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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA

LA SAPIENZA

FACOLTÀ DI INGEGNERIA

TESI DI LAUREA

IN INGEGNERIA DELLE TELECOMUNICAZIONI

EQUALIZZAZIONE RMAP

PER TRASMISSIONI NUMERICHE

SU CANALI HF

CON ELEVATA DISPERSIONE TEMPORALE

RELATORE LAUREANDA

CH.MO PROF. ROBERTO CUSANI TIZIANA MASIELLO

ANNO ACCADEMICO 2003/2004

Indice

I

Indice

INDICE I

INTRODUZIONE 1

CAPITOLO I IL CANALE HF 4

I.1 MULTIPATH E FADING DI CANALE.........................................................................................4

I.2 MODELLO MATEMATICO PER CANALI AFFETTI DA MULTIPATH ...........................................10

I.3 SELETTIVITÀ IN FREQUENZA...............................................................................................13

I.4 FADING VELOCE E FADING LENTO.......................................................................................17

I.5 MODELLO DI CANALE TEMPO VARIANTE DI WATTERSON ...................................................19

CAPITOLO II FORMA D’ONDA PROPOSTA 25

II.1 INTRODUZIONE: STRUTTURA CON TRAMA SECONDO LO STANDARD MIL-STD-188-110 A 25

II.1.1 SINCHRONIZATION (SYNC) PREAMBLE PHASE.................................................................. 28

II.1.2 DATA PHASE....................................................................................................................... 28

II.1.3 EOM PHASE ....................................................................................................................... 29

II.1.4 FLUSH PHASE...................................................................................................................... 29

II.2 FEC ENCODER................................................................................................................29

II.3 INTERLEAVING ...................................................................................................................31

II.3.1 INTERLEAVE LOAD....................................................................................................... 32

II.3.2 INTERLEAVE FETCH ..................................................................................................... 32

II.4 MODIFIED GRAY DECODING ...............................................................................................33

II.5 SYMBOL FORMATION..........................................................................................................35

II.5.1 UNKNOWN DATA ............................................................................................................... 35

II.5.2 KNOWN DATA .................................................................................................................... 36

II.6 PREAMBOLO DI SYNC .......................................................................................................38

II.7 SCRAMBLER… ...................................................................................................................40

Indice

II

II.7.1 GENERATORE DELLA SEQUENZA RANDOM DEI DATI ....................................................... 40

II.7.2 GENERATORE DELLA SEQUENZA RANDOM DI SYNC ...................................................... 41

II.8 MODULAZIONE 8-PSK .......................................................................................................42

II.9 FILTRI SAGOMATORI A COSENO RIALZATO..........................................................................43

CAPITOLO III L’EQUALIZZAZIONE DI CANALE 45

III.1 MODELLO DEI CANALI CON ISI [PRO 95] [3.] .....................................................................45

III.2 EQUALIZZAZIONE LINEARE [PRO95] [3.]............................................................................51

III.3 CANALE AWGN CON RIVELATORE A SOGLIA (SLICER) ......................................................53

CAPITOLO IV EQUALIZZAZIONE BASATA SUL “CONSTANT MODULUS ALGORITHM” 56

IV.1 PRINCIPI DI FUNZIONAMENTO ED APPLICAZIONE SU CANALE TEMPO INVARIANTE ..............56

IV.1.1 CANALE TEMPO INVARIANTE A DUE COEFFICIENTI REALI............................................... 59

IV.1.2 CANALE TEMPO INVARIANTE A DUE COEFFICIENTI GENERALMENTE COMPLESSI ......... 62

IV.1.3 EQUALIZZATORE CMA CON ALGORITMO DI “PHASE RECOVERY” ADATTATIVO ......... 64

IV.1.4 CMA CON STIMATORE DI RITARDO .................................................................................. 66

IV.1.5 RAPIDITÀ DI CONVERGENZA ED INSTABILITÀ NUMERICA DEL CMA ............................. 69

IV.2 EQUALIZZAZIONE ADATTATIVA DI TIPO CMA, SU CANALE TEMPO VARIANTE DI

WATTERSON.......................................................................................................................70

IV.2.1 SIMULAZIONI AL CALCOLATORE E PRESTAZIONI DEL CMA NEL CASO DI CANALE

TEMPO VARIANTE ............................................................................................................... 71

IV.3 CMA CON TRAINING SUI SIMBOLI KNOWN ......................................................................73

IV.3.1 CONFRONTO TRA LE PRESTAZIONI DEL CMA “PURO” E DEL CMA CON TRAINING..... 75

IV.3.2 SOLUZIONE A T/2 DEL CMA CON TRAINING ................................................................... 76

IV.3.3 SOLUZIONE A T/2 DEL CMA CON CICLI SUI TRAINING DA 16 SIMBOLI .......................... 79

IV.3.4 SOLUZIONE A T/2 DEL CMA CON CICLI SU N REPLICHE DA 48 SIMBOLI ........................ 83

IV.4 CMA PERFORMANCE (STANDARD MIL-STD-188-110A) ..................................................87

IV.5 CONCLUSIONI (EQUALIZZATORE CMA).............................................................................89

Indice

III

CAPITOLO V STIMA DI CANALE 90

V.1 INTRODUZIONE (BLIND CHANNEL ESTIMATION) .................................................................90

V.2 STIMATORE DI CANALE PER IL MODEM MIL-STD-188-110A.............................................94

V.2.1 UTILIZZO DEL CMA COME EQUALIZZATORE ................................................................... 94

V.2.1.a Simulazioni al calcolatore nel caso di canale tempo invariante ............ 96

V.2.1.b Simulazioni al calcolatore nel caso canale tempo variante .................... 97

V.2.2 SOLUZIONE ERROR-FREE .................................................................................................... 99

V.2.3 UTILIZZO DI UN CANCELLATORE COME EQUALIZZATORE ............................................ 101

CAPITOLO VI EQUALIZZAZIONE BASATA SULL’ALGORITMO R-MAP 105

VI.1 L’EQUALIZZATORE MAP .................................................................................................105

VI.2 L’EQUALIZZATORE RMAP...............................................................................................109

VI.3 PRESTAZIONI PER CANALE TEMPO INVARIANTE A FASE MINIMA .......................................112

VI.4 FILTRAGGIO PRELIMINARE ...............................................................................................115

VI.4.1 IL FILTRO MATCHED ......................................................................................................... 116

VI.4.2 IL FILTRO WHITENING ...................................................................................................... 118

CAPITOLO VII FILTRO SBIANCANTE (“WHITENING FILTER”) 121

VII.1 REALIZZAZIONE TRAMITE ALGORITMO LMS ....................................................121

VII.1.1.a Simulazioni per canale tempo invariante generico ............................... 122

VII.1.1.b Simulazioni nel caso di canale tempo variante di Watterson .............. 123

VII.1.2 SECONDA STIMA DI CANALE: INTERPOLAZONE LINEARE .......................... 125

VII.1.2.a Prestazioni canale tempo variante. .......................................................... 128

VII.2 REALIZZAZIONE CON CALCOLO ANALITICO .....................................................131

VII.2.1 COSTRUZIONE DELLA MATRICE DEI COEFFICIENTI......................................................... 131

VII.2.2 CALCOLO DELLA MATRICE 1−T : ALGORITMO DI LEVINSON-DURBIN.................... 132

VII.2.3 LEMMA DELL’INVERSIONE DELLA MATRICE PARTIZIONATA A BLOCCHI ...................... 136

VII.3 CONFRONTO TRA I DUE ALGORITMI ..................................................................................138

VII.3.1 PRESTAZIONI PER CANALE TEMPO INVARIANTE ............................................................ 138

Indice

IV

VII.3.2 SIMULAZIONI NEL CASO DI CANALE TEMPO VARIANTE DI WATTERSON...................... 141

VII.4 LIMITI PRESTAZIONALI DELLA SECONDA STIMA DI CANALE..............................................145

CAPITOLO VIII CONCLUSIONI 148

BIBLIOGRAFIA 154

APPENDICE “ANALISI DELLA COMPLESSITÀ DEL WMF “ 156

A.1 ANALISI COMPLESSITÀ NELLA REALIZZAZIONE DEL MATCHED .........................................156

A.2 ANALISI COMPLESSITÀ NELLA REALIZZAZIONE DEL WHITE-FILTER .................................157

A.2.1 CALCOLO AUTOCORRELAZIONE DELLA STIMA DEL CANALE............................................ 157

A.2.2 COSTRUZIONE MATRICE DEI COEFFICENTI Ψ ................................................................... 158

A.2.3 CALCOLO DELLA MATRICE 1−T : ALGORITMO DI LEVINSON-DURBIN....................... 159

A.2.4 LEMMA DELLA INVERSIONE DELLA MATRICE A BLOCCHI ................................................. 164

A.2.5 CALCOLO DEI COEFFICIENTI DEL WHITENING FILTER...................................................... 167

A.3 CONCLUSIONI ...................................................................................................................167

Introduzione

1

INTRODUZIONE

Negli ultimi anni nel mercato delle telecomunicazioni considerevoli sforzi sono

stati rivolti allo studio dei sistemi di trasmissioni numeriche ad elevate prestazioni che

operino nel canale radio. L’obiettivo è quello di progettare sistemi in grado di sfruttare

efficientemente le risorse spettrali a disposizione e garantire una velocità di

trasmissione più alta possibile. Questa esigenza porta all’impiego di algoritmi sempre

più complessi che richiedono molte risorse di calcolo, le quali tuttavia non sono sempre

disponibili. La richiesta di una elevata potenza di elaborazione è dettata dalla necessità

di poter contrastare gli effetti di degradazione prodotti dal canale radio sul segnale

trasmesso.

Tale canale, su cui avviene la trasmissione, ha caratteristiche variabili nel tempo

e quindi il segnale ricevuto non è stazionario. Diversi sono gli effetti negativi connessi:

dispersione temporale, dispersione in frequenza, errori di sincronismo, affievolimenti,

rumore termico.

La dispersione temporale (delay spread) è dovuta al fenomeno dei cammini

multipli, per il quale il segnale trasmesso arriva al ricevitore insieme a sue repliche

traslate nel tempo producendo interferenza tra i simboli adiacenti. Questo fenomeno è

noto come interferenza di intersimbolo (ISI). Inoltre, il medesimo canale presenta la

caratteristica di variare nel tempo a causa delle fluttuazioni degli strati ionosferici,

oppure a causa della velocità di un ricetrasmettitore mobile.

La dispersione in frequenza (frequency spread) è invece un indice della velocità

con la quale variano le caratteristiche del canale. Larghe dispersioni in frequenza

indicano rapide variazioni del canale.

Introduzione

2

Per compensare tali effetti indesiderati, negli apparati ricevitori viene effettuata

un’operazione di equalizzazione adattativa, la quale consente una modifica dei parametri

del ricevitore in base alle mutanti condizioni del canale trasmissivo.

Sono stati sviluppati diversi algoritmi di equalizzazione adattativa tra i quali si

possono citare: “Decision Feedback Equalization” (DFE), “Maximum Likehood

Sequence Extimation” (MLSE), “Constant modulus algorithm” (CMA) e “Maximum A

Posteriori probability “ (MAP). Nel presente lavoro sono stati utilizzati algoritmi

adattativi quali il CMA e l’equalizzatore MAP, il CMA sebbene abbia una complessità

computazionale piuttosto ridotta, presenta tuttavia dei limiti, fra cui principalmente

quello di non riuscire ad invertire canali con raggi ricevuti di egual potenza.

Oltre alle tecniche di equalizzazione è opportuno adottare anche altri tipi di

accorgimenti per migliorare le prestazioni del segnale ricevuto affinché il messaggio

ricevuto sia il più possibile simile a quello trasmesso.

Il canale di trasmissione, in genere variante nel tempo, presenta degli

affievolimenti più o meno pesanti sul segnale trasmesso e ciò può produrre degli errori

a burst (errori a blocchi) pertanto per ridurre e contrastare tale effetto si debbono

adottare varie tecniche di codifica, decodifica e di interleaving.

Indipendentemente dal tipo di equalizzatore utilizzato, è sempre necessario

sfruttare, per un corretto funzionamento del ricevitore, la conoscenza all’interno dei

pacchetti di informazione (trame), di una sequenza nota di simboli, detta training

sequence.

È evidente il fatto che il ricevitore deve conoscere la posizione della sequenza di

sincronizzazione all’interno della trama ricevuta per poter sfruttarne le proprietà.

Tale conoscenza è, però, contrastata da diversi fattori di non idealità. Tra questi

ricordiamo il “jitter” di campionamento, dovuto ad una imperfetta sincronizzazione

dell’oscillatore del trasmettitore con quello del ricevitore, modellabile come un ritardo

aleatorio imposto al pacchetto ricevuto. La presenza di tale ritardo costringe il ricevitore

a lavorare su un insieme di dati distorti, comportando un peggioramento consistente

delle prestazioni.

Introduzione

3

Da quanto detto si intuisce come i sincronismi di trama, in prima battuta, e di

simbolo, successivamente, sono molto importanti ai fini di una corretta ricezione,

soprattutto in presenza di interferenza intersimbolica e canali rapidamente varianti nel

tempo.

Il lavoro presentato è uno sviluppo di un lavoro più ampio all’interno di un

piano di collaborazione tra la Marconi Selenia S.p.a. di Pomezia (Roma) ed il

Dipartimento Infocom dell’Università “La Sapienza” di Roma, avente l’obbiettivo di

studiare la realizzazione software di un ricevitore per trasmissioni numeriche in banda

HF da impiegare nella costruzione di un modem a portante singola che adotti lo

standard di trasmissione MIL-STD-188-110A.

Il modem è impiegato in ambito militare dalla rete del Dipartimento Nazionale

della Difesa (DND) per la comunicazione tra comando base e unità dispiegate sul

territorio (aerei, navi ed elementi di terra).

Benché il modem MIL-STD-188-110A, così come lo Stanag (STAndard Nato

AGreement) 4285, sia stato prodotto in ambito militare, il loro utilizzo è presente anche

in quello civile per comunicazioni navali transoceaniche, ovvero per comunicazioni

avioniche. Vengono altresì utilizzati nell’ambito della protezione civile (polizia,

carabinieri, servizi sanitari, ecc.).

Infine per quanto riguarda la loro realizzazione viene usata l’implementazione

su DSP, essendo questa microprogrammabile e quindi più versatile e flessibile rispetto

alla logica cablata.

Capitolo I Il canale HF

4

Capitolo I

IL CANALE HF

I.1 Multipath e fading di canale

Prima di esaminare alcune delle diverse operazioni che vengono compiute sul

segnale ricevuto per estrarne l'informazione convogliata, è sembrato opportuno

descrivere lo scenario di propagazione del segnale stesso tra le antenne trasmittente e

ricevente; risulterà così più facile comprendere le alterazioni subite dal segnale durante

l’attraversamento di questa distanza e quindi la necessità delle elaborazioni descritte

nei capitoli seguenti.

L'ambiente di propagazione considerato in questo lavoro è costituito dal canale

radio nella banda di frequenze che si estende da 3 MHz a 30 MHz, meglio nota come

banda HF; nel seguito, quindi, sarà brevemente trattata la propagazione ionosferica

delle onde elettromagnetiche, nell’ambito della radiocomunicazione HF digitale.

Nel caso ideale di propagazione nello spazio libero, l’atmosfera è assimilata ad

un mezzo non assorbente perfettamente uniforme ed inoltre qualsiasi ostacolo

(compreso il terreno) è considerato infinitamente distante dal segnale che si propaga,

tanto da non poter esercitare alcuna influenza misurabile sulla trasmissione.

In questo caso l’unico segnale disturbante, che si sovrappone al segnale utile, è

caratterizzato da una statistica Gaussiana a valor medio nullo e densità spettrale di

potenza piatta, ed è noto come rumore Gaussiano bianco additivo ("Additive White Gaussian

Noise", AWGN); l'origine di tale disturbo è l’inevitabile moto d’agitazione termica degli

elettroni nei circuiti interni del ricevitore. Si parlerà quindi di canale Gaussiano o

"AWGN Channel".


5

Fondamentalmente, in questo modello, l’attenuazione dell’energia fra il

trasmettitore e il ricevitore segue una legge quadratica inversa. La potenza ricevuta

espressa in termini della potenza trasmessa è attenuata da un fattore detto perdita di

cammino ("path loss"), Ls(d).

Quando l’antenna ricevente è isotropa, questo fattore vale:

24( )s

dL d

π

λ

=

(I.1)

dove d è la distanza fra il trasmettitore e il ricevitore e λ è la lunghezza d’onda del

segnale che si propaga.

Nella maggior parte dei casi pratici, però, questo modello risulta inadeguato, dal

momento che la propagazione del segnale ha luogo in atmosfera reale, vicino al terreno,

in presenza di ostacoli di ogni tipo ed è quindi influenzata da diversi fenomeni, quali:

• riflessione: l’onda elettromagnetica urta contro una superficie liscia le cui

dimensioni sono molto grandi se paragonate alla lunghezza d’onda λ e

viene riflessa dalla superficie stessa;

• diffrazione: il cammino dell’onda è ostruito da un corpo solido di

dimensioni comparabili con λ, dando luogo ad onde secondarie che si

propagano oltre l’ostacolo;

• rifrazione: l’onda passa da un mezzo ad un altro e la direzione di

propagazione subisce una variazione;

• scattering o diffusione: l’onda radio incontra una superficie irregolare o le

cui dimensioni sono dell’ordine di λ o più piccole, determinando uno

sparpagliamento dell’energia riflessa in tutte le direzioni.

In un sistema di comunicazione nella banda HF sono di particolare importanza i

fenomeni sopra descritti: essi fanno sì che il segnale viaggi dal trasmettitore al ricevitore

attraverso una molteplicità di cammini dovuta ad un numero molto elevato di

riflessioni che possono verificarsi su vari tipi di superfici (strati ionosferici, terreno); in


6

letteratura questo fenomeno è noto come propagazione per cammini multipli

("multipath propagation").

Il segnale che giunge al ricevitore è quindi costituito dalla sovrapposizione di più

repliche del segnale trasmesso, ciascuna con una propria ampiezza, fase e tempo di

arrivo; la composizione dei vari contributi dà origine a momentanei affievolimenti,

anche di grossa entità, dell’inviluppo del segnale ricevuto. Tale fenomeno è

comunemente indicato con il nome di fading da cammini multipli ("multipath fading").

Quest’ultimo non è però che una delle manifestazioni del fading di canale, com’è

bene evidenziato in Figura I.1.

Manifestazioni delfading di canale

Fading su larga scaladovuto a movimento su

larghe aree

Fading su scala ridottadovuto a piccoli

cambiamenti di posizione

Attenuazione delvalor medio del

segnale vs distanza

Variazioni intorno alvalor medio

Time spreadingdel segnale

Varianza neltempo delsegnale

Fadingselettivo infrequenza

Fading piatto(Flat fading)

Fadingveloce

Fadinglento

Figura I.1 Manifestazioni del fading di canale [Skl97]


7

Nella classificazione delle manifestazioni del fading di canale bisogna, quindi,

innanzitutto distinguere tra fading su larga scala ("large-scale fading"), che rappresenta

un’attenuazione della potenza media di segnale dovuta a spostamenti su vaste aree, e

fading su scala ridotta ("small-scale fading"), che si verifica in seguito a piccoli

movimenti relativi (piccoli come mezza lunghezza d’onda) fra trasmettitore e ricevitore.

Il fenomeno del fading su larga scala è strettamente dipendente dal profilo del

terreno tra trasmettitore e ricevitore: sono determinanti a tal riguardo la presenza e la

dislocazione di ostacoli quali colline, foreste e gruppi d’edifici su cui rimbalzano i raggi

ionosferici prima di arrivare al ricevitore.

In questo caso la perdita di cammino media assume la forma più generica:

= 0

( )n

p

dL d

d (I.2)

dove d è la distanza fra trasmettitore e ricevitore, 0d è una distanza di riferimento da un

punto situato nel campo lontano dell’antenna (in modo tale da ipotizzare che il campo

si propaghi su un’onda piana) e l’esponente n dipende dalla frequenza, dall’altezza

dell’antenna e dall’ambiente di propagazione. Come visto nell’equazione (I.1), nello

spazio libero n=2; in presenza di onde fortemente guidate (come nelle strade urbane)

tale esponente può diventare anche più piccolo di 2; quando invece ci si trova in

presenza di ostacoli che ostruiscono la propagazione, si ha n>2.

Misurazioni pratiche mostrano che, per ogni valore di d, la perdita di cammino

Lp(d) è una variabile aleatoria avente distribuzione log-normale intorno al valor medio

espresso dall’equazione (I.2).

Nel caso invece di fading su scala ridotta ("small-scale fading") piccole variazioni

dello spazio che separa trasmettitore e ricevitore, possono provocare notevoli variazioni

dell’ampiezza e della fase del segnale ricevuto. Ѐ questo il caso dei cammini multipli, in


8

cui spostamenti anche piccoli di un rice-trasmettitore mobile o fluttuazioni degli strati

ionosferici, cambiano notevolmente la qualità di ricezione poiché cambia in maniera

imprevedibile il modo in cui si sovrappongono le varie componenti del segnale in

corrispondenza dell'antenna ricevente.

Com’è noto, il generico segnale ricevuto r(t) si esprime come la convoluzione del

segnale trasmesso s(t) con la risposta impulsiva del canale ( )ch t ; trascurando la

degradazione dovuta al rumore, scriviamo:

= ∗( ) ( ) ( )cr t s t h t (I.3)

Possiamo inoltre considerare r(t) come prodotto di due componenti aleatorie,

cioè:

0( ) ( ) ( )r t m t r t= ⋅ (I.4)

dove m(t) è la componente del fading su larga scala il cui modulo, espresso in dB, ha

una densità di probabilità Gaussiana; ( )0r t è invece la componente del fading su piccola

scala ed è anche detta, per i motivi di cui sopra, multipath fading.

In Figura I.2 sono evidenziati i due tipi di fading:

r(t)

m(t)

Potenza

del segnale

in dB

t

Figura I.2 Fading su larga scala e su scala ridotta


9

Il fading su scala ridotta può essere di due tipi: fading di Rayleigh quando al

ricevitore giungono diverse repliche del segnale, tutte indipendenti fra loro, ed inoltre

le antenne trasmittente e ricevente non sono in condizioni di visibilità ottica (assenza di

Line Of Sight), per cui non c'è il contributo dominante del raggio diretto; l’inviluppo del

segnale ricevuto è di conseguenza caratterizzato da una funzione densità di probabilità

di Rayleigh:

2

2 2( ) exp 02

r rp r r

σ σ

= − ≥

(I.5)

dove r è l’ampiezza dell’inviluppo del segnale ricevuto, e 2 2σ è la potenza media del

segnale a cammini multipli.

Se invece fra le diverse componenti del segnale ricevuto c’è un cammino

dominante (presenza di LOS) si parla più propriamente di fading di Rice e l’inviluppo

del segnale ricevuto ha una funzione di densità di probabilità di Rice:

2

02 2( ) exp exp( ) 2 02

r r rp r k I k r

σ σ σ

= − − ≥

(I.6)

dove 0I rappresenta la funzione di Bessel modificata d’ordine zero e k è pari al rapporto

tra la potenza del cammino diretto e la potenza complessiva di tutti gli altri cammini

multipli. Come si può osservare, quando k tende a zero (assenza di LOS) si ritrova la

funzione densità di probabilità di Rayleigh, invece per k elevati si trova il caso di canale

Gaussiano, in cui c’è una netta predominanza del cammino diretto.

Come si sarà già intuito, il caso di fading di Rayleigh per un collegamento singolo

rappresenta il caso peggiore, in termini di potenza media di segnale ricevuta.


10

Come già anticipato in Figura I.1, il fading su piccola scala ha due modi di

manifestarsi:

• dispersione temporale (time-spreading) degli impulsi digitali costituenti il

segnale;

• comportamento tempo variante del canale a causa delle fluttuazioni degli

strati ionosferici.

Se si prova, infatti, a trasmettere un segnale di durata molto breve, idealmente un

impulso, attraverso un canale soggetto al fenomeno dei cammini multipli il segnale

ricevuto potrebbe apparire come un treno d’impulsi: il canale ha cioè “allargato”

l’occupazione temporale del segnale (time-spreading).

Se poi si prova a ripetere più volte l’esperimento precedente, potremmo

osservare dei cambiamenti nel treno d’impulsi ricevuto, ed in particolare nell’ampiezza

dei singoli impulsi, nei ritardi relativi tra essi e, molto frequentemente, nel loro numero.

Tali variazioni, dovute alla natura tempo-variante del canale, sono inoltre del tutto

imprevedibili dal punto di vista dell’utente.

I.2 Modello matematico per canali affetti da multipath

Per quanto detto finora appare del tutto ragionevole caratterizzare un canale

tempo variante soggetto a multipath da un punto di vista statistico.

Indichiamo allora il segnale trasmesso in termini del suo inviluppo complesso

( )s t rispetto alla frequenza fc:

( ) Re[ ( )exp( 2 )]cs t s t j f tπ= (I.7)


11

Com’è noto, l’inviluppo complesso (in gergo detto "low-pass equivalent") è una

rappresentazione del segnale s(t) che nelle applicazioni si fa coincidere con una sua

traslazione in banda base.

Assumendo che vi sia propagazione tramite cammini multipli, è possibile

associare a ciascun cammino un ritardo di propagazione ed un fattore d’attenuazione,

entrambi variabili nel tempo in maniera aleatoria. Il segnale in banda passante ricevuto

può quindi essere espresso nella forma:

( ) ( ) ( )n nn

x t t s t tα τ= − ∑ (I.8)

dove ( )n tα e ( )n tτ costituiscono, rispettivamente, l’attenuazione ed il ritardo di

propagazione subiti dal path n-esimo del segnale ricevuto. Sostituendo nell’equazione

(I.8) l’espressione di s(t) data dall’equazione (I.7), si ottiene:

( ) Re{[ ( )exp( 2 ( )) ( ( ))]exp( 2 )}n c n n cn

x t t j f t s t t j f tα π τ τ π= − −∑ (I.9)

Ѐ quindi evidente che l’inviluppo complesso (equivalente passa-basso) del

segnale ricevuto è:

( ) ( )exp[ 2 ( )] [ ( )]n c n nn

r t t j f t s t tα π τ τ= − −∑ (I.10)

Essendo il canale in esame lineare ma non permanente, vale l’espressione:

( ) ( ; ) ( )r t c t s t dτ τ τ+∞

−∞

= −∫ (I.11)


12

Perciò si deduce facilmente che tale canale è descritto dalla risposta impulsiva

tempo-variante:

( ; ) ( )exp[ 2 ( )] ( ( ))n c n nn

c t t j f t tτ α π τ δ τ τ= − −∑ (I.12)

Tale modello fornisce una giustificazione matematica al fenomeno del fading; si

consideri, infatti, la trasmissione di una portante di frequenza fc non modulata, ossia

del segnale:

( ) cos(2 ) ( ) 1cs t f t s t tπ= → = ∀ (I.13)

In questo caso particolare il segnale ricevuto assume la seguente espressione:

( ) ( )exp[ 2 ( )] ( )exp[ ( )]n c n n nn n

r t t j f t t j tα π τ α θ= − = −∑ ∑ (I.14)

dove ( ) ( )2n c nt f tθ π τ= .

Perciò il segnale presente in ricezione consiste nella somma di un certo numero

di vettori tempo-varianti (fasori) caratterizzati da ampiezze ( )n tα e fasi ( )n tθ .

Ѐ da notare che sono necessarie notevoli variazioni dinamiche nel mezzo

trasmissivo affinché ( )n tα cambi talmente tanto da produrre una significativa

variazione nel segnale ricevuto (componente del fading su larga scala). Da parte sua,

( )n tθ varierà di ben 2π radianti (provocando una rotazione completa del fasore) ogni

volta che ( )n tτ cambia di una quantità molto piccola pari a 1/fc; quindi perturbazioni

del mezzo anche in apparenza trascurabili sono in grado di produrre sensibili

modifiche nelle fasi delle componenti di segnale che si sommano in ricezione. In alcuni

istanti tali variazioni di fase possono essere tali che i vettori ( )n tα exp[-j ( )n tθ ] si

sommino distruttivamente; quando ciò accade, il segnale risultante ricevuto è molto

piccolo, se non addirittura nullo. In altri istanti invece i vettori possono sommarsi


13

costruttivamente, rendendo il segnale ricevuto grande. E’ questo il caso del fading su

scala ridotta.

I.3 Selettività in frequenza

Dopo aver esaminato il modello matematico del canale in presenza di cammini

multipli, è opportuno soffermarsi brevemente sui due modi di manifestarsi del fading

su piccola scala, già menzionati al termine del paragrafo I.1, iniziando, in questo

paragrafo, con il fenomeno del time-spreading.

A tal fine, assumiamo che la risposta impulsiva equivalente passa-basso del

canale, c(τ;t), definita dalla (I.12), possa considerarsi come un processo stocastico

stazionario in senso lato (ipotesi WSS): questo implica fra l’altro che la sua funzione

d’autocorrelazione sia invariante rispetto a traslazioni temporali. Quest’ultima si può

definire come:

1 2 1 2

1( , ; ) [ ( ; ) ( ; )]

2cc t E c t c t tρ τ τ τ τ∗∆ = + ∆ (I.15)

Inoltre, poiché nella maggioranza dei mezzi trasmissivi radio, l’attenuazione e lo

sfasamento subiti dal segnale nel path con ritardo 1τ sono incorrelati con quelli associati

al path con ritardo 2τ , possiamo applicare al nostro canale anche l'ipotesi di scattering

incorrelato (US).

Con queste ipotesi si ottiene:

1 2 1 1 2

1[ ( ; ) ( ; )] ( ; ) ( )

2 ccE c t c t t tτ τ ρ τ δ τ τ∗ + ∆ = ∆ − (I.16)

In generale ( ; )cc tρ τ ∆ fornisce la potenza media in uscita del canale come

funzione sia del ritardo temporale τ che della differenza Δt tra gli istanti d'osservazione.

Se poniamo poi Δt=0, la risultante funzione di autocorrelazione ( )( ; 0)cc ccρ τ ρ τ≡ è


14

semplicemente la potenza media d'uscita del canale in funzione del ritardo τ del

generico path, rispetto all’istante di arrivo del primo cammino.

Per questo motivo ( )ccρ τ è detta spettro di potenza nel ritardo τ, oppure profilo

d’intensità del multipath.

In genere l'andamento di questo profilo si presenta molto frastagliato, con diversi

picchi, ma mediamente tale funzione tende a scendere con τ ed assume valori

significativi fino ad un valore di τ posto pari a mT , valore noto come ritardo massimo,

inteso relativamente all’istante di arrivo del primo raggio. L’intervallo [0, mT ] è detto

"multipath spread" del canale.

Ragionando invece nel dominio della frequenza, la funzione di trasferimento di

( )ccρ τ è definita nel seguente modo:

( ){ } ( ) ( ) ( )F P exp 2cc cc ccf j f dρ τ ρ τ π τ τ+∞

−∞= ∆ = − ∆∫ (I.17)

Tale funzione può essere caratterizzata dal reciproco del ritardo massimo mT che

ci fornisce una misura della banda di coerenza del canale:

m

1( )

Tcf∆ ≈ (I.18)

Due sinusoidi separate in frequenza di una quantità superiore a ( )c

f∆ saranno

quindi distorte in maniera differente durante l’attraversamento del canale. Perciò,

quando è trasmesso un segnale di banda W che convoglia informazione, si può definire

il fading:

• selettivo in frequenza se (Δf) c <W: in questo caso il segnale risulterà notevolmente

distorto, dato che le sue componenti spettrali non cadono tutte dentro la banda di

coerenza del canale e pertanto saranno soggette a differenti guadagni e sfasamenti;


15

• non selettivo in frequenza se ( )c

f∆ >W: le componenti frequenziali del segnale

verranno modificate in modo omogeneo, dato che rientrano tutte all'interno della

banda di coerenza del canale.

Dato che si può porre approssimativamente W=1/ sT , dove sT è il tempo di

simbolo, è possibile dare una giustificazione più intuitiva al concetto di selettività in

frequenza, riducendolo al confronto fra sT e mT . Avremo pertanto:

• fading selettivo in frequenza se s mT T< : le componenti del multipath si estendono nel

tempo oltre la durata di ogni simbolo trasmesso. Si ha così il ben noto fenomeno

dell’interferenza intersimbolica indotta dal canale per cui le componenti relative

ad un simbolo di segnale non si sono ancora del tutto smorzate prima dell’arrivo

delle componenti del successivo;

• fading non selettivo in frequenza o flat fading se s mT >T : il flat fading non introduce

interferenza intersimbolica, poiché le componenti di ciascun simbolo si sono

notevolmente attenuate, prima dell'arrivo di quelle relative al simbolo successivo;

si può comunque riscontrare una diminuzione del rapporto segnale-rumore,

poiché le diverse componenti del multipath, come detto, possono sommarsi

distruttivamente in ricezione, dove arrivano con ampiezza e fasi diverse.


16

In Figura I.3 mostriamo i due tipi di fading:

Den

sità

D

ensi

tà

W ∆fc

frequenza

frequenza

Figura I.3 Confronto fra la funzione di trasferimento del canale ed un segnale con occupazione di banda

W [Skl97]. In alto è mostrato un tipico caso di fading selettivo in frequenza ( )( )cf W∆ < , mentre in

basso un tipico caso di flat fading ( )( )cf W∆ >


17

I.4 Fading veloce e fading lento

Il secondo fenomeno connesso con il fading su scala ridotta è il comportamento

tempo-variante del canale dovuto alle fluttuazioni degli strati ionosferici le quali

determinano la variazione del punto in cui viene riflessa e/o rifratta l’onda incidente e

quindi il cambiamento dei cammini di propagazione. Le altezze degli strati ionosferici

sono fortemente dipendenti dalla latitudine e dalle condizioni climatiche tanto che per

il loro corretto utilizzo sono state effettuate diverse campagne di misura durante tutto

l’anno solare e a varie ore del giorno.

Per caratterizzare questo tipo di fading occorre introdurre la funzione R(Δt),

detta funzione di correlazione tempo-spaziata, che rappresenta l'autocorrelazione della

risposta del canale ad una sinusoide; questa funzione specifica l'estensione

dell'intervallo temporale all'interno del quale c'è correlazione tra le risposte del canale a

due sinusoidi trasmesse a distanza di tempo Δt. Definiamo inoltre tempo di coerenza

T c l'intervallo temporale in cui si stima essere essenzialmente invariante la risposta del

canale ovvero segnali trasmessi a distanza massima T c non vengono modificati in

modo sostanzialmente diverso.

La trasformata di Fourier di R(Δt), rispetto alla variabile temporale Δt, è indicata

con ( )cS λ ; tale funzione è uno spettro di potenza che fornisce l'intensità del segnale

come funzione della frequenza Doppler λ. Per questo motivo ( )cS λ è detta spettro di

potenza Doppler del canale.

L'intervallo di valori di λ in cui lo spettro di potenza Doppler risulta

essenzialmente diverso da zero, è chiamato banda Doppler del canale, Bd. Dunque il

tempo di coerenza e la banda Doppler sono l'uno l'inverso dell'altro, cioè 1/T c =B d .


18

Concludendo, diciamo che la natura tempo-variante del canale viene allora così

definita:

• si ha fading veloce se T c <T s o equivalentemente B d >W; in tal caso ci si può

aspettare che le caratteristiche del fading cambino notevolmente durante

l'intervallo di simbolo, generando così una distorsione della forma dell'impulso in

banda base, distorsione che può dar origine ad errori non correggibili.

• si ha fading lento se T c >T s o equivalentemente B d <W; in tal caso la forma

dell'impulso in banda base non è alterata e il canale può essere considerato tempo-

invariante per la durata di diversi simboli.

Antitrasformata di Fourier

fc-fd fd fc+fd λ

∆t

Tc

Figura I.4 Relazione fra spettro di potenza Doppler (in alto) e funzione di correlazione tempo-spaziata (in basso)


19

I.5 Modello di canale tempo variante di Watterson

Nel presente simulatore si implementa un modello di canale tempo variante di

Watterson a due cammini multipli.

S(k)

FILTRO SAGOMATORE

A COSENO RIALZATO

CANALE TEMPO VARIANTE

DI WATTERSON

R(k)

AWGN

Figura I.5 Modello numerico del canale di forma d’onda simulato

Il blocco che in Figura I.5 viene sommariamente indicato come “CANALE

TEMPO VARIANTE DI WATTERSON” è in realtà descritto più in dettaglio dallo

schema in Figura I.6, ove si nota che l’uscita del canale è data dalla combinazione di un

raggio a ritardo nullo con un raggio ritardato di Δ secondi; i coefficienti della

combinazione sono tuttavia tempo varianti e costituiscono il vero e proprio Spettro

Doppler del canale.

Nel modello da noi considerato i guadagni dei raggi hanno distribuzione

gaussiana complessa, con componenti indipendenti ed identicamente distribuite ed

indipendenti anche fra loro. Inoltre, per ciascuno dei due guadagni si è assunto uno

Spettro di densità di potenza Gaussiano con larghezza di banda pari alla banda doppler

del canale.


20

Σ

X X

ritardo teta

S(t)

r(t)

g2(t) g1(t)

Ts

r(k)

Figura I.6 Schema a blocchi del canale tempo variante secondo il modello Watterson.; è stato incluso nello

schema anche il campionamento in ricezione

Indicati con r 1 (t) e r 2 (t) l’evoluzione temporale rispettivamente della

componente riflessa dallo strato ionosferico che arriva per prima a destinazione e della

componente riflessa che arriva con un ritardo di Δτ rispetto alla prima, il segnale in

uscita dal canale avrà un’evoluzione temporale data da:

( ) ( ) ( )1 2r t r t r t= + (I.19)

Entrambi i processi sono complessi:

1 1,Re 1,Im( ) ( ) ( )r t r t jr t= + (I.20)

( ) ( ) ( )2 2 ,Re 2 ,Imr t r t r t= + (I.21)

r(n) è la sequenza di campioni complessi derivante dal campionamento con

frequenza di campionamento fs =1/Ts del segnale r(t) in uscita dal canale.


21

Ovviamente sussiste la seguente relazione:

( ) ( ) ( )1 2r n r n r n= + (I.22)

dove: ( )1r n è la sequenza di campioni complessi derivata dal campionamento del

segnale ( )1r t ; ( )2r n è la sequenza di campioni complessi derivata dal campionamento

del segnale ( )2r t (sempre con la stessa frequenza di simbolo fs).

S(n) è la sequenza di campioni complessi derivante dal campionamento, sempre

con la stessa frequenza di simbolo, del segnale in ingresso al canale. La potenza

complessiva è pari all’unità, cioè:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2

1 2 1,Re 1,Im 2,Re 2,Im 4 1gr t r t r t r t r t r t σ+ = + + + = = (I.23)

Indicando con ( )1g n i campioni complessi che definiscono il comportamento del

canale rispetto al primo raggio (che derivano dal campionamento del segnale ( )1g t che

descrive l’evoluzione temporale del canale rispetto al primo raggio) e ( )2g n i campioni

complessi che definiscono il comportamento del canale rispetto al secondo raggio, si ha:

( ) ( ) ( )1 1 1r n g n s n= ∗ (I.24)

dove ( )1s n è la sequenza di campioni derivanti dal campionamento del segnale di

ingresso, non ritardata, ed inoltre:

( ) ( ) ( )2 2 2r n g n s n= ∗ (I.25)

dove ( )2s n è la sequenza di campioni derivanti dal campionamento del segnale di

ingresso, ritardata di Δτ rispetto alla sequenza di ingresso.

Per ottenere le sequenze di campioni complessi ( )1g n e ( )1g n che descrivono il

canale rispettivamente con riferimento al primo e al secondo raggio,tenendo anche


22

conto della rotazione di fase introdotta dalla presenza di una banda doppler, si è

proceduto nel seguente modo.

Come primo passo sono stati generati i campioni che definiscono lo spettro

Doppler nel dominio della frequenza, secondo un andamento Gaussiano definito dalla

relazione:

( )

2

exp

2

s

d

k f

NH kB

⋅

= −

(I.26)

ove è indicato in tabella a seguire il significato di B d , f s , N.

fs

frequenza di

simbolo:

10.500

N

numero dei

campioni della

FFT:

220= 1.048.576

Bd

banda

Doppler:

1Hz

È da rimarcare che il valore di N utilizzato nelle simulazioni deve essere sempre

una potenza di 2 e deve essere dimensionato in funzione della risoluzione spettrale

richiesta alla FFT; processi doppler più lenti richiedono un N più elevato.


23

L’ andamento degli H(k) viene mostrato nella figura seguente, ed è noto come

Spettro doppler del canale di Watterson:

Figura I.7 Spettro doppler del canale di Watterson

Si osservi come la banda Doppler coincida col doppio della deviazione standard,

ovvero con l’intervallo tra i due punti di flesso della curva.

Dato che da un punto di vista numerico è più conveniente operare con funzioni

di trasferimento i cui campioni nel dominio della DFT vadano da 0 a N-1,la funzione di

trasferimento del filtro sagomatore che utilizziamo nel nostro programma ha

l’andamento mostrato in Figura I.8. È evidente che la sequenza mostrata in questo

grafico è ottenuta da una finestratura da 0 a N-1 dell’estensione periodica a periodo N

della sequenza mostrata di seguito.

Figura I.8 Spettro doppler con estensione monolatera

Sono poi state generate due sequenze gaussiane bianche, per la componente reale

ed immaginaria, con deviazione standard ( )1 4 1g Kσ = • + dove K è il fattore di Rice

che nel caso da noi considerato di fading di Rayleigh tende a zero per cui gσ =0.5.


24

Di tali sequenze è stata fatta la trasformata di fourier secondo l’algoritmo della

FFT, per poi effettuare il filtraggio in frequenza con la funzione sagomatrice H(k) di cui

sopra. I campioni così filtrati sono stati trasformati nuovamente nel dominio del

tempo(vedi Fig. I.9 ). Questo procedimento viene eseguito due volte, una per ogni

cammino in modo da ottenere ( )1g n e ( )2g n .

generazione dei

campioni gaussiani

FFT

FFT inversa

Filtraggio in

frequenza

Sequenza dei campioni

complessi che

definiscono il canale

FFT

Filtraggio in

frequenza

FFT inversa

generazione dei

campioni gaussiani

ramo componente immaginaria

ramo componente reale

Figura I.9 Schema del modello funzionale adoperato per la generazione dei campioni complessi che

definiscono il comportamento del canale

Capitolo II Forma d’onda proposta

25

Capitolo II

FORMA D’ONDA

PROPOSTA

II.1 Introduzione: struttura della trama secondo lo standard

MIL-STD-188-110 A

In questo capitolo si descrivono le forme d’onda di un modem per dati operante

in banda HF ad un symbol rate di 2400 simboli al secondo. Le forme d’onda single-tone

specificate in questo capitolo usano la tecnica di modulazione 8-PSK.

È possibile operare con un bit_rate di partenza di 75,150,300,600,1200,2400,4800

bps. È previsto anche un codificatore convoluzionale seguito da un interleaver, capace

di processare blocchi la cui lunghezza può essere scelta in un insieme discreto di due

valori.

È poi prevista la presenza di un modified Gray decoder, di un formatore di

simbolo, di uno scrambler e infine del modulatore.

La Figura II.1 illustra lo schema a blocchi funzionale del generatore di foma

d’onda secondo lo standard MIL_STD_188_110 A, dove è stato tralasciato quanto

attiene ai meccanismi protocollari con lo strato di collegamento.


26

EO

M

SEQ

UE

NC

E

FEC

E

NC

OD

ER

UN

KN

OW

N

DA

TA

INT

ER

LE

AV

E

MA

TR

IX#1

S0

INT

ER

LE

AV

E

MA

TR

IX#2

MO

DIFIE

D

GR

AY

D

EC

OD

ER

(M

GD

)

UN

KN

OW

N

DA

TA

SYN

C

PRE

AM

BL

E

SEQ

UE

NC

E

S2

SYM

BO

L

FOR

MA

TIO

N

SCR

AM

BL

ER

SYN

C

SEQ

UE

NC

E

RA

ND

OM

IZIN

G

GE

NE

RA

TO

R

DA

TA

SE

QU

EN

CE

R

AN

DO

MIZ

ING

G

EN

ER

AT

OR

S3 SYN

C

DA

TA

MO

DU

LA

TO

R

KN

OW

N

DA

TA

(PR

OB

E)

SYN

C

ZE

RO

(FL

USH )

OU

TPU

T

S4

S1

Figura II.1 Schema a blocchi funzionale del generatore di forma d’onda, per lo standard MIL-STD188110 A


27

SYNC DATI#1 M DATI#2 ……

DATI#239

DATI#240

PM UM

SYNC: preambolo di sincronizzazione composto da 11520 simboli per il long interleaving e da 1440 simboli per lo short interleaving

DATI

BLOCCO 0 BLOCCO 1

DATI : blocco dati di 32 simboli nei casi di bit_rate 2400 e 4800, di 20 simboli nei casi di bit_rate 150,300,600,1200

M : minipreambolo composto da 16 simboli nulli nel caso di bit_rate 2400 e 4800 , composto da 20 simboli nulli nel caso di bit_rate 150,300,600,1200

PM : il penultimo minipreambolo del singolo blocco interlivato . UM : l’ultimo minipreamolo del singolo blocco interlivato. Essi avranno la stessa dimensione dei preamboli M ma non saranno composti da simboli nulli.

Figura II.2 Struttura della trama per lo standard MIL-STD-188-110 A

Il bit rate e la lunghezza di interleaving sono entrambe trasmesse esplicitamente

come parte della forma d’onda, in particolare come parte del preambolo iniziale e poi

periodicamente negli ultimi due minipreamboli del singolo blocco interlivato i quali

precedono per l’appunto il blocco successivo.

Come evidenzia la Figura II.1 la forma d’onda specificata dallo standard in

questione ha 4 fasi temporali funzionalmente distinte:

a.Synchronization preamble phase.

b.Data phase.

c.End-of-message (EOM) phase.

d.Coder and interleaver flush phase.


28

II.1.1 Sinchronization (sync) preamble phase

La durata di questa fase coincide esattamente con l’intervallo di tempo richiesto

per caricare la matrice di interleaving con un blocco di dati. Durante questa fase,

l’interruttore S0 della Figura II.1, sarà nella posizione UNKNOWN DATA e le funzioni

di codifica e di interleaver saranno attive dal momento che il modem comincia ad

accettare dati dal DTE (Data Terminal Equipment). Gli interruttori S2 e S3 saranno nella

posizione SYNC. Il modem comincerà quindi a trasmettere il preambolo di

sincronizzazione che permette la sincronizzazione nel tempo e in frequenza con il

ricevitore.

La durata temporale della sync sarà di 0.6 sec per lo zero e lo short interleaver,

4.8 sec per il long interleaver.

II.1.2 Data Phase

Durante questa fase la forma d’onda trasmessa conterrà sia dati informativi

(UNKNOWN DATA)che KNOWN DATA che sono delle sequenze di simboli utilizzati

in ricezione per l’equalizzazione del canale.

Gli interruttori S0 ed S3 sono nelle rispettive posizioni UNKNOWN DATA e

DATA, mentre S2 commuta periodicamente tra le posizioni UNKNOWN DATA

(l’uscita del modified Gray decoder (MGD)) e KNOWN DATA.

Per i bit rate 2400 e 4800 la durata dell’intervallo in cui S2 rimarrà nella posizione

UNKNOWN DATA è pari a quella corrispondente a 32 simboli,subito dopo S2

commuta nella posizione KNOWN DATA e vi rimane per una durata corrispondente a

16 simboli.

Per i bit rate 150,300,600,1200 S2 manterrà la stessa posizione prima di

commutare nell’altra posizione per una durata di 20 simboli in entrambi i casi.

Per il bit rate 75 S2 rimarrà sempre nella posizione UNKNOWN DATA.


29

II.1.3 EOM Phase

Non appena l’ultimo bit della sequenza di dati informativi che precede l’assenza

del segnale RTS (Request To Send) entra nell’encoder, S0 commuta nella posizione

EOM. Questo determina l’invio all’encoder di una sequenza di 32 bits che indicano la

fine della trasmissione .

II.1.4 Flush Phase

Subito dopo la EOM PHASE , S0 commuterà nella posizione FLUSH e si avrà

l’ingresso nell’encoder dei bits di flush.

II.2 FEC ENCODER

Il coder di trasmissione riceve in ingresso una sequenza binaria { }kb e ne

fornisce, in uscita, una { }2 kb avente un ritmo binario doppio. Possiamo supporre che la

sequenza di ingresso sia il risultato di una conversione analogico-digitale (A/D)

effettuata su un segnale di qualunque natura (voce, immagini,…) eseguita a monte del

codificatore, oppure una vera e propria sequenza di bit proveniente da un computer o

da una qualunque altra sorgente binaria.

I dati in ingresso subiscono una codifica convoluzionale tale da raddoppiarne il

ritmo binario, per tale scopo la sequenza viene suddivisa in N blocchi, tali blocchi

vengono codificati singolarmente con codifica convoluzionale; infine all’uscita del

codificatore vengono riassemblati per ricostruire la sequenza.

Lo schema di principio del codificatore convoluzionale è rappresentato in Figura II.3.

Il bit rate 4800 non viene codificato , per i bit rate 2400,1200 e 600 si ottengono in

uscita dal codificatore dei coded bit streams a 4800,2400,1200 bps rispettivamente.

Per i bit rate 300 e 150 la coppia di bit in uscita dal codificatore in corrispondenza

ad ogni singolo bit in ingresso vengono ripetuti rispettivamente 2 e 4 volte in modo da

ottenere un bit rate codificato di 1200 bps.


30

x5 x6 x4 x3 x2 x 1

+

+

OUTPUT INPUT

FREQUENZA DELLO SWITCH PARI AL DOPPIO DELLA

FREQUENZA DEI BIT IN INGRESSO

T1(x)

T2(x)

Polinomi generatori: T1(x)= x6+x4+x3+x+1 T2(x)= x6+x5+x4+x3+1

Figura II.3 Codificatore convoluzionale

Per il bit rate 75 viene utilizzato un formato diverso ottenendo un bit rate

codificato di 150 bps.

Quanto detto viene riassunto nella Tabella II.1.

Data rate (bps) Effective code rate Metodo per ottenere il

code rate

4800 (no coding) (no coding)

2400 1/2 (4800) Rate ½ code

1200 1/2 (2400) Rate ½ code

600 1/2 (1200) Rate ½ code

300 1/4 (1200) Rate ½ code ripetuto per 2

150 1/8 (1200) Rate ½ code ripetuto per 4

75 1/2 (150) Rate ½

Tabella II.1 Effective code rate per i vari bit-rate di ingresso


31

II.3 Interleaving

La tecnica dell’interleaving permette una correzione di errori a burst in ricezione

secondo i limiti del codice, errori che altrimenti non potrebbero essere corretti e

comprometterebbero il trasferimento dell’informazione..

L’interleaver farà uso di due matrici, le cui dimensioni saranno funzione del bit

rate, queste matrici verranno di volta in volta caricate con il singolo blocco da

interlivare le cui dimensioni saranno compatibili con la dimensione delle matrici.

La dimensione delle matrici sarà calibrata in base al bit rate in modo tale che la

durata della fase di immagazzinamento dei dati nella singola matrice abbia sempre la

durata di 0.0, 0.6, 4.8 s rispettivamente per lo zero, short e long interleave.

Sono necessarie due matrici di interleave dal momento che i bit vengono caricati

e prelevati in momenti diversi. Questo permette che una matrice venga caricata mentre

l’altra viene scaricata.

La Tabella II.2 riporta le dimensioni delle matrici al variare del bit rate per le

varie tipologie di interleave.Per il bit rate 4800 l’interleaver viene bypassato.

Long interleaver Short interleaver

Bit rate (bps) Numero di

righe

Numero di

colonne

Numero di

righe

Numero di

colonne

2400 40 576 40 72

1200 40 288 40 36

600 40 144 40 18

300 40 144 40 18

150 40 144 40 18

75 20 36 10 9

Tabella II.2 Dimensione della matrice di interleave al variare del bit rate e del tipo di interleave


32

II.3.1 INTERLEAVE LOAD

I dati vengono caricati nella matrice di interleave in base al seguente algoritmo:

partendo dalla colonna numero zero , il primo bit viene caricato nella riga numero zero,

il successivo bit nella riga numero 9, il terzo nella riga numero 18 e il quarto nella riga

numero 27. L’indice di riga nell’ambito della stessa colonna dunque viene di volta in

volta incrementato di 9 modulo 40.

Il procedimento continua fino a quando vengono caricate tutte le 40 righe.

A questo punto il caricamento procede con la colonna numero 1 e cosi via fino a che la

matrice risulta completamente riempita. Questo algoritmo di caricamento è valido sia

per lo short che per il long interleave.

Fa eccezione il bit rate 75 per il quale, nel caso di long interleave , il

procedimento è lo stesso ma il numero di riga viene di volta in volta incrementato di 7

modulo 20. Nel caso di short interleave il numero di riga viene incrementato di 7

modulo 10.

II.3.2 INTERLEAVE FETCH

La sequenza di bit prelevati dalla matrice di interleave inizia dall’elemento di

indice sia di riga che di colonna pari a zero. La locazione del successivo bit da prelevare

viene determinata incrementando di uno l’indice di riga e decrementando di 17

(modulo il numero di colonne della matrice di interleave) l’indice di colonna. Questo

procedimento continua fino a quando il numero di riga raggiunge il suo valore

massimo. A questo punto, l’indice di riga viene reinizializzato a zero e il numero di

colonna viene incrementato di uno rispetto al valore che aveva l’ultima volta che

l’indice di riga aveva assunto il valore zero. L’intero procedimento continua finché

l’intera matrice viene scaricata. Fa al solito eccezione il bit rate 75 per il quale il

decremento dell’indice di colonna sarà pari a 7 anziché 17.


33

I bit prelevati dalla matrice di interleave vengono a questo punto raggruppati

insieme come entità di uno, due o tre bit (asseconda del bit rate) le quali entità

prendono il nome di channel symbols. La Tabella II.3 illustra il modo in cui vengono

raggruppati i bits per formare i channel symbols, al variare del bit rate.

Data rate (bps) Numero di bit prelevati per channel

symbol

2400 3

1200 2

600 1

300 1

150 1

75 2

Tabella II.3 Numero di bits per channel symbol al variare del bit rate

II.4 Modified Gray decoding

Lo scopo di effettuare una decodifica dei bit provenienti dalla matrice di

interleave mediante il modified gray decoder è di garantire che gli errori che

coinvolgono simboli con fasi adiacenti al ricevitore corrispondono all’errore su un

singolo bit del simbolo.

Per i bit rate 4800 e 2400 i bit di canale vengono effettivamente trasmessi

utilizzando 8-ary channnel symbols. Per 1200 e 75 bps i bit vengono effettivamente

trasmessi utilizzando 4-ary channel symbols.

Il modified gray decoding dei bit rate 2400,4800 (tribit channel symbol) e 75,1200

(dibit channel symbol) è illustrato rispettivamente in Tabella II.4 e in Tabella II.5.


34

Quando vengono utilizzati simboli di canale composti da un singolo bit cioè nel

caso di bit rate 150 e 600, l’MGD non modifica il flusso di dati.

Input bits

First bit Middle bit Last bit Modified Gray

decoded value

0 0 0 000

0 0 1 001

0 1 0 011

0 1 1 010

1 0 0 111

1 0 1 110

1 1 0 100

1 1 1 101

Tabella II.4 Modified Gray decoding a 2400 e 4800 bps

First bit Last bit Modified Gray decoded

value

0 0 00

0 1 01

1 0 11

1 1 10

Tabella II.5 Modified Gray decoding a 75 e1200 bps; sulle colonne ci sono I bit in input al M.G.D


35

II.5 Symbol formation

La funzione di symbol formation effettua il mapping dei simboli di canale

formati da uno, due , oppure tre bit in uscita dall’ MGD o dal preambolo di sync in

simboli formati da tre bit , compatibili con lo schema di modulazione 8-PSK.

II.5.1 Unknown data

A tutti i bit rate ad eccezione del 75 bps ciascun channel symbol sia esso

composto da uno, due, tre bit, verrà mappato direttamente in uno degli 8-ary tribit

numbers cioè in uno degli 8 simboli della costellazione 8-PSK, a modulo unitario.

Quando vengono utilizzati channel symbol da un bit (per i bit rate 600 e 150),

l’uscita del symbol formation sarà composta dai tribit numbers 0 e 4 (caso BPSK).

A 1200 bps, i dibit channel symbol saranno mappati nei simboli della

costellazione 8-PSK 0, 2, 4, e 6.

I bit rate 4800 e 2400 verranno mappati nei simboli da 0 a 7.

Questi valori verranno successivamente scramblati ai fini di poter assumere il

valore di uno tra tutti i possibili simboli della costellazione 8-PSK.

A 75 bps i simboli di canale sono formati da 2 bit e vengono mappati nei simboli

0, 2, 4, e 6. Però in questo caso non vengono inseriti miniprobe di simboli noti, ma viene

utilizzato un formato diverso: ogni simbolo 4-PSK viene mappato in 32 tribit numbers,

secondo la Tabella II.6.

Verrà utilizzato il mapping della Tabella II.6 (la parte a. ) per tutti i sets di 32

tribit numbers ad eccezione di ogni 45-esimo set di ogni blocco interlivato nel caso di

shot interleave e ad eccezione di ogni 360-esimo set nel caso di long interleave. Cioè

fanno eccezione gli ultimi 32 tribit numbers di ogni blocco che in questo modo

segnalano al ricevitore la fine di un blocco e l’inizio del successivo. In questi casi viene

utilizzato il mapping illustrato nella Tabella II.6 (parte b).


36

Anche in questo caso i simboli verranno sottoposti ad uno scrambling. All’uscita

dello scrambler i simboli della trama apparterranno all’insieme dei simboli della

costellazione 8-PSK.

Channel symbol Tribit numbers

a. Mapping per i sets normali

00 (0) (0000) ripetuto 8 volte




b.Mapping per i sets che fanno eccezione

00 (0) (0000 4444) ripetuto 4 volte

01 (2) (0404 4040) ripetuto 4 volte

10 (4) (0044 4400) ripetuto 4 volte

11 (6) (0440 4004) ripetuto 4 volte

Tabella II.6 Mapping dei channel symbols per il bit rate 75 bps

II.5.2 Known data

Durante il periodo in cui i simboli noti vengono trasmessi, l’uscita del formatore

di simbolo viene posta a 0 (000) ad eccezione del caso in cui vengono trasmessi gli

ultimi due miniprobe del singolo blocco interlivato, ossia i due miniprobe che

precedono la trasmissione del successivo blocco interlivato.

La lunghezza del singolo blocco interlivato sarà pari a 1440 tribit channel

symbols nel caso di short interleave e 11520 tribit channel symbols per il caso di long

interleave.

Nel caso in cui vengono trasmesse le ultime due sequenze di simboli noti del

singolo blocco i 16 simboli di queste sequenze saranno ottenuti dal mapping dei simboli


37

di designazione D1 e D2 rispettivamente per il penultimo e per l’ultimo miniprobe,

secondo la Tabella II.8.

Dapprima però ai simboli D1 e D2 verranno assegnati dei valori in relazione al

bit rate e al tipo di interleaver come descritto nella Tabella II.7.

Nel caso di zero interleaver viene utilizzata la sequenza valida per lo short

interleaver.

Short interleave Long interleave Bit rate

D1 D2 D1 D2

4800 7 6 - -

2400

(Secure Voice) 7 7 - -

2400

(Data) 6 4 4 4

1200 6 5 4 5

600 6 6 4 6

300 6 7 4 7

150 7 4 5 4

75 7 5 5 5

Tabella II.7 Assegnazione di un simbolo della costellazione 8-PSK ai simboli di designazione D1 e D2


38

D1 o D2 Tribit numbers

000 (0) (0000 0000) ripetuto 2 volte

001 (1) (0404 0404) ripetuto 2 volte

010 (2) (0044 0044) ripetuto 2 volte

011 (3) (0440 0440) ripetuto 2 volte

100 (4) (0000 4444) ripetuto 2 volte

101 (5) (0404 4040) ripetuto 2 volte

110 (6) (0044 4400) ripetuto 2 volte

111 (7) (0440 4004) ripetuto 2 volte

Tabella II.8 Mapping del simbolo 8-PSK assegnato a D1 o D2; a sinistra il simbolo 8-PSK risultante dalla

Tabella II.7; a destra il suo mapping

II.6 Preambolo di SYNC

Il preambolo di sincronizzazione sarà composto da 3 o 24 (rispettivamente nel

caso di zero e short interleaver oppure nel caso di long interleaver) segmenti della

durata temporale di 200 millisecondi. Ogni segmento consiste nella trasmissione di 15

tribit channel symbols.

La sequenza di 15 simboli è: 0, 1, 3, 0, 1, 3, 1, 2, 0, D1, D2, C1, C2, C3, 0.

A D1 e D2 verranno assegnati dei tribit channel symbols secondo quanto

specificato nella Tabella II.7. Questi valori designeranno il bit rate e il tipo di interleave

utilizzato dal modem trasmittente.

I 3 simboli C1, C2, C3 rappresentano un indice di conteggio relativamente alla

posizione del singolo segmento nella sequenza di 3 o 24 segmenti.

Il conteggio parte dal valore massimo (2 o 23) e decresce fino ad arrivare a zero

nell’ultimo segmento della sequenza.


39

I valori verranno letti come una parola di 6 bit (C1,C2,C3), dove C1 contiene i

due bit più significativi. I valori a due bit di ogni C verranno convertiti in valori a tre bit

aggiungendo un bit uno davanti al bit più significativo della coppia, come mostrato

nella Tabella II.9.

Two-bit count value Three-bit sync symbol

00 4 (100)

01 5 (101)

10 6 (110)

11 7 (111)

Tabella II.9 Conversione del valore a due bit del simbolo di conteggio in un valore a tre bit

Channel symbol Tribit numbers

000 (0) (0000 0000) ripetuto 4 volte

001 (1) (0404 0404) ripetuto 4 volte

010 (2) (0044 0044) ripetuto 4 volte

011 (3) (0440 0440) ripetuto 4 volte

100 (4) (0000 4444) ripetuto 4 volte

101 (5) (0404 4040) ripetuto 4 volte

110 (6) (0044 4400) ripetuto 4 volte

111 (7) (0440 4004) ripetuto 4 volte

Tabella II.10 Mapping dei channel symbol per il preambolo di sync

ESEMPIO: L’indice 23 (010111) viene convertito in (C1,C2,C3) con C1=5, C2=5,

C3=7.


40

Abbiamo a questo punto ottenuto una sequenza di tribit channel symbols

ciascuno dei quali verrà mappato in 32 tribit numbers appartenenti alla costellazione

8-PSK cosi come specificato nella Tabella II.10.

II.7 Scrambler

Ai tribit numbers in uscita al formatore di simbolo vengono sommati modulo 8 i

tribit numbers forniti o dal generatore della sequenza random di dati o dal generatore

della sequenza random di sync.

II.7.1 Generatore della sequenza random dei dati

Il generatore della sequenza random di dati è un registro a scorrimento il cui

schema funzionale è mostrato nella Figura II.4.

All’inizio del data phase lo shift register viene caricato con la sequenza iniziale

(101110101101) mostrata in Figura II.4 e fatto scorrere in avanti 8 volte.

Il simbolo formato dai 3 bit evidenziati in Figura II.4 costituisce il primo simbolo

(un numero tra 0 e 7) della sequenza generata dallo scrambler. Il secondo simbolo della

sequenza viene generato facendo scorrere in avanti il registro per 8 volte e così via per

ogni nuovo simbolo.

Quindi lo scorrimento di 8 posizioni in avanti avviene con cadenza pari al

periodo di simbolo. Dopo i primi 160 simboli generati dal registro, esso viene resettato e

reinizializzato con i valori che conteneva prima dell’ultimo scorrimento in avanti di 8

posizioni.

Questo procedimento produce una sequenza periodica di 160 simboli.


41

1

0

1

1

1

0 +

1

0

1 +

1

0 +

1

MSB

Middle Bit

LSB

Figura II.4 Diagramma funzionale del randomizing shift register

II.7.2 Generatore della sequenza random di SYNC

Viene ripetuta periodicamente la stessa sequenza di 32 simboli: 7 4 3 0 5 1 5 0 2 2

1 1 5 7 4 3 5 0 2 6 2 1 6 2 0 0 5 0 5 2 6 6.

Le sequenze generate dallo scrambler verranno sommate modulo 8 alla sequenza

in uscita dal formatore di simbolo.


42

II.8 Modulazione 8-PSK

La modulazione usata è la 8-PSK; la mappatura dei simboli è mostrata in

Tabella II.11.

Simbolo Fase In fase In quadratura

0 0 1.000000 0.000000

1 π/4 0.707107 0.707107

2 π/2 0.000000 1.000000

3 3π/4 -0.707107 0.707107

4 π -1.000000 0.000000

5 5π/4 -0.707107 -0.707107

6 3π/2 0.000000 -1.000000

7 7π/4 0.707107 -0.707107

Tabella II.11 Mappatura dei simboli 8PSK

Nella tabella di Tabella II.12 sono mostrate sinteticamente le principali

caratteristiche della forma d’onda generata.


43

INFORMATION RATE

CODING RATE

CHANNEL RATE

BITS/CHANNEL SYMBOL

8 PHASE SYMBOL PER

CHANNEL SYMBOL

UNKNOWN SYMBOLS

KNOWN SYMBOLS

4800 bps --- 4800 3 1 32 16

2400 bps 1/2 4800 3 1 32 16

1200 bps 1/2 2400 2 1 20 20

600 bps 1/2 1200 1 1 20 20

300 bps 1/4 1200 1 1 20 20

150 bps 1/8 1200 1 1 20 20

75 bps 1/2 150 2 32 all 0

Tabella II.12 Caratteristiche della forma d’onda

Da notare, infine, che il tempo per trasmettere i simboli di dati appartenenti ad

un singolo blocco interlivato è (32*240)/2400=3,2 secondi mentre quello per trasmettere

l’intera trama è di 11520/2400= 4,8 secondi .

Definito il throughput come payload

payload overheadρ =

+, in cui i simboli di

overhead sono costituiti dai minipreamboli ciascuno lungo Lpre, si ha per la trama

proposta: Lpre =16 e Ldata =32: ρ=0,66.

II.9 Filtri sagomatori a coseno rialzato

Il ruolo dei filtri di modulazione è quello di costringere la forma d’onda ad

occupare una banda predeterminata. Attualmente, viene usato un filtro sagomatore a

radice di coseno rialzato con un fattore di roll-off (banda in eccesso) del 35%.

Utilizzando questo filtro sia in trasmissione che in ricezione si ottiene la

massimizzazione del rapporto segnale-rumore e la minimizzazione dell’interferenza

intersimbolica.


44

Questo filtro ha la seguente risposta in frequenza:

( )

( ) ( ) ( ){ }( )

1

0.5 1 sin / 2

0

n n

n n n n n n

H f f f pf

H f f f pf f pf f f pf

H f altrove

π

= ≤ −

= − − − ≤ ≤ +

=

(II.1)

dove nf è la frequenza di Nyquist ( nf = 1/2T) = 1200 Hz e p è il fattore di roll-off.

I filtri di mo-demodulazione sono realizzati effettuando semplicemente la

radice quadrata della risposta in frequenza precedentemente definita.

Capitolo III L’equalizzazione di canale

45

Capitolo III

L’EQUALIZZAZIONE

DI CANALE

III.1 Modello dei canali con ISI [Pro 95] [3.]

L’inviluppo complesso di segnale per qualunque tecnica di modulazione digitale

ha la forma

0

( ) ( )nn

v t I g t nT+∞

=

= −∑ (III.1)

dove { nI } rappresenta la sequenza di informazione discreta dei simboli e g(t) è un

impulso che, per i propositi di questa discussione, è assunto che abbia una risposta in

frequenza G(f) limitata in banda, i.e., G(f)=0 per|f|>W. Questo segnale è trasmesso su

un canale che ha una risposta in frequenza C(f), anche essa limitata a |f| ≤ W.

Conseguentemente, il segnale ricevuto può essere rappresentato come

0

( ) ( ) ( )l nn

r t I h t nT z t+∞

=

= − +∑ (III.2)

dove,

( ) ( ) ( )h t g c t dτ τ τ+∞

−∞

= −∫ (III.3)

e z(t) rappresenta il rumore Gaussiano bianco additivo.


46

Si supponga che il segnale ricevuto sia passato precedentemente in un filtro e poi

campionato ad una frequenza di 1/T campioni/sec. Sappiamo che il filtro ottimo dal

punto di vista della rivelazione del segnale è quello adattato all’impulso ricevuto. La

risposta in frequenza del filtro in ricezione è H*(f). L’uscita del filtro di ricezione quindi

è:

0

( ) ( ) ( )nn

y t I x t nT tν+∞

=

= − +∑ (III.4)

dove x(t) è l’impulso rappresentante la risposta del filtro ricevente all’impulso di

ingresso h(t) e ν(t) è la risposta del filtro ricevente al rumore z(t).

Adesso, se y(t) è campionato al tempo t = kT + 0τ , k = 0,1,…, abbiamo

0 0 00

( ) ( ) ( )k nn

y kT y I x kT nT kTτ τ ν τ+∞

=

+ ≡ = − + + +∑ (III.5)

oppure, equivalentemente,

0

0,1,...k n k n kn

y I x kν+∞

−=

= + =∑ (III.6)

dove 0τ è il ritardo di trasmissione attraverso il canale.

I valori campionati possono essere espressi come

( )00,0

1k k n k n k

n n k

y x I I xx

ν+∞

−= ≠

= + +∑ (III.7)


47

Consideriamo x 0 come un arbitrario fattore di scala, che arbitrariamente

settiamo ad uno per convenienza.

Quindi

0,0

1k k n k n k

n n k

y I I xx

ν+∞

−= ≠

= + +∑ (III.8)

Il termine kI rappresenta il simbolo di informazione desiderato al k-mo istante di

campionamento, il termine

0,

n k nn n k

I x+∞

−= ≠

∑ (III.9)

rappresenta l’interferenza di intersimbolo (ISI), e kν è la variabile di rumore gaussiano

additivo al k-mo istante di campionamento.

L’ISI causa la chiusura del diagramma ad occhio con una conseguente riduzione

del margine d’errore per il rumore additivo. Noto che l’ISI distorce la posizione degli

attraversamenti dello zero e riduce l’apertura dell’occhio, ciò porta il sistema ad essere

più sensibile ad errori di sincronizzazione e al rumore.

Nel trattare con canali limitati in banda che presentano ISI è conveniente

sviluppare un modello tempo-discreto equivalente per il sistema analogico (tempo

continuo). Dal momento che il trasmettitore invia simboli a tempo-discreto alla

frequenza di 1/T simboli/sec e che anche l’uscita campionata del filtro adattato al

ricevitore è un segnale tempo-discreto con campioni ottenuti ad un tasso di 1/T simboli

per secondo, ne segue che la cascata del filtro analogico al trasmettitore con risposta

impulsiva g(t), del canale con risposta impulsiva c(t), del filtro adattato al ricevitore con

risposta impulsiva h*(-t), e del campionatore può essere rappresentata tramite un filtro

trasversale tempo-discreto equivalente avendo per coefficienti di guadagno dei tappi

{x k }.


48

Conseguentemente abbiamo un filtro trasversale tempo-discreto equivalente che

ricopre un intervallo di tempo di 2LT secondi. Il suo ingresso è la sequenza dei simboli

d’informazione { kI } e l’uscita è la sequenza tempo-discreta { ky }data dalla (III.6). Il

modello tempo-discreto equivalente è mostrato in Figura III.1.

La maggiore difficoltà con il modello tempo-discreto si ha nella valutazione delle

prestazioni delle varie equalizzazioni o tecniche di stima.

Questa è causata dalle correlazioni nella sequenza di rumore { kν } all’uscita del

filtro adattato.

{In}

{Yn}

xL x1 x0 x-1 x-L

∑

z-1 z-1 z-1 z-1 z-1

{νn}

∑−

−⋅L

L

knk Ix

Figura III.1 Modello tempo-discreto equivalente di canale con ISI. I registri introducono un ritardo pari

ad un tempo di simbolo


49

L’insieme delle variabili di rumore { kν } è una sequenza con distribuzione

gaussiana con media nulla e funzione di autocorrelazione

( )( )

( )

012 0

k j

k j

N x k j LE

altrimentiν ν

−∗ − ≤

=

(III.10)

Adesso la sequenza di rumore è correlata eccetto kx =0, k ≠ 0.

Dato che è più conveniente trattare con la sequenza di rumore bianco quando si

sta calcolando la prestazione del tasso d’errore, è desiderabile sbiancare la sequenza di

rumore con un ulteriore filtraggio della sequenza { ky }. Il filtro sbiancante tempo-

discreto è determinato come segue.

Consideriamo con X(z) la trasformata z (bilatera) della funzione di

autocorrelazione campionata { kx }, i.e.,

( )L

kk

k L

X z x z−

=−

= ∑ (III.11)

Dato che k kx x∗−= , ne segue che X(z)=X*(z 1− ) e le 2L radici di X(z) hanno la

simmetria tale che se ρ è una radice anche 1/ρ* lo è. Adesso X(z) può essere fattorizzata

ed espressa come

* 1( ) ( ) ( )X z F z F z−= (III.12)

dove F(z) è un polinomio di grado L con radici 1ρ , 2ρ ,…, Lρ e F*(z 1− ) è un polinomio di

grado L con radici 1/ 1ρ *, 1/ 2ρ *,…,1/ Lρ *. Poi un filtro sbiancante appropriato ha per

trasformata z 1/F*(z 1− ). Dato che ci sono 2L possibili scelte di radici per F*(z 1− ), ogni

scelta corrisponde ad una caratteristica di filtro che è identica in modulo ma differente

in fase dalle altre scelte di radici, proponiamo di scegliere l’unica F*(z 1− ) avente fase

minima, i.e., il polinomio avente tutte le sue radici nel cerchio unitario. Così, quando

tutte le radici di F*(z 1− ) sono nel cerchio unitario, 1/F*(z 1− ) è un filtro tempo-discreto,


50

fisicamente realizzabile, stabile e ricorsivo. Conseguentemente il passaggio della

sequenza { ky } attraverso il filtro digitale 1/F*(z 1− ) mi dà in uscita una sequenza { kν } che

può essere espressa come

0

L

k n k n kn

f Iυ η−

=

= +∑ (III.13)

dove { kη } è una sequenza di rumore gaussiano bianco e { kf } è l’insieme dei coefficienti

relativi ad ogni colpo di clock (taps) di un filtro trasversale tempo-discreto equivalente

avente una funzione di trasferimento F(z). In generale la sequenza { kν } è a valori

complessi.

{Ik}

fL fL-1 f1 f0

∑

z-1 z-1 z-1 z-1

{υk} {ηk}

Figura III.2 Modello tempo-discreto equivalente di canale con ISI e AWGN; i registri z-1 introducono un

rirado pari ad un tempo di simbolo


51

In conclusione, la cascata del filtro di trasmissione g(t), il canale c(t), il filtro

adattato h*(-t), il campionatore ed il filtro sbiancante tempo-discreto 1/ F*(z 1− ) può

essere rappresentato come un filtro trasversale tempo-discreto equivalente avente

l’insieme { kf } come “taps coefficients” (detti brutalmente tappi).

La sequenza di rumore additivo { kη } che corrompe l’uscita del filtro trasversale

tempo-discreto è una sequenza di rumore gaussiana bianca avente media nulla e

varianza N 0 . La Figura III.2 illustra il modello del sistema tempo-discreto equivalente

con rumore bianco (AWGN).

III.2 Equalizzazione lineare [Pro95] [3.]

È il metodo più semplice per compensare l’ISI introdotta da un canale. Un tipo di

approccio impiega un filtro trasversale lineare la cui struttura ha una complessità che è

una funzione lineare della lunghezza di dispersione del canale L.

Il filtro lineare più usato per l’equalizzazione è il filtro trasversale mostrato in

Figura III.3. Il suo ingresso è la sequenza { kυ } data in (III.13) e la sua uscita è la stima

della sequenza d’informazione { kI }. La stima del k-mo simbolo può essere espressa

come

ˆk

k j k jj k

I c υ −=−

= ∑ (III.14)

dove { jc } sono i 2K+1 tappi complessi del filtro.

La stima ˆkI è quantizzata (in distanza) al simbolo di informazione più vicino per

formare la decisione kI% . Se kI% non è identico al simbolo di informazione trasmesso kI

vuol dire che è stato commesso un errore.

Una ricerca considerevole è stata fatta sul criterio per l’ottimizzazione dei

coefficienti dei filtri { jc }.


52

Dato che la misura di prestazione più significativa per un sistema di

comunicazioni digitale è la probabilità d’errore media, è desiderabile scegliere i

coefficienti per minimizzare questo indice di prestazione.

{υk}

∑

z-1 z-1 z-1 z-1

Algoritmo per la regolazione del

guadagno dei “taps”

c-2 c-1 c0 c1 c2

+

Uscita equalizzata

{Îk}

Figura III.3 Filtro trasversale lineare

Comunque, la probabilità d’errore è una funzione di { jc } altamente non lineare e

conseguentemente impraticabile come indice di prestazione per l’ottimizzazione dei

coefficienti di peso dei tappi.


53

III.3 Canale AWGN con rivelatore a soglia (slicer)

Le simulazioni effettuate e quindi le relative curve e tabelle di prestazioni per i

vari formati di modulazione fanno riferimento ad un canale di tipo AWGN. In queste

curve l’SNR è espresso come rapporto tra l’energia del bit media Eb e la varianza del

rumore N 0 ; si è ottenuto poi dal simulatore il SER (Simbol Error Rate) relativo ad ogni

valore di Eb/N 0 .

Lo schema a blocchi del modem usato nelle simulazioni è rappresentato dalla

Figura III.4.

Essendo il canale supposto di tipo AWGN e dato che i segnali sono modulati il

rumore sarà descritto da un segnale complesso, ciò significa che occorre generare due

sorgenti di rumore in modo indipendente fra di loro. Le prestazioni sono calcolate al

variare dell’ SNR che, essendo i segnali normalizzati in energia, si può scrivere come

10N − ; di conseguenza fissato il rapporto segnale/rumore in dB si calcola la varianza del

rumore come 100 10

SNR

N−

= . Il valore ( )12

00.5 N è usato per pesare i valori reali distribuiti

secondo una gaussiana a varianza unitaria generati da una funzione della libreria del

linguaggio C. In questo modo si generano le due componenti analogiche di bassa

frequenza del rumore a potenza 0N .

Nelle ipotesi semplificative dell’ambiente di simulazione di Figura III.4, il

demodulatore, che ha lo scopo di estrarre dalle componenti analogiche di bassa

frequenza il simbolo trasmesso, si riduce ad un decisore che lavora simbolo a simbolo.

Per le modulazioni QPSK e 8-PSK il decisore deve estrarre, a partire dalle

componenti in fase ed in quadratura del segnale ricevuto, la fase di questo numero

complesso e poi decidere a quale settore circolare appartenga, quindi associargli il

punto di costellazione. Fare ciò equivale a trovare il punto di costellazione a minima

distanza da quello ricevuto. Per le QAM si è proceduto, invece, adottando direttamente


54

il metodo della minima distanza calcolando la distanza del punto ricevuto da tutti i

punti di costellazione e associandogli il più vicino.

si+jsj

wi+jwj

ri+jrj

S Mappatore

Demodulatore

Calcolo del SER

si+jsj

bits simb

simb

Modulatore

Generatore della trama

Figura III.4 Schema a blocchi del modem software con AWGN

Questo modo di agire obbliga a eseguire tutti i confronti ed in particolare per la

64-QAM si nota un certo aumento del tempo di simulazione che si può ridurre

scegliendo prima il quadrante di appartenenza del punto ricevuto per poi al suo interno

applicare il metodo della minima distanza, riducendo così il numero di confronti medio

di un fattore 4.

Per le simulazioni si è proceduto nel seguente modo: per ogni tipo di

modulazione si è fatto variare l’SNR in un certo intervallo ed è stato misurato il SER

(Symbol Error Rate), cioè il numero dei simboli errati diviso il numero totale dei simboli

relativi ai dati d’utente.

Il secondo passo è stato quello di verificare la bontà delle prestazioni misurate.

Per fare ciò viene effettuata una comparazione tra i grafici ottenuti e quelli già riportati

nei testi di telecomunicazioni per le modulazioni previste e per il canale AWGN. I testi

considerati sono stati [Pro95] [3.]e [Ben90] [2.].


55

Il grafico di Figura III.5 e la Tabella III.1 sono stati ottenuti simulando 10 trame

per un equivalente di 184320 simboli relativi ai dati di utente.

Eb/ 0N

(dB) SER

Q-PSK SER

8-PSK SER

16-QAM SER

32-QAM SER

64-QAM -4 3,39E-01 5,47E-01 6,82E-01 7,89E-01 8,72E-01 0 1,52E-01 3,48E-01 4,88E-01 6,34E-01 7,63E-01 4 2,51E-02 1,38E-01 2,29E-01 3,86E-01 5,64E-01 8 4,83E-04 1,84E-02 4,20E-02 1,23E-01 2,78E-01

12 - 1,30E-04 1,06E-03 9,29E-03 5,41E-02 16 - - - 1,63E-05 1,29E-03

Tabella III.1 Ser per canale AWGN con slicer per diverse modulazioni

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

1,E+00

-4,00 0,00 4,00 8,00 12,0 16,0Eb/No

Ser

serqpsk

ser8psk

ser16qam

ser32qam

ser64qam

Figura III.5 SER per canale AWGN con slicer per diverse modulazioni

Capitolo IV Equalizzazione basata sul “Constant Modulus Algorithm”

56

Capitolo IV

EQUALIZZAZIONE BASATA SUL

“CONSTANT MODULUS

ALGORITHM”

IV.1 Principi di funzionamento ed applicazione su canale

tempo invariante

Si considerino in prima istanza canali descritti da risposta impulsiva di tipo FIR a

2 coefficienti, come descritto in Figura IV.1.

C(0)=1

C(1)=α

Figura IV.1 Canale tempo invariante, con α che nelle simulazioni ha assunto valori 0.2,0.5, 0.8

Nelle simulazioni si è considerata la trasmissione di 70 long interleaver blocks al

rate di 2400 bps, con tramatura appartenente allo standard MIL-STD-188-110A. In totale

quindi, fra preambolo di sincronizzazione iniziale, miniprobe di canale e miniblocchi


57

informativi, sono stati trasmessi nel canale 818 Ksimboli appartenenti ad una

costellazione 8-PSK.

Come è mostrato in Figura IV.2, in ricezione è stato introdotto un blocco AGC

che effettua una normalizzazione in potenza del segnale ricevuto. Infatti dalle

simulazioni è risultato che l’equalizzatore basato sul CMA è molto sensibile a variazioni

di ampiezza nel segnale di ingresso, nel senso che rapidamente gli aggiornamenti dei

coefficienti del FF portano a una situazione di overflow non appena la potenza ricevuta

cresce. Adattando il δ di aggiornamento alla potenza di ingresso non si è riuscito a

rendere superflua la presenza dell’AGC. A valle dell’AGC c’è il filtro FIR che equalizza

il canale.

AGC FF filter

Calcolo

ky2

+

-

+ 1

errore

r(k)

uscita

Figura IV.2 Schema del ricevitore: AGC ed equalizzatore CMA

L’uscita del FF viene poi utilizzata per il calcolo di un termine di errore che è

tanto più alto quanto più il modulo dell’uscita del FF è diverso dall’unità. Tale errore è

utilizzato per il calcolo della configurazione successiva dei coefficienti del FF filter,

secondo la relazione vettoriale (Rif. [JCS] [7.]):


58

( ) ( )2* 1k ky yδ+ = + ⋅ ⋅ ⋅ −k 1 k kf f r (IV.1)

Nelle simulazioni viene indicato con SER il Symbol Error Rate definito come

_

7680 * _n errori

sern blocchi

= (IV.2)

dove 7680 è il numero di simboli 8-PSK che portano informazione in ogni blocco. Tali

simboli non sono però trasmessi consecutivamente, ma sono intervallati con simboli di

training come mostrato in Figura IV.3

sync (11520) 32 16 32 16 32 16… …… . 32 16 32 16 32 16… … … .…… .

Blocco

# ( Nb locchi-1 )

B locco

#0

Figura IV.3 Struttura della trama in trasmissione. In celeste si denotano i simboli che portano

informazione, in verde i simboli di training


59

IV.1.1 Canale tempo invariante a due coefficienti reali

Canale (1; 0.2)

Parametri della simulazione Figura IV.4:

• Dimensione del filtro FF 3

• Delta di aggiornamento 0.002

• Numero di blocchi informativi della simulazione 70

1,0E-07

1,0E-06

1,0E-05

1,0E-04

1,0E-03

1,0E-02

1,0E-01

1,0E+00

0 5 10 15 20 25

snr(dB)

se

r

Figura IV.4 Risultati per canale 1-0,2; Lunghezza FF=3; delta=0.002. Validi anche in presenza di Phase

recovery e di stimatore di ritardo

Commenti ai risultati di Figura IV.4:

i. aumentando il numero di registri di FF, non c’è miglioramento del SER;

ii. cambiando δ non si ha miglioramento.


60

Canale (1; 0.5)

Parametri della simulazione:

• Dimensione del filtro FF: Variabile

• Delta di aggiornamento: 0.002

• Numero di blocchi informativi della simulazione: 70

1,0E-06

1,0E-05

1,0E-04

1,0E-03

1,0E-02

1,0E-01

1,0E+00

0 5 10 15 20 25

snr(dB)

ser

Figura IV.5 Risultati per canale 1-0,5; Lunghezza FF=3; delta=0.002. Validi anche in presenza di Phase

recovery e di stimatore di ritardo


Cambiando delta non si ha miglioramento.


61

Ser per canale tempo invariante 1-0.5; AGC+CMA a 9

coeff.; delta=0.002

1,0E-07

1,0E-06

1,0E-05

1,0E-04

1,0E-03

1,0E-02

1,0E-01

1,0E+00

0 5 10 15 20 25

snr(dB)

se

r

CMA

dim_FF=9

CMA

dim_FF=3

DFE 5,3;

delta 0.002

AWGN

Figura IV.6 Risultati per canale 1-0,5; Lunghezza FF=9; FF=3; delta=0.002


i. aumentando il numero di registri di FF, c’è miglioramento del Ser;

ii. cambiando delta non si ha miglioramento.


62

IV.1.2 Canale tempo invariante a due coefficienti

generalmente complessi


• Dimensione del filtro FF: Variabile

• Delta di aggiornamento: 0.002

• Numero di blocchi informativi della simulazione: 70

• I coefficienti del canale simulato sono : g0: 0.15 +j*0.66

g1:-0.05+j*(-0.2)

Lo schema proposto in Figura IV.2 ha mostrato di non essere adeguato ad evitare

la convergenza del filtro ad una configurazione che ruota la costellazione trasmessa,

come evidenziato in Figura IV.7.

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

Figura IV.7 Costellazione trasmessa ed uscita della TDL (Tapped Delay Line). La rotazione di fase fa

varcare il confine di decisione ai simboli in uscita all’equalizzatore. Dim_ff=5; delta di

aggiornamento=0.002


63

Altre simulazioni sono state effettuate considerando altri canali sempre a due

coefficienti non reali e si è evidenziato lo stesso problema. Non si esclude che,

cambiando opportunamente la inizializzazione della TDL (Tapped Delay Line), anche

con questo canale l’equalizzatore CMA di Figura IV.2 possa portare alla inversione MSE

(Mean Square Error) del canale. Tuttavia si è ritenuto più semplice ovviare a questa

problematica adottando uno schema CMA del tipo di quello in Figura IV.8.

AGC FF filter

Calcolo

ky

+

-

+ 1

errore

r(k) ej*φ

Figura IV.8 Schema del CMA, con rotatore di fase per allineare l’uscita della TDL alla costellazione 8-PSK trasmessa

La fase di cui ruota l’uscita del filtro FIR è calcolata alla fine del training iniziale,

confrontando la fase dell’ultimo simbolo della sequenza di SYNC trasmesso con la fase

dell’uscita della TDL alla fine del training iniziale. Essendo il canale tempo invariante

non è necessario aggiornare il blocco rotatore di fase adattativamente. Tale modo di

operare ha tuttavia un limite ; perché tutto funzioni correttamente è necessario che al

momento del “phase recovery” la TDL sia arrivata alla convergenza e che il canale non

vari più in modo consistente. Se tali ipotesi sussistessero, le curve del SER

coinciderebbero con quelle relative al canale a due coeff. reali, mostrate in Figura IV.4,

Figura IV.5, Figura IV.6.


64

IV.1.3 Equalizzatore CMA con algoritmo di “Phase

recovery” adattativo

Come già visto, l’algoritmo di equalizzazione adattativo CMA può portare i

coefficienti del filtro FF a convergere ad una configurazione ruotata rispetto a quella che

inverte il canale secondo il criterio MSE. Allo scopo di compensare tale rotazione di fase

si è introdotto nello schema di Figura 9 un anello di “phase recovery”.

AGC FF filter

Calcolo

ky2

+

-

+ 1

errore

r(k) ky

φje

∑∞−

⋅k

)(16

1

+

training seq.

-

Φ(k)

0

TRAINING_FLAG

Figura IV.9 Schema concettuale dell’equalizzatore CMA con anello di phase recovery


65

La parte superiore mette in evidenza l’anello di reazione che effettua il vero e

proprio phase recovery, cioè la stima della rotazione di fase introdotta dal canale

convoluto col filtro FF, stima effettuata sulla base della sequenza in ingresso al decisore

8-PSK. Durante i periodi relativi alla ricezione del training (sia esso training iniziale di

SYNC che training di CHANNEL PROBE, vedi Figura IV.3), viene confrontata la fase di

ciò che si presenta all’ingresso del decisore con la fase che avrebbe dovuto avere tale

ingresso che per ipotesi è nota in quanto il training si suppone noto a chi riceve. Tale

confronto viene effettuato a tempo di simbolo per tutta la durata del training che, data

la forma d’onda utilizzata è di 16 intervalli di simbolo. Il risultato di ogni confronto

viene diviso per il numero di confronti effettuati ad ogni training e quindi accumulato

nel blocco accumulatore. Durante le fasi informative l’accumulatore non cambia il suo

stato, e ciò nello schema è messo in evidenza dall’interruttore che commuta all’ingresso

zero. Infatti non è possibile fare phase recovery durante le fasi informative, in quanto

non è noto ciò che è stato trasmesso.

Indicando con ( )kϕ , ( )1kϕ + , rispettivamente le uscite dell’ accumulatore alla fine

del k-mo e del (k+1)-mo intervallo di training (che rappresentano le stime della

rotazione di fase introdotta dal canale convoluto col filtro FF), sussiste quindi la

seguente relazione:

( 1) ( ) ( )1

16φ φ φ+ = + ⋅ ∆∑k k j

j

(IV.3)

ove la sommatoria degli scarti di fase è estesa a tutto il training (k+1)-mo. La

moltiplicazione per 1/16 è fatta per mediare gli scarti di fase calcolati, onde rendere più

affidabile la stima della rotazione di fase. Lo stato iniziale dell’ accumulatore è posto a

zero.

Nella Figura IV.10 sono graficate le prestazioni di tale sistema in presenza di

rumore AWGN, per il momento ferma restando l’ipotesi di canale con raggio ritardato

più piccolo del raggio principale (risposta a fase minima).


66

Prestazioni del CMA con phase recovery su canale

tempo invariante

1,0E-06

1,0E-05

1,0E-04

1,0E-03

1,0E-02

1,0E-01

1,0E+00

0 5 10 15 20 25

snr(dB)

SE

R

CMA;dim_ff=11;

delta=0.002

Figura IV.10 Prestazioni sul canale tempo invariante

IV.1.4 CMA con stimatore di ritardo

Le simulazioni effettuate con il canale tempo variante secondo il modello di

Watterson hanno evidenziato un problema che si presenta quando i due coefficienti che

caratterizzano il canale si invertono in ampiezza.

Dopo l’inversione l’equalizzatore CMA torna ad invertire il canale nel senso

MSE, tuttavia introduce uno shift nei coefficienti del filtro.

Questo comporta che, se consideriamo ad esempio uno shift di una posizione,

all’istante di decisione k-mo venga deciso il simbolo trasmesso all’istante (k-1)-mo o

(k+1)-mo. La convoluzione del canale a fase massima col filtro FF è dunque pari a

δ(n+shift), risultato che comunque rende soddisfatta la condizione di modulo costante

in ingresso al decisore.


67

Per far fronte a tale evenienza si adopera uno stimatore di tale offset temporale

ed un elemento di ritardo pilotato con la stima effettuata. Da notare che nel software gli

anticipi della TDL sono stati considerati come ritardi negativi.

Lo schema a blocchi complessivo viene presentato in Figura 11, ove si

evidenziano in rosso i blocchi deputati al recupero del ritardo.

SEQUENZA DI TRAINING TRASMESSA (MIL-A)

……

10 2 15 ……

3 4

11

…… ……

PARTE UTILIZZATA PER LA STIMA DEL RITARDO

1 0 2 15 ……

3 4

11 …

… ……

SEQUENZA DI TRAINING ALL’USCITA DELLA

T.D.L.

OFFSET=1

5

……

Figura IV.11: Processo di correlazione fra la sequenza trasmessa e la sequenza in uscita alla T.D.L. In tale

caso il picco di correlazione si ottiene moltiplicando scalarmente l’ingresso con l’uscita anticipata di 1

campione a tempo di simbolo

Funzionamento

Lo stimatore del ritardo entra in funzione durante intervalli di training

equispaziati di 10 miniblocchi (32+16) sulla trama MIL-A. La scelta di tale valore deriva

dall’esigenza di far fronte a canali con tempo di coerenza minimo di 0.2 secondi che a

2400 baud/sec è pari alla durata di 10 miniblocchi. Per il momento è sufficiente


68

effettuare una stima di ritardo una volta ogni intervallo di coerenza, dato che in tale

periodo il canale non presenterà più di un inversione.

La correlazione è effettuata considerando solo la parte centrale del training di 16

simboli, dalle posizione 4 a 11. La selezione del picco di cross-correlazione conduce alla

stima dell’offset temporale, come evidenziato in Figura IV.11.

Nella figura successiva (Figura IV.12) è mostrato infine lo schema complessivo

dell’equalizzatore CMA, comprensivo di anello di “phase recovery” e di stimatore di

ritardo.

- + 1

errore

AGC FF

filter

r(k)

+

training seq.

- Φ(k)

0

TRAINING_FLAG

φje

ky

+

2

ky

Training seq.

( )∑16

1

∆

Ritardo ∆

stimatore di offset temporale

kr

Figura IV.12 Schema a blocchi dell’equalizzatore CMA, con “phase recovery” e stimatore

di offset temporale


69

IV.1.5 Rapidità di convergenza ed instabilità numerica

del CMA

Nelle simulazioni effettuate si nota come aumentare il coefficiente δ

moltiplicativo dell’errore di modulo conduca ad una convergenza più rapida

dell’equalizzatore. Ad esempio, settando delta a valori intorno a 0.002, in 2000 iterazioni

la configurazione dei coefficienti del filtro si staziona attorno a valori prossimi alla

soluzione che inverte il canale nel senso MSE. Passando poi da 0.002 a 0.004, il numero

di iterazioni necessarie alla convergenza scende a 800. In entrambi i casi, dopo il

numero di iterazioni appena specificato, il modulo al quadrato dell’errore di

aggiornamento differisce dall’unità meno di 22.0 10−⋅ (Figura IV.13). Tuttavia possono

essere tollerati scarti dall’unità anche maggiori, purché tali da non far varcare i confini

di decisione ai simboli in uscita dal filtro.

Andamento dell'errore di aggiornamento del CMA, per

canale tempo invariante

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

0 2000 4000 6000 8000 10000

iteraz. n.

err

ore

delta=0.002

delta=0.004

Figura IV.13 Andamento dell’errore per due δ diversi. Per δ maggiore la velocità di convergenza è più alta


70

Tuttavia valori di delta più elevati conducono prima e più facilmente a situazioni

di instabilità numerica dell’errore. Questo fenomeno è spiegabile osservando

l’equazione di aggiornamento dei coefficienti del filtro FF, che viene qui riproposta:

( ) ( )* 21δ+ = + ⋅ ⋅ ⋅ −k ky yk 1 k kf f r (IV.4)

Da tale equazione si può notare come il ruolo di δ sia analogo a quello di un

guadagno in un sistema reazionato; aumentandolo oltre una certa soglia si può

innescare un meccanismo di reazione positiva che produce instabilità. Se infatti, per

ipotesi, ad un dato istante ky dovesse diventare maggiore dell’unità il contributo del

secondo termine dell’aggiornamento crescerebbe, aumenterebbero di conseguenza i

valori dei coefficienti e ciò porterebbe l’uscita 1ky + ad essere ancora più alta (in modulo)

di ky . Iterando il ragionamento si spiega quindi l’instabilità. Dalle simulazioni emerge

come la crescita del modulo dell’errore sia di tipo esponenziale, passando in 5-6

iterazioni da valori dell’ordine di 10 0 a valori come 10 2 .

Volendo evitare fenomeni di instabilità, non rinunciando tuttavia ad avere

convergenze piuttosto rapide, si potrebbe abbassare la potenza di ingresso al filtro FF,

magari adattativamente. Tuttavia c’è da aspettarsi che tale soluzione dia prestazioni

peggiori in termini d SNR, dato che elimina parte dell’energia del segnale ricevuto.

IV.2 Equalizzazione adattativa di tipo CMA, su canale tempo

variante di Watterson

La Figura IV.14 mostra lo schema del canale utilizzato per le simulazioni, noto

come modello di Watterson semplificato. In breve, sono considerati solo due raggi

ionosferici caratterizzati ognuno da un processo di guadagno gaussiano complesso, a

valor medio nullo e di nota banda doppler. I due raggi sono ritardati fra loro di teta

secondi. Sia il ritardo che la banda doppler sono deterministici, mentre il

campionamento in ricezione è effettuato a frequenza di simbolo.


71

Σ

X X

ritardo teta

S(t)

r(t)

g2(t) g1(t)

Ts

r(k)

Figura IV.14 Schema a blocchi del canale tempo variante utilizzato nelle simulazioni

IV.2.1 Simulazioni al calcolatore e prestazioni del CMA

nel caso di canale tempo variante

Sono state effettuate varie simulazioni, allo scopo di evidenziare il

comportamento e le prestazioni del CMA su vari canali tempo-varianti. Dapprima si è

considerato il caso di canale con banda doppler 0.5 Hz e ritardo del secondo raggio pari

ad un tempo di simbolo ( nella MIL-A è di 416 μsec.), come riassunto nella Tabella IV.1.

In si nota come il CMA riesca ad equalizzare canali a fase minima e massima, ma

non riesca ad invertire (nel senso MSE) nei momenti in cui i coefficienti del canale sono

circa uguali. Ciò è dovuto al troncamento della risposta IIR che inverte il canale,

inevitabile dal momento che si dispone di un numero finito di registri ( 11 in queste

simulazioni ).


72

CANALE:

• BANDA DOPPLER: 0.5 Hz

• RITARDO SECONDO RAGGIO: 416 μsec.

• RUMORE ADDITIVO OFF

EQUALIZZATORE:

• NUMERO DI COEFFICIENTI FILTRO FF: 11

• PARAMETRO DI AGGIORNAMENTO δ: 5.0e-3

• PHASE RECOVERY: ON

• COMPENSATORE DI RITARDO: ON

• NUMERO DI BLOCCHI INFORMATIVI TRASMESSI: 3

Tabella IV.1 Sommario dei parametri del canale e dell’equalizzatore

Figura IV.15 Andamento del numero di errori per miniblocco: i miniblocchi del grafico vanno dal numero 300

dopo la fine del preambolo di sincronismo, per evidenziare il tratto in cui gli errori hanno il picco


73

Figura IV.16 Andamento del canale: è graficato dal miniblocco (32+16) numero 300, in corrispondenza

d’ascissa con la Figura IV.15

SER OTTENUTO CON SNR 18 dB: 4.0 E-02

IV.3 CMA con training sui simboli KNOWN

I risultati ottenuti col sistema CMA “puro” non sono ritenuti soddisfacenti dallo

standard, ovvero i SER ottenuti nelle ultime simulazioni sul CMA, sfruttando anche il

recupero di fase e lo stimatore di ritardo, sono comunque troppo alti per le esigenze

richieste. Tale carenza di prestazioni viene in parte imputata al fatto che il sistema CMA

“puro” non sfrutta appieno la conoscenza trasportata nella trama dai simboli KNOWN.

Infatti, anche nel preambolo di sincronizzazione e durante la ricezione dei 16 simboli

noti in ogni replica, l’aggiornamento dei coefficienti del filtro FIR che equalizza il canale

avviene tramite il sistema CMA che, come sottolinea il nome (Constant Modulus

Algorithm) utilizza il modulo unitario del simbolo ricevuto come unica nozione per

aggiornare i coefficienti del FIR. Durante la trasmissione dei simboli noti possiamo però

sfruttare la conoscenza completa dei simboli stessi, migliorando così le prestazioni

dell’equalizzatore.


74

A tal fine è stato opportunamente modificato il sistema rappresentato nello

schema a blocchi di Figura IV.2 secondo lo schema a blocchi mostrato in Figura IV.17. Si

noti come in tale schema non vengono più utilizzati né il recupero di fase né lo

stimatore di ritardo (vedi Figura IV.12). La presenza di tali componenti è infatti

superflua in questa nuova soluzione del CMA; il sistema tende infatti a recuperare il

canale particolarmente bene durante la fase iniziale di SYNC, essendo i simboli

completamente noti al ricevitore durante il preambolo di SYNCronizzazione. In Figura

IV.17 sono presenti due interruttori che commutano contemporaneamente a seconda

che si stiano ricevendo simboli KNOWN o UNKNOWN. I simboli noti in ricezione sono

rappresentati da s(k). Lo stato degli interruttori in figura si riferisce al caso di simboli

UNKNOWN.

Figura IV.17 Schema a blocchi per il CMA con training noto in ricezione

1

( )s k + -

2

1

-

+

r(k)

FF filter

Calcolo 2

ky

+

errore

+

( )y k


75

Nel caso in cui gli interruttori siano posizionati come in figura la formula

ricorsiva che consente l’aggiornamento del FF filter è la (IV.1). Quando gli interruttori

commutano l’errore utilizzato per l’aggiornamento del FIR cambia, per cui la nuova

formula di aggiornamento sarà:

( )*

( )δ+ = + ⋅ ⋅ −train k k

s yk 1 k kf f r (IV.5)

dove kr è la sequenza ricevuta, ky il simbolo stimato dal FIR e ks il simbolo trasmesso

noto anche in ricezione. Si noti che il coefficiente di aggiornamento della (IV.5) è

chiamato trainδ (δ training) per distinguerlo dal trackδ (δ tracking) utilizzato

nell’aggiornamento dei simboli UNKNOWN secondo la (IV.1). L’avere due gradi di

libertà nel nostro sistema ( trainδ e trackδ ) aiuterà ad ottimizzare in maniera più efficiente

le prestazioni del CMA con training.

IV.3.1 Confronto tra le prestazioni del CMA “puro” e del

CMA con training

Varie simulazioni hanno evidenziato un miglioramento del SER utilizzando il

nuovo equalizzatore piuttosto che il “vecchio”. Qui di seguito vengono riportati alcuni

risultati, viene considerato sia il caso di canale tempo invariante che il modello di canale

tempo variante di Watterson.

In Figura IV.10 sono stati riportati i SER ottenuti col CMA “puro” in funzione del

SNR. In Figura IV.18 è stato sovrapposto il grafico di Figura IV.10 con il nuovo grafico

indicante le prestazioni del CMA con training.

Il miglioramento introdotto da questa nuova versine è evidente.


76

Confronto CMA e CMA con training. dim_ff=11. Canale 1-0,5

time invariant. Time spread=416 µsec

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0 5 12 18 21

SNR

Se

r

CMA "puro" delta=0,002

CMA con training delta

train=0,008 delta

track=0,001

Figura IV.18 Confronto tra i Ser ottenuti con Cma "puro" e Cma con training

IV.3.2 Soluzione a T/2 del CMA con training

Il progetto del CMA con training ha dunque abbassato il SER rispetto al classico

CMA, almeno nel caso di canale time invariant. Tuttavia le simulazioni hanno

evidenziato che non vi sono migliorie sensibili se consideriamo un modello di canale

tempo variante di Watterson. Si è deciso quindi di modificare ulteriormente il sistema

CMA con training operando un sovracampionamento di ordine 2 a valle del canale di

Watterson. Per comprendere meglio la modifica apportata al sistema si consideri la

Figura IV.14, in sostanza in ricezione il segnale analogico viene ora campionato al

doppio della frequenza di simbolo, vedi Figura IV.19.

Il simulatore è stato modificato in maniera opportuna al fine di supportare il

sovracampionamento del segnale ricevuto. Tra le altre cose l’equalizzatore adattativo

dovrà preoccuparsi di effettuare un sottocampionamento di un fattore 2 sul segnale

equalizzato, al fine di presentare in uscita la trama di uscita di dimensioni pari a quella

di ingresso. Il software di simulazione compie automaticamente tale


77

sottocampionamento, non è stato quindi necessario inserire a valle del FIR un

componente atto allo scopo specifico.

S(t) Ritardo teta

X X

( )tg1 ( )tg2

Σ

r(t)

Ts/2

r(k)

Figura IV.19 Schema a blocchi del canale tempo variante utilizzato nelle simulazioni, caso a T/2

Alcuni risultati delle simulazioni (i più significativi) sono mostrati in Tabella

IV.2.

T SER

T/2 SER

Energia media canale

Time spread

(sec)

Coeff FIR

Blocchi trasmessi

SNR dB

Bd (Hz) trainδ trackδ

0,0435 0,0119 1,65 416 μ 23 5 18 0,1 0,008 0,001

0,0943 0,0306 0,84 416 μ 23 5 18 0,5 0,008 0,001

0,207 0,0663 0,85 416 μ 23 5 18 1 0,008 0,001

0,326 0,187 0,85 416 μ 23 5 10 1 0,008 0,001

0,097 0,0435 0,84 832 μ 23 5 18 0,5 0,008 0,001

0,222 0,186 1,65 2 m 23 5 18 0,1 0,008 0,001

0,296 0,114 0,85 2 m 23 5 18 1 0,008 0,001

Tabella IV.2 CMA con training. Confronto tra soluzione a T e soluzione a T/2


78

Commenti alla Tabella IV.2:

I dati presentati in Tabella IV.2 si riferiscono alla trasmissione di una trama a

2400 baud/sec, secondo lo standard della MIL-A. L’emissione di bit della sorgente

avviene sempre a velocità 2400 bit/sec (ricordiamo che la MIL-A prevede vari rate di

sorgente). Successivamente i simboli 8-PSK della trama attraversano un canale di

Watterson con parametri mostrati in Tabella IV.2. δ train e δ track sono i coefficienti già

definiti in precedenza; i valori 0,008 e 0,001 si riferiscono al caso ottimo, cioè i valori per

cui, a parità di condizioni, il SER risulta essere minimo.

Dalle colonne dei SER si nota un evidente miglioramento del CMA con training a

T/2 rispetto a quello a T. Miglioramento che risulta più marcato per time spread bassi

del canale (il SER diminuisce di un fattore � 3). Per time spread più alti, 2 msec,

l’abbassamento del SER è meno evidente, tuttavia il fattore di improvement 2 garantisce

una più alta efficienza della soluzione a T/2 rispetto a quella a T.

Confronto dell’andamento del Ser

La seguente Figura IV.20 mostra l’andamento del SER in funzione di vari SNR per

la soluzione a T e a T/2 del CMA con training.

CMA con training

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0 5 12 18 21

SNR

Ser CMA con

training a T

CMA con

training a T/2

Figura IV.20 SER messi a confronto in funzione del SNR per la soluzione a T e a T/2 del CMA con training


79

Note per la Figura 20:

I SER ottenuti in figura si riferiscono a una simulazione con i seguenti parametri:

• time spread 416 μsec

• coefficienti del FIR 23

• blocchi lanciati 5

• Bd 0,5 Hz

• δ train 0,008

• δ track 0,001

Ricordiamo che per “blocchi lanciati” si intende il numero di blocchi da

240*(32+16) simboli 8-PSK trasmessi nella simulazione. Il numero di simboli per blocco

(11520) è quello previsto dallo standard della MIL-A per trasmissioni a 2400 bit/sec con

long interleaving.

IV.3.3 Soluzione a T/2 del CMA con cicli sui training da

16 simboli

Un’ulteriore modifica del sistema ha portato il SER a scendere ulteriormente

rispetto ai valori (peraltro già abbastanza buoni) ottenuti con il CMA con training a T/2

semplice. In pratica il CMA è stato modificato in modo da aggiornare il filtro

equalizzatore non una sola volta per ogni miniblocco da 16 simboli di training, ma n

volte, con n ottimizzato opportunamente. Quindi il filtro FIR, durante ogni replica da

16+32 simboli, viene aggiornato mediante la (IV.1) durante i 32 simboli UNKNOWN,

mediante la (IV.5) durante i 16 simboli KNOWN; tuttavia dopo il 16esimo simbolo non

si passa direttamente ai 32 simboli UNKNOWN della replica successiva per aggiornare

il FIR, ma si ricaricano in maniera opportuna i buffer che contengono l’uscita del canale

di Watterson e il simulatore riprende ad aggiornare il FIR sugli stessi 16 simboli

KNOWN poco prima utilizzati per portare l’equalizzatore a convergenza.

Per meglio comprendere il funzionamento del sistema si faccia riferimento alla

Figura IV.17. Nel nostro caso quindi, quando gli interruttori 1 e 2 commutano dalla

posizione in figura (simboli UNKNOWN) al caso di aggiornamento per simboli


80

KNOWN, non tornano poi subito nella posizione iniziale alla fine del training, ma

permangono nella stessa posizione per altri 16 tempi di simbolo. La Figura IV.21 aiuta a

capire meglio la temporizzazione delle operazioni.

11520 32 16 32 16 32 16 ……….

SYNC

n volte n volte n volte

Figura IV.21 Temporizzazione della trama per il CMA a T/2 con cicli sui 16 simboli KNOWN

Risultati delle simulazioni

Sono state effettuate varie simulazioni per testare l’efficacia della nuova

soluzione.

I risultati sono riportati in Tabella IV.3.

Note e commenti alla Tabella IV.3:

La sorgente trasmette sempre a 2400 bit/sec. Il canale è sempre 2 fading. Per ogni

riga della tabella le simulazioni sono state lanciate con trainδ =0,008 e trackδ =0,001, valori

che ottimizzano il SER.

Le prove effettuate sono, per ora, quasi tutte in assenza di rumore. È comunque

evidente, specie per time spread bassi, il miglioramento ottenuto utilizzando il CMA a

T/2 con cicli sui training. Particolarmente significativo è il risultato raggiunto per time

spread=416 μsec, dove anche con Bd elevata (1 Hz) il SER viene circa 2* 210− , dopo

decodifica il BER (Bit Error Rate) sarebbe di circa 410− .


81

SER caso n=1

SER caso

n

Numero di cicli

n

Bd (Hz)

Time spread

(sec)

Blocchi trasmessi

SNR dB

Energia media canale

Coeff FIR caso n=1

Coeff FIR caso

n 0,0050 0,0040 3 0,1 416 μ 5 100 0,68 21 21

0,0196 0,0073 3 0,5 416 μ 5 100 1,08 21 21

0,0520 0,0230 3 1 416 μ 5 100 1,006 21 21

0,0520 0,0120 10 1 416 μ 5 100 1,006 21 21

0,0306 0,0220 10 0,5 416 μ 5 18 1,08 21 21

0,0663 0,0295 10 1 416 μ 5 18 1,006 21 21

0,0260 0,0253 3 0,1 832 μ 3 100 2,12 21 31

0,0435 0,0330 3 0,5 832 μ 5 18 1,08 21 31

0,127 0,082 3 0,1 2 m 10 100 2,12 51 51

0,054 0,059 3 0,5 2 m 10 100 1,08 51 51

0,071 0,058 3 1 2 m 5 100 1,006 51 51

Tabella IV.3 CMA a T/2 con training. Confronto delle prestazioni per il caso a 1 e a n cicli

Confronto dell’andamento del Ser:

In Figura IV.22 vengono graficati gli andamenti dei Ser in funzione dell’SNR in 3

casi diversi. Il grafico dell’AWGN (Additive White Gaussian Noise) rappresenta il

limite invalicabile del nostro sistema, semplicemente perché il canale di Watterson

utilizzato nelle simulazioni introduce non solo AWGN, ma anche una ISI.


82

CMA con cicli sui training

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0 5 10 15 20 25SNR

Ser

AWGN

CMA con 1 ciclo sui

training

CMA con 3 cicli sui

training

Figura IV.22 SER in funzione dell'SNR nel caso AWGN, CMA con training a T/2 per 1 ciclo sui training e

CMA con training a T/2 con 3 cicli sui training

Note per la Figura IV.22:

I Ser ottenuti in figura si riferiscono a simulazioni con i seguenti parametri:




• Bd 0,5 Hz

• δ train 0,008

• δ track 0,001

La Figura IV.22 evidenzia che per SNR bassi (sotto 10 dB) non c’è miglioramento

del Ser per il CMA con training a T/2 se aumentiamo il numero dei cicli. Ciò è

probabilmente dovuto al rumore introdotto dal sistema complessivo, che, essendo alto

per SNR bassi, porta ad una instabilità del sistema se aumento il numero di

aggiornamenti del FIR equalizzatore.


83

Si noti inoltre che in questo caso i risultati ottenuti tramite il CMA si discostano

notevolmente dai SER dell’AWGN. Ciò è ovvio, visto che il grafico relativo all’AWGN

si riferisce al caso di canale fisso, quindi con Banda Doppler nulla, mentre i grafici

relativi al CMA sono stati tracciati considerando una Banda Doppler = 0,5 Hz.

IV.3.4 Soluzione a T/2 del CMA con cicli su n repliche

da 48 simboli

La Tabella IV.3 denota che la soluzione del CMA a T/2 con cicli sul training porta

a SER accettabili nel caso in cui il time spread del canale è sufficientemente basso (416

μsec o 832 μsec); se però consideriamo un time spread del canale di 2 msec o maggiore i

miglioramenti ottenuti rispetto al caso del CMA a T/2 “semplice” sono di poco conto,

nel caso di banda Doppler di 0,5 Hz si ha addirittura un peggioramento (vedi Tabella

IV.3). Tale mancanza di precisione del SER è imputabile al fatto che per time-spread=2

msec la risposta impulsiva del canale ha una lunghezza tale che i 16 simboli di training

su cui si cicla non sono sufficienti a invertire adeguatamente il canale,

indipendentemente dal numero di cicli che si applica su ogni training. Tale problema ha

indotto a sperimentare una nuova soluzione in cui i cicli su cui si aggiornano i

coefficienti dell’equalizzatore non avvengono più solamente solo sui 16 simboli noti di

training(vedi anche Par IV.3.3), ma su un certo numero di repliche da 48 simboli,

repliche comprensive quindi di parte KNOWN e UNKNOWN. Il numero di repliche su

cui si cicla dipende dal time-spread del canale, varie simulazioni hanno portato a

considerare come ottimo il numero di 5 repliche da 48 per un time-spread=2 msec.

Per meglio comprendere il funzionamento del nuovo sistema si faccia

riferimento alla Figura IV.23, dove è mostrato il caso di n cicli operanti su un burst di 2

repliche. In pratica il simulatore, terminato l’aggiornamento del filtro equalizzatore

dopo gli 11520 simboli noti della SYNC, passa all’utilizzo del CMA puro nei 32 simboli

UNKNOWN, poi aggiorna il FIR dell’equalizzatore con i 16 simboli KNOWN; continua

poi ad operare anche per il successivo miniblocco, arrivato al 16 simbolo KNOWN del

secondo miniblocco il simulatore non sfrutta il primo simbolo UNKNOWN della


84

replica successiva, ma, riportati adeguatamente i vettori e i contatori del caso nella

posizione iniziale, continua ad aggiornare i coefficienti del FIR equalizzatore “ciclando”

sulle 2 repliche per n volte.

11520 32 16 32 16 32 16 ……….

SYNC

n volte n volte

Figura IV.23 Temporizzazione della trama per il CMA a T/2 con cicli su 2 repliche da 48 simboli

Risultati delle simulazioni

Sono state effettuate varie simulazioni per testare l’efficacia della nuova

soluzione.

I risultati sono riportati in Tabella IV.4.

Note e commenti alla Tabella IV.4:

Le simulazioni si riferiscono al caso di bit rate di sorgente= 2400 bit/sec con

canale 2 fading. Facendo riferimento alle formule (IV.5) e (IV.1) sono stati utilizzanti

trainδ =0,008 e trackδ =0,001.

Le prime 2 colonne presentano il SER ottenuto con CMA a T/2 con cicli sul

training, la seconda colonna indica il numero di cicli sui 16 simboli KNOWN. Il SER

della nuova soluzione si trova nella terza colonna, nella quarta colonna ci sono

rispettivamente il numero di repliche su cui si cicla e il numero di cicli effettuati sulle

stesse.


85

SER n cicli sui 16

n

SER m cicli

su k repliche

k;m Bd

(Hz)

Time spread

(sec)

Blocchi trasmessi

SNR dB

Coeff FIR caso n=1

Coeff FIR caso

n 0,0040 3 0,0022 5; 3 0,1 416 μ 5 100 21 21

0,0073 3 0,0064 5; 3 0,5 416 μ 5 100 21 21

0,0230 3 0,0150 5; 3 1 416 μ 5 100 21 21

0,0120 10 0,0040 5; 10 1 416 μ 5 100 21 21

0,0220 10 0,0100 5; 10 0,5 416 μ 5 18 21 21

0,0295 10 0,0140 5; 10 1 416 μ 5 18 21 21

0,0226 3 0,0160 5; 3 0,1 832 μ 10 100 21 31

0,0330 3 0,0300 5; 3 0,5 832 μ 5 18 21 31

0,054 3 0,044 5; 3 0,1 2 m 20 100 51 51

0,059 3 0,032 9; 3 0,5 2 m 10 100 51 51

0,058 3 0,037 5; 3 1 2 m 5 100 51 51

Tabella IV.4 CMA a T/2 con training. Confronto delle prestazioni per il caso a n cicli sul training e il caso

di m cicli su k repliche

Si noti come il SER sia diminuito di un fattore 2 in tutti i casi presentati in

tabella. La novità rispetto ai dati in Tabella IV.3 è rappresentata dai risultati ottenuti con

time_spread=2 msec, dove in questo caso si riesce a raggiungere un SER di 3*10 2− circa.

Confronto dell’andamento del SER:

La seguente Figura 24 mostra l’andamento del SER per 3 casi, uno dei quali si

riferisce al canale AWGN, limite invalicabile delle prestazioni del nostro sistema.


86

CMA a T/2 con cicli su k repliche

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

1,E+00

0 5 10 15 20 25

SNR

SE

R

AWGN

CMA con 3 cicli sul

training

CMA con cicli su 5

repliche

Figura IV.24 SER in funzione dell'SNR nel caso AWGN, CMA con training a T/2 per 3 cicli sul training e

CMA con training a T/2 con 3 cicli su un blocco di 5 repliche

Note per la Figura IV.24:

I SER ottenuti in figura si riferiscono a simulazioni con i seguenti parametri:




• Bd 0,5 Hz

• δ train 0,008

• δ track 0,001

Si noti come nel caso in esame la curva dei SER della nuova soluzione sia al di

sotto della vecchia curva, ulteriore prova delle migliorie introdotte col nuovo

simulatore.


87

IV.4 CMA performance (standard MIL-STD-188-110A)

In Tabella IV.5 sono indicate le prestazioni richieste dallo standard MIL-A, a

seconda del bit/rate di sorgente e del tipo di canale.

User bit rate Channel

Paths Multipath

(msec) Fading Bd(Hz)

SNR dB Coded BER

4800 1 Fixed - - 17 1,0 E-3

4800 2 Fading 2 0,5 27 1,0 E-3

2400 1 Fixed - - 10 1,0 E-5

2400 2 Fading 2 1 18 1,0 E-5

2400 2 Fading 2 5 30 1,0 E-3

2400 2 Fading 5 1 30 1,0 E-5

1200 2 Fading 2 1 11 1,0 E-5

600 2 Fading 2 1 7 1,0 E-5

300 2 Fading 5 5 7 1,0 E-5

150 2 Fading 5 5 5 1,0 E-5

75 2 Fading 5 5 2 1,0 E-5

Tabella IV.5 Serial (single-tone) mode minimum performance

L’ultima colonna si riferisce al Coded BER, cioè al Bit Error Rate dopo le

opportune codifiche previste dallo standard. Il simulatore CMA fin qui sviluppato

calcola solamente l’Uncoded SER, il BER teorico corrispondente a ogni valore di SER

risulterà più basso di 3 ordini di grandezza, o al peggio 2, del SER stesso.

Facendo riferimento alla Tabella IV.5 viene qui di seguito riportata la Tabella IV.6.


88

Channel Paths

Multipath (msec)

Fading Bd(Hz)

SNR dB

Coded BER

richiesto

Uncoded SER

ottenuto

k repliche su cui si

cicla

LOSS Vs

AWGN

1 Fixed - - 10 1,0 E-5 8 E-2 5 0 dB

2 Fading 2 1 18 1,0 E-5 5,7 E-2 5 6 dB

2 Fading 2 0,5 18 - 5,6 E-2 8 6 dB

2 Fading 5 0,5 30 - 1,5 E-1 10 23 dB

2 Fading 5 1 30 1,0 E-5 1,5 E-1 10 23 dB

Tabella IV.6 Prestazioni del CMA con training a T/2 con 5 cicli su k repliche

Note alla Tabella IV.6:

Nel caso di canale 1-Fixed la simulazione è stata lanciata con δ train=0,005 ,

δ track=0,005 e 5 coefficienti del filtro FIR equalizzatore.

In tutti gli altri casi i parametri della simulazione sono i seguenti:

• User bit rate 2400 bit/sec

• δ train 0,008

• δ track 0,001

• Coefficienti del FIR 51

• Ripetizioni sui cicli 5

Nell’ultima colonna si trova il confronto delle prestazioni del CMA rispetto all’

AWGN. Se ho un canale 1 Fixed con SNR pari a 10 dB ottengo le stesse prestazioni di

un canale AWGN, ciò denota una particolare efficacia del CMA equalizer con training.

È stata omessa in tabella la riga riguardante le prestazioni del CMA con Bd=5 Hz.

Il sistema non dà infatti risultati soddisfacenti per variazioni del canale troppo elevate.


89

IV.5 Conclusioni (Equalizzatore CMA)

L’equalizzatore CMA a T/2 con training raggiunge quindi convergenza esatta nel

caso di canale tempo invariante e criterio di stima MSE (Mean Square Error), per lo

standard MIL-A a 2400 bps. Per il canale tempo variante (Watterson), l’equalizzatore

CMA non riesce a raggiungere l’ottimo richiesto dalle specifiche del progetto; tuttavia

per un ritardo del secondo raggio pari al tempo di simbolo e per un SNR

sufficientemente alto il sistema è stato adeguatamente testato e si rivelano prestazioni

molto buone, anche per Bd elevate.

Si sottolinea che, nonostante le modifiche effettuate e i miglioramenti introdotti,

la causa principale degli errori risiede nel fatto che l’equalizzatore perde comunque

l’aggancio del canale ogni qual volta i coefficienti del canale tempo variante assumono

valori circa uguali in modulo. In tali condizioni il filtro ottimo che equalizza il canale

dovrebbe avere infiniti coefficienti significativi, lavorando con un FIR la perdita che si

presenta nel troncamento è considerevole e le prestazioni del sistema risultano

fortemente degradate. L’aggancio del canale viene però poi puntualmente recuperato,

con velocità di recupero dipendente dal valore di δ (δ più elevati aumentano la velocità

di convergenza).

Capitolo V Stima di canale

90

Capitolo V

STIMA DI CANALE

V.1 Introduzione (Blind channel estimation)

La blind channel estimation (letteralmente “stima cieca di canale” ) può essere

usata nell’ambito della blind channel equalization.

La blind channel equalization equalizza il canale senza l’aiuto di una sequenza di

training nota in ricezione. Tra le varie soluzioni proposte è per noi adatta quella che

sfrutta la blind channel estimation per stimare il canale senza l’aiuto di un training, e

poi utilizza l’algoritmo di RMAP (Reduced Maximum A Posteriori Probability) per

completare l’equalizzazione. Tale soluzione viene mostrata in Figura V.1.

Viterbi algorithm

Blind channel estimation

H

Input y Output x

Figura V.1 Schema generale di un blind channel equalizer che sfrutta la blind channel estimation e

l'algoritmo di Viterbi

Concentrandoci per il momento solo sulla blind channel estimation, esaminando

la soluzione proposta da J. Proakis ( [Pro95][3.]).


91

È conveniente considerare il modello di canale a tempo discreto con ISI (Inter

Symbol Interference) ,la cui uscita è descritta da:

0

L

n k n k nk

f Iυ η−

=

= +∑ (V.1)

dove { kf } sono i coefficienti del canale tempo discreto, { nI } è la sequenza informativa, e

{ nη } è una sequenza di rumore Gaussiano bianco.

Consideriamo un blocco di N simboli ricevuti, la densità di probabilità congiunta

del vettore di simboli ricevuti 1 2

t

nυ υ υ= v K , condizionata dalla conoscenza del

vettore dei coefficienti del canale 0 1 2

t

Lf f f f= f K e del vettore di simboli informativi

1 2

t

NI I IΙ = K è:

( )( )

2

221 0

1 1, exp

22

N L

n k n kn k

p f Iυσπσ

−= =

= − −

∑ ∑v f I (V.2)

Le stime di f e di I che soddisfano il criterio di massima verosimiglianza sono i

valori dei vettori f e I che massimizzano la densità di probabilità congiunta p(v| f,I) , o,

equivalentemente, i valori di f e I che minimizzano l’esponente della (V.2). Quindi, si

cercano f ed I che minimizzano la norma DM(I,f) così definita:

( )2

2

1 0

,N L

n k n kn k

DM f Iυ −= =

= − = −∑ ∑I f v Af (V.3)

dove la matrice dei dati A è così definita:


92

1

2 1

3 2 1

1 2

0 0 00 0

0

N N N N L

I

I I

I I I

I I I I− − −

=

A

L

L

L

M M M M

L

(V.4)

È opportuno ora fare alcune osservazioni, anche per comprendere meglio cosa è

richiesto dall’equalizzatore e dallo stimatore di canale quando operiamo in modalità

“blind”. Per prima cosa notiamo che se il vettore I è noto, come nel caso vi sia un

training disponibile al ricevitore, la stima di Massima Verosimiglianza (MV) del canale

ottenuta minimizzando la (V.3) sarà:

( ) ( )1t t

ML

−=f I A A A v (V.5)

D’altro canto, se il vettore dei coefficienti del canale f fosse noto (come ci si

propone di fare mediante la blind channel estimation) si potrebbe trovare l’ottimo per la

sequenza informativa I con l’algoritmo di RMAP.

Nel nostro caso non abbiamo quindi a disposizione una sequenza di training per

stimare il canale, si può però stimare il canale f dalla densità di probabilità condizionata

p(v | f), che può essere ottenuta mediando la p(v,f | I) su tutte le possibili sequenze

informative. Per ottenere la p(v | f) si sfrutta la ben nota proprietà:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ), ,m m m

m m

p p p P= =∑ ∑v f v I f v I f I (V.6)

dove ( )( )mP I è la probabilità a priori che la sequenza informativa I = I ( )m ha di

presentarsi. Potendo l’indice m assumere valori discreti tra 1 e M N , dove M è la

dimensione dell’alfabeto di sorgente, viene spontaneo assumere le sequenze

informative equiprobabili e porre, ∀ m, P(I ( )m ) = 1/ M N .


93

Inserendo allora la (V.3) nella (V.2), e quest’ultima nella (V.6) si ottiene:

( ) ( )( ) ( )( )( )

( )

( )( )2

22

1, exp

22

m

m m m

Nm m

p p P Pσπσ

− = = −

∑ ∑v A f

v f v I f I I (V.7)

Ora, la stima di f che massimizza p(v | f) sarà la soluzione dell’equazione

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) 2

2exp 02

m

m m t m m t

m

pP

σ

−∂ = − − = ∂

∑v A fv f

I A A f A vf

(V.8)

Di conseguenza, la stima di f può essere espressa come

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1

, , , ,m m t m m m m m t

m m

P g P g

−

= ⋅ ∑ ∑f I A A v A f I v A f A v (V.9)

dove la funzione ( )( ), ,mg v A f è così definita

( )( )( ) 2

2, , exp2

m

mgσ

− = −

v A fv A f (V.10)

La (V.9) è un’equazione non lineare per la stima del canale, conoscendo solo il

vettore dei simboli ricevuti v. Risolvere la (V.9) in maniera diretta è molto difficile.

È possibile tuttavia ideare un metodo numerico che ricavi la soluzione ottima MVf della

(V.9) in maniera ricorsiva. Ad esempio possiamo scrivere

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

11 , , , ,k k km m t m m m m m t

m m

P g P g

−

+ = ⋅ ∑ ∑f I A A v A f I v A f A v (V.11)

Una volta trovato MVf si può trovare MVI soddisfacente la (V.3). L’algoritmo

RMAP è molto efficiente per effettuare la minimizzazione voluta.


94

Bisogna sottolineare che la stima MVf così ottenuta ,ovviamente, è peggiore di

quella che si otterrebbe utilizzando comunque il criterio della massima verosimiglianza

(MV), ma con la sequenza I nota (utilizzo di un training).

Nella bibliografia sono indicati alcuni riferimenti per lo studio di algoritmi che

permettano la Blind channel estimation ([8.][9.]).

V.2 Stimatore di canale per il modem MIL-STD-188-110A

Viene proposta nel presente documento la realizzazione di uno stimatore di

canale da utilizzare per il modem MIL-STD-188-110A. Sfruttando la conoscenza del

canale stimato si può infatti equalizzare in maniera più efficiente il segnale ricevuto. Il

sistema è stato simulato sia per canale tempo invariante che per canale tempo variante

di Watterson.

V.2.1 Utilizzo del CMA come equalizzatore

Come prima istanza è stato sfruttato il CMA per equalizzare il canale. Infatti è

necessario avere nel nostro stimatore un equalizzatore che possa rendere disponibili

allo stimatore di canale una decisione dei simboli UNKNOWN il più possibile accurata.

La disponibilità del CMA ha indotto a optare per questo equalizzatore, anche se il CMA

stesso non necessita di alcuna stima di canale per il suo corretto funzionamento.

Mediante il confronto tra l’uscita del canale di Watterson e l’uscita del canale

stimato si aggiornano i coefficienti della stima della risposta impulsiva del canale

tramite la seguente formula:

$ $ ( )1 k kk k agg ks r rδ∗

+ = + −c c $ $ (V.12)

dove c$ rappresenta il vettore della risposta impulsiva del canale stimato; aggδ è un

coefficiente che nel nostro caso è stato ottimizzato a 0,008; ks∗$ è il simbolo complesso

(coniugato) fatto passare attraverso il canale stimato per avere così in uscita il simbolo


95

kr$ presunta uscita del canale, da confrontare poi con l’uscita reale kr del canale di

Watterson.

La seguente Figura V.2 aiuta a comprendere meglio il funzionamento del channel

estimator:

Canale di Watterson

Canale stimato

CMA a T/2

ks

k

s

kr

kr$

kε

ks

ks$

2

1

+

-

Figura V.2 Channel estimator utilizzante l'equalizzatore CMA

Note alla Figura V.2:

ks indica il simbolo trasmesso che attraversa il canale di Watterson diventando il

simbolo ricevuto kr . In ingresso al canale stimato si presenta: il simbolo ks noto in

ricezione, nel caso di simboli KNOWN della trama; il simbolo stimato dal CMA ks$ nel

caso di simboli UNKNOWN. La situazione in Figura V.2 (interruttore in posizione 1)

mostra il momento in cui l’ingresso del canale stimato è ks$ , mentre con lo switch in

posizione 2 l’ingresso del canale stimato è ks . kε rappresenta la differenza tra il simbolo

ricevuto kr e quello stimato kr$ , utilizzato nella formula (V.12) per l’aggiornamento dei

coefficienti dello stimatore di canale.


96

V.2.1.a Simulazioni al calcolatore nel caso di canale tempo

invariante

Forzando il canale ad avere guadagni bloccati a valori 1 per il raggio diretto e 0.2

per quello riflesso, è stato simulato il comportamento per diversi valori di SNR.

Riportiamo alcuni risultati:

Canale tempo invariante 1-0,2

SNR=30. Time-spread=0,416 msec

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 2501 5001 7501 10001 12501 15001 17501 20001 22501 25001 27501

simboli

err

or

Figura V.3 Valutazione del modulo kε nel caso tempo invariante in assenza di rumore (SNR=30 dB)

Canale tempo invariante 1-0,2

SNR=20.Time_spread=0,416 msec

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1 2114 4227 6340 8453 10566 12679 14792 16905 19018 21131

simbolo

err

or

Figura V.4 Valutazione del modulo kε nel caso tempo invariante con SNR=20 dB


97

Note alla Figura V.3 e Figura V.4:

Nella pagina precedente viene graficato il comportamento del modulo dell’errore

kε che in Figura V.2 rappresenta la variazione tra il simbolo ricevuto kr , in uscita dal

canale di Watterson, e il simbolo stimato kr$ . Tale errore si mantiene al di sotto di valori

intorno a 0,1 nel caso di assenza di rumore, mentre come era previsto aumenta per

SNR=20 dB, in cui la presenza del rumore impedisce una perfetta stima del canale.

V.2.1.b Simulazioni al calcolatore nel caso canale tempo variante

Nel caso di canale tempo variante, vengono qui di seguito presentate alcune

simulazioni in assenza di rumore, variando la banda doppler del canale.

Bd=0,1 Hz.

SNR=100 dB. Time_spread=0,416msec

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1 3121 6241 9361 12481 15601 18721 21841 24961 28081

Simboli

err

or

Figura V.5 Valutazione del modulo dell'errore con banda doppler=0,1 Hz


98

Bd=0,5 Hz.

SNR=100 dB. Time_spread=0,416 msec

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1 2933 5865 8797 11729 14661 17593 20525 23457 26389 29321

simboli

err

or

Figura V.6 Valutazione del modulo dell'errore con banda dopppler=0,5 Hz

Bd=1 Hz.


0

0,5

1

1,5

2

1 2949 5897 8845 11793 14741 17689 20637 23585 26533 29481

simboli

err

or

Figura V.7 Valutazione del modulo dell'errore con banda doppler=1 Hz

Note alla Figura V.5, Figura V.6, Figura V.7:

Nella fase iniziale l’elevato valore del modulo dell’errore è dovuto alla

inizializzazione del canale stimato con il solo raggio diretto, che viene puntualmente

recuperata durante la trasmissione dei simboli noti del sync.

Nella scelta della banda doppler pari a 0,1 Hz in Figura V.5, il modulo dell’errore

si mantiene al di sotto di 0,05, mentre per quanto riguarda la Figura V.6 e Figura V.7

con bande doppler pari a 0,5 e 1 Hz rispettivamente, il modulo dell’errore ha dei rapidi


99

incrementi in corrispondenza di particolari posizioni della trama. Tali posizioni sono

coincidenti con gli istanti in cui i guadagni del canale di Watterson sono circa uguali in

modulo, infatti in tali istanti il filtro equalizzatore teorico di tipo IIR ha infiniti campioni

non trascurabili, l’inevitabile utilizzo di un filtro FIR nel nostro sistema comporta un

errore di troncamento considerevole, errore che si ripercuote sulla stima di canale.

V.2.2 Soluzione error-free

È stata adottata una soluzione error-free per analizzare la validità del

comportamento del channel estimator. Eliminando la presenza del CMA vengono

introdotti nel canale stimato direttamente i simboli trasmessi secondo lo standard della

MIL-A. In pratica si suppone che lo stimatore di canale conosca tutta la trama inviata.

Tramite quest’ultima e la conoscenza dei simboli ricevuti attraverso il canale di

Watterson reale vengono aggiornati i coefficienti dello stimatore di canale tramite la ben

nota formula (V.12). In pratica è stata modificata la Figura V.2 in maniera opportuna:

Canale di Watterson

Canale stimato

CMA a T/2

ks

k

s

kr

kr$

kε

+

-

Figura V.8 Channel estimator con soluzione error-free


100

Risultati delle simulazioni:

Bd=0,5 Hz.


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1 2949 5897 8845 11793 14741 17689 20637 23585 26533 29481

simboli

err

or

Figura V.9 Valutazione del modulo dell’errore nel caso di soluzione error-free con

banda doppler=0,5 Hz

Bd=1 Hz.


0

0,5

1

1,5

2

1 2501 5001 7501 10001 12501 15001 17501 20001 22501 25001 27501

simboli

err

or

Figura V.10 Valutazione del modulo dell'errore nel caso di soluzione error-free con banda doppler=1 Hz

Note alla Figura V.9 e Figura V.10:

Come ci si aspettava non si presentano i problemi introdotti dalla presenza del

CMA. Il modulo dell’errore kε si mantiene al di sotto di 0,05 nel caso di banda doppler

di 0,5 Hz di Figura V.9, mentre si mantiene al di sotto di 0,1 nel caso di banda doppler


101

di 1 Hz di Figura V.10. In sostanza non si presentano i picchi del modulo dell’errore kε

riscontrati in Figura V.6 e in Figura V.7, dovuti ad una equalizzazione del canale da

parte del CMA con dei limiti realizzativi, per il troncamento del filtro IIR teorico.

V.2.3 Utilizzo di un cancellatore come equalizzatore

Un’ulteriore riprova del funzionamento corretto del Channel estimator viene

effettuata attraverso l’utilizzo di un cancellatore. Tuttavia anche questa rappresenta una

soluzione error-free, poiché la cancellazione dell’ISI presuppone la conoscenza dei

simboli futuri, che nella realtà non sono noti a priori.

Il simbolo ricevuto può essere scritto come segue:

1 1 2 2 0 1 1 2 2( ...) ( ...)− − − + − += + + + + + +k n n k n n

r c s c s c s c s c s (V.13)

dove viene messa in evidenza la presenza dell’interferenza dei simboli antecedenti ks

(da 1ns − in poi) e quelli seguenti (da 1ns + in poi). Nelle simulazioni l’estrazione del

simbolo ks trasmesso viene quindi realizzata tramite tale formula:

1 2 1 21 2 1

0

( ... )− +− − +− + + + +=

$ $ $ $$

$nk n n n

k

r c s c s c s cs

c (V.14)

dove i $ kc , rappresentano i coefficienti di volta in volta stimati dal Channel estimator e la

parte tra parentesi rappresenta il contributo ISI da eliminare tramite cancellazione.

Poiché la codifica 8-PSK adottata vincola i simboli a valori in modulo unitari, la

divisione per 0$c ha interesse solo per l’informazione introdotta sulla fase, tanto più che

per modulo prossimo a zero si potrebbero presentare dei problemi.


102

Un grafico può aiutare a comprenderne il funzionamento:

Figura V.11 Channel estimator con cancellatore

Note alla Figura V.11:

ks rappresenta il simbolo trasmesso e attraversa il canale di Watterson e il

Channel estimator (nel caso di simboli KNOWN). Inoltre ks viene usato dal cancellatore

per l’eliminazione dell’interferenza introdotta dai simboli futuri. In sostanza, il

cancellatore ha in ingresso sia ks (simbolo trasmesso) che kr (simbolo ricevuto), come

previsto dalla formula (V.14). L’uscita del cancellatore $ ks è il simbolo stimato che viene

usato (nel caso di interruttore in posizione 1) per l’aggiornamento dei coefficienti del

Channel estimator. L’interruttore in posizione 2 invece, si riferisce all’introduzione nel

canale stimato di simboli ks già noti al ricevitore, ma in entrambi i casi per

l’aggiornamento dei coefficienti si fa sempre riferimento alla (V.12).

Alcuni grafici sul comportamento dei simboli 8-PSK stimati possono dare

un’idea della validità dello stimatore di canale con cancellatore.

ks

ks

kr

Canale di Watterson

Canale stimato

Cancellatore

kr$

kε

ks$

ks

+

-2

1


103

Bd=0,1 Hz SNR=20 dB

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-2 -1 0 1 2

Re Simb

Im S

imb

Simboli 8-PSK

Simboli equalizzati

Figura V.12 Comportamento dei simboli stimati 8-PSK nel caso di SNR=20 e banda doppler pari a 0,1 Hz

Bd=0,5 Hz SNR=20 dB

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-2 -1 0 1 2

Re simb

Im s

imb

Simboli 8-PSK

Simboli equalizzati

Figura V.13 Comportamento dei simboli stimati 8-PSK nel caso di SNR=20 e banda doppler pari a 0,5 Hz


104

Bd=1 Hz SNR=30 dB

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-2 -1 0 1 2

Re simb

Im s

imb

Simboli 8-PSK

Simboli equalizzati

Figura V.14 Comportamento dei simboli stimati 8-PSK nel caso di SNR=30 e banda doppler pari a 1 Hz

Note alla Figura V.12, Figura V.13 e Figura V.14:

I simboli stimati in uscita dal cancellatore sono rappresentati in colore rosso

mentre i simboli 8-PSK inviati in colore blu. In Figura V.13, dove la banda doppler è

pari a 0,5 Hz, si presentano degli spostamenti dalle posizioni della costellazione più

evidenti del caso in Figura V.12, dove il canale è meno variabile (banda doppler= 0,1

Hz). Tali spostamenti si mantengono intorno al 20% e quindi non sono tali da impedire

una corretta valutazione del simbolo tramite decisore a soglie. Nel caso di assenza di

rumore (vedi Figura V.14 con SNR=30 dB) la situazione migliora ulteriormente. Gli

spostamenti dalla costellazione sono ridotti al 10% circa.

Nei grafici considerati, non vengono rappresentati i primi simboli di trama

stimati, in cui l’aggancio di stima non è stato ancora raggiunto.

Capitolo VI Equalizzazione basata sull’algoritmo R-MAP

105

Capitolo VI

EQUALIZZAZIONE BASATA

SULL’ALGORITMO R-MAP

VI.1 L’equalizzatore MAP

Il sistema che effettua la stima di canale descritto nel Capitolo V può essere

utilizzato per costruire un altro tipo di equalizzatore. Il CMA infatti, (Capitolo IV) è un

equalizzatore adattativo che non ha bisogno di conoscere del canale per aggiornare i

suoi coefficienti. L’equalizzatore MAP necessita invece della conoscenza del canale per

funzionare correttamente, conoscenza che ovviamente non è direttamente disponibile in

ricezione; ecco che si rende necessario stimare il canale secondo, ad esempio, le tecniche

presentate nel Capitolo V.

Il MAP è un equalizzatore non lineare, il cui algoritmo di rivelazione simbolo a

simbolo è basato sul criterio della massima probabilità a posteriori (MAP – Maximum A

Posteriori Probability). Esso minimizza la probabilità di errore sul simbolo, scegliendo

la sequenza di simboli trasmessi nI in maniera tale che la densità di probabilità

[ ]( )nP I r n sia massima, dove [ ]r n è la sequenza ricevuta. Come già detto questa

tecnica, per essere implementata, richiede la conoscenza, o comunque la stima, del

canale e della statistica del rumore che corrompe il segnale.


106

Al passo n+D, l’equalizzatore MAP calcola la probabilità a posteriori del simbolo

[ ]b n , condizionata alla sequenza ricevuta dall’istante n all’istante n+D:

{ } ( ), D , D [ ] [ D][ ] conn n n n r n r nP b n + ++=r r L (VI.1)

Si decide, quindi, per il simbolo is della costellazione per cui vale:

{ } { }, D, D [ ][ ] n nn n ji b n sP b n s P j i++ == > ∀ ≠rr (VI.2)

Al contrario di un equalizzatore MLSE (Maximum Likelihood Sequence Estimation),

che individua come trasmessa la sequenza che ha la massima probabilità fra tutte le

possibili sequenze, l’equalizzatore MAP decide sul simbolo che ha la massima

probabilità tra tutti i possibili simboli trasmessi.

Un esempio può chiarire meglio la differenza tra le due tecniche. Supponiamo di

disporre delle probabilità delle quattro possibili sequenze di 2 bit:

Sequenza Probabilità

0 0 0,22

0 1 0,27

1 0 0,25

1 1 0,26

Tabella VI.1 Probabilità di una possibile sequenza

L’equalizzatore MLSE individua come sequenza trasmessa quella che ha maggior

probabilità, ovvero la sequenza 0 1.

L’equalizzatore MAP, invece, calcola simbolo a simbolo la probabilità che esso

sia stato trasmesso. Quindi, per il primo simbolo della sequenza si avrebbe

( )0 0,22 0,27 0,49P = + = e ( )1 0, 25 0, 26 0,51P = + = , e deciderebbe per il simbolo 1.


107

Analogamente, per il secondo simbolo si avrebbe ( )0 0,22 0, 25 0,47P = + = e

( )1 0, 27 0, 26 0,53P = + = . Pertanto, in questo caso, al contrario del MLSE, il MAP

avrebbe individuato come trasmessa la sequenza 1 1.

Il blocco funzionale che implementa l’equalizzazione MAP, riceve in ingresso la

stima [ ]ch k′′ della risposta impulsiva del canale HF, effettuata mediante il metodo del

gradiente stocastico descritto nel Capitolo V, e la sequenza ricevuta [ ]r n :

L-1

T

0

[ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ]c ck

n h k b n k n h n n=

= − + = +∑r n b n (VI.3)

dove [ ] [ ] [ ]( )0 1 1c c c ch h h L= −h K e [ ] [ ] [ ]( )1 1c c c cb n b n b n L= − − +b K sono i vettori

contenenti, rispettivamente, i coefficienti del canale reale e gli ultimi L simboli trasmessi

(stato del canale). Il parametro L è la lunghezza del filtro FIR che rappresenta il canale,

ma regola anche il ritardo D=L-1 della decisione rispetto alla ricezione del simbolo. In

ogni istante i possibili stati del canale sono LN S= , dove S è pari al numero di simboli

della costellazione (ad es.: 8 8PSK S→ = , 16 16QAM S→ = ).

A partire da questi due input, viene calcolato il vettore contenente le probabilità

a posteriori degli stati di canale (APPs di canale):

{ } { }( )-D, -D,[ ] [ ] [ ]n n n nn P n P n= = =1 Nr rp b m b mL (VI.4)

dove i vettori im corrispondono agli N possibili stati di canale. A partire dal vettore

[ ]np è possibile calcolare, con un ritardo pari a D=L-1, il vettore delle probabilità a

posteriori di simbolo (APPs di simbolo):

{ } { }( ), D , D1 S[ ] b[ ] s b[ ] sn n n nn P n P n+ += = =r rs L (VI.5)

Tale operazione può essere eseguita sommando opportunamente gli elementi del

vettore [ ]np .


108

Ad esempio, supponendo un canale di lunghezza L=3, ed utilizzando una

modulazione BPSK (S=2), si avrà un vettore [ ]np di 32 8= elementi. Il vettore [ ]np

potrebbe essere pari a:

[ ] ( )0,02 0,01 0,90 0,01 0,00 0,05 0,00 0,01n =p

dove gli 8 possibili stati sono ordinati nel seguente modo:

000 001 010 011 100 101 110 111

In questo caso, le probabilità a posteriori dei simboli 0 e 1 sono pari a:

{ }2,[ 2] 0 | 0,02 0,01 0,90 0,01 0,94n n

P b n −− = = + + + =r

{ }2,[ 2] 1| 0,00 0,05 0,00 0,01 0,06n n

P b n −− = = + + + =r

Pertanto il vettore delle APPs di simbolo sarà:

[ 2] (0,94 0,06)n − =s

Si può pensare di calcolare il vettore [ ]np ricorsivamente, attraverso la matrice F:

1,1 1,

,1 ,

N

N N N

F F

F F

=

F

L

M O M

L

(VI.6)

dove il generico elemento ,i jF rappresenta la probabilità di passaggio di stato:

{ }, [ 1]F P [ ]i jnn − == = ji b mb m (VI.7)


109

Si può così ricavare [ ]np semplicemente:

[ ] [ 1]n n= −p F p (VI.8)

Nella Figura III.7 è rappresentato lo schema a blocchi dell’equalizzatore MAP.

Calcolo delle APPs di canale

Calcolo delle APPs di simbolo

One-step delay

F

Decisore MAP

s[n-D] p[n]

p[n-1]

r[n]

Figura VI.1 Equalizzatore MAP

È facilmente intuibile come la soluzione di equalizzazione MAP, seppur

operando con un basso ritardo di decisione, implichi un costo computazionale che

cresce esponenzialmente con la lunghezza del canale (il numero degli stati di canale è

LS ). Per questo motivo si è rivolta l’attenzione verso tecniche di equalizzazione MAP

con un numero ridotto di stati di canale.

VI.2 L’equalizzatore RMAP

La strategia adottata dall’equalizzatore RMAP (Reduced-complexity MAP), per

ridurre la complessità computazionale, consiste nel selezionare, ad ogni passo, solo gli

H elementi maggiori del vettore [ ]1n −p , necessario per calcolare le APPs di canale.

Questa operazione, che equivale ad escludere gli stati di canale meno probabili,

consente una notevole riduzione del costo computazionale (generalmente si sceglie

LH S� ) a fronte di un peggioramento accettabile delle prestazioni del ricevitore in

termini di SER (Symbol Error Rate).


110

Di seguito vengono riportati i passi fondamentali dell’equalizzatore RMAP:

1° Passo: A partire dal vettore delle APPs di canale, al passo n-1,

{ } { }( )1 D, 1 1 D, 1[ 1] P [ 1] P [ 1]n n n nn n n− − − − − −− = − = − =1 Hr rp b m b mL di dimensione H×1, si

ricava, tramite la matrice F delle probabilità dei possibili passaggi di stato, di

dimensione SH×H, il vettore [ ]n′p di dimensione SH×1 che contiene le probabilità degli

SH possibili stati di canale, al passo n:

[ ] [ 1]n n′ = −p F p (VI.9)

2° Passo: Nel vettore [ ]n′′p di dimensione H×1, si riportano le probabilità degli H

stati più probabili contenuti in [ ]n′p :

{ }max [ ][ ] H nn ′′′ = pp (VI.10)

3° Passo: Si calcola il vettore [ ]nd , di dimensione H×1, che rappresenta una

funzione di costo di tipo esponenziale, così definita:

T2 2T T

0 0

r[ ] ( ) r[ ] ( )[ ] exp exp

N Nn n

n ′′ ′′− − = − −

c 1 c Hh m h md L (VI.11)

4° Passo: Si pesano le probabilità di stato contenute in [ ]n′′p con la funzione di

costo [ ]nd ; le nuove probabilità di stato vengono messe nel vettore [ ]n′′′p di dimensione

H×1:

{ }[ ] Diag [ ][ ]n nn′′′ ′′=p pd (VI.12)


111

5° Passo: Si normalizzano le probabilità di stato contenute in [ ]n′′′p , e si mettono

nel vettore [ ]np delle APPs di canale, al passo n, di dimensione H×1:

{ }[ ][ ] Norm nn ′′′= pp (VI.13)

6° Passo: Dal vettore [ ]np delle APPs di canale, si calcola il vettore [ - D]ns delle

APPs di simbolo, di dimensione S×1, utilizzando la matrice maschera B, di dimensione

S×H, il cui generico elemento Bij è uguale a 1 se lo stato j-esimo (tra gli H sopravvissuti)

contiene il simbolo i-esimo nell’ultima posizione della sua configurazione, mentre è

uguale a 0 altrove:

[ - D] [ ]n n=s B p (VI.14)

7° Passo: Si decide per il simbolo si per cui vale:

$ { } { }D,-D, b[ - D] sb[ - D] s tale che P b[ - D] s P n nn n ji i nn n j i−== = > ∀ ≠rr (VI.15)

In ogni passo bisogna, inoltre, tener memoria delle configurazioni degli H stati

sopravvissuti.

Implementazione softwer:

Si è scelto di mantenere informazione degli H stati sopravvissuti tramite un

vettore di indici CFp di dimensione Hx1, più facile da gestire della corrispondente

matrice TabStates di HxL elementi della costellazione 8-PSK, (dove L rappresenta la

lunghezza del canale). La corrispondenza viene gestita tramite una rappresentazione

ottale dell’indice CFp che qui di seguito riportiamo per maggior chiarezza:


112

1 1

2 2

3 3

8 8 0 0 1 0

16 16 0 0 2 0

15 15 0 0 1 7

67 67 0 1 0 3H H

α α

α α

α α

α α

= = →

= = → = == = →

→ = = →

CFp TabStates

L

L

L

M M L L L L L

L

Il 1° e 2° Passo vengono gestiti contemporaneamente: viene innanzittutto

effettuato un’ordinamento (in senso decrescente), dei vettori delle APPs di canale

[ 1]n −p chiamato Xf e quindi del corrispondente indice di stato del canale CFp. Solo i

primi H/S stati saranno considerati per generarne altri S successivi, in questo modo si

ottengono, in maniera immediata, gli H stati successivi più probabili. Data

l’equiprobabilità degli S simboli successori risulta inutile oltre che dispendiosa dal

punto di vista dell’occupazione di memoria, l’utilizzo di una matrice di transizione di

stato F. Per gestire il calcolo delle H probabilità di stati del canale più probabili '[ ]np ,

contenute nel vettore Xp (Hx1), è quindi sufficiente associare una probabilità di 1/S agli

stati successori.

Per quanto riguarda il 6° e 7° Passo (di decisione sul simbolo), viene effettuato

con un ritardo pari a D e vengono implementati tramite l’utilizzo di un vettore s di

dimensione Sx1, in cui in posizione i=0..7 è inserita la probabilità relativa al simbolo 8-

PSK all’istante n-D. La scelta sul simbolo trasmesso è effettuata in favore dell’indice del

vettore s con maggior probabilità.

VI.3 Prestazioni per canale tempo invariante a fase minima

Al fine di testare l’efficacia dell’algoritmo RMAP si è deciso di studiare in prima

istanza il suo funzionamento su un canale tempo invariante secondo il modello di

Watterson (vedi Par. I.5). La Figura IV.1 fornisce un esempio del tipo di canale

utilizzato nelle simulazioni. Tale canale va in ogni caso stimato secondo le tecniche del


113

gradiente stocastico studiate nel Capitolo V. La formula ricorsiva utilizzata è la (V.12)

che riportiamo qui di seguito per comodità:

$ $ ( )1 k kk k agg ks r rδ∗

+ = + −c c $ $ (VI.16)

Per un canale tempo invariante, come quello qui utilizzato, si è ritenuto

sufficiente applicare la (VI.16) e quindi aggiornare i coefficienti del canale stimato solo

durante i simboli KNOWN della trama trasmessa (esplicitata in Figura IV.3). Così

facendo la stima della risposta impulsiva del canale si aggiorna durante il preambolo di

SYNC e durante i 16 simboli KNOWN e rimane fissa durante i 32 simboli UNKNOWN.

Vale la pena rimarcare che i risultati delle simulazioni riportati qui di seguito si

riferiscono solo a canali a fase minima ,cioè con il primo coefficiente maggiore del

secondo, se viene a mancare questa ipotesi l’algoritmo RMAP perde molto della sua

efficienza. In seguito verrà presentata una soluzione per ovviare a questo problema.

Canale (1; 0.2):


• aggδ dello stimatore di canale: 0,008

• blocchi trasmessi: 3

• time spread: 416 μsec

• H (parametro dell’ RMAP): 16


114

Confronto RMAP-AWGN

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0 3 6 9 12 15 18 21

SNR

SE

R

AWGN

RMAP

Figura VI.2 Prestazioni dell’RMAP per canale fisso (1;0.2)

Note alla Figura VI.2:

Si noti la particolare efficienza dell’ RMAP nell’eliminazione dell’ISI; infatti per

ogni SNR il sistema raggiunge un SER di poco superiore a quello ottenuto con un canale

di tipo AWGN che, come già detto, rappresenta un limite invalicabile nei nostri studi.

Il parametro H=16 è in questo caso particolarmente basso, in pratica gli stati

sopravviventi sono molto pochi rispetto alla totalità degli stati possibili pari a L 11S 8= ;

11 è la lunghezza sia della risposta impulsiva del canale che del parametro D

esprimente il ritardo di decisione introdotto dall’algoritmo RMAP (vedi Parr. VI.1 e

VI.2).

Sono state effettuate simulazioni anche con diversi tipi di canale a fase minima,

come (1; 0.5), (1; 0.8). Le prestazioni ottenute rispecchiano quelle graficate in Figura VI.2.


115

VI.4 Filtraggio preliminare

Nel Capitolo I sono state mostrate le caratteristiche del canale HF, e si è visto

come esso possa essere rappresentato da una risposta impulsiva tempo variante con

una durata finita.

Se la risposta impulsiva del canale (CIR – Channel Impulse Response) ha un

andamento temporale come in Figura VI.3, la funzione di trasferimento del canale gode

della proprietà di essere a fase minima, e l’energia del canale è massimamente

concentrata intorno allo zero; è il caso considerato nel precedente Par. VI.3

0 1 2 3 4 n

Figura VI.3 CIR a fase minima

Viceversa se si considera la risposta impulsiva mostrata in Figura VI.4, la

funzione di trasferimento del canale non è a fase minima, e la sequenza ricevuta dipende

fortemente dai simboli precedentemente trasmessi, ovvero è maggiore il contributo

dell’ISI.


116

0 1 2 3 4 n

Figura VI.4 CIR non a fase minima

In questo secondo caso l’equalizzatore RMAP, che ricerca tra le possibili

sequenze quella che più probabilmente è stata trasmessa, si trova nella situazione di

ricevere una sequenza che non dipende strettamente dall’ultimo simbolo trasmesso, che

lo porta a prendere decisioni sbagliate sul simbolo.

Per ovviare a tale situazione, si rende necessaria un’elaborazione della sequenza

ricevuta. Il sistema di trasmissione equivalente dovrà soddisfare le seguenti specifiche:

• avere una lunghezza della risposta impulsiva equivalente non maggiore

di quella del canale (in modo da non aumentare il numero di stati

dell’equalizzatore);

• essere causale;

• essere a fase minima;

• non enfatizzare il rumore, e lasciarlo bianco.

Il filtraggio che soddisfa tali requisiti è dato dalla cascata di un filtro matched ed

un filtro whitening.

VI.4.1 Il filtro matched

Indicata con [ ]ch n la risposta impulsiva del canale di lunghezza pari ad L, il

filtro matched (MF – Matched Filter) normalizzato è anticausale, con coefficienti dati

dalla seguente espressione:


117

*c

1m[ ] h [ ]

En n= − (VI.17)

dove −

=

∑L 1

2c

k 0

h [k]E = rappresenta l’energia istantanea del canale e ( )= − KL-1 , ,0n .

Indicata con [ ]a n la sequenza trasmessa, il segnale in uscita al filtro matched

risulta essere:

[ ] [ ]( )

[ ] [ ]=−

= − +∑L-1

L-1

y x a nn

n k n k n (VI.18)

dove con [ ]x k è stata indicata la sequenza di autocorrelazione del canale così definita:

( )

=

+ = −

= =

= −

∑ KL-

*c c

q 0

*

1 h [q ]h [q] 1, ,L 1E

x[ ]1 0x [- ] - L 1 ,…,-1

n

n n

nn

n n

(VI.19)

Il filtro matched normalizzato effettua sia un controllo di guadagno sia una

soppressione ottima del rumore. Inoltre, poiché il filtraggio matched non comporta

perdita di informazione, il segnale [ ]y n è una statistica sufficiente per la rivelazione del

segnale.

Il filtro matched va inserito all’uscita del canale reale del nostro sistema di

trasmissione. Dalla formula (VI.17) è evidente che si rende necessaria una stima di

canale simbolo a simbolo. Possiamo a tal fine utilizzare lo stimatore di canale tramite il

CMA studiato nel Par. V.2.1.

Il filtro matched non rimuove l’ISI, ed inoltre il rumore [ ]n n risulta colorato con

potenza tempo variante 0N / E e funzione di autocorrelazione [ ] ( ) [ ]n 0R N / E xn n= . Si

rende così necessario l’utilizzo di un filtro whitening (WF – Whitening Filter) che ha sia il

compito di cancellare i precursori anticausali dell’ISI, sia quello di rendere i campioni di

rumore incorrelati.


118

VI.4.2 Il filtro whitening

Le caratteristiche del filtro whitening sono legate alle specifiche che il canale

equivalente deve soddisfare. Indicando con [ ]w n i coefficienti del filtro whitening e

con [ ] [ ] [ ]f x wn n n= ∗ quelli del canale equivalente, in Figura Figura VI.5 è riportato lo

schema a blocchi del sistema di trasmissione equivalente.

Canale HF

Filtro matched m[n]

Filtro whitening w[n]

y[n] r[n] a[n] v[n]

x[n]

f[n]

Figura VI.5 Sistema di trasmissione equivalente

Passando nel dominio della trasformata z, la funzione di autocorrelazione del

canale ( )X z può essere fattorizzata come:

( ) ( )1

X F Fz zz

∗

∗

=

(VI.20)

Scegliendo ( )F z causale e a fase minima e ( ) ( )W 1/ F 1/z z∗ ∗= , si ha che la risposta

del canale equivalente è proprio pari a ( )F z . Tutto ciò è rappresentato nello schema a

blocchi in Figura VI.6.


119

Canale HF

Filtro matched M(z)

Filtro whitening W(z)

y[n] r[n] a[n] v[n]

F(z)

Figura VI.6 Sistema di trasmissione con filtraggio ideale

Avendo assunto ( )F z a fase minima e stabile, si ha che i suoi poli e i suoi zeri

giacciono all’interno del cerchio unitario, e quindi che i poli e gli zeri di ( )1/ F 1/ z∗ ∗

giacciono al di fuori del cerchio unitario. Dunque ( )W z , affinché sia stabile, deve essere

anticausale e la sua antitrasformata [ ]w n deve avere lunghezza infinita; non si può

perciò determinare agevolmente la risposta impulsiva del filtro whitening nel dominio

della variabile z.

Per risolvere tale problema si ricorre all’utilizzo di un Decision-Feedback Equalizer

(DFE), infatti la letteratura ci dice che la parte anticausale del FeedForward Filter (FF) del

DFE, ottimizzato con il criterio Zero-Forcing (ZF), coincide con il filtro whitening ideale.

I coefficienti del DFE sono determinati seguendo il criterio della minimizzazione

dell’errore quadratico medio (MMSE – Minimum Mean Square Error) tra la sequenza

stimata e quella ricevuta. In particolare i coefficienti del FF sono la soluzione del

seguente sistema di equazioni:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

0,0 0,w

w,0 w,w

w 0 x 0

w W x W

Ψ Ψ

= Ψ Ψ

L

M O M M M

L

(VI.21)

dove i coefficienti ,i jΨ della matrice hanno la seguente espressione:


120

[ ] [ ] [ ],L

1x x x

j

i jl

l l i j i jγ

∗

=−

Ψ = + − + −∑ (VI.22)

dove gli [ ]x n sono i campioni della sequenza di autocorrelazione del canale, γ è il

rapporto segnale rumore istantaneo, W+1 è la lunghezza del filtro whitening e

, 0, ,Wi j = K . Per la risoluzione di tale sistema sono possibili due alternative: l’utilizzo

di un DFE con algoritmo LMS (Least Mean Square), oppure la soluzione analitica. I due

algoritmi permettono di ottenere i medesimi risultati, ma con costi computazionali

diversi.

Capitolo VII Filtro sbiancante (“Whitening Filter”)

121

Capitolo VII

FILTRO SBIANCANTE

(“WHITENING FILTER”)

VII.1 REALIZZAZIONE TRAMITE ALGORITMO LMS

L’immediata disponibilità dell’equalizzatore DFE ha portato, in prima

istanza,alla scelta dell’algoritmo LMS per implementare il filtro whitening.

L’equalizzatore DFE è composto da due filtri trasversali numerici. Il filtro

trasversale in avanti FF (feedforward) viene alimentato dalla sequenza dei campioni

ricevuti, mentre il filtro trasversale nel ramo di retroazione FB (feedback), dalla

sequenza dei simboli noti, ovvero dai simboli decisi a seconda che si ricevano simboli

KNOWN o UNKNOWN della trama (vedi Figura IV.3). Ovviamente i simboli KNOWN

sono noti al ricevitore, per quanto riguarda i simboli UNKNOWN si è utilizzato l’

equalizzatore CMA per stimarli (Capitolo IV).

filtro FF

preambolo

Equalizzatore CMA

filtro FB � Simboli KNOWN

� Simboli UNKNOWN decisi

ingresso dei campioni all’uscita

del MATCHED

r(k)

errore

e(k)

uscita filtro FF

(k)r~

Trama ricevuta

Figura VII.1 Schema a blocchi del DFE utilizzato nel calcolo del filtro Whitening


122

In Figura VII.1 viene mostrato il DFE da noi utilizzato. I coefficienti del filtro FF e

del filtro FB si aggiornano a tempo di simbolo. I coefficienti del filtro Whitening sono

contenuti nella parte anticausale del filtro FF.

VII.1.1.a Simulazioni per canale tempo invariante generico

Avendo inserito nel nostro simulatore i filtri Matched e Whitening possiamo

testare il nostro sistema per qualsiasi tipo di canale, a fase minima e non.

È più interessante qui studiare canali non a fase minima, cioè con il primo

coefficiente più basso del secondo.

Canale (0.2; 1)


• 1aggδ dello stimatore di canale reale: 0,005

• 2aggδ dello stimatore di canale fittizio: 0,008

• blocchi trasmessi: 3

• time spread: 416 μsec

• H (parametro dell’ RMAP): 16

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0 3 6 9 12 15 18 21

SNR

SE

R

AWGN RMAP {0,2-1}

Figura VII.2 Prestazioni dell’RMAP per canale fisso (0.2; 1)


123

Note alla Figura VII.2:

Nella voce “Parametri della simulazione” vengono indicati due tipi di aggδ : 1aggδ si

riferisce al parametro utilizzato nella stima del canale reale, prima della cascata dei filtri

Matched e Whitening; tale stima servirà alla costruzione del filtro Matched stesso. 2aggδ

è invece il parametro della stima del canale fittizio comprendente la cascata del canale

vero + il filtro Matched + il filtro Whitening, stima necessaria per implementare

l’algoritmo RMAP (Par. VI.2).

Il SER prossimo a quello dell’AWGN denota la correttezza e l’efficienza dei filtri

Matched e Whitening costruiti. In sostanza il canale virtuale visto dall’RMAP viene reso

a fase minima dalla cascata dei filtri, indipendentemente che il canale effettivo sia a fase

minima o meno.

Il parametro H=16 dell’RMAP è sufficiente a garantire ottime prestazioni per

canale tempo invariante, utilizzato nella presente simulazione.

Sono state effettuate simulazioni con canali a fasi minima e filtri Matched e

Whitening attivati. I risultati raggiunti sono sostanzialmente analoghi a quelli del Par.

VI.3.

VII.1.1.b Simulazioni nel caso di canale tempo variante di

Watterson

Il sistema complessivo, formato dalla cascata dei filtri Matched e Whitening e

dall’equalizzatore RMAP è ora pronto per essere testato su canale tempo variante

secondo il modello di Watterson (Par. I.5).

A tal fine nella seguente Tabella VII.1 vengono presentati i SER ottenuti tramite

le simulazioni, messi a confronto con i corrispondenti SER dell’equalizzatore CMA a

T/2 (Par. IV.3.4).

Per la stima di canale il coefficiente aggδ vale 0,005 per lo stimatore del canale

vero utilizzato per costruire il filtro Matched, e 0,008 per lo stimatore del canale fittizio

visto dall’RMAP.


124

Bd (Hz)

SNR dB

Time spread

(sec)

Blocchi trasmessi

SER (RMAP) H=512

SER CMA a T/2

0,1 100 416 μ 5 2,6 E-05 2,2 E-03

0,15 100 416 μ 20 5,8 E-04 4,3 E-03

0,5 100 416 μ 5 2,3 E-03 6,4 E-03

0,1 100 832 μ 5 4,2 E-04 1,5 E-02

0,5 100 832 μ 5 4,4 E-04 1,2 E-02

0,5 18 832 μ 5 3,0 E-02 3,0 E-02

0,5 21 832 μ 5 1,4 E-02 5,6 E-02

0,1 100 2 m 20 2,8 E-03 4,4 E-02

0,5 100 2 m 10 1,1 E-02 3,2 E-02

0,5 21 2 m 10 2,0 E-02 5,6 E-02

Tabella VII.1 Confronto di prestazioni tra RMAP e CMA a T/2

Note alla Tabella VII.1:

Al fine di confrontare i risultati dell’RMAP con quelli dell’equalizzatore CMA a

T/2 il sistema è stato testato con SNR molto elevati. Per bande doppler basse (� 0,1 Hz)

l’equalizzatore RMAP introduce delle migliorie notevoli rispetto al CMA a T/2, di 1 o

(vedi prima riga di Tabella VII.1) di 2 ordini di grandezza. Ciò avviene per ogni time

spread considerato (ritardo tra primo e secondo raggio del canale). Anche per bande

doppler medie ( � 0,5 Hz) il miglioramento rispetto al CMA a T/2 è evidente anche se è,

in questo caso, “solo” di un fattore 2 o 3. Per bande doppler elevate l’equalizzatore che

sfrutta l’algoritmo RMAP non migliora sostanzialmente le prestazioni del CMA a T/2;

per time spread alti i risultati sono addirittura peggiori! La causa di ciò può essere

imputabile a due fattori:

i. la stima del canale fittizio cascata di: canale vero + filtro Matched + filtro Whitening

rimane bloccata durante la trasmissione dei simboli UNKNOWN. Un possibile


125

miglioramento si può apportare effettuando un’interpolazione lineare dei

coefficienti della stima di canale tra 2 miniblocchi consecutivi da 16 simboli

KNOWN per avere un aggiornamento della stima di canale anche durante la

trasmissione di simboli UNKNOWN;

ii. il DFE utilizzato per il calcolo del Whitening non è adatto a inseguire un canale

troppo veloce, come quello a banda doppler=1 Hz. Per ovviare a questo problema si

può aggiornare l’FF filter del DFE più volte ogni replica da 48 simboli, “ciclando”

sulla stessa; oppure si può ricorrere alla via analitica per il calcolo dei coefficienti del

filtro Whitening, come accennato nel Par. VI.4.2.

VII.1.2 SECONDA STIMA DI CANALE:

INTERPOLAZONE LINEARE

Nell’implementazione dell’equalizzazione adattativa mediante algoritmo RMAP

(Reduced-complexity MAP) descritta nel Par.VI.2 , è necessario effettuare una seconda

stima del canale fittizio ''c

h , cascata di: canale vero + filtro Matched + filtro Whitening.

Tale stima calcola il vettore [ ]nd definito dalla (VI.11), di dimensione H×1, che

riportiamo di seguito per maggior chiarezza.

( ) ( )

2 2'' ''

0 0

[ ] [ ][ ] exp ...exp

TT T

c cr n r n

nN N

− −

= − −

1 Hh m h md (VII.1)

[ ]nd rappresenta una funzione di peso di tipo esponenziale, adoperata per la

valutazione delle probabilità degli H stati sopravvissuti, [ ]r n rappresenta il simbolo

ricevuto all’istante n , ...1 Hm m sono gli H stati più probabili, mentre 0N è il rapporto

segnale-rumore. ''c

h rappresenta proprio la stima della risposta impulsiva del canale HF,

effettuata mediante il metodo del gradiente stocastico di canale descritto tramite la

oramai nota formula di aggiornamento dei coefficienti:


126

( )*

1 kk k kagg kc c s r rδ+ = + −$ $ $ $ (VII.2)

sviluppato e quindi già disponibile, dal CMA.

In una prima realizzazione, tale aggiornamento (dei coefficienti del canale) viene

effettuato simbolo a simbolo, per i simboli KNOWN, mentre rimane bloccato durante i

simboli UNKNOWN. Un possibile miglioramento si può apportare effettuando

un’interpolazione lineare dei coefficienti della stima di canale tra 2 miniblocchi

consecutivi da 16 simboli KNOWN per avere un aggiornamento della stima di canale

anche durante la trasmissione di simboli UNKNOWN.

La trama valida che si presenta in ricezione , viene manipolata per unità

elaborativa.

Prendendo in considerazione la struttura della trama trasmessa nello standard

MIL-STD-188-110 A, ( a parte il SYNC iniziale ) , una unità elaborativa è rappresentata

dai 16 simboli KNOWN del probe , con i rispettivi 32 simboli di dati UNKNOWN, più i

16 simboli sempre KNOWN del probe del blocco immediatamente successivo , come

mostrato in Figura VII.3:

Figura VII.3 Unità elaborativa ( UE ) relativa alla trama.

1UE

3UE

2UE

PROBE UNKNOWN PROBE UNKNOWN PROBE

PROBE

UNKNOWN

PROBE

PROBE

UNKNOWN

PROBE

PROBE PROBE

PROBE

UNKNOWN

UNKNOWN


127

Fissata l’attenzione sull’aggiornamento del canale al termine del primo probe

della singola unità elaborativa , si effettua una stima “ anticipata ” per il secondo probe

della stessa UE.

In questo modo, si ha a disposizione una stima nelle due posizioni A e B

mostrate in Figura VII.4, che può essere sfruttata opportunamente per

un’interpolazione lineare, che permetta un’aggiornamento simbolo a simbolo anche sui

simboli UNKNOWN.

Figura VII.4 Stima di canale su unità elaborativa

Note alla Figura VII.4:

In posizione A si ha una rappresentazione del valore assunto da uno degli L

coefficienti del canale, raggiunto in tal istante dalla seconda stima di canale , in B, la

valutazione dello stesso coefficiente tramite una stima di canale “anticipata”. La

differente altezza delle linee in neretto danno un’idea del diverso valore che nelle due

posizioni può assumere la stima del singolo coefficiente. La linea che unisce i due punti

, riporta l’andamento dell’interpolazione lineare che viene applicata simbolo a simbolo

sul singolo coefficiente di stima.

Analoga implementazione sarà adottata per i restanti L-1 coefficienti.

16 simboli KNOWNal termine del quale si ha la

stima di canale

32 simboli UNKNOWNche sfruttano come stima di canale i

valori interpolati linearmente

A

B

16 simboli KNOWNsui quali si effettua una

stima di canale “anticipata”

PROBE UNKNOWN PROBE

A

KUE


128

Implementazione softwer:

Per quanto riguarda i coefficienti di canale stimati alla fine del primo probe

dell’unità elaborativa , vengono memorizzati in un buffer , co_ch , di lunghezza l_ch ,

mentre la seconda stima di canale “anticipata”, ( al termine del secondo probe ) , viene

posta in un vettore delta2_ch sempre di lunghezza l_ch. Per ogni coefficiente della

risposta impulsiva di canale i , viene calcolato il valore di incremento a cadenza di

simbolo , da applicare secondo la formula:

_ [ ] _ [ ]_ [ ] 0, , _ 1

i ii i l ch

−= = −

delta2 ch co chdelta ch

REPLL

delta_ch tiene memoria della variazione , mentre REPL risulta pari a 48 , cioè la

dimensione di una replica , come mostrato in Figura VII.4. In questo modo la risposta

impulsiva di canale a cui i simboli UNKNOWN fanno riferimento , non è più fissata da

co_ch , ma subisce una modifica che ne migliora la stima . Infatti l’interpolazione non fa

altro che ammortizzare la variazione percepibile tra le stime co_ch e delta2_ch, come

mostrato:

0, , __ _ [ ] _ [ ] _ [ ]*( _ inf 1)

_ inf 0, ,31

i l ch

i i i j o

j o

=

= + +

=

co ch interp co ch delta ch

L

L

co_ch_interp è la stima di canale a cui i simboli di dati informativi faranno

riferimento . L’incremento da applicare a cadenza di simbolo viene gestito tramite

l’indice j_info che scandisce proprio i 32 simboli UNKNOWN.

VII.1.2.a Prestazioni canale tempo variante.

Le variazioni riscontrate con l’introduzione per i simboli informativi, di

un’interpolazione lineare sulla seconda stima di canale, nel caso di canale fisso sono

risultati quasi inesistenti, si è quindi preferito analizzare le prestazioni nel caso di

canale tempo variante.Per avere una valutazione più completa, sono messe a confronto

con i risultati dell’equalizzatore CMA a T/2.


129

Tabella VII.2 Confronto di prestazioni tra RMAP con WF realizzato con DFE (con e senza interpolazione

lineare della seconda stima di canale ) e CMA a T/2

SER

(WF realizzato con DFE)

δδδδagg=0,008

SENZA interpolazione CON interpolazione

Bd

(Hz)

SNR

db

Time

spread

(Sec)

Num

blocchi

H=16 H=512 H=16 H=512

SER

(CMA T/2)

0,1 100 416 µ 5 2,6 E-05 2,6 E-05 2,6 E-05 2,6E-05 2,2E-03

0,15 100 416 µ 20 8,14E-04 5,79E-04 7,94E-04 6,25E-04 4,3E-03

0,5 100 16 µ 5 3,77E-03 2,29E-03 2,94E-03 2,24E-03 6,4E-03

1 100 16 µ 5 7,72E-02 6,64E-02 7,61E-02 6,53E-02 4E-03

0,5 18 16 µ 5 3,1E-02 2,73E-02 3,1E-02 2,72E-02 1,0E-02

0,1 100 832µ 5 4,17E-04 4,17E-04 3,91E-04 4,17E-04 1,53E-02

0,5 100 832µ 5 6,17E-03 4,43E-03 6,33E-03 4,58E-03 1,21E-03

0,5 18 832µ 5 3,6E-02 3,18E-02 3,54E-02 3,18E-02 3,0 E-02

0,5 21 832µ 5 1,81E-02 1,39E-02 1,77E-02 1,36E-02 5,6E-02

0,1 100 2m 20 3,98E-03 2,80E-03 3,98E-03 2,87E-03 4,4E-02

0,5 100 2m 10 1,39E-02 1,08E-02 1,37E-02 1,05E-02 3,2E-02

0,5 21 2m 10 2,5E-02 1,99E-02 2,48E-02 2,01E-02 5,6E-02

1 100 2m 5 1,02E-01 9,15E-02 1,02E-01 9,14E-02 3,7E-02


130


Per la stima del canale HF utilizzato per costruire il filtro Matched ed il

Whitening ,il coefficiente agg

δ , presente nella (VII.2) per l’implementazione

dell’algoritmo LMS (Least Mean Square) vale 0.005, e 0.008 per lo stimatore del canale

fittizio visto dall’RMAP.

Per avere una visione più completa del comportamento , si è testato l’ RMAP sia

per un numero di stati sopravvissuti relativamente basso (H=16), che per un valore più

elevato (H=512). Ricordiamo infatti , che nel caso considerato, con numero dei

coefficienti di canale l_ch=11 e modulazione 8PSK , il numero degli stati possibili è pari

a _ 118l chS = , quindi aumentare il numero degli stati più probabili considerati ,

aumenta l’efficacia del MAP a stati ridotti.

I miglioramenti sul SER introdotti dall’interpolazione lineare sulla stima di

canale , seppur presenti in maniera uniforme in tutte le simulazioni, non sono tali da

apportare un netto cambiamento in presenza di elevata variabilità del canale: situazione

già testata come critica per l’ RMAP , in cui le prestazioni raggiunte dal CMA sono

migliori.

Per bande doppler basse (0,1 Hz) l’equalizzatore RMAP introduce delle migliorie

notevoli rispetto al CMA a T/2, di 1 o (vedi prima e sesta riga di Tabella VII.2) di 2

ordini di grandezza, per ogni time spread considerato (ritardo tra primo e secondo

raggio del canale). Anche per bande doppler medie ( 0,5 Hz) il miglioramento rispetto

al CMA a T/2 è evidente anche se, in questo caso, è “solo” di un fattore 2 o 3. Per bande

doppler elevate (1 Hz) l’equalizzatore che sfrutta l’algoritmo RMAP non migliora

sostanzialmente le prestazioni del CMA a T/2 (vedi quarta e ultima riga di Tabella VII.2,

in cui i risultati sono addirittura peggiori).


131

VII.2 REALIZZAZIONE CON CALCOLO ANALITICO

Come constatato da precedenti simulazioni, il DFE utilizzato per il calcolo del

Whitening non è adatto a inseguire un canale troppo veloce, come quello a banda

doppler=1 Hz. Per ovviare a questo problema si può ricorrere alla via analitica, come

accennato nel Par.VI.4.2.

VII.2.1 Costruzione della matrice dei coefficienti

La matrice dei coefficienti del sistema (VI.21) è una matrice Hermitiana di

dimensioni (W+1)×(W+1), contiene, inoltre, una sottomatrice di Toeplitz di dimensioni

(W-L+1)×(W-L+1), dove con L si intende il numero di coefficienti di cui è costituita la

risposta impulsiva del canale.Tale matrice può essere pensata così composta:

=E F

ΨG T

(VII.3)

dove T è la sottomatrice Toeplitz e ( )* T=F G cioè HG .

Implementazione software

La creazione della matrice Ψ chiamata mat_white , viene implementata tramite

la funzione Psi in cui compare la funzione Coeff di generazione effettiva degli elementi

della stessa, secondo la (VI.22) . Per una realizzazione ottimizzata si sono sfruttate le

conoscenze su tale matrice . Il fatto che la matrice risultante debba essere Hermitiana ha

permesso una riduzione dei calcoli dei coefficienti alla sola parte triangolare inferiore,

per quella superiore si considera la corrispondenza dei coefficienti con i trasposti e

coniugati della precedente parte.


132

Come da struttura (VII.3) le proprietà precedentemente esposte permettono una

inversione agevole della matrice mediante il seguente algoritmo:

• Si applica l’ algoritmo di Levinson –Durbin alla matrice T così calcolando 1−T

• Si aggiunge una riga ed una colonna in modo da ottenere una nuova matrice

quadrata di dimensioni (W-L+2)×(W-L+2), di tale matrice si calcola l’inversa

utilizzando il lemma dell’inversione della matrice partizionata a blocchi .

• Si itera il passo precedente fino ad invertire completamente la matrice.

• Infine si determina la soluzione del sistema moltiplicando la matrice inversa per

il vettore dei termini noti.

Va considerato il caso in cui la matrice risulta singolare, nell’algoritmo di

Levinson Durbin tale evento è rilevato dal fatto che il valore assunto da un parametro,

detto varianza dell’errore di predizione in avanti NE risulta prossimo allo zero; in tal caso

l’algoritmo di Levinson Durbin viene arrestato e si realizza un filtro di lunghezza

minore.

VII.2.2 Calcolo della matrice 1−T : algoritmo di LEVINSON-

DURBIN

L’algoritmo di Levinson – Durbin permette di calcolare in modo efficiente

l’inversa di una matrice Hermitiana e di Toeplitz.

Si consideri una generica matrice Hermitiana e di Toeplitz NxR di dimensioni (N

+1)×(N+1), che possiamo pensare ripartita nella seguente forma:

2 Hx NN

N 1xN

xσ −

=r

Rr R

(VII.4)


133

dove 2xσ è la varianza del processo cioè l’autocorrelazione calcolata in zero 0xR

,

N 1 Nx xT

R R

=r L rappresenta il vettore delle autocorrelazioni del canale di

dimensioni (Nx1), mentre HNr è il trasposto coniugato di Nr .

HN

* *x x

N*x

0 1 x

x0 11 xx

1 0x x x

R R R N

R RR

R N R R

=

r

R

64444744448

L

L

L M O M

L

(VII.5)

per ottenere la matrice inversa si devono risolvere i seguenti sistemi:

. N N

0

0.

0

0

N

N

E

E

= =

N Nx xR a R p

M

M (VII.6)

dove i coefficienti Na e quelli Np sono legati dalla seguente relazione:

*N N=p Ja (VII.7)

0 0 1

1 0

0 1

1 0 0

=

J

L

M N

N M

L

indica la matrice di scambio. I coefficienti Np si ottengono cioè,

come complessi coniugati e invertiti di Na .

La recursione di Levinson è stata sviluppata originariamente per la soluzione

dell’equazioni normali per la predizione lineare di un processo tempo discreto

stazionario, in tale ambito Na è il vettore dei coefficienti di predizione in avanti e Np il

vettore dei coefficienti di predizione all’indietro.


134

Le relazioni di ricorrenza sono le seguenti :

N 1N N

N-1

* N 1N

N-1

0K0

0K0N

−

−

= +

= +

aa

p

ap

p

(VII.8)

2N NN-1= (1-| | )E E K (VII.9)

dove l’elemento reale NE indica la varianza dell’errore di predizione al passo N.

Queste necessitano solo della conoscenza al passo (N-1) del coefficiente di

riflessione,che ha la seguente espressione :

N N N-1N-1

1 TKE

= − ⋅ ⋅r J a (VII.10)

e dell’ inizializzazione

2x x0

x1

x

[0]

10

E R

RK

R

σ=

=

= −

(VII.11)

Per la determinazione della matrice inversa ( )1N

x−

R si fa riferimento alla

fattorizzazione LU :

( )1N 1

x−

−= ⋅ ⋅HR L E L (VII.12)


135

Dove la coniugata della matrice L , è la matrice triangolare inferiore dei

coefficienti di predizione all’indietro come mostrato in (VII.13) :

1,1

*2,2 2,1

N,N N,N-1 N,N-2

1 0 0 0

p 1 0 0

p p 1 0

0

p p p 1

=L

L

L

L

M M M O

L

(VII.13)

e indicando con E la matrice diagonale delle varianze degli errori di predizione in

avanti ai vari passi:

0

1

2

N

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

E

E

E

E

=E

L

L

L

M M M O M

L

(VII.14)


L’implementazione dell’algoritmo di Levinson – Durbin viene gestito tramite una

chiamata alla funzione LD2 in cui si inizializza 0E e 1K tramite le (VII.11) e il vettore

An di dimensione (W-L+1) con 1 in prima posizione e tutti zeri . La recursione viene

implementata tramite la funzione Aggiornacoeff che aggiorna al passo N, il coefficiente

di riflessione NK tramite la (VII.10), il vettore An con la (VII.8) e la varianza dell’errore

di predizione NE con la (VII.9).

In questo modo ad ogni iterazione il vettore An rappresenta la riga i-esima della

matrice L


136

1,1

2,1 2,2

N,1 N,2 N,3

1 0 0 0

1 0 0

1 0

0

1

a

a a

a a a

=L

L

L

L

M M M O

L

(VII.15)

ed iE , l’elemento i-esimo della diagonale della (VII.14), tramite cui si costruisce invE:

10

11

1 12

1N

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

E

E

E

E

−

=E

L

L

L

M M M O M

L

(VII.16)

Al termine di un numero di iterazioni W-L+1, pari alla dimensione della matrice

di Toepliz , si hanno a disposizione tutti i termini della (VII.12) che permettono il

calcolo di ( )1N

x−

R , matrice che viene memorizzata in invRxn.

VII.2.3 Lemma dell’inversione della matrice partizionata

a blocchi

Si consideri una matrice Y di dimensioni l×l che possiamo pensare partizionata in

sottomatrici A,B,C,D nel modo seguente

A DY =

C B (VII.17)


137

dove A è una matrice q×q, B è una matrice (l-q)×(l-q), C è una matrice (l-q)×q, D è

una matrice q×(l-q). L’inversa di Y è data da :

-1 -1 -1

-1

-1 -1 -1 -1 -1 -1

Λ -Λ DBY =

-B CΛ B + B CΛ DB (VII.18)

con -1Λ = A - DB C


L’inversione di matrice, viene gestito dalle funzioni Inv_matrix2 a cui è nota la

matrice inversa di Toeplitz e l’intera matrice mat_white corrispondente alla Ψ di (VII.3)

e Inv_matrix3 che implementa a livello effettivo il lemma dell’inversione di matrice

partizionata a blocchi. Inv_matrix2 itera la chiamata della funzione Inv_matrix3 per un

numero di volte pari a (W+1)-(W-L+1), infatti L-1 è proprio la dimensione del numero di

righe e di colonne, da aggiungere alla matrice di Toeplitz per ricostruire la matrice Ψ di

partenza.

Il lemma viene infatti applicato iterativamente ad una matrice quadrata Y ,

(M+1)x(M+1), di cui di volta in volta, Inv_matrix3 calcola l’inversa invY , conoscendo ,

dall’iterazione precedente, la sottomatrice inversa invB di dimensione M x M

1xM

MxM

=

A D

YC B

6447448

1442443

(VII.19)

Si ricorda che il vettore D 1xM risulta pari ( )* TC1 corrispondente a C della

(VII.17), inoltre data la struttura della matrice, il blocco della (VII.18)


138

( )*1 1 1 1− − − −

Λ DB = B CΛ , mentre ( )*1 1− −DB = B C caratteristiche sfruttate opportunamente

nell’implementazione software.

VII.3 Confronto tra i due algoritmi

Per un’analisi completa dell’implementazione tramite whitening analitico, si

sono testate le prestazioni sia nel caso canale tempo invariante che variante,

confrontandole con le medesime nel caso di una realizzazione del WF con algoritmo

LMS.

VII.3.1 Prestazioni per canale tempo invariante

Faremo un confronto tra i risultati ottenuti con una realizzazione con algoritmo

LMS e con una realizzazione analitica del filtro Whitening migliorata da una seconda

stima di canale tramite interpolazione lineare. Questo sia nel caso di canale a fase

minima cioè con il primo tappo più alto del secondo, che non .

In entrambe le situazioni i parametri della simulazione adottati sono:

· 1aggδ dello stimatore di canale reale: 0,005

· 2aggδ dello stimatore di canale fittizio: 0,008

· blocchi trasmessi: 3

· time spread: 416 μsec

· H (parametro dell’ RMAP): 16


139

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0 3 6 9 12 15 18 21

SNR

SE

R

AWGN RMAP (w hitening con DFE) RMAP (w hitening analitico)

Figura VII.5 Prestazioni dell’RMAP per canale fisso (1;0.2)

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0 3 6 9 12 15 18 21

SNR

SE

R

AWGN RMAP (w hitening con DFE) RMAP (w hitening analitico)

Figura VII.6 Prestazioni dell’RMAP per canale fisso (0.2; 1)


140

Note alle Figura VII.5 e Figura VII.6 :

Nella voce “Parametri della simulazione” vengono indicati due tipi di agg

δ : 1aggδ si

riferisce al parametro utilizzato nella stima del canale reale, prima della cascata dei filtri

Matched e Whitening; tale stima servirà alla costruzione del filtro Matched stesso. 2aggδ

è invece il parametro della stima del canale fittizio comprendente la cascata del canale

vero + il filtro Matched + il filtro Whitening, stima necessaria per implementare

l’algoritmo RMAP .

Il SER prossimo a quello dell’AWGN denota la correttezza e l’efficienza dei filtri

Matched e Whitening costruiti. In sostanza il canale virtuale visto dall’RMAP viene reso

a fase minima dalla cascata dei filtri, indipendentemente che il canale effettivo sia a fase

minima o meno.

Il parametro H=16 dell’RMAP è sufficiente a garantire ottime prestazioni per

canale tempo invariante, utilizzato nella presente simulazione.

In entrambe le situazioni, sia di canale (1, 0.2) che (0.2 , 1) , la realizzazione del

WF in forma analitica mostra dei miglioramenti rispetto al caso di una generazione

tramite LMS, dovuta alla necessità di un raggiungimento della convergenza della

procedura iterativa , tutto questo a scapito di un tempo elaborativo superiore al

precedente.

Per maggior chiarezza si è pensato di confrontare in Figura VII.7 , i risultati di

tale nuova implementazione con quelli di uno stesso canale fisso con l’equalizzatore

CMA a T/2 che rappresentava le migliori prestazioni che siamo riusciti ad ottenere

fin’ora.


141

1,00E-07

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

1,00E+00

0 3 6 9 12 15 18 21

SNR

SE

R

AWGN RMAP (w hitening ANALITICO) CMA T/2

Figura VII.7 Confronto tra le prestazioni dell’ equalizzatore RMAP e il CMA a T/2 per canale fisso

Il miglioramento rispetto al CMA a T/2 è netto, almeno per quanto riguarda il

canale fisso il SER risulta prossimo a quello dell’AWGN.

VII.3.2 Simulazioni nel caso di canale tempo variante di

Watterson

Il sistema complessivo, formato dalla cascata dei filtri Matched e Whitening e

dall’equalizzatore RMAP è ora pronto per essere testato su canale tempo variante

secondo il modello di Watterson .

In Tabella VII.3 viene mostrato un confronto tra una prima implementazione del

Whitening che sfrutta l’ algoritmo LMS ed una seconda che adotta invece

l’implementazione analitica.


142

Tabella VII.3 Confronto tra le prestazioni con le due realizzazioni del whitening dell’RMAP

SER (RMAP con interpolazione)

δδδδagg=0,008 WF realizzato tramite

DFE WF realizzato analiticamente

Bd (Hz)

SNR db

Time spread (Sec)

Num blocchi

H=16 H=512 H=16 H=512

0,1 100 416 µ 5 2,6E-05 2,6E-05 0 0

0,15 100 416 µ 20 7,94E-04 6,25E-04 0 0

0,5 100 416 µ 5 2,94E-03 2,24E-03 0 0

1 100 416 µ 5 7,61E-02 6,52E-02 5,25E-02 5,08E-02

0,5 21 416 µ 5 1,32E-02 1,06E-02 7,34E-03 5,54E-03

1 21 416 µ 5 9,05E-02 7,97E-02 6,21E-02 4,88E-02

0,1 100 832µ 5 3,91E-04 4,17E-04 0 0

0,5 100 832µ 5 6,33E-03 4,58E-03 2,6E-05 2,6E-05

0,5 21 832µ 5 1,77E-02 1,36E-02 1,58E-03 7,29E-04

1 21 832µ 5 8,51E-02 7,40E-02 5,2E-02 3,87E-02

0,5 100 2m 10 1,37E-02 1,05E-02 6,61E-03 3,24E-03

1 100 2m 5 1,02E-01 9,14E-02 7,52E-02 6,9E-02

0,5 21 2m 10 2,48E-02 2,01E-02 1,86E-02 1,25E-02

1 21 2m 5 1,57E-01 1,51E-01 8,14E-02 7,07E-02


143


In entrambe le implementazioni per la stima di canale, il coefficiente agg

δ vale

0,005 per lo stimatore del canale vero utilizzato per costruire il filtro Matched, e 0,008

per la seconda stima di canale interpolata vista dall’RMAP.

Fino a Bd di 0.5 Hz, si ottengono dei miglioramenti di uno o addirittura due

ordini di grandezza, per time spread pari a 416μ , raggiungendo un abbattimento a zero

del SER , nel caso di assenza di rumore (vedi prime tre e settima riga della Tabella

VII.3).Nel caso di time spread a 2msec, i miglioramenti si riducono ad un ordine di

grandezza in assenza di rumore, e a circa un fattore due per SNR=21dB.Infine per Bd

pari ad 1Hz, seppur presenti, i miglioramenti risultano meno evidenti per tutti times

spread testati. Tali migliorie, risultano rimarcate incrementando il del numero di stati

sopravvissuti da H= 16 a 512.

Nella seguente Tabella VII.4 vengono presentati invece, i SER ottenuti tramite le

simulazioni di quest’ultima versione, messi a confronto con i corrispondenti SER

dell’equalizzatore CMA a T/2 .

Per la stima di canale il coefficiente agg

δ vale sempre 0,005 per lo stimatore del

canale vero utilizzato per costruire il filtro Matched, e 0,008 per lo stimatore del canale

fittizio visto dall’RMAP.


144

Bd (Hz)

SNR dB

Time spread

(sec)

Blocchi trasmessi

SER (RMAP) H=512

SER CMA a T/2

0,1 100 416 μ 5 0 2,2 E-03

0,15 100 416 μ 20 0 4,3 E-03

0,5 100 416 μ 5 0 6,4 E-03

1 18 416 μ 5 4,88E-02 1,4E-02

0,1 100 832 μ 5 0 1,5 E-02

0,5 100 832 μ 5 2,6 E-05 1,2 E-02

0,5 18 832 μ 5 8,7 E-03 3,0 E-02

1 21 832 μ 5 3,87E-02 2,7E-02

0,1 100 2 m 20 2,2 E-03 4,4 E-02

0,5 100 2 m 10 3,2 E-03 3,2 E-02

0,5 21 2 m 10 1,2 E-02 5,6 E-02

1 21 2 m 5 7,07E-02 4,73E-02

Tabella VII.4 Confronto di prestazioni tra RMAP e CMA a T/2


Per bande doppler basse (0,1 Hz) l’equalizzatore RMAP introduce delle migliorie

notevoli rispetto al CMA a T/2, con un abbattimento del Ser a zero per time_spread a

416 e 832μsec. Anche per bande doppler medie (0,5 Hz) è evidente il miglioramento

rispetto al CMA a T/2 raggiungendo un abbassamento di tre ordini di grandezza (vedi

terza riga Tabella VII.4). Per bande doppler elevate l’equalizzatore che sfrutta

l’algoritmo RMAP non migliora sostanzialmente le prestazioni del CMA a T/2;

mantenendosi quantomeno dello stesso ordine di grandezza.


145

VII.4 Limiti prestazionali della seconda stima di canale

Si è proposto di analizzare quali siano i limiti prestazionali raggiungibili,

adottando l’algoritmo del gradiente stocastico che secondo la (VI.16) aggiornano i

coefficienti del canale vero + Matched + Whitening filter utilizzata per lo sviluppo

dell’equalizzazione R-MAP.

Come dal Par.VI.3 la seconda stima di canale adottata per l’implementazione di

tale equalizzatore, sfrutta per l’aggiornamento dei coefficienti una conoscenza parziale

sui simboli trasmessi (il SYNC iniziale ed i PROBE’s), che viene fissata per l’intera

durata dei simboli UNKNOWN, permettendo il raggiungimento di prestazioni tabulate

in Tabella VII.1, nel caso di una realizzazione del WF tramite DFE.

In seguito si è reputato opportuno migliorare tale stima introducendo

un’interpolazione lineare che permettesse una variazione della stima del canale simbolo

a simbolo anche per la parte UNKNOWN della trama come da Par.VII.1.2. Si sono così

raggiunti dei miglioramenti visibili dalla Tabella VII.2.

Dopo aver introdotto l’implementazione analitica del WF se ne sono testate le

prestazioni raggiunte sfruttando una seconda stima di canale con interpolazione lineare

come da Tabella VII.4. A questo punto, supponendo una conoscenza completa della

trama trasmessa si è testato il comportamento dell’algoritmo LMS, ottenendo una

valutazione dei limiti raggiungibili con una implementazione di tale tecnica di stima.

Effettuando un’aggiornamento simbolo a simbolo dei coefficienti di stima secondo la

nota formula (VI.16), riportata per maggior chiarezza di seguito:

$ $ ( )1 kkk k agg ks r rδ∗

+ = + −c c $ $

si ottengono le seguenti prestazioni che vengono messe a confronto con i risultati

ottenuti dalla precedente implementazione, (WF realizzato analiticamente con

interpolazione lineare sui simboli UNKNOWN).


146

SER

δδδδagg=0,008

RMAP

(WF analitico con

interpolazione

lineare)

Soluzione

error_free

(TEORICA)

Bd

(Hz)

SNR

(db)

Time

spread

(Sec)

Num.

blocchi

H=16 H=512 H=16 H=512

0,5 100 416μ 5 0 0 0 0

1 100 416μ 5 5,25E-02 5,08E-02 3,8E-02 2,61E-02

0,5 18 416μ 5 7,34E-03 5,54E-03 2,5E-03 1,77E-03

1 18 416μ 5 6,21E-02 4,88E-02 4,73E-02 3,18E-02

0,5 100 832µ 5 2,6E-05 2,6E-05 0 0

1 100 832µ 5 5,44E-02 5,21E-02 4,4E-02 3,5E-02

0,5 21 832µ 5 1,58E-03 7,29E-04 0 0

1 21 832μ 5 5,20E-02 3,87E-02 4,34E-02 2,36E-02

0,5 100 2m 10 6,61E-03 3,24E-03 7,55E-04 2,47E-04

1 100 2m 5 7,52E-02 6,93E-02 4,29E-02 4,64E-02

0,5 21 2m 10 1,86E-02 1,25E-02 4,19E-02 1,92E-03

1 21 2m 5 8,14E-02 7,07E-02 5,60E-02 4,91E-02

Tabella VII.5 Analisi dei limiti prestazionali dovuti all’algoritmo LMS per la stima di canale

Note allaTabella VII.5:

Ovviamente nel caso di SER nullo non ci si aspettano miglioramenti (caso di time

spread a 416μsec e bande doppler inferiori a 0,5Hz).

Nel caso di bande doppler medie (0,5 Hz) la Tabella VII.5 mostra come sia

possibile un’abbattimento del SER nel caso di time spread pari a 816μsec mentre si


147

potrebbe raggiungere un miglioramento di un ordine di grandezza per time spread a

2msec.

Per quanto riguarda bande doppler elevate, si può aspirare a miglioramenti di un

fattore due. Nonostante si sia supposta una conoscenza completa della trama, che

permette un aggiornamento simbolo a simbolo dei coefficienti di stima del canale, sono

pur sempre presenti dei limiti prestazionali dovuti all’algoritmo del gradiente

stocastico. Questo infatti ha una ridotta velocità d’inseguimento del canale e quindi

risulta limitativa per canali rapidamente variabili.

Capitolo VIII Conclusioni

148

Capitolo VIII

CONCLUSIONI

A conclusine del lavoro svolto, viene riportata una breve descrizione realizzativa

dell’equalizzatore R_MAP da utilizzare per il modem MIL-STD-188-110A.

In Figura VIII.1 viene mostrato lo schema a blocchi del ricevitore.

Figura VIII.1 Schema a blocchi del ricevitore

La prima stima di canale, utilizzata per la realizzazione del WMF, sfrutta il CMA

per equalizzare il canale. Come descritto nel Par.V.2.1 è necessario avere un

equalizzatore che renda disponibili allo stimatore di canale una decisione sui simboli

UNKNOWN il più possibile accurata. Mediante il confronto tra l’uscita del canale di

Watterson e l’uscita del canale stimato si aggiornano i coefficienti della stima tramite la

seguente formula:

$ $ ( )δ∗

+ = + −$ $1 kk k agg k ks r rc c (VIII.1)

dove c$ rappresenta il vettore della risposta impulsiva del canale stimato; aggδ è un

coefficiente che nel nostro caso è stato ottimizzato a 0.005; ∗$ks è il vettore dei simboli

CANALE HF

2ª STIMADI CANALE

2ª STIMADI CANALE

1ª STIMADI CANALE

1ª STIMADI CANALE

FILTROMATCHED

FILTROWHITENING

EQUALIZZATORERMAP D

S(t)MIL-STD-188-110A

a b


149

complessi (coniugati) fatti passare attraverso il canale stimato fino al punto a, per avere

così in uscita il simbolo kr$ , presunta uscita del canale, da confrontare poi con l’uscita

reale kr del canale di Watterson.

La seconda stima di canale utilizzata per l’implementazione dell’equalizzatore

R-MAP adotta lo stesso algoritmo del gradiente stocastico descritto dalla (VIII.1) per

l’aggiornamento dei coefficienti, dove però aggδ è stato ottimizzato a 0.008 mentre ∗$ks è il

vettore dei simboli fatti passare attraverso il nuovo canale stimato fino al punto b, per

avere così in uscita il simbolo kr$ , presunta uscita, da confrontare poi con l’uscita reale

kr del canale vero + Matched + Whitening. La conoscenza dei simboli KNOWN (il

SYNC e i PROBEs), permette un’aggiornamento dei coefficienti della seconda stima di

canale durante questi ultimi. Come descritto dal Par.VII.1.2, invece di fissare la stima

(per i simboli UNKNOWN), al valore raggiunto al termine di ogni blocco KNOWN, si è

suddivisa la trama in unità elaborative, come in Figura VIII.2 e si è introdotta

un’interpolazione lineare durante quelli UNKNOWN come da Figura VIII.3.

Figura VIII.2 Suddivisione della trama in unità elaborative ( UE ).

PROBE UNKNOWN PROBE UNKNOWN PROBE

PROBE

UNKNOWN

PROBE

PROBE

UNKNOWN

PROBE

PROBE PROBE

PROBE

UNKNOWN

UNKNOWN

1UE

2UE

3UE


150

16 simboli KNOWNal termine del quale si ha la

stima di canale

32 simboli UNKNOWNche sfruttano come stima di canale i

valori interpolati linearmente

A

B

16 simboli KNOWNsui quali si effettua una

stima di canale “anticipata”

PROBE UNKNOWN PROBE

A

KUE

Figura VIII.3 Interp. lineare della stima di canale su unità elaborativa

Per il funzionamento dell’equalizzatore R-MAP, nel Par.VI.4 si è evidenziato

come sia necessario un filtraggio preliminare che renda la risposta impulsiva del canale

sempre a fase minima.

Il filtro Matched descritto nel Par.VI.4.1, viene realizzato secondo la seguente

espressione:

= −*c

1m[ ] h [ ]

En n (VIII.2)

dove con [ ]ch n è stata indicata la risposta impulsiva del canale stimato, di lunghezza

pari ad L, mentre −

=

∑L 1

2c

k 0

h [k]E = rappresenta l’energia istantanea del canale con

( )= − KL-1 , ,0n .

Il filtro Whitening è descritto nel Par.VI.4.2 come la parte anticausale del

FeedForward Filter (FF) del DFE. I coefficienti del FF sono la soluzione del seguente

sistema di equazioni:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

Ψ Ψ

= Ψ Ψ

L

M O M M M

L

0,0 0,w

w,0 w,w

w 0 x 0

w W x W (VIII.3)


151

dove i coefficienti ,i jΨ della matrice hanno la seguente espressione:

[ ] [ ] [ ]γ

∗

=−

Ψ = + − + −∑,L

1x x x

j

i jl

l l i j i j (VIII.4)

gli [ ]x n sono i campioni della sequenza di autocorrelazione del canale, γ è il rapporto

segnale rumore istantaneo, W+1 è la lunghezza del filtro whitening e , 0, ,Wi j = K . La

soluzione analitica descritta nel Par. VII.2. prevede l’inversione della matrice Ψ dei

coefficienti del sistema (VIII.3). Ψ è una matrice Hermitiana di dimensioni

(W+1)×(W+1), divisibile nei seguenti blocchi:

=E F

ΨG T

(VIII.5)

T è una sottomatrice di Toeplitz di dimensioni (W-L+1)×(W-L+1), mentre = HF G .

Queste proprietà hanno permesso una inversione agevole della matrice mediante il

seguente algoritmo:

• Si applica l’ algoritmo di Levinson –Durbin, descritto nel Par. VII.2.2, alla matrice T

• Si aggiunge una riga ed una colonna in modo da ottenere una nuova matrice

quadrata di dimensioni (W-L+2)×(W-L+2), di tale matrice si calcola l’inversa

utilizzando il lemma dell’inversione della matrice partizionata a blocchi, descritto nel

Par. VII.2.3 .

• Si itera il passo precedente fino ad invertire completamente la matrice.

• Infine si determina la soluzione del sistema moltiplicando la matrice inversa per il

vettore dei termini noti.

Si ricordi che con L si intende il numero di coefficienti di cui è costituita la risposta

impulsiva del canale e nell’implementazione sviluppata è stata fissata ad 11, mentre la

lunghezza del whitening W+1=2L-1 risulta pari a 21.


152

Questa realizzazione permette il raggiungimento delle prestazioni mostrate di

seguito:

Tabella VIII.1 Prestazioni dell’equalizzatore R-MAP con WF analitico e seconda stima di canale

interpolata

In conclusione tale implementazione permette un’abbattimento del SER in alcuni

casi di bande doppler basse, mentre per bande doppler elevate le prestazioni sono

comunque molto prossime a quelle testate nella soluzione error free di Tabella VII.5, in

SER Bd

(Hz) SNR db

Time spread (Sec)

Num blocchi

H=16 H=512

0,1 100 416 µ 5 0 0

0,5 100 416 µ 5 0 0

1 100 416 µ 5 5,25E-02 5,08E-02

0,5 21 416 µ 5 7,34E-03 5,54E-03

1 21 416 µ 5 6,21E-02 4,88E-02

0,1 100 832µ 5 0 0

0,5 100 832µ 5 2,6E-05 2,6E-05

0,5 21 832µ 5 1,58E-03 7,29E-04

1 21 832µ 5 5,2E-02 3,87E-02

0,5 100 2m 10 6,61E-03 3,24E-03

1 100 2m 5 7,52E-02 6,9E-02

0,5 21 2m 10 1,86E-02 1,25E-02

1 21 2m 5 8,14E-02 7,07E-02


153

cui l’aggiornamento dei coefficienti della seconda stima di canale, viene effettuato

supponendo nota l’intera trama trasmessa.

Bibliografia

154

BIBLIOGRAFIA

[1.] [Abe70] K. Abend e B.D.Fritchman, “Statistical detection for communication

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Hill International Edition, 1995.

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the Tenth IEEE Workshop on, 14-16 Aug. 2000, pagg. 141-145

[10.] [CPR] R. Cusani, M. Proia, G. Razzano, “A Reduced Complexity MAP Receiver

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[12.] [Sch03] H. Schildt, “La Guida Completa C++”, 4ª ed., McGraw-Hill, 2003

Appendice “Analisi della complessità del WMF“

156

APPENDICE

“Analisi della complessità

del WMF”

A.1 Analisi complessità nella realizzazione del matched

Come evidente dalla formula (VI.17) che riportiamo per maggior chiarezza di

seguito, i coefficienti del filtro Matched si calcolano come:

= − = − − L*c

1m[ ] h [ ] ( 1) 0

En n n L

dove E rappresenta l’energia istantanea del canale calcolata come il valore

dell’autocorrelazione nell’ origine e viene utilizzata nel calcolo del whitening.

Il filtro si limita a “ribaltare” l’asse delle ascisse ed a calcolare il valore coniugato

del k-esimo coefficiente di ch [ ]n , (la risposta impulsiva stimata del canale di lunghezza

pari ad L). Sono quindi necessarie le seguenti operazioni:

• L-1 scambi

• L coniugazioni

• L divisioni per un valore reale (E)

TOTALE operazioni: 3L-1


157

A.2 Analisi complessità nella realizzazione del White-filter

Il cuore dell’algoritmo di “sbiancamento” implementato nel simulatore prevede

l’inversione della matrice quadrata (nxn) di (VI.21) ed il prodotto di tale matrice per un

vettore (nx1), avendo indicato con n il numero degli elementi.

In generale, la complessità di un algoritmo per l’inversione di una matrice

generica (che non goda cioè di particolari proprietà) è pari a O(n3). Se vengono adottati

sofisticati algoritmi si può ridurre fino a O(n2log(n)),che è stato dimostrato essere il

limite inferiore.

Nel nostro caso la matrice che deve essere invertita è una descrizione

bidimensionale dello stato del canale ed evolve con una certa continuità, simbolo per

simbolo.

A.2.1 Calcolo autocorrelazione della stima del canale

Si suppone la presenza di un opportuno stimatore di canale in grado di fornire

simbolo a simbolo la stima di canale ( )nh lunga L campioni. Il calcolo della

autocorrelazione della parte causale viene effettuata con la nota formula:

( )−

=

= + = −∑L- 1

*c c

q 0

h [q ]h [q] 0..( 1)n

n n n Lz ( .1)

La parte anticausale non viene calcolata ma ottenuta da quella causale per

semplice ribaltamento e coniugazione. Sono necessarie pertanto le seguenti operazioni:

• 1

0

( )L

k

L k−

=

−∑ prodotti complessi

• 1

( )L

k

L k=

−∑ somme complesse

• L-1 scambi

• L-1 coniugazioni


158

TOTALE operazioni: 3L-2+21

( )L

k

L k=

−∑

NB: Si noti che il calcolo di *ch [q] viene effettuato nel calcolo del matched e

quindi non considerato.

A.2.2 Costruzione matrice dei coefficenti ΨΨΨΨ

Per la matrice dei coefficienti del sistema (VI.21) si ricordi che si tatta di una

matrice Hermitiana di dimensioni (W+1)×(W+1), contenente una sottomatrice di

Toeplitz di dimensioni (W-L+1)×(W-L+1), dove con L si intende il numero di coefficienti

di cui è costituita la risposta impulsiva del canale. Come da (VII.3) la matrice può

essere pensata così composta:

=E F

ΨG T

( .2)

dove T è la sottomatrice Toeplitz e ( )* T=F G cioè HG .

La matrice dei coefficienti viene costruita a partire dall’espressione (VI.22) che

riportiamo per maggior chiarezza:

*,

1[ ] [ ] [ ] , 0, ,

j

i j

l

x l x l i j x i j i j Wγ=−

Ψ = + − + − =∑L

L

Dove con [ ]x l è indicata l’ autocorrelazione ( .1) normalizzata per il suo valore

nell’ origine (ovvero per l’ energia del canale).

Calcolo della complessità :

• 2 1L − divisioni complesse (per la normalizzazione della autocorrelazione)

• 0

( 1 )W

k

L W k=

+ + −∑ prodotti complessi


159

• 0

( )W

k

L W k=

+ −∑ +1

1

W

k

k+

=

∑ somme complesse

• 1

1

W

k

k+

=

∑ divisioni per valore reale

• 1

W

k

k=

∑ + (2L-1)coniugazioni

TOTALE operazioni: 2(2L-1)+0

3( 1) 2 ( )W

k

W L W k=

+ + + −∑ +31

W

k

k=

∑

NB: Per l’ottimizzazione dei calcoli si generano solo i coefficienti della parte

superiore della matrice ΨΨΨΨ , i restanti sono trasposti coniugati dei precedenti.

A.2.3 Calcolo della matrice 1−T : algoritmo di LEVINSON-

DURBIN

L’algoritmo di Levinson – Durbin permette di calcolare in modo efficiente

l’inversa di una matrice Hermitiana e di Toeplitz di ( .2).

Per la determinazione della matrice inversa ( )1−

T si fa riferimento alla

fattorizzazione LU di:

( )1 1− −= ⋅ ⋅HT L E L ( .3)

Dove la matrice L è la matrice triangolare inferiore dei coefficienti di predizione

in avanti , HL la sua hermitiana,

1,1

2,2 2,1

N,N N,N-1 N,N-2

1 0 0 0

1 0 0

1 0

0

1

a

a a

a a a

=L

L

L

L

M M M O

L

( .4)


160

E è la matrice diagonale delle varianze degli errori di predizione in avanti ai vari

passi:

10

11

1 12

1N

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

E

E

E

E

−

=E

L

L

L

M M M O M

L

( .5)

Per l’implementazione dell’algoritmo di Levinson Durbin è necessaria

innanzittutto l’inizializzazione dei seguenti valori:

2x x0

x1

x

[0]

10

E R

RK

R

σ=

=

= −

( .6)

dove 0E è la varianza dell’errore di predizione e 1K il coefficiente di riflessione al

primo passo.

A partire da questi, è possibile calcolare in maniera ricorsiva i successivi termini

secondo le seguenti formule:

N N N-1N-1

1 TKE

= − ⋅ ⋅r J a ( .7)

N 1N N

N-1

0K0

−

= +a

ap

( .8)

2N NN-1= (1-| | )E E K ( .9)


161

Dove J indica la matrice di scambio, Na è il vettore dei coefficienti di

predizione in avanti e Np il vettore dei coefficienti di predizione all’indietro, i quali

sono legati dalla seguente relazione:

*N N=p Ja ( .10)

NK rappresenta il coefficiente di riflessione e NE è la varianza dell’errore di predizione al

passo N.


inizializzazione:

- 0E di ( .6) non comporta calcolo in quanto si tratta di una semplice

assegnazione;

- 1K di ( .6) , comporta una divisione complessa;

ricorsione:

-il calcolo di NK della ( .7) comporta le seguenti operazioni:

• N scambi

• N prodotti complessi

• N-1 somme complesse

• 1 divisione complessa

• 1 cambio di segno

-il calcolo di Na della ( .8) comporta le seguenti operazioni:

• N scambi

• N coniugazioni

• N prodotti complessi

• N-2 somme complesse

-il calcolo di NE ( .9) comporta le seguenti operazioni:

• 1 coniugazione


162

• 1 prodotto complesso

• 1 prodotto reale

• 1 sottrazione reale

Matrice L:

per la determinazione dei coefficienti della matrice L viene effettuata la

ricorsione della ( .7) e ( .8) per un numero di volte pari a W-L (cioè N=1…W-L)

per un totale di :

• ( )1

2W L

N

N−

=

∑ scambi

• ( )1

2W L

N

N−

=

∑ prodotti complessi

• ( )1

2 3W L

N

N−

=

−∑ somme complesse

• ( )1

W L

N

N−

=

∑ coniugazioni

• (W-L) divisioni complesse +1 (per il calcolo di 1K )

• (W-L) cambi di segno

TOTALE operazioni: 1

1 ( ) 7W L

N

W L N−

=

− − + ∑

Matrice 1−E :

per la determinazione dei coefficienti della matrice E viene effettuata la

ricorsione della ( .9) per un numero di volte pari a W-L (N=1..W-L). Come è

evidente dalla ( .9) sono necessarie le seguenti operazioni:

• (W-L) coniugazioni

• (W-L) prodotti complessi

• (W-L) prodotto reale

• (W-L) sottrazione reale

• (W-L+1) divisioni reali


163

Quest’ ultime sono necessarie per il calcolo dell‘inversione della matrice

diagonale E

TOTALE operazioni: 5(W-L)+1

Matrice HL :

Essendo la matrice L di tipo triangolare inferiore con la diagonale principale tutti

1, per costruire la sua hermitiana è sufficente coniugare opportunamente i suoi

termini:

TOTALE operazioni: 1

W L

k

k−

=

∑ coniugazioni.

Prodotto HL 1−E L:

Tenendo presente il fatto che 1−E è una matrice diagonale, ed L è di tipo

triangolare inferiore con diagonale principale di tutti 1, per effettuare il calcolo di

1−E L sono sufficienti:

• 1

W L

k

k−

=

∑ prodotti di numeri complessi per reale

Per l’altro prodotto HL ( 1−E L) non sono previsti particolari accorgimenti e

richiede:

• 3( 1)W L− + prodotti complessi

• 2( 1) ( )W L W L− + − somme complesse

TOTALE operazioni: 2( 1) (2 2 1)W L W L− + − + +1

W L

k

k−

=

∑

Conclusione

Dalle considerazioni precedenti possiamo dedurre che il costo computazionale

dell’intero algoritmo di LEVINSON-DURBIN prevede in totale le seguenti operazioni:

• ( ) 3

1

2 ( ) ( 1)W L

N

N W L W L−

=

+ − + − +∑ moltiplicazioni complesse

• ( ) 2

1

2 3 ( 1) ( )W L

N

N W L W L−

=

− + − + −∑ somme complesse

• ( )1

2 ( )W L

N

N W L−

=

+ −∑ coniugazioni


164

• ( )1

2W L

N

N−

=

∑ scambi

• ( 1)W L− + divisioni complesse

• ( )W L− cambi di segno

• ( 1)W L− + divisioni reali

• ( )W L− prodotti reali

• ( )W L− sottrazioni reale

• 1

W L

k

k−

=

∑ moltiplicazioni numero complesso per reale

TOTALE operazioni: ( )1

2W L

N

N−

=

∑ +5(W-L)+ + ( )1

2 3W L

N

N−

=

−∑ + ( )1

W L

N

N−

=

∑ +21

W L

N

N−

=

∑ + ( )1

2W L

N

N−

=

∑ + (W-

L+1)+ 2( 1) (2 2 1)W L W L− + − +

A.2.4 Lemma della inversione della matrice a blocchi

Come da (VII.17) la matrice Y di dimensioni l×l la si può pensare partizionata in

sottomatrici A,B,C,D che riportiamo per maggior chiarezza qui di seguito nel modo

seguente

A DY =

C B

dove A è una matrice q×q, B è una matrice (l-q)×(l-q), C è una matrice (l-q)×q, D è

una matrice q×(l-q). Mentre l’inversa di Y è data da (VII.18):

-1 -1 -1

-1

-1 -1 -1 -1 -1 -1

Λ -Λ DBY =

-B CΛ B + B CΛ DB


165

con -1Λ = A - DB C

A livello realizzativo, il lemma viene gestito aggiungendo di volta in volta alla

matrice B di dimensione MxM, di cui dal precedente passo si conosce la sua inversa,

una riga e una colonna della matrice ΨΨΨΨ di partenza. Quindi la matrice Y all’iterazione

N-esima risulta essere strutturata come da (VII.19):

1xM

MxM

=

A D

YC B

6447448

1442443

e risulta avere dimensione (M+1)x(M+1) . La prima volta che si utilizza tale

tecnica B coincide con la matrice di Toeplitz , di cui l’inversa è stata calcolata con

l’algoritmo di Levinson Durbin descritto nel precedente Par. Quindi il lemma viene

iterato per un numero di volte pari a (W+1)-(W-L+2)= L-1 che è proprio la dimensione

del numero di righe , e quindi di colonne, da aggiungere alla matrice di Toeplitz per

ricostruire la matrice Ψ di partenza.


Facendo riferimento al passo N in cui la matrice Y ha dimensioni (M+1)x(M+1) (e

conseguentemente B di dimensioni MxM):

termine 1−Λ :

-per il prodotto della matrice -1B per il vettoreC sono previsti:

• 2M prodotti complessi

• ( 1)M M − somme complesse

-per il prodotto del vettore D per il vettore ( )-1B C :

• M prodotti complessi

• ( 1)M − somme comlpesse


166

-per la differenza tra lo scalare A e lo scalare ( )-1DB C :

• 1 somma complessa

-per il calcolo dello scalare 1−Λ :

• 1 divisione complessa

vettore -1 -1-B CΛ :

-il vettore ( )-1B C è già stato calcolato in precedenza

-per il prodotto del vettore ( )− -1B C per 1−Λ sono previsti:

• M prodotti complessi

vettore -1 -1-Λ DB :

-poiché risulta essere ( )*1 1 1 1− − − −

Λ DB = B CΛ sono previsti:

• M coniugazioni

matrice -1 -1 -1 -1B + B CΛ DB :

-poiché risulta essere ( )*1 1− −DB = B C e il vettore -1 -1B CΛ è stato calcolato in

precedenza sono necesssari:

• M coniugazioni

• 2M prodotti complessi

• 2M somme complesse

Conclusione:

Il lemma viene iterato per un numero di volte pari a L-1 , con M=(W-L+2)…(W+1).

Il costo computazionale complessivo risulta pari:

• 1

2

2 ( 1)W

M W L

M M+

= − +

+∑ prodotti complessi

• 1

2

2

2W

M W L

M+

= − +

∑ somme complesse

• 1

2

2W

M W L

M+

= − +

∑ coniugazioni

• L-1 divisioni complesse


167

TOTALE operazioni: L-1+1

2

2

4 ( )W

M W L

M M+

= − +

+∑

A.2.5 Calcolo dei coefficienti del Whitening Filter

Per il calcolo dei coefficenti del filtro occorre effettuare il prodotto della matrice

-1Ψ per il vettore [ ]x l dell’ autocorrelazione del canale stimato normalizzata. Sono

previste, quindi , le seguenti operazioni:

• 2( 1)W + prodotti complessi

• ( )1W W+ somme complesse

TOTALE operazioni: 22 3 1W W+ +

A.3 Conclusioni

Per maggior chiarezza riportiamo in forma tabellare l’analisi della complessità

per la realizzazione dei due filtri, matched e whitening.

Operaz. Scambi Coniug. Sottr.

Real

Prodotti

Real

Div.

Real

Somme

Complex

Div./Moltipl

xReal

L-1 L L

Totale 3L-1

Tabella A.1 Analisi della complessità del Matched filter


168

Tabella A.2 Analisi della complessità del Whitening filter

Operaz. Scambi Coniug. Sottr.

Real

Prodotti

Real

Div.

Real

Cambi

di

segno

Somme

Complex

Div./Moltipl

xReal

Prodotti

Complex

Div.

Complex

(1.) L-1 L-1 1( )

L

k

L k=

−∑ 1

0( )

L

k

L k

−

=

−∑

(2.) 1

W

k

k=∑ +(2L-1)

1

0 1( )

W W

k k

L W k k

+

= =

+ − +∑ ∑ 1

W L

k

k

−

=∑

0( 1 )

W

k

L W k=

+ + −∑ 2L-1

(3.) 1

2W L

N

N

−

=∑

1

2 ( )W L

N

N W L

−

=

+ −∑ W-L W-L L+1 W-L ( ) 2

1

2 3 ( 1) ( )W L

N

N W L W L

−

=

− + − + −∑ 1

W L

k

k

−

=∑ 3

1

( ) ( 1)2W L

N

W L W LN

−

=

+ − + − +∑ 1W L− +

(4.) 1

2

2W

M W L

M

+

= − +∑

12

2

2W

M W L

M

+

= − +∑

1

2

2 ( 1)W

M W L

M M

+

= − +

+∑ L-1

(5.) (W+1)W 2( 1)W +

Totale

3L-2+2∑L

k=1

(L - k) +2(2L-1)+ ∑W

k=0

3(W + 1) + 2 (L + W - k) +3∑W

k=1

k + ( )∑W-L

N=1

2N +5(W-L)+ ( )∑W-L

N=1

2N - 3 + ∑W-L

N=1

N +2 ∑W-L

N=1

N + ∑W-L

N=1

2N +

+(W-L+1)+ 2(W - L + 1) (2W - 2L + 1) +L-1+ ∑

W+12

M=W-L+2

4 (M +M) + 22W + 3W + 1


169

Note alla Tabella A.2:

Nella tabella vengono messe in evidenza le diverse fasi di elaborazioni che portano alla

determinazione del whitening filter, riportate di seguito:

(1.) Calcolo dell’autocorrelazione della stima del canale

(2.) Costruzione matrice dei coefficienti Ψ

(3.) Algoritmo di Levinson – Durbin

(4.) Lemma della inversione della matrice a blocchi

(5.) Calcolo dei coefficienti del Whitening filter

In tabella si evidenzia il numero e il tipo di operazioni svolte in ognuna di esse, spiegate

in maniera dettagliata nei precedenti paragrafi.

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