ELEMENTI DI TEORIA DEGLI ERRORI DI MISURA

Misura: processo che associa ad ogni grandezza fisica uno (scalare) o piu` (vettore) numeri che la quantifica rispetto ad una opportunaunita` di misura.

Procedimento empirico soggetto a limitazioni di varia natura che ne determinano la precisionep

Gli errori di misura sono inevitabili

Una misura non ha nessun significato se non viene accompagnata da una stima dell'errore associato

Ad es. Se uso una riga millimetrata ho una sensibilita` di 1 mm: se per confronto vedo che la larghezza di un foglio e` compresa tra le graduazioni 215 e 216 mm posso scrivere:

0.215 m ≤ l ≤ 0.216 m ovvero l = (0.2155±0.0005) m

●Risultato sempre scritto con: 1) valore, 2) errore, 3) unità di misura es. L = 12.34 ± 0.01 m

●Non ha senso spingere la valutazione del risultato al di là della precisione sperimentale

se ad es. l’errore per la misura di una lunghezza indica incertezza sulla cifra dei centimetri, è un errore dare nel risultato la cifra dei decimi di millimetro!

Cifre significative ed arrotondamenti

REGOLA:➢nei risultati e calcoli intermedi tutte le cifre che vogliamo➢giunti al risultato finale, dopo il calcolo dell'errore, bisogna troncare il risultato al livello dell’errore stimato ed arrotondarlo (generalmente 1 o max 2 cifre significative sull'errore)

esempio lunghezza L: risultati intermedi arrotondamento12.34567 ± 0.231 m 12.3 ± 0.2 m o 12.34 ± 0.23 m12.34567 ± 0.00789 m 12.346 ± 0.008 m o 12.3457 ± 0.0079 m

●Misure dirette: si ottengono per confronto diretto con una unita` di misura omogenea o per mezzo di uno strumento calibrato

➢es. la misura di una lunghezza con una riga graduata, di un intervallo di tempo con un cronometro etc)

●Misure indirette: attraverso la misura di una o piu` grandezze diverse legate attraverso una legge fisica, espressa attraverso una equazione matematica

➢es. misura di una distanza con un segnale di cui conosciamo la velocita` di propagazione v: ∆x=∆t v ,

➢es. misura di velocita` media v a partire da una misura di lunghezza (distanza percorsa ∆x) e di un intervallo di tempo ∆t :

v= ∆x/∆t

CLASSIFICAZIONE DELLE MISURE

Metodo di misura● parte integrante del processo di misura e non possiamo astrarre da

esso per analizzare la misura stessa.

● Per la stessa grandezza fisica dipende dall'ordine di grandezza: es. lunghezza ➢L O(m) confronto diretto con regolo graduato➢L O(µm) misura interferometrica ➢L O(km) triangolazione➢L O(105 km) misura laser (e.g. distanza Terra-Luna)

Strumento di misura●Sensibilita`: minima variazione apprezzabile (e.g. 0.5 mm per regolo) ●Precisione: legata alla riproducibilita` dei risultati ●Accuratezza: capacita` di fornire valori realmente corrispondenti al

valore vero della grandezza in esame ●Intervallo d'uso: condizioni di lavoro (e.g. Intervallo di temp.) e di

valori misurabili

MISURAZIONE

Errori sistematici Agiscono sempre nello stesso verso (sottostima o sovrastima)

es. difetti costruttivi dello strumento, deterioramento, uso in condizionierrate, errori dello sperimentatore, perturbazioni esterne non controllate,uso di formule approssimate etc.

➢Se ad es. uso un regolo di lunghezza 999 mm anziche` 1m tutte le lunghezze saranno sovrastimate dell' 1‰

➢Se ad es. misuro la profondita` di un fiume con uno scandaglio, la presenza della corrente devia lo scandaglio e tende a far sovrastimarela profondita`

☹insidiosi perche` non immediatamente identificabili: richiedono una minuziosa analisi critica dello strumento e del metodo di misura Possono essere evidenziati misurando con strumenti/metodi diversi

☺Se scoperti, possono essere Se scoperti, possono essere (in linea di principio)(in linea di principio) eliminati o ridotti eliminati o ridotti

Errori Sistematici

Errori casualiErrori casuali

Se la sensibilita` dello strumento e` sufficientemente piccola visibili in

➢ facilmente evidenziabili se lo strumento e` sensibile➢ possono essere ridotti (migliorando la misura) ma mai eliminati ➢ Possiedono proprieta` statistiche che consentono di stimarli a

partire dai dati stessi

Misure ripetute }

Errori Casuali

Aleatori ed imprevedibili

sia positivi che negativi☹non possono essere eliminati

☺possono essere stimati

Esempi:- giochi meccanici ed attriti (es. Calibro o micrometro...)- condizioni ambientali variabili e non del tutto controllabili (Temp., press.,etc)- valutazioni-azioni dello sperimentatore (e.g. lettura di una scala, start-stop di un cronometro...), - imperfetta definizione della grandezza (e.g. diametro di una sfera fisica...) - etc. etc.

Valore medio

Rappresentazione dei dati

larghezza

Misurando ripetutamente (n volten volte) la stessa grandezza x si ottengono valori differenti x

i. Come rappresentare i dati?

11 Con una tabella (sequenza delle misure): ☺ tutta l'informazione

☹ nessuna sintesi22 Con un ideogramma: : in ascissa il numero d'ordine i della misura, in ordinata la misura x

i . Visibili: valore medio, errore, eventuali

variazioni sistematiche

a) Media fissa

b) Media variabile nel tempo

Variazione sistematica del valore di ∆t

raffigura simultaneamente sia il valore medio x che la larghezza della distribuzione che forniranno una stima del valore vero e dell`errore associato a ciascuna misura

3. istogrammaistogramma: l'ascissa rappresenta i valori di x ed e` suddivisa in intervallini di larghezza ∆xx in corrispondenza a ciascuno dei

quali si costruisce un rettangolo di altezza proporzionale al numero di misure che cadono in quell'intervallo si puo` studiare come si si puo` studiare come si distribuiscono le misuredistribuiscono le misure

xx

larghezzalarghezza

Rappresentazione dei dati: Istogramma

erroreerrore

valore valore verovero

x*x* Valore vero incognito

xx (o anche <x>) (o anche <x>) Valore medio misurato

xxii

Misura i-ma

εεii=x=x

ii-x*-x* Errore i-ma misura incognito

zzii=x=x

ii--xx scarto i-ma misura misurato

εε==xx-x*-x* Errore della mediaErrore della media incognitoincognito

Alcune definizioni

Proprieta`:

➢tutti i dati trattati allo stesso modo indipendentemente da ordine

➢mediamente lo scarto tra xx e valore vero x*x* e` inferiore in valore assoluto che per le singole misure (gli scarti possono essere siapositivi che negativi e nella somma si compensano) (vedi prossimatrasp.)

➢rende minima la somma dei quadrati degli scarti

Il valore piu' comunemente usato per la stima del valore vero x* valore vero x* incognitoincognito e` la media aritmeticala media aritmetica x=

∑i=1

n

x i

n

Stima del valore vero

Da qui la parziale cancellazione degli errori quando si calcola la media: nell'ultima somma gli errori positivi compensano gli errori negativi

Come si vede l'errore della media

La media aritmetica di tutte le misure e` una stima La media aritmetica di tutte le misure e` una stima migliore rispetto a ciascuna singola misura del valore migliore rispetto a ciascuna singola misura del valore vero x*vero x*

Errore della media

Dalla definizione di media e di errore:

e` la media degli errori

Lo scarto medio dalla mediascarto medio dalla media non e` idoneo a stimare la larghezza della distribuzione dei dati infatti per definizione vale 0 per definizione vale 0 (gli scarti positivi compensano esattamente gli scarti negativi)(gli scarti positivi compensano esattamente gli scarti negativi)

Per avere una stima della larghezza della distribuzione si ricorre ai quadrati degli scarti:

S VarianzaVarianza S S (o media del quadrato degli scarti)

Stima della larghezza della distribuzione dei dati

scarto quadratico medioscarto quadratico medio (o rmsrms root mean square) µµ

μ2=⟨(x−⟨ x ⟩)2⟩

NN numero delle prove (e.g. Numero delle volte in cui si lancia un dado o il numero totale delle misure)nn

ii il numero delle volte in cui si verifica l'evento ii (ad esempio esce 1 o il

numero delle volte in cui le misure cadono nell'intervallino i-mo di un istogramma)

(sperimentale)(sperimentale) (e.g. 10/100 per l'uscita di 1)

Nel limite per N->∞ le fluttuazioni statistiche della frequenza divengono trascurabili

Probabilita` dell'evento i pi

(valore medio di Fi per grandi N)

Frequenza dell'evento i

(teorica)(teorica) (e.g. 1/6 nel caso di dado ideale)

F i=ni

N

Variabili casuali

Distribuzione normale degli errori casuali

L'istogramma delle misure ha fluttuazioni statistiche che diminuiscono diminuiscono al crescere del numero delle misureal crescere del numero delle misure. Ad es una lunghezza x

DISTRIBUZIONE UNIVERSALE DISTRIBUZIONE UNIVERSALE DESCRITTA DALLA FUNZIONE DESCRITTA DALLA FUNZIONE DI GAUSS (o distribuzione DI GAUSS (o distribuzione normale)normale)

Per N->Per N->∞∞ F (x)=1

σ√2πe−

(x−x*)

2

2σ2

1) Massima in corrispondenza al valore vero x*1) Massima in corrispondenza al valore vero x* 2) simmetrica rispetto al valore vero 2) simmetrica rispetto al valore vero 3) si annulla asintoticamente per x->+- 3) si annulla asintoticamente per x->+- ∞∞ 4) 4) la larghezza e' proporzionale a la larghezza e' proporzionale a σσ che ha le dimensioni di x che ha le dimensioni di x

xx=x*=x* σσ 22=<(x- <x>)=<(x- <x>)22>>

xx e` una stima di x* e e` una stima di x* e µµ una stima di una stima di σσ

Per la distribuzione di GaussPer la distribuzione di Gauss

Distribuzione normale o di GAUSS

x*x*

2σ2σF (x)=1

σ√2πe−

(x−x*)

2

2σ2

Probabilita` P(a<x<b) che Probabilita` P(a<x<b) che x sia compreso tra a e bx sia compreso tra a e b

aa bb xx

F(x)F(x)

P (a<x<b)=∫a

b

F (x)dx

Ha il significato di una densita` di probabilita`: Ha il significato di una densita` di probabilita`: probabilita` che la misura cada in [x,x+dx]: dp= F(x) dx

{

a ( (σσ ))P(-a<x<+a)P(-a<x<+a)

11 0.68270.6827

22 0.95450.9545

33 0.99730.9973

Entro +- 3 Entro +- 3 σσ oltre il oltre il 99.7% delle misure 99.7% delle misure oltre questo valore oltre questo valore i dati vengono i dati vengono esclusi errori esclusi errori grossolanigrossolani

Probabilita` che x sia entro a dal valore medioProbabilita` che x sia entro a dal valore medio

Distribuzione normale o di GAUSS (2)

1-P δ0.3173 1 σ

4.55 x 10-2 2 σ2.7 x 10-3 3 σ6.3 x 10-5 4 σ5.7 x 10-7 5 σ

Se si combinano piu` misure diverse (INDIPENDENTIINDIPENDENTI) come si propagano i relativi errori?

Ad es. Consideriamo la somma F di x e y

la media di F e` la somma delle medie di x ed y

Gli scarti sono la somma degli scarti

i

Per le varianze

S

Propagazione degli errori: somma di due grandezze

(INDIPENDENTIINDIPENDENTI)

ES. somma di due misure INDIPENDENTIINDIPENDENTI i

mediamedia F F = = xx + + yy

Scarto quadratico medioScarto quadratico medioGli rms si sommano Gli rms si sommano quadraticamentequadraticamente

varianzavarianza SSFF= S= S

xx + S + S

yy

µµ 22

FF= = µµ 22

xx + + µµ 22

yy

Propagazione degli errori: somma di due grandezze

Formula generale di Propagazione degli errori perMisure indipendenti

CASO GENERALE: F funzione CASO GENERALE: F funzione arbitraria di n misure INDIPENDENTI xarbitraria di n misure INDIPENDENTI x

ii

MediaMedia

Scarto quadratico medioScarto quadratico medio

errori piccoli errori piccoli →→ sviluppo in serie attorno al valore medio) sviluppo in serie attorno al valore medio)

F=F (x1 , x2 , x3 , ... , xn)+∑i=1

n∂ F∂ xi

(xi−x1)

Se le misure sono indipendenti si sommano quadraticamente i contributi allo scarto quadratico medio di ciascuna misura

F=F (x1 , x2 , x3 , ... , xn)

μF2=∑

i=1

n

(∂F∂ xi

)2

μi2

F=F (x1 , x2 , x3 , ... , xn)

Formula di propagazione dell'errore

F= x̄=∑i=1

n

xi

nSi ottiene

E poiche` tutte le misure hanno lo stesso errore µ

Propagazione dell'errore applicata alla media

μF2=∑

i=1

n

(∂F∂ xi

)2

μi2

Per la funzione “media”

μx2=∑

i=1

n1

n2μx i

2 μx i

2 =μ2

μx2=∑

i=1

n1

n2μ2

μx=μ

√n

Si riduce l'errore sulle singole misure con 1/√n

E dalla formula generale si ottiene la formula di propagazione degli errori relativi

Funzione omogenea y di n variabili x

1...x

n y=x1c1 . x2

c2 . ... . xncn

Es. energia cinetica

Ek=½ m v2

µµmm

mm ( )( )22= = ((

))22+ (2 )+ (2 )22µµ

EkEkEE

kk

µµvv

vv

Propagazione degli errori relativi

∂ y∂ x i

=ci xic i−1∏i≠ j

x jc j ∂ y

∂ x i

=ci x i−1 y

μ y2=∑

i=1

n

(ci

μx i

x i

)

2

y2 μ y2

y2 =∑i=1

n

(ci

μx i

x i

)

2

Studio della dipendenza di y da un'altra grandezza x (verifica di una legge fisica, misura dei parametri di un sistema, etc. )

La dipendenza viene studiata per punti misurando n coppie (xi, y

i)

delle due variabili

Supponiamo che:

➢Le misure delle grandezze xi ed y

i siano affette da

errori indipendenti tra loro

➢L'errore sulla variabile x sia trascurabile

➢la variabile y e` distribuita con errore casuale gaussiano σy

uguale in tutti i punti.

Metodo dei minimi quadrati (1)

La dipendenza di y da x e` in generale definita da un certo numero di parametri.

Ad esempio per una dipendenza lineare si hanno 2 parametri a e b y=a+bx

Es. Moto rettilineo uniforme in cui y e` la posizione ed x il tempo: a e` la posizione al tempo t=0 e b la velocita` nel moto

Si definiscono gli scarti δyi

tra valore misurato di yi e

valore atteso da xi:

δyi=y

i-(a+bx

i)

I δyi sono rappresentati dai

segmentini verticali in figura

Metodo dei minimi quadrati (2)

Nel metodo dei minimi quadrati si determinano i parametri che governano la dipendenza imponendo che essi rendano minima Q

Si introduce la somma quadratica Q degli scarti δyi di tutte le misure y

i

dal valore predetto dalla dipendenza teorica da xi

Q=Σ (δyi )2

Metodo dei minimi quadrati (3)

Ad esempio nel caso lineare y=a+bx Q=∑

i=1

n

(δ y i)2=∑

i=1

n

( y i−a−bxi)2

Imponendo Q minima si ottiene

a=∑i=1

n

xi2∑

i=1

n

y i−∑i=1

n

x i∑i=1

n

x i yi

n∑i=1

n

x i2−(∑

i=1

n

xi)2

b=n∑

i=1

n

xi yi−∑i=1

n

xi∑i=1

n

yi

∑i=1

n

xi2−(∑

i=1

n

xi)2

Metodo minimi quadrati (4): stima errori parametri

Il metodo consente la stima degli errori dei parametriPrendiamo come esempio il caso lineare y=a+bx

Nel caso σy non sia noto, puo` essere stimato dai dati stessi

a partire dai residui δyi del fit

σa2=σ y

2∑i=1

n

x i2

n∑i=1

n

xi2−(∑

i=1

n

xi)2

σb2=σ y

2 n

n∑i=1

n

xi2−(∑

i=1

n

xi)2

σ y=√ Qn−2

=√∑i=1

n

(δ y i)2

n−2

δyi=y

i-(a+bx

i)

n misure xi della stessa grandezza x con diversa precisione

(ad es. Ottenute con diversi metodi di misura) ➢non e` corretto usare la media (che tratta tutte le misure allo stesso modo)➢si deve invece dare maggiore importanza alle misure piu` precise

x=

∑i=1

n x i

i2

∑i=1

n1

i2

x2=

1

∑i=1

n1

i2

L'errore σx sulla media e` calcolato con la

formula di propagazione degli errori e risulta naturalmente piu` piccolo di ciascun σ

i

Si dimostra che la stima del valore vero che rende minimo l'errore e` data dalla media pesata:

se ciascuna xi e` gaussiana con larghezza σ

i il peso

e` pari a 1/σi

2 (pesano di piu` le misure piu` precise)

N.B. Se tutte le misure hanno la stessa precisione la media pesata coincide con la media aritmetica

Media Pesata

Si inizia con una guidovia a cuscino d'aria equipaggiata con 1)un sensore di posizione

2)una interfaccia per la acquisizione dati (Vernier LabPro®)

3)Computer di acquisizione (MacBook) che utilizza la applicazione LoggerPro (Vernier) per la gestione dei dati, creazione di grafici, interpolazione ed analisi statistica

Misura di laboratorio

misura sonar (riflessione di un pacchetto di ultrasuoni di frequenza ~50 kHz)

x=1/2 vs(θ) *t

Misura di posizione

Emettitore- Microfono

➢Emette in un cono di apertura α∼200 attorno ad un asse che deve coincidere con l'asse di movimento ➢la velocita` del suono v

s dipende dalla temperatura di esercizio θ (+1.8‰/0C)

➢Precisione circa 1 mm➢Intervallo di misura: [15 cm:6m]➢Frequenza di campionamento dipende da Lmax (@1.5 m 30 Hz)➢Possibile calcolare numericamente le derivate I e II della posizione

xv

s

vs