1)ln(

10)()( )(

21

Aejs

)(21 js

1

A

dA

20

21

00

ln2)(

Esempio

Esempio (cont.)

0

0

0001

0

1

1ln

ln

2

111ln2

A

dA

0

0

1

1ln

ln)(

A

Ritardo di gruppo

d

dTg

)(

21

1ln

ln2

ATgNel caso appena visto:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

gT

ideale gT

Grafico del ritardo di gruppoI valori sono normalizzati alla costante

Aln2

Risposte ottime

Risposta massimamente piatta

12,...,10)(

0

2

21

nkd

jsdk

k

12,...,10)(

2

21

nkd

jsdk

k

njs

2

2

21 1

1)(

Risposta massimamente piatta

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2

n=1

n=2

n=4

n=8

Butterworth

Risposta Equiripple

22

21 1)(1

max

js

12,...,10)(

2

21

nkd

jsdk

k

)(1

1)(

22

2

21

nTjs

Polinomio di Tchebysheff )coscos()( 1 xnxTn

Risposta equiripple

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.5 1 1.5 2

n=1

n=2

n=4

n=8

Dettaglio della risposta in banda

Risposta equiripple

0.98

0.985

0.99

0.995

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

n=1

n=2

n=4

n=8

Grado del filtro

Normalmente si usano quantità espresse in dB:

Perdite di inserzione minime in banda soppressa:

max21

1log20

sLA

Perdite di ritorno minime in banda passante:

max11

1log20

sLR

Rapporto delle frequenze di cut-off

• Oltre a Lr e La viene tipicamente richiesto il rapporto tra la frequenza di cutoff della banda soppressa e quello della banda passante

Risposta max piatta:

An

s L )1log(10 2

s

Ora, essendo:

ns

ns

ns

222 )1(1 s

ALnlog20

Esempio filtro massimamente piatto

93.82

dB 50

nn

L

s

A

Nel caso si specifichi il rapporto delle frequenze di cut-off, cioè il rapporto tra minima pulsazione soppressa e massima pulsazione passante:

passante

soppressa

Essendo:

n

n

n

nss

2

2

2

2

2

21

2

11 11

1

11

111

R

n

snpassantepassante

Ljs

2

22

11

1log101

1log10)(

1log10

Se LR >>1n

LLn R

ss

R )/log(20)/log(20

n

LLn A

ss

A )log(20)log(20

Ma

Pertanto:

n

LL RAlog20log20RA LL

n

Grado del filtro max piatto

127.112

dB 20dB 50

nn

LL RA

Es:

Grado del filtro equiripple

2

22

max112

2

min21 1)(

1

1)(

jsjs

log20)/11log(10 2 RL

Alla frequenza di cut-off della banda soppressa (s=):

))(1log(10 22 nA TL

2

)1()1ln(cosh()coshcosh()(

221

n

n nnT

Osservando che:

Grado Risposta Tchebysheff (cont.)

2

)1(loglog20

2 n

AL

)1log(20

6

6)1log(20

2

2

RA

nRA

LLn

LL

76.62

dB 20dB 50

nn

LL RA

Es: Contro il valore 12 richiesto dal

filtro con risposta max piatta

Confronto risposte prototipi LP Butterworth e Chebyshev

Prototipi passa-basso a scala

V

A

A

g2gN

g3g1

1

g4

R

V

A

A

g1

gN

g3

g4g2

1

g5

R'

Valori dei parametri per un filtro Butterworth

n

kgk 2

)12(sin2

nR 1

Valori dei parametri per un filtro Chebyshev

pari N 1212

dispari N 1

221KKK

gN

)*2

12sin(

N

iai

11

14

ii

iii gb

aag

22

)sin()2

sinh(

N

i

Nbi

)11

11ln(

2

2

K

K

N

ag

2sinh

2 11

20/10 RLk

g2

1.2919

V1g3

1.5775

g1

0.931

g4

0.7628R'

0.819

Esempio: Filtro Chebyshev n=4, LR=20 dB

Ovvero, normalizzando rispetto a R’

g2

1.2919

Vg3

1.5775

g1

0.931

g4

0.7628

1/R'

1

0.93138

1.291973

1.577411

0.762489

1.221001GL

Gii

Gii

RR

Rgg

Rgg

/1

/

2'2

12'

12

Trasformazione del prototipo passa-basso in quello passa-banda

)(' 0

012

0

Attraverso il cambiamento di variabile:

210

Essendo 21, gli estremi della banda passante

• A partire dai parametri del filtro passa basso, mediante la trasformazione in frequenza illustrata, le induttanze serie originarie L si trasformano nei risonatori serie L' e C '

20

12'

L

C12

'

L

L

'L 'CL

Trasformazione serie

20

12''

C

L12

''

C

C

•Analogamente, le capacità parallelo C diventano risonatori parallelo L'' e C'':

"L

"C

C

Trasformazione parallelo

L1'

0.68nH

C1'

0.02pF

V1C2"

0.83nF

L1"

0.03pHC1"

0.49nF

C2'

0.04pF

L2'

0.40nH L2"

0.02pH

R'

0.819

Trasfomazione Lp-Bp per il circuito prototipo di grado 4

SPECIFICHE

- Estremi della banda passante: 37 GHz - 37.3 GHz.- Return loss minimo in banda passante (LR): = 20 dB. - Attenuazione minima in banda soppressa (LA): 40 dB per f 37.750 GHz.

Con le trasformazioni mostrate si ottiene il circuito:

Difficoltà nella implementazione del circuito risonante in un dispositivo a microonde

• L' implementazione della rete mostrata pone alcuni problemi:

• la realizzazione dei risonatori;• la connessione tra i diversi blocchi non può

avvenire in un unico punto fisico, come accade nel prototipo illustrato, per cui la caratteristica viene irrimediabilmente alterata;

• impiegando strutture guidanti vere risulta difficoltoso collegare elementi in serie e in parallelo;

Quindi il prototipo deve essere modificato perché diventi simile alla struttura fisica che lo realizza

Il primo passo è quello di trasformare i risonatori in modo da renderli tutti serie o parallelo; tale operazione viene resa possibile tramite l'impiego di INVERTITORI DI IMPEDENZA. Un invertitore di impedenza è un rete due porte la cui matrice di trasmissione vale:  

0 K

J

JK 0

Con K viene indicata l'impedenza caratteristica dell'invertitore; è agevole dimostrare l'uguaglianza tra una suscettanza parallelo ed una reattanza serie compresa tra due invertitori uguali, come illustrato :

L'C'

KL'' C'' K

''

1

""

120 CLCL

L' uguaglianza sussiste se :

 - L'=C"*K²

- C'=L"/K²

Si osservi che, dopo ogni trasformazione, il risonatore serie conserva la medesima frequenza di risonanza del risonatore parallelo:

Trasformazione circuito parallelo

Anche i parametri dei risonatori serie possono essere modificati tramite l'utilizzo di due trasformatori, come illustrato di seguito:

C' n:11:nL L'

C

L

Ln

'

Quindi la rete a scala iniziale viene trasformata in un circuito in cui vi sono solamente risonatori serie separati da invertitori di impedenza:

L02

K

L03L04

4

C03

K 35

C04 C02

K 1K

C01

K1

2

L01

1

Realizzazione dei risonatori serie

Un tratto di linea di trasmissione di impedenza caratteristica Z0 e lunghezza elettrica =l, ammette il circuito equivalente:

jX

jBjBZ0

l

cot1

0ZB sin0ZX

Se la lunghezza elettrica del tratto di linea è pari a alla pulsazione di risonanza 0, sviluppando X() in serie di Taylor attorno a = e arrestando lo sviluppo al primo ordine, si ottiene:

)()(cos)( 00

ZZX

Perché l'uguaglianza precedente sia verificata per un intorno non nullo della pulsazione 0, è necessario che :

00

0

d

dZX

d

d

 D’altra parte:L

CLX

d

d2

1200

Quindi:

0

02

1

d

dZL

L dipende dal tipo di struttura guidante che si sta utilizzando. Tramite l‘impiego di invertitori di impedenza e trasformatori è possibile così acquisire notevole flessibilità nella costruzione del circuito, rimanendo vincolata la sola pulsazione di risonanza.

I trasformatori sono stati inglobati negli invertitori di impedenza considerando che la cascata di un invertitore K e un trasformatore n:1 è ancora un invertitore di impedenza caratteristica K/n e, analogamente, la cascata di un trasformatore 1:n e un invertitore K produce un invertitore di impedenza nK. I valori i L0i saranno determinati in funzione delle strutture guidanti che verranno utilizzate per costruire il filtro.I valori di K possono essere dedotti utilizzando le seguenti relazioni, in cui con Li e Ci vengono indicati i valori delle capacità e delle induttanze relative al prototipo passa banda descritto.

"1

011 C

LK

'" 11

01022 LC

LLK

"' 21

02033 CL

LLK

'" 22

03044 LC

LLK

'

'

2

045 L

RLK

Realizzazione degli invertitori di impedenza in microstriscia

10 Z 10 Z

AC

BA

2/ 2/

2/ 2/

Il calcolo delle dimensioni delle finestre avviene oggigiorno attraverso simulatori elettromagnetici dedicati allo studio di circuiti planari, come Ensemble, Microwave Office, etc.

Equalizzazione della fase

• Calcolata il gap che consente di ottenere la stessa riflettenza dell’invertitore, si aggiusta la fase aggiungendo a dx e sx del gap due tratti di linea negativa che producano la compensazione di fase desiderata.

Il calcolo delle dimensioni delle finestre avviene oggigiorno attraverso simulatori elettromagnetici commerciali basati su tecniche idonee come HFSS, Microwave Studio, Mician, WASP, et cetera. Risultati in forma chiusa ma notevolmente approssimati sono reperibili in ‘Microwave Handbook’, di N. Marcuvitz (1948).

Realizzazione degli invertitori di impedenza in guida rettangolare

b'

Z1

a'

Z2K

ba

Le due linee di trasmissione sono realizzate tramite tratti di guida d'onda rettangolare aventi, alla frequenza di centro banda, impedenza caratteristica Z1 e Z2; se indichiamo con a1 e a2 le larghezze delle due guide, i coefficienti di riflessione alle sezioni aa' e bb' hanno lo stesso valore:

P

AA

AAP SZZK

ZZK

ZZK

ZZK

ZZ

ZZS 22

212

212

12

2

12

2

1'

1'11

Nel caso in cui le guide a dx e sx della finestra siano uguali:

0/

0

kj

jk

10 Z 10 Z

AC

BA

2/ 2/

La simmetria della finestra implica A=D

Uguagliando le matrici di trasmissione dei due circuiti, si ottiene:

CB

jA

2arctan

Se la finestra è modellata con una suscettanza parallelo

2

arctan Se la finestra è modellata con una suscettanza parallelo Quanto maggiore è (finestra più chiusa) tanto più 0

Risposta tipica di un filtro BP

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

72.5 73.5 74.5 75.5 76.5 77.5

|s11|

|s21|

Realizzazione degli invertitori di impedenza in microstriscia

10 Z 10 Z

AC

BA

2/ 2/

2/ 2/

Il calcolo delle dimensioni delle finestre avviene oggigiorno attraverso simulatori elettromagnetici dedicati allo studio di circuiti planari, come Ensemble, Microwave Office, etc.

Conclusioni

• Adattatori

• Risonatori

• Filtri