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Corso di Energetica A.A. 2014/2015

Energia Eolica – Parte QuartaProf. Ing. Renato Ricci

Dipartimento di Ingegneria Industriale e Scienze MatematicheUniversità Politecnica delle Marche

Tubo di Flusso

Gli aerogeneratori sono macchine in grado di estrarre energia cinetica dal vento convertendola in energia meccanicadisponibile all’asse della macchina.Solamente la portata d’aria che attraversa la sezione della macchina sarà soggetta alla conversione dell’energia,possiamo quindi separare l’aria che attraversa il rotore dall’aria che non viene elaborata dalla macchina.Supponiamo di estendere nella direzione del vento, a monte e a valle della macchina, la sezione di confinamentosopra descritta; il volume di flusso racchiuso dalla superficie di cosi ottenuta viene comunemente chiamato tubo diflusso o stream tube.

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Teoria di Betz o Teoria Impulsiva Assiale - 1

Nel 1920 Albert Betz pensò di applicare la teoria di Rankine sviluppata per le eliche propulsive adun’elica motrice, con le seguenti ipotesi:

Flusso stazionario.

Flusso incomprimibile.

Flusso inviscido.

Flusso irrotazionale.

Rotore con numero infinito di pale aventi corda infinitesima.

Le ultime 2 ipotesi valgono per un osservatore lontano, il quale non sarà in grado di vedere né larotazione del flusso in scia alla macchina né la geometria della turbina ma solo l’effetto diquest’ultima sul flusso.Ipotizzando il flusso irrotazionale l’unico effetto della macchina sul flusso che ci si aspetta è unavariazione di pressione statica e di quantità di moto assiale.

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Un osservatore lontano vedrà un incremento della pressione statica del fluido già a monte della macchina dovutoalla presenza della turbina e conseguentemente una riduzione della velocità.La turbina si comporterà come un ostacolo poroso producendo una caduta localizzata di pressione statica del fluidomentre la velocità non subirà variazioni discontinue.A valle della macchina la pressione aumenta nuovamente fino al valore del flusso indisturbato; di conseguenza lavelocità continuerà a diminuire anche a valle del disco attuatore.Attraverso il tubo di flusso la portata dovrà essere costante quindi a fronte della riduzione di velocità se ne avrà unaumento della sezione di passaggio.

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Attraverso il tubo di flusso, la portata dovrà essere costante quindi a fronte di una riduzione di velocità si avrà unaumento della sezione di passaggio.

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L’unica azione che possiamo valutare è la spinta in direzione assiale, resistenza del disco poroso, mediante il salto dipressione monte valle al disco attuatore. Tale azione produrrà una riduzione della quantità di moto assiale in uscitadal tubo di flusso.

2w

2dd

2wdd

2

2w

2dd

2dd

2

2w

2dd

2dd

2

UU21ppU

21ppU

21

U21pU

21pU

21pU

21p

U21pU

21p

U21pU

21p


Possiamo applicare l’equazione di Bernoulli tra la sezione di ingresso dello stream tube e la sezione immediatamentea monte della turbina e tra la sezione immediatamente a valle e l’uscita dello stream tube. Non è possibile applicarlaa tutto il tubo di flusso a causa della presenza delle forze esterna nella sezione del rotore.

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Per un osservatore lontano la spinta T (thrust) sul disco sarà pari alla variazione di quantità di moto assiale fral’ingresso e l’uscita dello stream tube.La stessa grandezza è possibile calcolarla anche come resistenza di forma del disco attuatore, pari cioè alla differenzadi pressione monte valle del tubo di flusso.

Ricordando che la portata che attraversa il tubo di flusso è costante potremo esprimere il flusso di quantità di motoin una generica sezione come il prodotto fra la portata calcolata nella sezione del rotore e la velocità del flusso nellagenerica sezione considerata.

2 21

2

2

d d w w

d d w d d d

d w w

wd

U A U A U A

T U A U U A p p

U U U U U

U UU

w w wT U A U U A U


L’unica velocità nota nel tubo di flusso è quella del vento indisturbato U∞ all’ingresso,dunque per poter proseguire nella trattazione Froude introdusse due coefficienti, detticoefficienti di induzione assiale, che legano le velocità nella varie sezioni a quella iniziale.

UbUUaU

w

d

11

Il flusso all’uscita del tubo di flusso non potrà rientrarvi all’interno quindi al minimo lavelocità potrà annullarsi, e di conseguenza al massimo b potrà essere pari ad 1.Introducendo ora la relazione precedentemente ottenuta fra le tre velocità possiamolegare i due coefficienti.

21a1b

2ba

2b1a1

2Ub1U

Ua1

maxmax


Nota la forza che il fluido esercita sul disco e la velocità nella stessa sezione si potrà calcolare lapotenza estratta dalla macchina.

La potenza aumenterà al diminuire della velocità in uscita al tubo di flusso poiché diminuisce lafrazione di energia cinetica persa allo scarico. Annullando la velocità allo scarico possiamo ottenere ilmassimo della potenza..

La potenza messa a disposizione dal vento, su di una sezione pari a quella occupata dal discoattuatore, sarà data dal prodotto fra la portata attraverso il disco e l’energia cinetica ad essaassociata.

2

UUAUTUP2w

2

ddd

2UAUP

2

ddmax

2UAP

3

ddisp


Si possono ora definire due differenti coefficienti adimensionali relativi alla potenza:l’efficienza η ed il coefficiente di potenza Cp.Il primo ci dice quanta potenza abbiamo estratto rispetto alla massima estraibile; ilsecondo ci dice quanta potenza è stata estratta dal vento rispetto a quella che lo stesso hamesso a disposizione.

2

2w

max

2

2wd

3

d

2w

2

dd

dispp

UU1

PP

UU1

UU

2UA

2UUAU

PPC


È possibile esprimere sia il Cp sia il rendimento solo in funzione del coefficiente di induzione assiale a. Questo cipermette di cercare il valore di a per cui si massimizzano e il valore massimo stesso.

L’efficienza massima si raggiunge quando a vale 0.5, e sarà pari a 1. Tra i due coefficienti il più interessante èsicuramente il coefficiente di potenza il quale pone un limite alla conversione dell’energia cinetica del vento inenergia meccanica. Questo limite non è legato alle caratteristiche geometriche della macchina, ancora non sonostate introdotte, ma bensì al rallentamento che il vento subisce già a monte della macchina.

2 2

2

2

m ax

1 1 1 2 1 4 4

4 1

4 1

4 1 8 1 0 1 2

1 16 0.59263 27

p

p

p

p

C a a a a a

C a a

a adC

a a a a ada

a C


Il limite di Betz è il limite teorico massimo di uno stream tube ad espansione libera, come quello descrittoprecedentemente. Diversamente in flussi confinati artificialmente il limite di Betz può essere superato, è questo ilcaso dei rotori cosi detti intubati.

L’aumento di prestazioni per questa tipologia di macchine è da ricercarsi nell’aumento di portata che attraversa iltubo di flusso rispetto alla stessa tipologia di macchina posta in un flusso libero.

0.5926

0.33330

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5a

Efficienza

Cp


L’andamento non monotono del Cp è spiegabile tenendo in considerazione il legame tra la portata che attraversa il tubo di flusso e lacapacità di prelevare energia dallo stesso.Il flusso vede l’estrazione di energia come un ostacolo, quindi maggiore sarà l’energia conferita alla macchina minore sarà la portata.Visto in termini del coefficiente di induzione assiale a avremo che a bassi valori di «a» estraiamo poca energia specifica dal flusso, quindila portata attraverso il tubo di flusso sarà elevata ma la potenza meccanica all’asse bassa.Al crescere di a aumenta l’energia specifica prelevata dalla corrente fluida così come le perdite nell’attraversare lo stream tube, ciòcauserà una riduzione della portata d’aria.Se il valore di a è troppo alto le perdite sono tali per cui, nonostante si abbia un aumento dell’energia specifica estratta, la riduzione diportata attraverso il tubo di flusso porta ad una diminuzione della potenza all’asse della macchina.

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aaaC

UU

AU

UUA

AU

TC

T

w

d

wd

d

T

14211

1

21

21

21

2

2

2

2

22

2


Altro parametro adimensionale interessante è il coefficiente di spinta CT, ottenuto adimensionalizzando la spinta Tcon il prodotto della pressione dinamica per la sezione del rotore.

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Un aumento del CT produrrà una maggiore espansione della scia, necessaria a garantire la conservazione dellaportata nel tubo di flusso anche a valle del rotore.Cio è dovuto al legame fra il CT e il coefficiente di induzione assiale, infatti alti valori di CT si hanno con elevati valoridi a, il che si traduce in un maggior rallentamento del flusso.


Misure sperimentali dimostrano che la teoria di Betz è valida solo per bassi valori di a. Il motivo per cui decade lateoria per elevati valori del CT è la distruzione del tubo di flusso a valle del rotore, dovuta alla formazione di vorticiai bordi dello stream tube.Questi inducono forti rimescolamenti fra la scia all’interno del tubo di flusso e la corrente esterna, il che impedisce ladefinizione di un confine netto fra le due regioni e quindi del tubo di flusso necessario allo sviluppo delle teoriefinora viste. Come vedremo più avanti per poter utilizzare ugualmente le teorie che si basano sui bilanci di quantitàdi moto si introdurranno degli opportuni coefficienti derivanti da relazioni empiriche.

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Aumento del CT

Teoria Impulsiva Vorticosa - 1

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Nella teoria di Betz tutto il flusso che attraversa il rotore non viene influenzato dalla rotazione delle pale, ciò comportache tutta la variazione della quantità di moto è solo assiale; in realtà la rotazione del rotore porta alla formazione di unascia controrotante che, nell’ipotesi di flusso non viscoso, seguita ad espandersi in modo continuo dietro al rotore stesso.La componente tangenziale della velocità, che è nulla sul bordo di entrata della pala, diventa pari a “wr” all’uscita dellapala stessa; ciò porta ad una perdita di energia cinetica nel flusso principale con una conseguente riduzione della potenzaestraibile dal rotore stesso. Mediamente si può assumere che sulla pala la velocità tangenziale media sia uniformementedistribuita e pari a : “wr/2”


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La azioni aerodinamiche su ognuna delle sezioni della pala sono riassumibili nella RISULTANTE “R”, posizionata delCENTRO di PRESSIONE (C.P.). Rispetto al sistema di riferimento fluido la Risultante può essere scomposta nellecomponenti PORTANZA (L’) e RESISTENZA (D’), diversamente nel sistema di riferimento rotore le componenti diventano :la FORZA TANGENZIALE (F’t) e la FORZA NORMALE (F’n). Ognuna di queste componenti ha le dimensioni d una forza perunità di lunghezza perché è relativa ad una sezione della pala e non alla pala intera.


Dall’analisi dei triangoli di velocità sulla pala emerge che l’angolo di flusso può essere rappresentato secondo le formulesotto riportate e che ci consentono di esprimere il Blade Section Speed Ratio in funzione dei coefficienti di Induzioneassiale e tangenziale, o viceversa.

2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 11 1 1 2 '2 2 2 2

1 14 ' ' 1 4 ' ' 12 2

d d

d d r

p U a r p U a r a

p p r a a U a a

Conservazione dell’Entalpia Totale di un flusso isotermo , non viscoso ed incomprimibileAttraverso il rotore l’entalpia totale del fluido deve conservarsi, trascurando la parte termica del contributo entalpico,la cui variazione è nulla durante una trasformazione ISOTERMA, si avrà:

2 22 ' (1 ') 2d d rdT p p dA a a r r dr


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La Spinta ASSIALE sull’elemento radiale del rotore per la Teoria Impulsiva Vorticosa è calcolabile come:

mentre la spinta ASSIALE secondo la Teoria Impulsiva assiale è data da:

22 (1 ) 2d d rdT p p dA a a U r dr

che uguagliate l’una all’altra forniscono:2 2

2 2 2 2(1 ) *' (1 ') r T T

a a r r ra a U R

2 (1 ) 2 'dS dm r r r dr U a a r

Allo stesso modo la Spinta Longitudinale è calcolabile come:

da cui il momento sull’elemento di rotore può essere calcolato:3(1 ) ' 4dM dS r a a U r dr

33

2(1 ) ' 4 rr

UdM a a U U d

3 2

5 3 2 33 2

1(1 ) ' 4 (1 ) ' 4r r r rU U

dM a a U d a a R dR

3 3

218 (1 ) '

2r r

rT

U ddM a a A

3

32

18 (1 ) '2r r r

T

UdP a a A d


20

La POTENZA estratta dal rotore sarà così data da:

3

32

0

18 (1 ) '2

T

r r rT

UP dP A a a d

33 2

0

8 (1 ) '

2

T

P r rT

r

PC a a dUA

24 (1 )PC a a

Teoria Impulsiva AssialeTeoria Impulsiva Vorticosa

Dall’analisi del Coefficiente di potenza offerto dalla Teoria Impulsiva Vorticosa emerge che lo stesso viene massimizzatoin funzione del valore assunto dal termine “a’(1-a)”; è possibile pertanto cercare una soluzione che rende massimo il Cpandando a ricavare a’ dalla relazione trovata nel caso della SPINTA ASSIALE, ossia:

Trascurando la soluzione per la quale a’ è minore di zero e moltiplicando ogni membro per (1-a) si ottiene:

2 22 2 2 2(1 ) *

' (1 ') r T Ta a r r ra a U R

1 2

1,21' 1 4 (1 )2 r ra a a

1 21' (1 ) (1 ) 1 4 (1 )2 r ra a a a a


1 21' (1 ) (1 ) 1 4 (1 )2 r ra a a a a

Derivando e ponendo il risultato uguale a zero si arriva alla

determinazione delle condizioni per le quali la potenza viene massimizzata, ossia:

2max max

1 4 1 1 3; '1 3 4 1r

a a aaa a

limitando all’intervallo 1/4 ≤ a ≤ 1/3 il campo di variazione del fattore di induzione assiale.

Blade Element Theory (BEM)- 1

La teoria della scia vorticosa vista in precedenza ci mette a disposizione delle relazioni per le quali fissato il valore delfattore di induzione assiale si è in grado di calcolare le prestazioni della turbina, ma nulla ci dice su cosa condiziona i valori dei fattori di induzione né tanto meno ci collega agli aspetti aerodinamici della pala. Per far ciò dobbiamo analizzare, in una sezione qualunque della pala, la risultante aerodinamica, R’, scomposta nei due sistemi di riferimento principali: L’ e D’, nel sistema solidale al fluido e F’n e F’t nel sistema solidale al corpo.

rdrFNdMdrFNdT

t

n

)'(' Spinta assiale sulla sezione c(r) dr

2

1


Uguagliando la Spinta Assiale ed il Momento alle relazioni analoghe trovate in base alla teoria della scia vorticosa si arriva a:

drraaUardrUrrrarmdrdrFNdM

draaUrUadraUr

UaUdrUrUUmddrFNdT

ot

own

3

2

2

)1('4'2)2())'21(()'(

)1(42))1(2(

))21(()2()('

drraaUdrrrcVcNrdrFN

draaUrdrrcVcNdrFN

reltt

relnn

32

22

)1('4)(2

)'(

)1(4)(2

'

Sostituendo alle forze normali e tangenziali la loro espressione in termini di coefficienti adimensionali avremo:

rrcNSoliditàr

crsen

aaa

sencr

aaUrsen

aUcrrcN

senaUc

n

n

nn

2)()(

1)(

41

14)(

)1(4)()1(2

)()1(

22

22

22

2

22

Sostituendo infine a Vrel le relazioni (1) e (2) della pagina precedente si arriva alle:

3


Operando analogamente sull’equazione del Momento si ottiene:

raaUrarsen

aUcrrcNVc trelt

)1('4)(

cos)'1()1(

2)(2

1)(

cos41''4)(

cos)'1(1

t

t

crsenaara

senc

Utilizzo della BEM per il calcolo delle prestazioni di un rotore esistenteIn questo caso dai dati progettuali sono noti: gli angoli di calettamento delle pale, la velocità di rotazione del rotore, la velocità del vento di progetto, i profili aerodinamici utilizzati nelle diverse sezioni palari e la distribuzione di corda lungo la pala.

Step-1: si impone a(r) = a’(r) = 0

Step-2: si calcola

Step-3: noto b(r) si calcolano gli angoli di attacco come a(r)= f(r) - b(r)

Step-4: dalle tabelle dei profili si calcola cl(r) e cd(r)

Step-5: quindi si passa al calcolo di cn(r) e ct(r)

Step-6: dalle (3) e (4) si calcolano a(r) ed a’(r)

)'1()1(arctan)(

arUar

4

Step-7: si verifica che i valori di a e a’ appena trovati siano uguali a quelli ipotizzati nello Step-1 a meno di un scarto infinitesimo. Se la verifica ha esito negativo si riparte dallo Step-2 con i valori di a ed a’ appena trovati.


1

1

221

331

2

)(21)(

31

)()()(

NT

iitotale

iiiiiii

iitiit

MNM

rrBrrAM

drrBrAdrrrFdMBrArF

)()1()()1()1()(

)()1()()1(

iriririFiriFB

iririFiFA

tti

tti


La teoria ora discussa non tiene conto delle diverse interazioni che il flusso ha in direzione radiale, interazioni cheassumono un’importanza significativa soprattutto per bassi valori di Tip Speed Ratio (TSR) dove i fenomeni diseparazione locale del flusso possono alterare in modo considerevole i risultati offerti dalla BEM. A ciò si aggiunga ancheil fatto che i fattori di induzione, tangenziale ed assiale, sono stati trovati ipotizzando una struttura di scia vorticosagenerata da un NUMERO INFINITO DI PALE e che per «a > 0.4» la teoria di Betz entra in crisi, dando luogo a valori diThrust ben al di sotto dei valori misurati nella realtà.Per migliorare il metodo BEM in modo da tenere in conto egli ultimi effetti sopra descritti (numero finito di pale ed altifattori di induzione assiale) si utilizzano delle correzioni: la correzione di Prandtl e la correzione di Glauert, quest’ultimaa compensazione di elevati valori di «a».

Correzione di PRANDTL: che, introdotta nel calcolo di a ed a’, porta alle:

Correzione di GLAUERT: per a > ac

per a ≤ ac e dove ac = 0.2

Il coefficiente di THRUST può essere trovato mediante le:

senrrRNrferF rf

2)()(cos2)( )(1 dove

1)(

cos)(41')2(

tcrsenrFa

1)()(4

1)1( 2

ncrsenRF

a

)1)((4)2)21()(()21()(2

21)3( 22

ccc arKarKarKa

1)(

41)1( 2

ncrsenF

a

ncrsenrFrK

)()(4)()4(

2

ccc

cT aaFaaa

aaFaa

drrUdTC

))21((4

)1(4

)2(2

22


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Nel flusso 3D che si instaura su un’ala di un aereo è ben noto che sono i vortici di estremità a modificare i valori deicoefficienti di portanza e resistenza lungo l’apertura. In una pala di una turbina eolica, a causa della rotazione, entrano ingioco anche la forza Centrifuga e la forza di Coriolis; l’effetto della prima tende a ridurre la parte ricircolante dei vortici diestremità nella sezione di depressione, e ad incrementarla nella sezione in pressione. La forza di Coriolis tende invece adessere importante solo a basse velocità del vento quando da origine, insieme alla forza centrifuga, alla formazione di unabolla di separazione sull’estradosso della pala, nelle vicinanze della radice. Tale separazione è da associare alladistribuzione di portanza sulla pala stessa, che vede nella radice la zona a MAGGIOR PORTANZA e, quindi, quella cheprima delle altre andrà in separazione. In generale lo stallo 3D avviene per angoli di incidenza superiori a quello 2D.


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Il comportamento aerodinamico di un profilo palare deve essere studiato per angoli di incidenza variabili da 0 a 360 gradi, in quanto la velocità relativaincidente sulla pala presenta un angolo di attacco elevato: a macchina ferma e durante le fasi di regolazione. Oltre a ciò si aggiunga anche il fatto che laturbina potrebbe avere il rotore non ortogonale al vento ma in posizioni sensibilmente diverse a seconda di come la macchina è stata arrestata inprecedenza. In letteratura è difficile avere dati sperimentali oltre l’angolo di STALLO, ossia circa 10-15 gradi, e perlomeno per un range fino a 90 gradi ènecessario che il progettista sia in grado di calcolare la distribuzione dei coefficienti aerodinamici basandosi, ove possibile, su relazioni empiricheaccreditate.


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Analizzando in maggior dettaglio il range di angoli fino a circa 90 gradi si è ingrado di visualizzare al meglio il comportamento del profilo in condizioni dipost-stallo. E’ importante sottolineare come il comportamento a stallo di unprofilo 3D sia migliore dell’analogo 2D, grazie al flusso radiale che riduce ilrecupero di pressione nella zona in depressione rallentando, così, laseparazione. Questo effetto diminuisce all’aumentare del raggio. Poiché incondizioni di flusso fortemente separato, zona di post-stallo, il fenomeno èpoco influenzato dalla forma del profilo alare è possibile trovare in letteraturadelle relazioni empiriche per il calcolo delle prestazioni aerodinamiche.

Una delle relazioni maggiormente utilizzate è quella propostada SNELL nel 1993 che è basata sui coefficienti di portanza eresistenza, del profilo bidimensionale, in condizioni di STALLO.A tali valori va aggiunto il coefficiente di massima resistenza delprofilo, che si ha a circa 90 gradi e che, qualora non fosse notoda prove sperimentali, può essere assunto pari a 1.3.


30

1993,)(32

23Snellc

rrccc lDlDl

)cos()()()(cos)2(

22

12

2

212

BsenBcsen

AsenAc

Dd

Dl

))(()cos(

1)(cos)())cos()((

3.1;5.0

2max,,2

2max,max,2

max,111

sdsds

s

sssdl

d

senccB

sensenccA

cBBA

Nella regione del post-stallo si ha:

dove:

Con cd,s uguale al coefficiente di resistenza all’angolo di stallo e cd,max pari al coefficiente di resistenza massimo, ossia a circa 90 gradi di incidenza.

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