Esempi di quesiti preliminari: ANALISI MATEMATICA II

Seconda parte

2011-2012

T1. Dimostrare che ogni soluzione dell’equazione

x′ =x2

t2 + |x|+ 1

e definita su tutto R.

T2. Calcolare etA, dove

A =

(1 1−1 1

).

T3. Scrivere l’integrale generale dell’equazione 2x′′ + 4x′ + 3x = 0.

T4. Sia A ∈ L(Rn). Mostrare che se |t| < 3/|||A|||, allora la serie

∞∑k=0

3−n (tA)n

converge in L(Rn).

T5. Supponiamo che v sia una soluzione di

x′′ − 3

tx′ +

1

t2x = 0.

Mostrare che la funzione w(t) := v(et) soddisfa un’equazione differenziale a coefficienti

constanti.

T6. Risolvere il sistema {x′1 = 2x1 − x2

x′2 = −x1 + 2x2

1

T7. Utilizzando il metodo di variazione delle costanti, trovare una soluzione particolare

dell’equazione

x′′ − 2x′ + x = e−t2

.

T8. Sviluppare in serie di McLaurin la funzione log√

1 + x2.

T9. Scrivere uno sviluppo in serie della funzione seno integrale

si(x) :=

∫ x

0

sin t

tdt.

T10. Calcolare ∫ 1

0

et − 1

tdt

con un errore inferiore a 10−2.

T11. Studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie

∞∑j=0

xj (1− x)2j .

T12. Mostrare che

‖f‖ := supx∈[0,1]

|f ′(x)|

non e una norma in C1([0, 1]). Mostrare che

‖f‖′ := supx∈[0,1]

|f ′(x)|+ |f(0)|

e una norma in C1([0, 1]), rispetto alla quale C1([0, 1]) e uno spazio di Banach.

T13. Calcolare la lunghezza dell’elica cilindrica r(t) := (2 cos t, 2 sin t, 3t), t ∈ [0, 3π].

T14. Calcolare∫γω, dove ω =

√z dx + x dy + y dz e γ e parametrizzata da r(t) = (t −

sin t, 1− cos t, t2), t ∈ [0, 2π].

T15. Calcolare∫γf ds, dove γ e parametrizzata da r(t) = (t2, et cos t, et sin t), t ∈ [0, 1] e

f(x, y, z) = 2√x+ y2 + z2.

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T16. Determinare un fattore integrante della forma differenziale

ω = xy2 dx+ 2x2y dy.

T17. Determinare f : R3 → R in modo che la forma differenziale

ω = f dx+ z dy + y dz

sia esatta in R3 e calcolarne poi un potenziale.

T18. Sapendo che e−t2

e soluzione dell’equazione

x′′ + 2tx′ + 2x = 0,

scriverne l’integrale generale, ricercando una soluzione della forma v(t) = c(t) e−t2

,

dove la funzione c(t) e da determinarsi. Questo procedimento prende il nome di

riduzione dell’ordine di un’equazione lineare.

T19. Sia

ω = − x

|x|dx ∀x ∈ R3 \ {0}.

Calcolare∫γω, dove γ e una curva che non passa per 0 e congiunge i punti p e q.

T20. Stabilire se la forma differenziale

ω = −xr

(r − 1) dx+y

rdy

e esatta. Qui r :=√x2 + y2. In caso affermativo, trovarne un potenziale.

T21. Dimostrare che rot∇f = 0 per ogni f ∈ C2(Rn).

T22. Utilizzando il Teorema di Gauss–Green, calcolare∫γ+

(y2 dx+ xdy),

dove γ indica il bordo dell’ellisse (x/2)2 + (y/3)2 = 1.

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T23. Sia γ una curva chiusa, semplice e regolare di equazione

% = f(θ) ∀θ ∈ [θ1, θ2].

Calcolare l’area della regione di piano interna alla curva.

T24. Calcolare la circuitazione del campo F(x, y, z) = (y + z, z + x, x+ y) lungo la circon-

ferenza di equazione {x2 + y2 + z2 = 1

z = y.

T25. Calcolare il flusso del campo F(x, y, z) = (x, y, z) uscente dal tetraedro di vertici

0, e1, e2, e3.

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