Elementi Piani
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Politecnico di Milano Dipartimento di
Meccanica
PROBLEMI PIANI: ELEMENTI 2D
Mario Guagliano
Problemi Piani: Elementi 2D 2
Problemi piani
Attenzione: esistono classi di problemi che utilizzano modelli piani per risolvere sistemi 3D (ad esempio corpi assialsimmetrici)
Sono caratterizzati da: • corpo piano a spessore costante • carichi nel piano
Problemi Piani: Elementi 2D 3
Il problema elastico
Se il campo degli spostamenti e quello degli sforzi soddisfano contemporaneamente: 1. equilibrio 2. compatibilità 3. condizioni al contorno La soluzione elastica trovata è unica ed esatta
All’infittirsi della mesh, ci si avvicina sempre più a soddisfare in ogni punto le condizioni 1 e 3
Con il metodo degli elementi finiti: 1. Le equazioni indefinite di equilibrio non sono sempre soddisfatte, almeno
non in tutti i punti del modello (lo sono in media/integrale) 2. La compatibilità è garantita all’interno di ogni elemento 3. Così anche le condizioni al contorno
Problemi Piani: Elementi 2D 4
Elementi piani
(+ elementi speciali)
Problemi Piani: Elementi 2D 5
Elementi triangolari lineari (T3)
Spostamenti lineari
1 2 3
4 5 6
u x yv x y= β +β +β
= β +β +β
Sono i primi ed i più semplici elementi finiti
x 2
y 6
xy 3 5
ε = β
ε = β
γ = β + β
Deformazioni (e sforzi) costanti
I contorni rimangono lineari mentre l’elemento si deforma
3 nodi, 6 gdl
Problemi Piani: Elementi 2D 6
Elementi triangolari lineari (T3)
1
1x 2 3 3 1 1 2
2y 3 2 1 3 2 1
23 2 2 3 1 3 3 1 2 1 1 2xy
3
3
2 1 3 1 3 1 2 1
uv
y y 0 y y 0 y y 0u1 0 x x 0 x x 0 x xv2A
x x y y x x y y x x y yuv
2A (x x )(y y ) (x x )(y y )
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ε − − −⎡ ⎤⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ε = − − −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − − − − −γ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
= − − − − −
Campo di deformazioni {ε}=[B]{u}
A: area dell’elemento triangolare indeformato La numerazione dei nodi può essere arbitraria, ma la sequenza 123 deve essere antioraria intorno all’elemento perché l’area venga positiva
Problemi Piani: Elementi 2D 7
Elementi triangolari lineari (T3)
L’elemento triangolare lineare dà buoni risultati nelle regioni del modello dove il gradiente di deformazione (e sforzo) è limitato
Vediamo il caso di momento flettente puro
L’asse x dovrebbe essere scarico perché coincide con l’asse neutro, invece σx mostra un andamento ad onda quadra
Si converge alla soluzione reale con un elevato numero di elementi, ma la convergenza è lenta
Inoltre, le deflessioni e gli sforzi sono di entità inferiore a quella attesa (un quarto)
Problemi Piani: Elementi 2D 8
Elementi triangolari parabolici (T6)
Funzioni di forma quadratiche
2 21 2 3 4 5 6
2 27 8 9 10 11 12
u x y x xy yv x y x xy y= β +β +β +β +β +β
= β +β +β +β +β +βSpostamenti quadratici
( ) ( ) ( )
x 2 4 5
y 9 11 12
xy 3 8 5 10 6 11
2 x yx 2 y
2 x 2 y
ε = β + β +β
ε = β +β + β
γ = β +β + β + β + β +β
Deformazioni lineari (flessione descrivibile esattamente in termini di deflessioni e sforzi)
Ci sono nodi in centro-lato
I contorni sono parabolici mentre l’elemento si deforma
6 nodi, 12 gdl
Tutto ciò vale per tutti gli elementi e quindi anche per i bar e i beam !
Problemi Piani: Elementi 2D 9
Elementi rettangolari bi-lineari a 4 nodi (Q4)
( )( )( )( )
1 2 3 4 1 2 3 4
5 6 7 8 5 6 7 8
u c c x c c y x y xyv c c x c c y x y xy= + + = β +β +β +β
= + + = β +β +β +β
Spostamenti bi-lineari
4 nodi, 8 gdl
( )
x 2 4
y 7 8
xy 3 6 84
yx
x y
ε = β +β
ε = β +β
γ = β +β + +ββ
E’ compreso il caso di deformazione costante (l’equilibrio non è soddisfatto in tutti i punti dell’elemento a meno che β4=β8=0). Infittendo si arriva a convergenza. Sui lati (x=±a e y=±b) i campi u(x,y) e v(x,y) diventano lineari e dipendono soltanto dai valori assunti agli estremi
Problemi Piani: Elementi 2D 10
Le funzioni di forma sono anch’esse bi-lineari
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
1 2
3 4
a x b y a x b yN N
4ab 4ab
a x b y a x b yN N
4ab 4ab
− − + −= =
+ + − += =
{ }
{ } { }
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ][ ]
1 2 3 4
1 2 3 4
T1 1 2 2 3 3 4 4
b a T
b a8 8 8 3 3 3 3 8
N 0 N 0 N 0 N 0uu
0 N 0 N 0 N 0 Nv
u u v u v u v u v
B N
K B E B tdxdy− −
× × × ×
⎡ ⎤⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎢ ⎥
⎩ ⎭ ⎣ ⎦
=
= ∂
= ∫ ∫
La matrice [B] contiene funzioni lineari => [K] si può integrare in forma chiusa
Elementi rettangolari bi-lineari a 4 nodi (Q4)
Problemi Piani: Elementi 2D 11
Questi elementi hanno, inoltre, un problema detto shear locking (rigidezza numerica) che si manifesta nel caso di flessione pura anche se prevedono la variazione di εx con y
Lo stato di deformazione mostra che εx è indipendente da x. Ciò significa che l’elemento non può descrivere correttamente la mensola con carico trasversale in punta perché εx varia proprio con x
Deformazione reale (teoria delle travi): • sezioni ruotano mantenendosi piane • bordi superiore ed inferiore diventano archi con circa lo stesso raggio di curvatura • γxy=0
1x
1y
xy
y2ay
2a0
ϑε = −
νϑε = +
γ =
2a
Elementi rettangolari bi-lineari a 4 nodi (Q4)
Problemi Piani: Elementi 2D 12
2x
y
2xy
y2a
0
x2a
ϑε = −
ε =
ϑγ = −
2a
Siccome, come detto prima, i lati sono caratterizzati da spostamenti lineari, l’elemento a quattro nodi vede ruotare i lati, ma non può far diventare archi i bordi superiore ed inferiore
Ciò comporta che gli angoli retti non vengano mantenuti e quindi nascano γxy≠0 ovunque nell’elemento (tranne lungo l’asse y)
Alternativamente, possiamo vedere lo stesso effetto considerando che, per avere εx che varia con y, deve essere β4≠0, ma questa coordinata generalizzata appare anche in γxy così rendendolo non nullo
La conseguenza fisica di ciò è che l’elemento risulta (numericamente) troppo rigido se sottoposto a flessione perché il momento è resistito anche da scorrimenti spuri
Elementi rettangolari bi-lineari a 4 nodi (Q4)
Problemi Piani: Elementi 2D 13
2
2 11 1 1 aM M1 1 2 b
⎡ ⎤⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟+ ν − ν ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
Immaginiamo di applicare due momenti M1 e M2 tali per cui θ1=θ2
L’elemento diventa infinitamente rigido in flessione se a/b aumenta (“locking”) Bisogna evitare elementi rettangolari bi-lineari sollecitati a flessione e caratterizzati da un elevato rapporto dimensionale
σx costante lungo x, ma inferiore alla soluzione esatta (parte se ne va in scorrimento)
τxy maggiore per gli elementi soggetti a maggiore flessione
Flessione + taglio
Elementi rettangolari bi-lineari a 4 nodi (Q4)
Problemi Piani: Elementi 2D 14
Elementi rettangolari a 8 nodi (Q8)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 21 2 3 4 5 6 7 8
2 2 2 29 10 11 12 13 14 15 16
2x 2 4 5 7 8
2y 11 13 14 15 16
2 2xy 3 10 5 12 6 13 7 8 15 16
u x y x xy y x y xyv x y x xy y x y xy
2 x y 2 xy y
x 2 y x 2 xy
2 x 2 y x 2 xy y
= β +β +β +β +β +β +β +β
= β +β +β +β +β +β +β +β
ε = β + β +β + β +β
ε = β +β + β +β + β
γ = β +β + β + β + β +β +β + β +β +β
Non è soggetto a shear locking, perché può curvare i bordi
Problemi Piani: Elementi 2D 15
Esempio comparativo