ESAME DI STATO II CICLO - CNOS-FAP · dell’INVALSI per il fondamentale e collaborativo supporto...

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ESAME DI STATO CONCLUSIVO DEI PERCORSI DI ISTRUZIONE SECONDARIA SUPERIORE

Rilevazione degli apprendimenti

Prove scritte di Italiano e Matematica a.s. 2008-2009

PRIME ANALISI - PROVA DI MATEMATICA

2

Il Gruppo di lavoro impegnato nel progetto “Esame di Stato II ciclo. Rilevazione degli

Apprendimenti. Prove scritte di italiano e matematica” e negli specifici Progetti di ricerca

finanziati con fondi straordinari è composto da: Lina Grossi (responsabile), Federica Fauci (CTER),

Flora Morelli (CTER).

Hanno collaborato alla redazione del presente rapporto: Giorgio Bolondi, Patrizia Falzetti, Federica

Fauci, Francesca Fortini, Lina Grossi, Flora Morelli, Roberto Ricci, Elena Ugolini.

Si ringrazia il Servizio Hardware e Reti SHR (Massimo Balducci, Stefano Ciucci, Carlo Di

Giovamberardino e Andrea Nastasi) e il Servizio Web (Alessandro Borsella e Stefano Famiglietti)

dell’INVALSI per il fondamentale e collaborativo supporto informatico.

Si ringraziano i Dirigenti scolastici e chi ha svolto le attività per loro conto, i Presidenti di

Commissione e tutto il personale delle scuole interessate per aver permesso che la rilevazione si

svolgesse nel modo migliore.

Si ringrazia il Ministero della Pubblica Istruzione nella persona della Dott.ssa Gianna Barbieri per

la disponibilità e la collaborazione nella fornitura delle basi dati.

Immagine di copertina tratta da Comenio, Opere

3

INDICE Introduzione PARTE PRIMA PRESENTAZIONE DELL’INDAGINE E DEI RISULTATI

4 5

1. Presentazione del progetto 6 2. La prova di matematica nell’esame di Stato 8 2.1 Prove e caratteristiche dell’esame di Stato 8 2.2. La seconda prova di matematica secondo la normativa 9 3. Le modalità per la rilevazione degli apprendimenti 13 3.1 Gli aspetti organizzativi 13 3.2 Il campionamento 14 3.3 Il Quadro di riferimento e le maschere di correzione 15 3.4 l’attività di ricorrezione 16 3.5 Le maschere di ricorrezione 18 I 4.risultati della ricorrezione degli elaborati della seconda prova di matematica

20

4.1 le scelte dei candidati 20 4.2 I fattori di valutazione 22 4.3 La valutazione della prova di matematica: confronto tra Commissione d’esame e correttori esterni

28

4.4 Le determinanti dei voti nella prova di matematica 32 PARTE SECONDA LA RIFLESSIONE SUI RISULTATI di GIORGIO BOLONDI

36

Cosa emerge dalla ricorrezione delle prove di matematica dell’esame di Stato

37

Cosa ci dicono le prove sugli apprendimenti dei ragazzi 38 Cosa ci dicono le prove sulle modalità di valutazione 45 PARTE TERZA I MATERIALI Istruzioni per i correttori Il compito per i Licei di Ordinamento La maschera di correzione per i Licei di Ordinamento Il compito per i Licei PNI La maschera di correzione per i Licei PNI APPENDICE STATISTICA

48 50 53 55 61 63 69

4

Introduzione

Questo rapporto presenta i risultati dell’analisi di un campione di 119 elaborati della

seconda prova scritta di matematica nell’esame di Stato per i Licei scientifici dell’anno scolastico

2008-09. Ciascuno degli elaborati è stato corretto da due correttori, appositamente formati, con

l’ausilio di una maschera di correzione elaborata dall’Unione Matematica Italiana in collaborazione

con l’INVALSI.

Il rapporto è strutturato in quattro parti.

La parte prima, presentazione dell’indagine e dei risultati, dà conto di tutta la procedura

seguita per il campionamento e per la raccolta dei dati, delle attività connesse con la ricorrezione e

dei risultati delle analisi statistiche condotte sui dati. Molte di queste informazioni sono comuni al

rapporto sulla prova scritta di italiano.

La parte seconda ospita alcune considerazioni sui risultati, redatte dal prof. Giorgio

Bolondi, presidente della Commissione Italiana per l’Insegnamento della Matematica dell’Unione

Matematica Italiana.

La parte terza contiene gli strumenti sulla base dei quali sono state effettuate le correzioni.

In particolare sono presentate le “Maschere di correzione e valutazione della seconda prova

nell’esame di Stato di II ciclo”.

La parte quarta comprende un’appendice statistica contenente un esauriente insieme di

tavole relative ai risultati delle ricorrezioni degli elaborati.

5

PARTE PRIMA

PRESENTAZIONE DELL’INDAGINE E DEI RISULTATI

6

1. Presentazione del progetto

Nel presente rapporto vengono esposti i risultati della rilevazione degli apprendimenti a

conclusione dei percorsi di istruzione secondaria superiore. Tale rilevazione è attuata utilizzando

le prove scritte degli esami di Stato e riguarda, in particolare, le prove di matematica oggetto della

seconda prova scritta per i Licei scientifici.

La raccolta degli elaborati di matematica si inserisce nel contesto delle attività previste dalla

Legge n. 1 dell’11/01/2007 finalizzate, nello specifico, “alla valutazione dei livelli di apprendimento

degli studenti a conclusione dei percorsi dell’istruzione secondaria superiore, utilizzando le prove scritte

degli esami di Stato”.

Anche a seguito della Direttiva triennale n. 74 del 15 settembre 2008 e della Direttiva

annuale n. 76 del 6 agosto 2009, l’INVALSI ha provveduto alla valutazione degli apprendimenti in

matematica, mediante ricorrezione degli elaborati secondo griglie di correzione. La ricorrezione è

stata affidata a correttori esterni, professori di matematica della scuola secondaria di II grado con

esperienza come commissari negli esami di Stato e come correttori INVALSI delle prove del 2007.

L’indagine è stata realizzata in collaborazione con l’Unione Matematica Italiana, che ha

supportato metodologicamente la ricerca contribuendo alla definizione delle linee guida e degli

strumenti di valutazione e alla formazione dei docenti correttori. La rilevazione, coerentemente

con quanto disposto dalla normativa per la prova di matematica dell’esame di Stato, ha mirato a

valutare le conoscenze specifiche, le competenze nell’applicare le procedure e i concetti acquisiti, le capacità

logiche e argomentative dei candidati individuando negli elaborati degli indicatori di tali conoscenze,

competenze e capacità.

La raccolta delle prove di matematica è stata realizzata in subordine al campionamento

effettuato per le prove di italiano. In questo modo è stato possibile disporre della prima e della

seconda prova degli stessi candidati. Ciò ha permesso di progettare una seconda fase di analisi in

cui approfondire i legami tra i risultati delle due prove. La selezione delle prove di italiano (come

riportato nel rapporto relativo1

1 Il Rapporto Rilevazione degli apprendimenti. Prove scritte di italiano a.s. 2008-2009 è reperibile all’indirizzo internet: http://www.invalsi.it/download/rapporti/es2_0809/Rapporto-italiano-finale.pdf.

) è stata realizzata tramite un campionamento casuale semplice di

studenti appartenenti alla popolazione dell’ultimo anno della scuola secondaria di II grado. In tal

modo, si sono individuate le scuole corrispondenti a ciascuno studente e conseguentemente le

7

commissioni nei cui elenchi erano compresi tali studenti. Il campionamento in oggetto ha tenuto

conto dei vincoli di rappresentatività e di costo.

Sono stati campionati 611 studenti secondo una stratificazione per tipo di istituto

frequentato (Licei, Tecnici, Professionali) e macroarea geografica aggregata (Nord, Centro, Sud).

Gli elaborati effettivamente ricevuti sono stati 545.

Contestualmente alla raccolta degli elaborati, è stato richiesto alle commissioni di compilare

una scheda relativa ad alcuni dati di sfondo: il profilo dello studente (genere, cittadinanza, anno di

nascita, etc.); il curricolo scolastico (eventuali ritardi e/o abbreviazioni del percorso scolastico); i

voti della prima, seconda e terza prova; l’esito finale dell’esame; il voto conseguito nel I

quadrimestre nelle materie oggetto della prova; il giudizio in uscita dalla scuola secondaria di

primo grado.

Dei 545 studenti campionati, 119 hanno sostenuto l’esame di Stato in un Liceo scientifico e

come seconda prova quella di matematica. Di questi studenti, 84 hanno sostenuto la prova in un

Liceo di ordinamento, 34 in un Liceo PNI e 1 in un Liceo sperimentale non PNI (va ricordato che

per l’a.s. 2008-09 il MIUR aveva predisposto 3 prove differenti). Sugli elaborati di questi 119

studenti è stata condotta la ricorrezione.

Per la condivisione degli obiettivi generali della rilevazione e delle linee di

approfondimento sulla base delle quali articolare la correzione degli elaborati, è stata realizzata

una serie di seminari tra l’ INVALSI, l’Accademia della Crusca e l’UMI con la partecipazione di

esperti del mondo accademico e della scuola2

. I seminari hanno avuto come oggetto: la

condivisione degli obiettivi generali e specifici (febbraio 2009); la definizione delle linee di

intervento per la revisione degli strumenti di valutazione (settembre 2009); la formazione dei

correttori (novembre 2009); la presentazione dei primi dati e la discussione delle modalità di

restituzione dei risultati alle scuole (marzo 2010).

2 Hanno partecipato ai seminari: Francesco Sabatini (Accademia della Crusca); Luca Serianni (Università di Roma e Accademia della Crusca); Domenico Proietti (Accademia della Crusca); Dario Corno (Università di Torino); Giorgio Bolondi (Università di Bologna); Walter Maraschini (Animat); Stefania De Stefano (Università di Milano); Giuseppe Accascina (Università di Roma “Sapienza”); Daniela Notarbartolo (IRRE Lombardia); Mariateresa Sarpi (USR Campania).

8

2. La prova di matematica nell’esame di Stato

2.1 Prove e caratteristiche dell’esame di Stato3

L’esame di Stato

4

La commissione è mista (il numero di commissari interni è pari a quello dei commissari

esterni) mentre il Presidente è esterno. La correzione delle prove è stata svolta dalla commissione

presso la sede della scuola.

prevede due prove scritte a carattere nazionale, una terza prova scritta

elaborata a livello di singola classe ed una prova orale. La prima prova scritta è di italiano, ed è

uguale per tutti gli indirizzi di studio; la seconda ha come oggetto materie diverse, in base

all’indirizzo di studio; la terza è a carattere multidisciplinare. La prova orale comprende anche la

presentazione di un lavoro personale.

In base alla legge n. 1 dell’11 gennaio 2007 il punteggio in centesimi, è così distribuito:

• il credito scolastico è pari a 25 punti e viene attribuito sulla base della media dei voti

conseguiti nell’arco dell’ultimo triennio5

• per le tre prove scritte il totale è di 45 punti, tripartiti in ugual misura tra le prove. A

ciascuna delle prove scritte giudicata sufficiente non può essere attribuito un

punteggio inferiore a 10;

;

• per il colloquio orale, il punteggio massimo è di 30;

• un bonus di 5 punti può essere attribuito ai candidati che abbiano ottenuto un

credito scolastico di almeno 15 punti (su un massimo di 25) e un risultato

complessivo della prova di esame pari almeno a 70 punti (su un massimo di 75: 45

punti per le prove scritte e 30 punti per il colloquio orale).

• a coloro che conseguono il punteggio massimo di 100 punti senza fruire della

predetta integrazione può essere attribuita la lode dalla commissione6

Il punteggio minimo complessivo per superare l’esame è di 60/100.

.

3 Questa parte è in comune con il rapporto di italiano. 4 Cfr. il sito del MIUR sugli esami di Stato: http://archivio.pubblica.istruzione.it/argomenti/esamedistato/home.html. 5 Cfr. La tabella A - Credito scolastico. Candidati interni - allegata alla legge, contiene indicazioni precise per l’attribuzione dei punteggio. Nella nota di accompagno si sottolinea che, nell’attribuzione del credito, si deve tenere conto anche dell’assiduità della frequenza scolastica, dell’interesse e dell’impegno nella partecipazione al dialogo educativo. 6 In base al nuovo Regolamento per la valutazione degli studenti, entrato in vigore nell’anno scolastico 2009-2010, sono ammessi agli esami di Stato soltanto gli studenti che, nello scrutinio finale, abbiano conseguito una votazione non inferiore a 6 in tutte le materie e in condotta.

9

Nella certificazione rilasciata per il superamento degli esami di Stato (D.M. N. 26/2009) si

attestano7

2.2 La seconda prova di matematica secondo la normativa

: a) l’indirizzo e la durata del corso di studi, le materie di insegnamento comprese nel

curricolo degli studi con l’indicazione delle ore complessive destinate a ciascuna; b) la votazione

complessiva dell’esame di Stato, la somma dei punti attribuiti alle tre prove scritte, il voto del

colloquio orale, l’eventuale punteggio aggiuntivo, il credito scolastico, i crediti formativi

documentati; c) le ulteriori specificazioni valutative della commissione, con riguardo anche a

prove sostenute con esito particolarmente positivo; d) la menzione della lode, di seguito

all’indicazione del voto, qualora attribuita dalla Commissione di esame.

In base alle norme definite dalla riforma degli esami di Stato conclusivi dei corsi di studio

di istruzione secondaria superiore, entrata in vigore nel 1999, in applicazione della legge n. 425 del

10 dicembre 1997, la seconda prova scritta “ha oggetto una delle materie caratterizzanti il corso di studio

per le quali l’ordinamento vigente prevede verifiche scritte” (art. 3 “Contenuto ed esito dell’esame”).

Questo, di fatto, ha limitato praticamente ai soli Licei scientifici la presenza di una seconda prova

scritta di matematica.

Successive disposizioni8

Per quanto riguarda tempi e materiali, viene specificato che “la durata massima della prova è 6

ore. Nel corso della prova è consentito soltanto l’uso di calcolatrici non programmabili”, di seguito si

dettagliano ulteriormente le caratteristiche della prova di matematica (Riquadro 1).

hanno indicato, per quanto riguarda la struttura della prova, la

seguente articolazione: “Il testo è costituito da due problemi (articolati al loro interno in almeno tre

quesiti, possibilmente indipendenti tra loro) e un questionario contenente altri quesiti (da un minimo di 6 a

un massimo di 10) riguardati argomenti del programma. La tipologia delle questioni poste è tale da offrire al

candidato le più ampie opportunità di esprimere conoscenze, competenze e capacità acquisite nel corso degli

studi. Lo studente sarà tenuto a risolvere uno dei due problemi proposti a scelta e circa la metà dei quesiti del

questionario.”

7Il modello è reperibile sul sito del MIUR: http://www.istruzione.it/web/istruzione/dm26_09. 8 Il Ministero della Pubblica Istruzione, il 4 ottobre 2000, ha pubblicato sul proprio sito Internet notizia della nuova struttura della seconda prova di matematica. Si veda in proposito: http://archivio.invalsi.it/ones2000/pagine/mat2prova.htm.

http://archivio.invalsi.it/ones2000/pagine/mat2prova.htm#la nuova%23la nuova�

http://archivio.invalsi.it/ones2000/pagine/mat2prova.htm#la nuova%23la nuova�

10

Riquadro 1

La nuova struttura della prova scritta di matematica (Esame di Stato a.s. 2000-2001)

L’ inadeguatezza della struttura tradizionale della prova scritta di matematica all’esame di Stato, da tempo

segnalata dai docenti della disciplina e da esperti del mondo accademico e non, ha evidenziato l’esigenza di

affrontare la questione e di prospettarne la soluzione.

Dopo un lungo dibattito che ha visto la attiva partecipazione di esperti universitari, rappresentanti delle

diverse Associazioni scientifiche, di Ispettori tecnici del settore e docenti, si è giunti alla definizione del

nuovo modello di prova che viene qui allegato.

Problemi e quesiti, predisposti in stretta coerenza con il piano di studi seguito, sono stati impostati e

formulati in modo agile e snello, al fine di rendere più agevole la scelta da parte del candidato.

L’articolazione delle questioni è stata ispirata al criterio di una complessità graduale e a quello della non

necessaria interdipendenza tra loro. Tali requisiti della prova, oltre a favorire il primo approccio del

candidato alle questioni proposte, consente alle Commissioni giudicatrici di saggiare lo studente su un più

ampio spettro di argomenti e di definire criteri di revisione validi per una valutazione quanto più possibile

oggettiva degli elaborati dei candidati.

Esempi di tracce redatte secondo le caratteristiche previste dal nuovo modello, sono presenti sul sito.

Ispettori, tecnici ed esperti del settore potranno formulare risposte collegiali a possibili richieste di

chiarimenti eventualmente avanzate da docenti e studenti interessati.

Nulla è innovato per i corsi di Istituto magistrale in via di esaurimento.

CRITERI DI FORMULAZIONE

Corsi di:

Ordinamento;

Piano Nazionale Informatica;

Progetti “Brocca”;

“Proteo” indirizzi: scientifico e scientifico-tecnologico.

FINALITÀ

Con riferimento alla matematica studiata nell’intero corso di studi la prova scritta è intesa ad accertare:

le conoscenze specifiche;

le competenze nell’applicare le procedure e i concetti acquisiti;

le capacità logiche e argomentative.

STRUTTURA DELLA PROVA

Il testo è costituito da due problemi (articolati al loro interno in almeno tre quesiti, possibilmente

indipendenti tra loro) e da un questionario contenente altri quesiti (da un minimo di 6 a un massimo di 10)

riguardanti argomenti del programma.

La tipologia delle questioni poste è tale da offrire al candidato le più ampie opportunità di esprimere

11

conoscenze, competenze e capacità acquisite nel corso degli studi.

Il candidato è tenuto a risolvere uno dei due problemi proposti a scelta e circa la metà dei quesiti del

questionario.

DURATA DELLA PROVA E MATERIALE CONSENTITO

La durata massima della prova è di sei ore.

Nel corso della prova è consentito soltanto l’uso di calcolatrici non programmabili.

Sulla base di quanto previsto dalla normativa, a partire dall’anno scolastico 2000-2001, gli

estensori delle prove hanno optato per l’a.s. 2008-2009, come avvenuto sempre anche in passato,

per il numero massimo di quesiti, 10, e indicato di rispondere a 5 di essi.

La presenza di un problema e di 5 quesiti da svolgere in 6 ore risponde all‘esigenza di avere

una valutazione completa dell’alunno, lungo le tre direzioni più volte indicate. La legge non

specifica che peso devono avere rispettivamente il problema e i quesiti nella differenziazione del

compito e successivamente della votazione nella valutazione. In genere le commissioni tendono ad

assegnarvi peso equivalente, ma esistono anche prassi differenti (talvolta in maniera sostanziale)

come emerso anche a margine della ricorrezione dell’esame di Stato dell’a.s. 2006-2007. In

particolare, va tenuto presente che è del tutto naturale che vi siano quesiti da cui evincere

principalmente la consistenza di specifiche conoscenze, altri da cui rilevare se il ragazzo è in grado

di argomentare, altri in cui si evidenzia la capacità di eseguire una determinata procedura. È

quindi l’insieme della prova che è funzionale a valutare le diverse componenti dell’apprendimento

come indicato dalla legge; il problema e i singoli quesiti concorrono in maniera complementare alla

valutazione. Non sembra quindi possibile prevedere uno schema di valutazione in cui il problema

e i quesiti contribuiscono, ognuno con un proprio punteggio, alla determinazione del voto.

Occorre anche notare che il Ministero, a differenza di quanto avviene con la prova

nazionale dell’esame di Stato conclusivo del primo ciclo di istruzione, non fornisce le soluzioni dei

quesiti o comunque una griglia di correzione. Non indica neppure la natura o il livello di

competenze, conoscenze o capacità che ogni singolo quesito vuole accertare, lasciando completa

autonomia di valutazione alla commissione che stabilisce se e quando un quesito è risolto

completamente e il peso e la funzione di ogni singola domanda. Un punto critico emerso nella

ricorrezione del 2007 è stato l’atteggiamento delle commissioni di fronte ai compiti che

contenevano la risposta a più di cinque quesiti: nei compiti ricorretti nel 2007 il problema ha

riguardato circa il 15 per cento degli elaborati. In alcune situazioni è emerso che questo

comportamento da parte degli alunni era considerato quasi normale per il compito di matematica,

al punto di considerare due mezze soluzioni a due quesiti come equivalenti alla soluzione

12

completa di un quesito. Va notato, invece, che nessuno considererebbe normale lo svolgimento a

metà di due tracce della prova di italiano. Anche in seguito a indicazioni più precise da parte

dell‘autorità scolastica, questo fenomeno non è praticamente stato rilevato in questa ricorrezione.

La revisione dell’esame di Stato, prevista dalla legge di riforma n. 1 dell’11 gennaio 2007,

non ha modificato le prove d’esame che restano sostanzialmente le stesse. L’elemento di novità

contenuto nell’ultima legge di riforma riguarda l’ambito valutativo: all’Istituto Nazionale per la

Valutazione del Sistema educativo di Istruzione e di Formazione (INVALSI) è, infatti, affidata

un’attività di valutazione esterna dei livelli di apprendimento degli studenti in uscita dal secondo

ciclo di istruzione, da effettuarsi utilizzando le prove scritte degli esami di Stato conclusivi dei

percorsi dell’istruzione secondaria superiore.

Per la seconda prova scritta di matematica dell’esame di Stato dell’a.s. 2008-2009 per i Licei

scientifici il Ministero ha predisposto tre tipologie di compito: una destinata ai Licei di

ordinamento, una ai corsi sperimentali a indirizzo PNI (Piano Nazionale Informatica) e una agli

sperimentali non PNI. Alcuni quesiti e problemi erano comuni alle tre prove: i quesiti 2, 4, 5, 7 e 9

erano comuni a tutti e tre i compiti, e il compito per i Licei sperimentali non PNI era composto

dalle domande del compito di ordinamento e dai quesiti del compito PNI.

13

3. Le modalità per la rilevazione degli apprendimenti

3.1 Gli aspetti organizzativi 9

Alle istituzioni scolastiche coinvolte nella rilevazione è stata inviata una prima lettera via e-

mail indirizzata al Dirigente scolastico con la quale si comunicava che la scuola era stata

campionata e che avrebbe ricevuto, a partire dal 30 giugno 2009, un plico contenente i materiali e le

indicazioni utili ai fini della raccolta degli elaborati. Si chiedeva, inoltre, al Dirigente, in caso di

assenza durante lo svolgimento degli esami, di affidare a persona di sua fiducia l’incarico di

occuparsi delle procedure previste, al fine di garantire il buon andamento della rilevazione.

Il plico, inviato alle scuole, conteneva una lettera indirizzata al Dirigente scolastico in cui si

illustrava brevemente il progetto, una busta contenente lo/gli studente/i campionato/i, una guida

all’espletamento delle attività richieste, nonché una busta da consegnare al Presidente della

commissione interessata. Nelle busta erano inclusi, oltre alla lettera indirizzata al Presidente e a

una breve nota esplicativa, la scheda candidato per la rilevazione dei dati di sfondo e le etichette

prestampate da apporre su ogni pagina degli elaborati degli studenti campionati.

Tutte le attività connesse con la predisposizione, la stampa, l’allestimento e l’imballaggio

dei materiali da far pervenire alle istituzioni scolastiche campionate, sono state realizzate dal

gruppo di lavoro interno all’INVALSI.

Ogni istituzione scolastica, al termine delle procedure di rilevazione, doveva ricomporre il

plico con gli elaborati fotocopiati e le schede dei candidati compilate, contattare il corriere al fine di

predisporre la spedizione di ritorno, a carico dell’INVALSI, secondo modalità e tempi indicati

dallo stesso.

Ogni plico veniva consegnato al gruppo di lavoro che, verificata la completezza dei

materiali contenuti al suo interno ed effettuati gli opportuni solleciti in caso di incompletezza degli

stessi, ha proceduto alla catalogazione ed alla archiviazione degli elaborati e delle schede in

formato cartaceo e su archivio informatico. Per ciascuno studente campionato, sono state

assemblate la prova di italiano, quella di matematica laddove prevista, e le relative schede del

candidato compilate dal Presidente di commissione. Da ciascun elaborato sono stati eliminati tutti

gli elementi identificativi dello studente, della commissione e della scuola, al fine di rendere

anonime le prove.

9 Questa parte è in comune con il rapporto di italiano.

14

Una volta archiviati i materiali, le informazioni contenute nella scheda del candidato

(profilo studente, voti, il giudizio in uscita dalla scuola secondaria di I grado, etc), sono state

inserite in una maschera informatica appositamente elaborata.

Il database contenente i dati raccolti è stato successivamente analizzato ed elaborato dal

Servizio Statistico dell’INVALSI.

3.2. Il campionamento10

La ricerca “Rilevazione degli apprendimenti Prove scritte di Italiano e Matematica a.s. 2008-

2009” si basa sull’estrazione di un campione di 611 studenti che hanno sostenuto l’esame di Stato

conclusivo della scuola secondaria di II grado nell’anno scolastico 2008-2009.

Per garantire stime attendibili e robuste è stato definito un disegno di campionamento in

grado di rispondere a diverse esigenze: la rappresentatività per tipo di scuola11 (Licei12, Istituti

Tecnici e Istituti Professionali) e per macroarea geografica aggregata (Nord, Centro e Sud)13

Ogni piano di campionamento prevede la definizione della popolazione oggetto

d’indagine, tipicamente descritta da una lista di campionamento (anagrafe degli studenti), che

costituisce l’insieme di tutti i potenziali soggetti ai quali la ricerca si rivolge. In questo caso la

popolazione di riferimento è costituita da tutti gli studenti iscritti all’ultimo anno del ciclo di

istruzione secondaria superiore per l’anno scolastico 2008-2009 ammessi a sostenere l’esame di

Stato finale.

, il

rispetto dei vincoli organizzativi e finanziari che hanno reso necessario contenere, nel limite del

possibile, il numero di elaborati da correggere.

Sulla base delle esigenze di rappresentatività richiamate in precedenza, all’interno della

popolazione di riferimento sono stati individuati alcuni gruppi di interesse (domini) che hanno

10 A cura di Stefano Falorsi – ISTAT. 11 In particolare in considerazione del fatto che la prova di matematica era prevista solo per i candidati dei Licei scientifici. 12 In particolare i Licei scientifici. 13Nord: Valle d’Aosta, Piemonte, Liguria, Lombardia, Trentino-Alto Adige, Veneto, Friuli-Venezia Giulia, Emilia-Romagna. Centro: Toscana, Umbria, Marche, Lazio. Sud: Abruzzo, Molise, Campania, Puglia, Basilicata, Calabria, Sicilia, Sardegna.

15

consentito di creare degli strati in base alla tipologia di istruzione14

A partire dalle informazioni disponibili sulla lista di campionamento per ciascuno

studente, si è deciso di utilizzare un disegno di campionamento a uno stadio stratificato. Ciò ha

consentito di disporre, da un lato, di stime più precise di quelle che si sarebbero ottenute da un

campionamento casuale semplice, ovvero senza considerare gli strati in cui è stata suddivisa la

popolazione e, dall’altro, di tenere sotto controllo la numerosità campionaria in ciascun dominio di

interesse.

e all’area geografica in cui gli

studenti frequentano la scuola.

Infine, per contenere l’effetto potenzialmente distorsivo dovuto alla mancata adesione

all’indagine di alcune scuole o alle incongruenze tra la lista di campionamento e la popolazione

effettiva, è stata ammessa la possibilità di sostituzione delle unità non osservabili. A tale scopo è

stato selezionato un campione base di studenti - 611 unità - e per ciascuno di essi sono stati estratti

due nominativi sostitutivi. Gli elaborati effettivamente ricevuti sono stati 545 di questi elaborati,

119 riguardavano candidati del Liceo scientifico che sostenevano la seconda prova scritta di

matematica sui risultati dei quali si sono basate le analisi del presente rapporto.

3.3 Il Quadro di riferimento e le maschere di correzione15

La seconda prova scritta dell’esame di Stato valuta la matematica oggetto di insegnamento

e di apprendimento nei Licei scientifici italiani. Ne riflette quindi le caratteristiche, le abitudini,

talvolta le “dimenticanze”; d’altra parte è ben noto e studiato il fatto che l’evoluzione delle prove

scritte proposte dal Ministero ha profondamente influenzato i curricoli di fatto dei nostri Licei

scientifici. Di fronte a un quadro istituzionale in cui il curricolo intended, per usare la terminologia

condivisa a livello internazionale, è rimasto sostanzialmente immutato nei decenni, l’evoluzione

delle prove scritte ha contribuito in maniera decisiva a plasmare il curricolo implemented nei nostri

Licei scientifici. Non esisteva, nell’a.s. 2008-09, un quadro di riferimento istituzionale esplicito per la

matematica nella scuola secondaria a partire dal quale costruire il quadro di riferimento per la

valutazione. Ci si trovava piuttosto di fronte a un quadro di riferimento implicito nel quale

confluivano e coesistevano i contenuti elencati nei programmi, la prassi di insegnamento (peraltro

molto variegata), i modelli forniti di libri di testo e molte altre componenti tra cui – fondamentale -

la sedimentazione delle prove proposte nel corso degli anni nell’esame di Stato. In questo quadro

14All’interno dello strato relativo ai Licei si è considerato il sottostrato dei Licei scientifici dal quale si è estratto un sottocampione di 132 studenti per i quali è stata richiesta anche la seconda prova scritta di matematica. 15Cfr. Parte terza di questo rapporto.

16

di riferimento implicito, alla matematica viene attribuita una valenza pratica e uno specifico ruolo

formativo, in quanto fornisce al ragazzo strumenti concettuali e operativi che da un lato, gli

permettono di leggere la realtà in maniera razionale, dall’altro hanno una valenza formativa

intrinseca, dovuta tra l’altro alla pratica delle procedure tipiche del pensiero matematico. La

procedura di valutazione della ricorrezione è costruita tenendo presente questa multivalenza

dell’apprendimento della matematica. Le maschere di ricorrezione cercano di individuare, in

corrispondenza di ogni domanda proposta nella prova, quali elementi della risposta del ragazzo

permettono di valutare le sue conoscenze specifiche, le sue competenze nell’applicare le procedure e i

concetti acquisiti, e le sue capacità logiche e argomentative. Va osservato peraltro già in questa sede,

che la natura della prova, con la possibilità di scelta offerta al candidato, offre l’opportunità ma

pone anche dei vincoli alla possibilità di rilevare completamente gli apprendimenti lungo le tre

direzioni.

3.4 L’attività di ricorrezione

Per la presente rilevazione, condotta sulle prove di matematica della sessione 2008-09, si è

ritenuto opportuno affidare la correzione esclusivamente a insegnanti di scuola superiore con

esperienza come commissari nell’esame di Stato. È stato quindi selezionato, tra i correttori che

avevano collaborato alla precedente ricorrezione 2007, un gruppo di 12 insegnanti. Pur operando

con un numero così ridotto si è tenuto presente il problema della rappresentatività regionale,

scegliendo correttori di 10 diverse regioni (4 dal Nord, 5 dal Centro e 3 dal Sud). L’obiettivo

principale è stato peraltro quello di avere un gruppo omogeneo ed in particolare sono stati scelti

alcuni dei correttori che, in occasione della precedente ricorrezione, avevano contribuito con

commenti e osservazioni (che erano stati raccolti con una apposita procedura) che sono stati

utilizzati per la costruzione delle maschere per il 2008-09. Dopo la selezione, alcuni dei correttori

sono stati coinvolti nella messa a punto definitiva delle maschere, che sono state testate su alcuni

compiti-campione.

In conclusione, agli insegnanti-correttori sono state affidate 3 maschere di ricorrezione (una

per ogni tipologia di compito), strumenti costruiti per permettere una discretizzazione dello spazio

delle risposte dei candidati ai quesiti presenti nelle prove e una misurazione degli apprendimenti.

Le maschere sono state presentate e sottoposte ai correttori attraverso una serie di riunioni

telematiche, in cui è stato esplicitato il collegamento tra il quadro di riferimento e gli obiettivi della

ricorrezione e i singoli item della rilevazione. Sono state, inoltre, sviluppate simulazioni di

correzione e di interpretazione di casi dubbi.

17

Durante il lavoro vero e proprio di ricorrezione degli elaborati i correttori hanno potuto

mantenere un contatto telematico costante con il responsabile della ricorrezione e lo staff

responsabile della registrazione dei dati, che ha permesso di superare eventuali difficoltà di

interpretazione.

A ciascun correttore è stata richiesta la correzione di circa 20 elaborati, l’attribuzione ad essi

di una valutazione espressa in quindicesimi e la compilazione, per ciascun elaborato, della

maschera di correzione relativa al tipo di compito, con l’inserimento dei dati in un database

informatizzato. Nella fase di correzione è stata resa possibile ai correttori la partecipazione al

Forum di discussione con possibilità di porre domande di chiarimento e/o approfondimento agli

esperti.

Ogni elaborato è stato affidato a due ricorrettori che in modo indipendente hanno:

• rilevato le scelte dei candidati (problema e quesiti);

• valutato se il candidato aveva risposto completamente ai quesiti scelti;

• rilevato come aveva risposto a ciascuna domanda, secondo lo schema individuato

nella maschera di ricorrezione;

• valutato (in decimi) le conoscenze specifiche, le competenze nell’applicare le procedure e i

concetti acquisiti, le capacità logiche e argomentative;

• attribuito all’elaborato una valutazione globale in quindicesimi.

Per evitare ambiguità connesse al posizionamento del livello di sufficienza, che nella

valutazione delle prove scritte dell’esame di Stato è individuato (diversamente dalla prassi della

scuola italiana) in 10/15, si è ritenuto di usare una scala in decimi per le tre direzioni oggetto di

valutazione previste dalla normativa.

A proposito della valutazione in quindicesimi delle prove scritte va osservato, in quanto

particolarmente rilevante per l’analisi, che la normativa prevede che “a ciascuna delle prove scritte

giudicata sufficiente non può essere attribuito un punteggio inferiore a 10”. Ciò significa che una prova

valutata sufficiente deve ricevere un punteggio superiore o uguale a 10 - cosa ben diversa dallo

stabilire che una prova debba ottenere almeno 10 per essere giudicata sufficiente. Questo, allo stato

attuale, rende molto difficile prevedere ad esempio per la prova di matematica un meccanismo di

attribuzione di punteggio alle singole componenti della prova (o a determinati indicatori) che

conduca in modo automatico al voto in quindicesimi. Per questo motivo, si è ritenuto di chiedere

18

ai correttori di formulare la valutazione complessiva in quindicesimi in modo globale e qualitativo,

sulla base delle tre direzioni di valutazione.

Per ogni elaborato si hanno a disposizione, quindi, tre valutazioni espresse in quindicesimi

(due dei correttori e una della Commissione d’esame) e due valutazioni in decimi delle tre

direzioni di valutazione (a cura dei due correttori).

I compiti sono stati assegnati ai correttori in modo casuale, utilizzando una procedura

informatizzata.

3.5 Le maschere di ricorrezione

Le maschere per la ricorrezione della prova di matematica dell’esame di Stato conclusivo

del secondo ciclo sono l’evoluzione dello strumento elaborato per la ricorrezione del 2007, tenuto

conto delle molte osservazioni raccolte dai correttori che hanno collaborato. Come già detto, sono

un tentativo di discretizzazione del lavoro compiuto dal candidato. Per ogni voce il correttore ha

indicato se, a suo giudizio, il candidato aveva ottemperato o meno a quanto richiesto.

Va sottolineato che alcune di queste voci sono in alternativa tra di loro (ad esempio quando

si chiedeva se un determinato punto era stato risolto per via geometrica o per via analitica). Altre

voci chiedono se il ragazzo ha fatto qualcosa che non era strettamente necessario ai fini della

risposta (un grafico, un esempio, etc.). È chiaro quindi che la mancata risposta a una di queste

richieste non deve essere interpretata negativamente ai fini della valutazione. Alcune voci, infine,

hanno evidenziato errori tipici, scelte sbagliate o altro.

È inevitabile che in molti casi sia difficile dare una risposta netta: è stato lasciato al giudizio

e all’esperienza del correttore decidere cosa marcare, tenendo presente che l’obiettivo della

maschera, in primo luogo, non è quello di valutare, ma di fotografare, in maniera peraltro molto

schematica il compito. È stato indicato ai correttori di badare alla “correttezza sostanziale”, senza

dare troppo peso a errori di calcolo dovuti palesemente a distrazione o fretta, e di non richiedere

un formalismo fine a se stesso. La “correttezza sostanziale” da ricercare non è stata però solo la

correttezza dei calcoli, ma anche la correttezza formale, quella delle argomentazioni, la correttezza

nell’uso dei simboli o delle rappresentazioni grafiche.

Per quanto riguarda gli “errori a cascata” - ad esempio quando si sbaglia un calcolo e ciò

porta inevitabilmente a un errore nel calcolo successivo- l’indicazione è stata quella di guardare

alla coerenza tra una risposta e la successiva.

19

Per ogni elaborato ogni correttore ha indicato quale problema e quali quesiti ha preso in

considerazione e corretto. Per questi (e solo per questi) ha poi riempito la maschera di inserimento

dati. Ha inoltre indicato (ma non corretto, e non considerato ai fini della assegnazione del voto) se

il candidato aveva presentato la soluzione anche dell’altro problema, o di sue parti, e di altri

quesiti, e quali - naturalmente tralasciando semplici abbozzi di soluzione o quesiti cancellati. Come

già anticipato, questo fenomeno di “eccesso di risposte” è praticamente scomparso.

Al correttore erano chieste infine valutazioni sintetiche (espresse con un voto da 1 a 10)

delle conoscenze specifiche, delle competenze nell’applicare le procedure e i concetti, e della capacità logiche

e argomentative del candidato, così come emergevano dall’elaborato.

4. I risultati della ricorrezione degli elaborati della seconda prova di matematica

4.1 Le scelte dei candidati

La ricorrezione ha permesso, in primo luogo, di “fotografare” la situazione delle scelte dei

candidati, ottenendo così informazioni su quale matematica “ritengono di sapere” - dato che poi

viene messo a confronto con quello che realmente riescono a fare. Nella Tavola 1 sono riportati le

percentuali delle scelte dei ragazzi, con la percentuale di risposte corrette sul totale dei candidati16

- (in grigio sono evidenziati i quesiti comuni ai due compiti). Così, ad esempio, il quesito 1 del

compito di ordinamento è quello maggiormente scelto e risolto correttamente da quasi tutti i

ragazzi che lo hanno affrontato; mentre il quesito 5 viene scelto da una percentuale quasi

altrettanto alta di ragazzi (tra l’altro, quasi sempre gli stessi), ma risolto correttamente solo da uno

su sei di essi (Tavola 1). Si tratta in effetti di due quesiti tipicamente scolastici, su cui la prassi di

insegnamento insiste molto, presenti diffusamente nei libri di testo. Due quesiti, insomma,

dall’aspetto e con una formulazione molto familiari, riguardanti contenuti su cui si insiste molto

sia in sede di spiegazione che di valutazione. In entrambi sono coinvolte conoscenze di base, ma

nel secondo si richiede di argomentare sull'uso e il significato di simboli matematici. Questo crea

delle difficoltà anche ai ragazzi del PNI (in misura anche maggiore).

16 Non vengono considerati i compiti di tipo sperimentale, non PNI, perché nel campione ne era presente uno solo.

20

Tavola 1: scelte degli studenti e quote di risposte corrette ai quesiti della prova di matematica

Quesito Ord. % scelte % risposte corrette

Quesito PNI % scelte % risposte corrette

1 78,5 71,5 1 31,7 27,8

2 28,7 5,4 2 38,9 20,1

3 50,5 36,6 3 22,9 15,5

4 24,8 3,6 4 41,3 18,2

5 68,5 11,7 5 69,3 5,5

6 67,3 30,5 6 9,8 8,8

7 29,5 16,0 7 54,4 48,4

8 26,1 5,6 8 56,4 44,4

9 5,2 0,0 9 13,9 8,5

10 50,2 25,4 10 41,7 4,4

Per quanto riguarda la scelta dei quesiti da parte dei ragazzi, è evidente una forte

propensione, soprattutto nei Licei di ordinamento per 5 quesiti (1, 3, 5, 6, 10) che sono scelti da

oltre la metà dei candidati. Quattro di questi quesiti fanno parte del programma standard di analisi

matematica svolto nel Liceo scientifico, il quinto comunque riconduce, nella lettura dello studente,

all’idea di forma indeterminata. La scelta è quindi chiara: gli studenti dei Licei di ordinamento si

orientano verso i contenuti di analisi matematica, con una preferenza per gli esercizi standard di

calcolo. Questa scelta non sempre è oculata, visto che, come detto già indicato, ad alcuni quesiti

rispondono correttamente solo una piccola percentuale di coloro che lo hanno scelto. Questa

distanza tra le scelte e la capacità effettiva di risposta è più marcata nei Licei di ordinamento, anche

se due quesiti (il 5 e il 10) sono risultati particolarmente critici da questo punto di vista per i

ragazzi del PNI. Va sottolineato che si è trattato in entrambi i casi di quesiti in cui era richiesta una

argomentazione articolata. In generale, come è logico aspettarsi, sui quesiti comuni sono

nettamente migliori i risultati degli studenti dei corsi PNI, ad eccezione del quesito n. 5.

Per quanto riguarda i quesiti comuni, in alcuni casi (n. 2 e n. 7) la sensibile differenza tra le

percentuali di scelta e di riuscita tra le due tipologie di scuola è facilmente spiegabile con il

differente peso che i relativi argomenti hanno nella prassi didattica. In particolare il quesito 2

mette in luce una difficoltà superiore, nei Licei di ordinamento, nell’utilizzo del linguaggio delle

funzioni17

17 E’stato rimarcato da alcune associazioni di insegnanti che questa terminologia non è espressamente prevista nei programmi dei Licei di ordinamento e quindi non si trova in tutti i libri di testo, mentre invece è nel programma del PNI.

. Sorprende, ma non troppo, la difficoltà dei ragazzi di entrambi gli indirizzi nella

gestione della scrittura simbolica (quesito 5). Nel compito di ordinamento va sottolineato l’esito

21

negativo alla domanda 10, la cui risposta era elementare e poteva essere contenuta in una riga,

scelta da oltre la metà dei ragazzi ma risolta correttamente solo dal 50 per cento di essi.

Le scelte dei ragazzi appaiono comunque guidate più dalla percezione di familiarità con

l’esercizio, che non da una valutazione della reale difficoltà.

Per quanto riguarda i problemi, la scelta dei candidati dei Licei di ordinamento si è

orientata decisamente sul primo, che effettivamente richiedeva calcoli meno complicati. Va

osservato come pochi ragazzi siano in grado di “arrivare in fondo”: la maggior parte riesce a

muoversi bene soltanto sulla prima domanda. Le tabelle seguenti riportano le percentuali di scelte

e le percentuali di soluzioni corrette a ogni domanda. Si noti come oltre un quarto dei ragazzi dei

Licei di ordinamento e un quinto di quelli PNI non presenti la soluzione di nessuno dei due

problemi. Solo un terzo del totale degli studenti dei Licei di ordinamento dà qualche spezzone di

soluzione corretta a uno dei due problemi.

Tavola 2: scelte degli studenti e quote di risposte corrette alle domande dei problemi della prova di matematica

Prob. 1 Ord. % scelte % risposte corrette

Prob. 1 PNI % scelte % risposte corrette

Dom. 1 54,1 24,0 Dom. 1 16,6 15,4

Dom. 2 50,0 17,3 Dom. 2 12,4 8,7

Dom. 3 41,1 18,1 Dom. 3 16,6 15,4

Dom. 4 21,6 5,8 Dom. 4 15,6 14,9

Prob. 2 Ord. Prob. 2 PNI

Dom. 1 17,3 4,3 Dom. 1 64,9 28,4

Dom. 2 12,8 10,5 Dom. 2 62,0 24,2

Dom. 3 16,7 8,2 Dom. 3 57,9 45,7

Dom. 4 11,1 2,6 Dom. 4 43,4 7,2

La scelta dei ragazzi dell’indirizzo PNI si è orientata decisamente verso il secondo

problema, anche questo più familiare - il primo richiedeva lo studio di una famiglia discreta di

funzioni. In realtà, superata la difficoltà iniziale, il primo problema era abbastanza semplice (dal

punto di vista dei calcoli), ad eccezione dell’ultima domanda. La funzione proposta ha come primo

fattore il polinomio di Taylor di grado n della funzione esponenziale sviluppato nel punto x=0.

Riconoscere questo fatto avrebbe permesso di avere una visione complessiva del problema, ma

questo non è un argomento in programma per i Licei PNI. Va osservato comunque che gli studenti

che lo hanno affrontato sono stati in grado, nella quasi totalità, di arrivare correttamente fino alla

22

fine. Anche nel compito PNI ritroviamo (anche se in misura minore) una fascia di studenti che non

presenta la soluzione di nessuno dei due problemi (quasi il 20 per cento).

Il secondo problema del compito PNI era più standard, ma presentava nell’ultima

domanda, alcune difficoltà di calcolo che effettivamente hanno messo in difficoltà molti studenti.

4.2 I fattori di valutazione

Le valutazioni attribuite dai correttori ai tre fattori individuati della normativa e cardine

della rilevazione (conoscenze specifiche, competenze nell’applicare procedure e concetti capacità logiche e

argomentative) sono in media insufficienti (Tavola 3).

Per quanto riguarda il fattore 1 (conoscenze specifiche), sebbene in media i correttori esterni

abbiano attribuito un voto pari a 6, hanno ritenuto insufficienti il 57,5 per cento degli elaborati; se

si scorporano gli studenti in ritardo (che vengono valutati insufficienti nel 98,9 per cento dei casi)

la percentuale di insufficienze risulta del 52,5 per cento. Circa il 10 per cento degli studenti ha una

valutazione di eccellenza (9-10) e poco meno di un terzo riesce ad andare oltre la sufficienza

(valutazione superiore o uguale a 7).

Tavola 3: la valutazione dei correttori delle prove di matematica, voto medio e distribuzione percentuale

Fattore 1

Conoscenze specifiche

Fattore 2

Competenze nell’applicare le

procedure e i concetti acquisiti

Fattore 3

Capacità logiche e argomentative

Voto medio 6,0 5,8 5,5

Deviazione standard 1,8 1,9 1,9

Distribuzione percentuale dei punteggi Insufficienze (ovvero < 6) 57,5 60,5 68,7 6 9,2 12,3 3,8 7 12,3 9,5 13,0 8 10,7 8,0 7,8 Eccellenze (ovvero 9-10) 10,3 9,1 6,0 Dato mancante - 0,6 0,6 Totale 100,0 100,0 100,0

La situazione peggiora per quanto riguarda il fattore 2, relativo alla competenza nell’applicare

le procedure e i concetti acquisiti, dove, secondo i correttori, il voto medio è inferiore alla sufficienza

(5,8), oltre il 60 per cento degli studenti si colloca al di sotto della sufficienza, solo il 26,6 per cento

supera il 7 e il 9,1 per cento è nella fascia di eccellenza.

23

Il fattore 3, quello riguardante le capacità logiche e argomentative, è comunque il più critico: il

voto medio è 5,5, la percentuale di studenti insufficienti è il 68,7 per cento, la percentuale di

studenti con valutazione uguale o superiore a 7 è del 26,9 per cento e solo il 6 per cento raggiunge

l’eccellenza (voto di 9 o 10).

Questi primi dati mostrano come le difficoltà dei nostri studenti in matematica siano

generalizzate, riguardino tutti gli aspetti dell’apprendimento e siano particolarmente marcate nel

caso in cui si vada a valutare la capacità di argomentare, giustificare e spiegare. È questo uno dei

motivi che spinge gli studenti a scegliere esercizi di calcolo, cui si può rispondere con routine

sperimentate, sottolineando un fenomeno già evidente nella prova nazionale di matematica

conclusiva del primo ciclo, nella quale le domande in cui viene chiesta una (sia pur minima)

argomentazione o giustificazione sono quelle con le percentuali di risposte corrette di gran lunga

più basse.

I correttori attribuiscono voti peggiori agli elaborati dei ragazzi che frequentano i Licei di

ordinamento rispetto a quelli dei ragazzi dei PNI in ognuno dei tre fattori (Tavola 4). Il voto medio

dei liceali che hanno frequentato i corsi di ordinamento è sempre inferiore alla sufficienza e la

quota delle insufficienze va da circa due elaborati su tre quando si valutano le conoscenze

specifiche (fattore 1) a quasi tre su quattro quando si prendono in considerazione le capacità

logiche e argomentative. Le eccellenze non vanno mai sopra il 9 per cento.

Tavola 4: la valutazione dei correttori delle prove di matematica, voto medio e distribuzione percentuale per indirizzo di scuola

Fattore 1


Fattore 2



Fattore 3


Ordinamento Voto medio 5,7 5,4 5,1 Insufficienze (ovvero <6) 65,2% 68,9% 74,8% Eccellenze (ovvero 9-10) 8,1% 4,5% 2,7%

PNI Voto medio 6,6 6,6 6,2 Insufficienze (ovvero <6) 40,5% 42,2% 55,8% Eccellenze (ovvero 9-10) 15,7% 19,9% 14,0%

Gli elaborati degli studenti che frequentano i PNI ricevono valutazioni nettamente

migliori:in tutti i fattori ottengono in media un voto di sufficienza, anche se la quota dei compiti

insufficienti è comunque compresa tra il 40 e il 56 per cento a seconda dei fattori. Va notato però

che in queste scuole ci sono molti studenti (tra il 14 e il 20 per cento) i cui elaborati ricevono dai

24

correttori valutazioni molto elevate. Questa differenziazione tra i tipi di Liceo ha però una forte

caratterizzazione geografica: è localizzata soprattutto nel Nord (dove la differenza tra i voti medi è

di circa due punti in tutti e tre i fattori) e, in misura minore, nel Centro, mentre è molto meno

marcata nel Sud.

Tavola 5: la valutazione dei correttori delle prove di matematica, voto medio e distribuzione percentuale per area geografica e indirizzo di scuola

Fattore 1


Fattore 2

Competenze nell'applicare le


Fattore 3


Ordinamento PNI Total

e Ordinamento PNI Totale Ordina

mento PNI Totale

Nord Voto medio 5,4 7,4 5,9 5,2 7,3 5,8 4,9 7,0 5,5

Insufficienze (<6) 75,8% 40,6% 65,4% 79,7% 40,6% 68,2% 83,1% 40,6% 70,7% Eccellenze (9-10) 6,1% 25,6% 11,0% 3,2% 25,6% 9,0% 3,2% 25,6% 9,0%

Centro Voto medio 5,4 6,6 5,7 5,2 6,6 5,6 4,8 6,6 5,3 Insufficienze (<6) 64,5% 37,7% 57,5% 64,6% 47,1% 60,0% 77,9% 47,1% 69,8% Eccellenze ( 9-10) 3,5% 18,9% 7,5% - 18,9% 5,0% - 9,4% 2,5%

Sud Voto medio 6,1 6,0 6,1 5,7 6,1 5,8 5,5 5,7 5,5 Insufficienze (<6) 55,9% 41,5% 51,0% 61,3% 41,5% 54,5% 65,7% 68,3% 66,6% Eccellenze (9-10) 12,4% 8,5% 11,1% 8,1% 16,7% 11,1% 3,7% 8,5% 5,30%

Nelle valutazioni dei correttori le conoscenze, abilità e competenze in matematica sono

migliori tra gli studenti delle scuole del Sud rispetto a quelli del Centro, e nel primo fattore (le

conoscenze specifiche) anche a quelli del Nord. In particolare, per quanto riguarda questo fattore

gli elaborati degli studenti meridionali ricevono un voto medio più alto che nel resto del paese (6,1

rispetto a 5,9 nel Nord e 5,7 nel Centro), hanno una quota di insufficienze minore (51 per cento

rispetto a 65,4 per cento del Nord e 57,5 per cento del Centro) e una più ampia quota di eccellenze

(11,1 per cento contro 11,0 per cento del Nord e 7,5 per cento del Sud).

Complessivamente va osservato che nel Nord e nel Centro i ragazzi del PNI ottengono

valutazioni nettamente migliori rispetto a quelli dei Licei di ordinamento (voto medio più alto,

percentuale di insufficienze molto più bassa, percentuale di eccellenze molto più alta), mentre

questa differenza non è così marcata per i ragazzi del Sud (va osservato peraltro che i Licei PNI

sono meno diffusi al Sud).

25

Relativamente agli altri due fattori la differenza a favore degli studenti meridionali si

annulla rispetto a quelli del Nord, mentre si mantiene nei confronti di quelli del Centro.

Si può quindi affermare che i migliori risultati degli studenti meridionali sono interamente

dovuti a quelli che frequentano i Licei ordinamentali che costituiscono la larga parte del campione,

mentre per i PNI prevalgono i risultati degli studenti del Centro e del Nord.

L’articolazione geografica delle competenze e conoscenze degli studenti frequentanti i Licei

e i PNI presenta qualche interessante differenza, quando si guarda al genere degli esaminandi.

Mentre al Nord e al Sud ottengono valutazioni migliori i compiti delle ragazze, al Centro sono i

maschi del PNI che hanno un voto migliore, in tutti e tre i fattori.

Per i maschi, complessivamente, non si evidenziano differenze territoriali in nessuna delle

tre competenze- le differenze territoriali emergono quando il dato complessivo si scompone tra i

Licei di ordinamento e i PNI. Queste forti differenze territoriali tra Licei e PNI sono probabilmente

connesse con il diverso processo di autoselezione degli studenti nell’uno o nell’altro indirizzo di

scuola nelle diverse aree del Paese (Tavola 6).

Tavola 6: la valutazione dei correttori delle prove di matematica, voto medio per area geografica, indirizzo di scuola e genere

Fattore 1


Fattore 2



Fattore 3


Maschi Femmine Maschi Femmine Maschi Femmine Nord 5,9 6,0 5,6 6,0 5,3 5,7

Ordinamento 5,1 5,6 4,8 5,6 4,4 5,4

PNI 7,2 7,6 7,2 7,5 6,9 7,1

Centro 6,0 5,4 5,8 5,3 5,4 5,1

Ordinamento 5,4 5,4 5,2 5,3 4,5 5,1

PNI 6,9 5,8 7,1 5,3 7,0 5,3

Sud 5,9 6,3 5,6 6,2 5,4 5,7

Ordinamento 6,1 6,0 5,7 5,8 5,5 5,5

PNI 5,5 7,0 5,5 7,2 5,3 6,3

Totale 5,9 6,0 5,7 5,9 5,3 5,6

Ordinamento 5,6 5,7 5,3 5,6 4,9 5,3

PNI 6,3 7,0 6,3 7,1 6,1 6,4

26

Tra le ragazze i correttori hanno attribuito voti migliori a studentesse che frequentano le

scuole del mezzogiorno, in particolare per quello che riguarda le conoscenze specifiche e le

competenze nell’applicare le procedure e i concetti acquisiti. Nel fattore relativo alla capacità

logiche e argomentative le ragazze meridionali condividono il primato con quelle del Nord, anche

se i voti medi sono in entrambi i casi insufficienti. Anche per le studentesse si osservano differenze

per area tra Licei e PNI.

Pur considerando la esiguità del campione, è evidente che i ragazzi in ritardo con gli studi

segnalano un grave deficit di competenze rispetto a quelli in regola. Aver ripetuto un anno non

sembra aver permesso a questi ragazzi di comare il gap rispetto ai compagni (Tavola 7).

Tavola 7: la valutazione dei correttori delle prove di matematica, voto medio per area geografica, indirizzo di scuola, e condizione di ritardo

Fattore 1


Fattore 2



Fattore 3


Regolari Posticipatari Regolari Posticipatari Regolari Posticipatari Nord 6,1 4,6 6,0 4,3 5,7 3,8

Ordinamento 5,6 4,4 5,4 4,1 5,1 3,5

PNI 7,4 6,0 7,4 5,5 7,1 5,5

Centro 5,9 4,2 5,8 4,4 5,5 3,9

Ordinamento 5,7 4,2 5,4 4,4 5,0 3,9

PNI 6,6 - 6,6 - 6,6 -

Sud 6,2 4,2 6,1 3,3 5,7 3,3

Ordinamento 6,4 4,2 6,1 3,3 5,8 3,3

PNI 6,0 - 6,1 - 5,7 -

Totale 6,1 4,4 6,0 4,0 5,7 3,7

Ordinamento 5,9 4,3 5,7 3,9 5,4 3,6

PNI 6,6 6,0 6,6 5,5 6,3 5,5

Chi è in ritardo con gli studi denuncia un deficit di conoscenze e competenze generalizzato,

ma che pare particolarmente accentuato per quanto riguarda le competenze nell’applicare le

procedure e i concetti acquisiti e nelle capacità logiche e argomentative.

Sembra emergere anche dalla ricorrezione degli elaborati di matematica un forte legame tra

le difficoltà rilevate all’esame di Stato e la valutazione ottenuta al termine del primo ciclo (Tavola

8). Va tuttavia sottolineato che i ragazzi che hanno sostenuto la prova scritta di matematica

27

provengono tutti da un Liceo scientifico, e quindi hanno già avuto, rispetto alla totalità della

popolazione che ha sostenuto la prova di italiano, una autoselezione in entrata che, come mostrano

i dati, riduce drasticamente la percentuale di ragazzi usciti col giudizio di sufficiente.

Nonostante questa autoselezione la valutazione degli elaborati degli studenti con un voto

di sufficiente o buono è sempre inferiore a quella di chi ha ottenuto nell’esame al termine del

primo ciclo un voto di distinto o ottimo. Il divario è di circa un punto per il fattore relativo alle

conoscenze specifiche, di otto decimi in quello relativo alla competenza nell’applicare le procedure

e i concetti acquisiti e di sei decimi in quello relativo alle capacità logiche argomentative.

Tavola 8: la valutazione dei correttori delle prove di matematica, voto medio per area geografica, indirizzo di scuola, e giudizio in uscita dall’esame di Stato al termine del primo ciclo

Fattore 1


Fattore 2

Competenze nell’applicare le procedure e i concetti

acquisiti

Fattore 3


Sufficiente

e Buono Distinto e

Ottimo Sufficiente

e Buono Distinto e

Ottimo Sufficiente e Buono

Distinto e Ottimo

Nord 4,9 6,1 5,0 5,9 4,8 5,6

Ordinamento 4,9 5,5 4,8 5,3 4,6 5,0

PNI 5,0 7,6 6,0 7,4 6,0 7,1

Centro 4,6 5,9 4,9 5,7 4,7 5,4

Ordinamento 4,6 5,6 4,9 5,3 4,7 4,8

PNI - 6,6 - 6,6 - 6,6

Sud 5,8 6,2 5,4 6,0 5,3 5,7

Ordinamento 5,8 6,2 5,2 5,9 5,3 5,6

PNI 5,7 6,1 5,7 6,2 5,2 5,7

Totale 5,2 6,1 5,1 5,9 5,0 5,6

Ordinamento 5,1 5,8 4,9 5,6 4,9 5,2

PNI 5,6 6,7 5,8 6,7 5,4 6,3

In matematica, forse più che in italiano, le carenze iniziali sono difficili da colmare e anzi

tendono ad approfondirsi nel corso del tempo. Restano e pesano sempre più lacune sui concetti e

sulle procedure di base, diventa sempre più forte la difficoltà nel capire il senso delle costruzioni

della matematica e si aggrava l’incapacità di mettere in campo le procedure tipiche del pensiero

matematico.

28

4.3 La valutazione della prova di matematica: confronto tra Commissione d’esame e correttori

esterni

Lo schema di ricorrezione delle prove prevedeva che i correttori, oltre al rilevamento

effettuato attraverso la maschera di ricorrezione, fornissero anche una valutazione globale,

espressa in quindicesimi, dei singoli elaborati. Pertanto, per ognuna delle prove svolte, si hanno a

disposizione, complessivamente, tre valutazioni: due da parte dei correttori e una da parte della

commissione; è possibile perciò confrontarle per giudicarne la coerenza.

Il voto medio assegnato dai correttori agli elaborati, espresso in quindicesimi, è stato

insufficiente (Tavola 9). Complessivamente, è stato valutato insufficiente il 54,5 per cento degli

elaborati; le eccellenze, cioè gli elaborati che ricevono un voto medio di almeno 14, sono meno del

7 per cento.

Tavola 9: medie e distribuzione dei voti attribuiti dai correttori e dalle commissioni per genere (voti e punti percentuali)

Correttori Commissione

Femmine Maschi Totale Femmine Maschi Totale Voto medio 9,6 9,3 9,5 11,4 11,3 11,4

Deviazione standard 2,8 2,9 2,9 2,5 2,5 2,5

Distribuzione percentuale dei punteggi Insufficienze (ovvero < 10) 53,6 55,2 54,5 20,7 21,8 21,3 10,0 - 10,5 7,0 12,2 9,9 9,3 11,9 10,7 11,0 - 11,5 9,4 4,3 6,5 17,3 12,9 14,8

12,0 - 12,5 20,1 13,7 16,5 17,4 7,1 11,6

13,0 - 13,5 3,2 7,8 5,8 5,8 6,6 6,2

Eccellenze (ovvero 14-15) 6,8 6,8 6,8 23,8 21,9 22,7

Dato mancante - - - 5,8 17,9 12,6

Totale 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0

Il voto medio assegnato invece dalle commissioni d’esame è pari a 11,4; la quota degli

elaborati insufficienti è del 21,3 per cento e le eccellenze sono pari al 22,7 per cento sul totale dei

compiti (rispettivamente il 24,3 per cento e il 26 per cento dei compiti per i quali si dispone della

valutazione della commissione). Circa un terzo dei compiti di ordinamento viene valutato da

almeno uno dei due correttori gravemente insufficiente, vale a dire ottiene una valutazione inferiore

o uguale a 6/15; compiti con una valutazione così bassa sono molto meno frequenti tra gli

elaborati degli studenti PNI (circa uno su dieci).

Dal confronto tra le due distribuzioni si nota che, in generale, quella dei voti assegnati dalla

commissione risulta traslata verso destra. In particolare, sono evidenti due differenze cruciali tra la

valutazione assegnata dai correttori e quella delle commissioni, relativamente al livello di

29

sufficienza e a quello di eccellenza. Mentre i correttori (si ricorda che non erano persone esterne al

sistema scolastico, ma insegnanti in servizio che avevano effettivamente operato in commissioni

d’esame) hanno valutato insufficiente oltre la metà degli elaborati, le commissioni hanno assegnato

l’insufficienza solo a un quarto di essi (le insufficienze assegnate dai correttori, percentualmente,

coprono un range maggiore di quello coperto dalle valutazioni assegnate dalle commissioni fino

all’11 compreso).

Le differenze di genere sono marginali. In generale la forma della distribuzione delle

valutazioni è la medesima, anche se i voti delle commissioni risultano spostati verso l’alto. Il tratto

di diversità sta nella maggiore polarizzazione dei voti dei ragazzi (una percentuale maggiore di

voti bassi e alti per i ragazzi e una maggiore percentuale di voti medi per le ragazze) e risulta

comune sia alle commissioni che ai correttori.

Il confronto tra i risultati per indirizzi di studio permette di comprendere meglio come

nella valutazione dei correttori gli elaborati degli studenti delle classi di indirizzo PNI risultino

migliori di quelli degli indirizzi ordinamentali (Tavola 10).

Tavola 10: medie e distribuzione dei voti attribuiti dalle commissioni per genere e tipo di scuola (voti e punti percentuali)

Commissione Correttori Femmine Maschi Totale Femmine Maschi Totale

Ordinamento Voto medio 11,0 10,6 10,8 9,2 8,8 9,0

Insufficienze (ovvero < 10) 23,1% 27,0% 25,1% 61,1% 63,1% 62,1%

Eccellenze (ovvero 14-15) 16,3% 10,8% 13,5% 6,2% 6,5% 6,3%

PNI Voto medio 12,8 12,2 12,4 10,9 10,3 10,5



In particolare va osservato che anche per le commissioni sono molto più frequenti le

insufficienze nei compiti di ordinamento.

All’estremo opposto, per gli elaborati dell’indirizzo ordinamentale, le commissioni hanno

assegnato una valutazione di eccellenza (14 -15) al 13,5 per cento degli elaborati, più del doppio

rispetto ai correttori (6,3 per cento). Tra i compiti PNI hanno ottenuto la valutazione di eccellenza

più di due elaborati su cinque (42,8 per cento).

La maggiore generosità delle commissioni è spiegabile probabilmente con la volontà di

permettere ad alcuni candidati di conseguire il punteggio massimo nell’esame di Stato, ma indica

la necessità di un ripensamento dei criteri in base al quale un compito deve essere valutato

30

“eccellente”. Le commissioni sostanzialmente suddividono i compiti in tre grandi fasce: poco più

di un terzo (36,7 per cento) ottiene un risultato insufficiente o alla soglia della sufficienza (≤ 10),

poco meno di un terzo una valutazione media (11 o 12), circa un terzo una valutazione buona (≥

13). Per i correttori, nella prima fascia troviamo il 63,3 per cento dei compiti, nella seconda il 23 per

cento, nella terza il 13,7 per cento.

La distribuzione geografica dei voti medi attribuiti dai correttori concorda con quella dei

voti assegnati dalla commissione.

Per quanto riguarda i Licei di indirizzo ordinamentale entrambe le valutazioni giudicano

migliori gli elaborati dei ragazzi provenienti dalle regioni meridionali rispetto a quelli del Centro e

del Nord (Tavola 12); il vantaggio del Sud si concretizza in una differenza dei voti medi di circa un

punto rispetto al Nord e al Centro, in una minore quota di insufficienze e una maggiore quota di

eccellenze.

Va comunque rilevato che nel giudizio dei correttori il voto medio attribuito agli elaborati

non raggiunge mai la sufficienza, nemmeno nel caso più favorevole quale quello delle studentesse

meridionali. Al contrario, nella valutazione delle commissioni, i voti medi sono sempre sulla o

superiori alla sufficienza, con una importante eccezione costituita dai ragazzi delle regioni

settentrionali.

La maggiore generosità delle commissioni rispetto ai correttori è un tratto che caratterizza

in modo sostanzialmente uniforme l’intero territorio nazionale e si concretizza nell’attribuzione di

un voto superiore a quello dei correttori di 1,5-2 punti a seconda dell’area geografica. Il voto medio

più elevato deriva prevalentemente dal fatto che le commissioni sono molto più restie dei

correttori a giudicare insufficienti gli elaborati e più generose nell’attribuire la valutazione

massima (nel Sud questa viene attribuita a quasi un elaborato su quattro).

Tavola 11: distribuzione dei voti attribuiti dalle commissioni per area geografica Punteggio attribuito dalla commissione

Area geografica Totale Nord Centro Sud

< 10 31,1% 23,1% 19,4% 24,4% 10 4,7% 42,2% 3,3% 12,3% 11 16,9% 10,6% 20,2% 16,9% 12 14,8% 10,6% 13,4% 13,3% 13 7,9% - 10,1% 7,1% 14 11,8% 7,9% 9,2% 9,9% 15 12,7% 5,4% 24,4% 16,1% Totale 100,0% 100,0% 100,0% 100,0%

31

I risultati delle prove dei ragazzi delle classi PNI presentano tratti di minore regolarità. Nel

giudizio dei correttori gli esiti in termini di voti medi sono migliori nel Nord (11,8) del paese che

non nel Centro (10,4) e nel Sud (9,6). Nel giudizio delle commissioni, invece, gli elaboratori delle

regioni centrali, pur meritando un voto medio di sufficienza (10,9), sono distanti da quelli delle

regioni del Nord (12,4) e del Sud (12,9) (Tavola 12).

Tavola 12: medie e distribuzione dei voti attribuiti dai correttori e dalle commissioni per genere area geografica e tipo di scuola (voti e punti percentuali)

Ordinamento


Femmine Maschi Totale Femmine Maschi Totale

Nord Voto medio 9,2 8,1 8,6 11,0 9,7 10,4


Eccellenze (ovvero 14-15) 6,3% - 3,2% 17,2% 5,8% 11,7%

Centro Voto medio 8,8 8,5 8,7 10,4 10,0 10,2


Eccellenze (ovvero 14-15) - - - 9,5% 7,2% 8,4%

Sud Voto medio 9,6 9,4 9,5 11,4 11,7 11,5


Eccellenze (ovvero 14-15) 9,9% 14,6% 12,5% 19,6% 16,4% 17,8% PNI


Femmine Maschi Totale Femmine Maschi Totale

Nord Voto medio 12,0 11,7 11,8 11,6 12,9 12,4



Centro Voto medio 8,7 11,0 10,4 9,6 11,4 10,9


Eccellenze (ovvero 14-15) - - - - 31,1% 23,4%

Sud Voto medio 10,7 9,0 9,6 14,3 12,1 12,9

Insufficienze (ovvero < 10) 23,4% 51,3% 41,5% - 12,9% 8,4%

Eccellenze (ovvero 14-15) - - - 75,9% 35,8% 49,9%

4.4 Le determinanti dei voti nella prova di matematica.

Per ciascuna delle prove raccolte l’INVALSI ha a disposizione il voto della Commissione

d’esame, la valutazione dei due correttori in merito alle tre direzioni e complessiva della prova e

32

una serie di informazioni relative allo studente, al suo curricolo scolastico e alla scuola

frequentata18

Queste informazioni permettono di affrontare, almeno in prima approssimazione, la

questione di quali siano i fattori che possono influenzare la definizione dei giudizi espressi sia dai

correttori che dalla commissione sugli elaborati di matematica. La domanda rilevante è quella di

stabilire in che misura queste valutazioni riflettano i reali livelli di apprendimento dei ragazzi,

come emergono dallo svolgimento della prova d’esame, fotografata dalle maschere di rilevazione

predisposte dall’Unione Matematica Italiana in collaborazione con l’INVALSI; parallelamente è

interessante domandare quanto invece le valutazioni riflettano fattori diversi dalle competenze e

relativi alle caratteristiche demografiche degli studenti o alla loro carriera scolastica.

.

Le valutazioni espresse dai correttori lungo le tre direzioni (conoscenze specifiche, competenze

nell’applicare le procedure e i concetti acquisiti, capacità logiche e argomentative) appaiono fortemente

correlate tra di loro, a conferma del fatto (condiviso generalmente dagli esperti di didattica della

matematica) che l’apprendimento della matematica è fondamentalmente un fatto unitario, nel

quale si possono distinguere delle componenti che però crescono e si sviluppano in maniera

fortemente intrecciata. Sono comunque più correlate tra di loro di quanto non siano le valutazioni

delle competenze in italiano.

Tavola 13: coefficienti di correlazione tra i fattori della competenza matematica Correlazioni tra fattori Correttore 1 Correlazioni tra fattori Correttore 2 Conoscenze

specifiche Conoscenze specifiche

Competenze nell’applicare le procedure e

i concetti acquisiti



Competenze nell’applicare le procedure e

i concetti acquisiti

Conoscenze specifiche 1 1

Competenze nell’applicare le procedure e i concetti acquisiti

0,954 1 0,940 1

Capacità logiche e argomentative 0,931 0,954 1 0,905 0,932 1

Queste valutazioni appaiono molto meno correlate alle competenze individuate nella

correzione della prova di italiano degli stessi candidati. Tra di esse, la correlazione è maggiore con

la competenza testuale e minore con quella grammaticale; questo aspetto va approfondito, ma

18 Questo paragrafo riprende i risultati del Working Paper INVALSI n. 2010/05 “Da cosa dipendono i voti nelle prove di Italiano e Matematica negli esami di maturità” di Patrizia Falzetti e Francesca Fortini.

33

sembra dipendere dagli indicatori scelti per la rilevazione delle competenze in italiano, e conferma

che la capacità di esplicitare l’apprendimento in matematica ha una forte componente di natura

testuale e comunicativa. A questo proposito, si rimanda al rapporto sulla prova di italiano in cui

sono descritti e analizzati gli indicatori individuati per la competenza testuale, tra i quali hanno

particolare importanza la coerenza e la coesione del testo.

Tavola 14: coefficienti di correlazione tra i fattori della competenza matematica e le competenze nell’uso della lingua italiana

Conoscenze specifiche Competenze

nell’applicare le procedure e i concetti acquisiti

Capacità logichee argomentative

Competenza testuale 0,326 0,312 0,335

Competenza grammaticale 0,185 0,150 0,178

Competenza lessicale – semantica 0,284 0,275 0,289

Competenza ideativa 0,223 0,218 0,235

Per quanto riguarda il peso che queste direzioni di valutazione hanno nella formulazione

del voto complessivo, il modello di regressione adottato indica che il fattore che ha maggior peso,

per i correttori, è quello relativo alle conoscenze specifiche, seguito dalla competenza nell’applicare

le procedure e i concetti acquisiti; un peso minore hanno, nel giudizio dei correttori, le capacità

logiche e argomentative (che sono peraltro quelle più difficili da rilevare in maniera

standardizzata). Il peso di questi fattori (rilevati dai correttori) è di molto inferiore sul voto

attribuito dalla commissione; anche in questo caso comunque il fattore che ha maggiore influenza

sulla valutazione è quello relativo alle conoscenze specifiche. Il grafico seguente riporta i

coefficienti di regressione.

34

Grafico 1: Coefficienti di regressione (modello 1 Tavola A22)

Peso dei fattori sul voto della commissione e sul voto medio di ricorrezione

0,240,22

0,34

0,65

0,58

0,28

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

Media conoscenze specifiche Media competenze nell'applicare leprocedure e i concetti acquisiti

Media capacità logiche e argomentative

Commissione Correttori

R2=0,33

R2=0,94

Le tre direzioni di valutazione individuate spiegano quasi completamente la variabilità del

voto complessivo attribuito dai correttori (R2 = 91,2 per i dati della prima correzione, R2= 91,8 per i

dati della seconda). Va osservato che la direzione lungo la quale i correttori hanno assegnato il

maggior numero di valutazioni insufficienti (≤ 5 su 10) è quella delle capacità logiche e

argomentative (oltre il 60 per cento), anche se poi hanno attribuito un peso minore ad essa; anche

lungo le altre direzioni le insufficienze hanno comunque superato il 50 per cento delle prove

ricorrette. Molto più contenuto, come si è detto, è il peso di queste valutazioni sul voto attribuito

dalle commissioni; la variabilità misurata da R2 è pari a 33,2.

Come per la prova di italiano, appare evidente che sono altri i fattori che determinano il

voto attribuito dalle commissioni. Se si introducono nel modello altre variabili, ad esempio

variabili geografiche e variabili relative al curricolo dello studente, ovviamente il peso delle tre

direzioni di valutazione sul voto espresso dai correttori cambia in misura minima. Va ricordato che

i correttori non avevano nessuna informazione sull’elaborato; al contrario per le commissioni

risultano determinanti le variabili relative alla carriera scolastica del candidato.

Questo fenomeno era già stato messo in luce dalla ricorrezione degli elaborati dell’esame di

Stato dell’a.s. 2006-2007, e non dipende dal fatto che il commissario di matematica era un docente

interno alla scuola (nel 2007 era esterno). In generale, a parità di punteggio attribuito dai correttori,

35

le commissioni hanno “premiato” gli studenti con un buon voto di matematica nel primo

quadrimestre e penalizzato quelli con un voto basso.

36

PARTE SECONDA

LA RIFLESSIONE SUI RISULTATI

a cura di GIORGIO BOLONDI

37

COSA EMERGE DALLA RICORREZIONE DELLE PROVE DI MATEMATICA DELL’ESAME DI STATO

La ricorrezione della prova scritta di matematica dell’esame di Stato dell’a.s. 2008-2009

conferma e rafforza due fatti che già erano stati messi in luce dalla ricorrezione della prova dell’a.s.

2006-2007:

- l’esistenza di un’ampia fascia di studenti, oltre la metà del totale, che non raggiunge un

livello di apprendimenti in matematica ritenuto sufficiente;

- la difficoltà delle commissioni nell’adottare un metodo omogeneo di valutazione e

attribuzione del voto.

Questi due fatti sono particolarmente significativi, in quanto la popolazione oggetto

dell’indagine è costituita dagli studenti dei Licei scientifici. Da un lato, quindi, si tratta di studenti

che hanno esplicitamente scelto una scuola con una forte presenza della matematica, mediamente

con un buon giudizio in uscita dalla scuola secondaria di primo grado, preparati al fatto di dover

sostenere una prova scritta di matematica: in una certa misura, i loro percorsi di insegnamento

dell’ultimo anno di Liceo sono stati costruiti sulle prove degli esami precedenti. Studenti, dunque,

che tra gli studenti italiani dovrebbero trovarsi nel segmento “alto” degli apprendimenti in

matematica, e che rientrano nel target dell’indagine internazionale TIMSS-Advanced (si tratta

dell’analisi internazionale che rileva la preparazione in matematica degli studenti che seguono

curricoli con forte presenza di contenuti matematici, e che permettono di proseguire gli studi in

facoltà in cui è presente la matematica). D’altro canto, trattandosi di una popolazione

relativamente omogenea (più di quanto non sia l’insieme di tutti gli studenti italiani), che viene

valutata in gran parte da docenti appartenenti allo stesso tipo di scuola, sarebbe plausibile

aspettarsi una prassi condivisa di attribuzione del voto, dal momento che quest’ultimo ha anche

un valore certificativo, in quanto determina direttamente il voto finale dell’esame di Stato .

Il presente contributo si articola dunque in due paragrafi:

- il paragrafo 1 analizza gli esiti delle prove in merito agli apprendimenti in matematica dei

ragazzi a conclusione del Liceo scientifico, collegandoli anche a quanto risulta dalle

valutazioni internazionali;

- il paragrafo 2 sviluppa alcune considerazioni sui problemi della valutazione di una prova

scritta di matematica, in particolare di una prova articolata come quella prevista dall’esame

di Stato.

38

COSA CI DICONO LE PROVE SUGLI APPRENDIMENTI DEI RAGAZZI

Va ricordato che ogni prova del campione è stata ricorretta e valutata da due correttori in

modo indipendente e senza avere nessuna informazione sul candidato. I correttori individuati

sono insegnanti in servizio, con esperienza come commissari negli esami di Stato, che hanno già

partecipato alla ricorrezione precedente, formati appositamente. Non si è trattato, dunque, di

“esperti” esterni alla scuola, ma docenti come quelli che avevano valutato le prove come

commissari, liberi però da tutti i condizionamenti e le influenze presenti in sede di esame - in

particolare, la consapevolezza che il voto attribuito entra direttamente, come addendo, nel voto

complessivo dell’esame di Stato. I correttori, pertanto, hanno avuto il compito di valutare le prove

il più possibile oggettivamente e analiticamente, utilizzando la maschera di correzione predisposta

dall’INVALSI in collaborazione con l’Unione Matematica Italiana.

In queste condizioni, era naturale aspettarsi, da parte dei correttori, valutazioni

sensibilmente più basse rispetto a quelle espresse dalle commissioni, e così è stato. Il dato più

evidente è comunque l’alto numero di prove valutate insufficienti. Il 54,5 per cento dei compiti è

stato giudicato insufficiente dai correttori, senza una significativa differenza tra maschi e femmine

(rispettivamente il 55,2 per cento e il 53,6 per cento). La percentuale di insufficienze attribuite dalle

commissioni è decisamente più bassa, meno della metà: il 24,4 per cento, anche qui con una

maggiore incidenza di insufficienze tra i maschi (26,5 per cento) rispetto alle femmine (22 per

cento). Entrambi i dati, peraltro, risultano migliori di quelli relativi alla ricorrezione della prova

dell’a.s. 2006-2007, in cui sono risultati rispettivamente del 62 per cento e del 45 per cento. Le

insufficienze attribuite dalle commissioni sono confermate, tranne rare eccezioni, da entrambi i

correttori.

Va notato che le insufficienze sono decisamente più numerose nei Licei di ordinamento

(60,6 per cento), rispetto ai Licei di indirizzo PNI (40,8 per cento) fenomeno che era già stato

rilevato nella ricorrezione precedente e che si rispecchia anche nelle valutazioni delle commissioni,

pur se in misura molto meno marcata (25,9 per cento contro il 21,5 per cento). I correttori hanno

quindi individuato carenze molto più frequenti nei ragazzi dei Licei di ordinamento, di quanto

non sia emerso dalle valutazioni delle commissioni.

Il dato su cui riflettere è che tali insufficienze sono generalmente globali, riguardano quindi

diverse componenti dell’apprendimento non riferendosi a nessuna specifica lacune. Questo riflette

peraltro il fatto che l’apprendimento in matematica è un processo unitario. La normativa prevede

che la prova scritta di matematica debba valutare il candidato lungo tre direzioni: le conoscenze

39

specifiche, le competenze nell’applicare le procedure e i concetti acquisiti e le capacità logiche e

argomentative. I correttori hanno valutato analiticamente queste tre direzioni, basandosi sulla

maschera di rilevamento predisposta in cui si cercava di “discretizzare” le risposte dei candidati. Il

dato significativo è che queste valutazioni sono fortemente correlate tra di loro - a conferma

dell’unitarietà di cui si parlava in precedenza- e che i ragazzi insufficienti ottengono, nella quasi

totalità, una valutazione insufficiente lungo tutte e tre le direzioni. Siamo quindi in presenza di

insufficienze generalizzate e sostanziali, che riguardano le conoscenze specifiche, i processi

caratteristici del pensiero matematici, e ovviamente, anche la capacità di applicare quanto appreso.

Da questo punto di vista, è abbastanza evidente che si tratta di una “insufficienza di

apprendimento” che si è stratificata e sedimentata, compattandosi, nel corso degli anni - un’analisi

più fine delle maschere rivela che le lacune non sono generalmente posizionate su particolari

segmenti del curricolo, ma sono “spalmate” lungo tutto il percorso scolastico, compreso il primo

ciclo.

Il dato che ci fornisce la rilevazione è quindi abbastanza preoccupante, soprattutto in

considerazione del fatto che questi ragazzi, studenti di Liceo scientifico, dovrebbero trovarsi in un

bacino privilegiato di provenienza per i futuri studenti di facoltà scientifiche, o comunque facoltà

in cui è presente la matematica. Sembra di poter dire che una percentuale molto alta di questi

ragazzi (almeno la metà) non ha gli strumenti necessari (conoscenze di base dei concetti e delle

tecniche, comprensione del significato di questi concetti e tecniche, capacità di utilizzare le

procedure fondamentali della matematica) per seguire con successo studi in cui la matematica

gioca un ruolo importante.

Va detto che i risultati dei correttori sono sostanzialmente coerenti con quanto emerge dalla

valutazione internazionale TIMSS-Advanced, dove solo il 41 per cento degli studenti italiani

raggiunge l’intermediate international benchmark (contro, ad esempio, il 95 per cento degli studenti

olandesi) - a TIMSS-Advanced partecipano anche studenti degli Istituti Tecnici Industriali - che

non fanno parte della popolazione di questa rilevazione – con un programma simile a quello dei

licei scientifici.

All’estremo opposto, secondo i correttori, solo 6,8 per cento degli studenti raggiunge una

valutazione alta (14 o 15), e ovviamente anche in questo caso la valutazione lungo le tre direzioni è

coerente e omogenea. Anche in questo dato troviamo corrispondenza con i risultati di TIMSS-

Advanced, dove gli studenti italiani che raggiungono l’advanced benchmark sono il 3 per cento.

40

Una questione molto discussa in sede internazionale è la relazione tra genere e risultati di

apprendimento in matematica. L’Italia risulta essere uno dei paesi con la minore differenza tra

maschi e femmine. In effetti, anche tra le eccellenze non emergono differenze significative di

genere, anche qui coerentemente con i risultati delle valutazioni internazionali.

Le valutazioni attribuite dai correttori mettono in luce alcune differenze geografiche. La

situazione appare molto più polarizzata al Nord rispetto alle altre aree geografiche. La percentuale

di insufficienze è più alta al Nord (58,1 per cento) rispetto al Centro (53,9 per cento) e al Sud (51

per cento). All’altro estremo, abbiamo sempre al Nord una percentuale di voti alti (14 e 15) il 9 per

cento circa, di poco inferiore al Sud (6,8 per cento), mentre questa valutazione non è stata attribuita

a nessun compito del campione proveniente dal Centro.

Riassumendo, la situazione che emerge dalle valutazioni dei correttori è quella di una

buona metà degli studenti che hanno difficoltà sostanziali in matematica, accumulate lungo tutto il

percorso scolastico, con punte maggiori al Nord, e una piccola frangia di studenti “di eccellenza”,

al Sud divisa tra i due tipi di Licei e al Nord concentrata nell'indirizzo PNI. La ricorrezione ha

fornito indicazioni interessanti anche riguardo alle convinzioni e agli atteggiamenti degli studenti.

Ricordiamo che gli studenti hanno dovuto scegliere un problema (tra due proposti) e 5 quesiti (tra

dieci proposti). La Tavola 15 (cfr. la Tavola 1 del rapporto) riporta le scelte degli studenti dei Licei

di ordinamento, con la percentuale di risposte corrette.

Il quesito n. 1 chiedeva di trovare una particolare primitiva della funzione senx; il n. 2

richiedeva (in un caso molto semplice) di conoscere e utilizzare il linguaggio di base delle funzioni

(va osservato che l’argomento non è presente in tutti i libri di testo); il n. 3 in una situazione

geometrica richiedeva la discussione di una equazione con parametro. Il n. 4 apriva un capitolo

molto ampio, non sempre svolto nella prassi scolastica, con implicazioni storiche e

multidisciplinari, di geometria dello spazio (i solidi platonici) e richiedeva genericamente una

argomentazione (che poteva essere molto stringata, se un ragazzo conosceva la classificazione); il

n. 5 era relativo alla padronanza del linguaggio simbolico mentre il n. 6 era il calcolo di un limite. Il

n. 7 richiedeva di verificare un’identità tra coefficienti binomiali, il n. 8, non elementare,

controllava la capacità di utilizzare strumenti del calcolo differenziale per studiare una equazione

e richiedeva una argomentazione, il n. 9 era sull’utilizzo del principio di Cavalieri mentre il n. 10,

molto semplice e standard, richiedeva di determinare il periodo di una funzione goniometrica.

Questa panoramica permette di vedere come gli argomenti fossero molto vari ed effettivamente il

tipo di lavoro richiesto agli studenti estremamente diversificato. Il quesito n. 10 poteva essere

41

risolto in una riga, il n. 9 permetteva una trattazione lunga, articolata, ricca di collegamenti. Di

conseguenza, le indicazioni fornite per la valutazione sono fortemente dipendenti dalle scelte

effettuate dagli studenti.

Tavola 15: scelte degli studenti e quote di risposte corrette ai quesiti della prova di matematica per gli studenti dei Licei di ordinamento

Quesito Ord. % scelte % risposte corrette

1 78,5 71,5

2 28,7 5,4

3 50,5 36,6

4 24,8 3,6

5 68,5 11,7

6 67,3 30,5

7 29,5 16,0

8 26,1 5,6

9 5,2 0

10 50,2 25,4

Come si evince dalla Tavola 15, il quesito scelto con la più alta percentuale di adesioni, è il

primo, facile e relativo a contenuti di base, presenti nei programmi e nei libri di testo. Tale quesito

non presentava difficoltà o sorprese di nessun tipo, ed è stato risolto correttamente da quasi tutti

gli studenti che lo hanno affrontato (oltre il 90 per cento). L’aspetto “familiare” ha attirato gli

studenti anche verso la domanda 6, un limite dall’aspetto standard. Nello svolgimento occorreva

però prestare attenzione l’attenzione al segno del denominatore e del numeratore, evitando

passaggi affrettati. In particolare, molti studenti esplicitamente utilizzano la relazione (errata se x è

negativo) xx =2 - “pagando” così in sede di esame una lacuna risalente agli anni precedenti. Si

può osservare a questo proposito che evidentemente non è l’esercizio ripetuto e martellante che da

solo porta gli studenti alla comprensione. Il calcolo con i radicali è presente nella nostra pratica

scolastica e nei nostri libri di testo, molto di più di quanto non lo sia in altri paesi (nella maggior

parte dei curricoli europei occupa un posto assolutamente marginale). Nonostante questo, oltre la

metà dei nostri studenti non padroneggia una proprietà fondamentale e assolutamente

preliminare a qualunque calcolo o applicazione come quella richiesta dal quesito n. 6.

Il quesito 5, con la sua scarsissima percentuale di successo, è esemplare della scarsa

capacità di scelta degli studenti, e al tempo stesso della indeterminatezza implicita di questo tipo

di domande. Per gli studenti del PNI la percentuale di riuscita è stata addirittura più bassa,

inferiore al 10 per cento. La domanda era abbastanza impegnativa, e richiedeva di motivare la

42

risposta. Pochissimi studenti, meno del 10 per cento del totale, sono stati in grado di giustificare

correttamente il fatto che a 0/0 e 1/0 non si può attribuire un valore numerico. Esemplari sono

state le bassissime percentuali di risposta ai quesiti 2, 4 e 8 e sconcertante il fatto che addirittura

nessuno studente del campione è stato in grado di rispondere al n. 9. Il quesito 10, pur essendo

molto semplice, è stato risolto solo dalla metà degli studenti che lo hanno scelto (un quarto del

totale). In definitiva, l’unica abilità che sembra essere posseduta in maniera adeguata dagli

studenti è quella indagata dal quesito n. 1 - abilità abitualmente addestrata in maniera meccanica.

Le scelte relative ai problemi danno indicazioni analoghe. Va osservato che il primo

problema proposto nel compito di ordinamento era più semplice, pur richiedendo alcuni calcoli

laboriosi, e conteneva risultati di controllo. Il secondo era sicuramente più impegnativo, i calcoli

erano più complessi e alcune richieste richiedevano conoscenze (ad esempio l’integrazione per

parti) non presenti nei programmi ufficialmente in vigore ma di fatto generalmente presenti nella

pratica scolastica.

Come era abbastanza prevedibile, la maggioranza degli studenti ha scelto il primo

problema, con risultati peraltro molto deludenti. Secondo il parere dei correttori, ad ogni domanda

ha saputo rispondere meno della metà dei ragazzi che l’hanno affrontata. Coerentemente con le

evidenze dei quesiti, una percentuale irrisoria dei candidati ha saputo rispondere all’ultima

domanda, riguardante il calcolo di un volume. Anche in questo caso, l’unica domanda su cui gli

studenti sembrano muoversi agevolmente è la seconda del secondo problema, che era

indipendente dalla prima e richiedeva sostanzialmente solo un calcolo.

Tavola 16: scelte degli studenti e quote di risposte corrette i Problemi della prova di matematica per gli studenti dei Licei di ordinamento

Prob. 1 Ord.

% scelte

% risposte corrette

Dom. 1 54,1 24,0

Dom. 2 50,0 17,3

Dom. 3 41,1 18,1

Dom. 4 21,6 5,8

Prob. 2 Ord.

Dom. 1 17,3 4,3

Dom. 2 12,8 10,5

Dom. 3 16,7 8,2

Dom. 4 11,1 2,6

43

Gli studenti dei corsi a indirizzo PNI sembrano avere maggiore consapevolezza delle

proprie conoscenze e capacità, con percentuali di risposta più alte. Anche per compiti PNI i quesiti

proposti dal ministero coprivano un panorama ampio di contenuti e richiedevano, di caso in caso,

competenze e abilità diverse e di impegno differente. Il quesito n. 1 è stato impegnativo e

riguardava il calcolo di un integrale. Gli studenti che hanno affrontato tale quesito, lo hanno

generalmente risolto in modo corretto. Il n. 3 è stato un quesito di probabilità che si riconduceva

immediatamente a un problema di geometria; anche in questo caso è stato risolto correttamente da

una percentuale molto alta di studenti. Il quesito 6, che ha suscitato un certo dibattito tra gli

insegnanti, richiedeva di applicare il procedimento iterativo di Newton a una equazione

goniometrica elementare; non ha riscosso grande successo (è stato scelto da meno del 10 per cento

di candidati), ma è stato risolto correttamente da quasi tutti. Il quesito 8 riguardava un problema

di medie aritmetiche, semplice e standard; non ha presentato difficoltà. Il quesito 10 apriva le porte

al mondo delle geometrie non euclidee con tutte le implicazioni e ramificazioni della questione.

Certamente non è facile individuare con precisione quale risposta deve essere data a una domanda

del genere (può essere narrativa, o tecnica, o storico-descrittiva). Pur essendo stato scelto da due

studenti su cinque, la percentuale di risposte classificate corrette dai correttori è stata molto bassa

(poco più del 10 per cento).

Tavola 16: scelte degli studenti e quote di risposte corrette ai quesiti della prova di matematica per gli

studenti dei Licei PNI

Quesito PNI % scelte % risposte corrette

1 31,7 27,8

2 38,9 20,1

3 22,9 15,5

4 41,3 18,2

5 69,3 5,5

6 9,8 8,8

7 54,4 48,4

8 56,4 44,4

9 13,9 8,5

10 41,7 4,4

Il confronto tra studenti di ordinamento e studenti PNI sui quesiti comuni conferma quanto

detto. Ad eccezione del quesito n. 5, le percentuali di risposte corrette da parte degli studenti PNI

sono molto più alte. Va sottolineato come la padronanza del linguaggio astratto delle funzioni

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(quesito n. 2) sia decisamente più solida negli studenti PNI, così come le abilità relative a

simbolismo del calcolo combinatorio (quesito n. 7) e, in misura minore, la capacità di ragionare

sulle medie aritmetiche.

Tavola 17: scelte degli studenti e quote di risposte corrette ai quesiti della prova di matematica in comune per gli studenti dei Licei di ordinamento e Liceo PNI Quesiti in comune PNI

e Ord

% scelte % risposte

corrette

% scelte % risposte

corrette

2 28,7 5,4 38,9 20,1

4 24,8 3,6 41,3 18,2

5 68,5 11,7 69,3 5,5

7 29,5 16,0 54,4 48,4

9 5,2 0,0 13,9 8,5

Anche i problemi del compito PNI erano diversi come impostazione: il secondo problema proposto

era abbastanza standard, mentre il primo presentava un aspetto non particolarmente familiare,

coinvolgendo una famiglia (discreta) di funzioni. Va osservato che è risultato fattibile, perché in

generale gli studenti che lo hanno affrontato sono riusciti a rispondere alle domande che peraltro

richiedevano poche argomentazioni. Complessivamente, è risultata minore la percentuale di

studenti che non affrontano né il primo né il secondo problema (erano circa il 30 per cento tra gli

studenti di ordinamento, sono circa il 20 per cento tra gli studenti PNI). Il secondo problema,

evidentemente scelto dagli studenti più deboli, presenta situazioni di criticità. Ad eccezione della

domanda 3, che richiedeva un calcolo del tutto standard e familiare, gli studenti in generale non

hanno risposto in maniera soddisfacente. Va sottolineato lo scarso risultato della domanda 1: si

trattava di descrivere una famiglia di funzioni cubiche, dipendente da un parametro,

assolutamente elementare. Il lavoro richiesto era però anche di tipo qualitativo; i ragazzi riescono a

muoversi abbastanza agevolmente tra i calcoli, ma fanno fatica a gestire situazioni di tipo

dinamico, o comunque a controllare anche visivamente il comportamento di famiglie di oggetti.

Dal punto di vista della pratica didattica, un uso più diffuso e oculato degli strumenti di calcolo e

dei software specifici potrebbe aiutare a attenuare questo tipo di difficoltà.

Tavola 18: scelte degli studenti e quote di risposte corrette i Problemi della prova di matematica per gli studenti dei Licei PNI

Prob. 1 PNI % scelte % risposte corrette

Dom. 1 16,6 15,4

Dom. 2 12,4 8,7

Dom. 3 16,6 15,4

Dom. 4 15,6 14,9

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Prob. 2 PNI

Dom. 1 64,9 28,4

Dom. 2 62,0 24,2

Dom. 3 57,9 45,7

Dom. 4 43,4 7,2

Si nota una evidente corrispondenza tra questi risultati e quelli che i nostri ragazzi ottengono nella

valutazione internazionale OCSE-PISA, che coinvolge i quindicenni. Anche in quel caso i ragazzi

affrontano con una certa padronanza i compiti in cui è richiesto di applicare in modo meccanico

procedure o abilità apprese nel corso degli studi, mentre sono decisamente in difficoltà quando

devono argomentare o giustificare le proprie affermazioni. Inoltre, riescono a utilizzare (spesso

acriticamente) modelli preconfezionati, mentre nella maggior parte dei casi, riescono a fatica a

partire da una situazione e ricavarne un adeguata modellizzazione.

COSA CI DICONO LE PROVE SULLE MODALITÀ DI VALUTAZIONE

L’esame delle correlazioni tra i voti assegnati dai correttori, la valutazione espressa lungo le

tre direzioni e i voti assegnati dalle commissioni, mostra come sia delicato individuare dei criteri

condivisi e oggettivi per la determinazione del voto. Di fatto, nel giudizio dei correttori, le tre

direzioni di valutazione sono fortemente correlate tra di loro, e tra di esse quella che pesa

maggiormente nella determinazione del voto è quella relativa alle conoscenze specifiche. Tale

orientamento non deve sorprendere, anche perché le conoscenze si riferiscono agli apprendimenti

più facilmente rilevabili, soprattutto con una struttura di compito come quella presente. I quesiti

che direttamente richiedevano argomentazioni o giustificazioni erano in misura relativamente

minore, ma comunque presenti; d’altra parte, la capacità di argomentare e giustificare le proprie

affermazioni dovrebbe essere trasversale ed emergere in tutti i prodotti dei ragazzi. Questo fa sì

che sia più difficile indicare esplicitamente indicatori di queste capacità, e di fatto la valutazione di

esse è lasciata sostanzialmente al criterio delle commissioni. Le tre direzioni di valutazione hanno

nel complesso un peso di gran lunga inferiore nella determinazione del voto delle commissioni:

come per la prova di italiano, sono altri i fattori determinanti. Il peso dei fattori “di contorno” è

evidentemente estremamente maggiore al Sud che al Nord (soprattutto nell’individuazione della

fascia di eccellenza), ma mostra in generale come le commissioni procedano (probabilmente non

consapevolmente) a una “interpretazione” degli elaborati basata sugli elementi di conoscenza dei

ragazzi e delle loro storie.

46

Acquistano spessore, pertanto, le osservazioni più volte espresse da diverse associazioni di

insegnanti sulla necessità di una maggiore definizione di cosa ogni domanda e ogni quesito vuole

valutare, e dell’esigenza di chiarire il senso (e i limiti) della possibilità di scelta lasciata ai ragazzi.

La prova di matematica dell’esame di Stato del 2008-2009 appare adeguata a valutare i ragazzi

secondo quanto richiesto dalla normativa, ben articolata e costruita, ma resta il problema di

indicare alle commissioni come determinare, a partire dalle conoscenze specifiche, dalla

competenza nell’applicare procedure e concetti, e dalle capacità logiche e argomentative rilevate, il

voto finale. I nostri correttori hanno individuato in maniera coerente una soglia per la sufficienza,

correlata ai tre indicatori; le commissioni hanno invece mostrato una grande variabilità,

influenzata dai fattori di contorno. Soprattutto nei quesiti “aperti” (come il 5, comune ai due

compiti, o il 10 del PNI) è molto difficile indicare quando sono da considerarsi completamente

risolti. I correttori sono stati aiutati dall’uso della maschera di ricorrezione, che permetteva di

analizzare più in dettaglio le risposte.

Rispetto alla ricorrezione precedente va valutato positivamente il fatto che si sia

decisamente ridimensionato il fenomeno dei compiti con risposte sovrabbondanti (più quesiti e

talvolta più problemi di quanto richiesto). Questo rimuove una delle possibili cause di arbitrarietà

nelle valutazioni delle commissioni.

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PARTE TERZA

I MATERIALI

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I materiali per la ricorrezione comprendono le istruzioni per i correttori, i testi delle prove

proposti dal ministero e le maschere per la ricorrezione. Non vengono allegati il testo e la

maschera per i Licei sperimentali non PNI, perché la prova era assemblata con i problemi della

prova di ordinamento e i quesiti della prova PNI.

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Istruzioni per i correttori

Assegnazione del voto

Ad ogni elaborato deve essere assegnato un voto da 0 a 15 (senza decimali). Se la correzione

non può essere fatta (ad esempio perché la scansione non risulta leggibile, o la commissione ha

inviato un elaborato palesemente incompleto, o si sono mescolati fogli di elaborati diversi) bisogna

barrare la casella apposita.

Il correttore è libero di scegliere per i compiti che gli sono stati assegnati il criterio di

valutazione che ritiene più opportuno: raccomandiamo di utilizzare il criterio che ha utilizzato (o

avrebbe utilizzato) in sede di commissione.

Alla fine del lavoro il correttore è invitato a inviare assieme alle maschere di ricorrezione

un file denominato “XX-Criteri” (dove XX è il codice che gli è stato assegnato) per esplicitare, se lo

desidera, i criteri seguiti e produrre eventualmente la propria griglia di valutazione. In un altro

file, denominato “XX-Note”, il correttore è invitato a riportare i propri commenti sui casi di

particolare dubbio, i propri suggerimenti per la fase di elaborazione dei dati e quant’altro ritenga

opportuno e utile segnalare al gruppo di lavoro.

Il voto deve essere assegnato correggendo solamente 1 problema e 5 quesiti, anche

qualora il candidato ne avesse presentati di più. La scelta di quali quesiti e quale problema

correggere, in tale caso, è lasciata al correttore. Anche in questo caso il correttore è invitato a

utilizzare gli stessi criteri di scelta che avrebbe seguito in sede di commissione, ed eventualmente

esplicitare tali criteri nel file “XX-Criteri” che invierà alla fine del lavoro.

Scelta dei quesiti

Per ogni elaborato il correttore deve indicare quale problema e quali quesiti ha preso in

considerazione e corretto. Per questi (e solo per questi) deve poi riempire la maschera di

inserimento dati.

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Deve inoltre indicare (ma non correggere, e non considerare ai fini della assegnazione del

voto) se il candidato ha presentato la soluzione anche dell’altro problema, o di sue parti, e di altri

quesiti, e quali- naturalmente tralasciando semplici abbozzi di soluzione o quesiti cancellati.

Per ogni domanda dei problemi e per ogni quesito sono quindi presenti 3 caselle:

1-1-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato

1-1-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore

1-1-ok) La risposta al quesito è completa e corretta

La terza va eventualmente barrata solo se è stata barrata la seconda

Maschera di correzione

La maschera di correzione è un tentativo di discretizzazione del lavoro compiuto dal

candidato. Per ogni voce il correttore deve indicare se, a suo giudizio, il candidato ha fatto o non

ha fatto quanto indicato.

Va sottolineato che alcune di queste voci sono in alternativa tra di loro (ad esempio quando

si chiede se ha risolto per via geometrica o per via analitica un determinato problema). Altre voci

chiedono se il ragazzo ha fatto qualcosa che non era strettamente necessario ai fini della risposta

(un grafico, un esempio…). È chiaro quindi che la mancata risposta a una di queste richieste non

deve essere interpretata negativamente ai fini della valutazione. Alcune voci, infine, possono

cercare di individuare eventuali errori tipici, scelte sbagliate o altro da parte del candidato.

È inevitabile che in molti casi sarà difficile dare una risposta netta: sta al giudizio e

all’esperienza del correttore decidere cosa marcare, tenendo presente che questa maschera non

serve a valutare, ma a fotografare, in maniera peraltro molto schematica.

In generale, “correttamente” va inteso come “corretto sostanzialmente”: non si dovrebbe

dare troppo peso a errori di calcolo dovuti palesemente a distrazione, fretta o lettura del testo, così

come non è il caso di esigere un formalismo fine a se stesso. D’altra parte, la “correttezza

sostanziale” si riferisce sia alla correttezza nei calcoli, sia alla correttezza formale, a quella delle

argomentazioni, all’uso dei simboli e delle rappresentazioni grafiche.

51

Per quanto riguarda gli “errori a cascata”- ad esempio quando un candidato sbaglia un

calcolo e questo lo porta ovviamente a un errore nel calcolo successivo, l’indicazione è di guardare

alla coerenza.

La normativa stabilisce che “con riferimento alla matematica studiata nell’intero corso di studi, la

prova scritta è intesa ad accertare le conoscenze specifiche, le competenze nell’applicare le procedure e i

concetti acquisiti , le capacità logiche e argomentative”. Viene richiesta al correttore una valutazione

sintetica (espressa numericamente con un voto da 1 a 10) di questi elementi.

Alla fine della maschera di correzione si chiede se nell’elaborato sono presenti errori

nell’uso della lingua italiana (grammaticali, sintattici, lessicali)..

File di inserimento dati

I correttori riceveranno 3 files.xls: uno per l’inserimento dei dati relativi ai compiti di

ordinamento, uno per i compiti PNI; uno per i compiti a indirizzo sperimentale non PNI; per

questi ultimi il compito prevedeva i problemi del compito di ordinamento e i quesiti del compito

PNI.

I quesiti 2,4,5,7 e 9 erano comuni a tutti i compiti. Il tipo di compito non è codificato sulla

copia dell’elaborato, per cui sta al correttore individuare a quale tipologia appartiene ogni

elaborato e inserire le risposte nel relativo file (qualora questo non fosse possibile, si prega di

segnalarlo nelle note).

Nella colonna Compito va inserito il codice assegnato all’elaborato; nella colonna Correttore

il proprio codice correttore e nella colonna Valutazione la valutazione attribuita all’elaborato,

espressa con un voto da 0 a 15, senza decimali.

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Licei di ordinamento

Compito Inserire il codice assegnato all’elaborato Correttore Inserire il proprio codice correttore Valutazione Inserire la valutazione attribuita all’elaborato, espressa con un punteggio da 0 a 15. 0-a) Non è stato possibile correggere il compito perché illeggibile o incompleto Problema 1 1) 1-1-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato 1-1-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore 1-1-ok) La risposta al quesito è completa e corretta 1-1-a) riconosce che l’area della regione tra l’arco e la corda si può pensare come differenza tra l’area del settore e l’area del triangolo 1-1-b) dà una giustificazione della formula utilizzata per trovare l’area del triangolo 1-1-c) dà una giustificazione della formula utilizzata per trovare l’area del settore circolare 1-1-d) discute la validità dell’espressione S(x) per l’area nel caso x > π 2) 1-2-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato 1-2-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore 1-2-ok) La risposta al quesito è completa e corretta 1-2-a) osserva che S(x) è non negativa 1-2-b) studia la derivata prima di S(x) deducendo zeri e segno 1-2-c) studia la derivata seconda di S(x) individuando il punto di flesso 1-2-d) traccia il grafico di S(x) con sufficiente precisione 1-2-e) traccia il grafico di S(x) in modo accurato (ad esempio indicando la pendenza nel punto di flesso e sui bordi dell’intervallo, …) 1-2-f) studia S(x) per via grafica, partendo unicamente dai due grafici delle funzioni elementari x e sin x 3) 1-3-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato 1-3-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore 1-3-ok) La risposta al quesito è completa e corretta 1-3-a) esprime la lunghezza dell’arco in funzione del raggio e dell’ampiezza x del settore 1-3-b) trova un’espressione del perimetro in funzione del raggio incognito

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1-3-c) esplicita le condizioni sulla variabile r 1-3-d) attraverso la derivata prima determina il punto stazionario della funzione 1-3-e) verifica che tale punto è effettivamente un punto di minimo 1-3-f) calcola l’ampiezza in radianti del settore corrispondente 1-3-g) esprime il valore dell’angolo approssimato in gradi sessagesimali 4) 1-4-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato 1-4-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore 1-4-ok) La risposta al quesito è completa e corretta 1-4-a) Mostra di aver identificato il solido di cui si richiede il volume, con una descrizione verbale adeguata e/o un disegno 1-4-b) scrive correttamente una formula che esprime il volume del solido utilizzando integrali dell’area delle sezioni 1-4-c) calcola il volume del solido 1-4-d) riconosce che W è l’unione di due solidi di cui uno è una piramide e di essa calcola il volume in modo elementare Problema 2 1) 2-1-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato 2-1-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore 2-1-ok) La risposta al quesito è completa e corretta 2-1-a) identifica nel piano cartesiano il segmento AB 2-1-b) scrive l’equazione della generica retta tangente richiesta 2-1-c) determina le coordinate dei punti A e B 2-1-d) prova che la lunghezza di AB è costante 2-1-e) generalizza il risultato e lo giustifica nel caso a > 1 2-1-f) generalizza il risultato e lo giustifica nel caso 0 < a <1 2-1-g) risolve il quesito senza determinare le coordinate di A e B, osservando che il rapporto tra AB e PB è uguale alla derivata 2) 2-2-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato 2-2-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore 2-2-ok) La risposta al quesito è completa e corretta 2-2-a) sa che la derivata della funzione g(x) nel punto dato è uguale alla tangente goniometrica dell’angolo δ 2-2-b) calcola il valore della base nel caso δ = 45° 2-2-c) calcola il valore della base nel caso δ = 135° 3) 2-3-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato 2-3-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore 2-3-ok) La risposta al quesito è completa e corretta 2-3-a) individua la regione di cui è richiesta l’area 2-3-b) esprime l’area della regione per mezzo di un integrale 2-3-c) scrive una primitiva della funzione logaritmo

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2-3-d) calcola l’area 4) 2-4-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato 2-4-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore 2-4-ok) La risposta al quesito è completa e corretta 2-4-a) individua il solido di cui è richiesto il volume 2-4-b) esprime con un integrale il volume di un solido di rotazione attorno all’asse y 2-4-c) sa gestire la formula nel caso della rotazione attorno alla retta x = -1 2-4-d) calcola il volume Quesiti 1) Q1-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato Q1-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore Q1-ok) La risposta al quesito è completa e corretta Q1-a) comprende di dover determinare una primitiva della funzione sin x Q1-b) sa che una primitiva è determinata a meno di una costante Q1-c) trova la costante di integrazione algebricamente Q1-d) trova la costante di integrazione graficamente, per mezzo di una traslazione 2) Q2-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato Q2-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore Q2-ok) La risposta al quesito è completa e corretta Q2-a) mostra di conoscere il significato del termine suriettiva Q2-b) mostra di conoscere il significato del termine iniettiva Q2-c) mostra di conoscere il significato del termine biiettiva Q2-d) fornisce un esempio di funzione suriettiva Q2-e) giustifica il fatto che non vi possono essere funzioni iniettive Q2-f) giustifica il fatto che non vi possono essere funzioni biiettive 3) Q3-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato Q3-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore Q3-ok) La risposta al quesito è completa e corretta Q3-a) traduce la condizione geometrica in una condizione sulla derivata Q3-b) calcola la derivata della funzione polinomiale Q3-c) trova i valori di k con considerazioni sul discriminante di un’equazione di secondo grado Q3-d) trova i valori di k utilizzando altre strategie 4) Q4-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato Q4-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore Q4-ok) La risposta al quesito è completa e corretta Q4-a) mostra di sapere cos’è un poliedro regolare Q4-b) sa che esistono solo 5 poliedri regolari e che nessuno di essi ha facce esagonali, deducendone che l’affermazione è falsa Q4-c) giustifica la risposta ripercorrendo, anche a grandi linee, la dimostrazione del fatto che esistono solo 5 poliedri regolari

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5) Q5-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato Q5-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore Q5-ok) La risposta al quesito è completa e corretta Q5-a) identifica l’espressione a cui è possibile attribuire un valore numerico, motivando la risposta Q5-b) giustifica correttamente il fatto che a 0/0 e 1/0 non si può attribuire valore numerico Q5-c) fornisce una giustificazione del fatto che l’espressione 00 non è definita 6) Q6-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato Q6-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore Q6-ok) La risposta al quesito è completa e corretta Q6-a) comprende che numeratore e denominatore sono infiniti dello stesso ordine

Q6-b) con considerazioni che coinvolgono la relazione errata xx =2 , conclude che il limite è 1

Q6-c) calcola il limite con considerazioni che coinvolgono la relazione xx −=2 Q6-d) prova a calcolare il limite utilizzando il teorema di de l’Hopital 7) Q7-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato Q7-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore Q7-ok) La risposta al quesito è completa e corretta Q7-a) si limita a verificare l’uguaglianza per valori particolari di n e k Q7-b) riscrive l’identità esprimendo i coefficienti binomiali come rapporto di fattoriali Q7-c) sa operare con il fattoriale (ad esempio k! (k+1) = (k+1)!, …) Q7-d) manipola le espressioni mostrando di comprendere che l’obiettivo è dimostrare un’identità Q7-e) dimostra l’identità

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Finalità della prova F1) Valutazione sintetica delle conoscenze specifiche dimostrate dal candidato (da 1a 10) F2) Valutazione sintetica delle competenze nell’applicare le procedure e i concetti acquisiti dimostrate dal candidato (da 1 a 10) F3) Valutazione sintetica delle capacità logiche e argomentative dimostrate dal candidato (da 1 a 10) Uso della lingua italiana L1) Sono presenti errori nell’uso della lingua italiana

8) Q8-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato Q8-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore Q8-ok) La risposta al quesito è completa e corretta Q8-a) individua l’esistenza della radice tracciando opportuni grafici Q8-b) prova l’esistenza della radice applicando il teorema degli zeri o comunque prendendo in considerazione la continuità della funzione Q8-c) prova l’unicità utilizzando la derivata Q8-d) giustifica l’unicità senza ricorrere alla derivata 9) Q9-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato Q9-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore Q9-ok) La risposta al quesito è completa e corretta Q9-a) mostra di conoscere il principio di Cavalieri Q9-b) identifica le sezioni del cono e della scodella a cui applicare il principio Q9-c) calcola le aree delle sezioni e ne verifica l’uguaglianza 10) Q10-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato Q10-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore Q10-ok) La risposta al quesito è completa e corretta Q10-a) scrive cosa significa periodo di una funzione, anche in modo intuitivo Q10-b) conosce la relazione tra il periodo della funzione f(x)= cos kx e il coefficiente k e ne deduce il periodo di f Q10-c) giustifica rigorosamente la risposta partendo dalla definizione di periodo Q10-d) giustifica la risposta in altro modo Q10-e) si limita a tracciare il grafico della funzione data

61

Licei PNI

Compito Inserire il codice assegnato all’elaborato Correttore Inserire il proprio codice correttore Valutazione Inserire la valutazione attribuita all’elaborato, espressa con un punteggio da 0 a 15. 0-a) Non è stato possibile correggere il compito perché illeggibile o incompleto Problema 1 1) 1-1-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato 1-1-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore 1-1-ok) La risposta al quesito è completa e corretta 1-1-a) calcola la derivata e verifica l’uguaglianza solo per particolari valori di n 1-1-b) sa operare con il fattoriale (ad esempio n! / n = (n-1)! ) 1-1-c) calcola la derivata nel caso generale 1-1-d) verifica l’uguaglianza nel caso generale 2) 1--es) Il quesito è stato affrontato dal candidato 1-2-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore 1-2-ok) La risposta al quesito è completa e corretta 1-2-a) risponde solo per particolari valori di n 1-2-b) mostra che per ogni n vi è il punto stazionario 0, ma non lo classifica 1-2-c) mostra che per n dispari la funzione ammette massimo 1-2-d) mostra che per n pari non vi sono estremi 1-2-e) prova che per n dispari vale la condizione f(x) <= 1 3) 1-3-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato 1-3-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore 1-3-ok) La risposta al quesito è completa e corretta 1-3-a) mostra che la funzione è positiva 1-3-b) calcola i limiti all’infinito 1-3-c) studia la derivata prima di g 1-3-d) studia la derivata seconda di g, individuando i punti di flesso 1-3-e) traccia il grafico di g con sufficiente precisione 1-3-f) traccia il grafico di g in modo accurato 4)

62

1-4-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato 1-4-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore 1-4-ok) La risposta al quesito è completa e corretta 1-4-a) conosce il metodo di integrazione per parti 1-4-b) determina una primitiva della funzione g 1-4-c) calcola l’integrale richiesto 1-4-d) interpreta l’integrale come area del sottografico

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Problema 2 1) 2-1-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato 2-1-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore 2-1-ok) La risposta al quesito è completa e corretta 2-1-a) traccia il grafico di f nel caso k=0 2-1-b) discute gli altri due casi limitandosi a fornire esempi per particolari valori del parametro 2-1-c) studia zeri e segno della funzione 2-1-d) determina gli intervalli di crescenza (decrescenza) della funzione 2-1-e) rappresenta qualitativamente i grafici di f nei vari casi 2-1-f) nel caso k < 0 scrive in funzione di k le coordinate dei punti significativi del grafico (zeri, estremi) e li rappresenta accuratamente 2) 2-2-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato 2-2-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore 2-2-ok) La risposta al quesito è completa e corretta 2-2-a) mostra l’esistenza e unicità della soluzione solo con considerazioni grafiche o algebriche 2-2-b) prova l’esistenza con considerazioni sulla continuità, ad esempio utilizzando il teorema degli zeri 2-2-c) prova l’unicità, ad esempio utilizzando la derivata 2-2-d) utilizza il metodo di bisezione 2-2-e) utilizza un altro metodo iterativo 2-2-f) trova un’approssimazione dell’ascissa di P 2-2-g) determina l’approssimazione con la precisione richiesta 3) 2-3-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato 2-3-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore 2-3-ok) La risposta al quesito è completa e corretta 2-3-a) scrive l’espressione dell’inversa di g 2-3-b) individua graficamente la regione D 2-3-c) scrive una formula per l’area come integrale della differenza di g-1 e g 2-3-d) calcola l’area richiesta 2-3-e) calcola l’area richiesta senza utilizzare l’espressione dell’inversa, basandosi sulla simmetria dei grafici di g e g-1

4) 2-4-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato 2-4-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore 2-4-ok) La risposta al quesito è completa e corretta 2-4-a) individua graficamente il solido W 2-4-b) calcola il volume di W 2-4-c) individua una strategia per determinare la sezione di area massima 2-4-d) calcola l’area di tale sezione

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Quesiti 1) Q1-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato Q1-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore Q1-ok) La risposta al quesito è completa e corretta Q2-a) verifica l’uguaglianza, calcolando le primitive di x-a e –x+a ed utilizzando l’additività dell’integrale Q2-b) verifica l’uguaglianza interpretando l’integrale come area di due triangoli 2) Q2-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato Q2-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore Q2-ok) La risposta al quesito è completa e corretta Q2-a) mostra di conoscere il significato del termine suriettiva Q2-b) mostra di conoscere il significato del termine iniettiva Q2-c) mostra di conoscere il significato del termine biiettiva Q2-d) fornisce un esempio di funzione suriettiva Q2-e) giustifica il fatto che non vi possono essere funzioni iniettive Q2-f) giustifica il fatto che non vi possono essere funzioni biiettive 3) Q3-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato Q3-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore Q3-ok) La risposta al quesito è completa e corretta Q3-a) comprende che l’evento si verifica se il centro della moneta si trova all’interno di un opportuno quadrato Q3-b) scrive una formula per il valore della probabilità Q3-c) calcola il valore della probabilità 4) Q4-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato Q4-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore Q4-ok) La risposta al quesito è completa e corretta Q4-a) mostra di sapere cos’è un poliedro regolare Q4-b) sa che esistono solo 5 poliedri regolari e che nessuno di essi ha facce esagonali, deducendone che l’affermazione è falsa Q4-c) giustifica la risposta ripercorrendo, anche a grandi linee, la dimostrazione del fatto che esistono solo 5 poliedri regolari 5) Q5-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato Q5-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore Q5-ok) La risposta al quesito è completa e corretta Q5-a) identifica l’espressione a cui è possibile attribuire un valore numerico, motivando la risposta Q5-b) giustifica correttamente il fatto che a 0/0 e 1/0 non si può attribuire valore numerico Q5-c) fornisce una giustificazione del fatto che l’espressione 00 non è definita

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6) Q6-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato Q6-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore Q6-ok) La risposta al quesito è completa e corretta Q6-a) conosce la formula che fornisce ogni elemento della successione approssimante in funzione del termine precedente Q6-b) effettua le due iterazioni richieste Q6-c) riconosce una stima del numero π Q6-d) fornisce anche una giustificazione grafica del procedimento di Newton 7) Q7-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato Q7-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore Q7-ok) La risposta al quesito è completa e corretta Q7-a) si limita a verificare l’uguaglianza per valori particolari di n e k Q7-b) riscrive l’identità esprimendo i coefficienti binomiali come rapporto di fattoriali Q7-c) sa operare con il fattoriale (ad esempio k! (k+1) = (k+1)!, …) Q7-d) manipola le espressioni mostrando di comprendere che l’obiettivo è dimostrare un’identità Q7-e) dimostra l’identità 8) Q8-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato Q8-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore Q8-ok) La risposta al quesito è completa e corretta Q8-a) scrive una relazione tra il numero di uomini e il numero di donne e le età medie Q8-b) ricava un’equazione che ha come incognita il rapporto richiesto Q8-c) determina il rapporto richiesto Q8-d) mostra di saper manipolare consapevolmente espressioni algebriche in vista di un obiettivo (ad esempio non ripetendo passaggi equivalenti o eseguendo calcoli corretti ma inutili, scegliendo una strategia “ottimale”, …) 9) Q9-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato Q9-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore Q9-ok) La risposta al quesito è completa e corretta Q9-a) mostra di conoscere il principio di Cavalieri Q9-b) identifica le sezioni del cono e della scodella a cui applicare il principio Q9-c) calcola le aree delle sezioni e ne verifica l’uguaglianza 10) Q10-es) Il quesito è stato affrontato dal candidato Q10-corr) Il quesito è stato corretto dal correttore Q10-ok) La risposta al quesito è completa e corretta Q10-a) riconosce che la proposizione in esame è una formulazione del postulato delle parallele Q10-b) sa che la proposizione è indipendente dagli altri postulati di Euclide e che storicamente si è cercato per lungo tempo di dimostrarla Q10-c) mostra di conoscere la differenza tra postulato e teorema Q10-d) collega la questione alla nascita delle geometrie non euclidee

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Finalità della prova F1) Valutazione sintetica delle conoscenze specifiche dimostrate dal candidato (da 1a 10) F2) Valutazione sintetica delle competenze nell’applicare le procedure e i concetti acquisiti dimostrate dal candidato (da 1 a 10) F3) Valutazione sintetica delle capacità logiche e argomentative dimostrate dal candidato (da 1 a 10) Uso della lingua italiana L1) Sono presenti errori nell’uso della lingua italiana

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APPENDICE STATISTICA

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INDICE DELLE TAVOLE

Tavola A1 - Distribuzione del Genere rispetto al Punteggio attribuito dai ricorrettori

Tavola A2 - Distribuzione del Punteggio attribuito dai ricorrettori rispetto al Genere

Tavola A3 - Distribuzione del Genere rispetto al Punteggio attribuito dalla commissione

Tavola A4 - Distribuzione del Punteggio attribuito dalla Commissione rispetto al Genere

Tavola A5 - Distribuzione dell’Area Geografica rispetto al Punteggio attribuito dai ricorrettori

Tavola A6 - Distribuzione del Punteggio attribuito dai ricorrettori rispetto all’Area Geografica

Tavola A7 - Distribuzione del Punteggio attribuito dalla commissione rispetto all’Area Geografica

Tavola A8 - Distribuzione dell’Indirizzo di studio rispetto al Punteggio attribuito dai ricorrettori

Tavola A9 - Distribuzione del Punteggio attribuito dai ricorrettori rispetto all’Indirizzo di studio

Tavola A10 - Distribuzione dell’Indirizzo di studio rispetto al Punteggio attribuito dalla commissione

Tavola A11 - Distribuzione del Punteggio attribuito dalla commissione rispetto all’Indirizzo di studio

Tavola A12 - Distribuzione dell’Indicatore della posizione dello studente rispetto all’anno di corso verso il Punteggio attribuito dai ricorrettori

Tavola A13- Distribuzione del Punteggio attribuito dai ricorrettori rispetto all’’Indicatore della posizione dello studente rispetto all’anno di corso

Tavola A14 - Distribuzione dell’Indicatore della posizione dello studente rispetto all’anno di corso verso il Punteggio attribuito dalla commissione

Tavola A15 - Distribuzione del Punteggio attribuito dalla commissione rispetto all’Indicatore della posizione dello studente rispetto all’anno di corso

Tavola A16 - Distribuzione dell’Indicatore della posizione dello studente rispetto all’anno di corso verso il Punteggio medio attribuito dai ricorrettori al Fattore 1


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Tavola A19 - Distribuzione del Punteggio medio attribuito dai ricorrettori al Fattore 1 verso l’Indicatore della posizione dello studente rispetto all’anno di corso



Tavola A22 - coefficienti di regressione ed errori standard (in parentesi)

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Tavola A1 - Distribuzione del Genere rispetto al Punteggio attribuito dai ricorrettori

Tavola A2 - Distribuzione del Punteggio attribuito dai ricorrettori rispetto al Genere Genere del candidato

Totale F M

Punteggio medio dei correttori

< 10 43,0% 57,0% 100,0% 10 30,9% 69,1% 100,0% 11 63,0% 37,0% 100,0% 12 53,3% 46,7% 100,0% 13 24,0% 76,0% 100,0% 14 48,8% 51,2% 100,0% 15 100,0% 100,0%

Totale 43,7% 56,3% 100,0%

Tavola A3 - Distribuzione del Genere rispetto al Punteggio attribuito dalla commissione

Genere del candidato

Totale F M

Punteggio attribuito dalla commissione

< 10 22,0% 26,5% 24,4%

10 9,8% 14,5% 12,3%

11 18,4% 15,7% 16,9%

12 18,5% 8,6% 13,3%

13 6,1% 8,0% 7,1%

14 8,4% 11,2% 9,9%

15 16,9% 15,4% 16,1%

Totale 100,0% 100,0% 100,0%

Tavola A4 - Distribuzione del Punteggio attribuito dalla Commissione rispetto al Genere


Totale F M Punteggio attribuito dalla < 10 42,5% 57,5% 100,0%

Genere del candidato Totale F M


< 10 53,6% 55,2% 54,5% 10 7,0% 12,2% 9,9% 11 9,4% 4,3% 6,5% 12 20,1% 13,7% 16,5% 13 3,2% 7,8% 5,8% 14 6,7% 5,5% 6,1% 15 1,3% ,7%

T t l 100 0% 100 0% 100 0%

71

commissione 10 37,7% 62,3% 100,0%

11 51,1% 48,9% 100,0%

12 65,6% 34,4% 100,0%

13 40,4% 59,6% 100,0%

14 39,9% 60,1% 100,0%

15 49,4% 50,6% 100,0%

Totale 47,2% 52,8% 100,0%

Tavola A5 - Distribuzione dell’Area Geografica rispetto al Punteggio attribuito dai ricorrettori Area geografica

Totale Nord Centro Sud


< 10 59,1% 53,9% 51,0% 54,5% 10 5,2% 12,3% 12,7% 9,9% 11 3,9% 12,6% 5,8% 6,5% 12 16,6% 16,3% 16,6% 16,5% 13 6,3% 5,0% 5,7% 5,8% 14 6,9% 8,2% 6,1% 15 2,1% ,7%

Totale 100,0% 100,0% 100,0% 100,0%

Tavola A6 - Distribuzione del Punteggio attribuito dai ricorrettori rispetto all’Area Geografica Area geografica



< 10 38,9% 20,3% 40,8% 100,0% 10 18,6% 25,5% 55,9% 100,0% 11 21,4% 39,8% 38,7% 100,0% 12 36,0% 20,3% 43,7% 100,0% 13 39,0% 17,7% 43,3% 100,0% 14 40,9% 59,1% 100,0% 15 100,0% 100,0%

Totale 35,9% 20,6% 43,6% 100,0%

Tavola A7 - Distribuzione del Punteggio attribuito dalla commissione rispetto all’Area Geografica

Area geografica



< 10 45,4% 20,7% 34,0% 100,0%

10 13,6% 74,8% 11,6% 100,0%

11 35,3% 13,7% 51,0% 100,0%

12 39,6% 17,4% 43,0% 100,0%

13 39,5% 60,5% 100,0%

14 42,5% 17,5% 39,9% 100,0%

15 28,0% 7,3% 64,7% 100,0%

Totale 35,5% 21,8% 42,7% 100,0%

72

Tavola A8 - Distribuzione dell’Indirizzo di studio rispetto al Punteggio attribuito dai ricorrettori

Indirizzo di studio

Totale

Ordinamento Sperimentale


< 10 60,6% 40,9% 53,8% 10 9,0% 10,3% 9,5% 11 5,7% 5,9% 5,7% 12 14,6% 22,5% 17,3% 13 3,5% 11,6% 6,3% 14 6,7% 6,5% 6,6% 15 2,3% ,8%

Totale 100,0% 100,0% 100,0%

Tavola A9 - Distribuzione del Punteggio attribuito dai ricorrettori rispetto all’Indirizzo di studio

Indirizzo di studio

Totale

Ordinamento Sperimentale


< 10 73,7% 26,3% 100,0% 10 62,3% 37,7% 100,0% 11 64,6% 35,4% 100,0% 12 55,1% 44,9% 100,0% 13 36,1% 63,9% 100,0% 14 65,9% 34,1% 100,0% 15 100,0% 100,0%

Totale 65,4% 34,6% 100,0%

Tavola A10 - Distribuzione dell’Indirizzo di studio rispetto al Punteggio attribuito dalla commissione

Indirizzo di studio

Totale Ordinamento Sperimentale


< 10 25,9% 21,5% 24,2%

10 14,8% 5,6% 11,3%

11 18,8% 16,3% 17,8%

12 14,9% 10,6% 13,3%

13 4,1% 9,1% 6,0%

14 7,2% 15,5% 10,4%

15 14,2% 21,4% 17,0%

Totale 100,0% 100,0% 100,0%

Tavola A11 - Distribuzione del Punteggio attribuito dalla commissione rispetto all’Indirizzo di studio

Indirizzo di studio ricodificato

Totale Ordinamento Sperimentale Punteggio attribuito dalla < 10 66,1% 33,9% 100,0%

73

commissione 10 80,9% 19,1% 100,0%

11 65,1% 34,9% 100,0%

12 69,5% 30,5% 100,0%

13 42,0% 58,0% 100,0%

14 43,0% 57,0% 100,0%

15 51,9% 48,1% 100,0%

Totale 61,8% 38,2% 100,0%

Tavola A12 - Distribuzione dell’Indicatore della posizione dello studente rispetto all’anno di corso verso il Punteggio attribuito dai ricorrettori

Indicatore della posizione dello

studente rispetto all’anno di corso

Totale

regolare posticipatario


< 10 50,0% 91,8% 54,5% 10 10,3% 7,1% 9,9% 11 7,3% 6,5% 12 18,5% 16,5% 13 6,3% 1,1% 5,8% 14 6,8% 6,1% 15 ,8% ,7%

Totale 100,0% 100,0% 100,0%

Tavola A13 - Distribuzione del Punteggio attribuito dai ricorrettori rispetto all’’Indicatore della posizione dello studente rispetto all’anno di corso

Indicatore della posizione dello studente rispetto all’anno di corso

Totale regolare posticipatario


< 10 82,0% 18,0% 100,0% 10 92,4% 7,6% 100,0% 11 100,0% 100,0% 12 100,0% 100,0% 13 97,9% 2,1% 100,0% 14 100,0% 100,0% 15 100,0% 100,0%

Totale 89,3% 10,7% 100,0%

Tavola A14 - Distribuzione dell’Indicatore della posizione dello studente rispetto all’anno di corso verso il Punteggio attribuito dalla commissione



Totale regolare posticipatario Punteggio attribuito dalla < 10 20,8% 77,3% 24,4%

74

commissione 10 12,5% 9,2% 12,3%

11 18,1% 16,9%

12 13,3% 13,6% 13,3%

13 7,6% 7,1%

14 10,5% 9,9%

15 17,2% 16,1%

Totale 100,0% 100,0% 100,0%

Tavola A15 - Distribuzione del Punteggio attribuito dalla commissione rispetto all’Indicatore della posizione dello studente rispetto all’anno di corso





< 10 79,8% 20,2% 100,0%

10 95,3% 4,7% 100,0%

11 100,0% 100,0%

12 93,5% 6,5% 100,0%

13 100,0% 100,0%

14 100,0% 100,0%

15 100,0% 100,0%

Totale 93,6% 6,4% 100,0%

75




Punteggio medio del Fattore 1 dei correttori

< 6 52,5% 98,9% 57,5% 6 10,4% 9,2% 7 13,7% 12,3% 8 11,8% 1,1% 10,7% 9 10,7% 9,6%

10 ,8% ,7% Totale 100,0% 100,0% 100,0%





< 6 56,8% 91,8% 60,5% 6 12,9% 7,1% 12,3% 7 10,5% 1,1% 9,5% 8 8,9% 8,0% 9 8,1% 7,3% 10 2,0% 1,8% Mancante ,7% ,6%

Totale 100,0% 100,0% 100,0%




Totale



< 6 65,1% 98,9% 68,7% 6 4,2% 3,8% 7 14,6% 13,0% 8 8,6% 1,1% 7,8% 9 5,9% 5,3% 10 ,8% ,7% Mancante ,7% ,6%

Totale 100,0% 100,0% 100,0%

76




Totale



< 6 81,6% 18,4% 100,0% 6 100,0% 100,0% 7 100,0% 100,0% 8 98,9% 1,1% 100,0% 9 100,0% 100,0% 10 100,0% 100,0%

Totale 89,3% 10,7% 100,0%





< 6 83,8% 16,2% 100,0% 6 93,8% 6,2% 100,0% 7 98,8% 1,2% 100,0% 8 100,0% 100,0% 9 100,0% 100,0% 10 100,0% 100,0% Mancante 100,0% 100,0%

Totale 89,3% 10,7% 100,0%





< 6 84,7% 15,3% 100,0% 6 100,0% 100,0% 7 100,0% 100,0% 8 98,5% 1,5% 100,0% 9 100,0% 100,0% 10 100,0% 100,0% Mancante 100,0% 100,0%

Totale 89,3% 10,7% 100,0%

77

Tavola A22 – coefficienti di regressione ed errori standard (in parentesi)

modello 1 modello 2 modello 3 modello 4 modello 5

Voto

Correttori

Voto

Comm Voto

Correttori

Voto

Comm Voto

Correttori

Voto

Comm Voto

Correttori

Voto

Comm e

Voto Correttori

Voto

Comm e


0,65 0,345 0,657 0,309 0,728 0,316 0,728 0,251

(-0,004) (-0,013) (-0,004) (-0,013) (-0,005) (-0,012) (-0,005) (-0,011) Competenze nell’applicare procedure e i concetti acquisiti

0,581 0,216 0,576 0,224 0,487 -0,391 0,479 -0,321

(-0,005) (-0,017) (-0,005) (-0,016) (-0,006) (-0,016) (-0,006) (-0,014) Capacità logiche e argomentative

0,281 0,244 0,288 0,265 0,303 0,579 0,314 0,531

(-0,004) (-0,013) (0, 004) (-0,013) (-0,005) (-0,012) (-0,005) (-0,011)

Istituti del Centro

-0,039 -0,365 0,024 -0,277

(-0,006) (-0,018) (-0,007) (-0,016)

Istituti del Sud

-0,09 1,083 0,028 1,111

(-0,005) (-0,015) (-0,006) (-0,013)

Crediti conseguiti

0,009 0,047 -0,017 0,03 0,014 0,019

(-0,001) (-0,003) (-0,004) (-0,003) (-0,001) (-0,003)

Voto I° quadrimestre

-0,033 0,437 1,017 0,778 -0,039 0,504

(-0,003) (-0,008) (-0,009) (-0,008) (-0,003) (-0,007)

Debiti in matematica

-0,167 -0,653 -0,377 -0,755 -0,155 -0,677

(-0,006) (-0,015) (-0,021) (-0,017) (-0,006) (-0,014)

Giudizio delle medie

0,111 0,497 -0,009 0,471 0,112 0,499

(-0,004) (-0,01) (-0,014) (-0,011) (-0,004) (-0,01)


0,031 0,191

(-0,005) (-0,012)

Regolarità

0,149 -1,139

(-0,01) (-0,024)

R2 corretto 0,94 0,33 0,94 0,40 0,94 0,47 0,27 0,36 0,94 0,55

ESAME DI STATO II CICLO - CNOS-FAP · dell’INVALSI per il fondamentale e collaborativo supporto...

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