Equazioni Indefinite di equilibrio per le Travi

Esistono delle relazioni differenziali che devono essere soddisfatte, sezione per sezione, in una struttura in condizioni di equilibrio. Come è noto in una generica sezione, le caratteristiche di sollecitazione sono una azione assiale, un momento flettente ed un taglio.

F

O

y VA VB

q

p

x HB

Consideriamo per la trave assegnata un concio di trave contenuto tra le sezioni alle ascisse x e x + dx, di lunghezza dx. Sia q l’intensità di un carico distribuito ortogonale alla linea d’asse e p l’intensità di un carico distribuito applicato lungo l’asse della trave. I carichi q e p siano continue nel tratto considerato.Nell’estrarre il concio elementare si sono evidentemente effettuati due tagli alle ascisse x e x + dx, per cui il sistema di forze agenti sul concio è costituito dai carichi distribuiti q e p e dalle azioni interne sulle sezioni dove sono stati effettuati i tagli.

Scriviamo le equazioni di equilibrio alla traslazione orizzontale e verticale ed alla rotazione intorno al baricentro della sezione di ascissa x+dx. I carichi q e p possono essere considerati nel tratto infinitesimo dx costanti.

Equilibrio alla rotazione : -M + M+dM –Tdx + qdx2/2 = 0.

q M T M+dM

T+dT

y dx

NN+dN

T+dT

p

Equilibrio alla traslazione verticale: T –(T+dT) - q dx = 0 ;

Equilibrio alla traslazione orizzontale: -N + (N+dN) + p dx = 0 ;

di ordine superiore, si ricavano le equazioni indefinite di equilibrio:

;qdzdT

- .Tdz

dM ;p

dzdN

-

Semplificando e trascurando nell’equilibrio alla rotazione gli infinitesimi

Le relazioni precedenti sono le equazioni indefinite di equilibrio interno per la trave. Esse sono valide in tutti i punti in cui le funzioni q e p sono continue e vanno combinate con opportune condizioni al contorno per determinare le funzioni incognite N, T e M.Si nota che nei tratti in cui il carico q è nullo, l’azione tagliante è costante ed il momento flettente è lineare, mentre quando q è costante il taglio lungo la linea d’asse è lineare ed il momento flettente è una funzione quadratica, ovvero una parabola.

Osservazione 1: Nelle sezioni in cui l’azione di taglio si annulla, il momento flettente risulta massimo (derivata prima nulla, derivata seconda negativa) o minimo (derivata prima nulla, derivata seconda positiva).

Osservazione 2: Nelle sezioni in cui l’azione tagliante è diversa da zero (T≠0), esiste sempre il momento flettente (può annullarsi in qualche sezione ma non in un tratto finito).

Un carico trasversale o la componente ortogonale all’asse della trave di un carico concentrato P produce, oltre ad una discontinuità nel diagramma del taglio, un punto angoloso nel diagramma del momento flettente.

O

A

Momento flettente

Azione tagliante P

A

Momento flettente

Azione tagliante

M

M/L

M/LM/L

M

Esempio: Coppia concentrata su una trave appoggiata.

Una coppia concentrata M causa una discontinuità nel diagramma del momento flettente ma non dell’azione tagliante.