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1

ESERCITAZIONE 6

Esercizio 1

Si consideri la configurazione circuitale riportata in figura, utilizzata per studiare il comportamento

di un circuito RC.

In ingresso al circuito sono stati applicati, mediante il generatore di funzione, segnali sinusoidali i

cui valori di frequenza e di ampiezza sono riportati in tabella. Utilizzando l’oscilloscopio sono stati

misurati i valori di ampiezza e di sfasamento del corrispondente segnale sinusoidale in uscita dal

circuito (eccetto che per frequenza f = 132.6 Hz).

La figura 1 riporta le tracce osservate sullo schermo dell’oscilloscopio per la frequenza di ingresso f

= 132.6 Hz

Figura 1

guadagno verticale = 500 mV/div

Frequenza (Hz) A (ingresso)

(V)

A (uscita)

(V)

Angolo di

sfasamento (°)

Guadagno Guadagno (dB)

2 1 � 1 � 0

20 10 � 10 � -8

132.6 1

320 10 � 3.8 � -67

16 K 100 � 0.8 � -90

� � ����� ���������

�

�

���������� ��

�!" �!�

Ch 1 Ch 2

������������������� �� �������� � ������ ��� �������

2

1.1 Completare la tabella, utilizzando la figura 1 per stimare l’ampiezza del segnale sinusoidale in

uscita a frequenza f = 132.6 Hz e lo sfasamento e calcolando il valore del guadagno alle

diverse frequenze.

1.2 Sulla base della precedente tabella, stimare il guadagno statico G0, la frequenza di taglio ft, la

pulsazione di taglio �t e la costante di tempo �, riportando le rispettive unità di misura.

1.3 Sapendo che la capacità C = 100 nF, qual è il valore della resistenza R?

1.4 Scrivere l’espressione della funzione di risposta armonica del sistema G(j�)e l’espressione

della risposta al gradino unitario zU(t).

Generare un file .m che esegue i seguenti punti:

1.5 Genera il modulo (non in dB) e l’argomento (in gradi) della funzione di trasferimento del

filtro in esame, per valori di � compresi tra 100 e 105 rad/s con passo unitario.

1.6 Grafica il diagramma dei moduli e il diagramma delle fasi, visualizzando anche la griglia

(istruzione grid).

1.7 Genera il segnale di ingresso e il segnale di uscita in corrispondenza alla frequenza di taglio,

su un intervallo di tempo pari a 2�T (T = periodo), con passo sufficientemente fitto. Per

determinare esattamente l’ampiezza e lo sfasamento del segnale di uscita, si utilizzi il modulo

e l’argomento delle funzione di risposta armonica del sistema.

1.8 Visualizza i due segnali in uno stesso grafico.

1.9 Genera il segnale x(t) su un intervallo di 2 secondi, usando un t molto fitto (5000 punti),

essendo il segnale x(t) così definito:

x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)

x1(t) è un segnale sinusoidale di ampiezza picco-picco pari a 6 V e frequenza di 1 Hz, x2(t) è

un segnale sinusoidale di ampiezza picco-picco pari a 3 V e frequenza di 2 Hz e x3(t) è un

segnale sinusoidale di ampiezza picco-picco pari a 2 V e frequenza 4 Hz.

1.10 Genera il segnale y(t) così definito:

y(t)=x(t)+r(t),

dove r(t) è un rumore sovrapposto i cui valori sono uniformemente distribuiti nell’intervallo

[-1 1] V.

1.11 Visualizza in una stessa figura, ma in due grafici separati (istruzione subplot), il segnale

affetto da rumore y(t) e il segnale utile x(t)

1.12 Filtra il segnale y(t) usando il circuito in esame (istruzioni tf e lsim), e visualizza in uno

stesso grafico il segnale y(t) e il segnale filtrato z(t).

1.13 Si supponga di sostituire la resistenza R del circuito con una nuova resistenza R1 di valore

pari a 5.6 k�. Determinare i nuovi valori di costante di tempo (�1), pulsazione di taglio (�t1) e

frequenza di taglio (ft1). Se si utilizzasse questo nuovo circuito per filtrare il segnale, il

filtraggio del rumore risulterebbe migliore o peggiore?

1.14 Genera, la risposta del sistema al gradino unitario per i due valori di resistenza, sull’intervallo

[0 6��max], dove �max è il maggiore tra � e �1, utilizzando un passo sufficientemente fitto e

visualizza le due risposte in uno stesso grafico (riportare le righe di codice). Per quale valore

di resistenza viene raggiunta più rapidamente la condizione di regime?

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Esercizio 2

Il file ‘misure.txt’ contiene i valori applicati in ingresso ad un sistema reale (prima colonna) e i

corrispondenti valori misurati in uscita dal sistema (seconda colonna). Si vogliono approssimare i

dati mediante il seguente modello non lineare:

K

0xx

e1

Ay

−−

+

= .

Determinare i valori dei parametri A, x0 e K che meglio approssimano i dati sperimentali nel senso

dei minimi quadrati, e visualizzare in uno stesso grafico i dati sperimentali e la curva interpolante.

Utilizzare i seguenti valori iniziali per i parametri: A = 2; x0 = 25; K =3.

Esercizio 3

Si consideri un paziente sottoposto a ventilazione artificiale. Il sistema ventilatore-apparato

respiratorio del paziente può essere schematizzato mediante l’analogo elettrico riportato in figura,

dove R è la resistenza delle vie aeree, C è la complianza equivalente polmoni-cassa toracica, paw(t)

è la pressione dell’aria nelle vie aeree (riferita alla pressione atmosferica), palv(t) è la pressione

dell’aria nello spazio alveolare (riferita alla pressione atmosferica), q(t) è la portata d’aria imposta

dal ventilatore artificiale. Indichiamo infine con Valv(t) il volume d’aria nello spazio alveolare.

palvC

R

paw

q

�Il ventilatore impone una portata d’aria q(t) periodica con la seguente forma d’onda (su un periodo):

Tresp è il periodo respiratorio, Ti è la durata della inspirazione, Te è la durata della espirazione e qmax

è il massimo valore della portata inspiratoria. Si noti che al termine dell’inspirazione, il flusso si

annulla per un breve intervallo: questo intervallo di tempo è noto come pausa inspiratoria.

0

Tresp

Ti Te

qmax

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4

3.1 I valori di portata d’aria q(t) imposti dal ventilatore artificiale sono memorizzati nel file

‘flu_art.mat’. In particolare, tale file contiene una matrice (‘flusso’) di 2 colonne: la prima

colonna contiene l’asse dei tempi (in s) e la seconda colonna contiene i corrispondenti valori

di portata (in L/s) imposti dal ventilatore artificiale per un solo ciclo respiratorio. Utilizzando

Matlab, graficare q(t), inserendo anche la griglia (riportare le righe di codice). Osservando il

grafico, indicare la durata del periodo respiratorio Tresp, la durata dell’inspirazione Ti, la

durata dell’espirazione Te e il valore massimo della portata inspirata (qmax) in L/min.

3.2 Tenendo conto dell’analogia elettrica: pressione�tensione, portata�corrente, volume�carica,

scrivere le espressioni di palv(t), Valv(t) e paw(t) in funzione di q(t).

3.3 Siano R = 2.5 cmH2O·s/L e C = 0.11 L/cmH2O, si vuole determinare l’andamento di paw(t),

di palv(t) e di Valv(t) utilizzando Simulink. A questo scopo, utilizzare il blocco From

Workspace per importare la variabile ‘flusso’ dallo Workspace di Matlab in Simulink ed

utilizzare un blocco To Workspace per ciascuna delle tre grandezze in esame per poi

visualizzarle in Matlab.

3.4 Eseguire la simulazione in Simulink tra 0 e Tresp. Indicare il valore massimo che raggiungono

le tre grandezze (Valvmax, Palvmax, Pawmax).

3.5 Durante la pausa inspiratoria, è presente un plateau nella paw(t). Indicare il valore della

pressione di plateau (Pplat).

3.6 Che relazione sussiste tra paw(t)e palv(t) durante le pausa inspiratoria (cioè quando il flusso si

annulla)?