Elementi finiti - Parte II - POLITECNICO DI TORINO · e t t o d i d a t t i c a i n r e t e ......

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ttica

in re

tePolitecnico di Torino, maggio 2002

Dipartimento di Meccanica

Elementi finitiParte II

A. Gugliotta

otto editore

otto

IPERTESTI Questo file contiene elementi di ipertesto (quando si ritiene possano essere d'aiuto alla lettura) segnalati mediante l'uso di oggetti colorati: riquadro blu: figure, tabelle sottolineato arancio: rimando a note, esempi sottolineato verde: rimando a equazioni Una selezione sul riferimento (es. n. equazione o figura) visualizza l'informazione a cui si fa riferimento (es. equazione o figura stesse) Una selezione sull'informazione (es. equazione o figura) riporta alla pagina di lettura. FORMATO Il formato della pagina e' 17x24 cm, come indicato dai crocini di taglio sulla copertina. Per stampare il documento mantenendo le corrette dimensioni dell'area stampata bisogna selezionare l'opzione di stampa che permette di non adattare l'area di stampa alle dimensioni della pagina. La procedura dipende dal tipo di stampante utilizzata.

ELEMENTI FINITIParte II

A. GUGLIOTTA

POLITECNICO DI TORINO

WWW.POLITO.IT

i

INDICE – II

3. RICHIAMI DI TEORIA DELL’ELASTICITÀ ......................91

3.1 STATO DI TENSIONE .......................................................... 91

Tensore delle tensioni........................................................................ 91Componenti normale e tangenziale del vettore delle tensioni ............93Direzioni e tensioni principali ...........................................................94Tensore deviatore e tensore sferico .....................................................96Tensione ottaedrica ...........................................................................97Equazione differenziale di equilibrio .................................................98

3.2 STATO DI DEFORMAZIONE .............................................. 99

Posizione e spostamento ....................................................................99Deformazione .................................................................................100Tensore della deformazione .............................................................101Deformazioni e direzioni principali .................................................106

3.3 LEGGI COSTITUTIVE DEI MATERIALI.......................... 107

Materiale anisotropo .......................................................................107Materiale omogeneo isotropo ed elastico lineare.............................. 109Stato piano di deformazione ............................................................110Stato piano di tensione ....................................................................111Problema assialsimmetrico .............................................................. 112

4. EQUAZIONE DEI LAVORI VIRTUALI ............................113

4.1 E

QUAZIONE

DEI

LAVORI

VIRTUALI

PER

UN

CONTINUO

......... 113

4.2 E

QUAZIONE

DEI

LAVORI

VIRTUALI

A

SPOSTAMENTI

ASSEGNATI

. 118

4.3 F

UNZIONI

DI

FORMA

.............................................................. 121

Descrizione mediante serie polinomiale........................................... 123Descrizione mediante funzioni di forma.......................................... 125

3. RICHIAMI DI TEORIA DELL’ELASTICITÀ

3.1 STATO DI TENSIONE

3.1.1 Tensore delle tensioni

Dato un continuo, si assume una superficie per un punto

P

, si individua su diessa un elemento di superficie

�

S

contenente il punto

P

(fig.

3.1

); sia inoltre {

n

}la normale alla superficie in

P

.

Fig. 3.1 – Vettore tensione.

91

Sia �F la forza che dall'esterno agisce sul corpo attraverso l'elemento di superfi-cie �S. Chiaramente il valore e la direzione della forza �F dipenderà dalla giaci-tura di �S, ovvero dal versore {n}.

Il vettore delle tensioni t coniugato al versore n è definito come:

3.1t{ }DF{ }DS

-------------DS 0Ælim=

RICHIAMI

DI

TEORIA

DELL

’

ELASTICITÀ

Conoscere completamente lo stato di tensione in un punto

P

significa conoscerei vettori della tensione agenti su di una giacitura qualsiasi, cioè tutte le possibilicoppie {

t

}, {

n

} nel punto

P

. Si è in grado di calcolare il vettore {

t

} coniugato aqualsiasi direzione {

n

} se si conosce lo stato di tensione su tre piani perpendico-lari per

P

.

Fig. 3.2 – Equilibrio dei vettori tensione.

92

Si prenda nel punto P una terna di assi di riferimento ortogonale e si definisca unelemento tetraedrico (fig. 3.2). La faccia obliqua del tetraedro ha area , mentrele facce ortogonali agli assi x, y, z hanno rispettivamente aree .

Su ciascuna delle tre facce perpendicolari agli assi di riferimento cartesianisaranno definiti i vettori delle tensioni coniugati rispettiva-mente ai versori i, j, k. In figura sono rappresentati i vettori delle tensioni agentisulla parte negativa delle facce coordinate (coniugati cioè ai versori –i, –j, –k) percui i vettori della tensione sono indicati con il segno negativo. Sulla faccia obli-qua è definito invece il vettore coniugato al versore .

L'equazione di equilibrio alla traslazione comporta:

3.2

avendo indicato con le forze per unità di massa (ad es. forze di gravità od'inerzia) e con:

3.3

Sostituendo le 3.3 nella 3.2 e notando che le forze di volume, al tendere dell'ele-mento a zero, tendono a zero più rapidamente delle forze di superficie (il volume

è infinitesimo di ordine superiore rispetto alle aree ), si ha:

3.4

ovvero:

3.5

dSdSx dSy dSz,,

tx{ } ty{ } tz{ },,

t{ } n{ }

t{ }dS tx{ }dSx– ty{ }dSy tz{ }dSz– f{ }dV+– 0=

f{ }

dSx Sd nx◊= dSy Sd ny◊= dSz Sd nz◊=

dV dS

t{ }dS tx{ } Sd nx◊– ty{ } Sd ny◊ tz{ } Sd nz◊–– 0=

t{ } tx{ }nx ty{ }ny tz{ }nz++=

RICHIAMI

DI

TEORIA

DELL

’

ELASTICITÀ

93

e in forma matriciale:

3.6

L’eq.

3.6

mostra che per conoscere il vettore della tensione in un punto bastaconoscere i vettori della tensione su tre superficie ortogonali per quel punto.

Le nove componenti dei vettori della tensione sulle tre superficie ortogonali sonole componenti di un tensore cartesiano del secondo ordine, detto tensore delletensioni; la

3.6

ne indica la rappresentazione matriciale.

Si può poi dimostrare che, in assenza di momenti per unità d'area, l'equilibrioalla rotazione porta a:

3.7

È prassi normale, in campo ingegneristico, indicare il tensore delle tensioni con isimboli:

3.8

e in forma compatta:

3.9

3.1.2 Componenti normale e tangenziale del vettore delle tensioni

Dato un punto

P

in un continuo e definito un sistema cartesiano di riferimento,si è visto che ad ogni direzione è coniugato un vettore della tensione .

La componente normale del vettore di tensione, cioè lo scalare che rappre-senta il valore della tensione perpendicolare alla superficie di riferimento è(fig.

3.3

):

3.10

La componente tangente alla superficie si ottiene dal teorema di Pitagora:

3.11

tx

ty

tzÓ þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸ txx tyx tzx

txy tyy tzy

txz tyz tzz

nx

ny

nzÓ þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

=

tij tji=

s[ ]sxx tyx tzx

txy syy tzy

txz tyz szz

=

t{ } s[ ] n{ }=

n{ } t{ }sN

sN t{ }T n{ } n{ }T t{ } n{ }T s[ ] n{ }= = =

sT

sT2 sN

2+ t{ }T t{ }=

RICHIAMI DI TEORIA DELL’ELASTICITÀ

Fig. 3.3 – Componenti normale e tangenziale.

3.1.3 Direzioni e tensioni principali

Si è visto come data una direzione il vettore della tensione ad essaconiugato non abbia in generale la stessa direzione di { n }. Esistono però dire-zioni per le quali il vettore coniugato è collineare: queste direzionisono dette direzioni principali.

Per queste direzioni particolari la è nulla e la , (indicata con , ten-sione principale), è il modulo di ; si ha quindi:

3.12

Ricordando che il vettore delle tensioni può essere sempre espresso da:

3.13

si ottiene, per le direzioni principali:

3.14

n{ } t{ }

n{ } t{ }

sT sN spt{ }

t{ } sp n{ }=

t{ } s[ ] n{ }=

sp n{ } s[ ] n{ }=

3.15s[ ] sp–( ) n{ } 0=

94

Si ha un sistema omogeneo di tre equazioni nelle quattro incognite e .Questo è soddisfatto solo da valori nulli di , e cioè da direzioni indetermi-nate, a meno che il determinante dei coefficienti sia nullo.

3.16

È quindi un classico problema di autovalori e, siccome il tensore delle tensioni è reale e simmetrico, si può dimostrare che i tre autovalori sono reali e i tre

n{ } spn{ }

det

sxx sp – syx szx

sxy syy sp – szy

sxz syz szz sp –

0=

s[ ]


autovettori sono ortogonali. La soluzione del problema può essere trovata scri-vendo il polinomio caratteristico:

3.17

dove i coefficienti I, II e III sono detti rispettivamente primo, secondo e terzoinvariante delle tensioni; essi sono dati da:

3.18

Le direzioni principali {n1}, {n2}, {n3} si ricavano sostituendo rispettivamente letensioni principali �1, �2, �3 nella 3.15. Da notare che le tensioni principali nondipendono dal particolare sistema di riferimento; il tensore delle tensioni, nelsistema di riferimento principale {n1}, {n2}, {n3} è dato da:

3.19

Caso dello stato di tensione piano

Esiste un caso in cui note le tensioni in un sistema di riferimento non principale,è possibile calcolare direttamente le tensioni principali. Questo è il caso dellostato di tensione piano, in cui si conosce una delle tre direzioni principali.

sp3 I sp

2◊– II sp III–◊+ 0=

I Tr s[ ] sxx syy szz+ += =

II Tr cof s[ ][ ] sxxsyy

syyszz szzsxx sxy2– syz

2 sxz2––+ += =

III sxxsyyszz 2sxysyzsxz sxx– syz2 syysxz

2– szzsxy2–+=

s[ ]s11 0 0

0 s22 0

0 0 s33

=

Fig. 3.4 – Stato di tensione bidimensionale.

95

La figura 3.4 illustra il caso in cui è nota a priori la direzione n3 e caratterizzatodalla seguente relazione:


96

3.20

Le tensioni principali �1, �2 sono date da:

3.21

3.1.4 Tensore deviatore e tensore sferico

Dato un tensore delle tensioni:

3.22

il primo invariante I è dato da:

3.23

e si può calcolare una tensione media �m pari a:

3.24

Il tensore delle tensioni può essere pensato come somma di:

3.25

avendo definito un tensore sferico o idrostatico �S:

3.26

e un tensore deviatore �D:

tx

ty

tzÓ þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸ sxx sxy 0

syx syy 0

0 0 szz

nx

ny

nzÓ þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

=

s1 2,sxx syy+

2--------------------- sxy

2sxx syy–

2---------------------Ë ¯

Ê �2

+±=

s[ ]sxx syx szx

sxy syy szy

sxz syz szz

=

I Tr s[ ] sxx syy szz+ += =

smI3---

sxx syy szz+ +

3-----------------------------------= =

s[ ] sS[ ] sD[ ]+=

sS[ ]sm 0 0

0 sm 0

0 0 sm

=


3.27

ovviamente il primo invariante del tensore deviatore è nullo, mentre il secondoinvariante vale:

3.28

3.1.5 Tensione ottaedrica

I piani ottaedrici sono quei piani le cui normali hanno coseni direttori di ugualvalore rispetto agli assi coordinati x1, x2, x3 (fig. 3.5).

3.29

Su questi piani la componente normale della tensione vale:

3.30

s[ ]sxx sm– syx szx

sxy syy sm– szy

sxz syz szz sm–

=

II¢ 3sm II–s1 s2–( )2 s1 s3–( )2 s2 s3–( )2+ +

6-----------------------------------------------------------------------------------------= =

l m n 1

3-------= = =

sN

sN s1l 2 s2m2 s3n2+ +=

Fig. 3.5 – Piani ottaedrici.

97

3.31

mentre la componente tangenziale �T vale:

sN

s1

3------

s2

3------

s3

3------+ +=


3.32

3.33

3.1.6 Equazione differenziale di equilibrio

sT2 s1

2l 2 s22m2 s3

2n2 sN2 =–+ +=

=s1 s2–( )2 s1 s3–( )2 s2 s3–( )2+ +

9-----------------------------------------------------------------------------------------

sT

s1 s2–( )2 s1 s3–( )2 s2 s3–( )2+ +

3--------------------------------------------------------------------------------------------- 2II¢

3---------= =

Fig. 3.6 – Campo elementare di tensione.

98

Si consideri un elemento di volume dx1, dx2, dx3 in un sistema di riferimentocartesiano x1, x2, x3 (fig. 3.6).

L'equazione di equilibrio lungo la direzione x1 è:

3.34

ovvero:

s1112---

x1∂∂s11 x1d–

Ë ¯Á �Ê �

x2d x3d– s1112---

x1∂∂s11 x1d+

Ë ¯Á �Ê �

x2d x3d+

s2112---

x2∂∂s21 x2d–

Ë ¯Á �Ê �

x1d x3d– s2112---

x2∂∂s21 x2d+

Ë ¯Á �Ê �

x1d x3d+

s3112---

x3∂∂s31 x3d–

Ë ¯Á �Ê �

x1d x2d– s3112---

x3∂∂s31 x3d+

Ë ¯Á �Ê �

x1d x2d+

+ f1 x1d x2 x3dd 0=


3.35

e analogamente per gli assi x2, x3. Complessivamente si ha quindi:

3.36

3.2 STATO DI DEFORMAZIONE

3.2.1 Posizione e spostamento

La figura 3.7 illustra una porzione di continuo in cui sono individuati due puntiP e Q distanti tra loro dX. Si supponga ora di applicare al continuo in esame unsistema di carichi esterni, per effetto del quale i punti si sposteranno nella nuovaposizione p e q.

x1∂∂s11

x2∂∂s21

x3∂∂s31 f1+ + + 0=

x3i∂∂sij

i 1=

3

Â fj+ 0= j 1 2 3, ,=( )

Fig. 3.7 – Spostamento e deformazione.

99

La distanza Pp è detta spostamento di P, mentre la distanza Qq rappresenta lospostamento di Q.

Se il segmento pq è uguale e parallelo al segmento PQ allora lo spostamentoimplica una traslazione pura, se i due segmenti non sono paralleli allora lo spo-stamento include anche una rotazione oltre alla traslazione.

Se il segmento pq non è uguale al segmento PQ allora si ha uno spostamentorelativo tra i punti P e Q e oltre alla traslazione e alla rotazione si ha uno stato dideformazione.


Per deformazione si intende quindi il cambio di forma e di volume del continuotra una configurazione di riferimento (generalmente coincidente con quellaindeformata) all'istante t = 0 ed una configurazione finale ad un istante t = tf.

La configurazione di riferimento è definita in un sistema di coordinate cartesianeX, Y, Z, dette coordinate materiali, mentre la configurazione finale è definita inun sistema di coordinate cartesiane x, y , z , dette coordinate spaziali.

Le leggi della meccanica si prefiggono di ottenere la posizione di un punto altempo t conoscendo la posizione iniziale e la legge del moto; si ha pertanto:

3.37

Questo modo di rappresentazione, detto Lagrangiano, consiste nel seguire unostesso punto nel tempo. È tipico dei problemi di meccanica strutturale nei quali,ad esempio, il continuo, sotto forma di solido rigido o deformabile, si muovenello spazio, cambiando posizione e forma.

Una altra rappresentazione, inversa della prima, è data da:

3.38

Questo modo di rappresentazione, detto Euleriano, consiste nel seguire diversipunti materiali che passano per una determinata posizione spaziale nel tempo. Ètipico dei problemi di meccanica dei fluidi nei quali, ad esempio, i punti si muo-vono entro forme geometriche definite.

Nel seguito si farà riferimento ad una descrizione Lagrangiana del moto.

3.2.2 Deformazione

Per studiare lo stato di deformazione in un continuo occorre analizzare il com-portamento di due punti adiacenti a distanza infinitesima dX (fig. 3.8).

x{ } f X{ } t, )(=

X{ } g x{ } t,( )=

Fig. 3.8 – Misura della dilatazione.

100


Siano P e Q due punti a distanza infinitesima dX nella configurazione indefor-mata (fig. 3.8). Dopo deformazione i punti si spostano nelle posizioni indivi-duate dai punti p e q distanti tra loro dx.

La deformazione di può manifestare in due modi: un cambiamento di volume odilatazione e un cambiamento di forma o distorsione.

La misura della dilatazione è data dall'allungamento relativo e del segmento dX,definito come:

3.39e dx dX–dX

--------------------------=

La figura 3.9 illustra il caso di una deformazione per distorsione in cui il rettan-golo originariamente indeformato ABCD si trasforma nel parallelogrammoA'B'C'D'.

Fig. 3.9 – Misura della distorsione.

La misura della distorsione è definita da:

3.40

3.2.3 Tensore della deformazione

La quantità (dx)2 – (dX )2 è utilizzata come misura della deformazione tra i duepunti adiacenti P e Q:

ED¢EA¢---------- gtan g= =

3.41dx( )2 dX( )2– dx{ }T dx{ } dX{ }T dX{ }– 2 dX{ }T L[ ] dX{ }= =

101

dove [L], detto tensore di Green-Lagrange, è:

3.42L[ ]exx exy exz

eyx eyy eyz

ezx ezy ezz

=


con:

3.43

Si è definito (eq. 3.39) allungamento relativo e del segmento dX la quantità:

3.44

Dalla 3.41 si ha:

3.45

e dividendo due volte per il modulo di {dX }, avendosi {n} = {dX }/|dX |:

exx X∂∂u 1

2---

X∂∂u

Ë ¯Ê �

2

X∂∂v

Ë ¯Ê �

2

X∂∂w

Ë ¯Ê �

2

+ ++=

eyy Y∂∂v 1

2---

Y∂∂u

Ë ¯Ê �

2

Y∂∂v

Ë ¯Ê �

2

Y∂∂w

Ë ¯Ê �

2

+ ++=

ezz Z∂∂w 1

2---

Z∂∂u

Ë ¯Ê �

2

Z∂∂v

Ë ¯Ê �

2

Z∂∂w

Ë ¯Ê �

2

+ ++=

exy12---

X∂∂v

Y∂∂u

X∂∂u

Y∂∂u◊

X∂∂v

Y∂∂v◊

X∂∂w

Y∂∂w◊+ + + +Ë ¯

Ê �=

eyz12---

Y∂∂w

Z∂∂v

Y∂∂u

Z∂∂u◊

Y∂∂v

Z∂∂v◊

Y∂∂w

Z∂∂w◊+ + + +Ë ¯

Ê �=

exz12---

Z∂∂u

X∂∂v

X∂∂u

XZ∂∂u◊

X∂∂v

XZ∂∂v◊

X∂∂w

Z∂∂w◊+ + + +Ë ¯

Ê �=

e dx dX–dX

--------------------------=

dx( )2 dX( )2– dx{ }T dx{ } dX{ }T dX{ }– 2 dX{ }T L[ ] dX{ }= =

3.46dx{ }T dx{ }

dX 2---------------------------- n{ }T n{ }– 2 n{ }T L[ ] n{ }=

102

e la quantità definita stretch ratio:

3.47

dx{ }T dx{ }dX 2

---------------------------- 2 n{ }T L[ ] n{ } n{ }T n{ }=+=

= 2 n{ }T L[ ] I[ ]+( ) n{ }


Nel caso di un elemento posto inizialmente lungo l'asse X (fig. 3.10), lo stretchratio è:

3.48

Dalla 3.46 si ha ancora essendo {n}T{n} = 1:

3.49

L'allungamento relativo e si calcola quindi come:

3.50

e nel caso di un elemento posto inizialmente lungo l’asse X:

3.51

dx{ }T dx{ }dX 2

---------------------------- 2 1 0 0{ } L[ ] I[ ]+( )1

0

0Ó þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

2L11 1+= =

dx{ }T dx{ }dX 2

---------------------------- 1– 2 n{ }T L[ ] n{ }=

e dxdX

---------- 1– 2 n{ }T L[ ] I[ ]+( ) n{ } 1–= =

e dxdX

---------- 1– 2 1 0 0{ } L[ ] I[ ]+( )100Ó þ

Ô ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

1=–= =

= 2e11 1+ 1–

3.52e 1 2X∂

∂uX∂

∂uË ¯Ê �

2

X∂∂v

Ë ¯Ê �

2

X∂∂w

Ë ¯Ê �

2

+ + + + 1–=

Fig. 3.10 – Elemento lungo l’asse X.

103


104

Si considerino ora (fig. 3.11) due segmenti inizialmente posti sugli assi X e Y edopo deformazione su linee di direzione e giacenti sul piano XY; i due seg-menti che inizialmente formavano un angolo retto formano ora un angolo J.

I moduli dei segmenti inizialmente posti su gli assi X e Y valgono:

3.53

mentre i vettori e valgono:

3.54

e il loro prodotto scalare vale:

3.55

ovvero:

3.56

e infine:

n m

dxdX

---------- 2L11 1+=

dydY

---------- 2L22 1+=

n m

n{ }TX∂

∂xX∂

∂yX∂

∂z

Ó þÌ ýÏ ¸

= m{ }TY∂

∂xY∂

∂yY∂

∂z

Ó þÌ ýÏ ¸

=

X∂∂x

Y∂∂x

X∂∂y

Y∂∂y

X∂∂z

Y∂∂z

+ + 2L12=

2L11 1+ 2L22 1+ Jcos g 12sin=

3.57g 12sin2L12

2L11 1+ 2L22 1+--------------------------------------------------=

Fig. 3.11 – Distorsione di due segmenti.


105

In molti problemi applicativi è possibile trascurare, nella valutazione delle defor-mazioni, i termini di ordine superiore al primo, in quanto le deformazioni sonopiccole in confronto alle dimensioni delle strutture. Nel caso di piccoli gradientidi deformazione e piccoli spostamenti la misura delle deformazioni si riducequindi a:

3.58

con [E ] tensore lineare delle deformazioni:

3.59

dove i termini della matrice sono, in termini ingegneristici:

3.60

In termini matriciali le 3.60 si scrivono, nel caso di problemi tridimensionali:

3.61

e nel caso di problemi bidimensionali:

dx( )2 dX( )2– 2 dX{ }T E[ ] dX{ }=

E[ ]

exx12---g xy

12---g xz

12---g yx eyy

12---g yz

12---g zx

12---g zy ezz

=

eii Xi∂∂ui= g ij Xj∂

∂ui

Xi∂∂uj+=

exx

eyy

ezz

g xy

g yz

g xzÓ þÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸

X∂∂u

0 0

0Y∂

∂v0

0 0Z∂

∂w

Y∂∂u

X∂

∂v0

0 Z∂

∂vY∂

∂w

Z∂∂u

0X∂

∂v

uvwÓ þ

Ô ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

=


106

s 3.62

L’allungamento relativo e di un elemento posto inizialmente lungo l'asse X(eq. 3.52) diventa in tal caso:

3.63

e coincide con il primo termine sulla diagonale principale della matrice [E ], ten-sore lineare delle deformazioni; gli elementi sulla diagonale principale di [E ]hanno quindi il significato di allungamento relativo lungo i tre assi del sistema diriferimento iniziale.

La 3.57 diventa invece:

3.64

I termini fuori della diagonale principale rappresentano metà della variazioned'angolo fra due direzioni originariamente perpendicolari fra loro.

Le componenti �ij sono dette componenti ingegneristiche del taglio, mentre le eij.sono dette componenti classiche della deformazione, con:

3.65

È da notare comunque che nel caso più generale di gradienti di spostamenti edeformazioni non trascurabili gli elementi del tensore delle deformazioni finite[L] non rappresentano direttamente le deformazioni.

3.2.4 Deformazioni e direzioni principali

Si definiscono direzioni principali per la deformazione quelle direzioni che nonmutano durante la deformazione; cioè segmenti lungo tali direzioni si allunganoo si accorciano senza cambiare direzione. Chiaramente questa definizione valesolo per quella parte della deformazione corrispondente alla deformazione pura

exx

eyy

g xyÓ þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸ X∂

∂u0

0Y∂

∂v

Y∂∂u

X∂∂v

uvÓ þ

Ì ýÏ ¸

=

e 1 2X∂

∂u+ 1– 1

X∂∂u 1–+

X∂∂u exx= = = =

g 12sin g 12

2E12

1 2E11+ 1 2E22+-------------------------------------------------- = = =

2E12 1 E11–( ) 1 E22–( )X∂

∂uX∂

∂v+= =

g ij 2eij=


107

([E ]), escludendo quindi l'effetto della rotazione rigida.

Lungo una tale direzione si può allora scrivere:

3.66

e riferendosi al segmento unitario (dividendo cioè per dX ) si ha:

3.67

dove {n} è il vettore dei coseni direttori {nX, nY, nZ}.

La soluzione per {n} esiste solo se è nullo il determinante della matrice dei coeffi-cienti:

3.68

Analogamente a quanto visto per le tensioni, si ottiene una equazione cubica in� le cui soluzioni forniscono le deformazioni principali:

3.69

Le quantità I, II, III sono dette invarianti; in particolare il primo invariante:

3.70

ha il significato di dilatazione cubica.

3.3 LEGGI COSTITUTIVE DEI MATERIALI

3.3.1 Materiale anisotropo

Si supponga di essere nel caso di spostamenti infinitesimi, in cui le coordinatefinali (x , y , z) si confondono con le coordinate iniziali (X, Y, Z ); in tal caso letensioni � (generalmente tensioni di Cauchy riferite in coordinate finali) e ledeformazioni e (generalmente riferite al sistema indeformato) possono esseredescritte nello stesso sistema di riferimento (quello iniziale). Le equazioni costi-tutive per un solido in campo lineare elastico legano tra loro il tensore delle ten-sioni e quello delle deformazioni tramite la seguente espressione tensoriale, nota

du{ } E[ ] dX{ } l dX{ }= =

E[ ] l I[ ]–( ) n{ } 0=

det

X∂∂u l –

12---

Y∂∂u

X∂∂v+Ë ¯

Ê � 12---

Z∂∂u

X∂∂w+Ë ¯

Ê �

12---

X∂∂v

Y∂∂u+Ë ¯

Ê � Y∂

∂v l –12---

Z∂∂v

Y∂∂w+Ë ¯

Ê �

12---

X∂∂w

Z∂∂u+Ë ¯

Ê � 12---

Y∂∂w

Z∂∂v+Ë ¯

Ê � Z∂

∂w l–

0=

l3 Il2– IIl III–+ 0=

IX∂

∂uY∂

∂vZ∂

∂w+ +=


108

come legge di Hook:

3.71

Il tensore di elasticità Eijhk ha 81 componenti; data però la simmetria dei tensoridella deformazione e della tensione, queste componenti si riducono a 36, e sipuò poi dimostrare che affinché il sistema di forze sia conservativo (cioè affinchéesista una funzione potenziale elastica) il tensore di elasticità deve essere simme-trico, riducendo così a 21 il numero delle costanti indipendenti.

3.72

In presenza di particolari simmetrie strutturali il numero dei coefficienti indi-pendenti diminuisce. Ad esempio nel caso dei materiali ortotropi, che ammet-tono tre piani di simmetria mutuamente ortogonali, le relazioni tensionideformazioni, scritte nel sistema di riferimento coincidente con gli assi di sim-metria, diventano:

3.73

dove, per la simmetria della matrice [D], valgono le relazioni:

sij Eijhk ehk=

exx

eyy

ezz

g xy

g yz

g xzÓ þÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸ D11 D12 D13 D14 D15 D16

D21 D22 D23 D24 D25 D26

D31 D32 D33 D34 D35 D36

D41 D42 D43 D44 D45 D46

D51 D52 D53 D54 D55 D56

D61 D62 D63 D64 D65 D66

sxx

syy

szz

txy

tyz

txzÓ þÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÔ ÔÔ ÔÏ ¸

=

exx

eyy

ezz

g xy

g yz


1E1-----

n21

E2------- –

n31

E3------- – 0 0 0

n12

E1------- –

1E2-----

n32

E3------- – 0 0 0

n13

E1------- –

n23

E2------- –

1E3----- 0 0 0

0 0 0 1

G12-------- 0 0

0 0 0 0 1

G23-------- 0

0 0 0 0 0 1

G13--------

sxx

syy

szz

txy

tyz


=


109

3.74

dove E1, E2, E3 sono rispettivamente i moduli di elasticità longitudinale nelledirezioni degli assi di simmetria x , y , z ; �12, �21, �13, �31, �23, �32 sono i coef-ficienti di Poisson ( caratterizza la deformazione trasversale in direzione j peruna sollecitazione in direzione i ) e G12, G23, G13 sono i moduli di elasticità tan-genziali caratteristici dei piani paralleli ai piani di simmetria elastica.

3.3.2 Materiale omogeneo isotropo ed elastico lineare

Per i materiali isotropi il numero delle costanti elastiche indipendenti si riduce a 2;il legame tra tensioni e deformazioni, espresso in termini dei coefficienti di Lamè� e �, è dato da:

3.75

dove �ij è il delta di Kronecker e ev è la dilatazione cubica:

3.76

I coefficienti di Lamè, in funzione del modulo elastico longitudinale (modulo diYoung) E e del coefficiente di Poisson � sono:

3.77

dove G è il modulo di taglio. In forma inversa le relazioni precedenti sono:

3.78

Le relazioni inverse deformazioni tensioni sono date da:

3.79

avendo indicato con �m la tensione idrostatica, pari a:

3.80

In termini di parametri elastici la legge di Hook si scrive:

n12

E1-------

n21

E2-------=

n13

E1-------

n31

E3-------=

n23

E2-------

n32

E3-------=

nij

sij dijlev 2meij+=

ev exx eyy ezz+ +=

l En1 n+( ) 1 2n–( )

--------------------------------------= n E2 1 n+( )-------------------- G= =

E m 3l 2m+( )l m+

----------------------------= n l2 l m+( )---------------------=

eij dij3

2m 3l 2m+( )------------------------------- sm–

12m------sij–=

sm

sxx syy szz+ +

3-----------------------------------=


110

3.81

In termini matriciali:

3.82

3.83

Le relazioni inverse danno:

3.84

3.85

3.3.3 Stato piano di deformazione

In uno stato piano di deformazione, assunto l'asse z perpendicolare al piano inesame, si ha:

3.86

e quindi:

eii1E--- sii n sjj skk+( )–[ ]=

g ij1G----tij

2 1 n+( )E

--------------------tij= =

exx

eyy

ezz

g xy

g yz


1E---

1 n– n– 0 0 0n– 1 n– 0 0 0n– n– 1 0 0 0

0 0 0 21 n+ 0 00 0 0 0 21 n+ 00 0 0 0 0 21 n+

sxx

syy

szz

txy

tyz


=

e{ } D[ ] s{ }=

sxx

syy

szz

txy

tyz


E1 n+( ) 1 2n–( )

--------------------------------------

1 n– n n 0 0 0 n 1 n– n 0 0 0 n n 1 n– 0 0 0

0 0 01 2n–

2--------------- 0 0

0 0 0 01 2n–

2--------------- 0

0 0 0 0 01 2n–

2---------------

exx

eyy

ezz

g xy

g yz


=

s{ } E[ ] e{ }=

ezz g xz g yz 0= = =


111

3.87

e la relazione inversa:

3.88

con:

3.89

3.3.4 Stato piano di tensione

In uno stato piano di tensione assunto l'asse z perpendicolare al piano in esame,si ha:

3.90

e quindi:

3.91

con:

3.92

e la relazione inversa:

3.93

exx

eyy

g xyÓ þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

1 n+E

------------1 n– 0n– 1 00 0 2

sxx

syy

txyÓ þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

=

sxx

syy


E1 n+( ) 1 2n–( )

--------------------------------------

1 n– n 0n 1 n– 0

0 01 2n–

2---------------

exx

eyy


=

szz n sxx syy+( )=

szz txz tyz 0= = =

exx

eyy


1E---

1 n– 0n– 1 0

0 0 21 n+

sxx

syy


=

ezznE--- sxx syy+( )–=

sxx

syy


E1 n2–--------------

1 n 0n 1 0

0 01 n–

2------------

exx

eyy


=


112

3.3.5 Problema assialsimmetrico

La presenza di simmetrie assiali nella geometria e nella distribuzione dei carichiesterni riduce a quattro le componenti significative del vettore delle deforma-zioni e delle tensioni. con riferimento ad un sistema di coordinate cilindriche r,J, dove z indica l'asse di simmetria, sono infatti non nulle le seguenti compo-nenti:

3.94

Il legame tensioni deformazioni è dato da:

3.95

s{ }T srr szz sJJ tyz{ }=

e{ }T err ezz eJJ g yz{ }=

srr

szz

sJ J

trzÓ þÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÏ ¸

E1 n+( ) 1 2n–( )

--------------------------------------

1 n– n n 0 n 1 n– n 0 n n 1 n– 0

0 0 01 2n–

2---------------

err

ezz

eJ J

g rzÓ þÔ ÔÔ ÔÌ ýÔ ÔÔ ÔÏ ¸

=

4. EQUAZIONE DEI LAVORI VIRTUALI

4.1 E

QUAZIONE

DEI

LAVORI

VIRTUALI

PER

UN

CONTINUO

Si consideri, in un sistema di riferimento ortogonale cartesiano, un elemento divolume infinitesimo di lati

dx

1

,

dx

2

,

dx

3

(o, indifferentemente

dx

,

dy

,

dz

).

Fig. 4.1 – Componenti di tensione.

113

L'equazione di equilibrio alla traslazione secondo la direzione j-esima è, in nota-zione tensoriale (fig. 4.1):

4.1

Inoltre per l'equilibrio alla rotazione attorno all'asse j-esimo si ha:

4.2

xi∂∂sij fj+ 0=

sik ski=

EQUAZIONE

DEI

LAVORI

VIRTUALI

La figura

4.2

illustra invece un campo di spostamenti virtuale applicato allostesso elemento di volume

dx

1

,

dx

2

,

dx

3

. Gli spostamenti virtuali devono esserecongruenti e piccoli a partire dalla configurazione di equilibrio.

È opportuno, a questo punto definire esattamente il significato dei simboli

d

o

∂

e

�

:

–

d

e

∂

rappresentano differenziale e derivazione secondo coordinate,cioè è l'osservatore che si sposta da un punto

P

a un punto

P

+

dP

(variazione di una grandezza, nel medesimo istante, fra due punti adistanza infinitesima)

–

�

rappresenta la variazione (infinitesima) di posizione del punto

P

,dovuta all'applicazione di un campo di spostamenti; cioè è il punto

P

che si muove rispetto all'osservatore (variazione di una grandezza, rela-tiva ad un punto, fra due istanti successivi)

Si calcoli ora il lavoro virtuale compiuto dal campo delle tensioni reali quando èapplicato un campo di spostamenti virtuale. Si consideri, a questo scopo, la fac-cia dell'elemento di volume perpendicolare all'asse

x

i

, di area

dA

i

:

4.3

La somma dei lavori virtuali sulle facce entrante e uscente vale:

Aid xmd xnd= n m iπ π( )

4.4sikduk Aid– sik xi∂∂sik xid+

Ë ¯Á �Ê �

duk xi∂∂ duk( ) xid+Ë ¯

Ê � Aid+k 1=

3

Â

Fig. 4.2 – Campo di spostamenti virtuali.

114

Sommando e trascurando i termini infinitesimi di ordine superiore, si ha:

EQUAZIONE

DEI

LAVORI

VIRTUALI

115

4.5

e infine sommando per le tre direzioni (

i

= 1,2,3):

4.6

Scambiando l'operatore

∂

con la variazione virtuale infinitesima

�

:

4.7

il secondo termine dell'equazione del lavoro virtuale risulta:

4.8

dall'equazione di equilibrio alla rotazione si ha:

4.9

e, sostituendo al simbolo

�

il simbolo

�

, si ottengono i termini ad indici misti:

4.10

si ha quindi:

4.11

così

�

e

ii

e

��

ik

fanno lavoro rispettivamente per

�

ii

e

�

ik

, cioè sono gli uniconiugati agli altri nel lavoro. Formalmente l'espressione precedente si può scri-vere come prodotto scalare fra due vettori:

4.12

xi∂∂sik duk sik xi∂

∂ duk +Ë ¯Á �Ê �

Vdk 1=

3

Â

xi∂∂sik duk sik xi∂

∂ duk +Ë ¯Á �Ê �

Vdk 1=

3

Âi 1=

3

Â

xi∂∂ duk d

xi∂∂uk=

sik dxi∂

∂uk

k 1=

3

Âi 1=

3

Â s11de11 s22 de22 s33de33++ +=

+s12dx1∂

∂u2 s21dx2∂

∂u1 s13dx1∂

∂u3 s31dx3∂

∂u1 s23dx2∂

∂u3 s32dx3∂

∂u2+ + + + +

sik ski=

tik dxi∂

∂uk dxk∂

∂ui+Ë ¯Á �Ê �

tikdg ik=

sik dxi∂

∂uk

k 1=

3

Âi 1=

3

Â s11de11 s22de22 s33de33++ +=

+t12dg 12 t13dg 13 t23dg 23+ +

sik dxi∂

∂uk

k 1=

3

Âi 1=

3

Â s{ }T de{ } de{ }T s{ }= =

EQUAZIONE DEI LAVORI VIRTUALI

116

Il primo termine dell'equazione del lavoro virtuale si scrive:

4.13

e, per l'equilibrio alla traslazione:

4.14

e, come prodotto scalare fra due vettori:

4.15

Riassumendo, si ha:

4.16

e, sommando a tutti gli elementi di volume, cioè integrando in dV:

4.17

L'espressione 4.4 può essere direttamente sommata a tutti gli elementi prima diun'ulteriore elaborazione; ad esempio il lavoro sulla faccia i-esima uscente è:

4.18

ovvero, detta dFk la forza sulla faccia i-esima uscente:

4.19

e lo spostamento della faccia i-esima:

4.20

si ha:

xi∂∂sik duk

k 1=

3

Âi 1=

3

Â x1∂∂s1k

x2∂∂s2k

x3∂∂s3k+ +

Ë ¯Á �Ê �

dukk 1=

3

Â=

xi∂∂sik duk

k 1=

3

Âi 1=

3

Â fkdukk 1=

3

Â–=

xi∂∂sik duk

k 1=

3

Âi 1=

3

Â f{ }T du{ }– du{ }T f{ }–= =

xi∂∂ sik duk sik xi∂

∂ duk +Ë ¯Á �Ê �

Vdk 1=

3

Âi 1=

3

Â de{ }T s{ } du{ }T f{ }–( )dV=

de{ }T s{ }dVVÚ du{ }T f{ }dV

VÚ–

sik xi∂∂sik xid+

Ë ¯Á �Ê �

Ai duk xi∂∂ duk xid+Ë ¯

Ê �dk 1=

3

Â

dFk sik xi∂∂sik xid+

Ë ¯Á �Ê �

Aid=

uk*

duk* duk xi∂

∂ duk xid+Ë ¯Ê �=


4.21

Siccome però su due facce opposte, combacianti (fig. 4.3), lo spostamento vir-tuale è lo stesso mentre le forze risultanti sono uguali in valore assoluto e oppostein segno, i lavori virtuali compiuti su due facce coincidenti si elidono a due adue:

4.22

Restano così diversi da zero i soli lavori sulle facce libere:

4.23

dove A è la superficie libera. Elaborando ulteriormente si ottiene:

4.24

ovvero:

4.25

integrale, anche questo, del lavoro virtuale specifico. Uguagliando allora le duediverse formulazioni dello stesso integrale, si ottiene l'equazione dei lavori vir-tuali:

dFkduk*

k 1=

3

Â

dFkduk* dFk–( ) duk

*( )+ 0=

sikduk AidAÚ

i 1=

3

Âk 1=

3

Â

sikduk AidAÚ

i 1=

3

Âk 1=

3

Â s1k A1d s2k A2d s3k A3d+ +( )duk=AÚ

k 1=

3

Â=

= s1k n1d s2k n2d s3k n3d+ +( )duk AdAÚ

k 1=

3

Â tkduk AdAÚ

k 1=

3

Â=

tkduk AdAÚ

k 1=

3

Â t1du1 t2du2 t3du3+ +( ) AdAÚ du{ }T t{ } Ad

AÚ= =

4.26du{ }T t{ } AdAÚ de{ }T s{ } Vd

VÚ du{ }T f{ } VdVÚ–=

Fig. 4.3 – Lavoro virtuale su facce opposte.

117


118

Un fatto analogo si trova anche in altri problemi di campo, dove però il camporiguarda uno scalare, il cui gradiente è un vettore, mentre qui riguarda un vettoreil cui gradiente è un tensore.

Spesso lo stesso risultato si trova scritto:

4.27

dove [n] è la matrice dei coseni direttori, [∂] è l'operatore di derivazione parziale;l'equazione precedente si può ottenere integrando per parti ed applicando il teo-rema della divergenza, da:

4.28

Da notare che:

4.29

4.2 EQUAZIONE DEI LAVORI VIRTUALI A SPOSTAMENTI ASSEGNATI

La legge di spostamento di tutti i punti di un continuo deformabile può essereespressa come:

4.30

dove {u} è il vettore degli spostamenti, [n] è la matrice delle funzioni di forma e{ s } è il vettore degli spostamenti nodali.

Mediante opportune trasformazione è possibile calcolare la relazione:

4.31

dove {e} è il vettore delle deformazioni e [b] è la matrice di deformazione.

Tensioni e deformazioni sono legate dalla relazione:

4.32

dove {�} è il vettore delle tensioni.

Se era già presente, prima di applicare il campo degli spostamenti, uno stato ditensione , e se inoltre una parte della deformazione non è dovutaall'applicazione di tensioni (ad esempio come nel caso di una dilatazione ter-mica) la 4.32 si trasforma nella:

n[ ] s{ }( )T du{ } AdAÚ ∂[ ] s{ }( )T du{ } Vd

VÚ s{ }T ∂[ ] du{ }( ) VdVÚ+=

s{ }T ∂[ ] u{ }( ) VdVÚ

n[ ] s{ }( )T t{ }T=

∂[ ] s{ }( )T f{ }– T=

∂[ ] du{ }( ) de{ }=

u{ } n[ ] s{ }=

e{ } ∂[ ] u{ } ∂[ ] n[ ] s{ } b[ ] s{ }= = =

s{ } E[ ] e{ }=

s0{ } e0{ }


4.33

Se lo stato di tensione è equilibrato lo si può sostituire nell'espressione dei lavorivirtuali. Di solito, però, assegnando il campo di spostamento approssimato siproducono tensioni non equilibrate in ogni punto, e l'equazione dei lavori vir-tuali non può essere più usata nella forma vista. Infatti ora l'equilibrio alla trasla-zione comporta:

4.34

dove �j è la componente secondo la direzione j-esima della forza volumica resi-dua di non equilibrio �. L'equazione dei lavori virtuale 4.26 diviene quindi:

4.35

In generale il vettore della tensione {t } applicato in ogni punto del contorno ècomposto di una parte incognita e di una parte nota :

4.36

s{ } E[ ] e{ } e0{ }–( ) s0{ }+=

xi∂∂sij fj+ rj=

du{ }T t{ } Ad◊ ◊[ ]AÚ du{ }T r{ } Vd

VÚ– du{ }T f{ } VdVÚ+ de{ }T s{ } Vd

VÚ=

t* t0

t{ } t*{ } t0{ }+=

e perciò l'equazione dei lavori virtuali si può scrivere:

4.37

du{ }T t*{ } AdAÚ du{ }T r{ } Vd

VÚ– du{ }T t0{ } A+dAÚ+

+ du{ }T f{ } VdVÚ de{ }T s{ } Vd

VÚ=

119

Sostituendo le espressioni per il campo di spostamenti e di deformazioni, scritteperò per variazioni virtuali {�s}, e sostituendovi inoltre anche la legge costitutivadel materiale, tenendo inoltre conto della commutabilità di d con � si ottiene:

4.38

Siccome l’uguaglianza deve valere per qualsiasi configurazione di spostamentivirtuali {�s}, deve anche valere la seguente uguaglianza:

ds{ }T n[ ]T t*{ } AdAÚ ds{ }T n[ ]T r{ } V+d

VÚ–

+ ds{ }T n[ ]T t0{ } AdAÚ ds{ }T n[ ]T f{ } V=d

VÚ+

= ds{ }T b[ ]T E[ ] b[ ] Vd s{ } –VÚ

ds{ }T– b[ ]T E[ ] e0{ } VdVÚ ds{ }T b[ ]T s0{ } Vd

VÚ+


120

4.39

dove { f } è il vettore delle forze generalizzate coniugate agli spostamenti genera-lizzati { s }:

4.40

è il vettore dei carichi generalizzati equivalenti ad una distribuzione ditensione superficiale nota :

4.41

è il vettore dei carichi generalizzati equivalenti a forze volumiche {�}:

4.42

[k] è la matrice di rigidezza:

4.43

è il vettore dei carichi generalizzati equivalenti ad una deformazionesenza tensione :

4.44

è il vettore dei carichi generalizzati equivalenti ad uno stato di tensioneiniziale :

4.45

Si noti che l'equazione dei lavori virtuali soddisfaceva all'equilibrio, grazieall'introduzione del residuo ; perciò anche il vettore sopra definito èequilibrato. Esso è la discretizzazione non solo del sistema di tensioni esercitatesul contorno, ma anche del residuo volumico mancante all'equilibrio.

Pertanto l'applicazione dell'equazione dei lavori virtuali conduce ad una formu-lazione equilibrata per l'intero corpo (in senso integrale quindi), ma comportauno stato di tensione che non è equilibrato punto per punto.

Prima di concludere, si noterà che se il carico è costante per una distanza hortogonale ad una linea L definita sul contorno (come accade per le travi, adesempio), si potrà scrivere:

f }{ fe{ }t 0fe{ }f+ + k[ ] s{ } fe{ }e 0

– fe{ }s0+=

f }{ n[ ]T t*{ } AdAÚ n[ ]T r{ } Vd

VÚ–=

fe{ }t0 t0

fe{ }t 0n[ ]T t0{ } Ad

AÚ=

fe{ }f

fe{ }f n[ ]T f{ } VdVÚ=

k[ ] b[ ]T E[ ] b[ ] VdVÚ=

fe{ }e 0 e0{ }

fe{ }e 0b[ ]T E[ ] e0{ } Vd

VÚ=

fe{ }s0s0{ }

fe{ }s0b[ ]T s0{ } Vd

VÚ=

r{ } f{ }

r{ }

t0


121

4.46

dove:

4.47

assume il significato di carico per unità di lunghezza.

4.3 FUNZIONI DI FORMA

In generale la determinazione delle matrici di rigidezza [k ], di massa [m] e deivettori dei carichi nodali equivalenti { fe} di un elemento può essere fatta asse-gnando campi indipendenti di spostamento {u}, di deformazione {e} e di ten-sione {�} nel dominio dell'elemento.

Nell'ambito della meccanica strutturale è largamente utilizzata la formulazione aspostamenti assegnati; l'unica variabile del problema è il campo di spostamenti{u}, a partire dal quale si calcoleranno poi deformazioni e tensioni.

Il campo di spostamenti all'interno dell'elemento è normalmente espressomediante funzioni polinomiali, sia perché i polinomi sono comunemente utiliz-zati per approssimare funzioni incognite, sia perché sono facilmente derivabili.

Particolare importanza riveste la scelta del polinomio o delle funzioni di formautilizzate per approssimare il campo degli spostamenti; si ricorda, a questopunto, come la descrizione della cinematica dell’elemento mediante un numerofinito di parametri comporti l'introduzione di vincoli cinematici, obbligandol'elemento a muoversi e deformarsi secondo le leggi imposte.

Di conseguenza i risultati saranno sempre approssimati; il grado di approssima-zione dipende dal numero di elementi utilizzati per modellare la struttura e dalgrado del polinomio scelto per rappresentare il campo di spostamenti.

Per garantire la convergenza dell'analisi al diminuire delle dimensioni dell'ele-mento la funzione scelta per approssimare il campo di spostamenti dovrà obbe-dire a determinate regole, e cioè:

1. Deve essere continua all'interno dell'elemento e possedere derivatasino all'ordine n richiesto dal particolare problema (ad esempio n = 1per l'elemento asta n = 2 per l'elemento trave inflessa e per l'elementopiastra, ecc.).

2. Deve essere in grado di rappresentare il moto rigido dell'elemento conuna corrispondente energia di deformazione nulla.

Un modo per valutare il numero di gradi di libertà di moto rigido rap-presentati dalle equazioni di rigidezza di un elemento è quello di calco-lare gli autovalori della matrice di rigidezza dell'elemento.

n[ ]T t0{ }h ldLÚ n[ ]T q{ } ld

LÚ=

q{ } t0{ }h=


Si vedrà infatti che l'autovalore i-esimo è proporzionale all'energia dideformazione corrispondente al modo i-esimo di deformazione equindi il numero di autovalori nulli corrisponderà al numero di gradidi libertà di moto rigido contenuti nel sistema.

3. Deve essere in grado di rappresentare uno stato di deformazionecostante. È intuitivo che questa è la condizione minima a cui deve sod-disfare l'elemento quando le sue dimensioni tendono a zero.

Una verifica numerica di ciò è data dal patch test; questo consiste nelverificare numericamente uno stato di deformazione costante quandoad un insieme di elementi, assemblato in modo qualsiasi, sia applicatoun campo di spostamenti tale da produrre teoricamente uno stato dideformazione costante.

4. Avere continuità tra gli elementi, cioè non devono nascere, se non eranopresenti, discontinuità al contorno fra elementi adiacenti (fig. 4.4).

Fig. 4.4 – Continuità al contorno.

122

Se la funzione scelta soddisfa alle condizioni 1, 2 e 3 si dice completa; se soddisfaalla condizione 4 si dice compatibile. Una funzione completa e compatibile si diceconforme.

La compatibilità è automaticamente assicurata per elementi tipo trave perché ilcollegamento avviene solo attraverso i nodi; è inoltre abbastanza semplice daassicurare per gli elementi bidimensionali membranali, assialsimmetrici e tridi-mensionali, dove le uniche variabili spostamento sono rappresentate dagli spo-stamenti u, v, w. Nel caso di elementi bidimensionali flessionali, quali piastre egusci dove si ha come grado di libertà anche la rotazione, è invece molto difficileassicurare la compatibilità; le formulazioni più utilizzate in generale assicuranocompatibilità solo sugli spostamenti, ma non sulle rotazioni.

Si può dimostrare che per avere convergenza monotona verso la risposta esattaun elemento deve essere conforme, devono cioè essere rispettate le condizioni da1 a 4. Gli elementi che non rispettano la condizione 4 sono detti incompatibili;la convergenza si ha anche con tali elementi se l'incompatibilità diminuisce aldiminuire delle dimensioni dell'elemento.


123

Riferendosi ai punti 1 e 4 si dirà che il campo definito ha continuità Cm se lederivate sino all'ordine m compreso sono continue; in generale devono essereutilizzate come gradi di libertà le derivate di ordine m – 1 se si vuole un campocon continuità Cm.

Infine una ulteriore condizione, anche se non strettamente necessaria, è laseguente:

5. La funzione scelta dovrebbe essere geometricamente isotropa, cioè ilcampo di spostamenti dovrebbe essere invariante rispetto al sistema diriferimento e non presentare particolari direzioni preferenziali.

La descrizione del campo di spostamenti può essere fatta sostanzialmente in duemodi:

– mediante serie polinomiale

– mediante funzioni di forma

4.3.1 Descrizione mediante serie polinomiale

Il campo di spostamenti è espresso mediante una serie polinomiale i cui coeffi-cienti, detti coordinate generalizzate, sono successivamente espressi in funzionedei parametri nodali. In tal caso si parla di Elementi finiti a coordinate generaliz-zate.

Nei casi mono-, bi- e tri-dimensionale si ha rispettivamente:

4.48

dove i coefficienti ai , bi , ci sono le coordinate generalizzate. In generale si puòscrivere:

4.49

dove {u} è il vettore degli spostamenti:

4.50

[P ] è la matrice polinomiale:

4.51

e {a} è il vettore, incognito, delle coordinate generalizzate:

4.52

u a1 a2x º+ +=u a1 a2x a3 y a4 xy º+ + + +=

v b1 b2 x b3 y b4 xy º+ + + +=

u a1 a2 x a3 y a4 z º+ + + +=

v b1 b2 x b3 y b4 z º+ + + +=

w c1 c2 x c3 y c4 z º+ + + +=

u{ } P[ ] a{ }=

u{ }T u v w{ }=

P[ ]1 x y z º 0 0 0 0 º 0 0 0 0 º0 0 0 0 º 1 x y z º 0 0 0 0 º0 0 0 0 º 0 0 0 0 º 1 x y z º

=

a{ }T a1 a2 º b1 b2 º c1 c2 º{ }=


Le coordinate generalizzate, in numero uguale alle variabili cinematiche nodali(spostamenti nodali) dell'elemento, possono essere espresse in funzione di questecalcolando i polinomi [P ] in corrispondenza dei nodi dell'elemento.

Detto allora { s} il vettore degli spostamenti nodali, cioè il valore assunto da {u}in corrispondenza dei nodi, si può scrivere:

4.53

dove la matrice [A], i cui termini sono costanti, è l'insieme dei polinomi [P] cal-colati nei nodi. Ammesso che l'inversa della matrice [A] esista, si ha:

4.54

e sostituendo in {u}:

4.55

e la matrice [n] è detta matrice delle funzioni di forma.

ESEMPIO 4.1

Nel caso di un elemento asta a due nodi (fig. 4.5) lo spostamento orizzontaleu può essere espresso come:

4.56

s{ } A[ ] a{ }=

a{ } A[ ] 1– s{ }=

u{ } P[ ] A[ ] 1– s{ } n[ ] s{ }= =

u a1 a2x+=

Fig. 4.5 – Elemento asta a 2 nodi.

124

cioè:

4.57

Imponendo le condizioni al contorno si ha, per il nodo 1:

4.58

u 1 xa1

a2Ó þÌ ýÏ ¸

=

u1 1 x1

a1

a2Ó þÌ ýÏ ¸

=


125

e per il nodo 2:

4.59

essendo:

4.60

si ha:

4.61

e, invertendo la matrice :

4.62

per cui:

4.63

4.3.2 Descrizione mediante funzioni di forma

Il campo di spostamenti è espresso mediante funzioni di forma i cui coefficientirappresentano direttamente le variabili nodali; in questa categoria rientra il con-cetto di formulazione isoparametrica.

Il vettore degli spostamenti {u} in ogni punto dell'elemento è espresso come:

4.64

Le funzioni di forma [n] possono essere definite utilizzando procedimenti diinterpolazione che sostanzialmente possono essere riassunti come:

a. Polinomi di Lagrange

b. Polinomi di Hermite

Polinomi di Lagrange

I polinomi di Lagrange permettono la rappresentazione di una funzionemediante una serie polinomiale i cui coefficienti sono i termini assunti dalla fun-zione in determinati punti.

Nel caso monodimensionale i termini dei polinomi sono dati da:

u2 1 x2

a1

a2Ó þÌ ýÏ ¸

=

x1 0= x2 x1 l+ l= =

u1

u2Ó þÌ ýÏ ¸ 1 0

1 l

a1

a2Ó þÌ ýÏ ¸

=

A[ ]

a1

a2Ó þÌ ýÏ ¸ 1 0

1 l

1– u1

u2Ó þÌ ýÏ ¸ 1

l--- l 0

1– 1

u1

u2Ó þÌ ýÏ ¸

= =

u{ } 1 x2 1l--- l 0

1– 1

u1

u2Ó þÌ ýÏ ¸

1 xl--–Ë ¯

Ê � xl--

u1

u2Ó þÌ ýÏ ¸

= =

u{ } n[ ] s{ }=


126

4.65

avendo indicato con m + 1 il numero di punti in cui è definita la funzione.

ESEMPIO 4.2

Sempre nel caso dell'elemento asta con due nodi, essendo:

4.66

le funzioni di forma, utilizzando i polinomi interpolatori di Lagrange sonodate da:

4.67

e quindi:

4.68

Polinomi di Hermite

Nei problemi dove è richiesto un grado di continuità superiore a , dove cioèè necessario assicurare oltre la continuità della funzione anche quella delle suederivate sino all'ordine m, (ad esempio problemi di tipo flessionale) l'interpola-zione Lagrangiana non può più essere utilizzata. Si ricorre allora ai polinomi diHermite, i cui coefficienti rappresentano i valori che la funzione e le sue derivatedi ordine m assumono agli estremi dell'intervallo considerato.

Definito allora un intervallo 0 – l individuato dai punti 1 e 2 per la variabile x, edefinita inoltre la variabile adimensionale x = x/l si ha:

ni

x xj–( )j 1=

m 1+

�

xi xj–( )j 1=

m 1+

�-----------------------------= i jπ( )

m 1= x1 0= x2 l=

n1

x xj–( )j 2=

2

�

xi xj–( )j 2=

2

�----------------------------

x x2–

x2–------------- 1 x

l--–= = =

n2

x xj–( )j 1=

1

�

xi xj–( )j 1=

1

�----------------------------

x x1–

x2 x1–---------------- x

l--= = =

u{ } 1 xl--–Ë ¯

Ê � xl--

u1

u2Ó þÌ ýÏ ¸

=

C 0


4.69

dove m indica il grado di continuità richiesto.

Ciascuna funzione di forma ni assume valore unitario in corrispondenza delgrado di libertà associato e valore nullo in corrispondenza di tutti gli altri.

Si hanno quindi 2m condizioni alle quali ciascuna ni deve soddisfare; le funzionidi forma possono quindi essere descritte come polinomi di ordine 2m – 1:

4.70

e i 2m coefficienti ai sono determinati imponendo le condizioni al contorno sudescritte.

ESEMPIO 4.3

Nel caso della trave inflessa (fig. 4.6) è richiesta la continuità dello sposta-mento e della rotazione che, non considerando l'effetto del taglio, è data dalladerivata prima dello spostamento.

f x( ) f 1( )n1 x∂∂ f 1( )n2 º

xm 1–

m 1–

∂∂ f 1( )+ + nm++=

f 2( )+ nm 1+ x∂∂ f 2( )nm 2+ º

xm 1–

m 1–

∂∂ f 2( )+ + n2m+

ni a1 a2x a3x2 º a2mx2m 1–+ + + +=

Fig. 4.6 – Elemento trave inflessa.

127

È richiesta quindi una continuità di ordine ; definite allora le seguentivariabili cinematiche rispettivamente ai nodi 1 e 2:

4.71

la funzione di forma è data da:

4.72

C2

v1 az1 xddv

Ë ¯Ê �

1= v2 az2 xd

dvË ¯Ê �

2=

n1

n1 a1 a2x a3x2 a4x3+ + +=


Imponendo le condizioni al contorno:

4.73

si ricava:

4.74

per cui:

n1 1=xd

dn1 0= per x 0=

n1 0=xd

dn1 0= per x l=

a1 1= a2 0= a3 3–= a4 2=

4.75n1 1 3x2– 2x3+=

in modo analogo si ricavano le funzioni :n2 n3 n4,,

4.76n2 l x 1 x–( )2= n3 3x2 2x3–= n4 l x2 1 x–( )–=

128

Nel caso si desideri assegnare, agli estremi dell'intervallo, un valore di derivate diordine più alto, si può procedere nel modo già visto, oppure si può ricorrere adespressioni in forma esplicita:

4.77

con m – 1 e l – 1 ordine massimo di derivata rispettivamente in x = 0 e x = 1 e e polinomi dati dalle seguenti espressioni:

4.78

ESEMPIO 4.4

Calcolare la matrice di rigidezza dell’elemento asta.Le funzioni di forma per l'elemento asta essendo quest'ultimo caratte-rizzato dal solo spostamento assiale variabile linearmente tra gli estremidell'elemento, sono espresse da polinomi di grado 1; per un intervallo definitotra 0 e 1 esse sono:

4.79

f x( )xd

d

∂∂ f

Ë ¯Á �Ê �

x 0=

Gdo

d 0=

m 1–

Â xd

d

∂∂ f

Ë ¯Á �Ê �

x 1=

Gd1

d 0=

l 1–

Â+=

Gd0 Gd

1

Gd0 m l d– 1–+( )!

d!------------------------------------ 1 x–( )l xn

1 x–( )m n– 1–

n d–( )! m l n– 1–+( )!--------------------------------------------------------

n d=

m 1–

Â=

Gd1

1–( )d m l d– 1–+( )!d!

------------------------------------ xm 1 x–( )n xl n– 1–

n d–( )! m l n– 1–+( )!--------------------------------------------------------

n d=

l 1–

Â=

n1 1 xl--–= n2

xl--=


129

essendo la lunghezza dell'elemento e la coordinata della linea d'assemisurata a partire dal nodo 1 dell'elemento. Lo spostamento in ognipunto dell'elemento è:

4.80

essendo . Si ha quindi:

4.81

Il vettore delle deformazioni dell'elemento è definito da:

4.82

La matrice è:

4.83

mentre la matrice coincide con il modulo elastico longitudinale . Lamatrice di rigidezza è allora:

4.84

e, supponendo l'area costante:

4.85

ESEMPIO 4.5

Calcolare la matrice di rigidezza dell’elemento trave inflessa.Le funzioni di forma, definite nell'intervallo tra 0 e sono (4.75, 4.76):

4.86

essendo la lunghezza dell'elemento e la coordinata della linea d'assemisurata a partire dal nodo 1 dell'elemento. Lo spostamento in ognipunto dell'elemento è:

4.87

l xu{ }

u{ } n1 n2[ ] s{ }=

s{ }Tu1 u2{ }=

u{ } 1 xl--–

xl-- s{ }=

e{ } exx xddu

xdd u{ }

xdd n1 n2 s{ } 1

l---–

1l--- s{ }= = = = =

b[ ]

b[ ] 1l---–

1l---=

E[ ] E

k[ ] 1

l--- –

1l---

E1l---–

1l--- Vd

VÚ=

k[ ] EAl

------- 1 1 –

1– 1 =

l

n1 1 3xl--Ë ¯

Ê � 2– 2

xl--Ë ¯

Ê � 3+= n2 x 2

x 2

l----- x 3

l 2-----+–=

n3 3xl--Ë ¯

Ê � 22

xl--Ë ¯

Ê � 3–= n4

x 2

l----- x 3

l 2-----+–=

l xu{ }

u{ } n1 n2 n3 n4 s{ }=


130

essendo . Il vettore delle deformazioni dell'ele-

mento è definito come:

4.88

dove la matrice è:

4.89

La matrice di rigidezza è data da:

4.90

suppondendo costante l'area della sezione retta:

4.91

e, integrando tra 0 e :

4.92

ESEMPIO 4.6

Calcolare la matrice di rigidezza dell’elemento piano triangolare a 3 nodi (fig. 4.7).L'elemento piano triangolare a tre nodi è in grado di rappresentare un campodegli spostamenti lineare e un campo delle deformazioni costante. Ciò non lorende adatto a problemi ove sono presenti gradienti di tensione (tipo la traveinflessa). In tali casi è preferibile utilizzare elementi per i quali il campo deglispostamenti è definito da polinomi di grado più elevato.Il campo degli spostamenti all'interno dell'elemento è definito dalle compo-nenti secondo gli assi e : e ; ad ogni nodo saranno quindiassociati uno spostamento orizzontale ed uno verticale ( ).

s{ }T v1 az1 v2 az2{ }=

e{ } exx yx 2

2

dd v

– yx 2

2

dd u{ }–= = =

= y x 2

2

dd

n1 n2 n3 n4 s{ } – y b[ ] s{ }–=

b[ ]

B[ ] 6l 2-----– 12

xl 3-----+Ë ¯

Ê � 4l---– 6

xl 2-----+Ë ¯

Ê � 6l 2----- 12–

xl 3-----Ë ¯

Ê � 2l---– 6

xl 2-----+Ë ¯

Ê �=

k[ ] b[ ]T E[ ] b[ ] y2 A xddVÚ=

k[ ] EJz b[ ]T b[ ] xd0

l

Ú=

l

k[ ] E Jz

12l 3------ 6

l 2----- 12

l 3------–

6l 2-----

6l 2----- 4

l--- 6

l 2-----–

2l---

12l 3------– 6

l 2-----–

12l 3------ 6

l 2-----–

6l 2----- 2

l--- 6

l 2-----–

4l---

=

X Y u x y,( ) v x y,( )ui vi i 1 2 3,,=


Fig. 4.7 – Elemento triangolare a 3 nodi (CST).

La rappresentazione più semplice degli spostamenti e può essereespressa in forma polinomia da:

u v

4.93u a1 a2 x a3 y+ +=

v a4 a5 x a6 y+ +=

dove i coefficienti , detti spostamenti generalizzati, sono in numero pari alnumero degli spostamenti nodali dell'elemento:

4.94

Dalla 4.93 si nota che e sono funzione lineare di e , perciò lo statodi deformazione sarà costante nell'elemento; inoltre ed rappresentanole due traslazioni rigide nel piano, mentre una rotazione rigida si ha quando

e .In forma matriciale la 4.93 è riscritta come:

ais{ }

s{ }T u1 u2 u3 v1 v2 v3{ }=

u v x ya1 a4

a2 a6 0= = a3 a5–=

4.95u{ }T P[ ] a{ }=

131

con:

4.96

4.97

4.98

Gli spostamenti generalizzati possono essere espressi in funzione deglispostamenti nodali ; imponendo le condizioni al contorno per lo sposta-mento orizzontale , si ha, dalla 4.93:

u{ }T u v{ }=

P[ ] 1 x y 0 0 0 0 0 0 1 x y

=

a{ }T a1 a2 a3 a4 a5 a6{ }=

a{ }s{ }

u


132

4.99

ovvero:

4.100

dove:

4.101

e analogamente per ciò che concerne la componente verticale ; globalmentesi può scrivere:

4.102

dove:

4.103

gli spostamenti generalizzati valgono quindi:

u1 a1 a2 x1 a3 y1+ +=

u2 a1 a2 x2 a3 y2+ +=

u3 a1 a2 x3 a3 y3+ +=

u1

u2

u3Ó þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

A1[ ]a1

a2

a3Ó þÔ ÔÌ ýÔ ÔÏ ¸

=

A1[ ]1 x1 y1

1 x2 y2

1 x3 y3

=

v

s{ } A[ ] a{ }=

A[ ]A1[ ] 0[ ]

0[ ] A1[ ]=

a{ }

4.104a{ } A[ ] 1– s{ }=

dove:

4.105

e:

4.106

essendo l'area del triangolo, pari a:

4.107

A[ ] 1– A1[ ] 1– 0[ ]

0[ ] A1[ ] 1–=

A1[ ] 1– 12A------

x2 y3 x3 y2– x3 y1 x1 y3– x1 y2 x 2 y1–

y2 y3– y3 y1– y1 y2–

x3 x2– x1 x3– x2 x1–

=

A

A12---det A1[ ]=


Sostituendo la 4.104 nella 4.95 si ha:

4.108

4.109

dove:

4.110

La compatibilità dell'elemento si può verificare dimostrando che gli sposta-menti dei punti su un lato dipendono solamente dagli spostamenti dei nodiche giacciono su quel lato. In particolare, esplicitando le funzioni di forma

, si ha la seguente espressione per la componente dello spostamento:

u{ } n[ ] s{ }=

uvÓ þ

Ì ýÏ ¸ n1 n2 n3 0 0 0

0 0 0 n1 n2 n3

s{ }=

n[ ] P[ ] A[ ] 1–=

ni u

4.111

u1

2A------ x2 y3 x3 y2 –( ) y2 y3–( )x x3 x2–( )y+ +[ ]u1+{=

+ x3 y1 x1 y3 –( ) y3 y1–( )x x1 x3–( )y+ +[ ]u2+

+ x1 y2 x2 y1–( ) y1 y2–( )x x2 x1–( )y+ +[ ]u3 }

133

Si consideri ad esempio il lato 1-2 del triangolo di figura 4.7, caratterizzatodalla seguente equazione:

4.112

Sostituendo la 4.112 nella 4.111, si nota che il coefficiente che molti-plica il termine si annulla:

4.113

per cui lo spostamento di un punto qualsiasi sul lato 1-2 dipende solo daglispostamenti dei nodi 1 e 2 che definiscono il lato 1-2; condizione questanecessaria e sufficiente per garantire la compatibilità dell'elemento. Le defor-mazioni dell'elemento sono definite da:

4.114

con:

4.115

e in forma matriciale:

y y1–

y2 y1–---------------

x x1–

x2 x1–----------------=

n3u3

x1 y2 x2 y1–( ) y1 y2–( )x x2 x1–( ) y1 x2 x1–( )y2 y1–

x2 x1–----------------+ =+ +

x1 y2 x2 y1–( ) x2 x1–( ) y1 x1 y2 y1–( )–+ 0=

e{ }T exx eyy g xy{ }=

exx x∂∂u= eyy y∂

∂v= g xy y∂∂u

x∂∂v+=


134

4.116

e derivando:

4.117

dove:

4.118

Come si è già detto in precedenza, le deformazioni sono costanti all'internodell'elemento, che viene denominato CST (Constant Strain Triangle). La matricedi rigidezza è data da:

4.119

con matrice delle costanti del materiale, definita in stato di tensionepiano o in stato di deformazione piano; l'elemento di volume è espressoda: , avendo indicato con lo spessore dell'elemento.Ricordando che è costante e supponendo costanti anche e all'interno dell'elemento, si ricava:

e{ }

x∂∂

0

0 y∂∂

y∂∂

x∂∂

u{ } ∂[ ] n[ ] s{ }= =

e{ } b[ ] s{ }=

b[ ] 12A------

y2 y3–( ) y3 y1–( ) y1 y2–( ) 0 0 0

0 0 0 x3 x2–( ) x1 x3–( ) x2 x1–( )

x3 x2–( ) x1 x3–( ) x2 x1–( ) y2 y3–( ) y3 y1–( ) y1 y2–( )

=

k[ ] b[ ]T E[ ] b[ ] VdVÚ=

E[ ]dV

dV h x y,( ) dx dy= hb[ ] E[ ] h

4.120k[ ] b[ ]T E[ ] b[ ]Ah=

In caso di spessore variabile linearmente, lo spessore in ogni punto puòessere calcolato come interpolando gli spessori in corrispondenza dei nodidell'elemento:

4.121

Si può dimostrare che in tal caso la matrice di rigidezza può ancora essere cal-colata mediante la 4.120 a patto di considerare come lo spessore medio :

4.122

hi

h n1h1 n2h2 n3h3+ +=

h h

hh1 h2 h3+ +

3-----------------------------=

Elementi finiti - Parte II - POLITECNICO DI TORINO · e t t o d i d a t t i c a i n r e t e ......

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