Elementi di crittografia registri a scorrimento Realizzata da Andrea Artuso, Maria Rita Guardiano,...

Elementi di crittografia

IntroduzioneMaria Rita Guardiano

Generatori casuali e pseudocasuali


SOLUZIONE AL PROBLEMA• Sostituzione della sequenza completamente casuale con

una pseudocasuale• Vantaggi: la sequenza appare come se fosse casuale ma non lo

è e in più è molto più corta

• Cifratura : analoga alla cifratura con le sequenze casuali ovvero il generatore pseudocasuale crea la chiave, la somma bit a bit tra la chiave e il testo in chiaro mi da la cifratura del testo

• Esempio:


RISULTATI

• Problema scambio della chiave anche se ridotto, resta • Purtroppo questo sistema non risulta perfettamente

sicuro come invece lo era quello basato sulle sequenze casuali

• Occorrerebbe trovare un compromesso tra livello di sicurezza e la quantità di dati da trasmettere

Registri a scorrimento

− −

Registri a scorrimento

Registri a scorrimento con feedback

Esempio:

Registri a scorrimento con feedback

Dopo il secondo shift si ripresenta lo stato iniziale:

Quindi ancora la struttura è troppo semplice per i nostri scopi…

Registri a scorrimento lineare

In quest’altra struttura l’ultima cella riceve in input la somma dello stato corrente della prima cella e della terza

Le celle che non danno contributo alla funzione di retroazione si limitano a prendere al tempo “i+1” il contenuto della cella precedente al tempo “i”

Vediamo come un registro ti questo tipo genera una sequenza…

Creazione di una chiaveSupponiamo che il registro abbia questo stato iniziale:

Eseguiamo gli shift fino a che lo stato iniziale non si ripresenta…

Creazione di una chiaveDopo il primo shift

Dopo il secondo shift Dopo il terzo shift

Dopo il quarto shift Dopo il quinto shift

Stato iniziale

Dopo il sesto shift si ripresenta lo stato iniziale

Creazione della chiave

Celle C4 C3 C2 C1 (output)

Stato iniziale 0 0 0 11° shift 1 0 0 02° shift 0 1 0 03° shift 1 0 1 04° shift 0 1 0 15° shift 0 0 1 0Stato iniziale 0 0 0 1

Creazione della chiave

• Le righe della tabella sono i vari stati che cambiano ad ogni shift

• L’ultima colonna rappresenta la chiave generata

• Le sequenze sono periodiche (dopo 6 shift si ripresenta lo stato iniziale quindi il registro in esame ha periodo 6)

• Il massimo periodo di un registro a scorrimento è 2n-1

Crittoanalisi dei registri a scorrimento

Finora abbiamo visto che facendo la somma bit a bit tra:– il testo in chiaro e la chiave ottengo il testo cifrato

– il testo cifrato e la chiave riottengo il testo in chiaro

– il testo in chiaro e il testo cifrato ottengo la chiave

Ora dimostreremo che è possibile risalire alla chiave conoscendo lo stato iniziale del registro e la funzione di retroazione

– Consideriamo una sequenza di 6 bits ( 1 0 1 0 0 1 ) ovvero la chiave e pensiamo di sapere che sia generata da un registro di lunghezza 3

– Il nostro scopo sarà quello di trovare i coefficienti della funzione della retroazione


La prima cosa da fare è individuare lo stato iniziale del registro ( e cioè i primi bits della chiave):

La seconda cosa da fare è calcolare quello che stiamo cercando

Dobbiamo quindi conoscere gli stati del registro nelle varie unità di tempo


PROCEDIMENTO

All’inizio supponiamo che tutte le celle partecipino alla funzione di retroazione:

Utilizzando le regole di addizione e moltiplicazione dei numeri binari, per cui:1 · 1 = 1, 1 · 0 = 0, 0 · 1 = 0, 0 · 0 = 0

E che: x · x = 0, x · x = x , per ogni x=0 e x=1

Operiamo come segue…


Considero le celle con 1,

quindi avrò: C1· 1 C3 ·1 = C1 C3

Quindi dopo il primo shift avrò:


Quindi:• Il contenuto dell’ultima cella sarà il risultato del feedback.• Per le altre celle il risultato sarà determinato dal semplice

shift a destra


Dopo il secondo shift si avrà:

C2 · 1 C3 (C1 C3) = C2 C3 · C1 C3 · C3= C2 C3 C3 · C1

Ovvero…


Nel terzo e ultimo scorrimento si avrà:

C1 · 1 C2 (C1 C3) C3 (C2 C3 C3 · C1) =

C1 C2 · C1 C2 · C3 C3 · C2 C3 · C3 C3 · C3 · C1 =

C1 C2 · C1 0 C3 C3 · C1 =

C1 C3 C2 · C1 C3 · C1

Partendo da…


Terzo shift

Abbiamo così ottenuto i rimanenti 3 bit della chiave gia conosciuta…


Possiamo scrivere le tre uguaglianze:

Da cui otteniamo che:

Quindi: C2 = 0 perché x · x = 0 e x x = 0

C1 C3 = 0C2 C3 C1 C3 = 0C1 C3 C2 · C1 C3 · C1 = 1

C1 C1 = 0

C2 C1 C1 C1 = 0

C1 C1 C2 · C1 C1 · C1 = 1


Quindi: C1 = 1 , C2 = 0 , C3 = 1Allora la struttura del registro che ha generato la chiave ( 1 0 1 0 0 1) si può rappresentare così:

Conclusioni• E’ possibile forzare un registro a scorrimento lineare di

lunghezza n se si conosce:– una sequenza d 2n bits successivi di testo in chiaro

– i corrispondenti bit del testo cifrato

• Quindi una sequenza che si ripete dopo 1000000 di bits quindi con un periodo di 220-1 può essere ricostruita conoscendo solo 40 suoi bits

• Quindi i registri a scorrimento sono crittograficamente fragili

• Per risolvere questo problema sono stati introdotti i registri a scorrimento non lineari

Conclusioni

• Questi hanno una funzione di retroazione più complicata (non lineare)• Oltre alla somma viene utilizzata anche la moltiplicazione tra bits• Spesso i registri a scorrimento non lineari vengono realizzati combinando

in modo non lineare registri a scorrimento lineari• Nonostante i registri a scorrimento non lineari siano migliori non

garantiscono sicurezza perfetta

CLOCKFabio Imperioli

• Registri a scorrimento (nel dettaglio)

-diverse strutture di registri

-Clock controller

-tipologie di attacchi

Diverse strutture dei registri

• Esistono diverse implementazioni hardware dei registri a scorrimento:

– S.I.S.O. (Serial Input Serial Output): l'ingresso e l'uscita dei dati avviene in modo seriale

quella più utilizzata nell'ambito della crittografia è la tipologia S.I.S.O.


• S.I.P.O (Serial Input Parallel Output): l'ingresso dei dati avviene in modo seriale, mentre l'uscita avviene in modo parallelo (tutti i bits contemporaneamente dopo un numero di shift adeguati)


• P.I.S.O (Parallel Input Serial Output): l'ingresso dei dati avviene in modo parallelo, mentre l'uscita avviene in modo seriale


• P.I.P.O. (Parallel Input Parallel Output): l'ingresso e l'uscita

dei dati avviene in modo parallelo.

Clock controller

• Un registro a scorrimento è formato da due parti, il registro e la feedback function

• Il registro è formato da una sequenza di bit , che vengono shiftati di una posizione ad ogni intervallo di tempo grazie ad

un controllore • Il controllore scandisce il tempo per lo shift, e ci consente di

utilizzare i registri non lineari, in quanto usando un clock irregolare si riduce il pericolo di attacchi.

Clock controller

Le componenti fondamentali sono:

• Un registro di controllo che genera una sequenza di interi non negativi a = {ai}i≥0 e cicla con periodo ∏.

• Un registro di generazione controllato da clock, che ha un polinomio irriducibile nella funzione retroattiva, di grado m>1 e di ordine M.

• Il clock opera con la funzione di retroazione, che consiste in un polinomio

Clock controller

• Se indichiamo con b = (b(i)) i ≥ 0 la sequenza di output prodotta da un registro quando viene cloccato regolarmente, si ha:

• il primo elemento della sequenza è in posizione b(0) ed è pari al primo elemento dello stato corrente del registro puntato dal valore a0 (prodotto dal registro di controllo), mentre l’ultimo prima dello shift è b(t-1) (con t lunghezza totale sequenza); il registro di controllo specifica un nuovo intero non negativo at , il registro cloccato viene scalato at volte e produce l’output successivo, poi il registro di controllo scala di uno per la successiva iterazione.

• Questa tecnica(basata sul clock) viene definita forward clock control.

Clock controller

• L'elenco dei bit che fanno parte del polinomio di retroazione viene chiamato tap sequence.

• Ad un registro a scorrimento di lunghezza n si associa come funzione di retroazione il polinomio f(x) = a0 + a1x + ::: + an¡1xn¡1 + xn (4) cioè un polinomio di grado n (pari alla lunghezza del registro stesso), avente come coefficienti i coefficienti della funzione di retroazione. Tale polinomio è detto polinomio del registro.

Possibili attacchi

• Edit distance correlation attack

• Embedding correlation attack

• Attacco correlato

Edit distance correlation attack

• Un pregio dei registri è l’immunità da correlazione cioè la probabilità che sussista una relazione privilegiata tra l'uscita del generatore di sequenze pseudocasuali e l'uscita di uno dei suoi LFSR interni. L'immunità da correlazione è importante perché, studiando il comportamento otteniamo informazioni circa le sequenze interne. Usando queste informazioni ed altre relazioni, riusciamo a forzare il generatore.

Edit distance correlation attack

• La base dell’attacco di tipo edit distance, si basa sulla misura della distanza tra due sequenze di lunghezza diversa, definita in modo da riflettere la trasformazione della sequenza di output prodotta dal registro di generazione in un output che chiamiamo u in base al modello statistico scelto.

• Questa misura permette di fare una scelta statistica tra le varie possibilità, ed una ipotesi è accettata se, definendo Un un segmento di lunghezza n preso in modalità random dalla sequenza di output reale e Xm un segmento della sequenza generata di lunghezza m supponendo un possibile stato iniziale del registro, la distanza tra Un ed Xm è maggiore della soglia stimata sulla base del ragionamento scelto.

• Ovviamente, questo ragionamento, si basa solo sulla edit distance che è troppo generica, per cui l’algoritmo risulta poco praticabile.

Attacco di tipo Embedding

• Nell’attacco di tipo Embedding l'obiettivo è quello di trovare tutti i possibili stati iniziali del generatore, così che per alcuni m ≥ n un segmento dato possa essere incluso nella sequenza di output di lunghezza m del generatore prodotta sotto un clock regolare ma l'attacco ha successo se ci sono solo pochi di questi stati iniziali.

• Per verificare se l'inclusione sia possibile, si può usare un algoritmo di corrispondenza diretta (direct matching algorithm) per l'inclusione forzata o si possono usare algoritmi per calcolare la distanza. L'inclusione è possibile se e solo se la distanza è uguale a m – n.

• E' ovvio che embedding attacks generalmente non sono ottimali dal momento che non fanno uso

• della distribuzione probabilistica della sequenza di controllo.

AlgoritmiAndrea Artuso

I principali algoritmi che vengono applicati ai registri a scorrimento sono:

• A5

• Huges XPD/KPD

• Nanoteq

• Rambutan

• Gifford

• PKZip

A5• Utilizzo:

– Cifrario a flusso utilizzato nella telefonia mobile (GSM) per criptare la fase in cui si stabilisce il contatto del terminale con la base (ripetitore)

• Caratteristiche:– Composto da 3 registri 19, 22 e 23 bit– Utilizza polinomi di feedback sparsi

x19 + x5 + x2 + x + 1x22 + x + 1

x23 + x15 + x2 + x + 1

– L’output è il risultato dello XOR dei tre registri– La gestione del clock per ogni registro è diversificata– Molto efficiente (passati tutti i test statistici)

• Attacchi:– L’attacco più prevedibile richiede 240 tentativi.

Huges XPD/KPD

• Storia: – Progettato dalla Huges Aircraft Corporation (1968)– Viene applicato su apparecchiature militari– KPD (dispositivo cinetico di protezione)

• Caratteristiche:– Utilizza un registro a 61 bit con 210 polinomi primitivi– Ha 8 differenti filtri non lineari, che producono 6 TAP– Ogni TAP produce un bit che si combina con gli altri per formare

un byte utilizzato per criptare un flusso di dati

• Chiave:– La chiave seleziona un polinomio allocato nella memoria

Nanoteq

• Storia: – E’ il nome di una compagnia elettronica Sud Africana– Utilizzato dalla polizia locale per cifrare le trasmissioni fax

• Caratteristiche:– Utilizza un registro a 127 bit con un polinomio fisso– Ciascuna cella ha 5 input ed un solo output– Ciascun input è messo a XOR con alcuni bit della chiave– Esiste una permutazione segreta, disponibile solo l’hardware

• Chiave:– La chiave è lo stato iniziale del registro

• Attacchi:– Ross Anderson ha fatto i primi passi per analizzarlo

Rambutan• Storia:

– E di origine britannica, progettato dalla GCHQ

– Approvata per la protezione di materiale confidenziale

– Algoritmo segreto, chip non disponibile

• Caratteristiche:– Può operare in 3 diversi modi: ECB, CBC, CFB

– Probabilmente è un registro con cifrario a flusso

– E’ composto da 5 registri di 80 bit

– I polinomi nella retroazione ottengono solo 10 tap ognuno

– Ogni registro fornisce 4 input a una funzione non lineare

• Chiave:– La chiave è di 112 bit

Gifford• Storia:

– Cifrario a flusso ideato da David Gifford

– Usato per criptare notizie nelle linee di Boston (1984-1988)

• Caratteristiche:– Utilizza un singolo registro a 8 byte(b0 b1b 2…b7)

– Lavora in OFB(Output feedback)

Gifford• Algoritmo:

Per generare un byte della chiave(Ki):

– Concatenare b0 b2 e b4 b7 ed effettuarne il prodotto per ottenere un numero a 32 bit.

– Il terzo byte dalla sinistra è Ki

Per aggiornare il registro:– prendere b1 e shiftarlo di un bit a destra– prendere b7 e shiftarlo di un bit a sinistra– Prendere lo XOR di b1 modificato, b7 modificato, b0– Shiftare il registro originale di un byte a destra e posizionarlo a

sinistra al posto di b0

• Attacchi:– Rotto nel 1994

Gifford

• Come trovare un byte della chiave:

Gifford

• Aggiornare il registro(1):

Gifford

• Aggiornare il registro (2):

PKZIP

• Storia:– Progettato da Roger Schlafly come algoritmo per il

programma di compressione PKZIP

• Caratteristiche:– Utilizza un cifrario a flusso che cripta un byte alla volta

– Usa 3 variabili da 32 bit inizializzati così:

K0 = 305419896

K1 = 591751049

K2 = 878082192

inoltre ha una chiave a 8 bit, K3 derivata da K2

PKZIP

• Sicurezza:– Un attacco richiede da 40 a 200 byte per sapere il testo in

chiaro ed ha complessità 227.

\Registri a scorrimento non lineare

• È facile immaginare un feedback più complicato di quello usato nei registri lineari

• Il problema è che non c’è nessuna teoria matematica che li può analizzare

• In particolare i problemi dei non lineari sono i seguenti:– Ci possono essere più uno che zeri oppure meno run di quanti ci si

aspetti – Il massimo periodo della sequenza può essere molto minore di quanto

ci si aspetti– Il periodo della sequenza potrebbe essere diverso per diversi valori di

partenza– La sequenza potrebbe apparire casuale per un po’ per poi terminare in

un singolo valore– La funzione di feedback potrebbe essere in una qualsiasi forma

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