tocca il pavimento dellacabina2) che spazio percorre la lampadina rispetto alla tromba dell’ascensore.

• Esercizio 4

La neve cade verticalmente ad una velocita costante di 7.8 m/s. Un’au-tomobile corre in linea retta a velocita costante di 55 km/h. Con cheangolo rispetto all’asse verticale ed a che velocita l’autista vede caderei fiocchi?

• Esercizio 5

Un blocco di massa m = 5 kg e trascinato lungo un piano orizzontaleliscio da una corda che esercita una forza |−→F | = 12 N con un angoloα = 25 rispetto all’orizzontale. Calcolare:1- l’accelerazione a del blocco; 2- il valore di F tale per cui il bloc-co perder contatto con il suolo; 3- l’accelerazione a′ al momento deldistacco.

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• Esercizio 6

Con riferimento all’esercizio precedente, sia il blocco una valigia trasci-nata con una fune. La forza con cui si tira la fune ha modulo pari a 12N e la forza di attrito statico sulla valigia e pari a 8 N. Si determininol’angolo α′ tra la fune e l’orizzontale e la reazione normale sulla valigia.

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Esercitazione del 23/3/2009

• Esercizio 1

Sia µs = 0.8 il coefficiente d’attrito statico tra la suola delle scarpedi una sprinter e la pista sulla quale sta correndo. Si determini lamassima accelerazione che puo raggiungere. E necessario sapere chela sua massa e 60 kg?

• Esercizio 2

Due blocchi sono a contatto su una superficie priva di attrito. Ad unodei due blocchi viene applicata una forza orizzontale F . Dati ma = 2.3kg, mb = 1.2 kg ed F = 3.5 N, calcolare l’accelerazione dei blocchi ela forza di contatto.

• Esercizio 3

Cosa succede se nell’esercizio del caso precedente il piano e scabro?

• Esercizio 4

I blocchi in Figura 1 M = 3 kg e m = 1 kg sono tenuti in contattodall’attrito statico all’interfaccia, il cui coefficiente vale µs = 0.4. Ilpiano orizontale e invece liscio. Determinare il valore minimo dellaforza applicata a M che permette alla massa m di non scivolare lungol’interfaccia verticale durante il moto orizzontale.

Figura 1: Es. 4

• Esercizio 5

Una massa M = 20 kg e appoggiata alla quota h = 70 cm su di unpiano inclinato di angolo θ = 30 che presenta un coefficiente di at-trito statico µs = 0.6 ed un coefficiente di attrito dinamico µd = 0.4.

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Determinare se la massa scivola o resta ferma.In un istante successivo l’angolo di inclinazione del piano viene au-mentato fino al valore γ = 40. Determinare il tempo necessarioperche, sotto queste condizioni, la massa scivoli fino alla base del piano.Quanto varrebbe il tempo se il piano fosse senza attrito?

• Esercizio 6

Due blocchi collegati mediante una fune leggera e ideale sono trascinatida una forza orizzontale −→F . Siano m1 = 12 kg ed m2 = 18, |−→F | = 68N e µk = 0.1. Calcolare la tensione della fune e l’accelerazione delsistema.

• Esercizio 7

Un punto materiale di massa m = 2.5 kg e attaccato all’estremo di unamolla di costante elastica k = 120 N/m e lunghezza a riposo l = 0.3m. L’altro estremo e fissato ad un punto O. Il sistema si trova su unpiano orizzontale e ruota con velocita angolare ω = 4 rad/s costanteattorno ad O. Calcolare il raggio r della circonferenza descritta dallamassa nel suo moto.

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Esercitazione del 6/4/2009

• Esercizio 1

Una scimmia di 11 kg si arrampica lungo una fune priva di massache, passando su un ramo d’albero privo d’attrito, e attaccata ad uncontrappeso di 15 kg appoggiato al terreno. Determinare con qualeaccelerazione minima deve arrampicarsi la scimmia per sollevare daterra il contrappeso. Se dopo avrlo sollevato, smette di arrampicarsi erimane appesa alla fune, quali saranno l’accelerazione della scimmia ela tensione della fune?

• Esercizio 2

Un blocco di 15 kg e trascinato su un piano orizzontale scabro da unaforza di 70 N la cui direzione e inclinata di 20 al di sopra dell’orizzon-tale. Il blocco viene spostato di 5 m e µd = 0.3. Si trovi il lavoro fatto(a) dalla forza F = 70 N, (b) dalla forza normale, (c) dalla forza digravita. (d) Quanto vale la perdita di energia dovuta all’attrito? (e)Si trovi la variazione di energia cinetica del blocco.

• Esercizio 3

Uno sciatore di 70 kg viene tirato su di un pendio da uno skilift. (a)Facendo l’ipotesi che non vi sia attrito e sapendo che l’inclinazione edi 30, si determini il lavoro necessario per trainare lo sciatore per 60m a velocita costante di 2 m/s. (b) Quanto deve valere la potenza delmotore dello skilift?

• Esercizio 4

Un blocco di massa 12 kg scivola, partendo dalla quiete, lungo unpiano inclinato di 35 rispetto all’orizzontale. Il blocco si ferma dopoaver compresso una molla di costante elastica k = 3.0·104 N/m ed averpercorso 3 m dal punto di rilascio a quello di massima compressionedella molla. Si calcoli di quanto viene compressa la molla.

• Esercizio 5

Un saltatore di bungee jumping vuole controllare tutto il sistema primadi saltare. Sapendo che il suo peso e di 700 N, che l’altezza del saltoe di 36 m e la costante elastica dell’elastico e 914 N/m. Quanto deveessere lungo l’elastico per essere sicuro di fermarsi a 4 m dal fiume?

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• Esercizio 6

Considerare il sistema in Fig. 1: i blocchi di massa m e M = 10kg sono collegati tramite una fune inestensibile e di massa nulla chepassa su di una carrucola anch’essa non massiva. Inizialmente i blocchisono tenuti fermi nella cofigurazione in figura, con m sospesa ad unadistanza L = 2 m dal suolo. M scivola su una superficie orizzontalescabra con coefficienti di attrito µs = 0.4 e µd = 0.2. Calcolare:1- il valore minimo di m che permette al sistema, una volta rilasciato, dicominciare a muoversi; 2- se m = 5 kg, l’accelerazione dei blocchi ed ilvalore della tensione della fune; 3- l’intervallo di tempo ∆t tra il rilasciodel sistema nella condizione del punto 2 ed il momento dell’impattocon il suolo; 4- la differenza di velocita di impatto nel caso di pianoorizzontale scabro e liscio.

Figura 1: Es. 6

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Esercitazione del 20/4/2009

• Esercizio 1

Un pendolo di massa m = 2.4 kg e lunghezza l = 34 cm viene spostatodalla posizione di equilibrio di un angolo α = 13. Determinare (a) lavelocita della massa e (b) la tensione del filo quando il pendolo passadalla posizione di equilibrio.

• Esercizio 2

Un blocco di 5 kg viene spinto contro una molla orizzontale provocandouna compressione di ∆x. La costante elastica e K = 450 N/m. Il bloccolasciato libero si muove sul piano liscio fino al punto B (vedi Fig. 1)dove inizia un profilo circolare verticale scabro di raggio R = 1 m. Lavelocita in B e 12 m/s e il blocco e sottoposto ad una forza media diattrito di 7 N lungo il percorso circolare della guida. (a) Quanto vale∆x? (b) Qual e la velocita del blocco se raggiunge la sommita dellaguida T? (c) La raggiunge o cade prima?

Figura 1: Es. 2

• Esercizio 3

Un carro merci di 6000 kg si muove lungo i binari senza apprezzabileattrito. Il carro viene fermato mediante un sistema combinato di 2molle (vedi Figura 2). Entrambe seguono la legge di Hooke con k1 =1600 N/m e k2 = 3400 N/m. Dopo che la prima molla viene compressaper 30 cm, comincia ad agire anche la seconda, i cui effetti si sommanoalla prima incrementando l’effetto frenante. Trovare la velocita inizialedel carro sapendo che si ferma dopo 50 cm dal contatto con la primamolla.

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Figura 2: Es. 3

• Esercizio 4

Calcolare la posizione del centro di massa della piastra circolare diraggio 2R ottenuta tagliando dal suo interno un disco di raggio Rcome mostrato in Figura 3.

Figura 3: Es. 4

• Esercizio 5

Un cane di massa pari a 5 kg si trova su una barca a 7 m dalla riva.Il cane percorre 2.8 m sulla barca verso la riva. Sapendo che la barcapesa 21 kg e assumendo che non vi sia attrito tra essa e la superficiedell’acqua, si determini la distanza finale tra il cane e la riva.

• Esercizio 6

Due blocchi di masse M e 3M si trovano su di un piano orizzontalesenza attrito. Una molla di massa trascurabile e fissata ad uno diessi ed i due blocchi vengono spinti l’uno contro l’altro con la mollain mezzo (vedi Fig. 4). Un filo che li tiene inizialmente uniti viene

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bruciato ed il blocco di massa 3M si muove verso destra con unavelocita di 2 m/s. (a) Qual’e la velocita del blocco di massa M? (b)Si determini l’energia elastica iniziale immagazzinata nella molla seM = 0.35 kg.

Figura 4: Es. 6

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Esercitazione del 22/4/2009

• Esercizio 1

In figura 1 viene mostrato un diagramma dell’energia otenziale U infunzione della posizione x per un corpo puntiforme di massa 0.9 kgvincolato a muoversi sull’asse x. Intervengono solo forze conservative.Il corpo e lasciato libero in x = 4.5 m con velocita iniziale di 7 m/s,diretta in verso opposto all’asse. (a) Puo il corpo arrivare in x = 1 me in caso positivo con che velocita vi giunge? In caso negativo dov’eil punto di inversione? (b) Quali sono modulo, direzione e verso dellaforza agente sulla particella quando comincia a muoversi alla sinistradel punto x = 4 m?Supponiamo ora al contrario che il corpo si muova inizialmente nelverso concorde all’asse. (c) Puo il corpo arrivare in x = 7 m e in casopositivo con che velocita vi giunge? In caso negativo dov’e il punto diinversione? (d) Quali sono modulo, direzione e verso della forza agentesulla particella quando comincia a muoversi alla destra del punto x = 5m?

Figura 1: Es. 1

• Esercizio 2

Un cannone ha sparato una granata conuna velocita all’uscita di 20m/s, ad un angolo di 60 sopra il piano orizzontale. Al vertice dellatraiettoria la granata esplode rompendosi in due frammenti di ugualemassa. Uno dei due, che immediatamente dopo l’esplosione ha velocitanulla cade verticalmente. A che distanza dal cannone atterrera l’altroframmento, ammettendo che il terreno sia in piano e la resistenzadell’aria trascurabile?

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• Esercizio 3

Un oggetto puntiforme di massa m e lasciato cadere da fermo dallacima di un cuneo di massa M = 4m. Giunto lungo il piano orizzontaleincontra poi una guida circolare di raggio r = 8 cm come mostratoin Figura 2. Qual e la minima altezza del cuneo tale da consentireall’oggetto di compiere un giro intero lungo la guida? Si trascurinotutti gli attriti, sia quelli che agiscono sull’oggetto, sia quello tra ilcuneo e il piano.

Figura 2: Es. 3

• Esercizio 4

Una ruota impiega 3 s per completare 37 giri. se la velocita ango-lare dopo i 3 s e 98 rad/s, qual e il valore dell’accelerazione angolare,supposta costante, della ruota?

• Esercizio 5

La figura 3 rappresenta lo schema di una trasmissione a cinghia: laruota A di raggio rA = 10 cm e accoppiata tramite la cinghia B allaruota C di raggio rc = 25 cm. La ruota A partendo da ferma aumentala propria velocita angolare con accelerazione costante di 1.6 rad/s2.Calcolate quanto tempo impiega la ruota C per raggiungere la velocitaangolare di 100 giri/minuto, ammettendo che la cinghia non slitti.

Figura 3: Es. 5

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• Esercizio 6

Sia data un’asticella sottile uniforme di massa M e lunghezza L, dis-posta lungo un asse x con il centro nell’origine. (a) Qual e il momentod’inerzia di questo corpo rispetto ad un asse passante per il suo centroe perpendicolare all’asticella? (b) Qual e il momento d’inerzia dellostesso corpo rispetto ad un ase parallelo al precedente, ma passanteper l’estremita sinistra dell’asticella?

• Esercizio 7

Calcolare il momento d’inerzia rispetto all’origine del sistema di assicartesiani mostrati in figura 4, della piastra circolare di raggio 2Rottenuta tagliando dal suo interno un disco di raggio R.

Figura 4: Es. 7

• Esercizio 8

Due masse M e m sono collegate da una sbarretta rigida di lunghezzal e massa trascurabile, come in Fig. 5. Si dimostri che il valore delmomento d’inerzia I del sistema rispetto ad un asse perpendicolarealla sbarretta e minimo quando l’asse passa per il centro di massa evale I = µL2, con µ = mM/(m + M)

Figura 5: Es. 8

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Esercitazione del 24/4/2009

• Esercizio 1

Due blocchi di massa m1 = 2 kg ed m2 = 6 kg sono connessi fra loroda una corda senza massa tesa su una carrucola circolare di raggioR = 0.25 m e massa M = 10 kg. I due blocchi scorrono lungo ilprofilo disegnato in Fig. 1, il cui lato destro e inclinato di θ = 30. Ilcoefficiente di attrito per i due blocchi e 0.36. Si disegni il diagrammadi corpo libero per i due blocchi e per la carrucola. Si determini ilvalore dell’accelerzione dei due blocchi e le tensioni della corda sui duelati della carrucola.

Figura 1: Es. 1

• Esercizio 2

Due masse m1 = 15 kg ed m2 = 10 kg sono tenute sospese da unacarrucola di raggio R = 10 cm e massa M = 3 kg. La corda, dimassa trascurabile, mette in rotazione la carrucola senza che vi siaslittamento fra corda e carrucola. Le masse partono da ferme e la lorodistanza e d = 3 m. La carrucola ruota senza attriti ed e assimilabilead un disco omogeneo. Si determinino le velocita delle due massenell’istante in cui si incrociano.

• Esercizio 3

Una sbarretta omogenea di lunghezza L e massa M e incernierata in unestremo ad un asse orizzontale senza attrito. La sbarretta viene abban-donata, in quiete, in posizione verticale. Quando la sbarretta si trovain posizione orizzontale si calcoli la velocita angolare della sbarretta,la sua accelerazione angolare, le componenti x ed y dell’accelerazionedel suo centro di masa e le componenti della reazione vincolare dellacerniera.

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• Esercizio 4

Una corona circolare di massa m = 2.4 kg, raggio interno r = 6 cm eraggio esterno R = 8 cm rotola senza strisciare su un piano inclinatoche forma un angolo θ = 36.9. Ad un certo istante la corona si trovasul piano in posizione x = 2 m con velocita verso l’alto di 2.8 m/s. Lacorona continuera a salire fino ad una certa altezza per poi rotolareverso il basso. Perche la corona non cada giu dal punto piu alto delpiano, a che distanza deve trovarsi questo punto?

• Esercizio 5

Una donna di massa 60 kg sta sul bordo di una piattaforma rotanteorizzontale di momento d’inerzia 500 kg·m2 e di raggio 2 m. Il sis-tema e inizialmente fermo e la piattaforma puo ruotare senza attritointorno ad un asse fisso verticale passante per il suo centro. La donnaincomincia a camminare lungo il bordo in senso orario ad una velocitacostante di 1.5 m/s rispetto al suolo. (a) In quale verso e con qualevelocita angolare ruotera la piattaforma? (b) Quanto lavoro ha dovutofare la donna per mettere in moto se stessa e la piattaforma?

• Esercizio 6

Un cavo e arrotolato su una puleggia di massa m e di raggio r el’estremo libero del cavo sorregge un blocco di massa M . Il bloccoparte da fermo e scivola lungo un piano inclinato scabro che forma unangolo θ con il piano orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamicofra blocco e piano e µ. Usare il teorema lavoro-energia cinetica perdimostrare che la velocita del blocco v in funzione del suo spostamentosul piano inclinato d e:v = [4gdM(m + 2M)−1(sinθ − µcosθ)]1/2

• Esercizio 7

Una sfera piena omogenea di raggio r si trova sulla superficie internascabra di una ciotola emisferica di raggio R molto pi grande. La sferaparte da ferma in un punto definito da un angolo θ con la verticalee rotola senza strisciare. Si determini la velocita angolare della sferaquando passa per il fondo.

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Esercitazioni del 27/4/2009

• Esercizio 1

Una palla da biliardo omogenea di massa m e raggio R viene colpita,parallelamente al piano orizzontale, con una stecca che da una forzaF per un tempo t. A che altezza e necessario colpire la palla affincherotoli senza strisciare? Se la palla viene colpita ad un’altezza maggiore,dopo che intervallo di tempo t rotolera senza strisciare? Qual e lavelocita del centro di massa in questo istante? Cosa succede se lapalla viene colpita ad un’altezza inferiore al suo raggio?

• Esercizio 2

Un sacco di cemento del peso di 325 N e sostenuto da tre funi. Duedelle funi formano angoli di θ1 = 60 e θ2 = 25 con l’orizzontale. Seil sistema e in equilibrio, si calcolino le tensioni T1, T2 e T3.

Figura 1: Es. 2

• Esercizio 3

La sbarra mostrata in figura 2 e imperniata nell’estremita inferiore ed emantenuta in equilibrio dalla molla attaccata all’estremita superiore.La sbarra ha lunghezza l = 1 m, la sua meta inferiore ha densitalineare µ1 = 4 kg/m, la sua meta superiore ha densita lineare µ2 = 2kg/m. Sapendo che l’angolo α vale 60, determinare i valori dellareazione vincolare del perno e della forza elastica. La molla e allungatao accorciata rispetto alla posizione di riposo?

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Figura 2: Es. 3

• Esercizio 4

Un’insegna di peso Fg e di lunghezza 2L, e appesa ad un’asta oriz-zontale incernierata al muro e sorretta da un cavo, come mostrato inFigura 3; si determinino in funzione di Fg, d, L e θ (a) la tensione delcavo e (b) le componenti della reazione del muro.

Figura 3: Es. 4

• Esercizio 5

Una scala a pioli di 15 m di densita uniforme e 500 N di peso e ap-poggiata, in quiete, ad una parete verticale priva di attrito e forma unangolo di 60 con il suolo. (a) Si calcolino la forza che il suolo esercitasulla base della scala quando un pompiere di 800 N di peso si trovaa 4 m dalla base. (b) il pompiere salendo sulla scala si accorge che,dopo essere salito fino a 9 m, la scala e sul punto di scivolare. Qual eil coefficiente di attrito statico?

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• Esercizio 6

Un tubo a forma di U come mostrato in figura 4 contiene due liquidiin equilibrio statico: acqua (ρa = 998 kg/m3) nel braccio di destra eolio di massa volumica sconosciuta ρx nel braccio di sinistra. I valoridelle misure indicate in figura sono l = 135 mm e d = 12.3 mm. Quale la densita dell’olio?

Figura 4: Es. 6

• Esercizio 7

In figura 5 vediamo una molla avente costante elastica k = 3 ·104 N/minfrapposta tra il pistone di sollevamento di un martinetto idraulicoe una trave di carico. Sul pistone di azionamento e appoggiato unrecipiente di massa trascurabile. L’area del pistone di azionamento eAa, mentre quella del pistone di carico e 18Aa. Nello stato iniziale lamolla ha la sua lunghezza di riposo. Per comprimere la molla di 5 cmquanti kilogrammi di sabbia occorre caricare nel recipiente?

Figura 5: Es. 7

• Esercizio 8

Si determini la quantita di elio (in m3) necessaria a sollevare fino adun’altezza di 8000 m un pallone, con un carico di 400 kg (ρHe = 0.180

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Kg/m3). Si faccia l’ipotesi che il volume del pallone rimanga costante eche la densita dell’aria diminuisca con l’altezza secondo la legge ρaria =ρ0exp(−z/8000), dove z e l’altezza in m e ρ0 = 1.25 Kg/m3 e la densitadell’aria a livello del mare.

• Esercizio 9

Il diametro di un tubo orizzontale diminuisce progressivamente da 10cm fino a 5 cm. Se la pressione dell’acqua nella sezione piu larga e8 · 104 Pa, mentre in quella piu stretta e 6 · 104 Pa, quale e la portatad’acqua nel tubo?

• Esercizio 10

Una piccola fontana da giardino manda un getto verticale di acquaavente portata Q = 0.1 l/s ad unaltezza h = 0.5 m. Qual la veloc-it iniziale dellacqua e qual il raggio del foro circolare da cui fuori-esce? Calcolare quale pressione deve fornire la pompa della fontanaassumendo che sia posta appena sotto il foro di uscita.

• Esercizio 11

Un grosso serbatoio e riempito fino ad un’altezza H. Se il serbatoioviene forato ad un’altezza h dal fondo, si determini a quale distanzadal serbatoio cadra il getto.Se si vuol far giungere il getto il piu lontano possibile dalla parete,a che altezza dal fondo dovr essere praticato il foro? Quale sara ladistanza raggiunta in questo caso?

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Esercitazioni del 11/5/2009

• Esercizio 1

Una particella, appesa ad una molla, puo compiere oscillazioni con unapulsazione di 2 rad/s. Il sistema molla-massa appeso al soffitto di unascensore, pende in quiete, rispetto all’ascensore quando questo scendead una velocita costante di 1.5 m/s. L’ascensore si ferma bruscamente.Si determini: (a) l’ampiezza delle oscillazioni della particella, (b) l’e-quazione del moto della particella. (Si scelga positiva la direzione versol’alto).

• Esercizio 2

Una massa di 200 g attaccata ad una molla oscilla di moto armonicocon periodo di 0.25 s. Se l’energia totale del sistema e 2 J, si trovi: (a)la costante elastica della molla, (b) l’ampiezza delle oscillazioni.

• Esercizio 3

Sia dato il sistema in Figura 1 in cui la massa m = 10 kg legata adue molle identiche si trova nella posizione di equilibrio. Calcolarela costante elastica delle molle, la frequenza di oscillazione del mo-to e la velocita massima quando la massa viene spostata di 10 cmdalla posizione di equilibrio e, lasciata libera di muoversi, parte conun’accelerazione di 10 m/s2.

Figura 1: Es. 3

• Esercizio 4

Una base di appoggio oscilla in un piano orizzontale con ampiezza A =4 cm e frequenza variabile. Una moneta che viene posizionata sullabase si muove rispetto al supporto solo quando la frequenza supera ilvalore ν = 1.6 Hz. Quanto vale il coefficiente di attrito statico tra ilmateriale della moneta e quello della base?

1

• Esercizio 5

Una boa cilindrica avente area di base S, altezza h e densita ρ, vienepoggiata in un fluido di densita ρF . Calcolare l’altezza della parteimmaersa nel fluido in condizione di equilibrio. In seguito la boa vienepremuta con una forza F tale che l’altezza della porzione di boa im-mersa aumenta di x, quale sara il moto risultante una volta tolta laforza premente? Quale la frequenza di oscillazione?

• Esercizio 6

Lo spostamento angolare di un pendolo e espresso dall’equazione θ =(0.32[rad])cos(ωt) con θ in radianti e ω = 4.43 rad/s. Si determininoperiodo e lunghezza del pendolo. (Si ricavi l’equazione dell’oscillatorearmonico per piccoli spostamenti)

• Esercizio 7

Un’asta di lunghezza L e massa M e incernierata ad un’estremita men-tre all’altra ha attaccata una massa uguale M . Si trovi il periodo dellepiccole oscillazioni calcolandone il valore per L = 2 m. (Suggerimento:si consideri la massa M puntiforme).

Figura 2: Es. 7

• Esercizio 8

Una massa m1 = 9 kg e attaccata ad una molla di costante elasticak = 100 N/m e di massa trascurabile, l’altro estremo della molla eattaccato ad una parete. Il sistema massa-molla si trova in quiete suun piano orizzontale liscio. Una seconda massa m2 = 7 kg, accostataad m1 e spinta lentamente fino a raggiungere una compressione della

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molla A = 0.2 m. Le due masse, lasciate libere, inizieranno a muoversiverso destra. (a) Quando m1 raggiunge la posizione di equilibrio, m2

perde il contatto con m1 e continuera a muoversi verso destra convelocita v. Si determini il valore di v. (b) Qual e la distanza relativafra le due masse nel momento in cui la molla raggiunge il massimoallungamento per la prima volta?

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Esercitazioni del 18/5/2009

• Esercizio 1

Supponete di avvertire un tuono 16.2 s dopo aver visto il fulmine chelo ha generato. La velocita del suono e 343 m/s, mentre quella dellaluce e 3 · 108 m/s. Quanto siete lontani dal fulmine?

• Esercizio 2

Un vaso cade da 20 m di altezza giu da un balcone in direzione diun uomo alto 1.75 m, che sta in piedi su un marciapiede. A chedistanza dal marciapiede puo arrivare il vaso prima che sia troppo tardigridare dal balcone un avvertimento che raggiunga l’uomo in tempo?Si consideri che l’uomo ha bisogno di 0.3 s per reagire all’avvertimento.

• Esercizio 3

Due altoparlanti di un sistema stereofonico distano 2, 12 m ed emet-tono onde sonore che giungono con medesima ampiezza all’ascoltatoreposto di fronte ad uno dei due altoparlanti alla distanza di 3.75 m daesso. Si determini per quale valore della frequenza udibile (20− 20000Hz) il segnale avra ampiezza (a) minima e (b) massima.

• Esercizio 4 (facoltativo)

Deboli rumori di fondo provenienti da una stanza creano un’ondastazionaria fondamentale in un tubo di cartone di lunghezza L = 67cm con due estremita aperte. Supponete che la velocita del suononell’aria all’interno del tubo sia 343 m/s. (a) Quale frequenza uditeprovenire dal tubo? (b) Che frequenza udite provenire dal tubo sepremete un orecchio su una delle estremita?

• Esercizio 5

Un anello di ottone con diametro interno di 10 cm a T = 20, vienescaldato e fatto scorrere lungo un’asta di alluminio che ha un diametrodi 10.01 cm a T = 20. Se i coefficienti di dilatazione lineare sonocostanti e pari a αO = 19 · 10−6 C−1 e αAl = 24 · 10−6 C−1, (a)a quale temperatura bisogna rafreddare il sistema per poter separarei due oggetti? (b) Se il diametro dell’asta fosse di 10.02 cm, qualesarebbe la temperatura richiesta? Sono temperature realizzabili?

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• Esercizio 6

Un liquido con coefficiente di espansione volumica β = 10−3 C−1

riempie esattamente un bulbo sferico di volume Vi = 0.01 m3 allatemperatura Ti. Il bulbo e costruito con un materiale di coefficientedi dilatazione lineare α = 10−5 C−1. Il liquido e libero di dilatarsinel capillare aperto di sezione A = 5 cm2. Se la temperatura varia di20C, a che altezza salira il liquido nel capillare?

• Esercizio 7

Un proiettile di piombo di 3 g a temperatura T = 30C colpisce allavelocita di 240 m/s un blocco di ghiaccio a T = 0C, rimanendoviconficcato. Quanto ghiaccio fondera?[cPb = 128 J/(kg C); Lgh = 3.33 · 105 J/kg]

• Esercizio 8

In un recipiente isolato aggiungo 250 g di ghiaccio a 0C a 600 gd’acqua a 18C. Trovare la temperatura finale del sistema. Quantoghiaccio rimane dopo che l’equilibrio e stato raggiunto[cH2O = 4.186 J/(kg C); Lgh = 3.33 · 105 J/kg]

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Esercitazioni del 25/5/2009

• Esercizio 1

Una lastra di alluminio alla temperatura di 150C viene immersa inuna vasca di dimensioni 1X2X0.5 m piena d’acqua a 20C. Trascu-rando dispersioni termiche all’esterno, quale deve essere la massa dellalastra per provocare un aumento di temperatura dell’acqua di 1C?(cAl = 900 J/(kg C), cH2O = 4190 J/(kg C), ρH2O = 998 kg/m3)

• Esercizio 2

Una barra d’oro e in contatto termico con una barra d’argento dellastessa sezione e lunghezza. L’estremita d’oro e mantenuta ad 80C equella di argento a 30C. Quando la propagazione dell’energia per con-duzione raggiunge una situazione stazionaria, quale e la temperaturanel punto di giunzione? [KAu = 314 W/mC; KHg = 427 W/mC]

• Esercizio 3

Una bolla daria di raggio R = 8 mm e inizialmente sul fondo di unlago profondo 52 m, dove la temperatura 3C. La bolla sale poi insuperficie, dove la temperatura e invece pari a 26C. Supponendo chela bolla sia sempre in equilibrio termico con lacqua che la circonda eche laria possa essere trattata come un gas perfetto, calcolare il volumedella bolla quando arriva in superficie.

• Esercizio 4

La massa di un pallone aerostatico e del suo carico (escludendo l’ariaall’interno) e 200 kg. L’aria esterna ha una temperatura di T = 10Calla pressione di 101 kPa. Il volume del pallone e 400 m3. A quale tem-peratura deve essere riscaldata l’aria nel pallone, affinche esso possasollevarsi? [ρa = 1.25 kg/m3 a T = 10C].

• Esercizio 5

Una mole di gas perfetto monoatomico si trova ad una temperaturainiziale di 300 K. il gas subisce una trasformazione a volume costantein cui riceve 500 J di energia sotto forma di calore. Subisce poi unatrasformazione isobara in cui rilascia la stessa quantita di energia sottoforma di calore. Si determini: (a) la nuova temperatura del gas e (b)il lavoro subito dal gas.

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• Esercizio 6

Quattro litri di un gas perfetto biatomico (γ = 1.4) racchiusi in uncilindro subiscono una trasformazione ciclica. Inizialmente il gas sitrova ad 1 atm e 300 K. Come primo passo la pressione viene triplicataa volume costante. in un secondo tempo il gas si espande adiabatica-mente per tornare alla pressione iniziale. (a) Si tracci il diagrammaP − V per questo ciclo. (b) Si determini il volume del gas al terminedell’espansione adiabatica. (c) Si trovi la temperatura del gas all’iniziodell’espensione adiabatica. (d) Si trovi la temperatura del gas al ter-mine del ciclo. (e) Quanto vale il lavoro complessivo compiuto dal gasin questo ciclo?

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Esercitazioni del 27/5/2009

• Esercizio 1

Una certa quantita di gas perfetto descrive il ciclo mostrato in Figura1. Da A a B la trasformazione e adiabatica, da B a C e isobara, con100 kJ di energia assorbiti dal sistema sotto forma di calore. Da C aD la trasformazione e isoterma ed infine da D ad A e isobara con 150kJ di energia ceduta dal sistema sotto forma di calore. Si determini ladifferenza di energia interna Eint,B − Eint,A.

Figura 1: Es. 1

• Esercizio 2

Una macchina termica di Carnot opera tra due sorgenti di temperaturaT1 = 850 K e T2 = 300 K. Ad ogni ciclo, che richiede 0.25 s di tempoper essere completato, eroga 1200 J di lavoro. (a) Qual e il rendimentodel motore? (b) Qual e la potenza media del motore? (c) Quanto valeil calore |Q1| fornito dalla sorgente calda durante un ciclo? (d) Quantovale il calore |Q2| ceduto alla sorgente fredda durante un ciclo?

• Esercizio 3

Una macchina reale che ha il 20% di rendimento viene utilizzata peraccelerare un treno da fermo fino a 5 m/s. Si sa che una macchinaideale di Carnot che lavora fra le stesse temperature accelererebbe iltreno fino ad una velocita di 6.5 m/s usando la stessa quantita dicarburante. Facendo l’ipotesi che le macchine usino come sorgentefredda aria a 300 K, si trovi la temperatura del vapore che serve dasorgente calda.

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• Esercizio 4

Calcolare qual e il minimo lavoro necessario per congelare 10 kg diacqua a 0C e la temperatura ambiente di 27C. [Lgh = 3.33 · 105

J/kg]

• Esercizio 5

Una pompa di calore e una macchina termica che lavora all’inverso:estrae energia da una sorgente fredda e la cede ad una calda. Si faccial’ipotesi che il rapporto tra l’energia che entra nella stanza e il lavorofatto dal motore sia il 10% del rapporto massimo teorico. Si determinil’energia entrante nella stanza per ogni Joule di lavoro fatto dal mo-tore, quando la temperatura interna e 20C e la temperatura esternae −5C.

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Esercitazioni del 8/6/2009

• Esercizio 1

2.5 moli di un gas ideale si espandono reversibilmente ed isotermica-mente alla temperatura di 360 K fino ad un volume doppio rispetto aquello iniziale. Qual e l’aumento di entropia del gas?

• Esercizio 2

Si consideri una massa d’acqua m1 = 3 Kg alla temperatura di 12C.Essa viene mescolata in un recipiente isolato ad una massa m2 = 2 Kgdi acqua alla temperatura di 98C. Calcolare la variazione di entropiadella miscela. [cacqua = 4186 J/(kg K)]

• Esercizio 3

Si calcoli la variazione di entropia per 600 g di ghiaccio a -20C quan-do vengono trasformati in acqua a 40C. [cacqua = 4186 J/(kg K);cghiaccio = 2010 J/(kg K); Lfusione = 3.33 · 105 J/kg]

• Esercizio 4

Un ciclo di Carnot reversibile funziona tra le temperature T2 = 23Ce T1 = 123C. La variazione di entropia per l’isoterma a temperaturamaggiore e ∆S1 = 2.5 cal/K. Clacolare il rendimento del ciclo, il la-voro prodotto e la variazione di entropia dell’isoterma a temperaturaminore.

• Esercizio 5

Una mole di gas perfetto monoatomico subisce le seguenti trasfor-mazioni: a) una trasformazione adiabatica irreversibile dallo stato in-iziale con pressione P0 = 1 atm e volume V0 = 22.4 l, ad un certo statoA. Una successiva compressione isobara reversibile fino ad uno statoB caratterizzato da VB = VA/2; il lavoro compiuto dal gas in questatrasformazione e L = 1500 J. Si calcoli il lavoro compiuto nella adia-batica irreversibile. b) Lo stato B e tale che con una trasformazioneadiabatica reversibile il gas torna nelle condizioni iniziali P0, V0. Sicalcoli la pressione, la temperatura e il volume negli stati A e B e lavariazione di entropia nella trasformazione adiabatica irreversibile.

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• Esercizio 6

Si calcoli la quantita di vapore a Tv = 100C che deve essere introdottain un contenitore termicamente isolato assieme a m = 150 g di ghiaccioa Tg = 0C, affinche si produca acqua nella fase liquida a Ta = 50C.Si calcoli la variazione di entropia dell’universo.[calore latente di fusione dell’acqua Lf = 3.33 ·105 J/kg, calore latentedi vaporizzazione dell’acqua Lv = 2.26 · 106 J/Kg), calore specificodell’acqua ca = 4186 J/(kg K)]

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Esercitazioni del 12/6/2009

• Esercizio 1

Due sferette conduttrici A e B uguali sono sospese ad un punto O medi-ante due fili di lughenzza l = 12 cm. All’inizio si toccano. Portando suognuna una carica q le sferette si muovono e raggiungono la posizionedi equilibrio ad un angolo α = 60 tra loro. Date mA = mB = 2.3 g,calcolare il valore di q.

• Esercizio 2

Due resistenze R1 = 100 Ω, R2 = 900 Ω sono connesse in parallelo eil gruppo e collegato ad una batteria di forza elettromotrice f = 90V. Dare la resistenza equivalente della combinazione, la corrente inogni resistenza e la differenza di potenziale ai capi di ogni resistenza.Trascurare la resistenza interna della batteria.

• Esercizio 3

Nel circuito in figura si ha ∆V0 = 20 V, R1 = 20 kΩ, R2 = 40 kΩ,R3 = 30 kΩ e R4 = 10 kΩ. Calcolare le tensioni e le correnti di tuttigli elementi circuitali.

Figura 1: Es. 3

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• Esercizio 4

Dato il circuito mostrato in Figura 2 calcolare la differenza di tensione∆V ai capi della resistenza R4 essendo f = 40 V, R1 = 500 Ω, R2 =1000 Ω, R3 = 750 Ω e R4 = 250 Ω. (Suggerimento: risolvere con duediversi metodi)

Figura 2: Es. 4

• Esercizio 5

Una barra d’oro e in contatto termico con una barra d’argento dellastessa sezione e lunghezza. L’estremita d’oro e mantenuta ad 80C equella di argento a 30C. Quando la propagazione dell’energia per con-duzione raggiunge una situazione stazionaria, quale e la temperaturanel punto di giunzione? [KAu = 314 W/mC; KHg = 427 W/mC](suggerimento: risolvere come circuito termico)

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Esercitazioni del 22/6/2009

• Esercizio 1

Un raggio di luce nel vuoto incide su una lastra di vetro. Nel vuotoil raggio incidente forma un angolo di 32 con la normale alla super-ficie, mentre nel vetro l’angolo rifratto e inclinato di 21 rispetto allanormale. Si trovi l’indice di rifrazione del vetro.

• Esercizio 2

In Figura 1 un raggio di luce incide con un angolo θ1 = 40.1 su un’in-terfaccia tra due materiali trasparenti. Una parte della luce viene rif-lessa e fuoriesce in aria, mentre l’altra parte viene rifratta e attraversaaltri tre strati trasparenti. Calcolare gli angoli θ5 e θ4.

Figura 1: Es. 2

• Esercizio 3

Uno specchio concavo ha un raggio di curvatura di 20 cm. Si trovinole posizioni delle immagini quando gli oggetti sono distanti (a) 40 cm,(b) 20 cm e (c) 10 cm. Per ogni caso si stabilisca se l’immagine e realeo virtuale, se e dritta o capovolta e si determini l’ingrandimento.

• Esercizio 4

Una lente convergente ha una distanza focale di 20 cm. Si trovi laposizione dell’immagine di un oggetto che dista dalla lente (a) 40 cm,(b) 20 cm e (c) 10 cm. Per ciascun caso si dica se l’immagine e realeo virtuale, se e dritta o capovolta e si determini l’ingrandimento.

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