Equazione d’onda per il campo elettromagnetico

Leggi fondamentali dell’elettromagnetismo.

I campi elettrici sono prodotti da cariche elettriche e da campi magnetici variabili.

Corrispondentemente l’intensità del campo elettrico E è determinata da due leggi:

- legge di Gauss � il flusso dell’intensità del campo elettrico attraverso una superficie chiusa S è proporzionale alla carica totale racchiusa da questa superficie;

- legge di Faraday dell’induzione elettromagnetica � l’integrale del campo elettrico lungo un cammino chiuso è proporzionale alla variazione nell’unitàdi tempo del flusso magnetico concatenato con questo cammino.

La legge di Gauss nel vuoto è espressa da

dove ε0 = 8,85⋅10-12 farad/m, En è la componente di Eperpendicolare all’elemento di area dS (positiva se E punta verso l’esterno rispetto alla superficie chiusa S), V è il volume racchiuso dalla superficie S e ρ è la densità volumica di carica elettrica.

In presenza di un dielettrico, oltre all’effetto delle cariche «libere» si dovrà considerare l’effetto della polarizzazione del dielettrico.La polarizzazione è descritta dal vettore polarizzazione P: risultante dei momenti di dipolo elettrico delle singole molecole contenute nell’unità di volume. Il campo elettrico prodotto dai dipoli molecolari è uguale al campo prodotto da una carica distribuita con densità ρp che soddisfa la seguente equazione:

Si tratta quindi di una legge di Gauss per il campo elettrico dovuto alle cariche di polarizzazione.

Indicando con ρ la densità delle sole cariche elettriche «libere», possiamo scrivere

oppure

La legge dell’induzione di Faraday è espressa da

dove S è una superficie limitata dalla curva chiusa s, Bn è la componente dell’induzione magnetica B parallela all’elemento di area dS, e Es è la componente di E parallela all’elemento di curva ds. La direzione positiva della perpendicolare alla superficie S e il senso positivo di percorrenza della curva s sono legati fra loro dalla stessa relazione che lega l’avanzamento e il senso di rotazione di una vite destrogira.

La legge di Gauss per il campo magnetico è espressa da

Commento: il flusso di B attraverso ogni superficie chiusa èsempre nullo, a causa della mancanza di un equivalente magnetico della carica elettrica.

I campi magnetici sono prodotti da correnti elettriche e da campi elettrici variabili:

dove µ0 = 4π⋅10-7 henry/m e jn è la componente normale a dS del vettore j che rappresenta la densità di corrente;

- effetti magnetici dei campi elettrici variabili, descritti tramite un campo elettrico equivalente ad una corrente elettrica la cui densità jE è proporzionale alla variazione nell’unità di tempo del campo elettrico.

- legge della circuitazione di Ampère � campi magnetici dovuti a correnti elettriche,

Così, quando ci sono campi elettrici variabili oltre alle correnti elettriche, la legge della circuitazione del campo magnetico diviene la legge di Ampère-Maxwell

In presenza di dielettrici e di materiali con proprietà magnetiche, oltre alla corrente dovuta al moto di cariche libere, dobbiamo considerare altri due tipi di correnti.

- In primo luogo ogni variazione della polarizzazione di un mezzo con caratteristiche di dielettrico produce una corrente la cui densità jp è uguale alla variazione nell’unità di tempo del vettore polarizzazione P:

- In secondo luogo vi sono correnti dovute al moto di elettroni lungo le loro orbite atomiche o molecolari ed alla rotazione degli elettroni intorno ai loro assi (spin). A queste correnti microscopiche sono dovute le proprietà magnetiche della materia, che sono di solito descritte dal vettore magnetizzazione M. Eccettuato il caso delle sostanze ferromagnetiche, la magnetizzazione è molto piccola ed ha un effetto trascurabile sulla propagazione delle onde elettromagnetiche. Per evitare inutili complicazioni, qui trascuriamo le correnti microscopiche che dànno luogo alla magnetizzazione, ottenendo per la legge di Ampère-Maxwell:

Possiamo esprimere le equazioni di Maxwell in una forma più conveniente, definendo due vettori ausiliari, cioè lo spostamento elettrico

e l’intensità del campo magnetico

Con queste notazioni otteniamo:

Le equazioni

hanno validità generale e permettono di descrivere anche i casi in cui si tiene conto della magnetizzazione. Purché per il vettore H (intensitàdel campo magnetico) si usi la seguente definizione:

Nelle sostanze isotrope e per campi elettrici costanti o lentamente variabili, i vettori P ed E sono, di solito, paralleli fra loro e proporzionali in modulo l’uno all’altro. Anche il vettore D è perciò proporzionale al vettore E e vale dunque la seguente equazione:

dove ε è una quantità scalare indipendente da E, chiamata permettività dielettricadel mezzo. Nei mezzi non omogenei ε può variare da punto a punto. Nel vuoto essa si riduce alla costante ε0 già definita. La quantità

è detta costante dielettrica.

I campi elettromagnetici sono in grado di produrre sviluppo di calore e di compiere lavoro contro forze meccaniche o chimiche, il che significa che il campo elettromagnetico possiede energia. Questa energia è distribuita nello spazio con densità u data da

dove i punti stanno ad indicare prodotti scalari.

Onde elettromagnetiche piane nei dielettrici isotropi ed omogenei

Consideriamo un campo elettromagnetico in una regione dello spazio occupata da un dielettrico isotropo ed omogeneo. Supponiamo che la densità di carica ρ e la densità di corrente elettrica j siano dovunque nulle. Le equazioni di Maxwelldivengono allora

In questo caso le equazioni di Maxwell assumono una forma simmetrica rispetto ad E e H, se si scambia ε con -µ0

Onde elettromagnetiche piane nei dielettrici isotropi ed omogeneiScegliamo un sistema arbitrario di coordinate cartesiane, x, y, z; ci proponiamo di provare che esiste una soluzione delle equazioni di Maxwell tale che l’intensità del campo elettrico E e l’intensità del campo magnetico H dipendano solo dal tempo t e dalla coordinata x.

Consideriamo adesso l’equazione:

Poiché, secondo la nostra ipotesi, E ècostante in questo piano, l’integrale di Elungo il contorno di S è nullo, e quindi

Inoltre Hx ha lo stesso valore in tutti i punti della superficie S. Ciò implica

Si consideri adesso l’equazione

In modo analogo si può dimostrare che

Applichiamo ora la legge dell’induzione di Faraday, espressa dall'equazione

al rettangolo ABCD formato da due segmenti infinitesimi paralleli all’asse x (AB e CD) e da due segmenti di lunghezza h paralleli all’asse y (BC e DA). Sia x la coordinata secondo l’asse x del segmento DA e x + dx quella del segmento BE. Secondo la nostra ipotesi, E ha un valore costante E(x) lungo il segmento DA, e un valore costante diverso E(x+dx) lungo il segmento BE.

Primo membro dell’equazione:

- Lato BC: Ey(x +dx)⋅ h;

- Lato DA: - Ey(x) ⋅ h;

- Lato CD: -�x⋅ dx (�x è un opportuno valore medio di Ex lungo il segmento infinitesimo CD);

- Lato AB: �x⋅ dx (�x ha lo stesso valore che ha nel termine corrispondente al lato CD, poiché Ex dipende solo da x).

Riscriviamo l’equazione e proseguiamo il calcolo dell’integrale a primo membro:

I due termini corrispondenti a CD e AB si elidono a vicenda e si ottiene:

o anche

L’integrale a secondo membro dell’equazione è dato da

E, quindi, dall’equazione integrale si ricava

Sempre dall’equazione

seguendo un procedimento analogo, ma considerando questa volta il rettangolo EFGH con lati paralleli agli assi z e x, otteniamo

Inoltre dall’equazione

possiamo ricavare due equazioni simili a quelle appena ottenute, in cui εsostituisce -µ0 ed i vettori E ed H vengono scambiati fra loro:

Consideriamo adesso le equazioni integrali

e scegliamo una superficie chiusa S a forma di parallelepipedo A B C D A' B' C' D', con lati paralleli agli assi coordinati. Siano x e x+dx le coordinate secondo l’asse xdei due piani (A B C D e A'B' C' D') perpendicolari all’asse x.Siano h e k le lunghezze dei lati paralleli agli assi y e z, rispettivamente.Il flusso di E attraverso A'B' C' D'è Ex(x +dx)hk. Il flusso di E attraverso A B C D è-Ex(x)hk. Così il flusso totale uscente dalle superfici opposte del parallelepipedo perpendicolari all’asse x è

Poiché E dipende solo da x, i flussi di E attraverso le due superfici A A� B� B e D D� C� C si elidono a vicenda (uguali in modulo e opposti in segno). La stessa cosa avviene per i flussi attraverso le superfici B C C� B'e A D D� A'.

Quindi da

si ottiene

Analogamente da

si ricava

Riassumendo i risultati ottenuti possiamo scrivere il seguente sistema di equazioni differenziali:

Le equazioni precedenti sono state ottenute assumendo che E ed H fossero indipendenti da y e z. Con procedimento analogo si possono generalizzare al caso in cui E e H dipendono da tutte e tre le coordinate spaziali x, y e z:

Tali equazioni possono essere scritte in modo più compatto:

Ritornando al caso particolare in cui E e H dipendono solo da x, le equazioni

indicano che le componenti x di E e di H sono costanti sia nel tempo che nello spazio. Poiché non ci interessano campi elettrici o magnetici statici, possiamo supporre che

Inoltre notiamo che le due equazioni contenenti Ey e Hz

sono indipendenti da quelle per Ez e Hy

Per ottenere un’espressione matematica per la dipendenza di Ey ed Hz da x e t, differenziamo l’equazione (g) rispetto ad x e l’equazione (f) rispetto a t:

Eliminando tra queste due equazioni, si ottiene

Questa è la ben nota equazione differenziale del moto ondoso in una dimensione. Possiamo verificare facilmente che qualsiasi funzione della forma

soddisfa questa equazione, purché la costante � sia scelta opportunamente.

Infatti, con differenziazioni successive si ottiene

Dove il puntino e i due puntini su f1 indicano, rispettivamente, la derivata prima e la derivata seconda della funzione f1 rispetto al suo argomento (t - x/�).

Sostituendo adesso la soluzione f1 nell’equazione d’onda e utilizzando le relazioni ottenute per le derivate seconde, si ha

f1 è quindi una soluzione dell’equazione d’onda se � soddisfa la seguente relazione:

Se adesso sostituiamo in

si ottiene

Infine, a meno di un eventuale campo magnetico Hz costante, si ha

Questa soluzione descrive un’onda elettromagnetica piana che si propaga nella direzione positiva dell’asse x, tale che il vettore intensità del campo elettrico E sia ovunque parallelo all’asse y e il vettore intensità di campo magnetico H sia ovunque parallelo all’asse z. L’onda è perciò polarizzata linearmente. Le direzioni di E ed H sono legate al verso di propagazione dalla regola della vite destrogira.

Onda polarizzata linearmente che si propaga nella direzione positiva dell’asse x.E è parallelo all’asse y, mentre H è parallelo all’asse z.

Le due equazioni (7-26) che contengono Ez ed Hy possono essere trattate in maniera simile. Eliminando Hy si ottiene l’equazione differenziale

Quest’equazione ammette una soluzione del tipo

Infine, con procedimento analogo a quello seguito per Ey e Hz, si trova

Le equazioni

e

rappresentano un’onda elettromagnetica piana, polarizzata linearmente, che si propaga nella direzione positiva dell’asse x, tale che E sia parallelo all’asse z e Hsia parallelo all’asse y (verso negativo).

- La soluzione più generale corrispondente ad un’onda piana che si propaga nella direzione positiva dell’asse x è una sovrapposizione delle due soluzioni appena discusse.

- In una tale onda le componenti y e z di E e H sono diverse da zero contemporaneamente.

- Le direzioni di E e H cambiano, in generale, col tempo e con la posizione; l’onda quindi non è polarizzata linearmente.

- E e H in un dato punto e in un dato istante sono sempre perpendicolari tra loro, come si può vedere calcolando il prodotto scalare di E e H:

L’equazione

oltre a , ammette anche soluzioni della forma

(onda che si propaga nel verso negativo dell’asse x)

dove � è ancora dato da

Infine per il campo magnetico si trova

Le equazioni

descrivono un’onda piana, polarizzata linearmente, che si propaga nella direzione negativa dell’asse x tale che il vettore intensità di campo elettrico E sia dovunqueparallelo all’asse y e il vettore intensità di campo magnetico H sia dovunque parallelo all’asse z.

Analogamente l’equazione ha una soluzione della forma

Per il corrispondente campo magnetico si ha

In questo caso Ez e Hy descrivono un’onda piana, polarizzata linearmente, che si propaga nella direzione negativa dell’asse x, tale che il vettore intensità di campo elettrico Esia dovunque parallelo all’asse z e il vettore intensitàdi campo magnetico H sia dovunque parallelo all’asse y.

- La soluzione più generale corrispondente ad un’onda piana che si propaga nella direzione negativa dell’asse x è una sovrapposizione delle due soluzioni appena discusse.

- In una tale onda, le componenti y e z di E e H sono diverse da zero contemporaneamente.

- Le direzioni di E e H cambiano, in generale, col tempo e con la posizione; l’onda quindi non è polarizzata linearmente.

- Anche in questo caso E e H in un dato punto e in un dato istante sono sempre perpendicolari tra loro.

- Infine la soluzione più generale delle equazioni di Maxwell, in cui E e Hdipendano solo da x e t, corrisponde alla sovrapposizione di due onde piane che viaggiano in direzioni opposte lungo l’asse x.

Vettore di Poynting- Si consideri un volume delimitato da una superficie cilindrica, il cui asse sia

parallelo all’asse x, e da due superfici piane S1 ed S2 perpendicolari a quest’asse.

- Sia A l’area di S1, uguale a quella di S2, e siano x1 ed x2 le loro coordinate secondo l’asse x.

- Per semplicità supporremo Ez=0, Hy=0, cioè considereremo un’onda polarizzata linearmente.

- Poiché Ey e Hz dipendono solo da x, l’energia elettromagnetica totale contenuta nel volume cilindrico è

Energia del campo elettromagneticoLa variazione di U nell’unità di tempo è data da

che, insieme a

dà

e infine

- L’equazione appena trovata indica che la variazione nell’unità di tempo dall’energia contenuta nel volume cilindrico è uguale alla quantità di energia che entra nell'unità di tempo in questo volume attraverso la superficie piana S1 posta in x1, meno la quantità di energia che abbandona nell'unità di tempo il volume attraverso la superficie piana S2 posta in x2.

- Così, indicando con Sx il flusso di energia per unità di area, si ottiene

- Per un’onda il cui vettore elettrico è parallelo all’asse z e il cui vettore magnetico è parallelo all’asse y, si ha

- Un’onda piana qualsiasi viaggiante nel verso positivo dell'asse x può essere considerata come la sovrapposizione di due onde i cui vettori elettrici siano paralleli all’asse y e all’asse z rispettivamente. Perciò l’espressione generale per il flusso di energia per unità di area dovuto ad un’onda che viaggia nel verso positivo del l’asse x è

Vettore di PoyntingI risultati presentati finora sono casi particolari del teorema di Poynting:

per un campo elettromagnetico il flusso di energia per unità di area e unità di tempo è rappresentato dal vettore

chiamato vettore di Poynting.