Esempio di grafico di una funzione reale di due variabili reali

In questo lucido e rappresentato il grafico della funzione reale di due variabili reali definita da: f(x, y) =√

1− x2 − y2, in particolarein alto e rappresentato il grafico e in basso il dominio della funzione definito da: Df =

{(x, y) ∈ R : x2 + y2 ≤ 1

}.

Esempio di curve di livello

In questo lucido e rappresentato il grafico di una funzione reale di due variabili reali e alcune sue curve di livello.

Alcune esemplificazioni del concetto di limite

In questo lucido sono rappresentati i grafici delle funzioni f(x, y) = xy3

x2+y2 + 1 e g(x, y) = 2xyx2+y2 + 4. Per la prima si ha

che lim(x,y)→(0,0) f(x, y) = 1 mentre non esiste il limite della seconda per (x, y) → (0, 0), infatti questa, ristretta ad un qualsiasiintorno dell’origine (nel lucido e segnato in rosso un intorno di raggio 0.1), assume sempre tutti i valori reali compresi tra 3 e 5.

In questo lucido, in alto e rappresentata una sezione del grafico rappresentato nel lucido precedente. Da questa sezione sidovrebbe vedere meglio che in ogni intorno dell’origine la funzione assume tutti i valori reali compresi tra 3 e 5. In particolare esegnato in rosso un intorno dell’origine di raggio 0.1 e la parte del grafico corrispondente. In basso e rappresentato il grafico di unafunzione che tende a 2 per (x, y)→ (0, 0): f(x, y) = xy3

x2+y2 + 2. Si vede abbastanza chiaramente che avvicinandosi lungo qualunquecurva (in particolare in figura ne sono evidenziate 3), i valori della funzione tendono sempre a 2.

In questo lucido, in alto e rappresentato il grafico della funzione 2xyx2+y2 + 4, che non ammette limite per (x, y) → (0, 0).

In particolare sono evidenziate sul piano xy tre curve che tendono all’origine. Sul grafico sono evidenziti in blu i valori chela funzione assume in corrispondenza di queste tre curve, in particolare si puo osservare che, avvicinandosi all’origine, i valoridella funzione tendono a limiti diversi (3, 4 e 5) a seconda della curva scelta. In basso e rappresentato il grafico della funzione:f(x, y) = 2xy2

x2+y4 + 4. Avvicinandosi all’origine lungo qualsiasi retta (nel grafico ne sono segnate tre) i valori della funzione tendonoa 4, mentre avvicinandosi lungo la parabola segnata in rosso, i valori della funzione tendono a 5, per cui anche questa funzione nonammette limite per (x, y)→ (0, 0).

Derivate direzionali

Nella prima parte di questo lucido e rappresentato il grafico della funzione reale di due variabili reali definita da: f(x, y) =4 + 2x + 4xy. In nero sul piano xy e rappresentata la retta passante per il punto

(1, 1

2

)e parallela al versore v =

(√2

2 ,√

22

)descritta da:

(1 + t

√2

212 + t

√2

2

), t ∈ R. mentre sul grafico, in blu, sono rappresentati i valori della funzione corrispondenti alla

retta. Nella seconda parte del lucido e riportato il grafico della funzione reale di variabile reale g(t) = 8 + 4√

2t + 2t2 che si ottienerestringendo la funzione f(x, y) alla retta precedente. Essendo g derivabile in t = 0, la funzione f ammette derivata lungo ladirezione v =

(√2

2 ,√

22

)nel punto

(1, 1

2

)e si ha Dvf

(1, 1

2

)= 4√

2.

Nella prima parte di questo lucido e rappresentato il grafico della funzione reale di due variabili reali definita da: f(x, y) =6 + 2|x − 1| + 4xy. In nero sul piano xy e rappresentata la retta passante per il punto

(1, 1

2

)e parallela al versore v =

(√2

2 ,√

22

)descritta da:

(1 + t

√2

212 + t

√2

2

), t ∈ R. mentre sul grafico, in blu, sono rappresentati i valori della funzione corrispondenti alla

retta. Nella seconda parte del lucido e riportato il grafico della funzione reale di variabile reale g(t) = 8 +√

2|t| + 3√

2t + 2t2

che si ottiene restringendo la funzione f(x, y) alla retta precedente. Essendo g non derivabile in t = 0 (si vede chiaramente lapresenza di un punto angoloso nel grafico) a causa della presenza del modulo, la funzione f non ammette derivata lungo la direzionev =

(√2

2 ,√

22

)nel punto

(1, 1

2

).

Derivabilita e continuita

Nella prima parte di questo lucido e rappresentato il grafico della funzione reale di due variabili reali definita da:

f(x, y) =

{2xy2

x2+y4 + 4 per (x, y) 6= 0

4 per (x, y) = 0.

In nero sul piano xy e rappresentata la retta passante per il punto (0, 0) e parallela al versore v =(

1√5, 2√

5

)descritta da:(

t 1√5

t 2√5

), t ∈ R, mentre sul grafico, in blu, sono rappresentati i valori della funzione corrispondenti alla retta. Nella seconda

parte del lucido e riportato il grafico della funzione reale di variabile reale gv(t) = 8√

5t5+16t2 + 4 che si ottiene restringendo la

funzionef(x, y) alla retta precedente. Si vede che gv e derivabile in t = 0. Inoltre gv sarebbe stata derivabile in t = 0 per ogniscelta del versorev. Nonostante questo fatto si vede chiaramente nella prima parte del lucido che f(x, y) non e continua in (0, 0)(f (x,

√x)→ 5 per x→ 0+).

Differenziabilita e piano tangente

Nella prima parte di questo lucido e rappresentato il grafico della funzione reale di due variabili reali definita da:

f(x, y) =

{2xy

x2+y2 + 4 per y) 6= 0

4 per (x, y) = 0

e un piano passante per il punto (0, 0, 4). Si vede chiaramente che tale piano non e tangente al grafico e che in generale non esiste unpiano tangente al grafico nel punto (0, 0, 4). Nella seconda parte del lucido e riportato il grafico della funzione f(x, y) = 1 +x2 +y2,e due piani tangenti rispettivamente nei punti (0, 0, 1) e (0.5, 0.5, 1.5) .

Nella prima parte di questo lucido e rappresentato il grafico della funzione reale di due variabili reali definita da f(x, y) =1 + x2 + y2, il piano tangente al grafico nel punto (0, 0, 1) e la distanza (in blu) tra il piano tangente e il grafico. Si puo notare cheper (x, y)→ (0, 0) la distanza tra il grafico e il piano tangente tende a zero piu velocemente della distanza tra (x, y) e (0, 0). Nellaseconda parte del lucido e rappresentato il grafico della funzione reale di due variabili reali definita da f(x, y) = 1 +

√x2 + y2, un

piano passante per il punto (0, 0, 1) e la distanza (in blu) tra il piano e il grafico. Si puo notare che per (x, y)→ (0, 0) la distanzatra il grafico e il piano tangente tende a zero, pero non tende a zero piu velocemente della distanza tra (x, y) e (0, 0), e quindi ilpiano non e tangente al grafico.

Proprieta geometriche del gradiente

In questo lucido e rappresentato il grafico di una funzione reale di due variabili reali. Sul piano xy sono segnate due curve di livelloe il vettore gradiente (in rosso) in tre diversi punti delle curve di livello. Si puo notare che il gradiente e ortogonale alle curve dilivello e individua la direzione di massima pendenza del grafico.

Estremanti e punti stazionari

Nella prima parte del lucido e rappresentato il grafico di una funzione che presenta un massimo globale a alcuni massimi locali.Nella seconda parte e rappresentato il grafico di un massimo locale ingrandito. Inoltre in blu sono rappresentati i valori dellafunzione calcolata lungo due curve passanti per il punto di massimo e parallele rispettivamente all’asse delle x e delle y.

Nella prima parte del lucido si puo osservare il grafico di una funzione differenziabile che presenta un massimo. In corrispondenzadel punto di massimo e stato rappresentato anche il piano tangente che ovviamente risulta essere orizzontale. Nella seconda partee rappresentao il grafico di una funzione con un punto di sella e il piano tangente in tale punto.

Punti di sella e integrali

Nella prima parte del lucido si puo osservare il grafico di una funzione differenziabile che presenta un punto di sella. In corrispondenzadel punto di sella e stato rappresentato anche il piano tangente che ovviamente risulta essere orizzontale. Nella seconda parte erappresentao il grafico di una funzione con evidenziato il volume compreso tra il grafico e il piano xy. Tale volume (con segno)rappresenta l’integrale doppio della funzione sul rettangolo considerato.