elettromagnetismo 1 (2019-2020);1 - Sezione di...

Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano

Anno Accademico 2019/2020

Elettromagnetismo

Batteria ricaricabileCircuiti elettrici

Carica e scarica del condensatoreGeneratori di tensione e di corrente

Generatori ideali e reali

Lezione n. 18 – 13.12.2019

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 392

Cella elettrolitica• Consideriamo un recipiente contenente acqua• Abbiamo detto che l'acqua pura ha un numero

piccolo di molecole dissociate → bassa conduttività• L'aggiunta di un sale o di un acido aumenta di

molto il numero di ioni presenti nell'acqua• Ad esempio aggiungendo acido solforico H2SO4

• La soluzione rimane comunque neutra• Se aggiungiamo due elettrodi e stabiliamo fra di essi una differenza di

potenziale nella soluzione si stabilisce una corrente• Gli ioni e gli elettroni sono i portatori di carica• Le loro densità e mobilità determinano la conducibilità della soluzione• Il dispositivo così realizzato prende il nome di cella elettrolitica• La soluzione prende il nome di soluzione elettrolitica• La sostanza disciolta in soluzione prende il nome di elettrolita

• Il materiale di cui sono composti gli elettrodi è importante• Può causare comportamenti diversi della cella elettrolitica• In particolare la cella può comportarsi come una pila (generatore di forza

elettromotrice)

+ --2 4 4H SO 2H +SO

V


Batteria ricaricabile• Descriviamo una pila reversibile a base di piombo• Reversibile significa che può essere ricaricata• È utilizzata nelle automobili, nelle moto (accumulatore)• La cella elettrolitica è una soluzione di H2SO4 in acqua• I due elettrodi sono• Uno fatto di piombo puro (Pb), l'elettrodo negativo• Uno fatto di biossido di piombo (PbO2), l'elettrodo positivo• Esaminiamo quello che avviene nell'elettrodo di piombo• In particolare nella regione a contatto con la soluzione• Un certo numero di atomi di Pb metallico delloelettrodo perde 2 elettroni e passa alla soluzione• Nella soluzione lo ione piombo Pb++ si combina con lo ione SO4−− formando PbSO4

• Combinandosi con SO4−− il Pb++ in soluzione lascia due ioni H+ non neutralizzati• Questa reazione avviene perché energeticamente favorita• Il Pb in soluzione ha un'energia inferiore a quella del Pb nel metallo • Complessivamente due elettroni sono nell'elettrodo e due ioni positivi H+ sono

nella soluzione• Elettrodo e soluzione non sono più neutri, si sono caricati

Pb2PbO

+−

+2 4 4Pb+H SO PbSO +2H 2e

−→ +● Complessivamente


Batteria ricaricabile• Pertanto l'elettrodo Pb si carica negativamente• Gli ioni H+ si dispongono molto vicini alla superficie

dell'elettrodo • Si forma il cosiddetto doppio strato• Osserviamo che i due strati di carica generano un

campo elettrico (elettrostatico)• Per passare in soluzione lo ione Pb++ deve vincere la forza del campo

elettrico che lo spingerebbe a rimanere dentro l'elettrodo• L'energia che lo ione Pb++ perde passando in soluzione è maggiore di quella che guadagnerebbe spostandosi in direzione opposta campo elettrico

• Naturalmente man mano che il piombo va in soluzione la carica del doppio strato aumenta• Ad un certo punto il campo elettrico è diventato così intenso che il passaggio di ioni Pb++ alla soluzione si arresta• L'energia che lo ione di piombo perderebbe passando in soluzione è diventata minore di quella che guadagnerebbe spostandosi in direzione opposta campo elettrico

• Il sistema elettrodo-soluzione ha raggiunto l'equilibrio• C'è una differenza di potenziale fra l'elettrodo e la soluzione

−− −− −−+ + + + + + E

Questa è l'origine della forza elettromotrice


Batteria ricaricabile• All'elettrodo positivo (PbO2) hanno luogo reazioni simili†• In particolare il piombo tetravalente del PbO2 si riduce

a piombo bivalente

• Anche in questo caso avviene la reazione energeticamente favorita• Questa reazione "consuma" elettroni del metallo• L'elettrodo si carica positivamente• Vengono attratti ioni negativi nella soluzione• Si forma un doppio strato• Gli ioni H+ che hanno ridotto il Pb tetravalente hanno attraversato il doppio

strato contro il campo elettrico• Ancora una volta è comparsa una forza elettromotrice

• Per finire il piombo bivalente si combina con gli ioni solfato formando un sale che precipita

• Complessivamente al catodo è avvenuta la seguente reazione

• †Barak M. ed. – Electrochemical Power Sources -The Institution of Engineering and Technology (1980) p. 188

−− −− −−+ + + + + +

E+ ++

2 2PbO +4H +2 Pb +2H Oe− →

++4 4Pb +SO PbSO−− →

+2 4 4 2PbO +4H +SO +2 PbSO +2H Oe

−− − →


Batteria ricaricabile• Anche all'elettrodo positivo si raggiunge una condizione di equilibrio• Il campo elettrico del doppio strato diventa molto intenso e il passaggio di

ioni H+ all'elettrodo PbO2 richiederebbe un'energia maggiore di quella guadagnata dalla riduzione del Pb tetravalente

• In queste condizioni fra gli elettrodi della batteria c'è una differenza di potenziale di circa 2 V• Se adesso colleghiamo una resistenza fra gli

elettrodi comincia a scorrere una corrente• Dall'elettrodo positivo a quello negativo• Gli elettroni passano dall'elettrodo Pb al PbO2• I campi elettrici dei due doppi strati si indeboliscono• Le reazioni riprendono• La batteria mantiene la corrente e cede energia al sistema esterno

• Durante il funzionamento la batteria consuma Pb metallico e biossido PbO2• Questo processo può essere invertito• Se si collega un generatore agli elettrodi con una forza elettromotrice

maggiore di quella della batteria tutte le reazioni hanno luogo in senso inverso• La batteria si ricarica

2VPb− +2PbO


Forza elettromotrice• Abbiamo descritto un generatore di forza elettromotrice• Nella batteria descritta ci sono portatori di carica che si

muovono contro il campo elettrico• La reazione chimica rende questo passaggio conveniente energeticamente• Possiamo schematizzare l'aumento di energia come il lavoro fatto da un campo che chiamiamo campo elettromotore CE

• Ritorniamo alla nostra schematizzazione di generatore• Indichiamo i poli positivo e negativo• Il campo elettrico è diretto come in figura

• Calcoliamo il lavoro fatto sulla carica in un ciclo• La forza che agisce sulla carica è• Nel circuito esterno al generatore F = qE• Dentro il generatore F = qE + qCE

• La grandezza E prende il nome di forza elettromotrice della batteria• È simile a un potenziale; si misura in Volt

q≡ E

W d= ⋅∫ F l ( )B A

A Bq d q d= ⋅ + + ⋅∫ ∫E l E C lE

−

+

EE C

A

B

A

Bd q d= ⋅ + ⋅∫ ∫E l C lE

A

Bq d= ⋅∫ C lE


Circuiti elettrici• Nell'elettronica si utilizzano conduttori che hanno una resistenza ben determinata• Le resistenze o resistori• Chiamiamo circuito elettrico un sistema

in cui più resistori e generatori di forzaelettromotrice sono collegati insieme• In futuro introdurremo anche altri elementi

di circuito come condensatori e induttori• Le resistenze e i generatori di forza elettromotricesono rappresentati mediante i seguenti simboli• Sottolineiamo che si tratta di elementi con due terminali• La corrente che entra da un terminale esce dall'altro

• La figura mostra un esempio di circuito• In un circuito si definiscono due strutture importanti• Il nodo: un punto nel quale sono collegati più elementi del circuito• La maglia: una successione di elementi del circuito connessi fra di loro e che realizzanoun cammino chiuso

+R E


Circuiti elettrici• Introduciamo le relazioni Volt-Ampere• Un elemento di circuito stabilisce una relazione fra la differenza di

potenziale fra i suoi terminali e la corrente che passa attraverso l'elemento stesso• Per il resistore è la legge di Ohm• Occorre fissare delle convenzioni• Si indica, arbitrariamente, con + il terminale che haun potenziale più elevato• La tensione V del resistore è V = V2 – V1• Si considera positiva la corrente che entra nelterminale definito +

• Con queste convenzioni si ha

• Nel caso del generatore la relazione è estremamente semplice• Si indica con + il terminale positivo del generatore• La tensione V del generatore è V = V2 – V1• Un generatore di tensione ideale mantiene latensione data fra i suoi terminali quale chesia la corrente che lo attraversa

RI+2V

1V

V RI=

+E

2V

1V

V = E

+


Circuiti elettrici• Veniamo adesso a due importanti leggi che governano il comportamento dei circuiti• Le leggi di Kirchhoff per le maglie e per i nodi• La legge per le maglie• Fissiamo un senso di percorrenza della maglia• Misuriamo le tensioni Vk sugli elementi di circuitodella maglia considerando positive le tensioni suiterminali in cui "si entra"

• La legge di Kirchhoff per le maglie afferma:

• È legata alla natura conservativa del campo elettrico e alla definizione di campo elettromotore†

• Un modo equivalente ( più semplice) di enunciare la legge è che la somma di TUTTE le differenze di potenziale degli elementi del circuito è nulla• Si misura anche la ddp ai capi delle fem secondo la convenzione

• †Si veda ad esempio Reitz J., Milford M. - Foundations of electromagnetic theory – Addison Wesley 1960 § 7.5

k lk l

V =∑ ∑E

2V

3V

1V+−

−+

−+

La somma delle differenze di potenziale Vk ai capi degli elementi è uguale alla somma delle forze elettromotrici presenti nella maglia

0kk

V =∑

1 2 1V V+ = E

1 2 1 0V V+ − =E


Circuiti elettrici• La legge di Kirchhoff per i nodi• Definiti i sensi positivi delle correnti del nodo• La legge di Kirchhoff per i nodi afferma: La somma algebrica delle correnti ENTRANTI (o USCENTI) nel nodo è nulla• Alternativamente: la somma delle correnti entranti è uguale alla somma delle correnti uscenti

• È una conseguenza dell'equazione di continuità

• In condizione stazionaria dQ/dt = 0• Consideriamo in dettaglio il nodo• La densità di corrente J è nulla escluso nelle basi dei

cilindri (evidenziate in azzurro chiaro)• Il flusso attraverso la sfera è uguale alla somma

dei flussi di J attraverso le superfici evidenziate è la somma delle correnti che escono dal nodo

0kk

I =∑

1I 2I

3I

tρ∂

∇ ⋅ = −∂

J ˆV

S

dQda dv

t dtρ∂

⋅ = − = −∂∫ ∫J n

ˆ 0S

da⋅ =∫ J n 1 2 3 0I I I− − − = 1 2 3 0I I I+ + =

1I

3I

2I


Carica e scarica del condensatore• Consideriamo un condensatore di capacità Ccaricato ad una tensione V• Sulle armature ci sarà una carica Q = CV• Scarichiamo adesso il condensatore collegandolo ad una resistenza R tramite un interruttore che viene chiuso a t = 0• Appena collegata al condensatore chiudendo l'interruttore

la resistenza ha ai suoi capi una tensione V = Q/C• Inizia a scorrere una corrente I = V/R• Notiamo innanzitutto che la corrente ha un valore finito• Occorre pertanto un tempo finito per scaricare il condensatore • In un tempo dt la carica sul condensatore diminuisce di dQ = −Idt• La diminuzione della carica implica la diminuzione della differenza di potenziale fra le armature del condensatore• Diminuisce anche la corrente che circola nella resistenza• In un successivo intervallo di tempo dt la carica dQ' = −I'dt

che viene rimossa dalle armature del condensatore è minore di quanto fosse all'inizio• La velocità con cui si scarica il condensatore diminuisce

• Notiamo che la tensione V, la corrente I e la carica Q sono diventate funzioni del tempo: V(t) I(t) Q(t)

C RI

V V


Carica e scarica del condensatore• Sottolineiamo il fatto che le correnti non sono più stazionarie• In linea di principio il problema diventa elettrodinamico• Tuttavia finché le velocità di variazione delle correnti e delle tensioni non

sono grandi non compaiono fenomeni nuovi che abbiano effetti apprezzabili• Definiremo in seguito cosa intendiamo per velocità di variazione non grandi

• Un'altra precisazione• Quando abbiamo discusso la legge di Kirchhoff per i nodi abbiamo utilizzato

l'equazione di continuità assumendo una condizione stazionaria

• Avevamo detto che non si accumulava carica sul nodo

• Le leggi di Kirchhoff continuano a valere con una precisazione• I nodi (e tutti i conduttori di un circuito) hanno capacità trascurabili• Non si accumulano cariche anche se non siamo più in una situazione stazionaria

0tρ∂

=∂

0dQdt

=


Carica e scarica del condensatore• Ritorniamo al condensatore che si scarica• Analizziamo in modo quantitativo il circuito• In ogni istante le tensioni ai capi del condensatore

e ai capi della resistenza devono essere uguali

• Per semplicità non indichiamo più esplicitamente la dipendenza dal tempo• Inoltre la corrente che attraversa la resistenza è legata alla diminuzione

della carica sul condensatore

• Il segno meno indica che la carica Q diminuisce

• Osserviamo che [R] = [V] [A]−1 = [V](Coul T−1)−1 [C] = Coul [V]−1• Pertanto [RC] = [V](Coul T−1)−1×Coul [V]−1 = T• Il prodotto RC ha le dimensioni di un tempo: RC = τ• È la costante di tempo caratteristica della carica/scarica del condensatore

C RI

V

( ) ( )R CV t V t= ( )( )Q t

RI tC

=

dQ Idt= −

dQ QRdt C

− =dQ dtQ RC

= −dQ

Idt

= −


Carica e scarica del condensatore• Ritorniamo all'equazione

• Indichiamo con Q0 la carica presente sul condensatore al tempo t = 0• Abbiamo

• Uguagliando l'esponenziale di entrambi i membri dell'equazione

• Passando alle tensioni (Q0/C ≡ V0)

dQ dtQ τ

= −

( )

0 0

Q t t

Q

dQ dtQ τ

= −∫ ∫( )0

lnQ t tQ τ

= −

( )0

expQ t tQ τ

⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

( ) 0 expt

Q t Qτ

⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

( ) 0 expt

V t Vτ

⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠scarica

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-1 0 1 2 3 4 5/t τ

0

VV


Il condensatore elemento di circuito• Interpretiamo le equazioni viste in modo leggermente differente• Vogliamo trovare la legge che lega tensione e corrente

nel condensatore• In analogia con legge di Ohm per le resistenze• Una relazione Volt-Ampere

• Il condensatore ha una carica sulle armature Q(t)• La sua tensione è V(t) = Q(t)/C• Se il condensatore è collegato ad un circuito esterno comincia

a fluire una corrente• Con la convenzione indicata la corrente positiva aumenta la carica sulle

armature del condensatore• La tensione aumenta

• Analizziamo nuovamente il circuito• La corrente che fluisce nella resistenza è uguale alla

corrente del condensatore cambiata di segno

+VI

dQdV

C=

IdtC

=dV

I Cdt

=

C RI−

V

V RI= −dV

RCdt

= −dV

Vdt

τ= − 0 expt

V Vτ

⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠


Scarica del condensatore• Notiamo che inizialmente nel condensatore era immagazzinata energia elettrostatica

• Al termine del processo il condensatore è scarico• Dove è finita l'energia?• È stata dissipata per effetto Joule nella resistenza• Nella resistenza viene dissipata una potenza P(t)

• L'energia totale dissipata è

20

12

W CV=

( ) ( )2V t

P tR

=20 exp 2V tR τ

⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

( )0

W P t dt∞

= ∫20

0exp 2

V tdt

R τ

∞ ⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∫ ( )20

0

1exp

2V

x dxR

τ∞

= −∫20 12

VW RC

R= 20

12

W CV=


Carica del condensatore• Consideriamo adesso un problema leggermente differente• Carichiamo un condensatore ad una tensione V0

utilizzando un generatore di tensione• La resistenza R può essere introdotta diproposito oppure può essere la resistenza interna del generatore• In quest'ultimo caso indesiderata ma

inevitabile in un circuito reale• L'interruttore viene chiuso al tempo t = 0• È equivalente ad un generatore che fornisce

una tensione come nel grafico• Notiamo che la stessa corrente I circola sia nella

resistenza sia nel condensatore• L'equazione della maglia è

• Otteniamo l'equazione differenziale

C

RV

CV+ R0V I

0 0R CV V V+ − = RV RI=CdVI Cdt

=

0C

C

dVV RC V

dt= + 0

CC

dVV V

dtτ + =

gradino

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-1 0 1 2 3 4 5

C

0

VV

/t τ


Carica del condensatore

• La condizione iniziale è VC(0) = 0 • Il condensatore inizialmente è scarico

• Si verifica immediatamente che l'equazione è soddisfatta dalla funzione

• Confrontiamo la tensione del condensatore conla tensione applicata alla resistenza ("ingresso")• Possiamo dire che il condensatore non riesce

a raggiungere V0 con la stessa velocità dellatensione applicata per caricarlo• Il prodotto τ = RC determina la velocità con cui il sistema resistenza - condensatore raggiungela tensione di carica voluta

carica

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-1 0 1 2 3 4 5/t τ

C

0

VV

0

VV

gradino

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-1 0 1 2 3 4 5/t τ

0 0 0 1t t

CV V V e V eτ τ− −⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

C

RV

CV+ R0V

0C

C

dVV V

dtτ + =


Carica del condensatore• Osservazioni• La velocità con cui si riesce a caricare un condensatore dipende dalla

resistenza del conduttore che trasporta la corrente per caricarlo• Resistenza interna del generatore• Resistenza dei conduttori (lunghezza)• Naturalmente a parità delle altre condizioni capacità più elevate richiedono

tempi più lunghi per raggiungere la tensione voluta• Dispositivi elettronici molto veloci richiedono capacità parassite piccole

• La tensione fra le armature di un condensatore non può cambiare istantaneamente di un valore finito• Ci vorrebbe una corrente infinita tale che Q = Idt (I → ∞, dt → 0)

• Circuiti RC possono essere usati per generare ritardi• Un circuito elettronico può generare un segnale ritardato quando il suo ingresso supera un valore di riferimento

carica

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-1 0 1 2 3 4 5

tΔ

CR


Partitore di tensione• Un circuito molto semplice ma molto importante è il partitore di tensione• Vogliamo calcolare la tensione ai capi della

resistenza R2 (fra i punti a e b)• Chiamiamo i la corrente che circola nella maglia

• Ovviamente

• Il partitore fornisce fra i punti a e b una tensioneinferiore a quella della forza elettromotrice• Il fattore di riduzione f (o di partizione) è

• Notiamo che

• La tensione appare ai capi delle resistenze più grandi• Tuttavia occorre tenere presente la differenza fra partitore e generatore di forza elettromotrice ideale di valore E/2 • Diversa resistenza interna. Approfondiamo questo punto

a1R

2R

E i+

b

i

a+

1R

2REb

Lo stesso circuito

1 2

iR R

=+E

2 2V R i=2

1 2

RR R

=+

E

2

1 2

RfR R

=+

Ad esempio se R1 = R2 1

1

12 2R

fR

= =

2 0R → 0f → 2 0V = 1 1V Ri= = E

1V

2V1 2 1 2V V Ri R i= + = +E


Generatore di tensione ideale

a

+E

b

LR

v

i

E

QV

C=

C

• Ricordiamo la definizione di generatore di tensione ideale• Un dispositivo capace di mantenere fra i sui due

terminali una differenza di potenziale costante,indipendentemente dalla corrente erogata

• Supponiamo di effettuare una verifica sperimentale• Colleghiamo una resistenza di carico RL ai terminali• Misuriamo la differenza di potenziale v fra a e b• Misuriamo la corrente che attraversa RL: i = E/RL• Ripetiamo per tanti valori differenti di RL• Avremo tante correnti differenti

• Riportiamo i risultati in un grafico• La differenza di potenziale è costante• Non dipende dalla corrente erogata: Generatore ideale• Un generatore reale: Generatore di Van de Graff• La tensione fornita è Q/C• La corrente erogata fa diminuire Q: dQ = i dt• Nel tempo dt la cinghia ricarica il condensatore: dQ'• Se dQ > dQ' ( i "elevata") la tensione si abbassa• In queste condizioni non è un generatore ideale


Generatore di tensione reale• In un generatore reale la tensione diminuisce sela corrente erogata aumenta• Un comportamento analogo al partitore di tensione• Avevamo trovato la tensione fra a e b

• Elaboriamo la relazione per v

• La relazione trovata è una retta nel piano v−i• La pendenza dipende da ri• L'intercetta all'origine è la forza elettromotrice ideale E• Un generatore reale è schematizzabile come un generatore ideale con in serie una resistenza ri: la resistenza interna

a

+

ir

E

b

v

i

E

LR

L

i L

Rvr R

=+

E

iL

i L

ir rRvr R+ −

=+

E

e la corrente in RLi L

ir R

=+E

L i i

i L i L

R r rr R r R

+= −

+ +E E

ii L

rr R

= −+E

E iv ri= −E

resistenza interna ri

tg irα = −

α

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